കുട്ടികള്‍ക്കുള്ളവ

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയും ഗണിതശാസ്ത്രവും

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി ഒരിക്കലെങ്കിലും കളിച്ചിട്ടില്ലാത്തവർ ചുരുക്കമായിരിക്കും. ഇതു കേരളത്തിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങി നിൽക്കുന്ന കളിയല്ല. ലോകത്തിൽ മിക്ക സ്ഥലങ്ങളിലും ഇതിന്റെ വകഭേദങ്ങൾ റാൻഡമായി ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കുട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഇസ്രയേലിൽ റഷ്യൻ ജൂതക്കുട്ടികൾ ഈ കളി കളിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടു് ഡാലി ഫോട്ടോ സഹിതം ഇട്ട കുട്ടികളികൾ (കുട്ടികളികൾ അല്ല ഡാലീ, കുട്ടിക്കളികൾ. ദ്വിത്വസന്ധി!) ആണു് മലയാളം ബ്ലോഗിൽ ഈ കളിയെപ്പറ്റി വന്ന ആദ്യത്തെ വിശദമായ പോസ്റ്റ്. അതിനു കിട്ടിയ കമന്റുകളിൽ നിന്നു പ്രചോദിതയായ ഡാലി പിന്നീടു് ‘അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി’ കളികൾ എന്നും ഒരു പോസ്റ്റെഴുതി. പിന്നീടു മഷിത്തണ്ടിൽ വന്ന അത്തള പിത്തള തവളാച്ചിയും വിക്കിച്ചൊല്ലുകളിൽ ചേർക്കാനുള്ള അനൂപിന്റെ നിർദ്ദേശവും ഇതുപോലെയുള്ള വായ്ത്താരികൾ ധാരാളം നൽകി. എല്ലാവർക്കും നന്ദി.

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ പോസ്റ്റിനു് രണ്ടു മാസം മുമ്പു് എഴുതിയ പോസ്റ്റാണു് ഇതു്. ഡാലിയുടെ പോസ്റ്റുകളിലെയും അവയുടെ കമന്റുകളിലെയും വിവരങ്ങൾ ചേർത്തു് പോസ്റ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യാം എന്നു കരുതി നീട്ടിവെച്ചു. ആ നീട്ടിവെയ്പ്പു് ഒന്നരക്കൊല്ലത്തിലധികം നീളും എന്നു കരുതിയില്ല.

ഇതിൽ ആദ്യം ചേർത്ത വായ്ത്താരികൾ കുറേപ്പേർക്കു് ഈമെയിലയച്ചു കിട്ടിയ മറുപടികളിൽ നിന്നാണു ശേഖരിച്ചതു്. ഇതിലെ വായ്ത്താരികള്‍ അയച്ചു തന്ന അനില്‍, കണ്ണൂസ്, കല്യാണി, തുളസി, ദില്‍ബാസുരന്‍, പച്ചാളം, ബിന്ദു, ബിരിയാണിക്കുട്ടി, മഞ്ജിത്ത്, രാജേഷ് വര്‍മ്മ, ശ്രീജിത്ത്, സന്തോഷ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, സിബു എന്നിവര്‍ക്കു നന്ദി. (ഇവരൊക്കെ ഇതു മറന്നുപോയിട്ടുണ്ടാവും. 2007 ഫെബ്രുവരിയിലാണു സംഭവം!)


സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ ഈ കളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന വായ്ത്താരികൾക്കെല്ലാം ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടെന്നു കാണാം.

കുറേ കുട്ടികൾ തങ്ങളുടെ രണ്ടു കൈകളും (എണ്ണുന്ന ആൾ മാത്രം ഒരു കൈ) തറയിൽ കമഴ്ത്തി വെച്ചാണു കളി തുടങ്ങുക. ഏതെങ്കിലും ഒരു കൈയിൽ നിന്നു് എണ്ണിത്തുടങ്ങും. അവസാനത്തെ വാക്കു് നിൽക്കുന്ന കൈ മലർത്തിവെയ്ക്കും. മലർന്നിരിക്കുന്ന കൈയിലാണു വാക്കെത്തുന്നതെങ്കിൽ ആ കൈ കളിയിൽ നിന്നു മാറ്റും. അടുത്ത എണ്ണം തുടങ്ങുന്നതു് ആ കൈയുടെ പിന്നിലുള്ള കൈയിലാണു്. കളിയിൽ നിന്നു മാറിയ കൈകളെ പിന്നീടു കളിയിൽ ചേർക്കില്ല. അങ്ങനെ അവസാനം ഒരു കൈ ബാക്കി വരും.

ഈ കളി കളിച്ചിട്ടുള്ളവരെല്ലാം ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. എല്ലാ കൈകളും മലർന്നതിനു ശേഷമേ സാധാരണയായി ഒരു കൈ കളിക്കു പുറത്തു പോകാറുള്ളൂ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എല്ലാ കൈകളും മലർക്കുന്നതു വരെ വായ്ത്താരി തീരുന്നതു് ഒരു കമഴ്ന്ന കൈയിൽ ആയിരിക്കും. കുട്ടികളുടെ(കൈകളുടെ) എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു മിക്കപ്പോഴും ശരിയായിരിക്കും.

ഈ പ്രത്യേകത മൂലം ഇത്തരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഏകദേശം റാൻഡമായി, എന്നാൽ എല്ലാവർക്കും തുല്യമായ അവസരം കൊടുത്തു്, ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണമായി, ഒരു കൂട്ടായ്മയിൽ അടുത്ത പാട്ടു പാടേണ്ടതു് ആരാണെന്നു തീരുമാനിക്കാൻ. എല്ലാവരും പാടിക്കഴിഞ്ഞേ ആദ്യം പാടിയ ആൾക്കു വീണ്ടും അവസരം ലഭിക്കൂ.

ഇതെങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും ആലോചിച്ചിട്ടുണ്ടോ? ഇതിന്റെ ഉള്ളുകള്ളി മനസ്സിലാക്കാൻ അല്പം നമ്പർ തിയറിയുടെ സഹായം വേണ്ടി വരും.

ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു് വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണവും കുട്ടികളുടെ എണ്ണവും തമ്മിൽ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യം (Relatively prime/Coprime) ആകുമ്പോഴാണു്.

രണ്ടു സംഖ്യകൾക്കു് ഒന്നിനു മുകളിൽ പൊതുഘടകം ഇല്ലാതെ വരുമ്പോഴാണു് അവ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യങ്ങൾ ആകുന്നതു്. 8, 15 എന്നിവ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യങ്ങൾ ആണു്. (8 = 2 x 2 x 2, 15 = 3 x 5.) എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും (Prime numbers) പരസ്പരം ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യങ്ങളാണു്.

ഉദാഹരണത്തിനു്, ഒരു വായ്ത്താരിയ്ക്കു് 9 വാക്കുകളുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടേ. ഏഴു കുട്ടികൾ/കൈകൾ ഉള്ള ഒരു കളിയിൽ ആദ്യം രണ്ടാമത്തെ കൈ മലർക്കും. പിന്നെ 4, 6, 1, 3, 5, 7 എന്നീ കൈകളും. ഒമ്പതും ഏഴും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളായതു കൊണ്ടാണു് ഇതു്. അതേ സമയം, ആറു കുട്ടികളേയുള്ളെങ്കിൽ 3, 6 എന്നീ കൈകൾ മലർന്നതിനു ശേഷം ബാക്കി കൈകൾ മലർത്തുന്നതിനു മുമ്പു് വീണ്ടും മൂന്നിൽത്തന്നെ എത്തും. ഒമ്പതും ആറും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളല്ലാത്തതു കൊണ്ടാണു് (രണ്ടിനെയും 3 കൊണ്ടു ഹരിക്കാം.) ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു്.

ഇനി, കുട്ടികളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു സംഭവിക്കാൻ എന്താണു വഴി? മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യകളോടും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യമായ ഒരു സംഖ്യ വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണമായി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി. അതിനു് ഏറ്റവും നല്ല വഴി ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ (Prime number) തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണു്.

പറഞ്ഞു വന്നതു്, അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ നല്ല വായ്ത്താരികൾക്കും ഉള്ള ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും എന്നാണു്. അഭാജ്യസംഖ്യകൾ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,… എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു. വായ്ത്താരികളിലെ ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇവയിൽ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും.

ആവണമെന്നു നിർബന്ധമില്ല. മിക്കവാറും സംഖ്യകളോടു പ്രശ്നമില്ലാതിരുന്നാൽ മതി. ഉദാഹരണമായി 25 ഒരു അഭാജ്യമല്ലെങ്കിലും മൊത്തം സംഖ്യകളിൽ അഞ്ചിലൊന്നിനോടേ അതിനു പ്രശ്നമുള്ളൂ എന്നതുകൊണ്ടു് അത്ര ഖണ്ഡങ്ങളുള്ള വായ്ത്താരി ഉപയോഗിക്കാം.

അതുപോലെ, കളിയനുസരിച്ചു് ഇതു മാറാം. ഉദാഹരണമായി അക്കുത്തിക്കുത്തു കളി തുടങ്ങുമ്പോൾ കയ്യുകളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണു്. (എണ്ണുന്ന ആളിന്റെ ഒരു കൈയേ എണ്ണുന്നുള്ളൂ.) എല്ലാ കൈയും മലർന്നതിനു ശേഷം ഈ പ്രത്യേകതയുടെ ആവശ്യവുമില്ല. അതിനാൽ അതിന്റെ വായ്ത്താരി ഇരട്ടസംഖ്യയാവുന്നതിൽ പ്രശ്നമില്ല. സത്യത്തിൽ 2np (ഇവിടെ p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ, n ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ) എന്ന രീതിയിലുള്ള ഏതു സംഖ്യയും ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കാം. 14, 28 തുടങ്ങിയവയ്ക്കു കുഴപ്പമില്ല എന്നർത്ഥം.)

വിശ്വസിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? നമുക്കറിയാവുന്ന വായ്ത്താരികളൊക്കെ ഒന്നു പരിശോധിച്ചു നോക്കാം. നിർത്തുന്ന ഭാഗങ്ങൾ ഒരു വര (-) കൊണ്ടു കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ബ്രായ്ക്കറ്റിലും.

  1. അത്തിള്‍-ഇത്തിള്‍-പറങ്കി-പ്പാള-ചട്ടുമ-ചിട്ടുമ-ചള്‍ (7)
  2. അത്തിളി-മുത്തളി-പറങ്കീ-താളി-സെറ്റുമ്മ-സെറ്റുമ്മ-സാ (7)
    ഇതു മുകളില്‍ കൊടുത്തതു തന്നെയാണെന്നു തോന്നുന്നു.
  3. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താനവ-രുമ്പം-
    കല്ലേ-ക്കുത്ത് ക-രിങ്കു-ത്ത്-
    അക്കര-നിക്കണ-ചക്കി-പ്പെണ്ണിന്റെ-
    കയ്യോ-കാലോ-അടിച്ചൊ-ടിച്ച് -വാ. (17)
  4. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താന വ-രമ്പേല്‍-
    കല്ലേ-ക്കുത്തു ക-ടുംകു-ത്ത്‌
    ചീപ്പു-വെള്ളം-താറാ-വെള്ളം-
    താറാ-മ്മക്കടെ-കയ്യേ-ലൊരു-
    വാങ്ക്‌ (17)
  5. അത്തള-പിത്തള-തവളാ-ച്ചി-
    മുക്കിലി-രിക്കണ -ചൂലാ-പ്പ്‌-
    മറിയം-വന്ന് വി-ളക്കൂ-തി
    ഉണ്ടോ-മാണി-സാറാ-പീറാ-കോട്ട്‌. (17)
  6. അരിപ്പോ-തിരിപ്പോ-
    പന്ത്ര-ണ്ടാനേം-
    ചക്കിട്ട-പൊക്കിട്ട-
    പതിനാം-വള്ളികെ-ന്തൂമ്പു?-
    മുരിക്കിന്‍ -പു (11)
  7. മുരിക്കീലൊ-രിക്കി കെ-ടന്നോ-നെ-
    കൊങ്ങാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ-നെ-
    അത്തര-മുള്ളൊരു -മാട-പ്രാ-വിന്റെ-
    കയ്യൊ-കാലോ-ചെത്തി-കൂട്ട് മ-ടംകൂ-ട്ട് (19)
  8. പരിപ്പു -കുത്തി- പാച്ചോ-റാക്കി
    ഞാനു-മുണ്ട് -സീതേ-മുണ്ട് –
    സീ‍തേ-ടപ്പന്റെ- പേരെന്ത് (11)
  9. inki -pinki -ponki-
    uncle -has a -donkey-
    donkey – died -uncle – cried-
    inki -pinki -ponki (13)
  10. uncle – called the – doctor
    doctor -called the – nurse
    nusre – called the – ambu – lance
    A – B – C (13)
  11. Eena, – meena, – mina, – mo, –
    Catch a – tiger – by his – toe. –
    If – he – squeals, – let ‘im – go, –
    Eena, – meena, – mina, – mo. (17)

    ഈ പാട്ടിനു് അതിഭീകരമായ ഒരു ചരിത്രമുണ്ടു്.

    Eena, meena, mina, mo,
    Catch a nigger by his toe;
    If he squeals, let him go,
    Eena, meena, mina, moe

    എന്നായിരുന്നു ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രൂപം.

  12. Ring – around the – ro – sey-
    A pocket – full of – po – sies –
    Ashes, – ashes –
    We all – fall – down (13)
  13. അഡുപ്പും – തിഡുപ്പും –
    പാദര-പ്പള്ളില്‍-
    ബാങ്ക്‌ – കൊടുക്കും –
    ഏനുപ്പു? (7)
  14. ഞാ-നൊ-രു-മ-നു-ഷ്യ-നെ- ക-ണ്ടു
    അ-യാ-ളു-ടെ-നി-റം-എ-ന്ത്?
    പ-ച്ച. (17)
  15. ഒന്ന്, – രണ്ട്, – മൂന്ന്, – നാല് –
    അഞ്ച്, – ആറു്, – ഏഴ്, – എട്ട് –
    എട്ടും – മുട്ടും – താമര – മൊട്ടും –
    വടക്കോ-ട്ടുള്ള – അച്ഛനു-മമ്മയും
    പൊ-ക്കോ-ട്ടെ. (19)
  16. അത്തിള്‍ – ഇത്തിള്‍ – ബെന്തി-പ്പൂ
    സ്വര്‍ഗ – രാജാ – പിച്ചി-പ്പൂ
    ബ്ലാം – ബ്ലീം – ബ്ലൂം (11)
  17. അരിപ്പോ – തിരിപ്പോ – തോരണി – മംഗലം –
    പരിപ്പൂ – പന്ത്ര – ണ്ടാനേം – കുതിരേം –
    കുളിച്ച് – ജപിച്ച് – വരുമ്പം –
    എന്തമ്പൂ? മുരിക്കുമ്പൂ! (13)
  18. മുരിക്കി – ചെരിക്കി – കെടന്നോ – ളേ
    അണ്ണാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ – ളേ
    അക്കര – നിക്കണ – മാട – പ്രാവിന്റെ –
    കയ്യോ – കാ‍ലോ – രണ്ടാ – ലൊന്ന് –
    കൊത്തി – ച്ചെത്തി –
    മടം കാട്ട് (19)
  19. അരിപ്പ – തരിപ്പ – താലി – മംഗലം –
    പരിപ്പു – കുത്തി – പഞ്ചാ -രെട്ട്
    ഞാനു – മെന്റെ – ചിങ്കിരി – പാപ്പന്റെ
    പേരെന്ത്??? (13)

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ഓരോരുത്തരായി പുറത്തായി അവസാനം ശേഷിക്കുന്ന ആൾ ജയിക്കുമല്ലോ. എവിടെ നിന്നാൽ ഈ അവസാനത്തെ ആൾ ആകാം എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി അറിയാമെങ്കിൽ എപ്പോഴും ജയിക്കാമല്ലോ. അതിനു് എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?

വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 2 ആയാലുള്ള (അതായതു്, ഒന്നിടവിട്ട ആളുകളെ ഒഴിവാക്കിയാൽ) സ്ഥിതിയെപ്പറ്റി ധാരാളം പഠനങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം 1, 2, 3, 4, …. എന്നിങ്ങനെ ആയാൽ അവസാനം അവശേഷിക്കുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ (ഇവിടെ ഒന്നു തൊട്ടാണു് എണ്ണുന്നതു്) 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, …. എന്നിങ്ങനെ ആയിരിക്കും.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാൻ മറ്റൊരു എളുപ്പവഴിയുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തെ ദ്വയാങ്കരീതിയിൽ (binary system) എഴുതുക. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ബിറ്റുകളെ ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം ചാക്രികമായി നീക്കുക (cyclic bit shift). കിട്ടുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഒടുക്കം വരുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ.

ഉദാഹരണമായി, നമ്മുടെ വായ്ത്താരി “അടി, ഇടി” എന്നാണെന്നിരിക്കട്ടേ. “ഇടി” എന്നു പറഞ്ഞു തൊടുന്ന ആൾ പുറത്താകും. ഈ കളി പതിനായിരം കുട്ടികൾ കളിച്ചാൽ ആരു് അവസാനം അവശേഷിക്കും?

10000 എന്ന സംഖ്യ ബൈനറിയിൽ എഴുതിയാൽ 10011100010000. ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം സൈക്ലിക് ബിറ്റ്-ഷിഫ്റ്റ് നടത്തിയാൽ ഏറ്റവും ഇടത്തേ 1 ഏറ്റവും വലത്തു പോകും. അതായതു് 00111000100001 അഥവാ 111000100001. ഇതു് 3617 എന്ന ദശാംശസംഖ്യയ്ക്കു തുല്യമായ ദ്വയാങ്കസംഖ്യയാണു്. അതായതു് ഈ കളിയിൽ 3617-)ം സ്ഥാനത്തു നിൽക്കുന്ന കുട്ടിയായിരിക്കും ജയിക്കുക.


വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു കണക്കുകൂട്ടാൻ ഇതുപോലെ സരളമായ ഒരു രീതി ഇതു വരെ ആരും കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം k എന്നും വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം v എന്നും ഇരിക്കട്ടേ. അപ്പോൾ ഒന്നു തൊട്ടെണ്ണിയാൽ എന്ന കുട്ടി ആദ്യം പുറത്താകും. എന്ന കുട്ടി രണ്ടാമതും. ഇങ്ങനെ അവശേഷിക്കുന്ന ആളെയാണു് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്. നമുക്കു് അയാളുടെ നമ്പറിനെ എന്നു വിളിക്കാം.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം (formula) ഒന്നും ആരും ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, constant time algorithms ഒന്നുമില്ല.

നമ്മൾ സാധാരണ ചെയ്യുന്നതുപോലെ ചെയ്തുനോക്കാം. എണ്ണിത്തന്നെ. എണ്ണി ഓരോരുത്തരെ ഒഴിവാക്കുന്നതിനു പകരം ഓരോ റൌണ്ടിലും ഒഴിവാക്കേണ്ടവരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കിയിട്ടു് (ഉദാഹരണമായി, v = 11 ആണെങ്കിൽ, 11, 22, 33, … എന്നീ നമ്പരുകാരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കുക.) അതിനു ശേഷം എല്ലാവർക്കും പുതിയ നമ്പരുകൾ കൊടുക്കുക. ഇതു് O(v.(log k)) സമയത്തിനുള്ളിൽ ചെയ്യാം. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഇതുതന്നെ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴി.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കുറവും വാക്കുകളുടെ എണ്ണം കൂടുതലുമാണെങ്കിൽ O(k) സങ്കീർണ്ണതയുള്ള ഒരു അൽഗരിതം ഉണ്ടു്. താഴെക്കൊടുക്കുന്ന ആവർത്തക-ഏകദം (recurrence relation) ഉപയോഗിച്ചു ക്രമമായി കണക്കുകൂട്ടുന്നതു്.

ഇവിടെ കുട്ടികളെ 0, 1, …, (k-1) എന്നു് എണ്ണണം.

ഉദാഹരണമായി, വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 11 ആണെന്നിരിക്കട്ടേ. അതായതു്, v = 11.

എന്നിങ്ങനെ. അതായതു് 6 കുട്ടികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ തുടങ്ങുന്ന കുട്ടി മുതൽ നാലാമതു് (3 എന്നാണു് മുകളിൽ ഉത്തരം. പക്ഷേ നമ്മൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്നാണു് എണ്ണൽ തുടങ്ങുന്നതു് എന്നു് ഓർക്കുക.) നിൽക്കുന്ന ആളായിരിക്കും ജയിക്കുക എന്നർത്ഥം. ഒരേ വായ്ത്താരി തന്നെയാണു നമ്മൾ എപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിൽ അതിന്റെ പട്ടിക നേരത്തേ ഉണ്ടാക്കി അതിനനുസരിച്ചു നിന്നു് എപ്പോഴും ജയിക്കാം.

ജോസഫസ് പ്രശ്നം (Josephus Problem) എന്നാണു് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നതു്. ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഫ്ലേവിയസ് ജോസഫസ് എന്ന ജൂതചരിത്രകാരനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു കഥയിൽ നിന്നാണു് ഈ പേരുണ്ടായതു്. അന്നു റോമക്കാർ ജൂതന്മാരെ കൂട്ടമായി വേട്ടയാടുന്ന കാലമാണു്. ജോസഫസ് ഉൾപ്പെടെ 41 പേർ ഒരു ഗുഹയിൽ പെട്ടുപോയി. ചുറ്റും റോമൻ പട്ടാളവും. കീഴടങ്ങലിനേക്കാൾ ഭേദം ആത്മഹത്യയാണെന്നു തീരുമാനിച്ച ജൂതർ ഒരു വൃത്തത്തിൽ നിൽക്കാനും ജീവനോടെ നിൽക്കുന്ന ഓരോ മൂന്നാമത്തെ ആളെയും ബാക്കിയുള്ളവർ ചേർന്നു കൊല്ലാനും തീരുമാനിച്ചു. എങ്ങനെയെങ്കിലും രക്ഷപ്പെടണമെന്നുണ്ടായിരുന്ന ജോസഫസ് തന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപാടവം കൊണ്ടു് അവസാനം വരുന്ന ആൾ മുപ്പത്തൊന്നാമനായിരിക്കും എന്നു കണക്കുകൂട്ടി അവിടെ ആദ്യം തന്നെ ചെന്നു നിന്നു് മരണത്തിൽ നിന്നു രക്ഷപ്പെട്ടു എന്നാണു് ഐതിഹ്യം.

ജോസഫസിനു് ഒരു കൂട്ടുകാരനും ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നും ഒരു കഥയുണ്ടു്. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ അയാൾ പതിനാറാമതായിരിക്കണം നിന്നതു്. രണ്ടുപേർ അവശേഷിച്ചപ്പോൾ ജോസഫസ് അയാളെ പറഞ്ഞു മാനസാന്തരപ്പെടുത്തിയതാവാനും മതി.

കണ്ടോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മാഹാത്മ്യം! ചുമ്മാതാണോ ആടുതോമയുടെ അച്ഛൻ തിലകൻ പറഞ്ഞതു് ലോകം മുഴുവൻ മാത്തമാറ്റിക്സാണെന്നു്!

ജോസഫസ് പ്രശ്നത്തെപ്പറ്റി കൂടുതലറിയാൻ വിക്കിപീഡിയയോ വൂൾഫ്രം മാത്ത് വേൾഡോ വായിക്കുക.


19 വാക്കുകളുള്ള ഒരു വായ്ത്താരിയുപയോഗിച്ചൂ് പതിനായിരം കുട്ടികൾ അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി കളിച്ചാൽ അവസാനം ആരു ജയിക്കും എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി പറയാൻ കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കാതെ ഇന്നും ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്നു ചുരുക്കം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാത്ത അനേകം കാര്യങ്ങൾ ഇനിയുമുണ്ടെന്നു മനസ്സിലായില്ലേ? നമ്മുടെ അത്തളപിത്തളക്കളി ആളു പുലിയാണെന്നും!

ഇതെങ്ങനെ ജോസഫസ് കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നാണു് എന്റെ സംശയം. അങ്ങേർ 41 കല്ലുകൾ വട്ടത്തിൽ വെച്ചു് ഓരോന്നും എടുത്തുകളഞ്ഞു് ഏതു് അവസാനം വരും എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചുകാണും. ഒരു പക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്രം പരാജയപ്പെടുന്നിടത്തു് സിമുലേഷൻ ജയിക്കും എന്നതിന്റെ ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണം ആവാം അതു്. കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ പ്രചാരത്തോടെ ഇന്നു് പല പ്രശ്നങ്ങളും ഇങ്ങനെ ശുദ്ധഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സും സിമുലേഷനും ഉപയോഗിച്ചു് നിർദ്ധരിക്കുന്നുണ്ടു്.


ഒരു തവണ ഒരാളെ ‘റാൻഡം’ ആയി കണ്ടുപിടിക്കാനും കുട്ടികൾ ഇതുപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. (അമേരിക്കയിൽ “ഈനാ, മീനാ…” വായ്ത്താരിയാണു് ഇങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടുള്ളതു്.) ഇത്തരം ആവശ്യങ്ങൾക്കു് വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യയാകണമെന്നു നിർബന്ധമില്ല.

ഇത്തരം സാദ്ധ്യതകൾ അനന്തമാണു്. വളി വിട്ടതാരാണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാൻ ഈ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു് എന്നാണു ദേവൻ പറയുന്നതു്. മനുഷ്യന്റെ ക്രിയേറ്റിവിറ്റി പോകുന്ന പോക്കേ!

കൃത്യമായി ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയ്ക്കു ശേഷം സംഭവിക്കുന്ന ഇതിനെ റാൻഡം എന്നു വിളിക്കാനും പറ്റില്ല. എങ്കിലും റാൻഡം നമ്പർ (റാൻഡം നമ്പറാഭാസം എന്നു പറയണം –pseudo-random number) ഉണ്ടാക്കാനുള്ള ഒരു വഴി ഈ അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി തന്നെയാണെന്നതാണു സത്യം.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ആളുകൾ പുറത്താകുന്നില്ല എന്നു കരുതുക. v വാക്കുകളും k കുട്ടികളും (0 മുതൽ k-1 വരെ നമ്പരുകൾ) ഉള്ള കളിയിൽ ഓരോ തവണയും ഏതു കുട്ടിയാണെന്നു നോക്കാം.

എന്നിങ്ങനെ. ചുരുക്കത്തിൽ

ഇതിനെ അല്പം കൂടി ഭേദപ്പെടുത്തിയാൽ, അതായതു് വലത്തുവശത്തെ ആദ്യത്തെ പദത്തെ ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ, താഴെപ്പറയുന്ന രീതി കിട്ടും.

ഇതു തന്നെയാണു് മിക്കവാറും സോഫ്റ്റ്‌വെയറുകളിലും റാൻഡം നമ്പർ ഉണ്ടാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ലീനിയർ കോൺഗ്ര്വെൻഷ്യൽ (Linear congruential) രീതി. a എന്ന സംഖ്യയ്ക്കു ചില പ്രത്യേകതകൾ ഉണ്ടെന്നു മാത്രം. സാധാരണയായി k, v എന്നിവ അഭാജ്യസംഖ്യകളായിരിക്കും.

അക്കുത്തിക്കുത്തു കളിക്കു് ഇത്രയധികം ഗണിതശാസ്ത്രപ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നു് ആരെങ്കിലും കരുതിയോ?


ഇത്രയും പറഞ്ഞതിൽ‌നിന്നു് അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് നമ്പർ തിയറിയിലെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ അറിവുണ്ടായിരുന്നു എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ? ആ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പ്രസ്താവിച്ചു തെളിയിച്ചവരല്ല, അക്കുത്തിക്കുത്തു വായ്ത്താരി പോലെയുള്ളവ ഉണ്ടാക്കിയവരാണു യഥാർത്ഥത്തിൽ ആ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാക്കൾ എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ?

സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പൈതൃകത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അവകാശവാദങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഈ വിധത്തിലാണു് പോകുന്നതു്. അങ്ങനെയാണു് പിംഗളൻ ബൈനോമിയൽ തിയറം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും വേദങ്ങളിൽ കാൽക്കുലസ് ഉണ്ടാകുന്നതും വാല്മീകിയുടെ കാലത്തു വിമാനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും മറ്റും.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നവർ ആവർത്തിക്കാതെ കഴിയുന്നത്ര വിതരണം ചെയ്തു പോകണമെന്നുണ്ടായിരുന്നു. ചില എണ്ണങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതും ചിലവ ആവർത്തിക്കാതിരിക്കുന്നതും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവാം. അങ്ങനെ പലതു ശ്രമിച്ചിട്ടാവാം ഇന്നു പ്രചാരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഉണ്ടായതു്. അല്ലെങ്കിൽ, വായ്ത്താരികളിൽ നിന്നു് ഈ പ്രത്യേകത ഉള്ളവ മാത്രം പ്രചാരത്തിലായി എന്നുമാവാം. അവയ്ക്കും അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ആരും ശ്രദ്ധിച്ചു കാണില്ല. അതുകൊണ്ടാണു് ആരും ഇതുവരെ അതിനെപ്പറ്റി എഴുതി വെയ്ക്കാഞ്ഞതു്.

മറിച്ചു്, സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടാക്കിയവർ അതു് ഒരു ദിവസം കൊണ്ടു് ഉണ്ടാക്കിയതല്ല. (ആപ്പിൾ തലയിൽ വീണപ്പോൾ പെട്ടെന്നു ബോധോദയം ഉണ്ടായി ന്യൂട്ടൻ ഗുരുത്വാകർഷണനിയമം ഉണ്ടാക്കി എന്ന കള്ളക്കഥയാണല്ലോ നമുക്കു കൂടുതൽ പരിചയം!) അക്കുത്തിക്കുത്തു കളികൾ പോലെ നാട്ടിൽ പ്രചരിക്കുന്ന പല കളികളുടെയും പ്രസ്താവനകളുടെയും പസിലുകളുടെയും ഉള്ളുകള്ളികളിലേയ്ക്കു ചുഴിഞ്ഞാലോചിച്ചവർ അവരുടെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും പിന്നീടു വന്നവർ അവയെപ്പറ്റി കൂടുതൽ പഠിച്ചു് സിദ്ധാന്തങ്ങളാക്കി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തതാവാം. നൂറ്റാണ്ടുകൾ നീണ്ടുനിന്ന ശാസ്ത്രവികാസത്തിന്റെ ക്രെഡിറ്റ് “അമ്പത്താറു്” കളിയിൽ അവസാനം വിളിച്ചുനിർത്തുന്നവൻ മാത്രം കുണുക്കിറക്കുന്നതു പോലെ അവസാനത്തെ കുരുക്കഴിച്ചവന്റെ പേരിൽ മാത്രം പതിയുന്നു എന്നു മാത്രം. കാൽക്കുലസ് കണ്ടുപിടിച്ച ന്യൂട്ടൻ/ലൈബ്നിറ്റ്സും ഫെർമയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ച വെയിൽ‌സും ഇതിനു് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം.


ഞാൻ മലയാളം ബ്ലോഗിംഗു തുടങ്ങിയിട്ടു് നാലു വർഷം തികയുന്നു. 2005 ജനുവരി 19-നെഴുതിയ ആദ്യ പോസ്റ്റ്. ഇതു് ഇരുനൂറ്റിമുപ്പത്തേഴാമത്തെ പോസ്റ്റ്. അതായതു്, ഏകദേശം ആറു ദിവസത്തിൽ ഒരു പോസ്റ്റു വീതം. അനോണി ആന്റണി, ബെർലി, നമതു് തുടങ്ങിയവരെ അപേക്ഷിച്ചു നോക്കുമ്പോൾ ഒന്നുമല്ലെങ്കിലും ഇത്രയും നാൾ വലിയ മുടക്കമില്ലാതെ എഴുതാൻ കഴിഞ്ഞതിൽ സന്തോഷം.

കുട്ടികള്‍ക്കുള്ളവ
ഗണിതം (Mathematics)
ചുഴിഞ്ഞുനോക്കല്‍

Comments (15)

Permalink

തുടങ്ങിയിടത്തു് എത്തുന്നവ

Mouse-Cookie‍ചില പുസ്തകങ്ങള്‍ എങ്ങനെയാണു പ്രശസ്തമാകുന്നതു് എന്നാലോചിച്ചാല്‍ ഒരു പിടിയും കിട്ടില്ല. പ്രത്യേകിച്ചു കുട്ടികളുടെ പുസ്തകങ്ങള്‍. എന്തെങ്കിലും ഒരു ചെറിയ കഥയോ ആശയമോ ലക്ഷക്കണക്കിനു കുട്ടികളുടെ പ്രിയപ്പെട്ടതാവുന്നതിന്റെ രസതന്ത്രം പലപ്പോഴും ദുരൂഹമാണു്. പലപ്പോഴും യാഥാര്‍ത്ഥ്യത്തോടടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന കഥകളെക്കാള്‍ അസംബന്ധമാവും കുട്ടികള്‍ക്കു പ്രിയം. അസംബന്ധം മാത്രം എഴുതുന്ന ഡോക്ടര്‍ സ്യൂസ് ദശാബ്ദങ്ങളായി അമേരിക്കയിലെ കുട്ടികളുടെ പ്രിയപ്പെട്ട എഴുത്തുകാരനാണു്.

1980-കളുടെ ആദ്യപകുതിയില്‍ ലോറ ന്യൂമറോഫ് എന്ന എഴുത്തുകാരി കുട്ടികള്‍ക്കു വേണ്ടി ഒരു പുസ്തകമെഴുതി. പല പ്രസാധകര്‍ക്കും അതു് അയച്ചുകൊടുത്തെങ്കിലും ഒന്‍പതു പ്രാവശ്യം അതു തിരസ്കരിക്കപ്പെട്ടു. അവസാനം 1985-ല്‍ ഹാര്‍പ്പര്‍ അതു പ്രസിദ്ധീകരിക്കുമ്പോള്‍ ലക്ഷക്കണക്കിനു കുട്ടികളെ ആകര്‍ഷിക്കുന്ന ഒരു പുസ്തകശ്രേണിയുടെ തുടക്കമാണു് ആ പുസ്തകം എന്നു് ആരും കരുതിയില്ല.

If you give a mouse a cookie എന്നായിരുന്നു ആ പുസ്തകത്തിന്റെ പേരു്. ഒരു ആണ്‍കുട്ടി ഒരു എലിക്കു് ഒരു ബിസ്കറ്റ് കൊടുക്കുന്നിടത്താണു കഥ തുടങ്ങുന്നതു്. സത്യത്തില്‍ അതൊരു കഥയല്ല. ബിസ്കറ്റ് കൊടുത്താല്‍ എന്തു സംഭവിക്കും എന്നു് ആ കുട്ടി ആലോചിച്ചുണ്ടാക്കുന്നതാണു്. ബിസ്കറ്റ് കൊടുത്താന്‍ അതു തൊണ്ടയില്‍ ഇറങ്ങാന്‍ പാല്‍ ചോദിക്കും. പാല്‍ കൊടുത്താല്‍ അതു കുടിക്കാന്‍ സ്ട്രോ ചോദിക്കും. സ്ട്രോ കിട്ടി പാല്‍ കുടിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ മുഖം തുടയ്ക്കാന്‍ നാപ്കിന്‍ ചോദിക്കും. മുഖം തുടച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ പാല്‍ ശരിക്കു പോയോ എന്നു നോക്കാന്‍ കണ്ണാടി ചോദിക്കും. കണ്ണാടിയില്‍ നോക്കുമ്പോള്‍ മുടി വളര്‍ന്നതു കണ്ടു് മുടി വെട്ടാന്‍ കത്രിക ചോദിക്കും. കത്രിക കിട്ടി മുടി വെട്ടിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ താഴെ വീണ മുടിയൊക്കെ വൃത്തിയാക്കാന്‍ ചൂലു ചോദിക്കും. വൃത്തിയാക്കല്‍ ചൂലു കൊണ്ടു തുടങ്ങി തറ കഴുകലും വീടു മൊത്തം വൃത്തിയാക്കലുമായി പുരോഗമിച്ചു് അവസാനം അതു ക്ഷീണിച്ചു് ഉറങ്ങണമെന്നു പറഞ്ഞു് ഒരു കിടക്ക ചോദിക്കും. കിടക്കയില്‍ കിടന്നു കഴിഞ്ഞാല്‍ ഒരു കഥ വായിച്ചു കൊടുക്കണം എന്നു പറയും. കഥ കേള്‍ക്കുമ്പോള്‍ പുസ്തകത്തിലെ പടങ്ങള്‍ കാണണം എന്നു പറയും. പടം കാണുമ്പോള്‍ അതു പോലെ ഒരെണ്ണം വരയ്ക്കണം എന്നു പറഞ്ഞു കിടക്കയില്‍ നിന്നു വെളിയിലിറങ്ങി പടം വരയ്ക്കും. പടം തീര്‍ന്നു കഴിയുമ്പോള്‍ അതിനു താഴെ സ്വന്തം പേരെഴുതാന്‍ പേന ചോദിക്കും. പൂര്‍ത്തിയായ ചിത്രം ഫ്രിഡ്ജില്‍ തൂക്കാന്‍ സ്കോച്ച് ടേപ്പ് ചോദിക്കും. പടം തൂക്കിയിരിക്കുന്ന ഫ്രിഡ്ജില്‍ കുറേ നോക്കിനില്‍ക്കുമ്പോള്‍ ദാഹിക്കും. പാലു ചോദിക്കും. പാല്‍ കിട്ടിക്കഴിയുമ്പോള്‍ അതിന്റെ കൂടെ തിന്നാന്‍ ഒരു ബിസ്കറ്റ് ചോദിക്കും!

ഈ കഥയിലെ എലി കുട്ടി തന്നെയാണു്. കുട്ടികള്‍ ഓരോ കാര്യവും ചെയ്യുമ്പോഴും ശ്രദ്ധ മാറി മറ്റു പലതിലേക്കു പോകുന്നതും, അച്ഛനമ്മമാര്‍ അവരുടെ പിറകേ അവര്‍ ചോദിക്കുന്ന ഓരോ സാധനവുമായി എത്തുന്നതും, ഉറക്കാന്‍ കൂട്ടാക്കാതെ അവര്‍ ചാടിയെഴുനേല്‍ക്കുന്നതും ഒക്കെ സാധാരണസംഭവങ്ങളാണു്. തങ്ങളുടെ ജീവിതത്തോടു് ഇത്ര സാദൃശ്യമുള്ളതുകൊണ്ടാവാം ഈ പുസ്തകം ഇത്ര പ്രിയപ്പെട്ടതായതു്.

ഇതിന്റെ മറ്റൊരു പ്രത്യേകത ബിസ്കറ്റില്‍ (കുക്കി) തുടങ്ങി ബിസ്കറ്റില്‍ അവസാനിക്കുന്നതാണു്. ഈ പ്രക്രിയ അനന്തമായി തുടരുന്നു എന്നൊരു പ്രതീതി അതുണ്ടാക്കുന്നു. അവസാനത്തിലെ ഈ നര്‍മ്മവും പുസ്തകത്തെ പ്രിയപ്പെട്ടതാക്കിയിട്ടുണ്ടാവും. ഫെലീസിയ ബോണ്ടിന്റെ വരയും അതിനെ വളരെ ഹൃദ്യമാക്കി.

ഏതായാലും, ഈ പുസ്തകം വിജയിച്ചതോടെ, അതു പോലെ ഒരു പറ്റം പുസ്തകങ്ങള്‍ ലോറയും ഫെലീസിയയും ചേര്‍ന്നു് ഉണ്ടാക്കി. If you give a moose a muffin, If you give a pig a pancake, If you give a pig a party എന്നിങ്ങനെ. ഈ സിരീസിലെ ഏറ്റവും അവസാനത്തെ പുസ്തകം 2008 ഒക്ടോബറില്‍ ഇറങ്ങിയ If you give a cat a cupcake ആണു്.

അവസാനം ലോറ ഒരു ആത്മകഥ എഴുതിയപ്പോള്‍ അതിനു കൊടുത്ത പേരു് If you give an author a pencil എന്നാണു്. പെന്‍സിലില്‍ തുടങ്ങി പെന്‍സിലില്‍ തീരുന്നതാണോ എന്നറിയില്ല :)

ഇതുപോലെ തുടങ്ങിയടത്തു് അവസാനിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും കഥയോ പാട്ടോ മലയാളത്തിലോ ഭാരതീയപുരാണങ്ങളിലോ മറ്റോ ഉണ്ടോ എന്നു് ആലോചിച്ചപ്പോള്‍ ആദ്യം മനസ്സില്‍ വന്നതു മൂഷികസ്ത്രീ പിന്നെയും മൂഷികസ്ത്രീ ആയതാണു്. പക്ഷേ അതു് ഇത്തരത്തിലുള്ള ഒരു കഥയല്ല. മൂഷികസ്ത്രീയ്ക്കു വരനെ അന്വേഷിച്ചു നടക്കുന്ന മുനി തുടങ്ങുന്നതു സൂര്യനിലാണു്, മൂഷികനിലല്ല.

ആ കഥയുടെ ഗുണപാഠങ്ങള്‍ മറ്റു പല വഴിക്കുമാണു പോകുന്നതു്. ആരും ആരെക്കാള്‍ മികച്ചതല്ല എന്നൊരു ഗുണപാഠം. ഒരു ചെറിയ എലി പോലും സൂര്യന്‍, മേഘം, കാറ്റു്, പര്‍വ്വതം എന്നിവയെക്കാള്‍ മികച്ച ആളാവാന്‍ പറ്റും എന്നൊരു ഗുണപാഠം. മഹത്ത്വം നോക്കുന്നവന്റെ കണ്ണുകളിലാണു് എന്നു മറ്റൊരു ഗുണപാഠം.

ഈ വക ഗുണപാഠങ്ങളോടൊപ്പം തന്നെ ഒരു സാമൂഹികസന്ദേശം കൂടി ആ കഥ നല്‍കുന്നുണ്ടു്. തനിക്കു പറ്റിയ ആളെ കല്യാണം കഴിച്ചാല്‍ മതി, വലിയ കൊമ്പത്തെ ആളെ നോക്കരുതു് എന്നു്. എന്തായാലും പെണ്ണെലിയ്ക്കു് അവസാനം ആണെലി തന്നെയാണു് ഏറ്റവും നല്ലതു് എന്നു്. ചുഴിഞ്ഞാലോചിക്കുന്നവര്‍ക്കു് ഇതു മിശ്രവിവാഹത്തിനെതിരായ ഒരു പ്രതിലോമകഥയാനെന്നു വാദിക്കാം.

അതെന്തെങ്കിലുമാകട്ടേ. തുടങ്ങിയ ഇടത്തു തന്നെ അവസാനിക്കുന്ന കഥയ്ക്കു് ഈ ഉദാഹരണം പോരാ.


തുടങ്ങിയ സ്ഥലത്തു തിരി‍ച്ചെത്തുന്ന ഒരു കുട്ടിപ്പാട്ടാണു പിന്നെ ഓര്‍മ്മ വന്നതു്. ഒരു അസംബന്ധപ്പാട്ടു തന്നെ.

രാരിത്തത്തമ്മേ, എന്നെ-
ക്കോഴി കൊത്തല്ലേ…

കോഴി കൊത്ത്യാലു് – എന്റെ
മാല പൊട്ടൂലോ…

മാല പൊട്ട്യാലു് – എന്റെ
വീട്ടിലറിയൂലോ…

വീട്ടിലറിഞ്ഞാലു് – എന്നെ
അമ്മ തല്ലൂലോ…

(ചൊല്ലിയതു്: വിശാഖ്)
download MP3
അമ്മ തല്ല്യാലു് – എന്നെ
അച്ഛന്‍ കൊല്ലൂലോ…

അച്ഛന്‍ കൊന്നാലു് – എന്നെ
വലിച്ചെറിയൂലോ…

വലിച്ചെറിഞ്ഞാലു് – എന്നെ
ചിതലരിക്കൂലോ…

ചിതലരിച്ചാലോ – എന്നെ
കോഴി കൊത്തൂലോ…

രാരിത്തത്തമ്മേ, എന്നെ-
ക്കോഴി കൊത്തല്ലേ…

 

മാല പൊട്ടിയാല്‍ അച്ഛന്‍ കൊല്ലുമെന്നുള്ള ഭീകരമായ സന്ദേശം നല്‍കുന്ന ഈ പാട്ടു് കളിയായിട്ടു പോലും കുട്ടികളുടെ മുമ്പില്‍ പാടരുതു് എന്നു് എനിക്കു കര്‍ശനമായ നിര്‍ദ്ദേശം കിട്ടിയിട്ടുണ്ടു്. മാത്രമല്ല, മരിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ ശവത്തിനു സംഭവിക്കുന്ന പരിണാമം ഹൊറര്‍ സിനിമകളില്‍ കാണുന്നതുപോലെ വിവരിക്കുന്നതു പിഞ്ചുമനസ്സുകളെ ചഞ്ചലമാക്കും എന്നും. എന്തായാലും അത്ര ചഞ്ചലമല്ലാത്തെ പിഞ്ചുമനസ്സുകളൊക്കെ അവസാനം കോഴി കൊത്തുന്നതിലേയ്ക്കു തിരിച്ചെത്തുന്ന ഈ പാട്ടു് വളരെ സന്തോഷത്തോടെ പാടി നടക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. കോഴി കൊത്തുന്നതില്‍ത്തന്നെ തിരിച്ചെത്തുന്നതാണു് മിക്കവരും ഇതിഷ്ടപ്പെടാന്‍ കാരണം.


ഒന്നുകൂടി ആലോചിച്ചപ്പോള്‍ തുടങ്ങിയിടത്തു തിരിച്ചെത്തുന്ന ഒരു ശ്ലോകം കിട്ടി.

എന്താണെന്നറിയില്ല, ഈയിടെയായി എന്തു പറഞ്ഞാലും ഞാന്‍ ശ്ലോകത്തിലെത്തും. ഇതൊരു മാനസികരോഗമാണോ ഡോക്ടര്‍? :)

ത്രിപുരദഹനം നടത്തിയ ശിവനെപ്പറ്റിയാണു ശ്ലോകം. ത്രിപുരന്മാരെ കൊല്ലുക അത്ര എളുപ്പമായിരുന്നില്ല. ഭൂമി, സ്വര്‍ഗ്ഗം, പാതാളം എന്നിവിടങ്ങളില്‍ മൂന്നു പുരങ്ങള്‍. വിമാനം പോലെ സഞ്ചരിക്കുന്നവയാണു്. ഓരോന്നിലും ഓരോരുത്തന്‍. ആയിരം കൊല്ലം കൂടുമ്പോള്‍ ഇവ മൂന്നും ഒന്നിക്കും. അപ്പോള്‍ ഒരൊറ്റ അമ്പു കൊണ്ടു് അവയെ ഒന്നിച്ചു നശിപ്പിക്കണം. എന്നാലേ അവര്‍ മരിക്കൂ. ബ്രഹ്മാവു കൊടുത്ത വരമാണു്.

ത്രിപുരന്മാരുടെ ശല്യം സഹിക്കവയ്യാതെയായപ്പോള്‍ ദേവന്മാര്‍ അവരെ കൊല്ലുന്ന ജോലി ലോകത്തെ ഏറ്റവും വലിയ വില്ലാളിയായ ശിവനെയാണു് ഏല്‍പ്പിച്ചതു്. ഈ കര്‍മ്മത്തിനു സാധാരണ ആയുധങ്ങളൊന്നും പോരാത്തതുകൊണ്ടു് സ്പെഷ്യല്‍ വെപ്പണ്‍സ് ആക്റ്റ് കൊണ്ടുവന്നു. മഹാമേരുവാണു വില്ലായതു്. (ഇതിന്റെ മുകളിലാണു ദേവന്മാരുടെ താമസം. അതായതു് വില്ലിന്റെ മുകളില്‍ ദേവന്മാര്‍ മുഴുവനും ഉണ്ടു്.) വാസുകി എന്ന സര്‍പ്പമാണു വില്ലിന്റെ ഞാണ്‍. (പാവം വാസുകി! പാലാഴി കടഞ്ഞാലും ത്രിപുരന്മാരെ കൊന്നാലും വലിക്കുന്നതു വാസുകിയെത്തന്നെ!) മഹാവിഷ്ണുവാണു് അമ്പു്. അമ്പിന്റെ തലയ്ക്കു് അഗ്നി. കൊണ്ടാല്‍ കൊള്ളുന്നതു കത്തിപ്പോകും. അമ്പിന്റെ കടയ്ക്കല്‍ വായു. അമ്പു സ്പീഡില്‍ പറക്കും.

ഇനിയും കുറേ സംഭവങ്ങള്‍ കൂടി ഇതിനോടനുബന്ധിച്ചുണ്ടു്. എല്ലാം ഇവിടെ പറയുന്നില്ല. വില്ലായതു് മഹാമേരുവല്ല, മന്ദരപര്‍വ്വതമാണു് എന്നൊരു മതവുമുണ്ടു്. അതും പോകട്ടേ…

ഇങ്ങനെയുള്ള സെറ്റപ്പിലാണു ശിവന്‍ ത്രിപുരദഹനത്തിനൊരുങ്ങിയതു്. പ്ലാന്‍ ചെയ്തതു പോലെ ഒരൊറ്റ അമ്പു കൊണ്ടു് ത്രിപുരന്മാരുടെ കഥ കഴിച്ചു.

ഇനി ശ്ലോകം.

കാറ്റേല്‍ക്കുമ്പോള്‍ തിളങ്ങും തൊടുകുറി, കുറിയില്‍-
    ച്ചേര്‍ത്തുവെച്ചൂതിയെന്നാല്‍
മാറ്റേറും വില്ലു, വില്ലിന്‍ മുകളിലമരുവോര്‍-
    ക്കല്ലല്‍ തീര്‍പ്പോരു ബാണം,
പോറ്റീ! ബാണം കിടക്കും മണിമയസദനം
    കങ്കണം, കങ്കണത്തി-
ന്നൂറ്റം കാ, റ്റെത്ര നന്നിത്തൊഴിലുകള്‍, ശിവപേ-
    രൂരെഴും തിങ്കള്‍മൌലേ!

download MP3

ശിവന്റെ നെറ്റിയിലെ തൊടുകുറി കാറ്റു കൊണ്ടാല്‍ തിളങ്ങുന്നതാണു്. കാറ്റു കൊണ്ടാല്‍ തിളങ്ങുന്നതു തീക്കനല്‍. ശിവന്റെ മൂന്നാം കണ്ണു് തീക്കനലാണെന്നാണല്ലോ സങ്കല്പം. ഇനി, ആ തീക്കനില്‍ വെച്ചു് ഊതിയാല്‍ മാറ്റു കൂടുന്നതാണു വില്ലു്. അതായതു വില്ലു സ്വര്‍ണ്ണമാണു്. മഹാമേരു സ്വര്‍ണ്ണം കൊണ്ടുള്ള മലയാണെന്നാണു സങ്കല്പം. വില്ലിന്റെ (മഹാമേരുവിന്റെ) മുകളില്‍ താമസിക്കുന്നവര്‍ക്കു് (ദേവന്മാര്‍ക്കു്) ദുഃഖം ഇല്ലാതാക്കുന്ന അമ്പു് (വിഷ്ണു). അമ്പു് (വിഷ്ണു) കിടക്കുന്ന കിടക്ക (പാമ്പു്. വിഷ്ണു കിടക്കുന്നതു് അനന്തന്‍ എന്ന പാമ്പിന്റെ പുറത്താണല്ലോ) ആഭരണമാണു്. (ശിവന്റെ ആഭരണം പാമ്പാണല്ലോ.) ഈ ആഭരണത്തിന്റെ (പാമ്പിന്റെ) ഭക്ഷണം കാറ്റാണു്. (പാമ്പു കാറ്റു തിന്നാണു ജീവിക്കുന്നതു് എന്നു മറ്റൊരു സങ്കല്പം.) ഒരു രക്ഷയുമില്ലാത്തെ തൊഴിലുകളാണല്ലോ നിന്റേതു് എന്നു തൃശ്ശൂര്‍ വടക്കുന്നാഥനോടു ചോദിക്കുകയാണു കവി.

നാലാം വരി “കങ്കണത്തിന്നൂണ്‍ കാറ്റാ, ണെത്ര നന്നി…” എന്നാണെന്നും ഏതോ അക്ഷരശ്ലോകക്കാരന്‍ ദ്വിതീയാക്ഷരപ്രാസത്തിനു വേണ്ടി ഇങ്ങനെ മാറ്റിയതാണെന്നും ഒരു അഭിപ്രായമുണ്ടു്.

അങ്ങനെ കാറ്റില്‍ തുടങ്ങി കാറ്റില്‍ അവസാനിക്കുന്നു ഈ ശ്ലോകം. കവി ആരാണെന്നു് അറിയില്ല.

ഇതുപോലെ തുടങ്ങിയിടത്തു തന്നെ അവസാനിക്കുന്ന എന്തെങ്കിലും (പാട്ടോ കഥയോ ശ്ലോകമോ മറ്റോ) നിങ്ങള്‍ക്കാര്‍ക്കെങ്കിലും അറിയാമോ?

കുട്ടികള്‍ക്കുള്ളവ
വിശാഖ്
ശബ്ദം (Audio)
സരസശ്ലോകങ്ങള്‍

Comments (14)

Permalink