Gurukulam | ഗുരുകുലം

ഗൂഢലേഖനശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു രീതിയാണു് അക്ഷരങ്ങള്‍ അങ്ങോട്ടുമിങ്ങോട്ടും മാറ്റിമറിക്കുന്നതു്. അതിന്റെ ഒരു ലളിതമായ രീതിയാണു് ROT13.

A മുതല്‍ M വരെയുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ക്കു പകരം യഥാക്രമം N മുതല്‍ Z വരെയുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുകയാണു് ഇതിന്റെ രീതി. BAR എന്നതു ONE എന്നാകും, ONE എന്നതു BAR എന്നും. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ROT13 എന്ന വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം നോക്കുക.

ഇതിനോടു സദൃശമായ പലതും കേരളത്തിലുണ്ടായിരുന്നു. അതില്‍ പ്രമുഖമാണു മൂലഭദ്ര. ഒളിവില്‍ നടക്കുന്ന കാലത്തു്, ശത്രുവേതു് മിത്രമേതു് എന്നറിയാത്ത ഘട്ടത്തില്‍, തന്ത്രപ്രധാനമായ കാര്യങ്ങള്‍ സംസാരിക്കാന്‍ മാര്‍ത്താണ്ഡവര്‍മ്മ യുവരാജാവും രാമയ്യന്‍ ദളവയും കൂടി ഉണ്ടാക്കിയ ഭാഷ.

ഇംഗ്ലീഷുകാരുടെ ROT13 പോലെ തന്നെ അക്ഷരങ്ങളെ അങ്ങോട്ടുമിങ്ങോട്ടും മാറ്റിമറിച്ചുള്ള രീതിയാണു മൂലഭദ്രയ്ക്കു്. മൂലഭദ്രയുടെ ഫുള്‍ സ്പെസിഫിക്കേഷന്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

അകോ ഖഗോ ഘങശ്ചൈവ
ചടോ ഞണോ തപോ നമഃ
യശോ രഷോ ലസശ്ചൈവ
വഹ ക്ഷള റഴ റ്റന

അതായതു്, താഴെപ്പറയുന്ന അക്ഷരങ്ങളെ പരസ്പരം മാറ്റി ഉപയോഗിക്കുക.

അ – ക
(അതുപോലെ ആ – കാ, ഇ – കി എന്നിങ്ങനെയും. ഇനി വരുന്ന അക്ഷരങ്ങള്‍ക്കും ഇതു ബാധകമാണു്.)

ഖ – ഗ
ഘ – ങ

ച – ട
ഛ – ഠ
ജ – ഡ
ഝ – ഢ
ഞ – ണ

ത – പ
ഥ – ഫ
ദ – ബ
ധ – ഭ
ന – മ

യ ‌- ശ
ര – ഷ
ല – സ
വ – ഹ
ക്ഷ – ള
റ – ഴ
റ്റ (എന്റെ എന്നതിലെ എന്‍ കഴിഞ്ഞാലുള്ളതു്) – ന (നനഞ്ഞു എന്നതിലെ രണ്ടാമത്തെ അക്ഷരം)

ചില കാര്യങ്ങള്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക:

1. അന്നു് ‘ക്ഷ’യെ അക്ഷരമാലയിലെ ഒരു അക്ഷരമായി കരുതിയിരുന്നു. അതൊരു കൂട്ടക്ഷരമായി ഉച്ചരിക്കാതെ നാടന്മാര്‍ ഉച്ചരിക്കുന്നതുപോലെ ഉച്ചരിക്കുക. ഏതാണ്ടൊരു ‘ട്ഷ’ പോലെ. കൂട്ടക്ഷരമായ ‘ക്ഷ’ ‘ള്ള’യുടേത്താണു്.
2. ലിപിയില്ലെങ്കിലും റ്റയെയും നയെയും പ്രത്യേകം പരിഗണിച്ചിരിക്കുന്നതു നോക്കുക. ഇന്നു യൂണിക്കോഡിന്റെ കാലത്തുപോലും മനുഷ്യര്‍ക്കു ബുദ്ധി നേരേ ആയിട്ടില്ല.
3. മൂലഭദ്ര(മൂലഭദ്ര(X)) = X എന്ന നിയമം ഇവിടെയും ബാധകമാണു്.

ചില കൂട്ടക്ഷരങ്ങള്‍ നല്ല ഭംഗിയില്‍ വരും.

ഞ്ച – ണ്ട
മ്പ – ന്ത

തുടങ്ങി.

ഇനി നമുക്കു് ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്കു കടക്കാം.

കല – അസ (തിരിച്ചും അങ്ങനെയാണെന്നു പറയേണ്ടല്ലോ)
മനോരമ ആഴ്ചപ്പതിപ്പു് – നറ്റോഷന കാര്‍ട്ടത്തപിത്തു്
തെന്നുന്നു – പെമ്മുമ്മു

ഇനി, ചില വാക്കുകളുടെ മേല്‍ മൂലഭദ്ര നടത്തിയാലും അര്‍ത്ഥമുള്ള വാക്കുകള്‍ കിട്ടും. ഉദാഹരണത്തിനു്,

ഇഞ്ചി – കിണ്ടി
ഇഞ്ചിനീരന്‍ – കിണ്ടിമീശന്‍ (ഇതു പറഞ്ഞുതന്ന അനോണിമൌസിനു നന്ദി)
ഉഷ – കുര
അമ്മേ – കന്നേ (അമ്മയെ ഞാന്‍ ചെറുപ്പത്തില്‍ ഇങ്ങനെ വിളിക്കുമായിരുന്നു. ചേച്ചിയെ കുരട്ടേട്ടി എന്നും.)
അറത്തു് – കഴപ്പു്
കോഴ – ഓറ

എങ്കിലും ചൊറിച്ചുമല്ലല്‍ പോലെ രണ്ടു വിധത്തിലും പൂര്‍ണ്ണ അര്‍ത്ഥമുള്ള വാക്യങ്ങള്‍ മൂലഭദ്രയില്‍ വിരളമാണു്. അസഭ്യവും ഉണ്ടാകാമെങ്കിലും ചൊറിച്ചുമല്ലല്‍ പോലെ ഇല്ല്ല.

പറയാനുള്ള കോഡുഭാഷയാണു മൂലഭദ്ര. എഴുതുമ്പോള്‍ ചില പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടു്. “ക്ക” എഴുതുന്നതാണു് ഒരു പ്രശ്നം.

ക്ക = അ് അ
ക്കു = ഉ് ഉ

എന്നിങ്ങനെ. വരമൊഴി, കീമാന്‍, യൂണിക്കോഡ് സ്റ്റാന്ദേര്‍ഡ് തുടങ്ങിയവ മാറ്റിയെഴുതേണ്ടി വരും രണ്ടു സ്വരങ്ങളെ ചന്ദ്രക്കലയിട്ടു യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഒന്നാക്കാതെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ 🙂

സി. വി. രാമന്‍ പിള്ളയുടെ മാര്‍ത്താണ്ഡവര്‍മ്മ എന്ന നോവല്‍ വായിച്ചിട്ടുള്ളവര്‍ക്കു് ഓര്‍മ്മയുണ്ടാവും മാങ്കോയിക്കല്‍ക്കുറുപ്പിന്റെ വീട്ടില്‍ വെച്ചു് മാര്‍ത്താണ്ഡവര്‍മ്മയും പരമേശ്വരന്‍ പിള്ളയും കൂടി ഇതു സംസാരിക്കുന്നതു്.

– ടപിഉ് ഉനോ?
– ലൂള്ളിഅ അഞം.
– തസ്നറ്റാധതുഷപ്പു് കിപ്ഴ ഭൃപിശിസ് കാക്ഷ് കശട്ടപു് കെമ്പിറ്റു്?

എന്നു വെച്ചാല്‍,

– ചതിക്കുമോ?
– സൂക്ഷിക്കണം.
– പത്മനാഭപുരത്തു് ഇത്ര ധൃതിയില്‍ ആള്‍ അയച്ചതു് എന്തിനു്? (ത്മ എന്നതു് ല്മ എന്നാണു് ഉച്ചരിച്ചതു്)

ഇനി നമുക്കു മൂലഭദ്രയില്‍ സംസാരിക്കാം. ഇതിനെ ആദ്യം ആരു മനസ്സിലാക്കും എന്നു നോക്കട്ടേ. ആദ്യം കിട്ടുന്നവര്‍ കമന്റായി ഇടുക.

കീ സേഗറ്റപ്പിറ്റെ കേപു ആന്നഖഴിശിസിചഞനെമ്മു ലന്യശനാശിഷുമ്മു. ധാഷപീശഖഞിപപ്പിസ്പ്പറ്റെ കിചാന്. കെമ്പാശാലുന് ഖൂഝസേഗറ്റയാപ്ഴപ്പിറ്റു ഏഷക്ഷപ്പിറ്റ്നെ ലന്ഢാഹറ്റശസ്സേ!

കാ എഹിറ്റ് കിപു ഹസ്സപുന് കഞ്ചാസ് തഷസ്ത്തേഷിറ്റെറുപിശതോസെ കിപിറ്റുന് കെറുതുന് കൊഷു ത്ഴോഖ്‌ഷാന്. കെറ്റ്നന്നേ!

കുറിപ്പുകള്‍:

1. ഇതു ഞാന്‍ വായിച്ചതു് ഈ. വി. കൃഷ്ണപിള്ളയുടെ ജീവിതസ്മരണകള്‍ എന്ന ആത്മകഥയിലാണു്. അതില്‍ രാമഡായി എന്ന കൂടുതല്‍ സങ്കീര്‍ണ്ണമായ ഭാഷയെപ്പറ്റിയും പറയുന്നുണ്ടു്. “അസ്പാ കദാ ഗഡാ ജസ്താ…” എന്നു പോകുന്നു അതിന്റെ ലക്ഷണം. അ-പ, ക-ദ, ഗ-ഡ, ജ-ത എന്നു് നല്ല കോമ്പ്ലിക്കേറ്റഡ് ആയിത്തന്നെ. കൂടുതല്‍ എന്‍ക്രിപ്ഷന്‍ വേണ്ടവര്‍ക്കു് അതു് ഉപയോഗിക്കാം.
2. ഉള്ളൂര്‍ കേരളസാഹിത്യചരിത്രത്തില്‍ മൂലഭദ്രയെപ്പറ്റി പറയുമ്പോള്‍ അല്പം കൂടി സങ്കീര്‍ണ്ണമാണു ലക്ഷണം. അതു് ആരെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചതായി കണ്ടിട്ടില്ല.

“ഗുരുകുല”ത്തിന്റെ ഭാഗമായ “ഭാരതീയഗണിതം” ബ്ലോഗില്‍ ഭാരതത്തിലെ പ്രാചീനാചാര്യന്മാരുടെ പല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെപ്പറ്റിയും ഞാന്‍ പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്. ഇതില്‍ നിന്നു ഞാന്‍ പ്രാചീനഭാരതത്തിലെ വിജ്ഞാനം ആധുനികശാസ്ത്രത്തിലുള്ള വിജ്ഞാനത്തെക്കാള്‍ മികച്ചതാണു് എന്നൊരു വിശ്വാസം വെച്ചുപുലര്‍ത്തുന്ന ആളാണെന്നുള്ള ഒരു വിശ്വാസം ചില വായനക്കാര്‍ക്കിടയില്‍ പ്രബലമായിട്ടുണ്ടു്. അങ്ങനെയല്ല എന്നു മാത്രമല്ല, ആ വാദത്തെ ശക്തമായി എതിര്‍ക്കുന്ന ആളാണു ഞാന്‍ എന്നു വ്യക്തമാക്കിക്കൊള്ളട്ടേ.

വേദങ്ങളിലും പിന്നീടുണ്ടായ ആര്‍ഷഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ലോകവിജ്ഞാനം മുഴുവനും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും, പാശ്ചാത്യവും പൗരസ്ത്യവുമായ യാതൊന്നിനും അതില്‍ നിന്നു മുന്നോട്ടു പോകാന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ലെന്നുമുള്ള ഒരു വിശ്വാസം ഭാരതീയരില്‍ പലര്‍ക്കും ഉണ്ടു്. അസംഖ്യം ഇ-മെയില്‍ സന്ദേശങ്ങളിലൂടെയും വെബ്‌സൈറ്റുകളിലൂടെയും ഇതു ഭാരതീയപൈതൃകത്തെപ്പറ്റി പരിഹാസ്യമായ പ്രസ്താവനകള്‍ നിരത്തിക്കൊണ്ടു പരന്നുകിടക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനമോ തെളിവുകളോ ഇല്ലാത്ത വെറും അവകാശവാദങ്ങള്‍ മാത്രമാണു് അവയില്‍ പലതും. “ഭാരതീയഗണിതം” അത്തരമൊരു സ്ഥലമല്ല.

പാശ്ചാത്യവും പൗരസ്ത്യവുമായ ഒട്ടനവധി കേന്ദ്രങ്ങളില്‍ നിന്നു വിജ്ഞാനമാര്‍ജ്ജിച്ചാണു് ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രം വളര്‍ന്നതു്. അതില്‍ ഇന്നുള്ളത്രയും വിജ്ഞാനം ഈ ഒരു കേന്ദ്രത്തിനും ഒറ്റയ്ക്കു് ഇല്ല. ഭാരതത്തിനും അതു ബാധകമാണു്.

ലോകത്തില്‍ വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ കിട്ടാഞ്ഞ ചില ഭാരതീയസംഭാവനകളെ അവതരിപ്പിക്കാനാണു ഇവിടെ ശ്രമിക്കുന്നതു്. അവയില്‍ത്തന്നെ, പില്‍ക്കാലത്തെ ആരുടെയെങ്കിലും പേരില്‍ കിടക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളാണു് ഇവിടെ അധികം പ്രതിപാദിക്കുന്നതു്.

സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമല്ല, അവയുടെ നിഷ്പത്തിയോ (derivation) ഉപപത്തിയോ (proof) കൂടി നല്‍കാനാണു ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രം ശ്രമിക്കുന്നതു്. ഇവയിലേതെങ്കിലുമുള്ളവയെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ (theorems) എന്നും ഇല്ലാത്തവയെ അഭ്യൂഹങ്ങള്‍ (conjectures) എന്നും വിളിക്കുന്നു. പല അഭ്യൂഹങ്ങളും പില്‍ക്കാലത്തു സിദ്ധാന്തങ്ങളായിട്ടുണ്ടു്.

പണ്ടുള്ളവര്‍ ഇതിനു പ്രാധാന്യം കൊടുത്തിരുന്നില്ല. ഭാരതീയര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച പല സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ അവരുടെ കൈവശമുണ്ടായിരുന്നു എന്നു വാസ്തവമാണു്. പക്ഷേ അവ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടില്ലാത്തതുകൊണ്ടു അവയെ അഭ്യൂഹങ്ങളില്‍ നിന്നു വേര്‍തിരിച്ചറിയുക വിഷമമാണു്.

ശരിയായ സിദ്ധാന്തങ്ങളോടൊപ്പം തന്നെ തെറ്റായ അനവധി അഭ്യൂഹങ്ങളും ഭാരതീയഗണിതത്തിലുണ്ടു്. അവയില്‍ ചിലതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ശുദ്ധഗണിതം മാത്രമേ ഇവിടെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുള്ളൂ. ഭാരതീയജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഇതില്‍ കൂടുതല്‍ തെറ്റുകളുണ്ടു്.

1. വൃത്തപരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയാണെന്നു് വളരെക്കാലം മുമ്പു തന്നെ അറിവുള്ളതാണെങ്കിലും വീരസേനന്‍ (ക്രി. പി. ഒന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടു്) എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ധവളടീക എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ അങ്ങനെയല്ല എന്നു പറയുന്നു:
   

   വ്യാസം ഷോഡശഗുണിതം
   ഷോഡശസഹിതം ത്രിരൂപരൂപഭക്തം
   വ്യാസ ത്രിഗുണിതസഹിതം
   സൂക്ഷ്മാദപി തദ്ഭവേത് സൂക്ഷ്മം

   വ്യാസത്തെ 16 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു 16 കൂട്ടി 113 (ത്രി-രൂപ-രൂപ – ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചു്) കൊണ്ടു ഹരിച്ച ഫലം വ്യാസത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ പരിധി സൂക്ഷ്മത്തിലും സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

   അതായതു്,

   

   (355/113) എന്നതു പൈയുടെ ഒരു നല്ല മൂല്യമാണു്. എങ്കിലും അനുപാതം സ്ഥിരസംഖ്യയല്ല എന്ന പ്രസ്താവം ശരിയല്ലല്ലോ.

2. ആര്യഭടന്‍ (ക്രി. പി. അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം കൊടുത്തതു തെറ്റാണു്.
   

   സമപരിണാഹസ്യാര്‍ദ്ധം
   വിഷ്കംഭാര്‍ദ്ധഹതമേവ വൃത്തഫലം
   തന്നിജമൂലേന ഹതം
   ഘനഗോളഫലം നിരവശേഷം

   വൃത്തപരിധിയുടെ പകുതിയെ വ്യാസത്തിന്റെ പകുതി കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. അതിനെ അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ (അതേ വ്യാസമുള്ള) ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കിട്ടും.

   വൃത്തഫലം കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യം ശരി തന്നെ.

   

   പക്ഷേ, ഗോളവ്യാപ്തം കിട്ടാന്‍ അതേ വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്താരത്തെ അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കൊണ്ടു ഗുണിക്കണം എന്നുള്ളതു തെറ്റാണു്. അതായതു്,

   

   ഇതു് ശരിയായ വ്യാപ്തത്തേക്കാള്‍ 25% കുറവാണു്. ചില ആളുകള്‍ ആര്യഭടന്‍ പൈയുടെ മൂല്യം തെറ്റായി കണക്കാക്കി എന്നു് ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പറയുന്നുണ്ടു്. അതു തെറ്റാണു്. ആര്യഭടനു് പൈയുടെ മൂല്യം നാലു ദശാംശസ്ഥാനത്തു ശരിയായി അറിയാമായിരുന്നു. (ഈ പോസ്റ്റു നോക്കുക.) ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഫോര്‍മുലയാണു് ആര്യഭടനു തെറ്റിയതു്.

   ക്യൂബിനെ സംബന്ധിച്ചു് ഇതു ശരിയാണു്. ക്യൂബിന്റെ വ്യാപ്തം (x³) അതേ വശമുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്താരത്തെ (x²) അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം (x) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതാണു്. അതില്‍ നിന്നു് ഈ നിയമം ആര്യഭടന്‍ തെറ്റായി അനുമാനിച്ചതാവണം എന്നു് നീലകണ്ഠന്‍ പ്രസ്താവിക്കുന്നുണ്ടു്.

   ഇതു് ഏഴു നൂറ്റാണ്ടിനുമുമ്പു് ഗ്രീസില്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) കൃത്യമായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതാണു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് ഭാരതത്തില്‍ ഇതു കൃത്യമായി ആദ്യം പറഞ്ഞതു്.

   വൃത്തക്ഷേത്രേ പരിധിഗുണിതവ്യാസപാദം ഫലം; തത്
   ക്ഷുണ്ണം വേദൈരുപരി പരിതഃ കന്ദുകസ്യേവ ജാലം
   ഗോളസ്യൈവം തദപി ച ഫലം പൃഷ്ഠജം; വ്യാസനിഘ്നം
   ഷഡ്‌ഭിര്‍ഭക്തം ഭവതി നിയതം ഗോളഗര്‍ഭേ ഘനാഖ്യം
   
   വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയെ വ്യാസത്തിന്റെ നാലിലൊന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. അതിനെ നാലു (വേദം = 4) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ അതേ വ്യാസമുള്ള ഒരു പന്തിന്റെ ചുറ്റുമുള്ള വിസ്താരം കിട്ടും. അതിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ആറു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ വ്യാപ്തം കിട്ടും.

   അതായതു്,

   

   ഇതു് ഒറ്റയടിക്കു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയും ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്:

   ഘനീകൃതവ്യാസദലം നിജൈക
   വിംശാംശയുഗ്‌ ഗോളഫലം ഘനം സ്യാത്
   
   വ്യാസത്തിന്റെ ഘനത്തിന്റെ പകുതിയോടു് അതിന്റെ ഇരുപത്തിയൊന്നിലൊന്നു കൂട്ടിയാല്‍ വ്യാപ്തമാകും.

   

   പൈയുടെ മൂല്യം (22/7) എന്നെടുത്തുള്ള ഫോര്‍മുലയാണു് ഇതെന്നു വ്യക്തം.

3. സമത്രികോണസ്തൂപത്തിന്റെ (tetrahedron) വ്യാപ്തം ആര്യഭടന്‍ കൊടുത്തിട്ടുള്ളതും തെറ്റാണു്.
   

   ത്രിഭുജസ്യ ഫലശരീരം
   സമദലകോടീഭുജാര്‍ദ്ധസംവര്‍ഗ്ഗഃ
   ഊര്‍ദ്ധ്വഭുജാതര്‍ത്സവര്‍ഗ്ഗാര്‍ദ്ധ
   സ ഘനഃ ഷഡശ്രിരിതി
   
   ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം ഒരു വശത്തിന്റെയും അതിന്റെ കോടിയുടെ (altitude) പകുതിയുടെയും ഗുണനഫലമാണു്. അതിനെ ഉയരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ പകുതിയാണു് ആറു വശമുള്ള സമരൂപത്തിന്റെ വ്യാപ്തം.

   

   ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ശരിയാണു്. (ഇതു വേദകാലത്തു തന്നെ അറിവുള്ളതാണു് – ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളില്‍ ഇതു പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്) പക്ഷേ ടെട്രാഹീഡ്രന്റെ വ്യാപ്തത്തിന്റേതു തെറ്റാണു്. ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലത്തെ ഉയരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ മൂന്നിലൊന്നാണു വ്യാപ്തം. (ഇതു് എല്ലാ സ്തൂപങ്ങള്‍ക്കും ബാധകമാണു്.)

   

4. ഒരു വൃത്തത്തില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്യാവുന്ന ത്രികോണം, സമചതുരം തുടങ്ങിയവയുടെ വശത്തിന്റെ നീളം ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:
   

   ത്രിദ്വങ്കാഗ്നിനഭശ്ചന്ദ്രൈ-
   സ്ത്രിബാണാഷ്ടയുഗാഷ്ടഭിഃ
   വേദാഗ്നിബാണഖാശ്വൈവ
   ഖഖാഭ്രാഭ്രരസൈഃ ക്രമാത്

   ബാണേഷുനഖബാണൈശ്ച
   ദ്വിദ്വിനന്ദേഷുസാഗരൈഃ
   കുരാമദശവേദൈശ്ച
   വൃത്തേ വ്യാസസമാഹതേ

   ഖഖഖാഭ്രാര്‍ക്കസംഭക്തേ
   ലഭ്യന്തേ ക്രമശോ ഭുജാഃ
   വൃത്താന്തത്ര്യസ്രപൂര്‍വ്വാണാം
   നവാസ്രാന്തം പൃഥക് പൃഥക്

   വൃത്തവ്യാസത്തെ 103923, 84853, 70534, 60000, 52055, 45922, 41031 എന്നിവ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 120000 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന മൂന്നു മുതല്‍ ഒന്‍‌പതു വരെ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ കിട്ടും.

   ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണു സംഖ്യകള്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്. ഖം = അഭ്രം = നഭ = ആകാശം = 0, കു = ഭൂമി = 1, ചന്ദ്ര = 1, ദ്വി = 2, ത്രി = 3, അഗ്നി = 3, രാമന്‍ (പരശു, ശ്രീ, ബലഭദ്ര) = 3, യുഗം = 4, വേദം = 4, സാഗരം = കടല്‍ = 4, ബാണം = ഇഷു = അമ്പു് = 5, രസം = 6, അശ്വം = കുതിര = 7, അഷ്ട = 8, നന്ദ = 9, ദശ = 10, നഖം = 20 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നു. വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടു വായിക്കണം എന്നോര്‍ക്കുക.

   ത്രി-ദ്വി-അങ്ക-അഗ്നി-നഭ-ചന്ദ്ര = 1-0-3-9-2-3
   ത്രി-ബാണ-അഷ്ട-യുഗ-അഷ്ട = 8-4-8-5-3
   വേദ-അഗ്നി-ബാണ-ഖ-അശ്വ = 7-0-5-3-4
   ഖ-ഖ-ഖ-അഭ്ര-അഭ്ര-രസ = 6-0-0-0-0
   ബാണ-ഇഷു-നഖ-ബാണ = 5-20-5-5
   ദ്വി-ദ്വി-നന്ദ-ഇഷു-സാഗര = 4-5-9-2-2
   കു-രാമ-ദശ-വേദ = 4-10-3-1

   ഇതനുസരിച്ചു് വ്യാസം 120000 ആയ വൃത്തത്തില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 എന്നീ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശത്തിന്റെ നീളങ്ങള്‍ യഥാക്രമം 103923, 84853, 70534, 60000, 52055, 45922, 41031 ആണു്.

   വ്യാസം d ആയ ഒരു വൃത്തത്തില്‍ n വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമബഹുഭുജം അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്താല്‍ അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിച്ചു്

   

   ആണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണു്. അതനുസരിച്ചുള്ള മൂല്യങ്ങള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു.

   വശങ്ങളുടെ	ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം
   എണ്ണം	ആധുനികഗണിതം	ഭാസ്കരാചാര്യര്‍
   3	103923.0485	103923
   4	84852.8137	84853
   5	70534.2303	70534
   6	60000.0000	60000
   7	52066.0487	52055
   8	45922.0119	45922
   9	41042.4172	41031

   ഇവയില്‍ 7, 9 എന്നിവയൊഴികെയുള്ളവ ശരിയാണു്. (എന്തുകൊണ്ടു് ഇവ രണ്ടും തെറ്റി എന്നതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍.) 7, 9 എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു നല്ല വ്യത്യാസമുണ്ടു്.

ഇതു ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു ശേഷമുള്ള കാര്യം. വേദകാലത്തുള്ള വിജ്ഞാനം ഇതിലും ശുഷ്കമാണു്. അന്നുള്ള വിജ്ഞാനത്തില്‍ മികവു കാട്ടിയിരുന്നു എന്നതു സത്യം. എങ്കിലും വേദഗണിതത്തില്‍ (Vedic Mathematics) ആധുനികഗണിതത്തിലുള്ള പല സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും പറ്റി പ്രതിപാദിച്ചിരുന്നു എന്നു പറയുന്നതു പൊള്ളയായ അവകാശവാദമാണു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളിലെ (ഇവയാണു ലോകത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങള്‍) മഹത്തായ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ – ഇതില്‍ നാം ഇന്നു പിഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം (Pythagorus theorem) എന്നു വിളിക്കുന്ന തത്ത്വവും ഉള്‍പ്പെടും – ഒഴിച്ചു നിര്‍ത്തിയാല്‍ വേദഗണിതത്തെപ്പറ്റി ഇന്നു പ്രചരിക്കുന്ന പല അവകാശവാദങ്ങളും അബദ്ധപ്പഞ്ചാംഗങ്ങളാണു്. അതിനെപ്പറ്റി വിശദമായ ഒരു ലേഖനം പിന്നീടു്.

ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ എന്ന ലേഖനത്തില്‍ ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഉണ്ടാക്കിയ ചില സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊടുത്തിരുന്നു. അതില്‍ ആദ്യത്തെയൊഴികെയുള്ളവയുടെ തെളിവുകള്‍ എനിക്കറിയില്ല.

ഞാന്‍ അവയുടെ ആദ്യത്തെ ഒരു ലക്ഷം പദങ്ങള്‍ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ചു് (സാധാരണ പ്രോഗ്രാമുകളില്‍ 14 സ്ഥാനങ്ങളില്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യത കിട്ടാത്തതുകൊണ്ടു് GMP, LiDIA എന്നീ ലൈബ്രറികളുപയോഗിച്ചു് ഒരു C++ പ്രോഗ്രാം എഴുതി 100 സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതയിലാണു് ഇവ കണ്ടുപിടിച്ചതു്) കണ്ടുപിടിച്ചതിന്റെ വിവരങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു. പൈയുടെ മൂല്യത്തിന്റെ എത്ര ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ ശരിയായി എന്ന വിവരമാണു് ഇതു്.

കര്‍ത്താവു്‍	സമവാക്യം	n പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ ശരിയാകുന്ന ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍
		n=10‍	n=100‍	n=1000	n=10000‍	n=100000‍
മാധവന്‍		0	1	2	3	4
പുതുമന സോമയാജി		3	6	9	12	14
പുതുമന സോമയാജി		4	7	10	13	16
ശങ്കരന്‍‍		5	15	15	15	15

(പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഔട്ട്പുട്ട് ഇവിടെ കാണാം.)

ഇതില്‍ നിന്നു താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ അനുമാനിക്കാം.

1. നാലാമത്തേതു് ശ്രേണി പൈയുടെ മൂല്യം 15 ദശാംശസ്ഥാനം വരെ ശരിയായി നല്‍കുന്ന, പെട്ടെന്നു converge ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണു്. അതു പൈയിലേക്കല്ല, അതിന്റെ ഒരു approximation-ലേക്കാണു converge ചെയ്യുന്നതു്. അതുകൊണ്ടു് അതു ശരിയല്ല.
2. 1, 2, 3 എന്നിവ പൈയിലേക്കു തന്നെ converge ചെയ്യുമെന്നു തോന്നുന്നു. കൂടുതല്‍ പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യത കിട്ടുന്നു.
3. ഒന്നാമത്തേതു് തികച്ചും ഉപയോഗശൂന്യം. രണ്ടാമത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും കൂടുതല്‍ നല്ലതു്.

ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍ (1887-1920) പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കുറേ ശ്രേണികള്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. അതില്‍ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായതു് താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

ഈ ശ്രേണി ഓരോ പദത്തിലും എട്ടു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ കൂടുതല്‍ ശരിയാക്കുമത്രേ. ഇതാണു് ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള fastest converging series for pi.

J.M. Borwein, P.B. Borwein എന്നീ ഗണിതജ്ഞര്‍ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് പൈയുടെ മൂല്യം ഒരു ബില്യണ്‍ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ഇവിടെ നോക്കുക.

ഈ സമവാക്യം സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ രാമാനുജന്റേതല്ല. രാമാനുജന്‍ നല്‍കിയ ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വിശേഷരൂപ(special case)ത്തില്‍ ചില ഭേദഗതികള്‍ വരുത്തി ഉണ്ടാക്കിയതാണതു്. എങ്കിലും അതു് രാമാനുജന്റേതായി അറിയപ്പെടുന്നു.

കഴിഞ്ഞ ഒരു ലേഖനത്തില്‍ (ഗ്രിഗറിസായ്പും മാധവനും) മാധവന്‍ പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ നല്കിയ അനന്തശ്രേണിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരുന്നു. ഭാരതീയര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച മറ്റു ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു. ഇവയെ ആധുനികഗണിതമുപയോഗിച്ചു തെളിയിച്ചു് ആ ഉപപത്തികള്‍ കൂടി ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാമേന്നു കരുതിയതാണു്. സമയം കിട്ടിയില്ല. ഏതായാലും ഇവ ഇവിടെ ഇടുന്നു. ഇതിന്റെ തെളിവുകള്‍ ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഉണ്ടാക്കാമെങ്കില്‍ കമന്റായി ഇടുക. (ഉമേഷ്.പി.നായര്‍ അറ്റ് ജിമെയില്‍ ഡോട്ട് കോമില്‍ അയച്ചാലും മതി) അതു ഞാന്‍ ഇവിടെ തെളിയിച്ച ആളിന്റെ പേരോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.

ഇവയില്‍ പലതും പാശ്ചാത്യര്‍ ഇതു വരെ കണ്ടുപിടിക്കാത്തതാണു്.

1. പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസാച്ചതുര്‍ഘ്നാദ് ബഹുധഃ പൃഥക് സ്ഥാത്
   ത്രിപഞ്ചസപ്താദ്യയുഗാഹൃതാനി
   വ്യാസേ ചതുര്‍ഘ്നേ ക്രമശസ്തൃണം സ്വം
   കുര്യാത് തഥാ സ്യാത് പരിധിഃ സുസൂക്ഷ്മഃ
   

   വ്യാസത്തെ നാലുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് വെവ്വേറേ വെച്ചു് ഓരോന്നിനെയും 3, 5, 7 തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചു്, നാലുകൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തില്‍ നിന്നു ഒന്നിടവിട്ടു കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

   ഇതു് മാധവ-ഗ്രിഗറി ശ്രേണി തന്നെയാണു്.

   

2. പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസാദ് വനസംഗുണിതാദ്
   പൃഥഗാപ്തം ത്ര്യാദ്യയുഗ്വിമൂലഘനൈഃ
   ത്രിഗുണവ്യാസേ സ്വമൃണം
   ക്രമശഃ കൃത്വാപി പരിധിരാനേയുഃ
   
   വ്യാസത്തെ നാലു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു്, വെവ്വേറെ വെച്ചിട്ടു്, ഓരോന്നിനെയും മൂന്നു തൊട്ടുള്ള ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഘനത്തില്‍ നിന്നു സംഖ്യ കുറച്ച ഫലം കൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു്, മൂന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തോടു ക്രമമായി കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും.

   

   അതായതു്,

   

3. പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
   
   വര്‍ഗ്ഗൈര്‍‌യുജാം വാ ദ്വിഗുണൈര്‍നിരേകൈര്‍-
   വര്‍ഗ്ഗീകൃതൈര്‍‌വര്‍ജിതയുഗ്മവര്‍ഗ്ഗൈഃ
   വ്യാസം ച ഷഡ്ഘ്നം വിഭജേത് ഫലം സ്വം
   വ്യാസേ ത്രിനിഘ്നേ പരിധിസ്തദാസ്യാത്
   

   ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയുടെയും വര്‍ഗ്ഗത്തെ രണ്ടു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു്, അതില്‍ നിന്നു് ഒന്നു കുറച്ചിട്ടു്, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തില്‍ നിന്നു് ആ ഇരട്ടസംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കുറച്ചിട്ടു്, ആറു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വാസത്തെ അതുകൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു്, മൂന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തോടു് അതു ക്രമമായി കൂട്ടിയാല്‍ പരിധി കിട്ടും.

   

   അതായതു്,

   

4. ശങ്കരന്റെ യുക്തിദീപികയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസവര്‍ഗ്ഗാദ് രവിഹതാത് പദം സ്യാത് പ്രഥമം ഫലം
   തതസ്തത്തത് ഫലാച്ചാപി യാവദിച്ഛം ത്രിഭിര്‍ ഹരേത്
   
   രൂപാദ്യയുഗ്മസംഖ്യാഭിര്‍ലബ്ധേഷ്വേഷു യഥാക്രമം
   വിഷമാനാം യുതേസ്ത്യക്തേ സമയോഗേ വൃതിര്‍ ഭവേത്
   
   വ്യാസത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തെ പന്ത്രണ്ടു (രവി = സൂര്യന്‍ = 12) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലമാണു് ആദ്യത്തെ ഫലം. തൊട്ടു മുമ്പത്തെ ഫലത്തെ മൂന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ അടുത്ത ഫലം കിട്ടും. ഓരോ ഫലത്തെയും 1, 3, 5, … തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒറ്റഫലങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഇരട്ടഫലങ്ങളെ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും.

   

   ഇവിടെ ആയതുകൊണ്ടു്

   

5. കടത്തനാട്ടു ശങ്കരവര്‍മ്മയുടെ സദ്രത്നമാലയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസഘ്നേऽര്‍ക്കകൃതേഃ പദേऽഗ്നിഭിരതോനൈതേ ച തത്തത്ഫലാത്
   ചാതൈക്യദ്യയുഗാ ഹൃതേഷു പരിധേര്‍ഭേദോ യുഗൌനൈക്യയോഃ
   ഏവം ചാത്ര പരാര്‍ദ്ധവിസ്തൃതിമഹാവൃത്തസ്യ നാഹോക്ഷരൈഃ
   സ്യാദ് ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ
   
   വ്യാസത്തെ പന്ത്രണ്ടു (അര്‍ക്ക = സൂര്യന്‍ = 12) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ മൂന്നു കൊണ്ടു ക്രമത്തില്‍ ഹരിക്കുകയും 1, 3, 5, … തുടങ്ങിയവ കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും അവയെ ഒന്നിടവിട്ടു കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും. പരാര്‍ദ്ധം വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി “ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ” ആണു്.

   പൂര്‍വാര്‍ദ്ധത്തിലെ അനന്തശ്രേണി തൊട്ടു മുന്നിലുള്ള ശ്രേണി തന്നെയാണു്. പരാര്‍ദ്ധം എന്നതു് -ഉം (ഈ ലേഖനം കാണുക.) “ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ” എന്നതു പരല്‍പ്പേര്‍ നുസരിച്ചു് (കെവിന്റെ ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക) 314159265358979324-ഉം ആണു്. എന്നര്‍ത്ഥം.

ഈ ലേഖനം അപൂര്‍ണ്ണമാണു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ ഇതില്‍ കൂട്ടിച്ചേര്‍ത്തുകൊണ്ടിരിക്കും. കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുന്നവയുടെ വിവരങ്ങള്‍ കമന്റായി കൊടുക്കും.

പ്രാചീനഭാരതത്തില്‍ വലിയ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ പല പേരുകളും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഇവയ്ക്കു് ഒരു ഐകരൂപ്യവുമില്ലായിരുന്നു. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടോടെ താഴെക്കൊടുക്കുന്ന സമ്പ്രദായം പ്രചാരത്തിലായി.

മൂല്യം	പേരു്
	ഏകം
	ദശം
	ശതം
	സഹസ്രം
	അയുതം
	ലക്ഷം
	പ്രയുതം
	കോടി
	അര്‍ബുദം
	അബ്ജം
	ഖര്‍വ്വം
	നിഖര്‍വ്വം
	മഹാപദ്മം
	ശങ്കു
	ജലധി
	അന്ത്യം
	മദ്ധ്യം
	പരാര്‍ദ്ധം

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ലീലാവതിയിലെ ഈ ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഇവ ക്രമമായി ഓര്‍ക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കാം:

ഏകദശശതസഹസ്രാ-
യുതലക്ഷപ്രയുതകോടയഃ ക്രമശഃ
അര്‍ബുദമബ്ജം ഖര്‍വനി-
ഖര്‍വമഹാപദ്മശംഖവസ്തസ്മാത്

ജലധിശ്ചാന്ത്യം മധ്യം
പരാര്‍ദ്ധമിതി ദശഗുണോത്തരാ സംജ്ഞാഃ
സംഖ്യായാഃ സ്ഥാനാനാം
വ്യവഹാരാര്‍ത്ഥം കൃതാഃ പൂര്‍വ്വൈഃ

ഇതിലെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ പരാര്‍ദ്ധം ആയതുകൊണ്ടു്, “അനന്തസംഖ്യ” എന്ന അര്‍ത്ഥത്തിലും അതു് ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. മഹാകവി ഉള്ളൂര്‍

പരാര്‍ദ്ധസംഖ്യം പരമാണുഗണം പരസ്പരം ചേരും
ശരീരമുടയോന്നല്ലീ സകലം ചരാചരഗ്രാമം

എന്നു പ്രേമസംഗീതത്തില്‍ പാടിയതു് ഈ അര്‍ത്ഥത്തിലാണു്.

മാധവ ഗ്രിഗറി ശ്രേണിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞപ്പോള്‍ നാം ഈ സമവാക്യം കലനമുപയോഗിച്ചു് ഉണ്ടാക്കിയെടുത്തിരുന്നു.

ഇവിടെ, എന്നു കൊടുത്താല്‍ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സാമാന്യനിയമം കിട്ടും.

ഈ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിച്ച ആളായി ഗ്രിഗറി, ലൈബ്‌നിറ്റ്സ്, മക്ലാരിന്‍ എന്നിവരുടെ പേരുകള്‍ കേള്‍ക്കാറുണ്ടു്. ഇതും മാധവന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നാണു വാസ്തവം. മാധവന്റെ ശ്ലോകം ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടില്ല. പുതുമന സോമയാജി (പതിനഞ്ചാം ശതകം) കരണപദ്ധതിയില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

വ്യാസാര്‍ധേന ഹതാദഭീഷ്ടഗുണതഃ കോട്യാപ്തമാദ്യം ഫലം
ജ്യാവര്‍ഗേണ വിനിഘ്നമാദിമഫലം തത്തത്ഫലം ചാഹരേത്
കൃത്വാ കോടിഗുണസ്യ തത്ര തു ഫലേഷ്വേകത്രിപഞ്ചാദിഭിര്‍-
ഭക്തേഷ്വോജയുതൈസ്ത്യജേത് സമയുതിം ജീവാധനുഃ ശിഷ്യതേ

ജ്യാവിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് കോടി കൊണ്ടു ഹരിച്ചതാണു് ആദ്യത്തെ പദം. തൊട്ടു മുമ്പുള്ള പദത്തെ ജ്യാവിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് കോടിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ അടുത്ത പദം കിട്ടും. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന പദങ്ങളെ 1, 3, 5, … എന്നിങ്ങനെ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒന്നിടവിട്ട പദങ്ങളെ കൂട്ടിയും കുറച്ചും (ഒറ്റപ്പദങ്ങളെ കൂട്ടിയും ഇരട്ടപ്പദങ്ങളെ കുറച്ചും) കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ ചാപം കിട്ടും.

ഇവിടെ ജ്യാ = , കോടി = എന്നാണര്‍ത്ഥം. (നിര്‍വ്വചനങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണുക.)
ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ കോടി = OB = a, ജ്യാ = AB = o എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

ഇവിടെ ആയതുകൊണ്ടു്

ഇതിനു് സരളജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു് ഉപപത്തികളും ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്.

കടത്തനാടു് ശങ്കരവര്‍മ്മയുടെ സദ്രത്നമാലയിലും ഈ സമവാക്യം കാണുന്നു.

കോടീഹൃതത്രിഗുണബാഹുവധേ ച തസ്മാ-
ത്തത്തത് ഫലാച്ച ഭുജവര്‍ഗ്ഗഹതാത്തു കോട്യാഃ
കൃത്യാ കൃതേഷു ച ധരാഗ്നിശരാദിഭക്തേ-
ഷ്വോജൈക്യതസ്ത്യജതു യുഗ്മയുതിം ധനുസ്തത്.

വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തെ കോടികൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ബാഹു (ഭുജം) കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. പിന്നീടുള്ള പദങ്ങള്‍ കിട്ടാന്‍ മുമ്പുള്ളതിനെ കോടിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു ഭുജവര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഈ പദങ്ങളെ ക്രമേണ ഒന്നു് (ധര = ഭൂമി), മൂന്നു് (അഗ്നി), അഞ്ചു് (ശരം = 5) തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒറ്റപ്പദങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഇരട്ടപ്പദങ്ങളെ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ ചാപം കിട്ടും.

ഇവിടെ ഭുജം, ബാഹു എന്നിവയെക്കൊണ്ടു OB-യെയും കോടി എന്നതിനെക്കൊണ്ടു് AB-യെയും ആണു് ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു്. “കോടി” എന്ന പേരു് രണ്ടര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഈ രണ്ടു ശ്ലോകങ്ങളില്‍ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു നോക്കുക.

ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പല സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ക്കു് ആധുനികഗണിതത്തിലെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ പ്രകടമാകാത്തതു് സങ്കേതത്തി(notation)ലുള്ള വ്യത്യാസം മൂലമാണു്. ഇനി പ്രതിപാദിക്കാന്‍ പോകുന്ന, ജ്യാമിതി(Geometry)യെപ്പറ്റിയുള്ള ചില ലേഖനങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ഉപകരിക്കുന്ന ചില സങ്കേതങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ആധുനികഗണിതം sin x, cos x തുടങ്ങിയ ത്രികോണമിതിയിലുള്ള സങ്കേതങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നിടത്തു് ഭാരതീയര്‍ ഭുജ, കോടി, ജ്യാ, കര്‍ണ്ണം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

ചിത്രത്തില്‍ OAB ഒരു മട്ടത്രികോണം (Right-angled triangle) ആണു്. B ആണു് മട്ടകോണ്‍ (right angle). x എന്ന കോണിനെ വ്യവഹരിക്കുമ്പോള്‍ OB എന്ന വശത്തെ ഭുജം (adjacent side) എന്നും AB എന്ന വശത്തെ ജ്യാ (opposite side) എന്നും വിളിക്കുന്നു. OA-യെ കര്‍ണ്ണം (hypotenuse) എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഭുജമ്, ജ്യാ എന്നിവയിലൊന്നു് ഉപയോഗിക്കുമ്പോള്‍ മറ്റേതിനെ കോടി (“കോടീ” എന്നു സംസ്കൃതത്തില്‍. നൂറു ലക്ഷം എന്ന സംഖ്യ “കോടി” ആണു്.) എന്നും പറയാറുണ്ടു്. അതായതു്, കോടി എന്നതു് ഭുജമോ ജ്യാവോ ആകാമെന്നര്‍ത്ഥം.

ത്രികോണത്തെ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍,

കര്‍ണ്ണം = OA = r
ഭുജം = OB = OA cos x = r cos x
ജ്യാ = AB = OA sin x = r sinx
കോടി എന്നതു ഭുജമോ ജ്യാവോ ആകാം.

കര്‍ണ്ണം വ്യാസാര്‍ദ്ധമായുള്ള വൃത്തത്തെ ഇതിനോടൊപ്പം പരിഗണിക്കാറുണ്ടു്. ഇവിടെ ACDയെ ചാപം (വില്ലു്) എന്നും ABDയെ ജ്യാ (ഞാണ്‍) എന്നും (ഈ ജ്യാ മുമ്പു പറഞ്ഞ ജ്യാവിന്റെ ഇരട്ടിയാണു്) BCയെ ശരം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

വൃത്തത്തെ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍,

വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം = OA = r
ജ്യാ = AD = 2 AB = 2r sin x
ശരം = BC = r – r cos x
ചാപം = ACD = rx (x റേഡിയനില്‍)

ഇവയുടെ പര്യായങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. ഭുജം എന്നതിനു പകരം ബാഹു, പാണി തുടങ്ങിയവയും, ചാപത്തിനു പകരം ധനു തുടങ്ങിയവയും.

കലന(Calculus)ത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു നാഴികക്കല്ലായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലാണു കലനം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടതെങ്കിലും അതിനു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പു തന്നെ അതിന്റെ കാതലായ സീമാസിദ്ധാന്തവും (Limit Theory) സമാകലനത്തിന്റെ (Integration) അടിസ്ഥാനസിദ്ധാന്തങ്ങളും ഗണിതജ്ഞന്മാര്‍ വിശദീകരിച്ചിരുന്നു.

പല പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കും വളരെ ലളിതമായ ഉത്തരങ്ങളും ഉപപത്തികളും നല്‍കാന്‍ സഹായിച്ചു എന്നതാണു്‌ കലനത്തിന്റെ ഒരു വലിയ ഉപയോഗം. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, -നെ ( എന്ന notation തെറ്റാണെന്നു് ഒരു വിഭാഗം ഗണിതജ്ഞര്‍ വാദിക്കുന്നുണ്ടു്.) ഒരു അനന്തശ്രേണിയായി എഴുതാന്‍ ഒരു സ്കൂള്‍ക്കുട്ടിക്കു പോലും കഴിയും:

ഇവിടെ x = 1 എന്നു കൊടുത്താല്‍ (*)

എന്നു കിട്ടും. ഈ ശ്രേണി ഗ്രിഗറി സീരീസ് എന്ന പേരിലാണു് പൊതുവേ അറിയപ്പെടുന്നതു്. ഇതു്‌ കലനം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെടുന്നതിനുമുമ്പു്‌ സ്കോട്ട്‌ലന്‍ഡിലെ ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന ജെയിംസ്‌ ഗ്രിഗറി (1638-1675) യാണു്‌ ആദ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നാണു പാശ്ചാത്യലോകം ഘോഷിക്കുന്നതു്‌. ത്രികോണമിതി (trigonometry) ഉപയോഗിച്ചു് അദ്ദേഹം ഇതു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ടത്രേ.

ഗ്രിഗറിക്കും മൂന്നു നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പു്‌ കേരളീയനായിരുന്ന മാധവന്‍ (1350-1425) എഴുതിയ ഈ നിയമം നോക്കൂ:

വ്യാസേ വാരിധിനിഹതേ
രൂപഹതേ വ്യാസസാഗരാഭിഹതേ
ത്രിശരാദിവിഷമസംഖ്യാ-
ഭക്തമൃണം സ്വം പൃഥക്‌ ക്രമാത്‌ കുര്യാത്‌
…
…
ലബ്ധഃ പരിധിഃ സൂക്ഷ്മോ
ബഹുകൃത്വോ ഹരണതോऽതിസൂക്ഷ്മഃ സ്യാത്‌

ഭൂതസംഖ്യയാണു് ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. വാരിധി (സാഗരം) = സമുദ്രം = 4, രൂപം = 1, ത്രി = 3, ശരം = (കാമദേവന്റെ) അമ്പു് = 5.

വ്യാസത്തിനെ നാലു (വാരിധി) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ഒന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചതിനോടു് വ്യാസത്തെ നാലു (സാഗരം) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് മൂന്നു് (ത്രി), അഞ്ചു് (ശരം) തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ച ഫലങ്ങള്‍ ക്രമേണ കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ ….. പരിധി കൂടുതല്‍ ക്രിയ ചെയ്യുന്തോറും കൂടുതല്‍ സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

അതായതു്, വ്യാസം (diameter) d-യും പരിധി (perimeter) p-യുമായാല്‍

ആയതുകൊണ്ടു്, ഇതില്‍ നിന്നു്

എന്നു കിട്ടും. ഇതു തന്നെയാണു ഗ്രിഗറിയുടെ ശ്രേണി.

ഈ ശ്രേണി നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ ഇല്ലാതെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റില്ല എന്നതു് മിക്കവാറും തീര്‍ച്ചയാണു്. മാധവന്റേതായി ഒരു ഉപപത്തി ഇതിനു കണ്ടിട്ടില്ല. (മാധവന്റെ എല്ലാ കൃതികളും നഷ്ടപ്പെട്ടു പോയിരിക്കുന്നു. മറ്റുള്ളവരുടെ ഉദ്ധരണികളില്‍ നിന്നാണു നാം മാധവനെ അറിയുന്നതു്. മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഞാന്‍ തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാനമായ യുക്തിദീപികയില്‍ (പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടു്) നിന്നാണു് ഉദ്ധരിക്കുന്നതു്) എങ്കിലും ഇതിന്റെ സരളജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു് ഒരു നിഷ്പത്തി മലയാളത്തിലുള്ള ഗണിതഗ്രന്ഥമായ യുക്തിഭാഷ (1475)യില്‍ (യുക്തിഭാഷയെപ്പറ്റി പറയാന്‍ ഇനിയൊരു പോസ്റ്റു തന്നെ വേണം) ഞാന്‍ വായിച്ചിട്ടുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജി(1444-1544)യും ഇതിനു നിഷ്പത്തി കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു വായിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

രസകരമായ ഒരു വസ്തുത, ഇതൊരു ഉപയോഗശൂന്യമായ ശ്രേണി ആണെന്നതാണു്. ഇതുപയോഗിച്ചു വൃത്തമുണ്ടാക്കാന്‍ പോയാല്‍ അതു ചതുരമായിപ്പോകും. വളരെ പതുക്കെ മാത്രം converge ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണിതു്. ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ 1000 പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ പൈയുടെ വില മൂന്നു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനു ശരിയായി കിട്ടും; ഒരു ലക്ഷം പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ അഞ്ചു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനും! ഇന്ത്യയില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ഈ ഉപയോഗശൂന്യമായ ശ്രേണി പിന്നീടു് ഗ്രിഗറിസായ്പ് ഒന്നു കൂടി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്തിനാണാവോ? ഇന്ത്യയില്‍ സംഘമായി വന്നു് ഇവിടെ നിന്നു കുരുമുളകും മറ്റും കടത്തിയ കൂട്ടത്തില്‍ അപൂര്‍വ്വഗ്രന്ഥങ്ങളും വണിക്കുകള്‍ പടിഞ്ഞാട്ടേക്കു കടത്തിയിട്ടുണ്ടാവാം. സായ്പിന്റെ നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ കണ്ടിട്ടു വേണം അതിനെ സോമയാജിയുടെ നിഷ്പത്തിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാന്‍. ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഇതിന്റെ ഗ്രിഗറിയുടെ തെളിവു് അറിയാമെങ്കില്‍ ദയവായി പോസ്റ്റു ചെയ്യുകയോ കമന്റു ചെയ്യുകയോ ലിങ്ക് നല്‍കുകയോ ചെയ്യുക.

വളരെ വേഗം converge ചെയ്യുന്ന ശ്രേണികള്‍ ഭാരതീയര്‍ തന്നെ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. മറ്റൊരു ലേഖനത്തില്‍ പ്രതിപാദിക്കാം. പൈയുടെ വില കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇന്നുള്ളതില്‍ ഏറ്റവും fastest converging series നമ്മുടെ ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്റേതാണു്. അതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു ലേഖനത്തില്‍.

(*): ഇതില്‍ ഒരു ചെറിയ കുഴപ്പമുണ്ടു്. എന്ന സമവാക്യം ആയാലേ ശരിയാകൂ. എങ്കിലും

എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും. x = 1 എന്നതിനു് ഇതും മാധവ/ഗ്രിഗറി ശ്രേണി തന്നെ തരുന്നു.

കൊല്ലവര്‍ഷത്തിലെ ഒരു തീയതിയില്‍ നിന്നു കലിദിനസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു ശ്ലോകം വിശ്വപ്രഭ അയച്ചുതന്നതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

കോളംബം തരളംഗാഢ്യം
ഗോത്രഗായകവര്‍ദ്ധിതം
കുലൈരാപ്തഫലം ത്വേക-
യുക്തം ശുദ്ധകലിര്‍ ഭവേത്.

ഇതു് ഏതെങ്കിലും വര്‍ഷത്തെ മേടം ഒന്നിന്റെ കലിദിനസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു് – പരല്‍പ്പേര്‍ ഉപയോഗിച്ചു്.

അതായതു്, കൊല്ലവര്‍ഷത്തോടു് 3926 കൂട്ടി 11323 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 31 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ആ വര്‍ഷത്തെ മേടം ഒന്നിന്റെ തലേന്നു വരെയുള്ള കലിദിനസംഖ്യ കിട്ടുമെന്നര്‍ത്ഥം.

ഉദാഹരണമായി. ഇക്കഴിഞ്ഞ മേടം 1, 2006 ഏപ്രില്‍ 14-നു് ആയിരുന്നല്ലോ. കൊല്ലവര്‍ഷം 1181 ആണു്.

എന്നു കിട്ടും. അതായതു് കലിദിനസംഖ്യ 1865373 + 1 = 1865374 ആണെന്നര്‍ത്ഥം. ഇവിടെ നോക്കി ഇതു സ്ഥിരീകരിക്കാം.

ഇതിന്റെ പിന്നിലെ തിയറി വളരെ ലളിതമാണു്. കലിവര്‍ഷം 3926-ല്‍ ആണു് കൊല്ലവര്‍ഷം തുടങ്ങിയതു്. (കൊല്ലത്തില്‍ തരളാംഗത്തെക്കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷമാം; കൊല്ലത്തില്‍ ശരജം കൂട്ടി ക്രിസ്തുവര്‍ഷം ചമയ്ക്കണം എന്നതനുസരിച്ചു് കൊല്ലവര്‍ഷത്തോടു 3926 (തരളാംഗം) കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷവും, 825 (ശരജം) കൂട്ടിയാല്‍ ക്രിസ്തുവര്‍ഷവും ലഭിക്കും.) അപ്പോള്‍ 3926 കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷം ലഭിക്കും. ഭാരതീയഗണിതപ്രകാരം ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം ആണു്. അതുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ കഴിഞ്ഞുപോയ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണവും കിട്ടും. അതിനോടു് ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ അന്നത്തെ ദിവസവും കിട്ടും. ഇതിന്റെ വിപരീതക്രിയ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ (ഒന്നു കുറച്ചു്, 31 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്, 11323 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു്, 3926 കുറച്ചാല്‍) കലിദിനസംഖ്യയില്‍ നിന്നു കൊല്ലവര്‍ഷവും കണ്ടുപിടിക്കാം.

മേടം 1-ന്റെ കലിദിനസംഖ്യയേ ഈ വിധത്തില്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റൂ. ഏതെങ്കിലും ദിവസത്തെ കലിദിനസംഖ്യ കാണാന്‍ മേടം ഒന്നു മുതലുള്ള ദിവസങ്ങള്‍ എണ്ണേണ്ടി വരും. കൊല്ലവര്‍ഷത്തില്‍ മറ്റു കലണ്ടറുകളെപ്പോലെ നിയതമായ തീയതിക്രമമില്ല. ഭൂമിയെ അനുസരിച്ചു് അക്കൊല്ലത്തെ സൂര്യന്റെ ചലനമനുസരിച്ചാണു് മാസങ്ങളിലെ തീയതികള്‍ വ്യത്യാസപ്പെടുക.

കലിദിനസംഖ്യയെപ്പറ്റി ഇതുവരെ എഴുതാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല. താമസിയാതെ എഴുതാം.

ഏതു ദിവസത്തിന്റെയും കലിദിനസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനും, കലിദിനസംഖ്യയില്‍ നിന്നു തീയതി കണ്ടുപിടിക്കാനുമുള്ള ഒരു ഓണ്‍‌ലൈന്‍ പ്രോഗ്രാം ഇവിടെ ഇട്ടിട്ടുണ്ടു്. ഇംഗ്ലീഷില്‍ ഒരു ചെറിയ കുറിപ്പും ഇട്ടിട്ടുണ്ടു്. ദയവായി പരീക്ഷിച്ചുനോക്കുക. അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക.