ഡാലിയുടെ അദ്വൈതവും പദാര്ത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ്വ സ്വഭാവവും - 2 എന്ന പോസ്റ്റിലെയും അതിന്റെ ചില കമന്റുകളിലെയും പരാമര്ശങ്ങളാണു് ഇതെഴുതാന് എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്.
ഡാലി എഴുതുന്നു:
ഗണിതത്തിലും ഉണ്ടല്ലോ നിര്വചിക്കാന് പറ്റാത്ത ഒന്ന്: ഇന്ഫിനിറ്റി. 0/10 =0 എന്ന് പഠിക്കാന് എളുപ്പമാണ്. പ്രൈമറി സ്കൂള് മാഷ് പറഞ്ഞ് കൊടുക്കും, ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള് ആക്കിയതില് എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0. എന്നാല് 10/0 എന്നത് എങ്ങനെ പറഞ്ഞ് മനസ്സിലാക്കി കൊടുക്കും? ഒന്നുമില്ലായ്മയില് നിന്നു 10 എടുത്താല് എത്ര? പറഞ്ഞു കൊടുക്കാന് ഇത്തിരി പാടാണ്.
ഒരു പാടുമില്ല ഡാലീ. ഇന്ഫിനിറ്റി എന്നതു് ഒരു ലിമിറ്റാണു്. ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാള് വലുതും, ഏറ്റവും ചെറിയ (നെഗറ്റീവ്) സംഖ്യയെക്കാള് ചെറുതുമായ രണ്ടു ലിമിറ്റുകളെയാണു് ഇന്ഫിനിറ്റി (പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു വലിയ (ചെറിയ) സംഖ്യ എന്നു തന്നെ കരുതാം.
10/0 എന്നതു് “ഒന്നുമില്ലായ്മയില് നിന്നു 10 എടുത്താല്” എന്നെങ്ങനെ അര്ത്ഥം വരും? നമുക്കു് ഹരണത്തിന്റെ നിര്വ്വചനം നോക്കാം.
- 20/4 എന്നു പറഞ്ഞാല് 4 എന്നതു് എത്ര പ്രാവശ്യം കൂട്ടിവെച്ചാല് 20 ആകും എന്നാണര്ത്ഥം. അഞ്ചു തവണ എന്നര്ത്ഥം.
- 10/4 എന്നു പറഞ്ഞാലും അതേ അര്ത്ഥം തന്നെ. രണ്ടു തവണയും പിന്നെ അരത്തവണയും (2 x 4 + 0.5 x 4 = 10) വയ്ക്കണം. അതായതു്, 10/4 = 2.5.
- ഇനി, 10/0 എന്നു പറഞ്ഞാല് ഒന്നുമില്ലായ്മ (0) എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാല് 10 കിട്ടും എന്നാണു്. എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലും പൂജ്യത്തില് കൂടില്ല. അപ്പോള് ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാളും വലിയ ഒരു സംഖ്യ തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലേ ആകൂ എന്നു വരുന്നു. ഇതാണു് ഇന്ഫിനിറ്റി.
മറ്റൊരു വിധത്തില് പറഞ്ഞാല്, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല് 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും. അപ്പോള് അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള് ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല് “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)
[2006/09/28]: ഇവിടെ undefined എന്നു ഡാലിയും ഷിജുവും പറഞ്ഞതു് indeterminate എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചു് infinity, indeterminate എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിശദീകരിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരു ഭാഗമുണ്ടായിരുന്നു. ഡാലിയും ഷിജുവും indeterminate-നെക്കുറിച്ചു പറഞ്ഞിട്ടില്ലാത്തതിനാല് ഈ ലേഖനത്തില് നിന്നു് അതു നീക്കം ചെയ്യുന്നു.
തെറ്റു ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച ഡാലി, അനുരണനം (ഡാലിയുടെ ബ്ലോഗില്) എന്നിവര്ക്കും അനുരണനത്തിന്റെ കമന്റ് ഇവിടെ പോസ്റ്റു ചെയ്ത ഷിജുവിനും നന്ദി.
ഡാലി പറയുന്നു:
കൌതുകം എന്താണെന്നു വച്ചാല് ഇന്ഫിനിറ്റിയെ കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ ലേഖനങ്ങളില് ഒന്ന് യജുര് വേദമണെന്ന് വിക്കി പറയുന്നു
ഉദ്ധൃതമായ വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:
Along with the early conceptions of infinite space proposed by the Taoist philosophers in ancient China, one of the earliest known documented knowledge of infinity was also presented in ancient India in the Yajur Veda (c. 1200–900 BC) which states that “if you remove a part from infinity or add a part to infinity, still what remains is infinity”.
ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു് (പാപ്പാന് ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതുപോലെ)
പൂര്ണ്ണമദഃ പൂര്ണ്ണമിദം
പൂര്ണ്ണാത് പൂര്ണ്ണമുദച്യതേ
പൂര്ണ്ണസ്യ പൂര്ണ്ണമാദായ
പൂര്ണ്ണമേവാവശിഷ്യതേ(അതു പൂര്ണ്ണം, ഇതു പൂര്ണ്ണം, പൂര്ണ്ണതില് നിന്നു പൂര്ണ്ണം പൊന്തിവന്നു. പൂര്ണ്ണത്തില് നിന്നു പൂര്ണ്ണമെടുത്തപ്പോള് പൂര്ണ്ണം അവശേഷിച്ചു.)
ആണെന്നു തോന്നുന്നു. (ഇതു് ഈശാവാസ്യോപനിഷത്തിലേതാണെന്നാണു് എന്റെ അറിവു്.) ഇതു ശരിയാണെങ്കില് ഇതു മറ്റൊരു ഭാരതീയപൈതൃകവ്യാജാവകാശവാദം മാത്രമാണു്. Complete എന്ന അര്ത്ഥത്തിലാണു് ഇവിടെ പൂര്ണ്ണം എന്നുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഇതെങ്ങനെ ഗണിതത്തിലെ അനന്തം ആകും? അതില് നിന്നു അതു തന്നെ കുറച്ചാല് അതു തന്നെ കിട്ടും എന്നതു പൂജ്യത്തിനും ബാധകമാണല്ലോ. ഇതു് അനന്തത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാല് ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വരി എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും?
ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില് പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില് ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്. ആര്ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള് ഇതിന്റെ സകലസീമകളെയും ലംഘിക്കുന്നു. മഹാവിഷ്ണുവിന്റെ ദശാവതാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില് പുരാണങ്ങളില് പരിണാമസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു പറയുന്നതു് ഒരുദാഹരണം. സൃഷ്ടികര്മ്മത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നിടത്തു് ഇതു പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ. ഈ അനന്തപരാമര്ശവും അങ്ങനെ തന്നെ. പൂജ്യം (ശൂന്യം) എന്നതു് ആധുനികഗണിതത്തിന്റെ അര്ത്ഥത്തില് അറിവില്ലാതിരുന്ന കാലത്താണു് വേദങ്ങള് എഴുതിയതെന്നു് ആലോചിക്കണം. പിന്നെയെങ്ങനെ അനന്തത്തെപ്പറ്റി പറയാന്?
അനന്തസംഖ്യയെപ്പറ്റി ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ചതു ബ്രഹ്മഗുപ്തനാണു്. (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) അദ്ദേഹം അതിനെ “ഖച്ഛേദം” (പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചതു് എന്നര്ത്ഥം) വിളിച്ചു. അതേ അര്ത്ഥം തന്നെ വരുന്ന “ഖഹരം” എന്ന പേരാണു ഭാസ്കരാചാര്യര് (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഉപയോഗിച്ചതു്. ഭാസ്കരാചാര്യര് പറയുന്നതു നോക്കൂ:
യോഗേ ഖം ക്ഷേപസമം,
വര്ഗ്ഗാദൌ ഖം, ഖഭാജിതോ രാശിഃ
ഖഹരഃ, സ്യാത് ഖഗുണഃ
ഖം, ഖഗുണശ്ചിന്ത്യശ്ച ശേഷവിധൌപൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാല് ആ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. പൂജ്യത്തിന്റെ വര്ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയും പൂജ്യം തന്നെ. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല് ഖഹരം കിട്ടും. പൂജ്യം കൊണ്ടു ഏതു സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചാലും പൂജ്യം തന്നെ ഫലം.
പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം വ്യക്തമായി നിര്വ്വചിച്ചിരിക്കുകയാണു് ഇവിടെ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന് പറഞ്ഞതും ഇതു തന്നെ.
ശൂന്യേ ഗുണകേ ജാതേ
ഖം ഹാരശ്ചേത് പുനസ്തദാ രാശിഃ
അവികൃത ഏവ ജ്ഞേയ-
സ്തഥൈവ ഖേനോനിതശ്ച യുതഃഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിക്കുകയും പിന്നീടു പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടി വന്നാല് അതേ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. അതിനാല് പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനവും ഹരണവുമുള്ള ഗണിതക്രിയകളില് ഇപ്രകാരമുള്ള ഗുണനഹരണങ്ങള് സംഖ്യയെ മാറ്റുന്നില്ല എന്നു മനസ്സിലാക്കി അവസാനത്തെ ക്രിയയില് മാത്രമേ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനമോ ഹരണമോ ചെയ്യാവൂ.
ഇതിനു പല വിമര്ശനങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ടു്. 0/0 = 1 എന്നാണു ഭാസ്കരാചാര്യര് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു് എന്നാണു് പ്രധാനവിമര്ശനം. അങ്ങനെയല്ല എന്നു് ഈ ശ്ലോകം ശ്രദ്ധിച്ചു വായിച്ചാല് മനസ്സിലാകും. അദ്ദേഹം ഉദ്ദേശിച്ചതു്
എന്നാണെന്നു മനസ്സിലാകും. കാല്ക്കുലസിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വം.
അനന്തത്തെപ്പറ്റി ആലങ്കാരികമായും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു ഭാസ്കരാചാര്യര്.
അസ്മിന് വികാരഃ ഖഹരേ ന രാശാ-
വപി പ്രവിഷ്ടേഷ്വപി നിഃസൃതേഷു
ബഹുഷ്വപി സ്യാല്ലയസൃഷ്ടികാലേऽ-
നന്തേऽച്യുതേ ഭൂതഗണേഷു യദ്വത്ഏതു സംഖ്യ കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും ഖഹരത്തിനു വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല. ജീവജാലങ്ങള് ഉണ്ടാവുകയും നശിക്കുകയും ചെയ്താലും അനന്തനായാ അച്യുതനു വ്യത്യാസമുണ്ടാകാത്തതു പോലെ.
ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ ലേഖനത്തില് ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അദ്വൈതത്തില് ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നല്ല പറയുന്നതു്, മറിച്ചു രണ്ടിനും സാദൃശ്യമുള്ള തത്ത്വങ്ങളുണ്ടു് എന്നു പറയുകയാണു ചെയ്യുന്നതു് എന്നു ഡാലി തന്നെ പറയുന്നു. ഇതിനു കുഴപ്പമൊന്നുമില്ല.
കടലും കടലാടിയും പോലെയുള്ള വസ്തുതകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു ചില ഗവേഷകരുടെ ഇഷ്ടവിനോദമാണു്. “കാല്പനികത മാര്കേസിലും മുട്ടത്തുവര്ക്കിയിലും”, “കേരളത്തിലെ ഒടിവിദ്യയും ആസ്ട്രേലിയയിലെ ബൂമറാംഗും”, “ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള് കൊടുങ്ങല്ലൂര് ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്” തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിലുള്ള (ഈ വിഷയങ്ങളെല്ലാം സാങ്കല്പികം) പ്രബന്ധങ്ങളും കാമ്പുള്ള ഗവേഷണത്തിനോടൊപ്പം ഉണ്ടാകുന്നുണ്ടു്. ഇതൊക്കെ വൈജ്ഞാനികശാഖകള്ക്കു മുതല്ക്കൂട്ടു തന്നെ.
പക്ഷേ, ഈ താരതമ്യപ്പെടുത്തലിനപ്പുറം കമന്റെഴുതിയ പലരും ചെയ്തപോലെ അദ്വൈതത്തില് ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നെന്നും, അല്ല ശങ്കരാചാര്യര് തെറ്റാണെന്നു തെളിയിച്ച കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു തിയറിയില് ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് പൂര്ണ്ണമായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും പറയുമ്പോഴാണു വാദം ബാലിശമാകുന്നതു്.
ലേഖനത്തില് പരാമര്ശിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യത്തെപ്പറ്റിക്കൂടി: പുതിയ നിയമം (ഞാന് പുസ്തകത്തെപ്പറ്റിയാണു പറയുന്നതു്; ക്രിസ്തുവിനെപ്പറ്റിയോ ക്രിസ്തുമതത്തെപ്പറ്റിയോ അല്ല.) ഇത്രയും പോപ്പുലര് ആയതു് അതിലെ വിപ്ലവകരമായ ആശയങ്ങളുടെ മഹത്ത്വം കൊണ്ടല്ല, ക്രിസ്തുമതം പ്രചരിപ്പിക്കാന് അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്ത ഒരു പറ്റം ആളുകളുടെ കഴിവു കൊണ്ടാണു്. എന്റെ ഒരു അഭിപ്രായം മാത്രം.
daly | 27-Sep-06 at 3:40 pm | Permalink
ഉമേഷ്ജി, ലേഖനം ഒന്ന് ഓടിച്ചു വായിച്ചു.
ഒരു കാര്യത്തിനെ കുറിച്ചു മാത്രം ഇപ്പോള് പറയുന്നു. ബാക്കി നന്നായി വായിച്ചീട്ടാകാം.
ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞു:
“undefined, indeterminate എന്നൊക്കെ പറയുന്നതു് എവിടെയെന്നു തിട്ടപ്പെടുത്താന് പറയാത്ത ഒരു സംഖ്യയെപ്പറ്റിയാണു്“
undefined ഉം indeterminate ഉം ഒന്നല്ല. രണ്ടിനും വ്യക്തമായ നിര്വചനം ഗണിതത്തിലുണ്ട്
0/0 = indeterminate number /0 = undefined ഉം ആണ്.
പൂജ്യം അല്ലത്തൊരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടുല്ല ഹരണം മാത്തമറ്റികലി അനുവദനീയമല്ല (അലൊവ്ഡ്). അതായത് അത് മതമറ്റിക്കലി undefined ആണ്.
എന്നാല് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം അനുവദനീയമാണ്. അപ്പോള് കിട്ടുന്ന ഉത്തരം (സംഖ്യ) ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞ പോലെ indeterminate ആണ്. ഉമേഷ്ജി വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് undefined ഉം indeterminate ഉം ഒന്നായിട്ടാണ്.
ഈ ലിങ്ക് ഒന്നു നോക്കൂ
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divideby0.html
daly | 27-Sep-06 at 3:42 pm | Permalink
ഉമേഷ്ജി, ലേഖനം ഒന്ന് ഓടിച്ചു വായിച്ചു.
ഒരു കാര്യത്തിനെ കുറിച്ചു മാത്രം ഇപ്പോള് പറയുന്നു. ബാക്കി നന്നായി വായിച്ചീട്ടാകാം.
ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞു:
“undefined, indeterminate എന്നൊക്കെ പറയുന്നതു് എവിടെയെന്നു തിട്ടപ്പെടുത്താന് പറയാത്ത ഒരു സംഖ്യയെപ്പറ്റിയാണു്“
undefined ഉം indeterminate ഉം ഒന്നല്ല. രണ്ടിനും വ്യക്തമായ നിര്വചനം ഗണിതത്തിലുണ്ട്
0/0 = indeterminate
number /0 = undefined ഉം ആണ്.
പൂജ്യം അല്ലത്തൊരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം മാത്തമറ്റികലി അനുവദനീയമല്ല (അലൊവ്ഡ്). അതായത് അത് മതമറ്റിക്കലി undefined ആണ്.
എന്നാല് പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം അനുവദനീയമാണ്. അപ്പോള് കിട്ടുന്ന ഉത്തരം (സംഖ്യ) ഉമേഷ്ജി പറഞ്ഞ പോലെ indeterminate ആണ്. ഉമേഷ്ജി വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നത് undefined ഉം indeterminate ഉം ഒന്നായിട്ടാണ്.
ഈ ലിങ്ക് ഒന്നു നോക്കൂ
http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.divideby0.html
എന് ജെ മല്ലു | 27-Sep-06 at 3:46 pm | Permalink
ഉമേഷേ, വളരെ നന്നായി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു. അദ്വൈതവും ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സും ഒരേ ചിന്താഗതിയില് നിന്നുണ്ടായതാണെന്നു സ്ഥാപിക്കാനുള്ള ശ്രമത്തില് ആ രണ്ടാശയങ്ങളും അല്പവല്ക്കരിക്കപ്പെടുകയല്ലേ(being trivialized) എന്നൊരു സംശയം എനിക്കുമുണ്ട്. ആടിനും, പട്ടിയ്ക്കും നാലു കാലുവീതമുണ്ട് എന്നതിനാല് ആടിനെ പട്ടിയാക്കണമെന്നില്ലല്ലോ എന്നതു തന്നെയാണ് എന്റെയും അഭിപ്രായം.
കൂമന്സ് | 27-Sep-06 at 3:52 pm | Permalink
“ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള് കൊടുങ്ങല്ലൂര് ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്”
വായിച്ച് ചിരി വന്നു. ടോംസിന്റെ (ബോബനും മോളിയും) ഭാഷയില് “സംസ്കൃത ഭാഷയും വിലക്കയറ്റവും”
രാജ് | 27-Sep-06 at 4:11 pm | Permalink
ഇന്ഫിനിറ്റി ഇത്രയും വലിയ കൂടോത്രമാണല്ലേ. ഈ ശ്ലോകം:
പൂര്ണ്ണമദഃ പൂര്ണ്ണമിദം
പൂര്ണ്ണാത് പൂര്ണ്ണമുദച്യതേ
പൂര്ണ്ണസ്യ പൂര്ണ്ണമാദായ
പൂര്ണ്ണമേവാവശിഷ്യതേ
ഞാന് വേറെയൊരു കാര്യത്തിനായി തേടി നടക്കുകയായിരുന്നു. നന്ദി.
daly | 27-Sep-06 at 4:35 pm | Permalink
ഉമേഷ്ജി എന്റെ പോസ്റ്റ് നന്നായി വായിച്ച് ഇങ്ങനൊരു മറുപോസ്റ്റിട്ടതിന് ഒത്തിരി നന്ദി.
ഇനി എന്റെ അഭിപ്രായങ്ങള്
1. ഞാന് ഇന്ഫിനിറ്റി പറഞ്ഞ് മനസ്സില്ലാക്കിക്കാന് ശ്രമിച്ചത് പ്രൈമറി കുട്ടികള്ക്കാണെന്നത് ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കുമല്ലോ?
“പ്രൈമറി സ്കൂള് മാഷ് പറഞ്ഞ് കൊടുക്കും, ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള് ആക്കിയതില് എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0. എന്നാല് 10/0 എന്നത് എങ്ങനെ പറഞ്ഞ് മനസ്സിലാക്കി കൊടുക്കും? ഒന്നുമില്ലായ്മയില് നിന്നു 10 എടുത്താല് എത്ര? പറഞ്ഞു കൊടുക്കാന് ഇത്തിരി പാടാണ്.“
അതേ കുട്ടികള് ഇതു എത്ര വേഗം മനസ്സിലാക്കും? (മനസ്സിലാക്കന് ഇത്തിരി ശ്രമിച്ചാല് ഒരു പാടുമില്ല എന്നു തന്നെയല്ലേ ഞാനും പറഞ്ഞത്?)
“20/4 എന്നു പറഞ്ഞാല് 4 എന്നതു് എത്ര പ്രാവശ്യം കൂട്ടിവെച്ചാല് 20 ആകും എന്നാണര്ത്ഥം. അഞ്ചു തവണ എന്നര്ത്ഥം.
10/4 എന്നു പറഞ്ഞാലും അതേ അര്ത്ഥം തന്നെ. രണ്ടു തവണയും പിന്നെ അരത്തവണയും (2 x 4 + 0.5 x 4 = 10) വയ്ക്കണം. അതായതു്, 10/4 = 2.5.
ഇനി, 10/0 എന്നു പറഞ്ഞാല് ഒന്നുമില്ലായ്മ (0) എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാല് 10 കിട്ടും എന്നാണു്. എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലും പൂജ്യത്തില് കൂടില്ല. അപ്പോള് ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാളും വലിയ ഒരു സംഖ്യ തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലേ ആകൂ എന്നു വരുന്നു. ഇതാണു് ഇന്ഫിനിറ്റി.
മറ്റൊരു വിധത്തില് പറഞ്ഞാല്, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല് 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും. അപ്പോള് അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള് ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല് “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)“
2. ഉമേഷ്ജി undefined ഉം indeterminate ഉം കൂട്ടി കുഴച്ചു എന്നാണ് എനിക്ക് മനസ്സിലാകുന്നത്. മുന്പിലത്തെ കമന്റില് ഞാനിട്ട ലിങ്ക് നോക്കുമല്ലൊ (വിക്കിയല്ല).
3. വിക്കിലെ ഇന്ഫിനിറ്റി കമന്റ്:
അതില് എനിക്കൊന്നും പറയാനില്ല. കാരണം, അതൊരു കൌതുകം മാത്രമായേ ഞാന് കണ്ടീട്ടുള്ളൂ.പാപ്പേട്ടനു, ദേവെട്ടനും, ഉമേഷ്ജിയും പറയുമ്പോള് ഉത്തര സമാനതയുണ്ടല്ലൊ. അതാണ് കുട്ടിയായ, സംസ്കൃതം അറിയാത്ത എനിക്ക് വിശ്വസിക്കാന് എളുപ്പം.
4. ഉമേഷ്ജി പറയുന്നു:
കടലും കടലാടിയും പോലെയുള്ള വസ്തുതകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു ഗവേഷകരുടെ ഇഷ്ടവിനോദമാണു്. “കാല്പനികത മാര്കേസിലും മുട്ടത്തുവര്ക്കിയിലും”, “കേരളത്തിലെ ഒടിവിദ്യയും ആസ്ട്രേലിയയിലെ ബൂമറാംഗും”, “ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള് കൊടുങ്ങല്ലൂര് ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്” തുടങ്ങി ധാരാളം പി. എഛ്. ഡി. പ്രബന്ധങ്ങള് ഓരോ കൊല്ലവും ഉണ്ടാകുന്നുണ്ടു്. ഇതൊക്കെ വൈജ്ഞാനികശാഖകള്ക്കു മുതല്ക്കൂട്ടു തന്നെ.
കുറച്ച് വിഷമിച്ചു എന്നല്ലാതെ ഒന്നും പറയനിലിവിടെ. മലയാളികളെ അടച്ചാക്ഷേപിക്കുന്നത് എനിക്ക് സഹിക്കില്ല എന്നത് പോലെ ഗവേഷകരെ അടച്ചാക്ഷേപിക്കുന്നതും എനിക്ക് സഹിക്കില്ല.
ഞാന് പട്ടിയേയും ആടിനേയും അല്ല താരതമ്യത്തിനെടുക്കുന്നത് എന്നു തെളിയിക്കേണതും എന്റെ ബാധ്യത ആണല്ലോ!
4.“ഇത്രയും പോപ്പുലര് ആയതു് അതിലെ വിപ്ലവകരമായ ആശയങ്ങളുടെ മഹത്ത്വം കൊണ്ടല്ല, ക്രിസ്തുമതം പ്രചരിപ്പിക്കാന് അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്ത ഒരു പറ്റം ആളുകളുടെ കഴിവു കൊണ്ടാണു്.“
ഇതുള്ള ഉത്തരം ഞാന് പാപ്പേട്ടനു പറഞ്ഞു കഴിഞ്ഞു.
ഉമേഷ്ജി കണ്ടില്ലെങ്കില് ഒരിക്കല് കൂടി.
“സഭയ്ക്ക് ശക്തി വന്നത് നാലഞ്ച് നൂറ്റാണ്ട് കാലത്തെ ക്രൂരമായ രക്തസാക്ഷിത്വത്തിന് ശേഷമാണ്. റോമിലെ കൊളോസിയവും മറ്റും ഇന്നും അതിന്റെ തെളിവികളായി നിലനില്ക്കുന്നു. ആ കാലത്ത് ബൈബിള് ആശയങ്ങള് സ്വീകരിക്കപ്പെട്ടത് ഈ വിപ്ലവാശയങ്ങള് കൊണ്ട് തന്നെ. പിന്നീട് കൊണ്സ്റ്റന്റിനേപ്പാള് വന്നതിന് ശേഷം സഭ പിടിമുറുക്കിയപ്പോഴാണ് വ്യക്തി ബിംബങ്ങള്ക്ക് ഇത്രയേറെ പ്രാധാന്യം കിട്ടിയത്. അപ്പസ്തോല പ്രവര്ത്തനങ്ങള് എന്ന ബൈബില് ഭാഗത്ത് നാം കാണുന്ന ക്രൈസ്തവര് കമൂണിസ്റ്റ് ആശയങ്ങള് നടപ്പാക്കിയവരാണ്.“
അന്നത്തെ കാലത്ത് ആ ആശയങ്ങളുടെ പുറത്ത് തന്നെയാണ് പുതിയ നിയമം പ്രചരിച്ചത്. അതിനു ശേഷമാണ് അതിന് പ്രചാരകരുണ്ടായത്.( കമ്യൂണിസം കേരളത്തില് എന്ന പോലെ;))
jyothirmayi | 27-Sep-06 at 4:57 pm | Permalink
ഒരു ചെറിയ സംശയം-
പൂജ്യം എന്നാല് “വെറും” ഒന്നുമില്ലാത്തത് എന്നു മാത്രമേ അര്ഥമുള്ളൂ? ഒന്നുമില്ലായ്മ മാത്രമാണെങ്കില് 100000000 വും 1ഉം തുല്യമാവേണ്ടേ? സ്ഥാനത്തിന്റെ വലുപ്പം എന്നല്ലാതെ ഒരു ഉത്തരം ഉണ്ടോ?
[ഇവിടെ ഒരു വാദത്തിന്റേയും ഭാഗമായല്ല ഈ സംശയം ചോദിയ്ക്കുന്നത്. എന്റെ മണ്ടന്സംശയം, ചോദിച്ചുനോക്കാം, ഉത്തരം കിട്ട്യാലായി എന്നു കരുതിയാണ്:-)]
Adithyan | 27-Sep-06 at 5:09 pm | Permalink
ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില് പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില് ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്.
Applause
jyothirmayi | 27-Sep-06 at 5:34 pm | Permalink
“ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള് കൊടുങ്ങല്ലൂര് ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്”
ഹി ഹി ഹി! ഇതു ശരിയ്ക്കും ഉള്ളതാണോ? കിട്ടാനെന്താ വഴി?
:-)
സന്തോഷ് | 27-Sep-06 at 5:48 pm | Permalink
0/10 = 0 എന്ന് പഠിപ്പിക്കാന് “ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള് ആക്കിയതില് എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0” എന്ന് പറഞ്ഞാല് പോരല്ലോ ഡാലീ.
ഇല്ലാത്ത ഒരു കേക്കിനെ (കേക്ക് = 0) പത്ത് തുല്യ കഷണങ്ങളാക്കിയാല് (/10)എനിക്ക് എത്ര കഷണം കിട്ടും? ഉത്തരം പൂജ്യം (=0).
ഇനി, അതേ ഇല്ലാത്ത കേക്കിനെത്തന്നെ (കേക്ക് = 0) 100 തുല്യ കഷണങ്ങളാക്കിയാലും (/100) എന്റെ ഗതി പഴയതു തന്നെ (=0).
10/0 എന്നതു് “ഒന്നുമില്ലായ്മയില് നിന്നു 10 എടുത്താല്” എന്ന് അര്ഥം വരില്ല. “10-ല് നിന്നും ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള ഒരു കഷണവും എടുത്തില്ലെങ്കില്” എന്ന് വേണമെങ്കില് പറയാം.
ഒരു വസ്തുവില് നിന്നും ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള എത്ര കഷണം എടുത്തു എന്ന് പറഞ്ഞാലേ, ആ ഓരോ കഷണത്തിന്റെയും വലിപ്പം (അളവ്) പറയാന് പറ്റൂ. അതിനാല് അത് സംഖ്യാരേഖയില് എത്രയുമാവാം (indeterminate).
Umesh::ഉമേഷ് | 27-Sep-06 at 6:32 pm | Permalink
ഗവേഷണത്തെപ്പറ്റി ഞാന് എഴുതിയതു ഡാലിയെ വേദനിപ്പിച്ചതു കണ്ടു. ഗവേഷണത്തെ വളരെയധികം ആദരിക്കുന്ന ആളാണു ഞാന്. ഗവേഷകരെ ഒന്നടങ്കം കളിയാക്കിയതല്ല അതു്.
പാഴായിപ്പോകുന്ന ഗവേഷണത്തെപ്പറ്റി എഴുതാനിരുന്ന ഒരു പോസ്റ്റിന്റെ അവശിഷ്ടങ്ങള് തലയില് കിടന്നു കളിച്ചതുകൊണ്ടാണു് അങ്ങനെ എഴുതാനിടയായതു്. അതില് ഭാരതത്തില് നാം ചെയ്യേണ്ട ചില ഗവേഷണങ്ങളെപ്പറ്റി പറയാന് ഉദ്ദേശിച്ചിരുന്നു. പലപ്പോഴും, ഗുണമുള്ള ഗവേഷണങ്ങള് ഗവേഷകരില് നിന്നല്ല, ഹോബിയായി അവ ചെയ്യുന്നവരില് നിന്നാണു കിട്ടുക. നമ്മുടെ പഴയ ശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങള് വ്യാഖ്യാനിച്ചു പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയാണു തര്ക്കത്തിലും മീമാംസയിലും മറ്റും പ്രബന്ധങ്ങളെഴുതുന്നതിനേക്കാള് സംസ്കൃതഗവേഷകര് ചെയ്യേണ്ടതു് എന്നെനിക്കു തോന്നിയിട്ടുണ്ടു്. ടി. എ. സരസ്വതിയമ്മ എന്നൊരാള് അതു ചെയ്തിട്ടുണ്ടു്. അവരുടെ Ph. D. തീസിസ് മഹത്തായ ഒരു ഗ്രന്ഥമാണു്.
ഹിന്ദി സാഹിത്യത്തില് Ph. D. ചെയ്തിരുന്ന ഒരു പെണ്കുട്ടിയെ എനിക്കറിയാം. ഒരു മലയാളകഥാകൃത്തിനെയും ഒരു ഹിന്ദി കഥാകൃത്തിനെയും താരതമ്യം ചെയ്തുകൊണ്ടുള്ള ഒരെണ്ണം. യൂസ്ലെസ്സ്. മെറ്റീരിയല് എഴുതുന്നതും മറ്റും മറ്റു പലരും. ഇതുപോലെ പല ഗവേഷണങ്ങളും ഞാന് കണ്ടിട്ടുണ്ടു്-വെറുതേ ഒരു ഡിഗ്രി കിട്ടാന് സര്ക്കാരിന്റെ കാശു ചെലവാക്കുന്നവര്.
ഭൂരിപക്ഷം ആളുകളും അങ്ങനെയല്ല. ഗവേഷണങ്ങളാണു ശാസ്ത്രത്തിന്റെ കാതല്. ബൂലോഗത്തിലെ ഗവേഷകരായ ഡാലി, വക്കാരി, യാത്രാമൊഴി, ജ്യോതിര്മയി തുടങ്ങിയവരോടു് ഈ പരാമര്ശം കൊണ്ടു ഞാന് അനാദരവല്ല ഉദ്ദേശിച്ചതു് എന്നു വ്യക്തമാക്കുന്നു. പോസ്റ്റില് വേണ്ട മാറ്റം വരുത്താന് ശ്രമിക്കാം.
Umesh::ഉമേഷ് | 27-Sep-06 at 6:42 pm | Permalink
ജ്യോതി ചോദിച്ചതീന്റെ ഉത്തരമാണു് ഭാരതീയര് ലോകഗണിതശാസ്ത്രത്തിനു നല്കിയ ഏറ്റവും വലിയ സംഭാവന-Place value system. ഇരിക്കുന്ന സ്ഥാനമനുസരിച്ചു വിലയ്ക്കു വ്യത്യാസം വരുമെന്നു്. (“സ്ഥാനേ സ്ഥിതസ്യ പദ്മസ്യ…” എന്നോ മറ്റോ ഒരു ശ്ലോകമില്ലേ ജ്യോതീ?) ഇവിടെയും പൂജ്യത്തിന്റെ വില ശൂന്യം തന്നെ. പക്ഷേ 100 എന്ന സംഖ്യയുടെ വില 1 നൂറും പൂജ്യം പത്തും പൂജ്യം ഒന്നും എന്നാണു്. അതായതു് ഒരു നൂറു മാത്രം എന്നു്.
ശൂന്യം എന്ന ആശയം പലയിടത്തും ഉണ്ടായിരുന്നെങ്കിലും ഭാരതീയരാണു് ആദ്യമായി അതു് ഇങ്ങനെയൊരു നമ്പര് സിസ്റ്റം സൂചിപ്പിക്കാന് ഉപയോഗിക്കാം എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചതു്. അതിനു മുമ്പുള്ള ഭാരതീയരീതികളൊക്കെ റോമന് സംഖ്യകളോടു സാദൃശ്യമുള്ള രീതികളായിരുന്നു-വലിയ സംഖ്യകള്ക്കു കൂടുതല് തരത്തിലുള്ള ചിഹ്നങ്ങള് ആവശ്യമുള്ളവ.
ആ ഗവേഷണവിഷയങ്ങള് ഞാന് സര്ക്കാസ്റ്റിക് ആയി എഴുതിയതാണു്. ഒന്നും ഉള്ളതല്ല. പാണിനിയെ പഠിക്കുമ്പോഴാണു ചോംസ്കിയുടെ പ്രസക്തി എന്നു തോന്നിയിട്ടുണ്ടു്.
undefined, indeterminate എന്നീ പദങ്ങള് ഞാന് തെറ്റിദ്ധരിച്ചതാവാം. ഒന്നുകൂടി എല്ലാം വായിക്കട്ടേ. എങ്കിലും ഡാലി നല്കിയ വിവരങ്ങളോടു പൂര്ണ്ണമായും യോജിക്കാന് പറ്റുമെന്നു തോന്നുന്നില്ല. വിശദമായി പിന്നീടെഴുതാം.
കൂമന്സ് | 27-Sep-06 at 7:25 pm | Permalink
മാഷേ പാണിനിയും ചോംസ്കിയുമായുള്ള ബന്ധം ഒന്നു വിശദീകരിക്കാമോ? (ഓഫായിട്ടോ മറ്റോ) ചോംസ്കിയുടെ ചിലതൊക്കെ വായിച്ചിട്ടുണ്ട്. പക്ഷേ പാണിനി തൊട്ടിട്ടു പോലുമില്ല.
ടി. എ. സരസ്വതിയമ്മ ചെയ്ത ഗവേഷണ പ്രബന്ധം എന്താണ്? മനസിലാകുന്നതാണോ? ഇലക്ട്രോണിക് കോപ്പിയുണ്ടോ?
കൂമന്സ് | 27-Sep-06 at 7:27 pm | Permalink
അയ്യോ ചോംസ്കിയുടെ ലിംഗ്വസ്റ്റിക്പഠനങ്ങളാണോ ഉദ്ദേശിച്ചത്?
ഞാന് മൂപ്പരുടെ അനാര്ക്കിസ്റ്റ് രാഷ്ട്രീയ രചനകളേ വായിച്ചിട്ടുള്ളു.
Umesh::ഉമേഷ് | 27-Sep-06 at 7:28 pm | Permalink
സന്തോഷേ,
ഡാലി പറഞ്ഞ “ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള് ആക്കിയതില് എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0” എന്നതീല് ഞാന് തെറ്റൊന്നും കാണുന്നില്ല.
0/10 എന്നതു് 1/10 x 0 അല്ലേ? 3/4 എന്നതിനെ “നാലില് മൂന്നു്” എന്നല്ലേ പറയുക? അതായതു നാലായി ഭാഗിച്ചതില് മൂന്നു ഭാഗം എന്നു്.
നാലു് എന്നതു് എത്ര തവണ (ഭിന്നവുമാകാം) എടുത്താല് മൂന്നാകും എന്നുമാവാം നിര്വ്വചനം. ഇതാണു ഞാന് പറഞ്ഞതു്.
മൂന്നു സാധനം എടുത്തിട്ടു് അതിനെ നാലു തുല്യഭാഗങ്ങളായി വിഭജിക്കുന്നതുമാവാം. ഇതാണു സന്തോഷ് പറഞ്ഞതു്.
ഈ മൂന്നു നിര്വ്വചനവും ശരി തന്നെ.
10/0-നെപ്പറ്റി “അതിനാല് അത് സംഖ്യാരേഖയില് എത്രയുമാവാം (indeterminate)” എന്നു പറഞ്ഞതു ശരിയല്ല. അതു സംഖ്യാരേഖയില് എവിടെയാണെന്നു നമുക്കറിയാം. വലത്തേ അറ്റത്തു്. +ഇന്ഫിനിറ്റി. ഏതു പരിമിത(മേയ)സംഖ്യയെക്കാളും വലുതാണതു്.
സന്തോഷ് | 27-Sep-06 at 7:50 pm | Permalink
1/10×0 = 0 തന്നെ. എന്നാല് അത് 2/10×0 ആയിക്കൂടേ?
വിഭജിക്കാത്ത കേക്കില് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല എന്നും പറഞ്ഞു കൂടേ (10/10×0). ഇതുപയോഗിച്ച് 0 എന്താണെന്ന് കുട്ടികളെ മനസ്സിലാക്കിക്കാം. ഈ ഉദാഹരണം extendable ആണെന്ന് തോന്നുന്നില്ല.
ഈ രീതിയില് 10/2 = 5 എന്ന് എങ്ങനെ പറയും?
½x10 അല്ലേ? അതായത് കുട്ടികളോട് നമ്മള് പറയേണ്ടത്, ഒരു കേക്ക് രണ്ട് തുല്യഭാഗങ്ങളായി മുറിച്ചിട്ട് അതില് 10 കഷണങ്ങള് എടുത്താല് 5 ആവുമെന്നോ?
ഞാന് പറഞ്ഞത് അത് ഇങ്ങനെ പറഞ്ഞുകൊടുക്കണമെന്നാണ്: ഒരു കേക്ക് (=10), അതിനെ രണ്ടു തുല്യകഷണങ്ങളാക്കിയാല് (/2) ഓരോ ഭാഗവും അഞ്ച് (=5) ആയിരിക്കും.
രണ്ടാമത് പറഞ്ഞത്, പൂര്ണ്ണമായിരുന്നില്ല.
ഒരു വസ്തുവില് നിന്നും ഒരേ വലിപ്പത്തിലുള്ള എത്ര കഷണം എടുത്തു എന്ന് പറഞ്ഞാലേ, ആ ഓരോ കഷണത്തിന്റെയും വലിപ്പം (അളവ്) പറയാന് പറ്റൂ. അതിനാല് അത് സംഖ്യാരേഖയില് എത്രയുമാവാം (indeterminate). കഷണങ്ങളുടെ എണ്ണം കൂടുന്തോറും വലിപ്പം കുറയുകയും എണ്ണം കുറയുന്തോറും വലിപ്പം കൂടുകയും ചെയ്യും. എണ്ണം കുറഞ്ഞ് കുറഞ്ഞ് പൂജ്യത്തിനോടറ്റുക്കുമ്പോള് വളരെ വലിയ വലിപ്പംകിട്ടുന്നു. എണ്ണം പൂജ്യമാകുമ്പോള് (/0) ഇങ്ങനെ നമുക്ക് സങ്കല്പ്പിക്കാവുന്നതിലും വലിയ സംഖ്യയേക്കാള് വലുതായ +ഇന്ഫിനിറ്റി ഉത്തരമായി കിട്ടും.
എന്നാണ് പറയാന് ഉദ്ദേശിച്ചത്. അത് നേരത്തേയുള്ള കമന്റില് വ്യക്തമാണെന്ന് ധരിച്ചുപോയി.
Umesh::ഉമേഷ് | 27-Sep-06 at 8:12 pm | Permalink
കൂമന്സ്,
ഇതാണു പുസ്തകം: Geometry in Ancient and Medieval India.
ഞാനിതു ഡെല്ഹിയിലുള്ള ഒരു പുസ്തകക്കടക്കാരില് നിന്നു വരുത്തുകയായിരുന്നു. ആമസോണിലുണ്ടെന്നു് അന്നറിയില്ലായിരുന്നു.
വായിച്ചാല് നന്നായി മനസ്സിലാവും. ലളിതമായ ഇംഗ്ലീഷില് ആധുനികഗണിതനോട്ടേഷന് ഉപയോഗിച്ചു്. സംസ്കൃതത്തില് നിന്നു (ദേവനാഗരി) ഉദ്ധരണികളുമുണ്ടു്.
ഗവേഷണപ്രബന്ധമായതുകൊണ്ടു സമഗ്രമല്ല. ഭാരതീയഗണിതം മുഴുവന് സ്പര്ശിക്കുന്നില്ല എന്നര്ത്ഥം. അതുപോലെ ക്രോണോളജിക്കല് അല്ല, കാറ്റഗറിക്കല് ആണു്. പക്ഷേ അതു കൂടുതല് പ്രയോജനപ്രദമാണു്.
അതേ, ഞാന് ചോംസ്കിയുടെ ഭാഷാപഠനങ്ങളാണു് ഉദ്ദേശിച്ചതു്. പൊളിറ്റിക്സ് താത്പര്യമില്ലാത്തതുകൊണ്ടു മറ്റേതു വായിച്ചിട്ടില്ല. സത്യം പറഞ്ഞാല് ഞാന് ചോംസ്കിയെപ്പറ്റി കേട്ടിട്ടുള്ളതല്ലാതെ വായിച്ചിട്ടില്ല.
പാണിനിയെപ്പറ്റിയുള്ള ഇംഗ്ലീഷ് വിക്കിപീഡിയ ലേഖനവും പെരിങ്ങോടന് മലയാളം വിക്കിപീഡിയയ്ക്കു വേണ്ടി തയ്യാറാക്കിയ മലയാളതര്ജ്ജമയും വായിക്കുക. പാണിനീയത്തിലെ ഗണിതത്തെയും അല്ഗരിതത്തെപ്പറ്റിയും ഒരു പോസ്റ്റെഴുതണമെന്നുണ്ടായിരുന്നു. ആവശ്യത്തിനുള്ള വായന ഇതുവരെ നടന്നില്ല.
Umesh::ഉമേഷ് | 27-Sep-06 at 8:17 pm | Permalink
സന്തോഷ്,
ഹരണത്തിന്റെ ഈ മൂന്നു നിര്വ്വചനങ്ങളും അറിഞ്ഞിരിക്കേണ്ടതു് ആവശ്യമാണു്. പല സന്ദര്ഭത്തില് പല നിര്വ്വചനങ്ങളാണു് ആവശ്യം വരിക.
ഏതു് ആദ്യം കുട്ടികളെ പഠിപ്പിക്കും എന്നതു് ഒരു പ്രശ്നമാണു്. അദ്ധ്യാപകരാരെങ്കിലും പറയട്ടേ.
ഇതേ പ്രശ്നം വ്യവകലനത്തിനുമുണ്ടു്. 10 - 4 = 6 എന്നു വെച്ചാല് എന്താണു്? “പത്തില് നിന്നു നാലു പോയാല് എത്ര? 6” എന്നോ, “നാലിനോടു് എത്ര കൂട്ടിയാല് പത്തു കിട്ടും? 6” എന്നോ?
രണ്ടാമത്തേതാണു് ഒന്നുകൂടി നല്ലതെന്നു പല അദ്ധ്യാപകരും വാദിക്കുന്നുണ്ടു്.
സിദ്ധാർത്ഥന് | 27-Sep-06 at 8:26 pm | Permalink
ഡാലിയുടെ ബ്ലോഗിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗമിറങ്ങിയതു ഞാനിപ്പഴാ കണ്ടതു് ഗുരുക്കളേ/ഡാലിയേ. ഇനി അതൊക്കെ ഒന്നു നോക്കി വരട്ടെ. അതിനു മുന്പു് പ്ലേസ് വാല്യൂ-വിനുള്ള ഒരു തമിഴ് ചൊല്ലു പറയാന് വന്നതാ. എന്തിനാ സംസ്കൃതമാലോചിച്ചു ബുദ്ധി മുട്ടുന്നതു്. ഇനി ജ്യോതി ടീച്ചര് അതു പറഞ്ഞാലും ആര്ക്കു മനസ്സിലാകും? അപ്പൊ തമിഴിങ്ങനെ:
പരമശിവന് കഴുത്തിലിരുന്തു് പാമ്പു കേട്ടതു് “ഗരുഡാ സൌഖ്യമാ?”
“യാരും ഇരുക്ക വേണ്ടും ഇടത്തില് ഇരുന്താല് എല്ലാമേ സൌഖ്യം താന്” എന്നാന് ഗരുഡന്.
സിദ്ധാർത്ഥന് | 27-Sep-06 at 8:43 pm | Permalink
ഹരണത്തെ പറ്റി ഒന്നു്:
ഞാന് പഠിപ്പിക്കാറുള്ളതു് 10/2 10-ല് നിന്നു് രണ്ടു് എത്ര തവണ എടുക്കാം എന്ന രീതിയിലാണു്.
ഒരിക്കലെടുത്തു ബാക്കി 8
പിന്നെ.. ബാക്കി 6
…
ബാക്കി 0
“ഇനി പറ്റുമോ?”
“ഇല്ല” കുട്ടികളുടെ കോറസ്
അപ്പോ എത്ര തവണ?
“5” വീണ്ടും കോറസ്
ഈ രീതിയില് ഇന്ഫിനിറ്റിയെ ഇങ്ങനെ പറയും:
ഇനി പത്തില് നിന്നു് പൂജ്യം എടുത്തെന്നു പറയുക.
ഒരു വട്ടമെടുത്തു ബാക്കി എത്ര? 10
രണ്ടു്
….
അങ്നനെ എത്ര തവണ എടുക്കാം?
“എത്രവേണെങ്കിലും” കോറസ്
ഉടനെ ഒരു എട്ടിനെ കിടത്തി ബോർഡിലിടുന്നു. സംഗതി ശുഭം.
ഇനി വാലന്മാരാരെങ്കിലും തുടക്കത്തിലേ അതെങ്ങനാ മാഷെ 10- നിന്നു് പൂജ്യമെടുക്കുന്നതു് എന്നു ചോദിച്ചാല് ചൂരലെടുത്തു് മേശപ്പുറത്തു രണ്ടു പെട.
atulya | 28-Sep-06 at 2:41 am | Permalink
സിദ്ധാർത്ഥa.. 10/10 and *****
Atulya
നളന് | 28-Sep-06 at 4:03 am | Permalink
സിദ്ധാര്ത്ഥാ,
അതു രസിച്ചു, കുട്ടികള്ക്കു ലിമിറ്റിനെ പറഞ്ഞുകൊടുത്ത് കുളമാക്കാത്തതാ നല്ലത്
ഇഞ്ചിപ്പെണ്ണ് | 28-Sep-06 at 4:57 am | Permalink
ഞാനൊരു അഭിപ്രായം പറയട്ടെ?
എനിക്ക്തോന്നുന്നത് ഈ നോസ്റ്റ്രഡാാമസിന്റെ പ്രവചനങ്ങള് നിര്വചിക്കുന്ന പോലെയാണ് ആധുനികസയന്സിന്റെ തിയറി എടുത്ത് മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില് ഉണ്ടെന്ന് പറയുന്നതെന്ന് എനിക്ക് പലപ്പോഴും തോന്നിയിട്ടുണ്ട്. കാരണം പ്രവചനം നടന്ന് കഴിയുമ്പോഴാണ് ദേ അത് നോസ്റ്റ്ര്ഡാമസും പറഞ്ഞിരുന്നു എന്ന് എല്ലാരും പറയാ.അതിന് മുന്പ് പറയില്ല..
അതുപോലെ തന്നെയാണ് ഈ അധുനിക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ തിയറി എടുത്ത് ദേ പണ്ടേ ഞങ്ങ ഇത് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടെന്ന് പറയുന്നത്. ഇത് പറയുമ്പോള് ഉടനെ ഞാന് കേള്ക്കുന്ന പഴി, ഭാരത പൈതൃകത്തില് എനിക്ക് അഭിമാനം ഇല്ലാന്നാണ്. ഇല്ലാത്ത ഉപ്പൂപ്പാന്റെ ആനയെക്കുറിച്ച് ഞാന് എന്തിന്
വ്യര്ത്ഥമായി അഭിമാനപ്പെടണം എന്ന് എനിക്കിപ്പോഴും മനസ്സിലായിട്ടില്ല.
പക്ഷേങ്കില് പക്ഷേങ്കില് എവിടെയൊക്കെയൊ രണ്ട് തോട്ട് പ്രോസസ്സിനും ഒരു സാമ്യം ഉണ്ടെന്നും പറയാതെ ഇരിക്ക വയ്യ.
daly | 28-Sep-06 at 6:50 am | Permalink
സന്തോഷ് ചേട്ടാ:
“0/10 = 0 എന്ന് പഠിപ്പിക്കാന് “ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള് ആക്കിയതില് എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0” എന്ന് പറഞ്ഞാല് പോരല്ലോ ഡാലീ.“
പ്രൈമറി കുട്ടികളെ വളരെ കൃത്യമായി പഠിപ്പിക്കാന് ഒരു കുഞ്ഞ് തിരുത്ത് മതി.
0/10 = 0 എന്ന് പഠിപ്പിക്കാന് “ഒരു കേക്ക് 10 “തുല്യ“ കഷ്ണങ്ങള് ആക്കിയതില് എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0”
“തുല്യ‘ എന്നൊരു വാക്ക് കൊണ്ട് കാര്യം കഴിഞ്ഞു.
സങ്കീര്ണ്ണമായി ഗണിതം പഠിപ്പിക്കാനൊരുങ്ങിയാല് കുട്ടികള്ക്ക് അത് വെറുത്ത് പോവുകയേ ഉള്ളൂ.
ഉമേഷ്ജി: 0/0 = undefined ഉം indeterminate ഉം ആണെന്ന് അപ്പുറത്തൊരു അനൊണി പറയുന്നു. എന്തായലും 0/ഇന്ഫിനിറ്റി = undefined എന്നു തന്നെയാണ് ഞാന് കാണുന്നത്.
ഉമേഷ്ജി നോക്കി പറയുന്നത് വരെ കാത്തിരിക്കാം.
wakaari | 28-Sep-06 at 7:11 am | Permalink
അദ്വൈതം-അറിയില്ല
ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്- പഠിച്ചിട്ടുണ്ട് (അങ്ങിനെയെങ്കില് ഹിസ്റ്ററിയും ജ്യോഗ്രഫിയും ബയോളജിയും കെമിസ്ട്രിയും കണക്കും എല്ലാം പഠിച്ചിട്ടുണ്ട്- കിം ഫലം).
അപ്പോള് പിന്നെ - ഓഫ്
ഓഫ് നമ്പ്ര് ഒണ് (കൊല്ലം കാര് വണ്ണിന് ഒണ് എന്നാണോ പറയുന്നത് ദേവേട്ടാ)- ഓഫിനു നമ്പ്ര് കൊടുക്കുന്നതിന് കഃട് ദേവേട്ടനാണോ?
ഉമേഷ്ജിയുടെ പല പോസ്റ്റുകളിലും ഞാന് കാണാത്ത ഒരു അദൃശ്യ ശത്രുവിനെ കാണുന്നു-അതായത് “ആര്ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള്“- ഇവര് ആരാണെന്ന് ഇതുവരെ പിടികിട്ടിയിട്ടില്ല ഉള്ളത് പറഞ്ഞാല് ഉമേഷ്ജിയുടെ ബ്ലോഗ് വഴിയാണ് ഇങ്ങിനത്തെ പല വാദങ്ങളും നമ്മുടെ നാട്ടില് ഉണ്ട് എന്ന് ഞാന് അറിയാന് തുടങ്ങിയത്. ആ ആധുനിക വക്താക്കള് നമ്മള് തല പുകയ്ക്കാനും മറ്റും മാത്രമുള്ള അറിവും വിജ്ഞാനവുമൊക്കെയുള്ളവരാണോ? അവര് ആധികാരികമായി അല്ല പറയുന്നതെങ്കില്, അവരുടെ ഉദ്ദേശ്യം നേരായതല്ല എന്നാണെങ്കില് അവര് അങ്ങിനെ പറഞ്ഞു, ഇങ്ങിനെ പറഞ്ഞു എന്ന് പറഞ്ഞ് നമ്മള് അവരെ പരാമര്ശിക്കാന് കുറച്ച് കൂടുതല് വാക്കുകള് ടൈപ്പ് ചെയ്ത് സമയം കളയേണ്ടതുണ്ടോ? (എന്റെ അജ്ഞതയാണ് ഈ ചോദ്യരൂപത്തില് അവതരിച്ചത്-ദയവായി ക്ഷമിക്കുക).
ഓഫ് നമ്പ്ര് രണ്ട്- “പലപ്പോഴും, ഗുണമുള്ള ഗവേഷണങ്ങള് ഗവേഷകരില് നിന്നല്ല, ഹോബിയായി അവ ചെയ്യുന്നവരില് നിന്നാണു കിട്ടുക“- ഇത് ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേക ഗവേഷണ ശാഖയിലെ ഗവേഷകരെ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ള കമന്റായിരുന്നോ അതോ ആഗോളവ്യാപകമായി ഉള്ള എല്ലാ ഗവേഷകരെയും ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളതാണോ? ഇത് എത്രത്തോളം ശരിയാണ്? (പലപ്പോഴും എന്ന് കൈമള് ചേട്ടനെ കണ്ടിരുന്നു-എങ്കിലും).
ഓഫ് നമ്പ്ര് മൂന്ന്- “ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില് പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില് ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്.“
അതുപോലെ തന്നെ ശക്തമായ മറ്റൊരു സ്വഭാവമാണ് ആരെങ്കിലും വ്യക്തമായ അക്കാഡമിക് ഉദ്ദേശ്യത്തോടെയും താത്പര്യത്തോടെയും തുറന്ന മനസ്സോടെയും ഇക്കാര്യങ്ങളെ സമീപിക്കുമ്പോള് അവരെയെല്ലാം നിരുത്സാഹപ്പെടുത്തുന്നതും അവര് പറയുന്ന കാര്യങ്ങളെ പൂര്ണ്ണമായും മനസ്സിലാക്കാതെ അവരുടെ ഉദ്ദേശശുദ്ധിയെ ചോദ്യം ചെയ്യുന്നതും. ഇതൊന്നും വേണ്ട എന്നുള്ള സമീപനം. ചില കീ വേഡുകള് മാത്രം മതി, ലേബല് വീഴാന്. പിന്നെ വലിയ പാടാണ്.
ഇല്ലാത്ത പെരുമയും മേന്മയുമൊന്നും വേണ്ട-പക്ഷേ ഉള്ളത് ഉള്ളതുപോലെ അറിയണം എന്ന ആഗ്രഹം ഉണ്ട്. പലപ്പോഴും ഞാന് മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം ഉള്ള കാര്യങ്ങള് ഉള്ളതുപോലെയല്ല പകര്ന്ന് കിട്ടിയിരിക്കുന്നത്.
എന്തായാലും ചര്ച്ച നല്ല രീതിയില് പുരോഗമിക്കട്ടെ. ഡാലിയുടെ രണ്ട് പോസ്റ്റും ഉമേഷ്ജിയുടെ ഈ പോസ്റ്റും കുത്തിയിരുന്ന് വായിക്കണം.
(ഇന്ത്യാ ഹെറിറ്റേജിന് എന്തെങ്കിലും പറയാന് കാണുമോ എന്നും കൂടി അറിയാന് ഒരു ആകാംക്ഷ-പ്രത്യേകിച്ചും ശ്ലോകങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാനങ്ങളില്).
രാജ് നായര് | 28-Sep-06 at 8:07 am | Permalink
വിഷയേതരം (വക്കാരിയോട്):
വക്കാരീ ഭാരതീയ-പഠനങ്ങളില് അക്കാദമിക് താല്പര്യമൊന്നുമില്ലെന്നേ വെറും സംഘ്പരിവാര് താല്പര്യം മാത്രം. വക്കാരിയെ ആരോ തെറ്റിദ്ധരിപ്പിച്ചിരിക്കുവാ
David Frawley -യുടെ ചരിത്രപഠനങ്ങള് മിക്കതും ഊഹക്കണക്കാണെങ്കിലും ‘വളച്ചൊടിക്കലുകളല്ല’, എന്നിട്ടും In Search of the Cradle of Civilization എഴുതിയപ്പോള് അങ്ങേര്ക്ക് വീണ ലേബല് ‘ആര്.എസ്.എസ്’ എന്നായിരുന്നല്ലോ. ഭഗവദ്ഗീത എനിക്കിഷ്ടപ്പെട്ട കൃതി എന്നെഴുതിയ ഡോ.ബാബുപോളിനു എന്താണാവോ ലേബല്
chandrakkaran | 28-Sep-06 at 9:29 am | Permalink
രാജേ, പ്രശ്നം റിസള്ട്ടിന്റെയല്ല, മെത്തഡോളജിയുടേതാണ്.
കാടടച്ചുള്ള വെടി മുയലിനും മാനിനും ഒരു പക്ഷേ മതിയാവും. പുലിക്ക് കൊള്ളണമെങ്കില് ഉന്നം തന്നെ പിടിക്കണ്ടേ?
Benny | 28-Sep-06 at 9:42 am | Permalink
വക്കാരി, രാജ്, ചന്ത്രക്കാരന്…. അപ്പോള് അടിയുറപ്പ്.. ദേ ഞാനും എത്തി.
ഡോക്ടര് എം.എസ്. വല്യത്താന് ഇപ്പോള് പുതിയൊരു പ്രൊജക്റ്റ് ചെയ്യുന്നുവെന്ന് എഴുത്താളന് പറഞ്ഞു. ആയുര്വേദത്തില് എന്തെങ്കിലും സത്യമുണ്ടോ എന്ന് അന്വേഷിക്കാനാണെത്രെ വല്യത്താന്റെ ശ്രമം. അപ്പോ, റിസള്ട്ടിനു വേണ്ടി മെത്തഡോളജിയെ (പ്രോസസ്സിനെ) മെരുക്കുകയാണ് വല്യത്താനെന്നാണോ ചന്ത്രക്കാരന് പറയുന്നത്?
Shiju | 28-Sep-06 at 11:25 am | Permalink
ഡലിയുടെ പോസ്റ്റില് അനോനി ചേട്ടന് ഈ പോസ്റ്റിനെ പറ്റി നടത്തിയ അഭിപ്രായപ്രകടനം. ഉമേഷ്ജി മറുപടി ഇടുമെന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
Anonymous said…
Umesh ഒരു കലക്കു കലക്കിയിട്ടുണ്ടല്ലൊ!!!
ഏവിടുന്നു കിട്ടി ഈ സാധനം?
ഡാലീ , ഡാലി Umesh-ഇന്റെ ബ്ലൊഗില് ഇട്ട ആ കൊമ്മെന്റില് ഒരു തെറ്റുണ്ടല്ലൊ. 0/0 indeterminate ആണു. പ്ക്ഷെ 0/0 undefinedum aanu. Wikipedia-(http://en.wikipedia.org/wiki/Indeterminate_form) തെറ്റില്ല. തെറ്റു പറ്റിയതു മുഴുവന് Umesh-നാണു. വെറുതെ mathematics-ഇനൊടു വേണ്ട കളി. ആമേയവും(indeterminate), infinity, undefined എല്ലാം ഒന്നായി കാണുന്ന Umesh-ന്റെ logic-നെ വിശദീകരിക്കാന് സര്വവും ബ്രഹ്മ മയം എന്ന Indian സാധനം വേണ്ടി വരും. mathematics ഒരുപാടു മുന്നേറി. Closed set open set ഒക്കെ മറന്നു അല്ലെ? അടി മേടിക്കുമേ, കൂടെ impossision-ഉം തരും.
Umesh, ആ ബ്ലൊഗിലെ തെറ്റെല്ലാം തിരുത്തി ഒന്നുക്കൂടെ ഇടൂ.
ബ്ലൊഗില് പുരൊഗതി ഉണ്ടു. Scientist-കള് അവസാനം വേദാന്തികലാകുന്നതു കണ്ടിട്ടില്ലേ, അതുപേലെ വേദം മനസ്സിലാക്കാന് ഇറങുന്നവര് അവസാനം mathematics-ല് വന്നടിയും. അപ്പോള് mathematics നല്ലപോലെ മനസ്സിലാക്കണം. philosophy-യെ interpret ചെയ്യുന്നപോലെ mathematics-നെ interpret ചെയ്യരുതു. Postulates, hypothesis, rules, axioms etc… constraints-കള്ക്കുള്ളില് ബന്ധിതമാണു mathematics.
ഷിജു: :Shiju said…
അനോനി ചേട്ടാ,
ഉമേഷ് പറഞ്ഞത് തെറ്റാണ് എന്ന പ്രസ്താവനയും പിന്നെ Postulates, hypothesis, rules, axioms, constraints തുടങ്ങിയ സംഭവങ്ങള് എന്നെ പോലുള്ള മണ്ടന്മാരുടെ ഇട്ടിട്ടുപോകാതെ എന്താണ് ഉമേഷിന്റെ തെറ്റന്ന് സമര്ത്ഥിക്കൂ. വെറുതേ mathematics-ല് അതുണ്ട് ഇതുണ്ട് എന്നു പറഞ്ഞതു കൊണ്ടായോ. ഞങ്ങളും ഒന്നു മനസ്സിലാക്കട്ടെ.
കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റിലും അനോനി ചേട്ടന് കുറേ പൊതിയാ തേങ്ങകള് ഇട്ടിട്ടു പോയി (സുദര്ശന്, Mathematical physics എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞ്) അതോടെ ആ സംവാദത്തെ കൊന്നു. വെറുതേ ഇങ്ങനെ പ്രസ്താവനകള് ഇറക്കിയിട്ടു പോകാതെ കാര്യ കാരണ സഹിതം വിശദീകരിക്കൂ. ഈ പാവങ്ങളും ഗണിതം കുറച്ചു മനസ്സിലാക്കട്ടെ.
anurananam said…
ഒകെ, ഞാന് കഴിയും വിധം ശ്രമിക്കാം ഷിജു…
പഴയ anony ഞാനായിരുന്നു. ഇനി സ്വന്തം പേരില് എഴുതാം.
iNFINITY മനസ്സിലാക്കാന് ഒരു പാടുമില്ലെന്ന ഉമേഷിന്റെ comment മുതല് തുടണ്ഗാം.
iNFINITY ഒരു limit ആണോ? ആല്ല.
lt x-> 0 1/(1-X) ആണു iNFINITY മനസ്സിലാക്കാന് mathamaticians ഉപയോഗിക്കുന്ന ഏറ്റവും easy method. 1/(1-X) യെ Fourier expansion നടത്തിയ ശേഷം ആ lt x-> 0 എന്നൊന്നു കൊടുത്തു നോക്കു, അപ്പോള് IINITY ചെറുതായി ഒന്നു മന്സ്സിലാകും.
umesh said ”
പറഞ്ഞാല്, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല് 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും“
ഇതു ശരി…
umesh said ”
അപ്പോള് അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള് ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല് “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)“
ഇതു തെറ്റു….
കാരണം,
നമ്മള് ഒരു mathamaticial operation നറ്റത്തുമ്പൊള് ഒരു set ആദ്യമേ define ചെയ്യണം. ആ സെറ്റിനുള്ളില് multiplication operation define ചെയ്താല് division എന്ന operationഉം define ചെയ്യാന് സാധിക്കണം. പൊരതതിനു multiplication operation-ന്റെ inverse ആയിരിക്കണം division.
0 കൊണ്ടുള്ള division സാധ്യമായാല് inverse operation ആയ multiplication നിലനില്ക്കില്ല(not exist).
(1) …..(mult 0)-> (0)
(?) ഉമേഷ് നടത്തിയിട്ടുള്ള എല്ലാ division by 0 യും തെറ്റാണു. ഉമേഷ് പറയാന് ശ്രമിച്ചതിന്റെ backbone തന്നെ തെറ്റാണു.
anurananam said…
ഒരു തെറ്റു പറ്റി,ക്ഷമിക്കൂൂൂ…..
limit x->1 1/(1-x)
എന്നു തിരുത്തി വയിക്കൂ…
x->0 എന്നു എഴുതിയിരിക്കുന്നതു മുഴുവന് തെറ്റാണു
x->1 എന്നതാണു ശരി..
Payyans | 28-Sep-06 at 12:29 pm | Permalink
അദ്വൈതവും ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സും എന്ന വിഷയത്തെക്കുറിച്ച് കൂടുതല് അറിയാന് താല്പര്യമുള്ളവര്ക്ക് രണ്ടു പുസ്തകങ്ങള് നിര്ദേശിച്ചോട്ടേ…
1. Physics and Philosaphy - Heisenberg
2.ഊര്ജ താണ്ഡവം - നിത്യ ചൈതന്യ യതി
ഒന്നിനെ ഉപജീവിച്ചാണ് രണ്ട് തയ്യാറാക്കിയിട്ടുള്ളത്.
ഡോ. വല്യത്താന്റ്റെ പ്റോജെക്റ്റിനെക്കുറിച്ച് സന്ദര്ഭവശാല് കുറച്ചു വിശദമായി എഴുതേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ട് പയ്യന്സിന്.
അത് ആയുര്വേദ സിദ്ധാന്തങ്ങളെ ഒന്നു പുനര്വായിക്കുക മാത്രമാണു ചെയ്യുന്നത്.സത്യം ചികയലോ മാറ്റിപ്പണിയലോ അല്ല. The Legazy of CARAKA എന്നൊരു പുസ്തകം ഇങ്ങ്ളീഷിലും മലയാളത്തിലും വന്നിട്ടുണ്ട്.
സുശ്രുതന് പണിപ്പുരയിലാണ്.
ഓഫ് ടോപ്പിക്കല്ലല്ലോ
Umesh::ഉമേഷ് | 28-Sep-06 at 1:22 pm | Permalink
Undefined എന്നു ഡാലിയും ഷിജുവും പറഞ്ഞതു് indeterminate എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചതുകൊണ്ടാണു് ഇടയ്ക്കു് അവയെയും ഇന്ഫിനിറ്റിയെയും പറ്റി പറയുന്ന ഒരു ഭാഗമുണ്ടായതു്. ആ ഭാഗം നീക്കം ചെയ്തിട്ടുണ്ടു്.
തെറ്റു ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച ഡാലിയ്ക്കും അനുരണനത്തിനും നന്ദി.
പക്ഷേ ഇപ്പോള് ലേഖനത്തിനുള്ള ഭാഗം (ഇന്ഫിനിറ്റിയെപ്പറ്റി പറയുന്നതു്) തെറ്റാണെന്നു തോന്നുന്നില്ല (അനുരണനം പറയുന്നതുപോലെ). (a/0) = infinity എന്നു പറയുമ്പോള് ഗുണനത്തിന്റെയും ഹരണത്തിന്റെയും വിപരീതസ്വഭാവം അനുസരിച്ചു 0 x infinity = a ആണെന്നു വരും. ഇതു തെറ്റായതുകൊണ്ടാണു് (0 x infinity ഏതു മൂല്യവുമാകാം, അതായതു് indeterminate) (a/0) എന്ന ക്രിയ undefined ആയി നിര്വ്വചിച്ചതു്. Fundamental theorem of Arithmetic തെറ്റാതിരിക്കാന് 1-നെ അഭാജ്യസംഖ്യയാക്കാഞ്ഞതു പോലെ.
Real numbers-നെപ്പറ്റിയുള്ള തത്ത്വങ്ങള്ക്കു set theory-യുടെയും complex analysis-ന്റെയും അടിസ്ഥാനത്തില് പുതിയ മാനങ്ങള് വരുന്നുണ്ടു്. ഉദാഹരണത്തിനു്, “കൃത്യം രണ്ടു ഘടകങ്ങളുള്ള (ഒന്നും അതു തന്നെയും) സംഖ്യ” എന്നു് അഭാജ്യസംഖ്യയെ നിര്വ്വചിക്കാം. 1-നു് ഒരു ഘടകമേ ഉള്ളൂ എന്നതുകൊണ്ടു് അതു് അഭാജ്യമല്ല എന്നും.
Complex numbers കൂടി കണക്കിലെടുത്താല് ഇതു പിന്നെയും മാറും. അവയിലും അഭാജ്യ/വിഭാജ്യസംഖ്യകളുണ്ടു്. സംഖ്യകളേ അല്ലാത്ത polynomials തുടങ്ങിയവയ്ക്കും ഈ നിര്വ്വചനങ്ങളുണ്ടു്. അല്പം വ്യത്യാസമുണ്ടു് എന്നു മാത്രം.
ഇവിടെയാണു് set theory-യുടെ പ്രസക്തി. പറയുന്ന ക്രിയയുടെ domain വ്യക്തമായി പറയണം എന്നതാണു് അതിന്റെ ഒരു കാതല്. Domain പറയാതെ പറയുന്ന എന്തു കാര്യവും വ്യക്തമാവില്ല.
ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രലേഖനത്തില് ഉണ്ടാകേണ്ട കൃത്യത നിര്വ്വചനങ്ങളിലും മറ്റും എന്റെ പോസ്റ്റുകളിലുണ്ടാകാറില്ല എന്ന പ്രശ്നം ഞാന് സമ്മതിക്കുന്നു. ചില കാര്യങ്ങള് assume ചെയ്തു കൊണ്ടുള്ള ഒരു സമീപനമാണു് എന്റേതു്. ഒരു ഗണിതലേഖനത്തില് അതു പോരാ. എല്ലാം വ്യക്തമായി നിര്വ്വചിക്കണം.
അനുരണനത്തിനു് ഒരിക്കല്ക്കൂടി നന്ദി.
Umesh::ഉമേഷ് | 28-Sep-06 at 1:29 pm | Permalink
ഗവേഷകരെപ്പറ്റി പറയുന്ന ഭാഗത്തിന്റെ ഘടനയും വാക്യങ്ങളും മാറ്റിയിട്ടുണ്ടു്. ദുരര്ത്ഥം ഒഴിവായി എന്നു പ്രതീക്ഷിക്കട്ടേ.
Umesh::ഉമേഷ് | 28-Sep-06 at 2:23 pm | Permalink
വക്കാരീ,
ഉമേഷ്ജിയുടെ പല പോസ്റ്റുകളിലും ഞാന് കാണാത്ത ഒരു അദൃശ്യ ശത്രുവിനെ കാണുന്നു-അതായത് “ആര്ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള്”- ഇവര് ആരാണെന്ന് ഇതുവരെ പിടികിട്ടിയിട്ടില്ല
മുമ്പുള്ളതിനെ വിമര്ശിച്ചും തെറ്റുകള് തിരുത്തിയുമുള്ള തികച്ചും ശാസ്ത്രീയമായ ഒരു മുന്നേറ്റമായിരുന്നു ഭാരതീയവൈജ്ഞാനികശാഖയ്ക്കുണ്ടായിരുന്നതു്. പാണിനി പറഞ്ഞതിലെ തെറ്റുകള് (പാണിനീസൂത്രങ്ങള് സാക്ഷാല് പരമശിവന് പറഞ്ഞുകൊടുത്തതാണു് എന്ന ഐതിഹ്യമുണ്ടായിട്ടുകൂടി) ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച കാത്യായനനെപ്പോലുള്ളവരെയും, ആര്യഭടന്റെ പല കണ്ടെത്തലുകളും തെറ്റാണെന്നു് 55 കൊല്ലം നക്ഷത്ര-ഗ്രഹ-നിരീക്ഷണം മാത്രം നടത്തി ഗവേഷണം നടത്തിയ ദൃഗ്ഗണിതകാരന് പരമേശ്വരനെപ്പോലുള്ളവരെയും നമ്മുടെ പൂര്വ്വികര് അംഗീകരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. പക്ഷേ, അടുത്ത കാലത്തായി ആര്ഷജ്ഞാനം കുറ്റമറ്റതാണെന്നുള്ള ഒരു വാദം പ്രബലമാകുന്നുണ്ടു്. (അടുത്ത കാലം എന്നു പരയുന്നതിനു് ഒരു നൂറ്റാണ്ടില് കൂടുതല് ദൈര്ഘ്യമുണ്ടു്. സ്വാമി ദയാനന്ദസരസ്വതിയുടെ “വേദങ്ങളിലേക്കു മടങ്ങുക” എന്ന ആഹ്വാനം തൊട്ടു് ഇതു കാണാം.) സാമൂഹികമായി ഇതൊരു ആവശ്യമായിരിക്കാം-ഭാരതീയ(ഹൈന്ദവ)സംസ്കാരത്തെ മറന്നുകൊണ്ടുള്ള മാറ്റങ്ങളെ നിയന്ത്രിക്കേണ്ടതു് ആവശ്യമായിരുന്നു എന്ന അര്ത്ഥത്തില്. പക്ഷേ, വൈജ്ഞാനികമായി ഇതൊരു ദുരന്തമാണു്.
ഒരു ഉദാഹരണം മതിയോ? “വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ്” എന്നു പറഞ്ഞു് പുരി ശങ്കരാചാര്യരായിരുന്ന ശ്രീ ഭാരതി കൃഷ്ണതീര്ത്ഥജിയുടെ (1884-1960)കുറിപ്പുകളില് നിന്നു് ഉണ്ടാക്കിയ പുസ്തകവും അതിനോടനുബന്ധിച്ചുണ്ടായ മറ്റു കൃതികളും. ഈ പുസ്തകത്തില് പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പല വിദ്യകളും വളരെ നല്ലതാണു്. പക്ഷേ, അവ വേദങ്ങളിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു പറയുന്നതു്, എന്റെ അഭിപ്രായത്തില്, ശുദ്ധഭോഷ്കാണു്. ഇതുപോലെയുള്ള അവകാശവാദങ്ങള് വെബ്പേജുകളായും ഇ-മെയിലുകളായും മറ്റും ധാരാളം കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. ഇവ യഥാര്ത്ഥത്തില് ഭാരതീയവൈജ്ഞാനികസംസ്കാരത്തിന്റെ വില കെടുത്തിക്കളയുന്നതാണു്. (താരതമ്യപഠനം നടത്തുന്ന ഡാലിയുടെ ലേഖനം ഇതില് പെടില്ല എന്നും പറഞ്ഞുകൊള്ളട്ടേ.)
പെരിങ്ങോടാ,
വിഷയങ്ങള് കൂട്ടിക്കുഴയ്ക്കല്ലേ. നെല്ലും പതിരും തിരിച്ചറിയണം എന്നാണു് എന്റെ വാദം. അതു് ആരു പറഞ്ഞാലും.
സംഘപരിവാറും ആര്. എസ്. എസുമൊക്കെ ചില നല്ല കാര്യങ്ങള് ചെയ്തിട്ടുണ്ടെന്നും മറക്കരുതു്. അടുത്ത കാലത്തു് അവര് പല പഴയ പുസ്തകങ്ങളും പുനഃപ്രകാശനം ചെയ്തിരുന്നു. പഴയ പല കാര്യങ്ങളും (ചരിത്രം ഉള്പ്പെടെ) ഗവേഷണം ചെയ്യാനും അവര് ശ്രമം നടത്തിയിട്ടുണ്ടു്.
ഗവേഷണഫലങ്ങള് ഉപയോഗിക്കാന് അവയോടു യോജിക്കണമെന്നില്ല. അതില് നിന്നും നെല്ലും പതിരും (ഈ നിര്വ്വചനവും ആപേക്ഷികമാണു് എന്നു ഞാന് സമ്മതിക്കുന്നു) തിരിച്ചെടുക്കേണ്ടതു് ആവശ്യമാണു്. സംഘപരിവാര് ആയാലും മാക്സ് മുള്ളര് ആയാലും അദ്വൈതമായാലും ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തമായാലും.
പെരിങ്ങോടന് ഈയിടെയായി എന്തിലും ഇതെടുത്തിടുന്നുണ്ടല്ലോ. പെരിങ്ങോടന് ഒരു മഞ്ഞക്കണ്ണട ഇടയ്ക്കിടെ വെയ്ക്കുന്നു എന്നു് എനിക്കു തോന്നുന്നതു് എന്റെ കണ്ണില് എപ്പോഴും മറ്റൊരു നിറത്തിലുള്ള കണ്ണട ഉള്ളതു കൊണ്ടാണോ?
രാജ് | 28-Sep-06 at 3:08 pm | Permalink
അയ്യോ ഉമേഷ്ജി അതെന്റെ കണ്ണടയല്ല, വഴിയില് കിടന്നു കിട്ടിയതാ, അത് ഞാന് വക്കാരിക്ക് കാണിച്ചു കൊടുത്തതല്ലേ. തെറ്റിദ്ധരിക്കരുത്. ഡാ വക്കാരീ നോക്കെഡാ ഉഗ്രന് കണ്ണട എന്ന് ഞാന് പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടെങ്കില് അത് സര്ക്കാസ്റ്റിക്കായിട്ടാ
വക്കാരി പറഞ്ഞ ഒന്ന് മാത്രമാണ് കാര്യം, അക്കാദമിക് താല്പര്യവും രാഷ്ട്രീയ താല്പര്യവും തരം തിരിച്ചു കാണുവാന് ബഹുഭൂരിപക്ഷത്തിനും കഴിയുന്നില്ല, വക്കാരിയുടെ ആ അഭിപ്രായത്തിനോടു യോജിക്കുക മാത്രമായിരുന്നു എന്റെയും ഉദ്ദേശം.
കൂമന്സ് | 28-Sep-06 at 3:56 pm | Permalink
ഒന്ന് ഓഫടിച്ചോട്ടെ. “പല നല്ല കാര്യങ്ങളിലും (ചരിത്രമടക്കം) സംഘപരിവാര് ഗവേഷണം നടത്തുന്നുണ്ടെന്നതു ശരി തന്നെ. പക്ഷേ, പലപ്പോഴും ഗവേഷണത്തിന്റെ റിസള്ട്ട് പ്രീഎംപ്റ്റ് ചെയ്യുമെന്നേ ഉള്ളു. “ചരിത്രകാര“ന്മാരായ എന് ഝാ, എന് എസ് രാജാറാം എന്നിവരൊക്കെ നടത്തിയ ഹോഴ്സ് സീല് ഗവേഷണത്തെ പറ്റി പണ്ട് ഫ്രണ്ട് ലൈനില് വായിച്ചതായി ഓര്ക്കുന്നു. അതിനെ ഉയര്ത്തിപ്പിടിച്ച് സംഘപരിവാര് ധാരാളം ലിറ്ററേച്ചര് എഴുതിപ്പിടിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ആര്യന്മാര് ഹാരപ്പ/മോഹന്ജദാരോ സംസ്കാരത്തിന്റെ തുടര്ച്ച മാത്രമാണെന്നും അവര് പുറമേ നിന്നു വന്നവരല്ല എന്നുമൊക്കെ തെളിയിക്കണമെങ്കില് പണ്ടെന്നോ കുഴിച്ചെടുത്ത കാളയുടെ സീല് എന്ന് ചില ചരിത്രകാരന്മാര് പറയുന്ന സാധനം കുതിരയുടെ സീലാണെന്നു തെളിയിക്കണം. കാരണം ആര്യന്മാര്ക്കു മുന്പ് കുതിരകള് ഇന്ത്യയില് ഉണ്ടായിരുന്നില്ലെന്നാണ് പ്രബലമായ വിശ്വാസം. അവ ആര്യന്മാരോടൊപ്പം വന്നതാണത്രേ. ഹാരപ്പ സംസ്കൃതിയിലെങ്ങും കുതിരകളെപ്പറ്റിയുള്ള പരാമര്ശമില്ലത്രേ. കൂട്ടത്തില് അവര് ഒന്നു കൂടി ചെയ്തു. ഹാരപ്പ ലിപികള് അവര് വായിക്കാനുള്ള സൂത്രവും കണ്ടു പിടിച്ചു. എന്നിട്ട് ഒറ്റയിരുപ്പിനു അവയൊക്കെ വായിച്ചപ്പോളല്ലേ കാര്യം പിടി കിട്ടിയത്! വേദങ്ങളിലും ഹാരപ്പന് ലിപികളിലും ഏതാണ്ടൊരേ കാര്യമാണത്രേ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നത്! ഇതൊക്കെ എന്റെ ഭാവനയല്ല, ഫ്രണ്ട്ലൈനും റൊമീലാഥാപ്പറും ഒക്കെ പറയുന്ന കാര്യം. ശരിയാവാനിടയില്ല. അവറ്റകള് കള്ളക്കമ്മ്യൂണിസ്റ്റുകളാണെന്നേ!
(ഓഫടിച്ചതിനു ഉമേഷ്ജിയോട് ക്ഷമ ചോദിക്കുന്നു)
ദേവരാഗം | 28-Sep-06 at 3:57 pm | Permalink
ഗുരുക്കളേ & പാപ്പാനേ
ഒരു വിശദീകരണം നേരത്തേ ശാന്തിമന്ത്രത്തെപറ്റി ഡാലിയുടെ എഴുതിയ കമന്റില് ഇടാന് വിട്ടു.
ഉപനിഷത്തുക്കള് “ഉപ” നിഷത്തുക്കള് ആണ്, ഓരോ വേദത്തിനും താഴെ നില്ക്കുന്നവയാണ്. എന്നതിനാല് ഓരോരോ ഗ്രൂപ്പുകള് ആയി ഇന്നുള്ള നൂറടങ്ങുന്ന എല്ലാ ഉപനിഷമാരെയും അടുക്കിയിരികുന്നു(പണ്ടുള്ള ആയിരത്തില് ഇന്നു മൂന്നേലൊന്നേ തിരിച്ചറിയുന്ന പരുവത്തിലുള്ളുപോലും)
ഓതുന്നതിനു മുന്നേ ഓതിക്കനും കുട്ടികളും ശാന്തിമന്ത്രം ഉരുവിടും. ഇത് ആ വേദത്തിന്റെ സെറ്റില് വരുന്ന ഒരു ഉപനിഷത്തിലെ ഒരു മന്ത്രം ആയിരിക്കും.
റിഗ്വേദത്തിന്റെ ഉപനിഷത്തുക്കള് ( ശ്വേതാശ്വരതം, ഐതരേയം ആദി) തുടങ്ങാനുള്ള ശാന്തിപാഠം
“ഓം സഹ സഹനാവതു സഹ നൌഭുനക്തു സഹവീര്യം കരാവാഹൈ
തേജസ്വിനാവധീതമസ്തു മാ വിദ്വിഷ്യാവഹൈ .. ഓം ശാന്തി” എന്നാണ്
[ വിദ്യ തെളിഞ്ഞ് നമ്മളെല്ലാം വീര്യവും കരുത്തും തേജസ്സും ഓജസ്സും ബോണസ്സും തോമസ്സും ഉള്ളവര് ആയി ഭവിക്കട്ടേ ]
യജുര്വേദക്കീഴെ വരുന്നവ [ഈശാവ്യാസം, ബൃഹദാരണ്യകം, ച്ഛാന്ദോഗ്യം എറ്റ് സെറ്റ്രാ] തുടങ്ങാന് നേരമാണ് പൂര്ണ്ണമദ പൂര്ണ്ണമിദം എന്ന ശാന്തി മന്ത്രം ചൊല്ലുന്നത്. ഇത് ബൃഹദ് ആര്യണകത്തിന്റെ അഞ്ചാമദ്ധ്യായം ഒന്നാം ബ്രാഹ്മണമാണെങ്കിലും യജുര്വേദത്തിന്റെ എല്ലാ ഉപനിഷത്തിനും ശാന്തി മന്ത്രം
ആണല്ലോ, ആ നിലക്ക് വിക്കിയില് എഴുതിയത് ശരിയാണ്.
സാമവേദക്കീഴേവരുന്നവ
“ആപ്യായന്തു മമാംഗാനി വാക് പ്രാണ ചക്ഷു ശ്രോതമതോ ബലം ഇന്ദ്രിയാണി ച സര്വ്വാണി
സര്വ്വം ബ്രഹ്മോപനിഷാദം .. (ബാക്കി ഓര്മ്മയില്ലാ)
”
എന്നും
അഥര്വ്വത്തിനുപനിഷത്തുക്കള് തുടങ്ങുമ്പോല് ചൊല്ലുന്ന ശാന്തിമന്ത്രം
“ഭദ്രം കര്ണ്ണേഭി സൂര്യായ ദേവ…” ആണ് ദാസേട്ടന് വാതാപിഗണപതിം കാസറ്റിന്റെ ശാന്തി മന്ത്രമായി ചൊല്ലിയിരിക്കുന്നത്.
ദേവരാഗം | 28-Sep-06 at 4:07 pm | Permalink
ഓഫ് ഒന്ന്
റിഗ്വേദത്തിന്റെ റി അടിക്കുന്നത് എങ്ങനാപ്പാ?
ഓഫ് രണ്ട്
സുധീറേ
ആര്യന് വന്നവന് ആണെന്നുള്ള തീയറി നിഷേധിച്ചാല് മാത്രമേ ആര്ഷഭാരത കണ്സപ്റ്റ് നിലനില്ക്കുകയുള്ളല്ലോ. പബ്ലീഷ് ഓര് പെറിഷ് ഗവേഷണം മിക്കാവാറും ചതിയും വഞ്ചനയും അസത്യമെന്ന് നിശ്ചയമുള്ളത് കണ്ടെത്തലും അവസാനിക്കും (പ്രയോഗത്തിനു ക്രെഡിറ്റ് ഭിഷഗ്വരശീ നീല് പിങ്കിനിക്ക് )
രാജാറാം ഹാരപ്പന് കാളയെ അഡോബൈസ് ചെയ്ത് കുതിരയാക്കിയത് ആര്യന് ഇന്വേഷന് തീയറിയ് നിഷേധിക്കാനുള്ള ഡെസ്പി സ്റ്റെപ്പ് ആയിട്ടായിരുന്നു.
എന് ജെ മല്ലു | 28-Sep-06 at 4:07 pm | Permalink
ദേവാ, വളരെ നന്ദി ഈ വിവരണത്തിന്. “ഓം സഹ” എന്നു