Gurukulam | ഗുരുകുലം

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി ഒരിക്കലെങ്കിലും കളിച്ചിട്ടില്ലാത്തവർ ചുരുക്കമായിരിക്കും. ഇതു കേരളത്തിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങി നിൽക്കുന്ന കളിയല്ല. ലോകത്തിൽ മിക്ക സ്ഥലങ്ങളിലും ഇതിന്റെ വകഭേദങ്ങൾ റാൻഡമായി ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കുട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഇസ്രയേലിൽ റഷ്യൻ ജൂതക്കുട്ടികൾ ഈ കളി കളിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടു് ഡാലി ഫോട്ടോ സഹിതം ഇട്ട കുട്ടികളികൾ (കുട്ടികളികൾ അല്ല ഡാലീ, കുട്ടിക്കളികൾ. ദ്വിത്വസന്ധി!) ആണു് മലയാളം ബ്ലോഗിൽ ഈ കളിയെപ്പറ്റി വന്ന ആദ്യത്തെ വിശദമായ പോസ്റ്റ്. അതിനു കിട്ടിയ കമന്റുകളിൽ നിന്നു പ്രചോദിതയായ ഡാലി പിന്നീടു് ‘അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി’ കളികൾ എന്നും ഒരു പോസ്റ്റെഴുതി. പിന്നീടു മഷിത്തണ്ടിൽ വന്ന അത്തള പിത്തള തവളാച്ചിയും വിക്കിച്ചൊല്ലുകളിൽ ചേർക്കാനുള്ള അനൂപിന്റെ നിർദ്ദേശവും ഇതുപോലെയുള്ള വായ്ത്താരികൾ ധാരാളം നൽകി. എല്ലാവർക്കും നന്ദി.

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ പോസ്റ്റിനു് രണ്ടു മാസം മുമ്പു് എഴുതിയ പോസ്റ്റാണു് ഇതു്. ഡാലിയുടെ പോസ്റ്റുകളിലെയും അവയുടെ കമന്റുകളിലെയും വിവരങ്ങൾ ചേർത്തു് പോസ്റ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യാം എന്നു കരുതി നീട്ടിവെച്ചു. ആ നീട്ടിവെയ്പ്പു് ഒന്നരക്കൊല്ലത്തിലധികം നീളും എന്നു കരുതിയില്ല.

ഇതിൽ ആദ്യം ചേർത്ത വായ്ത്താരികൾ കുറേപ്പേർക്കു് ഈമെയിലയച്ചു കിട്ടിയ മറുപടികളിൽ നിന്നാണു ശേഖരിച്ചതു്. ഇതിലെ വായ്ത്താരികള്‍ അയച്ചു തന്ന അനില്‍, കണ്ണൂസ്, കല്യാണി, തുളസി, ദില്‍ബാസുരന്‍, പച്ചാളം, ബിന്ദു, ബിരിയാണിക്കുട്ടി, മഞ്ജിത്ത്, രാജേഷ് വര്‍മ്മ, ശ്രീജിത്ത്, സന്തോഷ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, സിബു എന്നിവര്‍ക്കു നന്ദി. (ഇവരൊക്കെ ഇതു മറന്നുപോയിട്ടുണ്ടാവും. 2007 ഫെബ്രുവരിയിലാണു സംഭവം!)

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ ഈ കളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന വായ്ത്താരികൾക്കെല്ലാം ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടെന്നു കാണാം.

കുറേ കുട്ടികൾ തങ്ങളുടെ രണ്ടു കൈകളും (എണ്ണുന്ന ആൾ മാത്രം ഒരു കൈ) തറയിൽ കമഴ്ത്തി വെച്ചാണു കളി തുടങ്ങുക. ഏതെങ്കിലും ഒരു കൈയിൽ നിന്നു് എണ്ണിത്തുടങ്ങും. അവസാനത്തെ വാക്കു് നിൽക്കുന്ന കൈ മലർത്തിവെയ്ക്കും. മലർന്നിരിക്കുന്ന കൈയിലാണു വാക്കെത്തുന്നതെങ്കിൽ ആ കൈ കളിയിൽ നിന്നു മാറ്റും. അടുത്ത എണ്ണം തുടങ്ങുന്നതു് ആ കൈയുടെ പിന്നിലുള്ള കൈയിലാണു്. കളിയിൽ നിന്നു മാറിയ കൈകളെ പിന്നീടു കളിയിൽ ചേർക്കില്ല. അങ്ങനെ അവസാനം ഒരു കൈ ബാക്കി വരും.

ഈ കളി കളിച്ചിട്ടുള്ളവരെല്ലാം ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. എല്ലാ കൈകളും മലർന്നതിനു ശേഷമേ സാധാരണയായി ഒരു കൈ കളിക്കു പുറത്തു പോകാറുള്ളൂ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എല്ലാ കൈകളും മലർക്കുന്നതു വരെ വായ്ത്താരി തീരുന്നതു് ഒരു കമഴ്ന്ന കൈയിൽ ആയിരിക്കും. കുട്ടികളുടെ(കൈകളുടെ) എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു മിക്കപ്പോഴും ശരിയായിരിക്കും.

ഈ പ്രത്യേകത മൂലം ഇത്തരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഏകദേശം റാൻഡമായി, എന്നാൽ എല്ലാവർക്കും തുല്യമായ അവസരം കൊടുത്തു്, ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണമായി, ഒരു കൂട്ടായ്മയിൽ അടുത്ത പാട്ടു പാടേണ്ടതു് ആരാണെന്നു തീരുമാനിക്കാൻ. എല്ലാവരും പാടിക്കഴിഞ്ഞേ ആദ്യം പാടിയ ആൾക്കു വീണ്ടും അവസരം ലഭിക്കൂ.

ഇതെങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും ആലോചിച്ചിട്ടുണ്ടോ? ഇതിന്റെ ഉള്ളുകള്ളി മനസ്സിലാക്കാൻ അല്പം നമ്പർ തിയറിയുടെ സഹായം വേണ്ടി വരും.

ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു് വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണവും കുട്ടികളുടെ എണ്ണവും തമ്മിൽ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യം (Relatively prime/Coprime) ആകുമ്പോഴാണു്.

ഉദാഹരണത്തിനു്, ഒരു വായ്ത്താരിയ്ക്കു് 9 വാക്കുകളുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടേ. ഏഴു കുട്ടികൾ/കൈകൾ ഉള്ള ഒരു കളിയിൽ ആദ്യം രണ്ടാമത്തെ കൈ മലർക്കും. പിന്നെ 4, 6, 1, 3, 5, 7 എന്നീ കൈകളും. ഒമ്പതും ഏഴും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളായതു കൊണ്ടാണു് ഇതു്. അതേ സമയം, ആറു കുട്ടികളേയുള്ളെങ്കിൽ 3, 6 എന്നീ കൈകൾ മലർന്നതിനു ശേഷം ബാക്കി കൈകൾ മലർത്തുന്നതിനു മുമ്പു് വീണ്ടും മൂന്നിൽത്തന്നെ എത്തും. ഒമ്പതും ആറും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളല്ലാത്തതു കൊണ്ടാണു് (രണ്ടിനെയും 3 കൊണ്ടു ഹരിക്കാം.) ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു്.

ഇനി, കുട്ടികളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു സംഭവിക്കാൻ എന്താണു വഴി? മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യകളോടും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യമായ ഒരു സംഖ്യ വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണമായി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി. അതിനു് ഏറ്റവും നല്ല വഴി ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ (Prime number) തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണു്.

പറഞ്ഞു വന്നതു്, അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ നല്ല വായ്ത്താരികൾക്കും ഉള്ള ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും എന്നാണു്. അഭാജ്യസംഖ്യകൾ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,… എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു. വായ്ത്താരികളിലെ ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇവയിൽ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും.

വിശ്വസിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? നമുക്കറിയാവുന്ന വായ്ത്താരികളൊക്കെ ഒന്നു പരിശോധിച്ചു നോക്കാം. നിർത്തുന്ന ഭാഗങ്ങൾ ഒരു വര (-) കൊണ്ടു കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ബ്രായ്ക്കറ്റിലും.

1. അത്തിള്‍-ഇത്തിള്‍-പറങ്കി-പ്പാള-ചട്ടുമ-ചിട്ടുമ-ചള്‍ (7)
2. അത്തിളി-മുത്തളി-പറങ്കീ-താളി-സെറ്റുമ്മ-സെറ്റുമ്മ-സാ (7)
   ഇതു മുകളില്‍ കൊടുത്തതു തന്നെയാണെന്നു തോന്നുന്നു.
3. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താനവ-രുമ്പം-
   കല്ലേ-ക്കുത്ത് ക-രിങ്കു-ത്ത്-
   അക്കര-നിക്കണ-ചക്കി-പ്പെണ്ണിന്റെ-
   കയ്യോ-കാലോ-അടിച്ചൊ-ടിച്ച് -വാ. (17)
4. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താന വ-രമ്പേല്‍-
   കല്ലേ-ക്കുത്തു ക-ടുംകു-ത്ത്‌
   ചീപ്പു-വെള്ളം-താറാ-വെള്ളം-
   താറാ-മ്മക്കടെ-കയ്യേ-ലൊരു-
   വാങ്ക്‌ (17)
5. അത്തള-പിത്തള-തവളാ-ച്ചി-
   മുക്കിലി-രിക്കണ -ചൂലാ-പ്പ്‌-
   മറിയം-വന്ന് വി-ളക്കൂ-തി
   ഉണ്ടോ-മാണി-സാറാ-പീറാ-കോട്ട്‌. (17)
6. അരിപ്പോ-തിരിപ്പോ-
   പന്ത്ര-ണ്ടാനേം-
   ചക്കിട്ട-പൊക്കിട്ട-
   പതിനാം-വള്ളികെ-ന്തൂമ്പു?-
   മുരിക്കിന്‍ -പു (11)
7. മുരിക്കീലൊ-രിക്കി കെ-ടന്നോ-നെ-
   കൊങ്ങാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ-നെ-
   അത്തര-മുള്ളൊരു -മാട-പ്രാ-വിന്റെ-
   കയ്യൊ-കാലോ-ചെത്തി-കൂട്ട് മ-ടംകൂ-ട്ട് (19)
8. പരിപ്പു -കുത്തി- പാച്ചോ-റാക്കി
   ഞാനു-മുണ്ട് -സീതേ-മുണ്ട് -
   സീ‍തേ-ടപ്പന്റെ- പേരെന്ത് (11)
9. inki -pinki -ponki-
   uncle -has a -donkey-
   donkey - died -uncle - cried-
   inki -pinki -ponki (13)
10. uncle - called the - doctor
    doctor -called the - nurse
    nusre - called the - ambu - lance
    A - B - C (13)
11. Eena, - meena, - mina, - mo, -
    Catch a - tiger - by his - toe. -
    If - he - squeals, - let ‘im - go, -
    Eena, - meena, - mina, - mo. (17)

    ഈ പാട്ടിനു് അതിഭീകരമായ ഒരു ചരിത്രമുണ്ടു്.

    Eena, meena, mina, mo,
    Catch a nigger by his toe;
    If he squeals, let him go,
    Eena, meena, mina, moe

    എന്നായിരുന്നു ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രൂപം.

12. Ring - around the - ro - sey-
    A pocket - full of - po - sies -
    Ashes, - ashes -
    We all - fall - down (13)
13. അഡുപ്പും - തിഡുപ്പും -
    പാദര-പ്പള്ളില്‍-
    ബാങ്ക്‌ - കൊടുക്കും -
    ഏനുപ്പു? (7)
14. ഞാ-നൊ-രു-മ-നു-ഷ്യ-നെ- ക-ണ്ടു
    അ-യാ-ളു-ടെ-നി-റം-എ-ന്ത്?
    പ-ച്ച. (17)
15. ഒന്ന്, - രണ്ട്, - മൂന്ന്, - നാല് -
    അഞ്ച്, - ആറു്, - ഏഴ്, - എട്ട് -
    എട്ടും - മുട്ടും - താമര - മൊട്ടും -
    വടക്കോ-ട്ടുള്ള - അച്ഛനു-മമ്മയും
    പൊ-ക്കോ-ട്ടെ. (19)
16. അത്തിള്‍ - ഇത്തിള്‍ - ബെന്തി-പ്പൂ
    സ്വര്‍ഗ - രാജാ - പിച്ചി-പ്പൂ
    ബ്ലാം - ബ്ലീം - ബ്ലൂം (11)
17. അരിപ്പോ - തിരിപ്പോ - തോരണി - മംഗലം -
    പരിപ്പൂ - പന്ത്ര - ണ്ടാനേം - കുതിരേം -
    കുളിച്ച് - ജപിച്ച് - വരുമ്പം -
    എന്തമ്പൂ? മുരിക്കുമ്പൂ! (13)
18. മുരിക്കി - ചെരിക്കി - കെടന്നോ - ളേ
    അണ്ണാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ - ളേ
    അക്കര - നിക്കണ - മാട - പ്രാവിന്റെ -
    കയ്യോ - കാ‍ലോ - രണ്ടാ - ലൊന്ന് -
    കൊത്തി - ച്ചെത്തി -
    മടം കാട്ട് (19)
19. അരിപ്പ - തരിപ്പ - താലി - മംഗലം -
    പരിപ്പു - കുത്തി - പഞ്ചാ -രെട്ട്
    ഞാനു - മെന്റെ - ചിങ്കിരി - പാപ്പന്റെ
    പേരെന്ത്??? (13)

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ഓരോരുത്തരായി പുറത്തായി അവസാനം ശേഷിക്കുന്ന ആൾ ജയിക്കുമല്ലോ. എവിടെ നിന്നാൽ ഈ അവസാനത്തെ ആൾ ആകാം എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി അറിയാമെങ്കിൽ എപ്പോഴും ജയിക്കാമല്ലോ. അതിനു് എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?

വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 2 ആയാലുള്ള (അതായതു്, ഒന്നിടവിട്ട ആളുകളെ ഒഴിവാക്കിയാൽ) സ്ഥിതിയെപ്പറ്റി ധാരാളം പഠനങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം 1, 2, 3, 4, …. എന്നിങ്ങനെ ആയാൽ അവസാനം അവശേഷിക്കുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ (ഇവിടെ ഒന്നു തൊട്ടാണു് എണ്ണുന്നതു്) 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, …. എന്നിങ്ങനെ ആയിരിക്കും.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാൻ മറ്റൊരു എളുപ്പവഴിയുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തെ ദ്വയാങ്കരീതിയിൽ (binary system) എഴുതുക. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ബിറ്റുകളെ ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം ചാക്രികമായി നീക്കുക (cyclic bit shift). കിട്ടുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഒടുക്കം വരുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ.

ഉദാഹരണമായി, നമ്മുടെ വായ്ത്താരി “അടി, ഇടി” എന്നാണെന്നിരിക്കട്ടേ. “ഇടി” എന്നു പറഞ്ഞു തൊടുന്ന ആൾ പുറത്താകും. ഈ കളി പതിനായിരം കുട്ടികൾ കളിച്ചാൽ ആരു് അവസാനം അവശേഷിക്കും?

10000 എന്ന സംഖ്യ ബൈനറിയിൽ എഴുതിയാൽ 10011100010000. ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം സൈക്ലിക് ബിറ്റ്-ഷിഫ്റ്റ് നടത്തിയാൽ ഏറ്റവും ഇടത്തേ 1 ഏറ്റവും വലത്തു പോകും. അതായതു് 00111000100001 അഥവാ 111000100001. ഇതു് 3617 എന്ന ദശാംശസംഖ്യയ്ക്കു തുല്യമായ ദ്വയാങ്കസംഖ്യയാണു്. അതായതു് ഈ കളിയിൽ 3617-)ം സ്ഥാനത്തു നിൽക്കുന്ന കുട്ടിയായിരിക്കും ജയിക്കുക.

വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു കണക്കുകൂട്ടാൻ ഇതുപോലെ സരളമായ ഒരു രീതി ഇതു വരെ ആരും കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം k എന്നും വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം v എന്നും ഇരിക്കട്ടേ. അപ്പോൾ ഒന്നു തൊട്ടെണ്ണിയാൽ എന്ന കുട്ടി ആദ്യം പുറത്താകും. എന്ന കുട്ടി രണ്ടാമതും. ഇങ്ങനെ അവശേഷിക്കുന്ന ആളെയാണു് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്. നമുക്കു് അയാളുടെ നമ്പറിനെ എന്നു വിളിക്കാം.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം (formula) ഒന്നും ആരും ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, constant time algorithms ഒന്നുമില്ല.

നമ്മൾ സാധാരണ ചെയ്യുന്നതുപോലെ ചെയ്തുനോക്കാം. എണ്ണിത്തന്നെ. എണ്ണി ഓരോരുത്തരെ ഒഴിവാക്കുന്നതിനു പകരം ഓരോ റൌണ്ടിലും ഒഴിവാക്കേണ്ടവരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കിയിട്ടു് (ഉദാഹരണമായി, v = 11 ആണെങ്കിൽ, 11, 22, 33, … എന്നീ നമ്പരുകാരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കുക.) അതിനു ശേഷം എല്ലാവർക്കും പുതിയ നമ്പരുകൾ കൊടുക്കുക. ഇതു് O(v.(log k)) സമയത്തിനുള്ളിൽ ചെയ്യാം. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഇതുതന്നെ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴി.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കുറവും വാക്കുകളുടെ എണ്ണം കൂടുതലുമാണെങ്കിൽ O(k) സങ്കീർണ്ണതയുള്ള ഒരു അൽഗരിതം ഉണ്ടു്. താഴെക്കൊടുക്കുന്ന ആവർത്തക-ഏകദം (recurrence relation) ഉപയോഗിച്ചു ക്രമമായി കണക്കുകൂട്ടുന്നതു്.

ഇവിടെ കുട്ടികളെ 0, 1, …, (k-1) എന്നു് എണ്ണണം.

ഉദാഹരണമായി, വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 11 ആണെന്നിരിക്കട്ടേ. അതായതു്, v = 11.

എന്നിങ്ങനെ. അതായതു് 6 കുട്ടികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ തുടങ്ങുന്ന കുട്ടി മുതൽ നാലാമതു് (3 എന്നാണു് മുകളിൽ ഉത്തരം. പക്ഷേ നമ്മൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്നാണു് എണ്ണൽ തുടങ്ങുന്നതു് എന്നു് ഓർക്കുക.) നിൽക്കുന്ന ആളായിരിക്കും ജയിക്കുക എന്നർത്ഥം. ഒരേ വായ്ത്താരി തന്നെയാണു നമ്മൾ എപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിൽ അതിന്റെ പട്ടിക നേരത്തേ ഉണ്ടാക്കി അതിനനുസരിച്ചു നിന്നു് എപ്പോഴും ജയിക്കാം.

ജോസഫസ് പ്രശ്നം (Josephus Problem) എന്നാണു് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നതു്. ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഫ്ലേവിയസ് ജോസഫസ് എന്ന ജൂതചരിത്രകാരനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു കഥയിൽ നിന്നാണു് ഈ പേരുണ്ടായതു്. അന്നു റോമക്കാർ ജൂതന്മാരെ കൂട്ടമായി വേട്ടയാടുന്ന കാലമാണു്. ജോസഫസ് ഉൾപ്പെടെ 41 പേർ ഒരു ഗുഹയിൽ പെട്ടുപോയി. ചുറ്റും റോമൻ പട്ടാളവും. കീഴടങ്ങലിനേക്കാൾ ഭേദം ആത്മഹത്യയാണെന്നു തീരുമാനിച്ച ജൂതർ ഒരു വൃത്തത്തിൽ നിൽക്കാനും ജീവനോടെ നിൽക്കുന്ന ഓരോ മൂന്നാമത്തെ ആളെയും ബാക്കിയുള്ളവർ ചേർന്നു കൊല്ലാനും തീരുമാനിച്ചു. എങ്ങനെയെങ്കിലും രക്ഷപ്പെടണമെന്നുണ്ടായിരുന്ന ജോസഫസ് തന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപാടവം കൊണ്ടു് അവസാനം വരുന്ന ആൾ മുപ്പത്തൊന്നാമനായിരിക്കും എന്നു കണക്കുകൂട്ടി അവിടെ ആദ്യം തന്നെ ചെന്നു നിന്നു് മരണത്തിൽ നിന്നു രക്ഷപ്പെട്ടു എന്നാണു് ഐതിഹ്യം.

കണ്ടോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മാഹാത്മ്യം! ചുമ്മാതാണോ ആടുതോമയുടെ അച്ഛൻ തിലകൻ പറഞ്ഞതു് ലോകം മുഴുവൻ മാത്തമാറ്റിക്സാണെന്നു്!

ജോസഫസ് പ്രശ്നത്തെപ്പറ്റി കൂടുതലറിയാൻ വിക്കിപീഡിയയോ വൂൾഫ്രം മാത്ത് വേൾഡോ വായിക്കുക.

19 വാക്കുകളുള്ള ഒരു വായ്ത്താരിയുപയോഗിച്ചൂ് പതിനായിരം കുട്ടികൾ അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി കളിച്ചാൽ അവസാനം ആരു ജയിക്കും എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി പറയാൻ കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കാതെ ഇന്നും ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്നു ചുരുക്കം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാത്ത അനേകം കാര്യങ്ങൾ ഇനിയുമുണ്ടെന്നു മനസ്സിലായില്ലേ? നമ്മുടെ അത്തളപിത്തളക്കളി ആളു പുലിയാണെന്നും!

ഇതെങ്ങനെ ജോസഫസ് കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നാണു് എന്റെ സംശയം. അങ്ങേർ 41 കല്ലുകൾ വട്ടത്തിൽ വെച്ചു് ഓരോന്നും എടുത്തുകളഞ്ഞു് ഏതു് അവസാനം വരും എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചുകാണും. ഒരു പക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്രം പരാജയപ്പെടുന്നിടത്തു് സിമുലേഷൻ ജയിക്കും എന്നതിന്റെ ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണം ആവാം അതു്. കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ പ്രചാരത്തോടെ ഇന്നു് പല പ്രശ്നങ്ങളും ഇങ്ങനെ ശുദ്ധഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സും സിമുലേഷനും ഉപയോഗിച്ചു് നിർദ്ധരിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഒരു തവണ ഒരാളെ ‘റാൻഡം’ ആയി കണ്ടുപിടിക്കാനും കുട്ടികൾ ഇതുപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. (അമേരിക്കയിൽ “ഈനാ, മീനാ…” വായ്ത്താരിയാണു് ഇങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടുള്ളതു്.) ഇത്തരം ആവശ്യങ്ങൾക്കു് വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യയാകണമെന്നു നിർബന്ധമില്ല.

കൃത്യമായി ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയ്ക്കു ശേഷം സംഭവിക്കുന്ന ഇതിനെ റാൻഡം എന്നു വിളിക്കാനും പറ്റില്ല. എങ്കിലും റാൻഡം നമ്പർ (റാൻഡം നമ്പറാഭാസം എന്നു പറയണം -pseudo-random number) ഉണ്ടാക്കാനുള്ള ഒരു വഴി ഈ അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി തന്നെയാണെന്നതാണു സത്യം.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ആളുകൾ പുറത്താകുന്നില്ല എന്നു കരുതുക. v വാക്കുകളും k കുട്ടികളും (0 മുതൽ k-1 വരെ നമ്പരുകൾ) ഉള്ള കളിയിൽ ഓരോ തവണയും ഏതു കുട്ടിയാണെന്നു നോക്കാം.

എന്നിങ്ങനെ. ചുരുക്കത്തിൽ

ഇതിനെ അല്പം കൂടി ഭേദപ്പെടുത്തിയാൽ, അതായതു് വലത്തുവശത്തെ ആദ്യത്തെ പദത്തെ ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ, താഴെപ്പറയുന്ന രീതി കിട്ടും.

ഇതു തന്നെയാണു് മിക്കവാറും സോഫ്റ്റ്‌വെയറുകളിലും റാൻഡം നമ്പർ ഉണ്ടാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ലീനിയർ കോൺഗ്ര്വെൻഷ്യൽ (Linear congruential) രീതി. a എന്ന സംഖ്യയ്ക്കു ചില പ്രത്യേകതകൾ ഉണ്ടെന്നു മാത്രം. സാധാരണയായി k, v എന്നിവ അഭാജ്യസംഖ്യകളായിരിക്കും.

അക്കുത്തിക്കുത്തു കളിക്കു് ഇത്രയധികം ഗണിതശാസ്ത്രപ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നു് ആരെങ്കിലും കരുതിയോ?

ഇത്രയും പറഞ്ഞതിൽ‌നിന്നു് അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് നമ്പർ തിയറിയിലെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ അറിവുണ്ടായിരുന്നു എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ? ആ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പ്രസ്താവിച്ചു തെളിയിച്ചവരല്ല, അക്കുത്തിക്കുത്തു വായ്ത്താരി പോലെയുള്ളവ ഉണ്ടാക്കിയവരാണു യഥാർത്ഥത്തിൽ ആ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാക്കൾ എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ?

സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പൈതൃകത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അവകാശവാദങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഈ വിധത്തിലാണു് പോകുന്നതു്. അങ്ങനെയാണു് പിംഗളൻ ബൈനോമിയൽ തിയറം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും വേദങ്ങളിൽ കാൽക്കുലസ് ഉണ്ടാകുന്നതും വാല്മീകിയുടെ കാലത്തു വിമാനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും മറ്റും.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നവർ ആവർത്തിക്കാതെ കഴിയുന്നത്ര വിതരണം ചെയ്തു പോകണമെന്നുണ്ടായിരുന്നു. ചില എണ്ണങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതും ചിലവ ആവർത്തിക്കാതിരിക്കുന്നതും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവാം. അങ്ങനെ പലതു ശ്രമിച്ചിട്ടാവാം ഇന്നു പ്രചാരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഉണ്ടായതു്. അല്ലെങ്കിൽ, വായ്ത്താരികളിൽ നിന്നു് ഈ പ്രത്യേകത ഉള്ളവ മാത്രം പ്രചാരത്തിലായി എന്നുമാവാം. അവയ്ക്കും അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ആരും ശ്രദ്ധിച്ചു കാണില്ല. അതുകൊണ്ടാണു് ആരും ഇതുവരെ അതിനെപ്പറ്റി എഴുതി വെയ്ക്കാഞ്ഞതു്.

മറിച്ചു്, സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടാക്കിയവർ അതു് ഒരു ദിവസം കൊണ്ടു് ഉണ്ടാക്കിയതല്ല. (ആപ്പിൾ തലയിൽ വീണപ്പോൾ പെട്ടെന്നു ബോധോദയം ഉണ്ടായി ന്യൂട്ടൻ ഗുരുത്വാകർഷണനിയമം ഉണ്ടാക്കി എന്ന കള്ളക്കഥയാണല്ലോ നമുക്കു കൂടുതൽ പരിചയം!) അക്കുത്തിക്കുത്തു കളികൾ പോലെ നാട്ടിൽ പ്രചരിക്കുന്ന പല കളികളുടെയും പ്രസ്താവനകളുടെയും പസിലുകളുടെയും ഉള്ളുകള്ളികളിലേയ്ക്കു ചുഴിഞ്ഞാലോചിച്ചവർ അവരുടെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും പിന്നീടു വന്നവർ അവയെപ്പറ്റി കൂടുതൽ പഠിച്ചു് സിദ്ധാന്തങ്ങളാക്കി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തതാവാം. നൂറ്റാണ്ടുകൾ നീണ്ടുനിന്ന ശാസ്ത്രവികാസത്തിന്റെ ക്രെഡിറ്റ് “അമ്പത്താറു്” കളിയിൽ അവസാനം വിളിച്ചുനിർത്തുന്നവൻ മാത്രം കുണുക്കിറക്കുന്നതു പോലെ അവസാനത്തെ കുരുക്കഴിച്ചവന്റെ പേരിൽ മാത്രം പതിയുന്നു എന്നു മാത്രം. കാൽക്കുലസ് കണ്ടുപിടിച്ച ന്യൂട്ടൻ/ലൈബ്നിറ്റ്സും ഫെർമയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ച വെയിൽ‌സും ഇതിനു് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം.

ഞാൻ മലയാളം ബ്ലോഗിംഗു തുടങ്ങിയിട്ടു് നാലു വർഷം തികയുന്നു. 2005 ജനുവരി 19-നെഴുതിയ ആദ്യ പോസ്റ്റ്. ഇതു് ഇരുനൂറ്റിമുപ്പത്തേഴാമത്തെ പോസ്റ്റ്. അതായതു്, ഏകദേശം ആറു ദിവസത്തിൽ ഒരു പോസ്റ്റു വീതം. അനോണി ആന്റണി, ബെർലി, നമതു് തുടങ്ങിയവരെ അപേക്ഷിച്ചു നോക്കുമ്പോൾ ഒന്നുമല്ലെങ്കിലും ഇത്രയും നാൾ വലിയ മുടക്കമില്ലാതെ എഴുതാൻ കഴിഞ്ഞതിൽ സന്തോഷം.

സയന്‍സ് അങ്കിളിന്റെ ദാസിന്റെ പച്ചക്കറിക്കട - ഒരു ചെറിയ ഗണിതപ്രശ്നം എന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം കമന്റായി കൊടുക്കാമെന്നു കരുതിയപ്പോള്‍  എന്ന ടാഗു പോലും അവിടെ അനുവദിക്കുകയില്ലെന്നു കണ്ടു. അതിനാല്‍ അതു് ഇവിടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ചോദ്യം:

പച്ചക്കറി വ്യാപാരിയായ ദാസിന്റെ കടയില്‍ നാല്പതു കിലോ തൂക്കമുള്ള ഒരു കട്ടിയുണ്ടായിരുന്നു. കരിങ്കല്ലില്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈ കട്ടിയുപയോഗിച്ച് അദ്ദേഹം മരച്ചീനിയും മറ്റും മൊത്തമായി തൂക്കി വാങ്ങി ചില്ലറ കച്ചവടം നടത്തി ജീവിച്ചു പോരുന്നു. അങ്ങനെയിരിക്കെയാണ് ആ ദുരന്തമുണ്ടായത്. തൂക്കുന്നതിന്നിടയില്‍ നാല്പതു കിലോ കരിങ്കല്‍ക്കട്ടി നിലത്തു വീണ് നാലു കഷണമായി. ദാസ് സങ്കടത്തിലായി.

ദാസിന്റെ ഭാര്യ തൂക്ക കട്ടിയുടെ കഷണങ്ങള്‍ പരിശോധിച്ചു നോക്കിയപ്പോള്‍ അത്ഭുതം! ത്രാസിന്റെ ഇരുതട്ടുകളിലും കഷണങ്ങള്‍ മാറിയും തിരിഞ്ഞും പെറുക്കി വെച്ചാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ 40 വരെയുള്ള ഏതു തൂക്കവും (1കിലോ,2 കിലോ, 3കിലോ ……, 39 കിലോ, 40 കിലോ) ഒറ്റയടിക്ക് ഇപ്പോള്‍ തൂക്കിയെടുക്കാം. ദാസിനും ഭാര്യയ്ക്കും സന്തോഷത്തിന്നതിരില്ല.

പൊട്ടിയ നാലുകഷണങ്ങള്‍ക്കും എത്ര കിലോ വീതം ഭാരമുണ്ടെന്ന് കൂട്ടുകാര്‍ക്കറിയാമോ?

ഉത്തരം:

1, 3, 9, 27 എന്നതാണു് ഉത്തരം. കൂടാതെ 2, 3, 9, 27 എന്ന ഉത്തരവും ശരിയാവുമെന്നു തോന്നുന്നു.

ഞാന്‍ ചെയ്ത വഴി:

സൌകര്യത്തിനായി പച്ചക്കറി ഇടത്തേ തട്ടിലും കട്ടികള്‍ വലത്തേ തട്ടിലുമാണു് ഇടുന്നതെന്നു കരുതുക. തൂക്കം ശരിയാക്കാന്‍ കുറേ കട്ടികള്‍ ഇടത്തേ തട്ടിലും ഇട്ടേയ്ക്കാം.

1 എന്തായാലും വേണ്ടി വരും. അല്ലെങ്കില്‍ 1, 39 എന്നിവ തൂക്കാന്‍ പറ്റില്ല. 1 കഴിഞ്ഞാല്‍ 2 തൂക്കാനായി 3 വേണ്ടിവരും. 1, 3 ഇവ ഉണ്ടെങ്കില്‍ 4 വരെ തൂക്കാം. പിന്നെ 5 തൂക്കാന്‍ ഏറ്റവും നല്ലതു് ഈ 4 കട്ടികളും ഇടത്തേ തട്ടിലിട്ടിട്ടു് 9 വലത്തേ തട്ടിലിടുകയാണു്. 1, 3, 9 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു് 13 വരെ തൂക്കാം. പിന്നെ 14 തൂക്കാന്‍ 13 + 14 = 27-ന്റെ കട്ടി വേണം. 1 + 3 + 9 + 27 = 40 ആയതുകൊണ്ടു് ഇത്ര മതി.

മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ n കട്ടികള്‍ കൊണ്ടു്

വരെ തൂക്കാം. അതായതു് n = 4 ആകുമ്പോള്‍ 40 വരെ.

നാലു വ്യത്യസ്ത കട്ടികള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ എത്ര വ്യത്യസ്ത തൂക്കങ്ങള്‍ തൂക്കാം?

ഓരോ കട്ടിയും മൂന്നു വിധത്തില്‍ വെയ്ക്കാം - ഒന്നുകില്‍ വലത്തേ തട്ടില്‍, അല്ലെങ്കില്‍ ഇടത്തേ തട്ടില്‍. അതുമല്ലെങ്കില്‍ രണ്ടിടത്തും വെയ്ക്കാതെ.

ഓരോ കട്ടിയ്ക്കും ഇങ്ങനെ മൂന്നു നിലകളുള്ളതുകൊണ്ടു് മൊത്തം 3 x 3 x 3 x 3 = 81 തരത്തില്‍ അവയെ വിന്യസിക്കാം. ഈ 81 നിലകളെ അടുത്തടുത്തായി ആവര്‍ത്തിക്കാതെ വരത്തക്കവിധത്തില്‍ വിന്യസിക്കുകയാണു വേണ്ടതു്.

1, 3, 9, 27 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു് -40, -39, … -2, -1, 0, 1, 2, …., 39, 40 എന്നീ 81 വിവിധ തൂക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം. അവയില്‍ നമുക്കു വേണ്ടതു് 1 മുതലുള്ളവയായതുകൊണ്ടാണു് (81 - 1) /2 = 40 തൂക്കങ്ങളായതു്.

സാമാന്യമായിപ്പറഞ്ഞാല്‍, n കട്ടികളെക്കൊണ്ടു് 3ⁿ കോംബിനേഷന്‍ ഉണ്ടാക്കാം. അവയിലെ പൂജ്യവും നെഗറ്റീവ് തൂക്കങ്ങളും ഒഴിവാക്കിയാല്‍ (3ⁿ - 1) / 2 എന്നു കിട്ടും. മുകളില്‍ കൊടുത്ത സൂത്രവാക്യം കിട്ടാന്‍ മറ്റൊരു വഴി ഇതാണു്.

സാധാരണ പലചരക്കുകടകളിലും മറ്റും കാണുന്ന തൂക്കങ്ങളില്‍ 20 വരെ തൂക്കാന്‍ 1, 2, 2, 5, 10 എന്നീ കട്ടികളാണുള്ളതു്. ഇവിടെ ഇടത്തുതട്ടില്‍ കട്ടികള്‍ വെയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

അഞ്ചു കട്ടികള്‍ ശരിക്കുപയോഗിച്ചാല്‍ 20 വരെയല്ല, 31 വരെ ഉപയോഗിക്കാം. 1, 2, 4, 8, 16 എന്നിവയാണു് ആ കട്ടികള്‍. അതായതു് 2⁰, 2¹, 2², …, 2^n-1 എന്നീ n കട്ടികള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 0 മുതല്‍ 2ⁿ - 1 വരെയുള്ള 2ⁿ വരെയുള്ള തൂക്കങ്ങള്‍ തൂക്കാം.

ഒരു പ്രത്യേക തൂക്കം തൂക്കാന്‍ ഏതൊക്കെ കട്ടികള്‍ ഉപയോഗിക്കണം എന്നു കണ്ടുപിടിക്കാനും എളുപ്പമാണു്. അതിനെ ദ്വ്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ (ബൈനറി സിസ്റ്റം) ആക്കുക. എന്നിട്ടു വലത്തു വശത്തുള്ള ഓരോ അക്കവും നോക്കുക. അവ 1, 2, 4,… എന്നീ തൂക്കങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവയില്‍ 1 എന്നു വരുന്നതു മാത്രം എടുക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിനു്, 19 തൂക്കാന്‍ 19-നെ ബൈനറി സിസ്റ്റത്തില്‍ എഴുതുക. 10011 എന്നു കിട്ടും. അപ്പോള്‍ 1, 2, 16 എന്നീ കട്ടികള്‍ എടുക്കുക. (4, 8 എന്നിവ വേണ്ട.) 1 + 2 + 16 = 19.

ഇടത്തേ തട്ടില്‍ക്കൂടി വെയ്ക്കാനാണെങ്കില്‍ സംഗതി കുറച്ചുകൂടി സങ്കീര്‍ണ്ണമാകും. ബൈനറിയ്ക്കു പകരം ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായം (ടേര്‍നറി സിസ്റ്റം) ഉപയോഗിക്കേണ്ടിവരും. (കാരണം മുമ്പു പറഞ്ഞതു തന്നെ. ഒരു കട്ടിയ്ക്കു മൂന്നുതരം സ്ഥിതിയുണ്ടു് ഇപ്പോള്‍.) എന്നിട്ടു് അതിനെ ദ്വ്യങ്ക-അക്കങ്ങള്‍ മാത്രമുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതുകയും വേണം.

വിശദവിവരങ്ങള്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ വഴി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ഉദാഹരണമായി 10 എങ്ങനെ തൂക്കണം എന്നു നോക്കാം. ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ 10 എഴുതുന്നതു് 101 എന്നാണു് (1 x 9 + 0 x 3 + 1 x 1). ഇതില്‍ 1, 0 എന്നിവ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, 2 ഇല്ല. ഇങ്ങനെ വന്നാല്‍ എളുപ്പമാണു്. വലത്തുവശത്തു മാത്രമേ കട്ടികള്‍ ആവശ്യമുള്ളൂ. വലത്തുവശത്തുനിന്നുള്ള ഓരോ സ്ഥാനത്തിനും 1, 3, 9, … എന്നിങ്ങനെ കൊടുത്തിട്ടു് 1 എന്നുള്ളവ മാത്രം എടുത്താല്‍ ഉത്തരമായി. അതായതു് 1, (3 വേണ്ട), 9 എന്നിവ വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക.

പ്രശ്നം വരുന്നതു് 32 പോലെയുള്ള തൂക്കങ്ങളിലാണു്. ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ 32 എഴുതുന്നതു് 1012 എന്നാണു്. (1 x 27 + 0 x 9 + 1 x 3 + 2 x 1). ഇതില്‍ 2-നെ നമുക്കു് ഒഴിവാക്കണം. 1012 എന്ന ത്ര്യങ്കസംഖ്യയെ 1, 0 എന്നിവ മാത്രമുള്ള രണ്ടു ത്ര്യങ്കസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതണം. അതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം.

വലത്തു വശത്തു നിന്നു തുടങ്ങാം. ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തു് 2 ആണു്. അതിനോടു് 1 കൂട്ടിയാല്‍ 2 + 1 = 10 (ത്ര്യങ്കം) ആകും. അതായതു് 1012 + 1 = 1020 (ത്ര്യങ്കം). അവസാനത്തെ അക്കം 0 ആയി. ഇനി മൂന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള 2-നെ ഒഴിവാക്കാന്‍ 10 കൂട്ടുക. 1020 + 10 = 1100 (ത്ര്യങ്കം). മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 1012 + 11 = 1100. അതായതു്

1012 = 1100 - 11 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 32 = 36 - 4)

ഇത്രയും ആയാല്‍ ഉത്തരമായി. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ വലത്തേ തട്ടിലിടുന്ന കട്ടികളെയും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുന്ന കട്ടികളെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ വലത്തേ തട്ടില്‍ (1, 3 വേണ്ട), 9, 27 എന്നിവയും, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 1, 3 എന്നിവയും ഇടണം എന്നു കിട്ടും.

ഇനി ഒരു വലിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം. 617 എങ്ങനെ തൂക്കും? നമ്മുടെ കയ്യില്‍ 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, … എന്നിങ്ങനെ മൂന്നിന്റെ ഘാതങ്ങളായ കട്ടികള്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക.

617 ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ 211212 ആണു് (ഇവിടെ സംഖ്യകളെ ഒരു ബേസില്‍ നിന്നു മറ്റൊന്നിലേയ്ക്കു മാറ്റാം.). നമുക്കു വലത്തു വശത്തു നിന്നു തുടങ്ങി 2-കളെ 0 ആക്കാം. (പൂജ്യങ്ങളെയും ഒന്നുകളെയും വെറുതേ വിടുക.)

 211212 +
      1
------------
 211220 +
     10
-----------
 212000 +
   1000
------------
 220000 +
  10000
-----------
1000000

ഒറ്റ സ്റ്റെപ്പായി എഴുതിയാല്‍,

 211212 +
  11011
-----------
1000000

അതായതു്, 211212 = 1000000 - 11011 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 617 = 729 - 112)

വലത്തേ തട്ടില്‍ (1000000) : (1, 3, 9, 27, 81, 243 വേണ്ട), 729
ഇടത്തേ തട്ടില്‍ (11011) : 1, 3, (9 വേണ്ട), 27, 81.

അതായതു്, വലത്തേ തട്ടില്‍ 729, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 1, 3, 27, 81.

617 = 729 - 81 - 27 - 3 - 1 എന്നു കാണാം.

ഒരുദാഹരണം കൂടി. 574.

574 = 210021 (ത്ര്യങ്കം). കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ ഒരു സ്റ്റെപ്പില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

 210021 +
 100010
-----------
1010101

അതായതു് 210021 = 1010101 - 100010 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 574 = 820 - 246)

വലത്തേ തട്ടിലിടണ്ടതു്: 1, (3 വേണ്ട), 9, (27 വേണ്ട), 81, (243 വേണ്ട), 729
ഇടത്തേ തട്ടിലിടേണ്ടതു്: (1 വേണ്ട), 3, (9, 27, 81, വേണ്ട), 243

അതായതു്, വലത്തേ തട്ടില്‍ 1, 9, 81, 729, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 3, 243.

574 = 1 + 9 + 81 + 729 - 2 - 243 എന്നതു ശരിയാണെന്നു കാണാം.

വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെ. സാധാരണ പച്ചക്കറിക്കടക്കാരന്‍ കുഴങ്ങിപ്പോവുകയേ ഉള്ളൂ. എങ്കിലും കണക്കറിയാമെങ്കില്‍ ചെയ്യാന്‍ കഴിയും എന്നു സാരം.

കണക്കറിയാത്തവര്‍ക്കും ജീവിക്കണ്ടേ സാര്‍? ഈ ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിക്കാതെ എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?

മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക സൂക്ഷിച്ചു പരിശോധിച്ചാ‍ല്‍ വലിയ കണക്കൊന്നും ഉപയോഗിക്കാതെ ഇതു ചെയ്യാന്‍ പറ്റും.

നമുക്കു് y എന്ന തൂക്കമാണു ഒരു തട്ടില്‍ ഇടേണ്ടതെന്നിരിക്കട്ടേ. 1, 3, 9, 27, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള തൂക്കങ്ങളില്‍ ഒന്നാണു y എങ്കില്‍ നമുക്കു് അവിടെ നിര്‍ത്താം.
അല്ലെങ്കില്‍ 1, 3, 9, 27, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള തൂക്കങ്ങളില്‍ y-യ്ക്കു തൊട്ടു താഴെയുള്ളതു് x എന്നും മുകളിലുള്ളതു് z എന്നും ഇരിക്കട്ടേ.
(ഉദാഹരണമായി y = 30 ആണെങ്കില്‍ x = 27, z = 81.)
y > (z/2) ആണെങ്കില്‍ തട്ടില്‍ z ഇടുക, എന്നിട്ടു് മറ്റേ തട്ടില്‍ (z - y) ഇടാനുള്ള വഴി കണ്ടുപിടിക്കുക.
അല്ലെങ്കില്‍ തട്ടില്‍ x ഇടുക. എന്നിട്ടു് ആ തട്ടില്‍ത്തന്നെ (y-x) ഇടാനുള്ള വഴി കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഓരോ സ്റ്റെപ്പു കഴിയുമ്പോഴും y-യുടെ വില കുറഞ്ഞുവരും. അവസാനം അതു് 1, 3, 9, … ഇവയില്‍ ഒന്നാവും. അപ്പോള്‍ നിര്‍ത്താം.

മുകളില്‍ക്കൊടുത്തതില്‍ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം ഒന്നു ചെയ്തു നോക്കാം.

574 തൂക്കണം.

• അതായതു്, 574 വലത്തേ തട്ടില്‍.
• 729-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതു കൊണ്ടു് 729 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 729 - 574 = 155 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
• 155 ഇടത്തേ തട്ടില്‍.
• 243-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 243 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 243 - 155 = 88 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
• 88 വലത്തേ തട്ടില്‍.
• 243-ന്റെ പകുതിയില്‍ കുറവായതുകൊണ്ടു്, 81 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 88 - 81 = 7 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
• 7 വലത്തേ തട്ടില്‍.
• 9-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 9 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 9 - 7 = 2 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
• 2 ഇടത്തേ തട്ടില്‍.
• 3-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 3 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 3 - 2 = 1 വലത്തേ തട്ടില്‍.
• 1 വലത്തേ തട്ടില്‍.

അപ്പോള്‍,

• വലത്തേ തട്ടില്‍: 729, 81, 9, 1
• ഇടത്തേ തട്ടില്‍: 243, 3

ഇങ്ങനെയും ഇതു ചെയ്യാം എന്നു സാരം.

ആലാഹയുടെ പെണ്മക്കള്‍, മാറ്റാത്തി എന്നീ മനോഹരനോവലുകള്‍ എഴുതിയ സാറാ ജോസഫിന്റെ ഈ സീരീസിലെ അടുത്ത നോവലാണു് ഒതപ്പു്. പുസ്തകം വാങ്ങിയെങ്കിലും മുമ്പുള്ള രണ്ടു പുസ്തകങ്ങളും വായിച്ചുതീരാത്തതിനാല്‍ വായിച്ചു തുടങ്ങിയില്ല. എങ്കിലും അതിന്റെ ആമുഖം വായിച്ചു. സെന്‍ ചിന്തകര്‍, ഖലീല്‍ ജിബ്രാന്‍, രജനീഷ്, ജിദ്ദു കൃഷ്ണമൂര്‍ത്തി തുടങ്ങിയവരുടെ ആശയങ്ങള്‍ ഈ പുസ്തകത്തിലുണ്ടത്രേ. വൈകാതെ വായിക്കണം.

ആമുഖത്തിലെ ഈ വാക്യങ്ങള്‍ അല്പം ചിന്തിപ്പിച്ചു.

‘ഒതപ്പു്’ എന്ന വാക്കിനു നിഘണ്ടുവില്‍ അര്‍ത്ഥം പറഞ്ഞുകാണുന്നില്ല. മറ്റൊരാളിനു് ഒതപ്പു് ഉണ്ടാക്കരുതു് എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ അതിനര്‍ത്ഥം തെറ്റു ചെയ്യാനുള്ള പ്രേരണ അഥവാ പ്രലോഭനം ഉണ്ടാക്കരുതു് എന്നാണെന്നു പറയാം. തത്തുല്യമായി ഒരൊറ്റവാക്കു പറയാന്‍ കഴിയുന്നില്ല. ഇംഗ്ലീഷില്‍ scandal എന്ന വാക്കു് ഏകദേശം ഉപയോഗിക്കാം എന്നു തോന്നുന്നു.

ഉരല്‍, ഉലക്ക, ഉറപ്പു്, കുട്ട തുടങ്ങിയവ ഗ്രാമ്യഭാഷയില്‍ ഒരല്‍, ഒലക്ക, ഒറപ്പു്, കൊട്ട എന്നിങ്ങനെ മാറുന്നതുപോലെ ഉതപ്പു് എന്ന വാക്കു മാറിയതാണു് ഒതപ്പു് എന്നു ചിന്തിച്ചാല്‍ നിഘണ്ടുവില്‍ അതു കണ്ടുകിട്ടിയേനേ. ശബ്ദതാരാവലിയില്‍ ഇങ്ങനെ കാണുന്നു:

ഉതപ്പു് - ഇടര്‍ച്ച, എതിര്‍പ്പു്, ചവിട്ടു്, തൊഴി.

വാക്കുണ്ടെങ്കിലും, ഇതൊന്നും സാറാ ജോസഫ് പറഞ്ഞ അര്‍ത്ഥമല്ലല്ലോ. എനിക്കു വീണ്ടും ചിന്താക്കുഴപ്പമായി.

സിബുവാണു് ഈ സംശയത്തിനു സമാധാനമുണ്ടാക്കിയതു്. ബൈബിള്‍ ഭാഷയില്‍ ഇടര്‍ച്ച എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ മനസ്സിന്റെ ഇടര്‍ച്ച, പ്രലോഭനം എന്നൊക്കെയാണത്രേ അര്‍ത്ഥം. ഇടര്‍ച്ചയ്ക്കു് ആ അര്‍ത്ഥമാണു് എങ്കില്‍ ഉതപ്പിനും ആ അര്‍ത്ഥം അങ്ങനെ വന്നതായിരിക്കും.

അപ്പോള്‍ എല്ലാം ശരിയായി. ഒന്നൊഴികെ.

ഇതിനോടു് ഏറ്റവും അടുത്തുനില്‍ക്കുന്ന ഇംഗ്ലീഷ് വാക്കു് scandal എന്നാണെന്നു ഗ്രന്ഥകര്‍ത്രി പറയുന്നു. ആ വാക്കിനു് അപവാദം, അപകീര്‍ത്തി, ദൂഷണം എന്നൊക്കെയാണല്ലോ അര്‍ത്ഥം. ഞാന്‍ പരിശോധിച്ച എല്ലാ ഇംഗ്ലീഷ്-ഇംഗ്ലീഷ്, ഇംഗ്ലീഷ്-മലയാളം നിഘണ്ടുക്കളിലും ആ അര്‍ത്ഥമാണു കാണുന്നതു്. അതു് ഒതപ്പിനു് ഏകദേശമെങ്കിലും തത്തുല്യമായ പദമാകുന്നതെങ്ങനെ?

സാറാ ജോസഫിന്റെ കയ്യില്‍ ഏതൊക്കെ നിഘണ്ടുക്കളാവും ഉണ്ടാവുക?

(ചിത്രം വരച്ചതു്: സിബു)

(മുന്നറിയിപ്പു്: ശ്രീ എന്‍. എസ്. മാധവന്റെ “ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെ ലുത്തിനിയകള്‍” എന്ന നോവലിലെ ക്ലൈമാക്സുള്‍പ്പെടെയുള്ള ചില കഥാതന്തുക്കള്‍ ഈ പോസ്റ്റില്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ടു്. ആ പുസ്തകം ഇതു വരെ വായിച്ചിട്ടില്ലാത്ത, ഇനി വായിക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന, ക്ലൈമാക്സ് പൊളിഞ്ഞ പുസ്തകം വായിച്ചാല്‍ ഹൃദയസ്തംഭനം ഉണ്ടാകുന്ന, ആരെങ്കിലും ഇതു വായിക്കുന്നുണ്ടെങ്കില്‍ വായന ഇവിടെ നിര്‍ത്തുക.)

ബ്ലോഗുകളൊഴികെ മലയാളം എന്തെങ്കിലും വായിക്കുന്നതു വളരെ ചുരുക്കമാണു്. ആനുകാലികപ്രസിദ്ധീകരണങ്ങളൊന്നും വരുത്തുന്നില്ല. കയ്യിലുള്ള പുസ്തകങ്ങളാകട്ടേ, പല തവണ വായിച്ചിട്ടുള്ളവയുമാണു്. വല്ലപ്പോഴും ഏതെങ്കിലും സുഹൃത്തിന്റെ കയ്യില്‍ നിന്നു കടം വാങ്ങി വായിക്കുന്ന പുസ്തകങ്ങള്‍ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. അതും നൂറു പേജു വായിക്കാന്‍ ഞാന്‍ നാലഞ്ചു മാസമെടുക്കും.

ഈയിടെ സിബുവിന്റെ കയ്യില്‍ നിന്നു് എന്‍. എസ്. മാധവന്റെ “ലന്തന്‍ ബത്തേരിയയിലെ ലുത്തിനിയകള്‍” കിട്ടി. വളരെയധികം കേട്ടിട്ടുള്ള പുസ്തകമാണു്. വളരെ ഇഷ്ടപ്പെടുകയും ചെയ്തു. ഇതു തിരിച്ചു കൊടുത്തിട്ടു് സാറാ ജോസഫിന്റെ “ആലാഹയുടെ പെണ്മക്കള്‍”, മുകുന്ദന്റെ “ദൈവത്തിന്റെ വികൃതികള്‍” എന്നിവയില്‍ ഏതാണു് ആദ്യം കടം വാങ്ങേണ്ടതു് എന്നു് ഇതു വരെ തീരുമാനിച്ചില്ല.

വ്യക്തിത്വമുള്ള കഥാപാത്രങ്ങള്‍, മനോഹരമായ ആഖ്യാനരീതി, പ്രത്യേകതകള്‍ നിറഞ്ഞ സംസാരഭാഷ, ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെയും ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തിലെയും സംഭവങ്ങള്‍ കഥാനായികയായ ജെസീക്കയുടെ ജീവിതമായി കൊരുത്തു കൊണ്ടു പോകുന്നതിന്റെ വൈദഗ്ദ്ധ്യം മുതലായവ കൊണ്ടു് ഈയടുത്ത കാലത്തു വായിച്ച നോവലുകളില്‍ ഏറ്റവും പ്രിയപ്പെട്ടതായി ലന്തന്‍ ബത്തേരിയയിലെ ലുത്തിനിയകള്‍.

ലന്തന്‍ ബത്തേരിയില്‍ എന്നെ ഏറ്റവും ആകര്‍ഷിച്ചതു് അതിലെ ചരിത്രാഖ്യാനത്തിന്റെ ചാരുതയാണു്. അമ്പതുകളുടെ മദ്ധ്യം മുതല്‍ അറുപതുകളുടെ മദ്ധ്യം വരെയുള്ള പതിറ്റാണ്ടിലെ കേരള-ഭാരത-ലോക ചരിത്രം (കമ്യൂണിസത്തിന്റെ മുന്നേറ്റം, ഇ. എം. എസ്. മന്ത്രിസഭ, വിമോചനസമരം, ചൈനായുദ്ധം, നെഹ്രുവിന്റെ മരണം, കെന്നഡിയുടെ വധം, ജീവിതനൌക, ചെമ്മീന്‍, ഭാര്യ, കണ്ടം ബെച്ച കോട്ടു് തുടങ്ങിയ പല മലയാളസിനിമകളും ഇറങ്ങിയതു് തുടങ്ങി വളരെയധികം സംഭവങ്ങള്‍) ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെ മനുഷ്യരുടെ കണ്ണുകളില്‍ കൂടി വിവരിക്കുന്നതു് ഒരു വശം; വിദേശികളുടെ അധിനിവേശത്തെപ്പറ്റി പല കഥാപാത്രങ്ങളുടെയും വാക്കുകളിലൂടെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതു മറ്റൊരു വശം. ലന്തന്‍ ബത്തേരിക്കാരുടെ സംസ്കാരത്തിന്റെ ഭാഗമായ ചവിട്ടുനാടകം നോവല്‍ മുഴുവന്‍ നിറഞ്ഞു നില്‍ക്കുമ്പോള്‍ അതിനിടയിലും, തടിയിലെ വാര്‍ഷികവലയങ്ങളെപ്പറ്റി മത്തേവുശാരി ജെസിക്കയ്ക്കു പറഞ്ഞു കൊടുക്കുമ്പോഴും ഇടയില്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്ന ഗാന്ധിവധം, സൈഗാള്‍ തുടങ്ങിയ ഹിന്ദി ഗായകരെപ്പറ്റിയുള്ള പരാമര്‍ശം തുടങ്ങി പറഞ്ഞുകേട്ടു മാത്രമുള്ള പല സംഭവങ്ങളും മനോഹരമായി കഥയില്‍ കടന്നു വരുന്നുണ്ടു്.

ലന്തന്‍ ബത്തേരിയയില്‍ പതിനാറു കൊല്ലക്കാലം ഫെര്‍മയുടെ (ഫെര്‍മാറ്റ് എന്നാണു പുസ്തകത്തില്‍. ശരിയായ ഉച്ചാരണം ഫെര്‍മ എന്നായതു കൊണ്ടു് ഞാന്‍ അതുപയോഗിക്കുന്നു.) അവസാനത്തെ തിയറം തെറ്റാണെന്നു തെളിയിക്കാന്‍ രാപകല്‍ പരിശ്രമിച്ച പുഷ്പാംഗദന്‍ എന്ന കണക്കുസാറിനെപ്പറ്റി പറയുന്നുണ്ടു്. ഫെര്‍മയുടെ അവസാനത്തെ തിയറം ലോകചരിത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാനസംഭവമാണു്. അതു ശരിയാണെന്നോ തെറ്റാണെന്നോ തെളിയിക്കാന്‍ ജീവിതം ഉഴിഞ്ഞുവെച്ച അനേകം ഗണിതജ്ഞര്‍ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു് - പ്രസിദ്ധരും അപ്രസിദ്ധരും. അവരുടെ പ്രതിനിധിയായി നോവലില്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന പുഷ്പാംഗദന്‍ മിഴിവുള്ള കഥാപാത്രമാണു്. പക്ഷേ, ഫെര്‍മയുടെ അവസാനത്തെ തിയറത്തെപ്പറ്റി നോവലിസ്റ്റ് പറയുന്ന കാര്യങ്ങളൊക്കെ പരമാബദ്ധവും.

ഇതിനെപ്പറ്റി പെരിങ്ങോടന്‍ രണ്ടു കൊല്ലം മുമ്പു് ഫെര്‍മായുടെ അവസാനത്തെ തിയൊറം എന്നൊരു പോസ്റ്റ് എഴുതിയിരുന്നു. മാതൃഭൂമിയില്‍ വന്ന ഒരു ലേഖനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണു് അദ്ദേഹം അതെഴുതിയതു്. മാതൃഭൂമിയിലെ ലേഖനം ഞാന്‍ വായിച്ചിട്ടില്ല. പെരിങ്ങോടന്റെ (അതു മാതൃഭൂമി ലേഖനത്തിലേതാവാം) നിരീക്ഷണത്തിലും ചില തെറ്റുകള്‍ കടന്നുകൂടിയിട്ടുണ്ടു് എന്നാണു് എനിക്കു തോന്നുന്നതു്.

മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ തെറ്റുകള്‍ നോവലിസ്റ്റ് പറഞ്ഞതല്ല, മറിച്ചു് പുഷ്പാംഗദന്‍ പറഞ്ഞതാണു് എന്നൊരു വാദം ഉണ്ടാവാം. എങ്കിലും ഒരു സ്കൂളിലെ കണക്കുമാഷ് ഇങ്ങനെയുള്ള ഭീമാബദ്ധങ്ങള്‍ കണക്കില്‍ വരുത്തുമോ? ഒരു ആറാം ക്ലാസ്സു കാരനു ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ തെളിയിക്കാവുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തത്തില്‍ പതിനാറു കൊല്ലം ഒരു ചെലവാക്കുമോ? പോട്ടേ, 11-നെ 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു 12 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ 13 കിട്ടും എന്നു പറയുമോ?

“ഇങ്ങനെയുള്ള അബദ്ധങ്ങള്‍ മാത്രം പറഞ്ഞും ജീവിച്ചും ജീവിതം മുഴുവന്‍ ഒരു അബദ്ധമായ സിദ്ധാന്തമായി പരിണമിച്ച ദാര്‍ശനികവ്യഥയുടെ പ്രതീകമാണു കഥയിലെ പുഷ്പാംഗദന്‍” എന്നോ മറ്റോ പറഞ്ഞു വേണമെങ്കില്‍ തടിയൂരാം. അങ്ങനെ മനഃപൂര്‍വ്വം വരുത്തിയ തെറ്റല്ലെങ്കില്‍, ഒന്നേ പറയാനുള്ളൂ. തന്റെ പുസ്തകത്തില്‍ ചരിത്രം, വള്ളപ്പണി, ചവിട്ടുനാടകം, ബിരിയാണിയുടെ പാചകക്രമം, ഹിന്ദുസ്ഥാനിസംഗീതം തുടങ്ങി പല വിഷയങ്ങളെപ്പറ്റി ശ്രീ മാധവന്‍ വിവരിക്കുന്നുണ്ടു്. ഇവയൊക്കെ അദ്ദേഹത്തിനു് അറിവുള്ള വിഷയങ്ങളാവണമെന്നില്ല. അതിനാല്‍ അവ വായിച്ചോ ആരോടെങ്കിലും ചോദിച്ചോ ആവാം അദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കിയതു്. അതു പോലെ ഗണിതവും കഥയില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിക്കണമെന്നു് അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിച്ചിരുന്നിരിക്കാം. പക്ഷേ, അതിനായി അദ്ദേഹം ആശ്രയിച്ച ആള്‍ തെറ്റിപ്പോയി എന്നേ പറയാനുള്ളൂ.

നോവലില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്ന പല സംഭവങ്ങളെപ്പറ്റിയും ശ്രീ എന്‍. എസ്. മാധവനു് ആധികാരികമായ വിവരം ഇല്ലെന്നു തോന്നുന്നു. പുസ്തകത്തിന്റെ ആദിയിലുള്ള നന്ദിപ്രകാശനത്തില്‍ പലരും ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയ തെറ്റുകളെപ്പറ്റി പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ടു്. വിശാലമായ ഒരു കാന്‍‌വാസില്‍ കഥ പറയുമ്പോള്‍ പലപ്പോഴും അതിനാവശ്യമായ വിവരങ്ങള്‍ മറ്റു പലയിടത്തു നിന്നും നേടേണ്ടതായി വരും. അതു സ്വാഭാവികം.

നേരേ മറിച്ചു്, ചരിത്രവസ്തുതകളെയും ശാസ്ത്രസത്യങ്ങളെയും മാറ്റിയെഴുതുന്നതു് ക്രിയേറ്റീവ് റൈറ്റിംഗിന്റെ ഭാഗമാണെന്ന വാദം ഉണ്ടായേക്കാം. അതിശയോക്തി മുതലായ അലങ്കാരങ്ങള്‍ തൊട്ടു മാജിക്കല്‍ റിയലിസം വരെ പല സാഹിത്യസങ്കേതങ്ങളും ഇതിനെ അനുവദിക്കുന്നുമുണ്ടു്. പക്ഷേ ഈ വിധത്തില്‍ വസ്തുതകള്‍ മാറ്റിമറിക്കുമ്പോള്‍ അതു മാറ്റിമറിച്ചവയാണു് എന്ന ബോധം വായനക്കാരനുണ്ടാവാറുണ്ടു്. നളചരിതവും കുഞ്ചന്‍ നമ്പ്യാരുടെ കഥയും പൊളിച്ചെഴുതിയ വി. കെ. എന്‍. പലപ്പോഴും വസ്തുതാകഥനങ്ങളില്‍ കാണിക്കുന്ന കൃത്യത അദ്ഭുതകരമാണു്. സിഡ്നി ഷെല്‍ഡനെപ്പോലെയുള്ള ത്രില്ലര്‍ എഴുത്തുകാരാകട്ടേ, ഓരോ പുസ്തകത്തിനും പിന്നില്‍ വളരെയധികം ഗവേഷണങ്ങള്‍ നടത്തിയിട്ടാണു് അതു പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതു്.

ആനന്ദിന്റെ “നാലാമത്തെ ആണി”, കസാന്ദ് സാക്കീസിന്റെ “ക്രിസ്തുവിന്റെ അന്ത്യപ്രലോഭനം”, ഡാന്‍ ബ്രൌണിന്റെ “ഡാവിഞ്ചി കോഡ്” തുടങ്ങിയ പുസ്തകങ്ങള്‍ വായിച്ചു് ആരും ബൈബിളിലെ കഥ തെറ്റിദ്ധരിക്കില്ല. കാരണം അവയില്‍ ഫിക്‍ഷനാണു കൂടുതല്‍ എന്നു് വായനക്കാര്‍ക്കറിയാം. എന്നാല്‍ അതുപോലെയല്ല യാഥാര്‍ത്ഥ്യത്തിലേക്കു കൂടുതല്‍ അടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന “ലന്തന്‍ ബത്തേരി” പോലെയുള്ള പുസ്തകങ്ങള്‍. ഈ യഥാര്‍ത്ഥാഭാസാഖ്യാനം വസ്തുതകളെ തെറ്റായി കാണാന്‍ വായനക്കാരെ പ്രേരിപ്പിച്ചേക്കാം. (നെഹ്രുവിന്റെ മുന്നില്‍ ചവിട്ടുനാടകം കാണിച്ച ഒരു സംഭവം മാത്രമേ ഇതില്‍ യാഥാര്‍ത്ഥ്യമല്ല എന്ന തോന്നല്‍ ഉണ്ടാക്കിയുള്ളൂ.)

ഉദാഹരണമായി, കൊളംബസിനും വാസ്കോ ഡി ഗാമയ്ക്കും മറ്റും യാത്ര ചെയ്യാന്‍ ഫണ്ടു കിട്ടിയതു് ഭൂമിയുടെ ചുറ്റളവിനെപ്പറ്റി അന്നുണ്ടായിരുന്ന അബദ്ധധാരണ കൊണ്ടാണു് എന്നു പുസ്തകത്തില്‍ പറയുന്നുണ്ടു്. ഈ വസ്തുത ശരിയാണോ തെറ്റാണോ എന്നു് എനിക്കറിയില്ല. പക്ഷേ, ഈ പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നു് അതൊരു പുതിയ അറിവായി ഞാന്‍ കൈക്കൊണ്ടു. പണ്ടു് ഓട്ടവയെ ഒഷാവ എന്നു വിളിച്ചതു പോലെ അതു് മറ്റു പലര്‍ക്കും കൈമാറി എന്നു വന്നേക്കാം. ലന്തക്കാരുടെയും മറ്റും അധിനിവേശത്തെപ്പറ്റിയും പല വാക്കുകളുടെയും ഉത്പത്തിയെപ്പറ്റിയും കേരളത്തിലെ രാഷ്ട്രീയചരിത്രത്തെപ്പറ്റിയും ഹിന്ദുസ്ഥാനി സംഗീതത്തെപ്പറ്റിയും പലതരം പാചകവിധികളെപ്പറ്റിയും ഇതു പോലെ ധാരാളം പരാമര്‍ശങ്ങള്‍ പുസ്തകത്തിലുണ്ടു്. ഇവയില്‍ എത്രത്തോളം ശരിയാണെന്നറിയാനുള്ള അവകാശം വായനക്കാരനില്ലേ?

ചരിത്രം പറയുന്ന കഥകള്‍ക്കുള്ള ഒരു പ്രശ്നം ആ കഥകളില്‍ കൂടി വായനക്കാരന്‍ ചരിത്രത്തെ കാണും എന്നതാണു്. സി. വി. രാമന്‍ പിള്ളയുടെ ആഖ്യായികള്‍ തിരുവിതാംകൂര്‍ ചരിത്രത്തെ വളച്ചൊടിച്ചതു് ഇവിടെ ഓര്‍ക്കാം. എം. ടി. യുടെ തിരക്കഥകള്‍ക്കു ശേഷം പെരുന്തച്ചനും ഉണ്ണിയാര്‍ച്ചയുമൊക്കെ വേറേ രൂപം പൂണ്ടു് മലയാളികളുടെ മനസ്സില്‍ ഇടം പിടിച്ചതു മറ്റൊരുദാഹരണം. ഒരു കാട്ടുപെണ്ണിനെ വളച്ചു ഗര്‍ഭിണിയാക്കിയതിനു ശേഷം കയ്യൊഴിഞ്ഞ ദുഷ്ടനായ രാജാവിനെ ധീരോദാത്തനതിപ്രതാപഗുണവാനാക്കി വെള്ളയടിക്കാന്‍ ഒരു പാവം മുനിയെ വില്ലനാക്കിയ കാളിദാസന്റെ പ്രവൃത്തിയും ഈക്കാര്യത്തില്‍ വ്യത്യസ്തമല്ല.

എന്തായാലും, കോട്ടയത്തെ തന്റെ വീട്ടിലിരുന്നു സ്വന്തം ഭാവനയിലൂടെ കാര്‍പാത്യന്‍ മലയിടുക്കുകളിലെ ഭൂപ്രകൃതി വര്‍ണ്ണിച്ച കോട്ടയം പുഷ്പനാഥിന്റെയും, വടക്കന്‍ പാട്ടുകളിലെ നായികമാരെ ബ്രേസിയറും ബ്ലൌസും ധരിപ്പിച്ച കുഞ്ചാക്കോയുടെയും വഴിയേ എന്‍. എസ്. മാധവന്‍ പോകരുതു് എന്നു് ആഗ്രഹമുണ്ടു്-എഴുത്തുകാരനു് സത്യം വളച്ചൊടിക്കാന്‍ എത്ര സ്വാതന്ത്ര്യം കൊടുക്കണമെന്നു വാദിച്ചാലും.

വിശേഷണങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുമ്പോള്‍ അവ ഏതിനെയാണു വിശേഷിപ്പിക്കുന്നതു്‌ എന്നതില്‍ സംശയമുണ്ടാകാതെ ഉപയോഗിക്കണമെന്നു്‌ എ. ആര്‍. രാജരാജവര്‍മ്മ പലയിടത്തു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്‌. അങ്ങനെ സംശയമുണ്ടാക്കുകയാണെങ്കില്‍ അതു്‌ ഒരു കാവ്യദോഷമാണെന്നും അദ്ദേഹം ഭാഷാഭൂഷണത്തില്‍ ഉദാഹരണസഹിതം പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌.

ഈ ദോഷത്തിന്റെ ഏറ്റവും നല്ല ഒരു ഉദാഹരണം എ.ആര്‍.-ന്റെ തന്നെയായിട്ടുണ്ടെന്നതു്‌ വിചിത്രം തന്നെ. അദ്ദേഹത്തിന്റെ കുമാരസംഭവം തര്‍ജ്ജമയില്‍ “പുഷ്പം പ്രവാളാപഹിതം…” എന്ന കാളിദാസശ്ലോകത്തിന്റെ തര്‍ജ്ജമയായ ചുവടെച്ചേര്‍ക്കുന്ന ശ്ലോകമാണു്‌ ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചതു്‌.

ചേലൊത്ത പുഷ്പമൊരു ചെന്തളിരില്‍പ്പതിച്ചാല്‍
അല്ലെങ്കില്‍ മുത്തുമണി നല്‍പ്പവിഴത്തില്‍ വച്ചാല്‍
തൊണ്ടിപ്പഴത്തിനെതിരാം മദിരാക്ഷി തന്റെ
ചുണ്ടില്‍പ്പരക്കുമൊരു പുഞ്ചിരിയോടെതിര്‍ക്കും.

ഈ ശ്ലോകത്തില്‍ “തൊണ്ടിപ്പഴത്തിനെതിരായതു്‌” എന്താണു്‌? മദിരാക്ഷിയോ ചുണ്ടോ പുഞ്ചിരിയോ? (ചുണ്ടാണു കവി ഉദ്ദേശിച്ചതു്‌)

അക്ഷരശ്ലോകത്തിനു വേണ്ടിയുള്ള യാഹൂ ഗ്രൂപ്പില്‍ പ്രേംജിയുടെ “നഞ്ഞാളും കാളിയന്‍ തന്‍…” എന്ന ശ്ലോകത്തെപ്പറ്റിയുള്ള സംവാദത്തിനിടയിലാണു്‌ ഇതിനെപ്പറ്റി കൂടുതല്‍ ചിന്തിക്കാനിടയായതു്‌.

(ഈ സംവാദത്തില്‍ പങ്കെടുത്ത ജ്യോതിര്‍മയി, വിശ്വപ്രഭ, ശ്രീധരന്‍ കര്‍ത്താ എന്നിവര്‍ക്കു നന്ദി.)

മേല്‍പ്പറഞ്ഞ ശ്ലോകത്തില്‍ “കുഞ്ഞാത്തോല്‍ പാലുകാച്ചും കരികലമതുതന്നുള്ളിലും തുള്ളിയോനേ” എന്നൊരു പ്രയോഗമുണ്ടു്‌. അതിലെ “കരികലം” എന്ന വാക്കിനു പകരം “കരിക്കലം” എന്നു വേണ്ടേ എന്നാണു സംശയം. ഇതു പറഞ്ഞപ്പോള്‍ കുഞ്ചന്‍ നമ്പ്യാര്‍ “പൊതിചോറുമെടുത്തു കൂട്ടുവാന്‍…” എന്നു പ്രയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതും ഒരാള്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടി.

“കരികലം”, “പൊതിചോറു്‌” എന്നീ പ്രയോഗങ്ങള്‍ തെറ്റല്ലേ എന്നും, അവ “കരിക്കലം”, “പൊതിച്ചോറു്‌” എന്നു വേണ്ടേ എന്നുമാണു ചോദ്യങ്ങള്‍.

മലയാളത്തില്‍, വിശേഷണവിശേഷ്യങ്ങള്‍ പൂര്‍വ്വോത്തരപദങ്ങളായി സമാസിച്ചാല്‍ ഉത്തരപദത്തിന്റെ ആദിയിലുള്ള ദൃഢാക്ഷരം ഇരട്ടിക്കും. (വിശേഷണവിശേഷ്യങ്ങള്‍ പൂര്‍വ്വോത്തരപദങ്ങളായ്‌ സമാസിക്കിലിരട്ടിപ്പൂ ദൃഢം പരപരാദികം എന്നു കേരളപാണിനീയം.) ക-ഘ, ച-ഝ, ട-ഢ, ത-ധ, പ-ഭ, ശ, ഷ, സ എന്നിവയാണു ദൃഢങ്ങള്‍. (ഖരാതിഖരമൂഷ്മാവും മൃദുഘോഷങ്ങളും ദൃഢം; പഞ്ചമം മദ്ധ്യമം ഹാവും ശിഥിലാഭിധമായ്‌ വരും - കേരളപാണിനീയം).

ഇതനുസരിച്ചു്‌, “പൊതിയായ ചോറു്‌” എന്നര്‍ത്ഥത്തില്‍ “പൊതിച്ചോറു്‌” എന്നും, “കരിപിടിച്ച കലം” എന്നര്‍ത്ഥത്തില്‍ “കരിക്കലം” എന്നും വേണം.(കരിമണല്‍, കരിനാക്കു്‌ തുടങ്ങിയവയില്‍ ദ്വിത്വം വേണ്ട - കാരണം, മ, ന, എന്നിവ ദൃഢങ്ങളല്ല.)

പക്ഷേ, “പൊതിഞ്ഞ ചോറു്‌” എന്നര്‍ത്ഥത്തില്‍ “പൊതിചോറു്‌” എന്നും, “കരിഞ്ഞ കലം” എന്നര്‍ത്ഥത്തില്‍ “കരികലം” എന്നും പറയാം എന്നൊരു വാദവും ഉയര്‍ന്നുവന്നു. ഈ വാക്കുകളില്‍, പൂര്‍വ്വപദം ഒരു ക്രിയാധാതുവായതുകൊണ്ടു്‌ ദ്വിത്വം ഉണ്ടാവുകയില്ല (അലുപ്താഖ്യസമാസത്തില്‍ധാതുപൂര്‍വ്വത്തിലും വരാ എന്നു കേരളപാണിനീയം.)എന്നാണു്‌ ഈ വാദം. എരിതീ, കടകോല്‍, ചാപിള്ള, അരകല്ല്‌, ഇടികട്ട തുടങ്ങിയവയെപ്പോലെ.

അവസാനം, നമ്പ്യാര്‍ക്കും പ്രേംജിയ്ക്കും തെറ്റുപറ്റിയിട്ടില്ല എന്നാണു്‌ തീരുമാനം. ആര്‍ക്കെങ്കിലും അഭിപ്രായമുണ്ടോ?