പ്രശ്നങ്ങള്‍ (Problems)

പ്രശ്നങ്ങള്‍ (puzzles) ഇഷ്ടമാണോ ആര്‍ക്കെങ്കിലും?

സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഒരു ചോദ്യം ഇ-മെയില്‍ വഴി ചോദിച്ചപ്പോഴാണു് പണ്ടുതൊട്ടേ വിചാരിച്ചിരുന്ന “പസില്‍ ബ്ലോഗ്” എന്ന ആശയം ഇവിടെത്തന്നെ തുടങ്ങിയാലോ എന്നു വിചാരിച്ചതു്.

ആശയം ഇതാണു്: രസകരങ്ങളായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ (puzzles) ചോദിച്ചിട്ടു് അവയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വിശകലനം ചെയ്യുക. കമന്റുകളിലൂടെ കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളും കിട്ടും.

നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക. പ്രധാനമായും ഈ കാര്യങ്ങളില്‍:

  1. ഇതു വേണോ?
  2. വേണമെങ്കില്‍, മലയാളമോ ഇംഗ്ലീഷോ ഒന്നു കൂടി നല്ലതു്? അതോ രണ്ടും കൂടിയോ?
  3. ഈ ബ്ലോഗില്‍ത്തന്നെ വേണോ അതോ വേറൊരു ബ്ലോഗില്‍ വേണോ?

    പസിലുകള്‍ക്കു തന്നെ വേറെ ഒരു ബ്ലോഗാണെങ്കില്‍ ഉള്ള മെച്ചങ്ങള്‍:

    • പല തരം പസിലുകള്‍ പല കാറ്റഗറികളിലാക്കാം.
    • കൂട്ടുബ്ലോഗ് ആക്കാം.
    • കമന്റുകള്‍ മോഡരേറ്റ് ചെയ്യാം (വിക്കി ക്വിസ് ടൈം പോലെ). എന്നിട്ടു് ഒന്നിച്ചു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.
    • വേറേ ടെമ്പ്ലേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം.
  4. കൂടുതല്‍ ഗണിതജ്ഞാനം ആവശ്യമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കണോ?
  5. മലയാളഭാഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങള്‍ ചേര്‍ക്കണോ?

ഇതു തുടങ്ങുകയാണെങ്കില്‍ എന്റെ മനസ്സിലുള്ള രീതി ഇതാണു്:

  1. പ്രധാനമായും നമ്മള്‍ കേട്ടിട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ആയിരിക്കും ഉണ്ടായിരിക്കുക. നമ്മള്‍ ചോദ്യവും ഉത്തരവും കേട്ടിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. പക്ഷേ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി അറിവുണ്ടാവുകയില്ല. അതറിയാന്‍ ഒരു അവസരം.
  2. അറിയാവുന്ന രീതികളെക്കാള്‍ എളുപ്പമുള്ള മറ്റു രീതികളുണ്ടാവും. അവയെപ്പറ്റി അറിയുക.
  3. ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റായോ ഇ-മെയിലായോ അയയ്ക്കാം. കമന്റുകള്‍ മോഡറേറ്റു ചെയ്യുകയുമാവാം.
  4. നാലഞ്ചു ദിവസം കഴിഞ്ഞു് ഉത്തരം പോസ്റ്റില്‍ത്തന്നെ ചേര്‍ക്കുക. ഒന്നിലധികം നല്ല ഉത്തരങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ എല്ലാം ചേര്‍ക്കുക. വേണമെങ്കില്‍ ശരിയുത്തരം അയച്ചവരുടെ പേരുകളും ചേര്‍ക്കാം.
  5. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ തുടങ്ങിയ ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ ശ്ലോകത്തില്‍ ചോദിച്ച ചോദ്യങ്ങളും ചേര്‍ക്കാം. അവയില്‍ പലതും ഈ ബ്ലോഗില്‍ ഈ കാറ്റഗറിയില്‍ മുമ്പു പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക.


ഉദാഹരണത്തിനു്, രണ്ടു ലളിതമായ ചോദ്യങ്ങള്‍:

  1. പന്ത്രണ്ടു മണിക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിട്ടു സൂചിയും ഒരേ ദിശയിലേക്കു ചൂണ്ടിയിരിക്കുമെന്നറിയാമല്ലോ. അതു കഴിഞ്ഞു് എത്ര സമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ അതേ സ്ഥിതി വരും?

    1:05-നും 1:10-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നറിയാം. കൃത്യമായി എത്ര സമയം എന്നു പറയണം. (സെക്കന്റ് സൂചി പരിഗണിക്കേണ്ട).

  2. മൂന്നു പെട്ടികള്‍. മൂന്നിലും ആഭരണങ്ങള്‍. മൂന്നിന്റെ പുറത്തും ലേബലുണ്ടു്. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം”, “വെള്ളി മാത്രം”, “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്നു മൂന്നു ലേബലുകള്‍. മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായ ലേബലാണുള്ളതെന്നു നമ്മളോടു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നുനോക്കാന്‍ നമുക്കു് അനുവാദമുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നു നോക്കിയിട്ടു് മൂന്നു പെട്ടിയുടെയും ലേബല്‍ ശരിയാക്കണം. എങ്ങനെ?

കട്ടിയുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ പിന്നെ ചോദിക്കാം. ഈ രണ്ടെണ്ണത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇപ്പോള്‍ കണ്ടുപിടിക്കണമെന്നില്ല.

പ്രശ്നങ്ങള്‍ (Problems)

Comments (62)

Permalink

ലീലാവതിയിലെ വേറൊരു പ്രശ്നം: അരയന്നങ്ങള്‍

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II - ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നു മറ്റൊരു പ്രശ്നം:

ബാലേ, മരാളകുലമൂലദലാനി സപ്ത
തീരേ വിലാസഭരമന്ഥരഗാണ്യപശ്യം
കുര്‍വഞ്ച കേളികലഹം കലഹംസയുഗ്മം
ശേഷം ജലേ, വദ മരാളകുലപ്രമാണം

(ബാലേ, മരാള-കുല-മൂല-ദലാനി സപ്ത തീരേ വിലാസ-ഭര-മന്ഥരഗാണി-അപശ്യം
കുര്‍വന്‍ ച കേളി-കലഹം കള-ഹംസ-യുഗ്മം ശേഷം ജലേ വദ മരാള-കുല-പ്രമാണം
എന്നന്വയം)

കുട്ടീ, അരയന്നങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) പകുതിയുടെ ഏഴിരട്ടി തീരത്തുകൂടി കുണുങ്ങിക്കുണുങ്ങി നടന്നു. ബാക്കിയുള്ള രണ്ടെണ്ണം കളിയും ചിരിയും വഴക്കുമൊക്കെയായി വെള്ളത്തില്‍ത്തന്നെയും കഴിഞ്ഞു. (വാലന്റൈന്‍സ്‌ ഡേ ആയതുകൊണ്ടായിരിക്കണം) എന്നാല്‍ ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.



Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:



6 Responses to “ലീലാവതിയിലെ വേറൊരു പ്രശ്നം: അരയന്നങ്ങള്‍”

  1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

    കാളിദാസന്റേതായി ഇതുപോലൊരു ശ്ലോകമില്ലേ? “ബാലേ” എന്നു തുടങ്ങുന്നതാണെന്നാണെന്റെ ഓര്‍മ്മ.

  2. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

    ഉത്തരം ആരെങ്കിലും വരുന്നതിനു മുന്‍പു പറഞ്ഞിട്ടോടാം :)

    അല്ലെങ്കില്‍ ‘ചാടാം’ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചോന്നും നോക്കാലോ ;)

  3. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

    ഇലയും പക്ഷിയുമായുമോ മറ്റോ ഒരു simultaneous സമവാക്യത്തിന്റെ ശ്ലോകം കൂടെ കേട്ടിട്ടുണ്ടല്ലോ ഉമേഷേ. എന്താണതു്‌? പക്ഷികളിരട്ടയായിരുന്നാല്‍ ഒരില ബാക്കി. ഒറ്റയായിരുന്നാലൊരു പക്ഷി ബാക്കി എന്നാണര്‍ഥം

  4. ഭാരതീയഗണിതം Says:

    “ചാടി“യതു ശരിയായി സിദ്ധാര്‍ത്ഥാ. അപ്പോ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചു, ല്ലേ?

    മറ്റേ കണക്കു കേട്ടിട്ടുണ്ടു് (ഓരോ പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു പക്ഷി ബാക്കി, ഈരണ്ടു പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു മരം ബാക്കി - 4 പക്ഷി, 3 മരം എന്നുത്തരം.), ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല.

    കാളിദാസന്റെ ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല. ഇതിനെ കാളിദാസന്റേതെന്നു് ആരോ പറഞ്ഞതായിരിക്കും.

    അതോ, ഈ സമസ്യാപൂരണമാണോ?

    കുസുമേ കുസുമോത്പത്തി
    ശ്രൂയതേ വാ ന ദൃശ്യതേ
    ബാലേ, തവ മുഖാംഭോജാ-
    ദക്ഷിരിന്ദീവരദ്വയം!

    അതോ, ഇതോ?

    കാ ത്വം ബാലേ? കാഞ്ചനമാലാ;
    കസ്യാഃ പുത്രീ? കനകലതായാഃ;
    കിം തേ ഹസ്തേ? താലീപത്രം;
    കാ വാ രേഖാ? ക ഖ ഗ ഘ;

    രണ്ടും കാളിദാസന്റെയാണെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. ഇതു രണ്ടുമേ കാളിദാസന്റെ “ബാലേ” എന്നുള്ള ശ്ലോകം ഓര്‍മ്മ വരുന്നുള്ളൂ.

  5. viswam വിശ്വം Says:

    എല്ലാ ദിവസവും ഇവിടെ വന്നു നോക്കുന്നുണ്ട്. പഴയപോലെ ഗംഭീരമായി തുടങ്ങിവെച്ച് ഗംഭീരമായി ഉഴപ്പാനാണോ ഭാവം? എങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ വെറുതെ വിടില്ല!

    ;-)

  6. bhaaratheeyaganitham Says:

    ആരംഭശൂരത്വത്തിനു ഞാന്‍ കുപ്രസിദ്ധനാണു വിശ്വം. എങ്കിലും കഴിയുന്നതു ശ്രമിക്കാം. ഓഫീസിലെ തിരക്കുകള്‍, മകന്റെ പിറന്നാള്‍ തുടങ്ങിയവ മൂലം സമയക്കുറവുണ്ടു്‌. എങ്കിലും അടുത്ത പോസ്റ്റിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഇവിടെ നോക്കൂ.

    വിശ്വത്തിന്റെ കമന്റുകളില്‍ നിന്നു പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടു്‌ കലിദിനസംഖ്യയെപ്പറ്റി രണ്ടുമൂന്നു്‌ നെടുങ്കന്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ ഉടനേ പ്രതീക്ഷിക്കാം. മൊത്തം എഴുതിയിട്ടേ പ്രസിദ്ധീകരിക്കൂ.

പ്രശ്നങ്ങള്‍ (Problems)
ഭാരതീയഗണിതം (Indian Mathematics)

Comments (3)

Permalink

ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം: അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകള്‍

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II - ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം:

പാര്‍ത്ഥഃ കര്‍ണ്ണവധായ മാര്‍ഗ്ഗണഗണം ക്രുദ്ധോ രണേ സന്ദധേ
തസ്യാര്‍ദ്ധേന നിവാര്യ തച്ഛരഗണം മൂലൈശ്ചതുര്‍ഭിര്‍ഹയാന്‍
ശല്യം ഷഡ്ഭിരഥേഷുഭിസ്ത്രിഭിരപിച്ഛത്രം ധ്വജം കാര്‍മുകം
ചിച്ഛേദാസ്യ ശിരഃ ശരേണ, കതി തേ യാനര്‍ജ്ജുനഃ സന്ദധേ?

ഭാരതയുദ്ധത്തില്‍ അര്‍ജ്ജുനന്‍ ക്രുദ്ധനായി കര്‍ണ്ണനെ കൊല്ലാന്‍ കുറേ അമ്പുകള്‍ എടുത്തു. അതില്‍ പകുതി കൊണ്ടു കര്‍ണ്ണന്റെ അമ്പുകളെല്ലാം നശിപ്പിച്ചു. വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) നാലിരട്ടി കൊണ്ടു്‌ കുതിരകളെ കൊന്നു. ആറു്‌ അമ്പു കൊണ്ടു ശല്യരെ (കര്‍ണ്ണന്റെ തേരാളി) ഒഴിവാക്കി. മൂന്നെണ്ണം കൊണ്ടു്‌ കുട, കൊടിമരം, വില്ലു്‌ എന്നിവ മുറിച്ചു. ബാക്കി വന്ന ഒരമ്പു കൊണ്ടു്‌ കര്‍ണ്ണന്റെ ശിരസ്സും ഛേദിച്ചു. എങ്കില്‍ ആദ്യം എത്ര അമ്പാണു്‌ എടുത്തതു്‌?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.



Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:


7 Responses to “ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം: അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകള്‍”

  1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

    100 എന്നാണു എന്റെ ഉത്തരം. അഥവാ ശരിയാണെങ്കില്‍ പൊട്ടഭാഗ്യത്തിനു 100 മാര്‍ക്കു കൊടുത്തോള്ളൂ.

  2. Viswanathan Prabhakaran Says:

    ഇതില്‍ എന്താ ഇത്ര കുടുക്ക് എന്നു മനസ്സിലായില്ല!

    let N = x^2 be the number of arrows.

    Then we have

    x^2 - 8x -20 = 0

    from which, a positive root is x=10.

    so N = 100
    ശരിയല്ലേ? അതോ ഇനി വല്ല കുഴപ്പവുമുണ്ടോ?

  3. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

    ആധുനിക ഗണിതത്തിനു ഇതൊരു കുടുക്കല്ലല്ലോ വിശ്വം. ഭാസ്കരാചര്യര്‍ക്കു എപ്രകാരം വിഷമമായിരുന്നു എന്നുള്ളതു ഉമേഷ് വിശദീകരിക്കുമ്പോള്‍ അറിയാം.

  4. Viswanathan Prabhakaran Says:

    എനിക്ക് ഓര്‍മ്മ വരുന്നില്ല പെട്ടെന്ന്. പക്ഷേ ഒരിക്കല്‍ ഞാന്‍ ചെയ്തിരുന്നൂന്നു മാത്രം ഓര്‍മ്മയുണ്ട്!

    വയസ്സായിത്തുടങ്ങി…!

    :-(

  5. bhaaratheeyaganitham Says:

    കുടുക്കൊന്നുമില്ല വിശ്വം. ആറാം ക്ലാസ്സിലെ കുട്ടി ചെയ്യും ഇതു്‌.

    രണ്ടു കാരണങ്ങള്‍ കൊണ്ടാണു്‌ ഇതിവിടെ ചേര്‍ത്തതു്‌

    1) മനോഹരമായി പ്രശ്നങ്ങള്‍ പദ്യരൂപത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതു കാണിക്കാന്‍.

    2) 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടിലും (അതിനു മുമ്പും) ഇതൊക്കെ ചെയ്യാനറിയുന്നവര്‍ ഭാരതത്തിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു കാണിക്കാന്‍. “ലീലാവതി” ഒരുപാടു കാലം ടെക്സ്റ്റുബുക്കായിരുന്നു.

    നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ശരി തന്നെ. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഇതിനു്‌ ഒട്ടും പണിപ്പെട്ടിട്ടില്ല പെരിങ്ങോടരേ. നീറ്റായി ഒരു ഫോര്‍മുല തന്നിട്ടുണ്ടു മൂപ്പര്‍. അടുത്ത പോസ്റ്റും ഒരു quadratic equation ആണു്‌. അതുകൂടി കഴിഞ്ഞു്‌ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും മറ്റും ഈ രണ്ടു ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും വിശദീകരിക്കാം.

    ഭാസ്കരാചര്യരും അതിനു മുമ്പു ബ്രഹ്മഗുപ്തനും സോള്‍വു ചെയ്തതും, പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു പിന്നെയും നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടു കൂടി വേണ്ടി വന്നതും, നമ്മളില്‍ മിക്കവര്‍ക്കും ഇപ്പോഴും ചെയ്യാന്‍ പറ്റാത്തതുമായ ചിലതു്‌ ഇനി വരുന്നുണ്ടു്‌. ജാഗ്രതൈ!

പ്രശ്നങ്ങള്‍ (Problems)
ഭാരതീയഗണിതം (Indian Mathematics)

Comments (1)

Permalink