Gurukulam | ഗുരുകുലം

(അഥവാ ശ്രീഹരി vs മധുസൂദനൻ: ഒരു പെണ്ണുകേസിന്റെ സിംഹഭാഗം)

വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കർമ്മണിപ്രയോഗം എന്ന പോസ്റ്റിൽ ഇട്ട കമന്റിൽ ബാബുകല്യാണം (ഇവനെയൊന്നും കല്യാണം കഴിപ്പിച്ചു വിടാൻ ആരുമില്ലേ?) ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിനു് ശ്രീഹരിയും (ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഇവിടെയും)മധുസൂദനൻ പേരടിയും (ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഇവിടെയും) തമ്മിൽ നടന്ന തർക്കത്തിനു മേൽ എന്റെ അഭിപ്രായമാണു താഴെ:

ശ്രീഹരിയുടെയും മധുസൂദനന്റെയും വാദങ്ങൾ മുഴുവനും വായിച്ചില്ല. എങ്കിലും, ശ്രീഹരിയാണു ശരിയെന്നു തോന്നുന്നു.

ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം ബാബു കല്യാണത്തിന്റെ പ്രശ്നം ഇങ്ങനെയാണു്:

1. രണ്ടു സിംഹവും രണ്ടു പെണ്ണും.
2. രാജാവു് നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു. അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ ആദ്യത്തെ മുറിയിൽ സിംഹത്തെ കയറ്റുന്നു. അക്കം വന്നാൽ പെണ്ണിനെയും.
3. രാജാവു വീണ്ടും നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു. അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ മുറിയിൽ സിംഹത്തെ കയറ്റുന്നു. അക്കം വന്നാൽ പെണ്ണിനെയും.
4. തടവുകാരൻ ഒരു മുറി തുറന്നു് അകത്തു കയറുന്നു. ഏതു മുറിയിൽ എന്താണെന്നു് അവനു് അറിയില്ല. കയറുന്ന സ്ഥലത്തു് സിംഹമാണെങ്കിൽ ഉടനേ സുഖമായി മരിക്കുന്നു. പെണ്ണാണെങ്കിൽ അവളെ കല്യാണം കഴിച്ചു് വളരെക്കാലം കൊണ്ടു് ഇഞ്ചിഞ്ചായി വേദനയനുഭവിച്ചു മരിക്കുന്നു.

അവനു് സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ‌പ്പെട്ടു മരിക്കാതെ പെണ്ണിനെക്കെട്ടി ജീവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യതയാണു കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്.

ഇനി, താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ കൂടി ശരിയാണെന്നും നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.

• നാണയത്തിന്റെ ഒരു വശത്തു് അശോകസ്തംഭവും മറ്റേ വശത്തു് അക്കവും ആകണം. അല്ലാതെ രണ്ടിലും സ്തംഭം വരരുതു്. ഒരിടത്തു് അശോകസ്തംഭവും അക്കവും കൂടിയും മറ്റേ വശത്തു കുടുംബാസൂത്രണത്തിന്റെ ചിഹ്നവും ഉള്ള നാണയം പാടില്ല.
• അശോകസ്തംഭവും അക്കവും വീഴാനുള്ള സാദ്ധ്യത തുല്യമായിരിക്കണം. നാണയം unbiased ആയിരിക്കണം എന്നർത്ഥം.
• കുറ്റവാളിക്കു യാതൊരു സൂചനയും ഇല്ല. അതിനാൽ അയാൾ ഒരു മുറി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതും നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നതു പോലെ തന്നെ. 50%-50% സാ‍ദ്ധ്യത.

ഈ പ്രശ്നത്തെ രണ്ടു തരത്തിൽ കാണാം.

1. മേൽ‌പ്പറഞ്ഞ പ്രശ്നം നമുക്കു തന്നിട്ടു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറയുക.
2. രാജാവു് നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്തു് രണ്ടു മുറിയും നിറച്ചതിനു ശേഷം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറയുക.

രണ്ടിലും ഉത്തരം രണ്ടാണു്.

രണ്ടാമത്തേതു് ആദ്യം എടുക്കാം. രാജാവ് നാണയമിട്ടപ്പോൾ രണ്ടു തവണയും അശോകസ്തംഭം വന്നെന്നിരിക്കട്ടേ. രണ്ടിലും സിംഹങ്ങൾ. ഇവിടെ പ്രതി സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ അകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത 100% ആണു്. നേരെ മറിച്ചു്, രണ്ടിലും അക്കം വരുകയും രണ്ടിലും പെണ്ണുങ്ങൾ ആവുകയും ചെയ്താൽ അതു 0% ആണു്. ഇനി ഒരെണ്ണം അശോകസ്തംഭവും മറ്റേതു് അക്കവും ആയി ഒന്നിൽ സിംഹവും മറ്റേതിൽ പെണ്ണുമായാൽ സിംഹമുള്ള വാതിൽ അയാൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സാദ്ധ്യത 50% ആണു്.

രാജാവിന്റെ കോയിൻ ടോസ്സ് അനുസരിച്ചു് ഫലം മാറാം എന്നർത്ഥം.

ഇനി, ആദ്യത്തെ ചോദ്യം പരിശോധിക്കാം.

ഇതിൽ മൂന്നുതരം സംഭവങ്ങളുണ്ടു്.

ഒന്നാം സംഭവം: കുറ്റവാളി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന വാതിൽ

സൂചനയൊന്നും ഇല്ലാത്തതിനാൽ ആദ്യത്തേയോ രണ്ടാമത്തെയോ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/2 വീതം.

രണ്ടാം സംഭവം: നാണയമിടുന്നതും സിംഹത്തെയോ പെണ്ണിനെയോ മുറിയിൽ ഇടുന്നതും.

ഒരു പോലെ സാദ്ധ്യതയുള്ള നാലു് സംഭവങ്ങളാണു് രാജാവു നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഉണ്ടാവുക.

1. രണ്ടും അശോകസ്തംഭം. രണ്ടിലും സിംഹം.
2. രണ്ടും അക്കം. രണ്ടിലും പെൺ‌കുട്ടികൾ.
3. ആദ്യം അശോകസ്തംഭം, പിന്നെ അക്കം. ആദ്യത്തേതിൽ സിംഹം, രണ്ടാമത്തേതിൽ പെണ്ണു്.
4. ആദ്യം അക്കം, പിന്നെ അശോകസ്തംഭം. ആദ്യത്തേതിൽ പെണ്ണു്, രണ്ടാമത്തേതിൽ സിംഹം.

ഇവ നാലിനും സാദ്ധ്യത തുല്യം. 1/4 വീതം.

മൂന്നാം സംഭവം (ക): സിംഹമുള്ള മുറിയിൽ അകപ്പെട്ടാൽ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ പെട്ടു മരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത

സിംഹത്തിനു വെള്ളെഴുത്തോ വയറ്റുനോവോ ഇല്ലെന്നു കരുതിയാൽ ഇതു് നൂറു ശതമാനം ആണു്. 1 എന്നർത്ഥം.

മൂന്നാം സംഭവം (ഖ): പെണ്ണുള്ള മുറിയിൽ അകപ്പെട്ടാൽ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ പെട്ടു മരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത

ഇതു് പൂജ്യം ആണു്. കൂടുതൽ വേദനാജനകമായ മരണം അവനെ കാത്തിരിക്കുന്നു.

ഈ മൂന്നു സംഭവങ്ങളും തമ്മിൽ ബന്ധമില്ലാത്തതും ഒരേ സമയം സംഭവിക്കുന്നവയും ആകുന്നതു കൊണ്ടു് അവയുടെ സംഭാവ്യതകളെ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന സാദ്ധ്യതകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടി മൊത്തം സാദ്ധ്യത കണ്ടു പിടിക്കുന്നു.

അപ്പോൾ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ അകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത

= (1/2 x 1/4 x 1 + 1/2 x 1/4 x 1) + (1/2 x 1/4 x 0 + 1/2 x 1/4 x 0) + (1/2 x 1/4 x 1 + 1/2 x 1/4 x 0) + (1/2 x 1/4 x 0 + 1/2 x 1/4 x 1)
= 1/4 + 0 + 1/8 + 1/8 = 1/2.

അതായതു്, കുറ്റവാളി സിംഹത്തിന്റെ വായിലകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത നേർപകുതി (50%) ആണു്.

---

സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും ഉത്തരങ്ങളും ഇതുപോലെ ശരിയായി കണക്കുകൂട്ടിയാലേ കിട്ടൂ. സാഹചര്യമനുസരിച്ചു് അതു മാറുകയും ചെയ്യും. മധുസൂദനൻ പേരടി പറയുന്നതു പോലെ ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷനുമായി പോയാൽ പലപ്പോഴും തെറ്റായ ഉത്തരമേ കിട്ടൂ.

ഈ തരത്തിലുള്ള മറ്റൊരു പ്രശസ്ത പ്രശ്നമുണ്ടു് - മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം. ഇതിൽ മൂന്നു വാതിലും ഒരു പെണ്ണും രണ്ടു സിഹവും ഉണ്ടു്. രാജാവു നാണയമൊന്നും ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നില്ല. പകരം ഒരു വാതിലിനു പിന്നിൽ പെണ്ണിനെയും മറ്റു രണ്ടു വാതിലുകളുടെയും പിറകിൽ സിംഹങ്ങളെയും നിർത്തിയിരിക്കുന്നു. എന്നിട്ടു് കുറ്റവാളിയോടു് ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ പറയും. അയാൾ ഏതു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്താലും സിംഹമുള്ള വേറേ ഒരു മുറിയെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കുമല്ലോ. ആ മുറിയുടെ കിളിവാതിൽ തുറന്നിട്ടു് അതിനകത്തു സിംഹമാണെന്നു് കുറ്റവാളിയെ കാണിക്കും. എന്നിട്ടു് കുറ്റവാളിക്കു് തന്റെ തീരുമാനം പുനഃപരിശോധിക്കാൻ അവസരം കൊടുക്കും. ഒന്നുകിൽ അയാൾക്കു് ആദ്യത്തെ വാതിൽ തന്നെ തുറക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ അയാൾക്കു് സിംഹത്തെ കണ്ടതല്ലാത്ത മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കാം. ഏതു തുറക്കുന്നതാണു് നല്ലതു്?

ഇതു വളരെയധികം തർക്കമുണ്ടാക്കിയിട്ടുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണു്. ഒരിക്കൽ ഈ ചോദ്യത്തിനു് മറിലിൻ സാവന്ത് പറഞ്ഞ ഉത്തരം തെറ്റാണെന്നു പറഞ്ഞു് പല ഗണിതശാസ്ത്രപ്രൊഫസർ മാർ വരെ ബഹളമുണ്ടാക്കിയായിരുന്നു. (മറിലിൻ പറഞ്ഞതു ശരിയായിരുന്നു.)

മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കുന്നതാണു നല്ലതു്. കാരണം, ഓരോ വാതിലിലും പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത തുല്യമാണു് - 1/3 വീതം. ആദ്യത്തെ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തപ്പോൾ അതിൽ പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരുന്നു. മറ്റു രണ്ടെണ്ണത്തിനും 2/3-ഉം. മറ്റു രണ്ടെണ്ണത്തിലെ സിംഹമുള്ള ഒരു വാതിൽ ഒഴിവാക്കിയാൽ മൂന്നാമത്തെ വാതിലിൽ പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത അതിനാൽ 2/3 ആണു്. അതായതു് തീരുമാനം മാറ്റിയാൽ സാദ്ധ്യത ഇരട്ടിയാകും എന്നർത്ഥം.

തർക്കിക്കുന്നവർക്കു രണ്ടു വാദങ്ങളാണു്:

1. ഓരോ വാതിലിന്റെയും സാദ്ധ്യത 1/3 ആണു്. ഒരു വാതിൽ സിംഹമാണന്നറിഞ്ഞാലും മറ്റു രണ്ടിലെയും സാദ്ധ്യതകൾ മാറുന്നില്ല. മാറിയാലും അവ 1/2 വീതമായിരിക്കും.

   ഇതു തെറ്റാണു്.

2. സിംഹത്തെ കാണുന്നതിനു മുമ്പു് എല്ലാ വാതിലിന്റെയും സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരുന്നു. സിംഹത്തെ കണ്ടുകഴിഞ്ഞു് ആദ്യത്തെ വാതിലിന്റെ സംഭാവ്യത മാറുന്നില്ലെങ്കിലും മൂന്നാമത്തെ വാതിലിന്റെ സാദ്ധ്യത 1/3-ൽ നിന്നു് 1/2 ആയി ഉയർന്നു.

   ഇതിലും മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കുന്നതു തന്നെയാണു നല്ലതെന്നു പറയുന്നു എങ്കിലും കാരണം തെറ്റാണു്.

കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾക്കു് വിക്കി ലേഖനം തന്നെ വായിക്കൂ. അതിന്റെ വിശദമായ വിശകലനവും തിയറിയും അതു പോലെയുള്ള മറ്റു പ്രശ്നങ്ങളിലേക്കുമുള്ള ലിങ്കും ഒക്കെയായി ഒരു ദിവസത്തെ വായനയ്ക്കുണ്ടു്.

---

സൂക്ഷിച്ചു കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഗണിതശാഖയാണു് സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം (Theory of Probability). അതിന്റെ ബേസിക് അസമ്‌പ്ഷൻസ് വിട്ടു പോകുന്നതാണു് പലപ്പോഴും തെറ്റു പറ്റാൻ കാരണം. അതുപോലെ നമുക്കു് അറിവുള്ള കാര്യങ്ങൾ മാറുമ്പോൾ സംഭാവ്യതയും മാറും. മുകളിൽ പറഞ്ഞ മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം ഒരുദാഹരണം.

ഇതു പോലെ മറ്റൊരു പ്രഹേളികയുള്ളതു് ഒരു കഥയായി താഴെച്ചേർക്കുന്നു.

---

ഒരു ഇന്റർവ്യൂവിനു കാലിഫോർണിയയിൽ എത്തിയതാണു ഞാൻ. എയർപോർട്ടിൽ നിന്നു് എന്നെ കൂട്ടിക്കൊണ്ടു പോകാമെന്നു് സിബു പറഞ്ഞിരുന്നു. സിബുവും ഞാനും അതു വരെ തമ്മിൽ കണ്ടിട്ടില്ല. ബ്ലോഗിലൂടെയുള്ള പരിചയമേ ഉള്ളൂ.

ഇന്റർവ്യൂവിനു കുത്തിയിരുന്നു പഠിച്ച കൂട്ടത്തിൽ ഏറ്റവും അവസാനം പഠിച്ചതു ഗണിതമായിരുന്നു. ഇവർ പസിലുകലൊക്കെ ചോദിക്കുമെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. വിമാനത്തിലിരുന്നു വായിച്ചതു് പ്രോബബിളിറ്റി തിയറിയാണു്. അതിനാൽ വെളിയിൽ ഇറങ്ങിയപ്പോൾ കാണുന്നിടത്തെല്ലാം പ്രോബബിളിറ്റി കാണാൻ തുടങ്ങി. തല നേരേ നിൽക്കുന്നില്ല.

എയർപോർട്ടിന്റെ വെളിയിൽ ഇറങ്ങി. സിബുവിന്റെ പൊടി പോലുമില്ല. ഇനി ഇങ്ങേർ പറ്റിക്കുമോ? ഏയ് ഇല്ല, ഒരു ബ്ലോഗർ മറ്റൊരു ബ്ലോഗറെ പറ്റിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവാണു്. കൂടി വന്നാൽ കേസു കൊടുക്കും, അത്രയേ ഉള്ളൂ.

സിബുവിനെ വിളിച്ചു. സിബു വീട്ടിൽ നിന്നു് ഇറങ്ങുന്നതേ ഉള്ളൂ. “ഉമേഷേ, ഞാൻ പത്തു മിനിട്ടിൽ എത്തും. എന്റെ കൂടെ വരണം എന്നു പറഞ്ഞു് രണ്ടു ക്ടാങ്ങളും കൂടി ഭയങ്കര വഴക്കു്. അതാ ഇറങ്ങാൻ വൈകിയതു്. ഒരു വെള്ള നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്രയാണു കാർ.” നമ്പർ പ്ലേറ്റിന്റെ അവസാനത്തെ മൂന്നു് അക്കങ്ങളും പറഞ്ഞുതന്നു.

ഒരു കാറിന്റെ നമ്പരിന്റെ അവസാനത്തെ മൂന്നു നമ്പരും അതു തന്നെയാവാൻ സാദ്ധ്യത 10 x 10 x 10 = ആയിരത്തിൽ ഒന്നു മാത്രമാണു്. അതൊരു വെള്ളക്കാറും കൂടി ആവാനോ? ഞാൻ ആലോചിച്ചു. മൊത്തം കാറുകളിൽ അഞ്ചിലൊന്നു വെളുപ്പാണെന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. അപ്പോൾ നമ്പരും നിറവും അതു തന്നെയാവാൻ സാദ്ധ്യത അയ്യായിരത്തിൽ ഒന്നു്. അതൊരു നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്രയും ആവാനോ? ആകെ കാറുകളിൽ എത്ര ശതമാനമാണു നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര? ആ, ആർക്കറിയാം! ഒരു ഇരുനൂറിൽ ഒന്നെന്നു ചുമ്മാ കൂട്ടിയാൽ തന്നെ ഞാൻ കാറു തെറ്റി കയറാനുള്ള സാദ്ധ്യത ഒരു മില്യനിൽ ഒന്നാകും. ഇനി അതിലുള്ള ആൾ ഒരു സീരിയൽ കില്ലർ ആകാനും എന്നെ കൊന്നു വഴിയരികിൽ തള്ളാനും സാദ്ധ്യത പിന്നെയും കുറയും. ആ നമ്പരിൽ അവസാനിക്കുന്ന വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര കണ്ടാൽ അതു സിബു തന്നെ ആയിരിക്കും. കയറുക തന്നെ.

കാറിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു വഴിക്കാക്കിയപ്പോൾ സിബുവിന്റെ വീടിനെപ്പറ്റി ചിന്തിച്ചു. രണ്ടു കുട്ടികൾ ഉണ്ടെന്നു പറഞ്ഞു. ആണായിരിക്കുമോ പെണ്ണായിരിക്കുമോ? ആദ്യത്തേതു് ആണാവാനും പെണ്ണാവാനും സാദ്ധ്യത 1/2 വീതം. രണ്ടാമത്തേതിനും അതു തന്നെ. അങ്ങനെ നാലു രീതികൾ.

1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 25%. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 25%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 50%.

ഇത്രയും ആലോചിച്ച്പ്പോഴേയ്ക്കും ഒരു വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര ഓടിക്കിതച്ചു വന്നു് എന്നെയും കടന്നു പോയി മുന്നിൽ പോയി നിന്നു. അവിടെയുള്ള ഒരു പോലീസുകാരനോടു് അലാസ്ക എയർലൈൻസിൽ വരുന്നവർ എവിടെയാണു് ഇറങ്ങിനിൽക്കുക എന്നു് ഒരുത്തൻ ത്രിശ്ശൂർ ആക്സന്റുള്ള ഇംഗ്ലീഷിൽ ചോദിക്കുന്നതു കേട്ടു. “സംശയമില്ല, ഇതു സിബു തന്നെ” എന്നുറപ്പിച്ചു് ഞാൻ ഓടിച്ചെന്നു. എന്നെക്കൊണ്ടു് ഒരു ശ്ലോകം ചൊല്ലിച്ചു് ഞാൻ ആണെന്നു് ഉറപ്പുവരുത്തിയതിനു ശേഷം സിബു എന്നെ കാറിൽ കയറാൻ സമ്മതിച്ചു.

കാർ വിട്ടപ്പോൾ പുറകിൽ നിന്നു് ഒരു കിളിനാദം, “ഹലോ…”. പുറകിലെ സീറ്റിൽ ഒരു അഞ്ചുവയസ്സുകാരി സുന്ദരിക്കുട്ടി ഇരിക്കുന്നു.

സാദ്ധ്യതകളാകെ തകിടം മറിഞ്ഞു. അപ്പോൾ സിബുവിന്റെ രണ്ടു കുട്ടികളും ആണാവാനുള്ള സാദ്ധ്യത പൂജ്യം.

ഒന്നുകൂടി നോക്കിയപ്പോൾ ഇത്രയേ സാദ്ധ്യതയുള്ളൂ.

1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 33.3333…%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 66.6666…%

“ഇളയ ക്ടാവു ഭയങ്കര വഴക്കായി പിണങ്ങിപ്പോയി. അതുകൊണ്ടു് ഇവളെ കൊണ്ടുപോന്നു,…” സിബു പറഞ്ഞു. അപ്പോൾ മൂത്തതു പെണ്ണാണു്. പ്രോബബിലിറ്റി പിന്നെയും തകിടം മറിഞ്ഞു.

1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.
4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 50%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 50%.

സിബുവിന്റെ വീട്ടിൽ എത്തി. രണ്ടാമത്തെ മകൾ വാതിൽക്കൽ തന്നെ നിൽ‌പ്പുണ്ടായിരുന്നു. പിണക്കമൊക്കെ മാറി ചിരിച്ചുകൊണ്ടു്.

ഏറ്റവും പുതിയ പ്രൊബബിലിറ്റി.

1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0%. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 100%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 0%.

ഒരേ സംഭവത്തിനുള്ള സാദ്ധ്യത ഡാറ്റാ മാറുന്നതനുസരിച്ചു മാറുന്നതു നോക്കണേ!

---

വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കർമ്മണിപ്രയോഗം എന്ന പോസ്റ്റിനെപ്പറ്റി ചില അഭിപ്രായങ്ങൾ:

• വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:
  

  കള്ളം മാത്രം പറയുന്ന ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്ന് ഒരാള്‍, സത്യം മാത്രം പറയുന്ന ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്ന് ഒരാള്‍. ഇവര്‍ക്കു നടുവില്‍ നിന്നുകൊണ്ട്, കള്ളം പറയുന്നതാര് സത്യം പറയുന്നതാര് എന്നൊരു പിടിയുമില്ലാത്ത കാസ്പര്‍, കള്ളം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കണം. ഒരേയൊരു ചോദ്യമേ പാടുള്ളൂ. മുന്നില്‍ കാണുന്ന ഒരാളോട്, കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അയാള്‍ പറഞ്ഞേക്കാവുന്ന ഉത്തരത്തിന്റെ വിരുദ്ധമായ ഗ്രാമമായിരിക്കും കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം. ഈ വിഷമപ്രശ്നത്തിന് അങ്ങനെയൊരു ഉത്തരം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നാണ് പ്രഫസറുടെ നിലപാട്. പ്രഫസര്‍ പറയുന്നത്, തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു നിഷേധങ്ങള്‍ (നെഗറ്റീവുകള്‍)‍, ഒരാളിന്റെ ശരിയായ വ്യക്തിത്വത്തെ വെളിപ്പെടുത്താന്‍ സഹായിക്കുമെന്നാണ്.

  ഇതു തെറ്റാണു്. സത്യം പറയുന്ന ആളോടാണു് ഇതു ചോദിക്കുന്നതെങ്കിൽ ശരിയായ ഉത്തരം തന്നെയായിരിക്കും കിട്ടുന്നതു്.

  ഇതിനു് പല ഉത്തരങ്ങളുമുണ്ടു്. ഒരെണ്ണം ഇതാ: ഒരു ഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴി ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരാളോടു ചോദിക്കുക: “ഇതു സത്യം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു് മറ്റേ ആളോടു ചോദിച്ചാൽ അയാൾ എന്തു പറയും?” കിട്ടുന്ന ഉത്തരത്തിനു നേരേ എതിരായിരിക്കും സത്യം. True and False എന്നതും False and True എന്നതും False തന്നെയായിരിക്കും എന്ന boolean algebra-യിലെ തത്ത്വമാണു് ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്.

  നേരേ മറിച്ചു്, രണ്ടു നെഗേഷൻ True ആകുന്നതിനു് ഉദാഹരണം വേണമെങ്കിൽ “ഇതു സത്യഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു ചോദിച്ചാൽ സാധാരണ നീ എന്താണു പറയാറുള്ളതു്?” എന്നോ മറ്റോ ചോദിക്കണം. രണ്ടു ഗ്രാമത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പറ്റം ആളുകളെയോ ഏതു ഗ്രാമത്തിൽ നിന്നു് എന്നറിയാത്ത ഒരാളെ മാത്രമോ കണ്ടാൽ ഈ ചോദ്യം ചോദിക്കാം.

• വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:
  

  ഈ കഥയ്ക്കുള്ള മറ്റൊരു വെര്‍ഷനില്‍ കള്ളം പറയുന്നവനെയും സത്യം മാത്രം പറയുന്നവനെയും കൂടാതെ കള്ളവും സത്യവും മാറിമാറി പറയുന്ന മറ്റൊരാളുകൂടി കടന്നു വരുന്നതു കാണാം. ജീവിതം എന്ന പ്രഹേളികയുടെ ഉത്തരം തന്നെ നേരെ കണ്ടെത്താന്‍ വയ്യാതെ അട്ടം നോക്കുന്നവന്റെ കുഴങ്ങുന്നവന്റെ ബാദ്ധ്യത വര്‍ദ്ധിപ്പിക്കാനായിട്ട് !

  വെള്ളെഴുത്തിനെ എന്റെ ഹ്രീഹ്ലാദവും ജഞ്ജലിപ്പും എന്ന പോസ്റ്റു വായിക്കാൻ ക്ഷണിക്കുന്നു. Boolean algebra-യിലെ xor എന്ന ക്രിയ കൊണ്ടു് അറിയേണ്ടാ‍ത്തതായ ഒരു ചരത്തെ ഒഴിവാക്കുന്ന ടെക്നിക്ക് ആണു് അതിൽ.

• വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:
  

  പക്ഷേ കാസ്പറിനു പറയാന്‍ മറ്റൊരുത്തരമുണ്ടായിരുന്നു. വളരെ ലളിതമായത്. വരുന്നവനോട് ‘നീ മരത്തവളയാണോ’ എന്നു ചോദിക്കുക. അവന്‍ ‘അതെ’ എന്നു പറയുകയാണെങ്കില്‍ (കള്ളം മാത്രം പറയുന്നവന് മറ്റെന്തു പറ്റും?) അവന്‍ കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്നാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാമല്ലോ.

  ഉറപ്പിക്കാം. പക്ഷേ അയാൾ ഏതു ഗ്രാമത്തിലേതാണു് എന്നതല്ല നമ്മുടെ പ്രശ്നം. ഏതാണു സത്യഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴി എന്നതാണു്. ഈ മരത്തവളച്ചോദ്യം വേണ്ടാത്ത ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തെയാണു തേടുന്നതു്.

• “ഒരു കൂട്ടത്തില്‍ 98 ശതമാനവും ചിന്തിക്കുന്നത് ഒരേ തരത്തിലായിരിക്കും…” എന്നു തുടങ്ങുന്ന ഖണ്ഡികയ്ക്കു് ഒരു സ്പെഷ്യൽ സല്യൂട്ട്!

മനുഷ്യനിപ്പോൾ മാനം മര്യാദയ്ക്കു വ്യക്തിഹത്യ ചെയ്യാനും പറ്റില്ലത്രേ!

ആളുകളെ അധിക്ഷേപിക്കൽ, ഹേറ്റ് സ്പീച്ച്, ആക്ഷേപഹാസ്യം ആദിയായ കലാപരിപാടികൾ ബ്ലോഗിൽ ചെയ്താൽ ഐപ്പീസിയോ ഐട്ടിനിയമമോ 67 എന്നൊരു സാധനം ഉപയോഗിച്ചു കേസു കൊടുക്കുമത്രേ!

ഇതു പണ്ടേ കണ്ടതുകൊണ്ടല്ലേ ഞാൻ വ്യക്തിഹത്യയ്ക്കു് ഈ ബ്ലോഗ് ഉപയോഗിക്കാത്തതു്. അതിനു വേണ്ടി തുടങ്ങിയ ബ്ലോഗാണു് ബുദ്ധിപരീക്ഷ.

മേൽ‌പ്പറഞ്ഞ ഐപ്പീസി/ഐട്ടി നിയമത്തിലൊരു ലൂപ്പ്‌ഹോളുണ്ടു്. അതായതു്, “ഗണിതം, ധനതത്ത്വശാസ്ത്രം, വൈരുദ്ധ്യാത്മകഭൌതികവാദം, പക്ഷിശാസ്ത്രം, കോടാങ്കിശാസ്ത്രം, ജ്യോതിഷം തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രങ്ങളിലെ പ്രഹേളികകൾ അനാവരണം ചെയ്യുന്ന കൃതികളിലുള്ള വ്യക്തി-സമൂഹ-ഹത്യകൾ ഈ നിയമത്തിന്റെ പരിധിയിൽ വരികില്ല” എന്നു്.

അതുകൊണ്ടാണു് ഞാൻ ബുദ്ധിപരീക്ഷ എന്ന ബ്ലോഗ് തുടങ്ങിയതു്. പുറത്തു നിന്നു നോക്കിയാൽ പസ്സിൽ ബ്ലോഗാണു്. അകത്തു കടന്നാലോ, വിശാലമായ വ്യക്തിഹത്യയും.

വിശാലമനസ്കനെ വധിച്ചു കൊണ്ടായിരുന്നു തുടക്കം - എടത്താടൻ മുത്തപ്പനും ചെക്കിലെ പിശകും. പിന്നെ കലേഷ്, സിദ്ധാർത്ഥൻ, ദിൽബാസുരൻ, ദേവൻ, കുറുമാൻ, വിശാലൻ, തറവാടി, വല്യമ്മായി തുടങ്ങി യൂയേയിക്കാരെ വധിച്ചുകൊണ്ടുള്ള യു. എ. ഇ. മീറ്റും മണ്ണെണ്ണയും. വക്കാരിയെയും ചിത്രകാരനെയും ഒക്കെ വധിക്കാൻ പോയിട്ടു് അവസാനം ഷിജു അലക്സിനെ കൊന്നു കൊലവിളിച്ച ഹ്രീഹ്ലാദവും ജഞ്ജലിപ്പും ആയിരുന്നു ഈ സിരീസിലെ അവസാനത്തെ പോസ്റ്റ്.

നിങ്ങൾ ഇതുവരെ അതു വായിച്ചിട്ടില്ലെങ്കിൽ, നിങ്ങൾക്കു പസ്സിലുകളോ വ്യക്തിഹത്യയോ രണ്ടുമോ ഇഷ്ടമാണെങ്കിൽ, വായിക്കുക. ഇൻഡക്സ് ഇവിടെ ഉണ്ടു്.

അവിടെ കമന്റുകൾ മോഡറേറ്റഡ് ആണു്. അയച്ച ഉത്തരങ്ങൾ ആരും കാണാതിരിക്കാനാണതു്. ഉത്തരവും അയച്ചവരുടെ വിവരങ്ങളും പിന്നീടു പ്രസിദ്ധീകരിക്കും.

---

ഈ ബ്ലോഗിലെ ഏറ്റവും പുതിയ പോസ്റ്റാണു് ക്രിക്കറ്റ് മണ്ടത്തരങ്ങൾ. ഈ വരുന്ന മുപ്പത്തൊന്നാം തീയതി വിവാഹിതനാകുന്ന ശ്രീജിത്തിനു് എന്റെ സമ്മാനം. എഴുതാൻ തുടങ്ങിയിട്ടു് ഒരു കൊല്ലത്തിലധികമായെങ്കിലും ശ്രീജിത്ത് അമേരിക്കയിൽ നിന്നു് ഇന്ത്യയിലേക്കു പ്ലെയിനിൽ ഇരിക്കുന്ന സമയത്താണു് ഇതു പോസ്റ്റ് ചെയ്തതു്. ശ്രീജിത്ത് കൂടാതെ ആദിത്യൻ, നളൻ, തഥാഗതൻ, ചന്ത്രക്കാറൻ, കൊച്ചുത്രേസ്യ, മഴനൂലുകൾ, ജ്യോതിട്ടീച്ചർ എന്നിവരാണു് ഇതിലെ കഥാപാത്രങ്ങൾ. ഇനി ഇങ്ങനെ കൊല്ലപ്പെടാൻ സന്നദ്ധതയുള്ള ബാംഗ്ലൂർ ബ്ലോഗേഴ്സ് ബാക്കിയുണ്ടെങ്കിൽ ക്യൂവിൽ നിന്നു ടോക്കൻ എടുക്കേണ്ടതാണു്.

---

90% തീർന്നിരിക്കുന്ന പോസ്റ്റുകൾ തീർത്തു പബ്ലിഷ് ചെയ്യുക എന്ന പരിപാടിയുടെ ഭാഗമായി പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതാണു് ഈ പോസ്റ്റ്.

ഒരു കൊല്ലം മുമ്പു്, കൃത്യമായി പറഞ്ഞാൽ 2008 ജനുവരി 16-നു് ഞാൻ കാർട്ടൂണിസ്റ്റ് സജ്ജീവിനോടു ഗൂഗിൾ ചാറ്റിൽ ചോദിച്ചു:

“ഗുരോ, ശ്രീജിത്ത് ക്രിക്കറ്റു കളിക്കുന്ന ഒരു പടം വരച്ചുതരാമോ? ഒരു പോസ്റ്റിൽ ഇടാനാണു്.”

കൃത്യം ഇരുപതു മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞപ്പോൾ പടം റെഡി.

അതിനു ശേഷം ഒരു പത്തു തവണയെങ്കിലും ആ പോസ്റ്റു പബ്ലിഷ് ചെയ്തോ എന്നു് സജ്ജീവ് ചോദിച്ചിട്ടുണ്ടു്. എന്റെ മടി മൂലം ഇതുവരെ അതു നടന്നില്ല. കുറെക്കഴിഞ്ഞു്, എന്നാൽ എന്റെ പടം തിരിച്ചു തരൂ എന്നു വിലപിച്ചു. ഞാൻ കൊടുത്തില്ല.

കാർട്ടൂണിസ്റ്റ് സജ്ജീവിനു് ആയിരം നന്ദി.

ക്രിക്കറ്റ്, ബാംഗ്ലൂരിന്റെ ഭൂമിശാസ്ത്രം എന്നിവയെപ്പറ്റി ഒരു വിവരവുമില്ലാത്ത (ബൌളിംഗ് ആവറേജിനെ റൺ റേറ്റ് എന്നായിരുന്നു ഞാൻ എഴുതിയിരുന്നതു്!) എന്നെ ഈ പോസ്റ്റിലേയ്ക്കാവശ്യമായ വിവരങ്ങൾ തന്നു സഹായിക്കുകയും പോസ്റ്റ് തിരുത്തിത്തരുകയും ചെയ്ത ചില മഹാവ്യക്തികളുണ്ടു്. കേസ് വന്നാൽ അവർക്കും പ്രശ്നമാകും എന്നുള്ളതു കൊണ്ടു് ആരുടെയും പേരു പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നില്ല. എല്ലാവർക്കും നന്ദി.

ബ്ലോഗെഴുതാൻ മൂന്നു മണിക്കൂർ സമയം ഫ്രീ കിട്ടി. എന്തു ചെയ്യണം?

ഒരുപാടു കാലത്തിനു ശേഷമാണു് തടസ്സങ്ങളില്ലാതെ ഇത്രയും സമയം കിട്ടുന്നതു്. തിരക്കിനിടയിൽ വീണുകിട്ടുന്ന മിനിറ്റുകളിൽ എഴുതുന്ന തുണ്ടുകളെ ചേർത്തുവെച്ചാണു പലപ്പോഴും പോസ്റ്റുകളാക്കുന്നതു്. ഒരു ആശയം കിട്ടിയാൽ ഒരു പുതിയ പോസ്റ്റ് തുടങ്ങി ഒരു തലക്കെട്ടും കൊടുത്തു് രണ്ടു വാക്യങ്ങളും എഴുതി അവിടെയിടും. അല്പം സമയം കിട്ടുമ്പോൾ ഡ്രാഫ്റ്റ് പോസ്റ്റുകളുടെ തലക്കെട്ടു നോക്കി അന്നേരത്തെ മൂഡനുസരിച്ചു് തോന്നുന്ന ഒന്നിൽ കുറേക്കൂടി ചേർക്കും. ഇടയ്ക്കു് ഒരു അരമുക്കാൽ മണിക്കൂർ കിട്ടുകയും ഏതെങ്കിലും ഒരു പോസ്റ്റ് തീരാറായിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോഴാണു് അവസാനപണികൾ ചെയ്തു് അതു പൂർത്തിയാക്കി പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതു്. (ഈ പോസ്റ്റു പോലെയുള്ള വയറിളക്കങ്ങൾക്കു് ഇതു ബാധകമല്ല)

ചുരുക്കം പറഞ്ഞാൽ ബ്ലോഗെഴുത്തിനു് അനോണി ആന്റണി തരുന്ന പെരുമാറ്റച്ചട്ടങ്ങളിൽ ഒന്നു പോലും ഞാൻ പാലിക്കാറില്ല എന്നർത്ഥം. ചുമ്മാതല്ല പോസ്റ്റുകൾ ഉണ്ടാകാത്തതു്!

അതു പോട്ടേ. എനിക്കിന്നു മൂന്നു മണിക്കൂർ സമയമുണ്ടു്. എഴുതിത്തീരാറായ ഏതെങ്കിലും പോസ്റ്റ് തീർക്കണമെന്നുണ്ടു്. ഇവയിൽ ഏതു തീർക്കും?

2006 ജൂണിൽ എഴുതിത്തുടങ്ങിയ “വൃത്തനിർണ്ണയം” എന്ന മൾട്ടിമീഡിയ പോസ്റ്റ് മുതൽ മധുരാജിന്റെ ഈ കമന്റ് കണ്ടപ്പോൾ തോന്നിയ “ചിന്തയുടെ ഭാഷ” എന്ന പോസ്റ്റ് വരെ ഡ്രാഫ്റ്റ് ആയി കിടക്കുന്ന 56 പോസ്റ്റുകളിലെ പലതും കാലഹരണപ്പെട്ടതാണു്. എങ്കിലും ഒരു പത്തുനാല്പതെണ്ണമെങ്കിലും ഇന്നും പ്രസക്തിയുള്ളവയാണു്. അവയിൽ പത്തെണ്ണമെങ്കിലും മിക്കവാറും തീർന്നിരിക്കുന്നതുമാണു്. ഏതെടുക്കണമെന്നു് ഒരു ചിന്താക്കുഴപ്പം.

അഞ്ചു മിനിട്ടു മാത്രം കിട്ടുമ്പോൾ ഈ ചിന്താക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാകാറില്ല. തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സമയമില്ല. ഏതെങ്കിലും ഒന്നെടുക്കും. കൂടുതൽ സമയമുള്ളപ്പോൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാനാണു സമയം മുഴുവൻ പോകുക. ഇടയ്ക്കിടെ, “അയ്യോ, കിട്ടിയ സമയം വെയ്സ്റ്റാക്കരുതല്ലോ” എന്നു വ്യാകുലപ്പെടാൻ പോകുന്ന സമയം വേറെയും.

അതെന്താ അങ്ങനെ?

സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഒരു ചോദ്യം ഇ-മെയില്‍ വഴി ചോദിച്ചപ്പോഴാണു് പണ്ടുതൊട്ടേ വിചാരിച്ചിരുന്ന “പസില്‍ ബ്ലോഗ്” എന്ന ആശയം ഇവിടെത്തന്നെ തുടങ്ങിയാലോ എന്നു വിചാരിച്ചതു്.

ആശയം ഇതാണു്: രസകരങ്ങളായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ (puzzles) ചോദിച്ചിട്ടു് അവയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വിശകലനം ചെയ്യുക. കമന്റുകളിലൂടെ കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളും കിട്ടും.

നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക. പ്രധാനമായും ഈ കാര്യങ്ങളില്‍:

1. ഇതു വേണോ?
2. വേണമെങ്കില്‍, മലയാളമോ ഇംഗ്ലീഷോ ഒന്നു കൂടി നല്ലതു്? അതോ രണ്ടും കൂടിയോ?
3. ഈ ബ്ലോഗില്‍ത്തന്നെ വേണോ അതോ വേറൊരു ബ്ലോഗില്‍ വേണോ?

   പസിലുകള്‍ക്കു തന്നെ വേറെ ഒരു ബ്ലോഗാണെങ്കില്‍ ഉള്ള മെച്ചങ്ങള്‍:

   • പല തരം പസിലുകള്‍ പല കാറ്റഗറികളിലാക്കാം.
   • കൂട്ടുബ്ലോഗ് ആക്കാം.
   • കമന്റുകള്‍ മോഡരേറ്റ് ചെയ്യാം (വിക്കി ക്വിസ് ടൈം പോലെ). എന്നിട്ടു് ഒന്നിച്ചു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.
   • വേറേ ടെമ്പ്ലേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം.
4. കൂടുതല്‍ ഗണിതജ്ഞാനം ആവശ്യമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കണോ?
5. മലയാളഭാഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങള്‍ ചേര്‍ക്കണോ?

ഇതു തുടങ്ങുകയാണെങ്കില്‍ എന്റെ മനസ്സിലുള്ള രീതി ഇതാണു്:

1. പ്രധാനമായും നമ്മള്‍ കേട്ടിട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ആയിരിക്കും ഉണ്ടായിരിക്കുക. നമ്മള്‍ ചോദ്യവും ഉത്തരവും കേട്ടിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. പക്ഷേ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി അറിവുണ്ടാവുകയില്ല. അതറിയാന്‍ ഒരു അവസരം.
2. അറിയാവുന്ന രീതികളെക്കാള്‍ എളുപ്പമുള്ള മറ്റു രീതികളുണ്ടാവും. അവയെപ്പറ്റി അറിയുക.
3. ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റായോ ഇ-മെയിലായോ അയയ്ക്കാം. കമന്റുകള്‍ മോഡറേറ്റു ചെയ്യുകയുമാവാം.
4. നാലഞ്ചു ദിവസം കഴിഞ്ഞു് ഉത്തരം പോസ്റ്റില്‍ത്തന്നെ ചേര്‍ക്കുക. ഒന്നിലധികം നല്ല ഉത്തരങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ എല്ലാം ചേര്‍ക്കുക. വേണമെങ്കില്‍ ശരിയുത്തരം അയച്ചവരുടെ പേരുകളും ചേര്‍ക്കാം.
5. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ തുടങ്ങിയ ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ ശ്ലോകത്തില്‍ ചോദിച്ച ചോദ്യങ്ങളും ചേര്‍ക്കാം. അവയില്‍ പലതും ഈ ബ്ലോഗില്‍ ഈ കാറ്റഗറിയില്‍ മുമ്പു പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക.

---

ഉദാഹരണത്തിനു്, രണ്ടു ലളിതമായ ചോദ്യങ്ങള്‍:

1. പന്ത്രണ്ടു മണിക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിട്ടു സൂചിയും ഒരേ ദിശയിലേക്കു ചൂണ്ടിയിരിക്കുമെന്നറിയാമല്ലോ. അതു കഴിഞ്ഞു് എത്ര സമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ അതേ സ്ഥിതി വരും?

   1:05-നും 1:10-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നറിയാം. കൃത്യമായി എത്ര സമയം എന്നു പറയണം. (സെക്കന്റ് സൂചി പരിഗണിക്കേണ്ട).

2. മൂന്നു പെട്ടികള്‍. മൂന്നിലും ആഭരണങ്ങള്‍. മൂന്നിന്റെ പുറത്തും ലേബലുണ്ടു്. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം”, “വെള്ളി മാത്രം”, “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്നു മൂന്നു ലേബലുകള്‍. മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായ ലേബലാണുള്ളതെന്നു നമ്മളോടു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നുനോക്കാന്‍ നമുക്കു് അനുവാദമുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നു നോക്കിയിട്ടു് മൂന്നു പെട്ടിയുടെയും ലേബല്‍ ശരിയാക്കണം. എങ്ങനെ?

കട്ടിയുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ പിന്നെ ചോദിക്കാം. ഈ രണ്ടെണ്ണത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇപ്പോള്‍ കണ്ടുപിടിക്കണമെന്നില്ല.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II - ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നു മറ്റൊരു പ്രശ്നം:

ബാലേ, മരാളകുലമൂലദലാനി സപ്ത
തീരേ വിലാസഭരമന്ഥരഗാണ്യപശ്യം
കുര്‍വഞ്ച കേളികലഹം കലഹംസയുഗ്മം
ശേഷം ജലേ, വദ മരാളകുലപ്രമാണം
(ബാലേ, മരാള-കുല-മൂല-ദലാനി സപ്ത തീരേ വിലാസ-ഭര-മന്ഥരഗാണി-അപശ്യം
കുര്‍വന്‍ ച കേളി-കലഹം കള-ഹംസ-യുഗ്മം ശേഷം ജലേ വദ മരാള-കുല-പ്രമാണം എന്നന്വയം)

കുട്ടീ, അരയന്നങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) പകുതിയുടെ ഏഴിരട്ടി തീരത്തുകൂടി കുണുങ്ങിക്കുണുങ്ങി നടന്നു. ബാക്കിയുള്ള രണ്ടെണ്ണം കളിയും ചിരിയും വഴക്കുമൊക്കെയായി വെള്ളത്തില്‍ത്തന്നെയും കഴിഞ്ഞു. (വാലന്റൈന്‍സ്‌ ഡേ ആയതുകൊണ്ടായിരിക്കണം) എന്നാല്‍ ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

6 Responses to “ലീലാവതിയിലെ വേറൊരു പ്രശ്നം: അരയന്നങ്ങള്‍”

1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 5:13 am

   കാളിദാസന്റേതായി ഇതുപോലൊരു ശ്ലോകമില്ലേ? “ബാലേ” എന്നു തുടങ്ങുന്നതാണെന്നാണെന്റെ ഓര്‍മ്മ.

2. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 8:50 am

   ഉത്തരം ആരെങ്കിലും വരുന്നതിനു മുന്‍പു പറഞ്ഞിട്ടോടാം

   അല്ലെങ്കില്‍ ‘ചാടാം’ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചോന്നും നോക്കാലോ

3. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 9:01 am

   ഇലയും പക്ഷിയുമായുമോ മറ്റോ ഒരു simultaneous സമവാക്യത്തിന്റെ ശ്ലോകം കൂടെ കേട്ടിട്ടുണ്ടല്ലോ ഉമേഷേ. എന്താണതു്‌? പക്ഷികളിരട്ടയായിരുന്നാല്‍ ഒരില ബാക്കി. ഒറ്റയായിരുന്നാലൊരു പക്ഷി ബാക്കി എന്നാണര്‍ഥം

4. ഭാരതീയഗണിതം Says:

   February 15th, 2006 at 3:09 pm

   “ചാടി“യതു ശരിയായി സിദ്ധാര്‍ത്ഥാ. അപ്പോ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചു, ല്ലേ?

   മറ്റേ കണക്കു കേട്ടിട്ടുണ്ടു് (ഓരോ പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു പക്ഷി ബാക്കി, ഈരണ്ടു പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു മരം ബാക്കി - 4 പക്ഷി, 3 മരം എന്നുത്തരം.), ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല.

   കാളിദാസന്റെ ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല. ഇതിനെ കാളിദാസന്റേതെന്നു് ആരോ പറഞ്ഞതായിരിക്കും.

   അതോ, ഈ സമസ്യാപൂരണമാണോ?

   കുസുമേ കുസുമോത്പത്തി
   ശ്രൂയതേ വാ ന ദൃശ്യതേ
   ബാലേ, തവ മുഖാംഭോജാ-
   ദക്ഷിരിന്ദീവരദ്വയം!

   അതോ, ഇതോ?

   കാ ത്വം ബാലേ? കാഞ്ചനമാലാ;
   കസ്യാഃ പുത്രീ? കനകലതായാഃ;
   കിം തേ ഹസ്തേ? താലീപത്രം;
   കാ വാ രേഖാ? ക ഖ ഗ ഘ;

   രണ്ടും കാളിദാസന്റെയാണെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. ഇതു രണ്ടുമേ കാളിദാസന്റെ “ബാലേ” എന്നുള്ള ശ്ലോകം ഓര്‍മ്മ വരുന്നുള്ളൂ.

5. viswam വിശ്വം Says:

   February 17th, 2006 at 11:21 pm

   എല്ലാ ദിവസവും ഇവിടെ വന്നു നോക്കുന്നുണ്ട്. പഴയപോലെ ഗംഭീരമായി തുടങ്ങിവെച്ച് ഗംഭീരമായി ഉഴപ്പാനാണോ ഭാവം? എങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ വെറുതെ വിടില്ല!

   ;-)

6. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 18th, 2006 at 12:47 am

   ആരംഭശൂരത്വത്തിനു ഞാന്‍ കുപ്രസിദ്ധനാണു വിശ്വം. എങ്കിലും കഴിയുന്നതു ശ്രമിക്കാം. ഓഫീസിലെ തിരക്കുകള്‍, മകന്റെ പിറന്നാള്‍ തുടങ്ങിയവ മൂലം സമയക്കുറവുണ്ടു്‌. എങ്കിലും അടുത്ത പോസ്റ്റിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഇവിടെ നോക്കൂ.

   വിശ്വത്തിന്റെ കമന്റുകളില്‍ നിന്നു പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടു്‌ കലിദിനസംഖ്യയെപ്പറ്റി രണ്ടുമൂന്നു്‌ നെടുങ്കന്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ ഉടനേ പ്രതീക്ഷിക്കാം. മൊത്തം എഴുതിയിട്ടേ പ്രസിദ്ധീകരിക്കൂ.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II - ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം:

പാര്‍ത്ഥഃ കര്‍ണ്ണവധായ മാര്‍ഗ്ഗണഗണം ക്രുദ്ധോ രണേ സന്ദധേ
തസ്യാര്‍ദ്ധേന നിവാര്യ തച്ഛരഗണം മൂലൈശ്ചതുര്‍ഭിര്‍ഹയാന്‍
ശല്യം ഷഡ്ഭിരഥേഷുഭിസ്ത്രിഭിരപിച്ഛത്രം ധ്വജം കാര്‍മുകം
ചിച്ഛേദാസ്യ ശിരഃ ശരേണ, കതി തേ യാനര്‍ജ്ജുനഃ സന്ദധേ?

ഭാരതയുദ്ധത്തില്‍ അര്‍ജ്ജുനന്‍ ക്രുദ്ധനായി കര്‍ണ്ണനെ കൊല്ലാന്‍ കുറേ അമ്പുകള്‍ എടുത്തു. അതില്‍ പകുതി കൊണ്ടു കര്‍ണ്ണന്റെ അമ്പുകളെല്ലാം നശിപ്പിച്ചു. വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) നാലിരട്ടി കൊണ്ടു്‌ കുതിരകളെ കൊന്നു. ആറു്‌ അമ്പു കൊണ്ടു ശല്യരെ (കര്‍ണ്ണന്റെ തേരാളി) ഒഴിവാക്കി. മൂന്നെണ്ണം കൊണ്ടു്‌ കുട, കൊടിമരം, വില്ലു്‌ എന്നിവ മുറിച്ചു. ബാക്കി വന്ന ഒരമ്പു കൊണ്ടു്‌ കര്‍ണ്ണന്റെ ശിരസ്സും ഛേദിച്ചു. എങ്കില്‍ ആദ്യം എത്ര അമ്പാണു്‌ എടുത്തതു്‌?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

7 Responses to “ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം: അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകള്‍”

1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 14th, 2006 at 8:41 pm

   100 എന്നാണു എന്റെ ഉത്തരം. അഥവാ ശരിയാണെങ്കില്‍ പൊട്ടഭാഗ്യത്തിനു 100 മാര്‍ക്കു കൊടുത്തോള്ളൂ.

2. Viswanathan Prabhakaran Says:

   February 14th, 2006 at 9:14 pm

   ഇതില്‍ എന്താ ഇത്ര കുടുക്ക് എന്നു മനസ്സിലായില്ല!

   let N = x^2 be the number of arrows.

   Then we have

   x^2 - 8x -20 = 0

   from which, a positive root is x=10.

   so N = 100
   ശരിയല്ലേ? അതോ ഇനി വല്ല കുഴപ്പവുമുണ്ടോ?

3. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 14th, 2006 at 9:23 pm

   ആധുനിക ഗണിതത്തിനു ഇതൊരു കുടുക്കല്ലല്ലോ വിശ്വം. ഭാസ്കരാചര്യര്‍ക്കു എപ്രകാരം വിഷമമായിരുന്നു എന്നുള്ളതു ഉമേഷ് വിശദീകരിക്കുമ്പോള്‍ അറിയാം.

4. Viswanathan Prabhakaran Says:

   February 14th, 2006 at 9:26 pm

   എനിക്ക് ഓര്‍മ്മ വരുന്നില്ല പെട്ടെന്ന്. പക്ഷേ ഒരിക്കല്‍ ഞാന്‍ ചെയ്തിരുന്നൂന്നു മാത്രം ഓര്‍മ്മയുണ്ട്!

   വയസ്സായിത്തുടങ്ങി…!

   :-(

5. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 14th, 2006 at 9:32 pm

   കുടുക്കൊന്നുമില്ല വിശ്വം. ആറാം ക്ലാസ്സിലെ കുട്ടി ചെയ്യും ഇതു്‌.

   രണ്ടു കാരണങ്ങള്‍ കൊണ്ടാണു്‌ ഇതിവിടെ ചേര്‍ത്തതു്‌

   1) മനോഹരമായി പ്രശ്നങ്ങള്‍ പദ്യരൂപത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതു കാണിക്കാന്‍.

   2) 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടിലും (അതിനു മുമ്പും) ഇതൊക്കെ ചെയ്യാനറിയുന്നവര്‍ ഭാരതത്തിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു കാണിക്കാന്‍. “ലീലാവതി” ഒരുപാടു കാലം ടെക്സ്റ്റുബുക്കായിരുന്നു.

   നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ശരി തന്നെ. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഇതിനു്‌ ഒട്ടും പണിപ്പെട്ടിട്ടില്ല പെരിങ്ങോടരേ. നീറ്റായി ഒരു ഫോര്‍മുല തന്നിട്ടുണ്ടു മൂപ്പര്‍. അടുത്ത പോസ്റ്റും ഒരു quadratic equation ആണു്‌. അതുകൂടി കഴിഞ്ഞു്‌ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും മറ്റും ഈ രണ്ടു ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും വിശദീകരിക്കാം.

   ഭാസ്കരാചര്യരും അതിനു മുമ്പു ബ്രഹ്മഗുപ്തനും സോള്‍വു ചെയ്തതും, പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു പിന്നെയും നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടു കൂടി വേണ്ടി വന്നതും, നമ്മളില്‍ മിക്കവര്‍ക്കും ഇപ്പോഴും ചെയ്യാന്‍ പറ്റാത്തതുമായ ചിലതു്‌ ഇനി വരുന്നുണ്ടു്‌. ജാഗ്രതൈ!