September 2006

പൂജ്യവും അനന്തവും ഭാരതീയപൈതൃകവും

ഡാലിയുടെ അദ്വൈതവും പദാര്‍ത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ്വ സ്വഭാവവും - 2 എന്ന പോസ്റ്റിലെയും അതിന്റെ ചില കമന്റുകളിലെയും പരാമര്‍ശങ്ങളാണു് ഇതെഴുതാന്‍ എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്.




ഡാലി എഴുതുന്നു:

ഗണിതത്തിലും ഉണ്ടല്ലോ നിര്‍വചിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത ഒന്ന്: ഇന്‍ഫിനിറ്റി. 0/10 =0 എന്ന് പഠിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്. പ്രൈമറി സ്കൂള്‍ മാഷ് പറഞ്ഞ് കൊടുക്കും, ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള്‍ ആക്കിയതില്‍ എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0. എന്നാല്‍ 10/0 എന്നത് എങ്ങനെ പറഞ്ഞ് മനസ്സിലാക്കി കൊടുക്കും? ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍ എത്ര? പറഞ്ഞു കൊടുക്കാന്‍ ഇത്തിരി പാടാണ്.

ഒരു പാടുമില്ല ഡാലീ. ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി എന്നതു് ഒരു ലിമിറ്റാണു്. ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതും, ഏറ്റവും ചെറിയ (നെഗറ്റീവ്) സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറുതുമായ രണ്ടു ലിമിറ്റുകളെയാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി (പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു വലിയ (ചെറിയ) സംഖ്യ എന്നു തന്നെ കരുതാം.

10/0 എന്നതു് “ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍” എന്നെങ്ങനെ അര്‍ത്ഥം വരും? നമുക്കു് ഹരണത്തിന്റെ നിര്‍വ്വചനം നോക്കാം.

  • 20/4 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ 4 എന്നതു് എത്ര പ്രാവശ്യം കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 20 ആകും എന്നാണര്‍ത്ഥം. അഞ്ചു തവണ എന്നര്‍ത്ഥം.
  • 10/4 എന്നു പറഞ്ഞാലും അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ. രണ്ടു തവണയും പിന്നെ അരത്തവണയും (2 x 4 + 0.5 x 4 = 10) വയ്ക്കണം. അതായതു്, 10/4 = 2.5.
  • ഇനി, 10/0 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ (0) എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 കിട്ടും എന്നാണു്. എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലും പൂജ്യത്തില്‍ കൂ‍ടില്ല. അപ്പോള്‍ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാളും വലിയ ഒരു സംഖ്യ തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലേ ആകൂ എന്നു വരുന്നു. ഇതാണു് ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി.
    മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും. അപ്പോള്‍ അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള്‍ ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല്‍ “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)

[2006/09/28]: ഇവിടെ undefined എന്നു ഡാലിയും ഷിജുവും പറഞ്ഞതു് indeterminate എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചു് infinity, indeterminate എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിശദീകരിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരു ഭാഗമുണ്ടായിരുന്നു. ഡാലിയും ഷിജുവും indeterminate-നെക്കുറിച്ചു പറഞ്ഞിട്ടില്ലാത്തതിനാല്‍ ഈ ലേഖനത്തില്‍ നിന്നു് അതു നീക്കം ചെയ്യുന്നു.

തെറ്റു ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച ഡാലി, അനുരണനം (ഡാലിയുടെ ബ്ലോഗില്‍) എന്നിവര്‍ക്കും അനുരണനത്തിന്റെ കമന്റ് ഇവിടെ പോസ്റ്റു ചെയ്ത ഷിജുവിനും നന്ദി.


ഡാലി പറയുന്നു:

കൌതുകം എന്താണെന്നു വച്ചാല്‍ ഇന്‍ഫിനിറ്റിയെ കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ ലേഖനങ്ങളില്‍ ഒന്ന് യജുര്‍ വേദമണെന്ന് വിക്കി പറയുന്നു

ഉദ്ധൃതമായ വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

Along with the early conceptions of infinite space proposed by the Taoist philosophers in ancient China, one of the earliest known documented knowledge of infinity was also presented in ancient India in the Yajur Veda (c. 1200–900 BC) which states that “if you remove a part from infinity or add a part to infinity, still what remains is infinity”.

ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു് (പാപ്പാന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതുപോലെ)

പൂര്‍ണ്ണമദഃ പൂര്‍ണ്ണമിദം
പൂര്‍ണ്ണാത് പൂര്‍ണ്ണമുദച്യതേ
പൂര്‍ണ്ണസ്യ പൂര്‍ണ്ണമാദായ
പൂര്‍ണ്ണമേവാവശിഷ്യതേ

(അതു പൂര്‍ണ്ണം, ഇതു പൂര്‍ണ്ണം, പൂര്‍ണ്ണതില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണം പൊന്തിവന്നു. പൂര്‍ണ്ണത്തില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണമെടുത്തപ്പോള്‍ പൂര്‍ണ്ണം അവശേഷിച്ചു.)

ആണെന്നു തോന്നുന്നു. (ഇതു് ഈശാവാസ്യോപനിഷത്തിലേതാണെന്നാണു് എന്റെ അറിവു്.) ഇതു ശരിയാണെങ്കില്‍ ഇതു മറ്റൊരു ഭാരതീയപൈതൃകവ്യാജാവകാശവാദം മാത്രമാണു്. Complete എന്ന അര്‍ത്ഥത്തിലാണു് ഇവിടെ പൂര്‍ണ്ണം എന്നുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഇതെങ്ങനെ ഗണിതത്തിലെ അനന്തം ആകും? അതില്‍ നിന്നു അതു തന്നെ കുറച്ചാല്‍ അതു തന്നെ കിട്ടും എന്നതു പൂജ്യത്തിനും ബാധകമാണല്ലോ. ഇതു് അനന്തത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വരി എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും?



ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില്‍ ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്‍ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്. ആര്‍ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള്‍ ഇതിന്റെ സകലസീമകളെയും ലംഘിക്കുന്നു. മഹാവിഷ്ണുവിന്റെ ദശാവതാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പുരാണങ്ങളില്‍ പരിണാമസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു പറയുന്നതു് ഒരുദാഹരണം. സൃഷ്ടികര്‍മ്മത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നിടത്തു് ഇതു പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ. ഈ അനന്തപരാമര്‍ശവും അങ്ങനെ തന്നെ. പൂജ്യം (ശൂന്യം) എന്നതു് ആധുനികഗണിതത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അറിവില്ലാതിരുന്ന കാലത്താണു് വേദങ്ങള്‍ എഴുതിയതെന്നു് ആലോചിക്കണം. പിന്നെയെങ്ങനെ അനന്തത്തെപ്പറ്റി പറയാന്‍?



അനന്തസംഖ്യയെപ്പറ്റി ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ചതു ബ്രഹ്മഗുപ്തനാണു്. (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) അദ്ദേഹം അതിനെ “ഖച്ഛേദം” (പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചതു് എന്നര്‍ത്ഥം) വിളിച്ചു. അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ വരുന്ന “ഖഹരം” എന്ന പേരാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഉപയോഗിച്ചതു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറയുന്നതു നോക്കൂ:

യോഗേ ഖം ക്ഷേപസമം,
വര്‍ഗ്ഗാദൌ ഖം, ഖഭാജിതോ രാശിഃ
ഖഹരഃ, സ്യാത് ഖഗുണഃ
ഖം, ഖഗുണശ്ചിന്ത്യശ്ച ശേഷവിധൌ

പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാല്‍ ആ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. പൂജ്യത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയും പൂജ്യം തന്നെ. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഖഹരം കിട്ടും. പൂജ്യം കൊണ്ടു ഏതു സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചാലും പൂജ്യം തന്നെ ഫലം.

പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം വ്യക്തമായി നിര്‍വ്വചിച്ചിരിക്കുകയാണു് ഇവിടെ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ പറഞ്ഞതും ഇതു തന്നെ.

ശൂന്യേ ഗുണകേ ജാതേ
ഖം ഹാരശ്ചേത് പുനസ്തദാ രാശിഃ
അവികൃത ഏവ ജ്ഞേയ-
സ്തഥൈവ ഖേനോനിതശ്ച യുതഃ

ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിക്കുകയും പിന്നീടു പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടി വന്നാല്‍ അതേ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. അതിനാല്‍ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനവും ഹരണവുമുള്ള ഗണിതക്രിയകളില്‍ ഇപ്രകാരമുള്ള ഗുണനഹരണങ്ങള്‍ സംഖ്യയെ മാറ്റുന്നില്ല എന്നു മനസ്സിലാക്കി അവസാനത്തെ ക്രിയയില്‍ മാത്രമേ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനമോ ഹരണമോ ചെയ്യാവൂ.

ഇതിനു പല വിമര്‍ശനങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ടു്. 0/0 = 1 എന്നാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു് എന്നാണു് പ്രധാനവിമര്‍ശനം. അങ്ങനെയല്ല എന്നു് ഈ ശ്ലോകം ശ്രദ്ധിച്ചു വായിച്ചാല്‍ മനസ്സിലാകും. അദ്ദേഹം ഉദ്ദേശിച്ചതു്

എന്നാണെന്നു മനസ്സിലാകും. കാല്‍ക്കുലസിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വം.

അനന്തത്തെപ്പറ്റി ആലങ്കാരികമായും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍.

അസ്മിന്‍ വികാരഃ ഖഹരേ ന രാശാ-
വപി പ്രവിഷ്ടേഷ്വപി നിഃസൃതേഷു
ബഹുഷ്വപി സ്യാല്ലയസൃഷ്ടികാലേऽ-
നന്തേऽച്യുതേ ഭൂതഗണേഷു യദ്വത്

ഏതു സംഖ്യ കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും ഖഹരത്തിനു വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല. ജീവജാലങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവുകയും നശിക്കുകയും ചെയ്താലും അനന്തനായാ അച്യുതനു വ്യത്യാസമുണ്ടാകാത്തതു പോലെ.



ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ ലേഖനത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അദ്വൈതത്തില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നല്ല പറയുന്നതു്, മറിച്ചു രണ്ടിനും സാദൃശ്യമുള്ള തത്ത്വങ്ങളുണ്ടു് എന്നു പറയുകയാണു ചെയ്യുന്നതു് എന്നു ഡാലി തന്നെ പറയുന്നു. ഇതിനു കുഴപ്പമൊന്നുമില്ല.

കടലും കടലാടിയും പോലെയുള്ള വസ്തുതകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു ചില ഗവേഷകരുടെ ഇഷ്ടവിനോദമാണു്. “കാല്പനികത മാര്‍കേസിലും മുട്ടത്തുവര്‍ക്കിയിലും”, “കേരളത്തിലെ ഒടിവിദ്യയും ആസ്ട്രേലിയയിലെ ബൂമറാംഗും”, “ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ കൊടുങ്ങല്ലൂര്‍ ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍” തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിലുള്ള (ഈ വിഷയങ്ങളെല്ലാം സാങ്കല്പികം) പ്രബന്ധങ്ങളും കാമ്പുള്ള ഗവേഷണത്തിനോടൊപ്പം ഉണ്ടാകുന്നുണ്ടു്. ഇതൊക്കെ വൈജ്ഞാനികശാഖകള്‍‍ക്കു മുതല്‍ക്കൂട്ടു തന്നെ.

പക്ഷേ, ഈ താരതമ്യപ്പെടുത്തലിനപ്പുറം കമന്റെഴുതിയ പലരും ചെയ്തപോലെ അദ്വൈതത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നെന്നും, അല്ല ശങ്കരാചാര്യര്‍ തെറ്റാണെന്നു തെളിയിച്ച കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു തിയറിയില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് പൂര്‍ണ്ണമായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും പറയുമ്പോഴാണു വാദം ബാലിശമാകുന്നതു്.



ലേഖനത്തില്‍ പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യത്തെപ്പറ്റിക്കൂടി: പുതിയ നിയമം (ഞാന്‍ പുസ്തകത്തെപ്പറ്റിയാണു പറയുന്നതു്; ക്രിസ്തുവിനെപ്പറ്റിയോ ക്രിസ്തുമതത്തെപ്പറ്റിയോ അല്ല.) ഇത്രയും പോപ്പുലര്‍ ആയതു് അതിലെ വിപ്ലവകരമായ ആശയങ്ങളുടെ മഹത്ത്വം കൊണ്ടല്ല, ക്രിസ്തുമതം പ്രചരിപ്പിക്കാന്‍ അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്ത ഒരു പറ്റം ആളുകളുടെ കഴിവു കൊണ്ടാണു്. എന്റെ ഒരു അഭിപ്രായം മാത്രം.

ഭാരതീയഗണിതം (Indian Mathematics)
ഗണിതം (Mathematics)
പ്രതികരണം

Comments (95)

Permalink

അമ്മ ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ…

“പിന്നെ അമ്മ ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ…”

രാവിലെ അമ്മയും മകനും കൂടി പുസ്തകം വായിക്കുകയാണു്. മകനു കൂട്ടിവായന ശരിയായിട്ടില്ല. “മാര്‍ത്തോമ്മാ വലിയ പള്ളി” എന്നതു “മാറു തോമാ വലിയ പല്ലി” എന്നു വായിക്കുന്ന പരുവം. എങ്കിലും വായിക്കാന്‍ ഇഷ്ടമാണു്. ആരെങ്കിലും വായിച്ചു കൊടുക്കണം. അങ്ങനെ വായിച്ചു കൊടുത്തതില്‍ ഏതോ കാര്യത്തിനു മുമ്പു പറഞ്ഞ എന്തോ കാര്യത്തിനു വിരുദ്ധമായ എന്തോ കണ്ടു. അതാണു് ചോദ്യത്തിനു കാരണം.


സംസാരിക്കാന്‍ തുടങ്ങിയ കാലം മുതല്‍ വായിക്കാന്‍ തുടങ്ങുന്ന കാലം വരെയാണു് കുട്ടികള്‍ സ്വയം നന്നായി പഠിക്കുന്നതെന്നു തോന്നിയിട്ടുണ്ടു്. ഈ പ്രായത്തിലുള്ള കുട്ടികളോടു സംസാരിക്കാനും അവരുടെ ചെയ്തികള്‍ നോക്കിനില്‍ക്കാനും എന്തൊരു രസമാണു്! എന്തു സംശയങ്ങളാണു് അവര്‍ക്കു്? എത്ര ലോജിക്കലായി ആണു് അവര്‍ ചിന്തിക്കുന്നതു്? (Calvin and Hobbes എന്ന കാര്‍ട്ടൂണ്‍ സ്ട്രിപ്പ് ഇഷ്ടമുള്ളവര്‍ക്കു ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതെന്താണെന്നു മനസ്സിലാകും.) ചോദിക്കാന്‍ അവര്‍ക്കു ലജ്ജയുമില്ല, അറിയേണ്ടതു് എങ്ങനെയെങ്കിലും മനസ്സിലാക്കുകയും ചെയ്യും.

വായിക്കാറാവുമ്പോള്‍ പുസ്തകത്തിലെ അറിവു് അവന്റെ പ്രകൃത്യാ ഉള്ള കഴിവിനെ കെടുത്തിക്കളഞ്ഞു് മറ്റാരുടെയോ അറിവിനെ സ്പൂണ്‍‌ഫീഡ് ചെയ്യുന്നു. സ്കൂള്‍ വിദ്യാഭാസവും മുതിര്‍ന്നവരോടുള്ള ഇടപെടലും അവന്റെ ചോദ്യം ചെയ്യാനുള്ള താത്‌പര്യത്തെ നശിപ്പിച്ചുകളയുന്നു. ഉത്തരം മുട്ടുമ്പോള്‍ മുതിര്‍ന്നവര്‍ കൊഞ്ഞനം കുത്തുകയും “ഇവനിതെന്തൊരു ചെറുക്കന്‍! എന്റെയൊന്നും ചെറുപ്പത്തില്‍ ഇമ്മാതിരി ചോദ്യമൊന്നും ചോദിക്കില്ലായിരുന്നല്ലോ, പ്രായമായവര്‍ പറയുന്നതു് അങ്ങു വിശ്വസിക്കും. അതാണു വേണ്ടതു്.” എന്നു പറയുകയും ചെയ്യും.

രണ്ടര/മൂന്നു വയസ്സുള്ളപ്പോഴുള്ള ഒരു ചോദ്യം:

“അച്ഛാ, അച്ഛാ, മൂണിനെ നമുക്കു കാണാമായിരുന്നല്ലോ. ഇപ്പോള്‍ കാണുന്നില്ലല്ലോ. അതെന്താ?”

മലയാളം പറയാന്‍ പഠിപ്പിച്ചിരുന്നെങ്കിലും പല വസ്തുക്കളുടെയും ഇംഗ്ലീഷ് വാക്കുകള്‍ മാത്രമേ പറഞ്ഞുകൊടുത്തിരുന്നുള്ളൂ. ഭാഷകള്‍ തമ്മില്‍ ചിന്താക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാകാതിരിക്കാന്‍. അതാണു “മൂണ്‍” എന്നു പറയാന്‍ കാരണം.

“അതു മോനേ, നമ്മുടെ കണ്ണിന്റെയും മൂണിന്റെയും ഇടയ്ക്കു ട്രാന്‍സ്പെരന്റ് അല്ലാത്ത ഒരു സാധനം വന്നതുകൊണ്ടാ…”

“അതെന്താ ഈ ട്രാന്‍സ്…?”

“ലൈറ്റ് കടന്നുപോകുന്ന സാധനമാണു ട്രാന്‍സ്പെരെന്റ്. കണ്ണാടി, വെള്ളം അതുപോലെയുള്ളവ…”

“അപ്പോള്‍ നമ്മുടെ പുറകിലുള്ളതെന്താ കാണാത്തതു്?”

“അതു്…” (ഒന്നു പരുങ്ങി‌) “നമ്മുടെ കണ്ണിനും അതിനും ഇടയ്ക്കു നമ്മുടെ തല വരുന്നുണ്ടല്ലോ. അതു ട്രാന്‍സ്പെരെന്റ് അല്ലല്ലോ…”

കണ്ണിന്റെ ലെന്‍സ്, റെറ്റീന തുടങ്ങിയവ പറഞ്ഞുകൊടുക്കാന്‍ നിന്നാല്‍ ഇന്നത്തെ ദിവസം പോകും. തത്കാലം ഇതുകൊണ്ടു ശരിയാകുമോ എന്നു നോക്കട്ടേ.

“അപ്പോ എന്താ നമ്മള്‍ നമ്മളുടെ തല കാണാത്തതു്?”

ചുറ്റി. “വീട്ടില്‍ ചെല്ലട്ടേ. അപ്പോള്‍ അച്ഛന്‍ എല്ലാം പറഞ്ഞുതരാം.”

അതാണെന്റെ പത്തൊമ്പതാമത്തെ അടവു്. വീട്ടില്‍ കമ്പ്യൂട്ടര്‍, ഇന്റര്‍നെറ്റ്, ഗൂഗിള്‍, വിക്കിപീഡിയ എന്നിവയൊക്കെ ഉണ്ടല്ലോ. അതില്‍ നോക്കിയിട്ടു പറഞ്ഞുകൊടുക്കാം.

അന്നൊക്കെ ഇങ്ങനെയുള്ള ചീളുകാര്യങ്ങള്‍ക്കു വിക്കിപീഡിയ നോക്കാന്‍ മടിയാണു്. പിന്നെയാണു മനസ്സിലായതു് സര്‍വ്വവിജ്ഞാനകോശം എന്നു ഞാന്‍ വിചാരിച്ചിരുന്ന പലരും മുട്ട പുഴുങ്ങുന്നതെങ്ങനെ എന്നതിനു പോലും വിക്കിപീഡിയ നോക്കുമെന്നു്!

“അച്ഛാ, പിന്നെ അമ്മ ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ…”

“അമ്മ എന്തു പറഞ്ഞു?”

“മൂണിനെ കാണാതായതു് കാര്‍ ഒരു ടേണെടുത്തതുകൊണ്ടാണെന്നു്…”

“അതും ശരി തന്നെ.”

“അതെങ്ങനാ ശരിയാവുന്നതു്?”

“കാര്‍ ഒരു ടേണെടുത്തപ്പോള്‍ നമ്മുടെ കണ്ണിന്റെയും മൂണിന്റെയും ഇടയ്ക്കു് ട്രാന്‍സ്പരന്റല്ലാത്ത ഒരു സാധനം വന്നു. ഉദാഹരണത്തിനു കാറിന്റെ റൂഫ്…”

“അല്ലെങ്കില്‍ മൂണ്‍ നമ്മുടെ പുറകിലായിക്കാണും…” ഇപ്പോള്‍ കിട്ടിയ വിജ്ഞാനത്തില്‍ നിന്നൊരു ചീന്തു്.

“ശരിയാ, അങ്ങനെയും ആവാം.”

അങ്ങനെ തത്ക്കാലം ആ പ്രശ്നം ഒഴിവായി. വീട്ടില്‍ വന്നപ്പോള്‍ അവന്‍ മറ്റേ കാര്യം എടുത്തിട്ടു. ഗൂഗിള്‍, വിക്കിപീഡിയ തുടങ്ങിയവ ഉപയോഗിച്ചു കണ്ണില്‍ പ്രതിബിംബം പതിയുന്നതും, കണ്ണടയുടെ ഉപയോഗവും, ക്യാമറയുടെ പിന്നിലെ തത്ത്വവും-ഒക്കെയായി നാലഞ്ചു മണിക്കൂര്‍ പോയെന്നു പറഞ്ഞാല്‍ മതിയല്ലോ.

അന്നു മുതല്‍ എന്നും വൈകിട്ടു ഞാന്‍ ഓഫീസില്‍ നിന്നു വന്നാല്‍ ഞാനും സിന്ധുവും കൂടി ഒരു ഡിസ്കഷനുണ്ടു്. ഇന്നു് അവന്‍ എന്തു ചോദ്യങ്ങള്‍ ചോദിച്ചു, അവയ്ക്കു് എന്തുത്തരങ്ങള്‍ ആണു പറഞ്ഞതു് എന്നതിനെപ്പറ്റി. അതേ ചോദ്യം മറ്റേ ആളോടു ചോദിച്ചാല്‍ അതേ ഉത്തരം തന്നെ പറയാനുള്ള ഒരു മുന്‍‌കരുതല്‍. ഇതിനെ നമുക്കു് ഉത്തരസമാനത (Equivalence of answers) എന്നു വിളിക്കാം.


ഈ ഉത്തരസമാനത ടെസ്റ്റു ചെയ്യല്‍ അവന്റെ രക്തത്തില്‍ അലിഞ്ഞുചേര്‍ന്നിട്ടുണ്ടു് എന്നു തോന്നും. ഒരു ചോദ്യം നമ്മളോടു തന്നെ പത്തു തവണ ചോദിക്കും. മറ്റുള്ളവരോടും ചോദിക്കും. വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കില്‍ അതില്‍ കടിച്ചുതൂങ്ങും. രണ്ടുപേര്‍ ഒരുപോലെ പറഞ്ഞാല്‍ മൂന്നാമതായി ഒരാളോടു ചോദിക്കും.

ഇവനു പറ്റിയ പണി വക്കീല്‍പ്പണി ആണെന്നു തോന്നിയിട്ടുണ്ടു്. പിന്നീടു മനസ്സിലായി ഈ പ്രായത്തിലുള്ള കുട്ടികള്‍ മുഴുവന്‍ വക്കീല്‍പ്പണിക്കു പഠിക്കുന്നവരാണെന്നു്. “കുട്ടികള്‍ വക്കീലന്മാരായി ജനിക്കുന്നു. മുതിര്‍ന്നവര്‍ അവരെ മറ്റു പലതും ആക്കുന്നു.” എന്നു പറയാന്‍ തോന്നിയിട്ടുണ്ടു്.


ഇരുപതു മൈല്‍ ദൂരെ സകുടുംബം താമസിക്കുന്ന ഭാര്യാസഹോദരന്റെ വീട്ടില്‍ പോയതാണു ഞങ്ങള്‍. ആഴ്ചയിലൊരിക്കല്‍ ഇങ്ങനെയൊരു പോക്കു പതിവുണ്ടു്. അവിടെ അടുത്തുള്ള ഇന്ത്യന്‍ പലചരക്കുകടയില്‍ നിന്നും മറ്റും ആവശ്യമായ ഷോപ്പിംഗ്, വല്ല ബെര്‍ത്‌ഡേ പാര്‍ട്ടിയോ മറ്റോ ഉണ്ടെങ്കില്‍ അതില്‍ സംബന്ധിക്കല്‍ തുടങ്ങിയുള്ള അല്ലറചില്ലറ കാര്യങ്ങള്‍ക്കായി. ഉച്ചയ്ക്കു മുമ്പു് അവിടെയെത്തി അവിടെ നിന്നു് ഉച്ചഭക്ഷണവും പിന്നെ രാത്രി വരെ വര്‍ത്തമാനം പറഞ്ഞിരുന്നു് ആ ഭക്ഷണവും അവിടെ നിന്നാക്കി പാതിരാത്രിയ്ക്കു തൊട്ടു മുമ്പു കൂടു പൂകും.

അഭിരുചികളുടെ കാര്യത്തില്‍ നാലു ധ്രുവങ്ങളില്‍ സ്ഥിതിചെയ്യുന്ന ഞങ്ങള്‍ക്കു നാലു പേര്‍ക്കും താത്പര്യമുള്ള വിഷയം സൂര്യനു കീഴില്‍ ഇല്ലാത്തതുകൊണ്ടു് പത്തുപതിനഞ്ചു മിനിട്ടുകള്‍ക്കുള്ളില്‍ ഞങ്ങളുടെ സംഭാഷണം അരവിന്ദന്റെ അവാര്‍ഡുസിനിമയിലെപ്പോലെ ഒറ്റ വാക്കിലുള്ള ചോദ്യവും (“ഉറങ്ങിയോ?”) ഒരു ഞരക്കത്തിലുള്ള ഉത്തരവും (“ങൂം ങൂം”) ആയി പരിണമിക്കും. അപ്പോഴുള്ള ആകെ ആശ്വാസം മൂന്നര-നാലു വയസ്സുള്ള മകന്റെ അടിസ്ഥാനസംശയങ്ങളാണു്. നാലു പേരും മത്സരിച്ചു് അവന്റെ ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കുത്തരം കൊടുക്കാന്‍ വിഫലശ്രമം നടത്തി ഉത്തരസമാനതയുടെ എല്ലാ നിയമങ്ങളും തെറ്റിച്ചു് പിന്നെ ഒരാഴ്ചത്തേക്കു് “അച്ഛന്‍/ അമ്മ/ അമ്മാവന്‍/ അമ്മായി ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ…” എന്നു പറയാന്‍ വകുപ്പുണ്ടാക്കിക്കൊടുക്കും.

അന്നു് അദ്ദേഹം അമ്മാവന്‍ വാങ്ങിക്കൊടുത്ത ഒരു കളിപ്പാട്ടത്തിലെ ചെറിയ ഒരു കുഴലിനകത്തു് വലിയ ഒരു കോല്‍ കടക്കാത്തതു് എന്തുകൊണ്ടു് എന്നതിനെപ്പറ്റി ഫണ്ടമെന്റല്‍ ചോദ്യങ്ങള്‍ ചോദിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ചെറുതില്‍ വലുതു പോകാത്തതിനെപ്പറ്റി ഞങ്ങള്‍ നാലു് എഞ്ചിനീയര്‍മാര്‍ ഘോരഘോരം ക്ലാസ്സുകളെടുത്തു. അതു കേട്ടിട്ടു് അവന്‍ ഒരു സിമ്പിള്‍ ചോദ്യം ചോദിക്കും, “അതെന്താ?” അതിനു ഞങ്ങള്‍ക്കുത്തരമില്ല. വ്യാപ്തം, തന്മാത്രകളുടെ ജഡത്വവും ചാലകതയും, കണികാസിദ്ധാന്തം, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്, വേദാന്തം, ഫിലോസഫി തുടങ്ങിയവയൊക്കെ പരീക്ഷിച്ചിട്ടും (ഇതൊക്കെ ഞങ്ങള്‍ക്കാര്‍ക്കെങ്കിലും അറിയാമെന്നു തെറ്റിദ്ധരിക്കരുതു്. പറയാന്‍ ശ്രമിച്ചു എന്നേ ഉള്ളൂ.) “എഗൈന്‍ ശങ്കര്‍ ഇസ് ഓണ്‍ ദ കോക്കനട്ട് ട്രീ” എന്ന സ്ഥിതി. അവസാനം യൂക്ലിഡിന്റെ അഞ്ചാം പ്രമാണം പോലെ ഞങ്ങള്‍ പ്രഖ്യാപിച്ചു, “വലിയ ദ്വാരങ്ങളിലൂടെ വലിയ വസ്തുക്കള്‍ക്കും ചെറിയ വസ്തുക്കള്‍ക്കും പോകാം. എന്നാല്‍ ചെറിയ ദ്വാരങ്ങളിലൂടെ ചെറിയ വസ്തുക്കള്‍ക്കു മാത്രമേ പോകാന്‍ കഴിയൂ. ഇതു നീ സമ്മതിച്ചേ പറ്റൂ.”

ഇതിനു കൊടുക്കേണ്ടി വന്ന വില ചെറുതല്ലായിരുന്നു. അടുക്കും ചിട്ടയുമായി കിടന്നിരുന്ന വീടു് നെയില്‍ പോളിഷ് ട്യൂബുകള്‍, ക്യാമറ, കുപ്പികള്‍, പാത്രങ്ങള്‍, പെട്ടികള്‍, ഇപ്പറഞ്ഞ സാധനങ്ങളില്‍ ഇടാന്‍ വേണ്ടി എടുത്ത ചെറുതും വലുതുമായ പല വലിപ്പത്തിലുള്ള സാധനങ്ങള്‍ ഇവയെക്കൊണ്ടു നിറഞ്ഞു. അവനിരിക്കാന്‍ വേണ്ടി വാങ്ങിയ ഒരു കുഞ്ഞു പ്ലാസ്റ്റിക്ക് കസേരയില്‍ വലിയ ഒരാള്‍ക്കിരിക്കാന്‍ പറ്റില്ല എന്നു ഡെമോണ്‍‌സ്ട്രേറ്റു ചെയ്തു് അതു പല കഷണമായി. ഖരവസ്തുക്കള്‍ക്കു പറഞ്ഞ തത്ത്വം ദ്രാവകങ്ങള്‍ക്കും ബാധകമാണോ എന്നു് അദ്ദേഹം ഞങ്ങളുടെ നിര്‍ദ്ദേശപ്രകാരമല്ലാതെ പരീക്ഷിച്ചതിന്റെ ഫലമായി ഓറഞ്ച്‌ജ്യൂസ്‌കുപ്പി കാര്‍പെറ്റില്‍ കമഴ്ന്നു. ആകെ വീടു് അനോണികള്‍ കയറിയ ബ്ലോഗു പോലെയായി.

പക്ഷേ ഏറ്റവും വലിയ അപകടം സംഭവിച്ചതു ന്യൂട്ടനാണു്. അതേ, ഗുരുത്വാകര്‍ഷണപ്രമാണം കണ്ടുപിടിച്ച സാക്ഷാല്‍ ഐസക് ന്യൂട്ടനു്. മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തം വിശദീകരിക്കുന്നതിനിടയില്‍ ന്യൂട്ടന്‍ പണ്ടു് തന്റെ രണ്ടു പട്ടിക്കുട്ടികളെയും ഇടാന്‍ ഒരു കൂടു പണിഞ്ഞതും, വലിയ പട്ടിയ്ക്കു കയറാന്‍ വലിയ വാതിലും ചെറിയ പട്ടിയ്ക്കു കയറാന്‍ ചെറിയ വാതിലും വേണമെന്നു് ആശാരിയോടു പറഞ്ഞതും, വലിയ വാതിലില്‍ക്കൂടി ചെറിയ പട്ടിക്കും കയറിക്കൂടേ എന്നു് ആശാരി ചോദിച്ചതും ഒക്കെ വിശദീകരിക്കുന്ന കഥ പറഞ്ഞുകൊടുത്തു. (അതു ന്യൂട്ടനല്ല ആമ്പിയറാണെന്നും, പട്ടിയല്ല പൂച്ചയാണെന്നും ഒന്നും പറഞ്ഞു് ആരും വന്നേക്കരുതു്. സൌകര്യത്തിനു വിക്കിപീഡിയ അവിടെ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. ഞങ്ങള്‍ക്കു നാലു പേര്‍ക്കും മുട്ട പുഴുങ്ങാന്‍ അറിയാവുന്നതു കൊണ്ടു് അതിന്റെ ആവശ്യവും തോന്നിയിരുന്നില്ല.) ഈ കഥയില്‍ നിന്നു് ലോകം കണ്ട ഏറ്റവും പ്രതിഭാശാലിയായിരുന്ന ആ മനുഷ്യനെ ഒരു ഭൂലോകമണ്ടന്‍ എന്ന രീതിയിലാണു് അവന്‍ പിന്നെ കരുതിയിരുന്നതു്. ഉദാഹരണമായി, ശ്രീജിത്തിന്റെ ബ്ലോഗ് വല്ലതും അവനെ കാണിച്ചാല്‍ “ഇതു ന്യൂട്ടന്‍ എഴുതിയതാണോ” എന്നു് അവന്‍ ചോദിക്കും. പാറപ്പുറത്തു നിന്നു താഴോട്ടു വീണപ്പോള്‍ തനിക്കു 9.8 km/sec സ്പീഡുണ്ടായിരുന്നു എന്നെഴുതിയ മഹാന്റെ പേരു ചേര്‍ത്തു തന്റെ പേരു പറഞ്ഞെന്നു കേട്ടാല്‍ വെസ്റ്റ് മിനിസ്റ്റര്‍ ആബിയിലെ ഒരു ശവകുടീരത്തില്‍ അന്ത്യവിശ്രമം കൊള്ളുന്ന ന്യൂട്ടന്റെ അസ്ഥിപഞ്ജരം പല തവണ തകിടം മറിയും.

പക്ഷേ, ഏറ്റവും വലിയ അത്യാഹിതം വരാനിരിക്കുന്നതേ ഉള്ളൂ. മേല്‍പ്പറഞ്ഞ സംഭവത്തിനു ശേഷം നാലഞ്ചു ദിവസത്തിനുള്ളില്‍ (ഇതിനിടയില്‍ ഏതെങ്കിലും വാതില്‍ കണ്ടാല്‍ അതിലൂടെ ആന പോകുമോ, ഇതിലൂടെ ബ്ലൂ വെയില്‍ പോകുമോ എന്നൊക്കെ ചോദിച്ചു ഞങ്ങളുടെ തല പറപ്പിച്ചിരുന്നു എന്നതു വെറൊരു കാര്യം.) തഥാഗതനെ പ്രീ-സ്കൂളില്‍ കൊണ്ടുവിടാന്‍ കാറില്‍ യാത്ര ചെയ്യുമ്പോഴാണു് കാര്‍ണിവല്‍ നടക്കുന്ന ഒരു പറമ്പിന്റെ അടുത്തു കൂടി പോയതു്. അവിടെ വലിയ ശബ്ദമായതുകൊണ്ടു ഞാന്‍ ജനല്‍ അടച്ചു.

അപ്പോള്‍ വന്നു ചോദ്യം, “അച്ഛാ, എന്താ ഇപ്പോള്‍ ശബ്ദം കേള്‍ക്കാത്തേ…?”

ഹാവൂ, എനിക്കറിയാവുന്ന ഒരു ചോദ്യം കിട്ടി! ശബ്ദതരംഗങ്ങളെപ്പറ്റിയും അവ ചെവിയില്‍ വന്നു തട്ടുമ്പോള്‍ നമ്മള്‍ അതു കേള്‍ക്കുന്നതിനെപ്പറ്റിയും പറഞ്ഞുകൊടുത്തു. അമ്മ പറഞ്ഞുകൊടുത്തു് അവനു് ഇതിനെപ്പറ്റി കുറേ വിവരമുണ്ടായിരുന്നു. പക്ഷേ സംശയം അവിടെക്കൊണ്ടു തീര്‍ന്നില്ല.

“എന്താ കുറച്ചു ശബ്ദം കേള്‍ക്കാമല്ലോ…”

“അതു മോനേ, ഈ ചില്ലിന്റെ ഇടയ്ക്കും ചെറിയ സുഷിരങ്ങളുണ്ടു്. നമുക്കു കാണാന്‍ പറ്റില്ല എന്നു മാത്രം. ശബ്ദം അതിലൂടെ നുഴഞ്ഞുകയറി നമ്മുടെ ചെവിയിലെത്തും. എല്ലാ ശബ്ദത്തിനും അങ്ങനെ പറ്റാത്തതുകൊണ്ടു് കുറച്ചു മാത്രമേ നമുക്കു കേള്‍ക്കാന്‍ പറ്റൂ.”

ചെറിയ ശബ്ദങ്ങള്‍ സുഷിരങ്ങളിലൂടെ നുഴഞ്ഞുകയറുന്നതും വലിയ ശബ്ദങ്ങള്‍ വെളിയില്‍ വഴിമുട്ടി നില്‍ക്കുന്നതുമോര്‍ത്തു് അവന്‍ കുറേ നേരം ചാരിയിരുന്നു.

അപ്പോഴാണു് ഞങ്ങളെ ഞെട്ടിച്ചുകൊണ്ടു് (അതിനേക്കാള്‍ വലിയ ഞെട്ടല്‍ വരാനിരിക്കുന്നതേ ഉള്ളൂ എന്നു ഞാനറിഞ്ഞില്ല) ഒരു വെടിശബ്ദം കേട്ടതു്. കാര്‍ണിവല്‍ പറമ്പില്‍ നിന്നാണു്.

“ജനല്‍ അടച്ചിട്ടും നമ്മളെന്താ അതു കേട്ടതു്?” പേടിച്ചരണ്ട ഒരു ശബ്ദം പുറകില്‍ നിന്നു്.

“ഓ അതൊരു വലിയ ശബ്ദമായതുകൊണ്ടാണു മോനേ…”

“അപ്പോള്‍ ചെറിയ ശബ്ദം ഈ ജനലില്‍ക്കൂടി കടക്കില്ല, വലുതു കടക്കും, അല്ലേ..”

“അതുതന്നെ.” വരാന്‍ പോകുന്ന അപകടം ഞാന്‍ അപ്പോഴും അറിയുന്നില്ല.

“അച്ഛന്‍ ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ, ചെറിയ സാധനങ്ങള്‍ എല്ലായിടത്തും കടക്കും, വലുതിനു പറ്റില്ല എന്നു്…”

ലോകം ഒരു നിമിഷത്തേയ്ക്കു നിശ്ചലമായതുപോലെ തോന്നി. എന്തു പറയും? “ഞാന്‍ വൈകിട്ടു വീട്ടില്‍ വന്നിട്ടു പറയാം.” വിക്കിപീഡിയയില്‍ എന്തു കീവേര്‍ഡുപയോഗിച്ചു തെരഞ്ഞാല്‍ ഇതിനുത്തരം കിട്ടും എന്നായിരുന്നു എന്റെ ചിന്ത.

വൈകിട്ടു് ഹ്യൂജന്‍സിന്റെ തരംഗസിദ്ധാന്തം ഞങ്ങള്‍ പഠിച്ചു. ഒരു പാത്രത്തിലെ വെള്ളത്തില്‍ കല്ലിട്ടു കൊണ്ടായിരുന്നു തുടക്കം. അതു പിന്നെ ശബ്ദത്തിലേക്കും പ്രകാശത്തിലേക്കും എത്തി. അവന്റെ ചോദ്യങ്ങള്‍ കൂടിക്കൂടി വന്നു.

അങ്ങനെ അന്നു വൈകുന്നേരം സിന്ധു വിക്കിപീഡിയ ഉപയോഗിക്കാന്‍ പഠിച്ചു. ഞാന്‍ എന്‍‌സൈക്ലോപീഡിയ ബ്രിട്ടാനിക്കയുടെ പ്രകാശത്തെപ്പറ്റി പറയുന്ന വിഷയങ്ങള്‍ അടങ്ങിയ മൂന്നാലു വാല്യങ്ങള്‍ തറയില്‍ തുറന്നുവെച്ചു പ്രകാശത്തിന്റെ തരംഗസ്വഭാവത്തെപ്പറ്റി പഠിക്കാന്‍ തുടങ്ങി. ഫിസിക്സ് അവസാനം പഠിച്ചതു ഇരുപതു കൊല്ലം മുമ്പാണു്-എഞ്ചിനീയറിംഗ് രണ്ടാം സെമസ്റ്ററില്‍. അന്നു കോലപ്പാപിള്ള സാറിന്റെ ക്ലാസ്സു കട്ടു ചെയ്തു് അക്ഷരശ്ലോകം ചൊല്ലാന്‍ പോയപ്പോള്‍ ആലോചിക്കണമായിരുന്നു അതിനു വലുതായ വില കൊടുക്കേണ്ടി വരുമെന്നു്.

അപ്പോഴതാ സിന്ധുവിനൊരു സംശയം, “നമ്മളൊരു എക്സ്‌പെരിമെന്റ്റു ചെയ്തിട്ടില്ലേ ഫിസിക്സ് ലാബില്‍? ന്യൂട്ടണ്‍സ് റിംഗ്‌സ് എന്നു പറഞ്ഞു്…”

സിന്ധു പണ്ടു് ഏതോ എഞ്ചിനീയറിംഗ് ഡിസ്റ്റിംഗ്‌ഷനോടെ പാസ്സായിട്ടുണ്ടെന്നു് ‘ഐതിഹ്യമാല’യില്‍ വായിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും അതിനു തെളിവായി ആ വായില്‍ നിന്നു് ഒരു മൊഴി ഇതു വരെ ഞാന്‍ കേട്ടിട്ടില്ല. മറ്റൊരവസരത്തില്‍ ഞാന്‍ ആനന്ദതുന്ദിലനായേനേ. പക്ഷേ, ഇപ്പോള്‍ ഇവനെ എന്തെങ്കിലും പറഞ്ഞുകൊടുത്തു് ഒതുക്കാന്‍ നോക്കുമ്പോഴാണു്…

“അച്ഛാ, ന്യൂട്ടന്‍ എന്നു പറയുന്നതു് ആ മണ്ടനല്ലേ? അങ്ങേര്‍ക്കെന്തിനാ റിംഗ്‌സ്?”

പണിയായി. ഞങ്ങളുടെ സേര്‍ച്ചുകള്‍ ന്യൂട്ടണ്‍സ് റിംഗ്‌സിലേക്കു പറിച്ചു നടപ്പെട്ടു.

ഏതാനും മണിക്കൂറുകള്‍ക്കു ശേഷം ഞങ്ങള്‍ ഫിസിക്സ്, ഒപ്റ്റിക്സ്, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്, ദേഷ്യം കണ്ട്രോള്‍ ചെയ്യല്‍, അരിശം വരുമ്പോള്‍ ചീത്തവാക്കുകള്‍ ഉപയോഗിക്കാതെ ദൈവം, മാതാപിതാക്കള്‍ തുടങ്ങിയവരുടെ പേരുകള്‍ പിന്നില്‍ ആശ്ചര്യചിഹ്നത്തോടെ ഉപയോഗിക്കല്‍ തുടങ്ങിയ ശാസ്ത്രശാഖകളില്‍ പൂര്‍വ്വാധികം വിജ്ഞാനമുള്ളവരായി കാണപ്പെട്ടു. അവന്റെ സംശയങ്ങള്‍ തീര്‍ന്നുമില്ല.



“അച്ഛാ, ഏറ്റവും ചെറിയ പ്ലാനറ്റ് ഏതാ?”

ഇപ്പോള്‍ കഥാനായകനു പ്രായം അഞ്ചര. ലൈബ്രറിയില്‍ നിന്നു കിട്ടിയ ഒരു പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നു സൌരയൂഥത്തെപ്പറ്റിയുള്ള ഭാഗം വായിച്ചുകൊടുക്കുകയാണു സിന്ധു. അതിനിടയിലാണു് ഞങ്ങളുടെ ഉത്തരസമാനതയെ ടെസ്റ്റു ചെയ്യുന്ന ഈ ചോദ്യം.

“മെര്‍ക്കുറി”
“പിന്നെ അമ്മ പറഞ്ഞല്ലോ പ്ലൂട്ടോ ആണെന്നു്?”
“പ്ലൂട്ടോ അല്ല മെര്‍ക്കുറിയാണു്.”
“വെറുതേ ആ ചെറുക്കനു തെറ്റു പറഞ്ഞുകൊടുക്കല്ലേ. ഈ പുസ്തകത്തില്‍ പറയുന്നുണ്ടല്ലോ പ്ലൂട്ടോയാണെന്നു്…” എന്നു സിന്ധു.

അതെങ്ങനെ? ഞാന്‍ ചെറുപ്പത്തില്‍ പഠിച്ചതു മെര്‍ക്കുറി എന്നാണല്ലോ. (ഇതില്‍ നിന്നു പ്ലൂട്ടോയെ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു മുമ്പാണു ഞാന്‍ സ്കൂളില്‍ പഠിച്ചതെന്നു വായനക്കാര്‍ തെറ്റിദ്ധരിക്കരുതു്. ഞാന്‍ അത്ര വയസ്സനല്ല!) ഇനിയിപ്പോള്‍ ഗൂഗിള്‍ തന്നെ ശരണം. നോക്കിയ സ്ഥലത്തെല്ലാം പ്ലൂട്ടോ ആണു് ഏറ്റവും ചെറിയ ഗ്രഹം എന്നു കണ്ടു.

എന്റെ കയ്യില്‍ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രപുസ്തകങ്ങള്‍ മൊത്തം തെരഞ്ഞു. എല്ലാറ്റിലും മെര്‍ക്കുറിയെക്കാള്‍ ചെറുതു പ്ലൂട്ടോ തന്നെ. ഇതെന്തു പുകില്‍?

അപ്പോഴാണു യാക്കോവ് പെരല്‍മാന്റെ (അതേ, “ഭൌതികകൌതുകം” എഴുതിയ ആള്‍ തന്നെ) “Astronomy for Entertainment” എന്ന പുസ്തകം നോക്കാന്‍ തോന്നിയതു്. 1932-ല്‍ എഴുതിയ പുസ്തകത്തിന്റെ 1957-ല്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ഈ പതിപ്പു് ഹൈദരാബാദിലെ ഒരു സെക്കന്റ് ഹാന്‍ഡ് ബുക്ക്‍സ്റ്റാളില്‍ നിന്നു വാങ്ങിയതാണു്. അതില്‍ മെര്‍ക്കുറി പ്ലൂട്ടൊയാക്കാള്‍ ചെറുതാണെന്നു കാണുന്നു. അപ്പോള്‍ ഞാന്‍ പഠിച്ചിരുന്ന കാലത്തു പ്ലൂട്ടോയുടെ വലിപ്പം ശരിക്കു കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നിരിക്കില്ല. ഇംഗ്ലീഷ് വിക്കിപീഡിയയില്‍ “Pluto” എന്ന പദം തന്നെ നോക്കി. അതില്‍ ഇങ്ങനെ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു.

Pluto’s diameter and mass were incorrectly overestimated for many decades after its discovery. Initially it was thought to be relatively large, with a mass comparable to Earth, but over time the estimates were revised sharply downward as observations were refined.

The discovery of its satellite Charon in 1978 enabled a determination of the mass of the Pluto-Charon system by application of Newton’s formulation of Kepler’s third law. Originally it was believed that Pluto was larger than Mercury but smaller than Mars, but that calculation was based on the premise that a single object was being observed. Once it was realized that there were two objects instead of one, the estimated size of Pluto was revised downward.

അപ്പോള്‍ 1978-നു മുമ്പു പ്രൈമറി ക്ലാസ്സില്‍ പഠിച്ചതുകൊണ്ടു ഞാന്‍ പഠിച്ചതു് അങ്ങനെയാവണം. പക്ഷേ, അതു് ഇവനോടെങ്ങനെ പറയും? പറഞ്ഞാല്‍ മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന തിയറിയൊക്കെ കുത്തിയിരുന്നു പഠിക്കേണ്ടി വരും. അതിനാല്‍ ഇങ്ങനെ പറഞ്ഞു.

“അച്ഛനു് അറിയാന്‍ വയ്യായിരുന്നു മോനേ. അച്ഛന്‍ വിചാരിച്ചതു മെര്‍ക്കുറിയാണു ചെറുതെന്നാ…”

അവനു് അതൊരു ഷോക്കായിരുന്നു. അറിയില്ല എന്നതു മനസ്സിലാക്കാം. പക്ഷേ അറിഞ്ഞതു തെറ്റാണു് എന്നതിനു് എന്താണു ന്യായീകരണം?

ശാസ്ത്രം എന്നതു് അറിഞ്ഞതു തെറ്റാണെന്നുള്ള അറിവിന്റെ ആകെത്തുകയാണെന്നും, അറിഞ്ഞതു തെറ്റാകില്ല എന്ന കടും‌പിടിത്തത്തിന്റെ ഫലമാണു് അന്ധവിശ്വാസങ്ങളുടെയും തെറ്റായ അവകാശവാദങ്ങളുടെയും അശാസ്ത്രീയമായ വാഗ്വാദങ്ങളുടെയും കാരണമെന്നും ഇവനോടു പറഞ്ഞാല്‍ മനസ്സിലാവുമോ?

പിറ്റേന്നു മുതല്‍ രാവിലെ ഞാന്‍ ഓഫീസിലെ കുറച്ചു പണികളും പതിവുള്ള ബ്ലോഗ്-പിന്മൊഴി വായനയും കഴിഞ്ഞു താഴെ വരുമ്പോള്‍ ഇങ്ങനെ ഒരു ഡയലോഗ് കേള്‍ക്കാം:

“അമ്മേ, അമ്മേ, ഏറ്റവും ചെറിയ പ്ലാനറ്റ് ഏതാ?”
“പ്ലൂട്ടോ”
“പിന്നെ അച്ഛന്‍ ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ മെര്‍ക്കുറി ആണെന്നു്?”
“അതേ മോനേ, അച്ഛനു വിവരമില്ലാഞ്ഞതു കൊണ്ടാ…”

“ഗുരുകുല”ത്തില്‍ വക്കാരിയും അരവിന്ദനുമൊക്കെ ഇട്ട കമന്റുകള്‍ വായിച്ചു കാലുകള്‍ തറയില്‍ തൊടാതെ സ്വപ്നലോകത്തില്‍ പൊങ്ങിപ്പൊങ്ങി കോണിയിറങ്ങി വരുന്ന ഞാന്‍ “ബ്ധും…” എന്നു താഴേയ്ക്കു്…



പരീക്ഷയ്ക്കു് തെറ്റെഴുതിയിട്ടു് “കേരളത്തിന്റെ തലസ്ഥാനം തൃശ്ശൂരാക്കണേ…” എന്നു ദിവസവും ദൈവത്തോടു പ്രാര്‍ത്ഥിച്ചുകൊണ്ടിരുന്ന കുട്ടിയെപ്പോലെ, എന്നു ഞാന്‍ ഉള്ളുരുകി പ്രാര്‍ത്ഥിച്ചു-ഈ പ്ലൂട്ടോയുടെ വലിപ്പം അല്പം കൂടി കൂട്ടി ലവനെ മെര്‍ക്കുറിയെക്കാള്‍ വലുതാക്കണേ എന്നു്. ഈ “വിവരമില്ലാത്തവന്‍” വിളി കേട്ടു മതിയായി…

ആദ്യത്തെ ആശാകിരണം ഷിജുവിന്റെ പ്ലൂട്ടോയ്ക്കു ഗ്രഹപ്പിഴ എന്ന ലേഖനത്തിലൂടെ എത്തി. പ്ലൂട്ടോ ചിലപ്പോള്‍ ഗ്രഹമല്ലാതെ ആയേക്കുമത്രേ! പിന്നീടു ഷിജു തന്നെ പ്ലൂട്ടോ ഗ്രഹമല്ല എന്നും പ്രഖ്യാപിച്ചു. അതിന്റെ പേരിലുള്ള വാര്‍ത്തകള്‍ വളിച്ച ഫലിതങ്ങളായി ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റുകളായും ഇ-മെയിലുകളായും കിട്ടാനും തുടങ്ങി.

തലമുടി വെട്ടാനുള്ള കാത്തിരിപ്പിനിടയില്‍ അവിടെക്കണ്ട ഒരു മാസികയിലെ ഇതിനെപ്പറ്റിയുള്ള ലേഖനം ഞാന്‍ മകനെ കാണിച്ചുകൊടുത്തു. ഇത്രയും കാലം പ്ലൂട്ടോയെ ഒരു ഗ്രഹമാണെന്നു തെറ്റായി കരുതിയിരുന്നെന്നും, ഇപ്പോള്‍ അങ്ങനെ അല്ല എന്നും അവനോടു വിശദീകരിച്ചു. കൂട്ടത്തില്‍ ഏറ്റവും ചെറിയ ഗ്രഹം മെര്‍ക്കുറിയാണെന്നു ഞാന്‍ പറഞ്ഞതു ശരിയാണെന്നു് ബോദ്ധ്യപ്പെടുത്തുകയും ചെയ്തു.

തിരിച്ചു വീട്ടില്‍ ചെന്നപ്പോള്‍ ഞങ്ങള്‍ രണ്ടുപേരും ഈ വിവരം സിന്ധുവിനെ ധരിപ്പിച്ചു. എന്നും ചൊല്ലുന്ന “നവഗ്രഹസ്തോത്രം” ഇനി “അഷ്ടഗ്രഹസ്തോത്രം” ആയി ചൊല്ലിയാല്‍ മതിയോ എന്നു് എന്തുകൊണ്ടോ സിന്ധു ചോദിച്ചില്ല.


ഇപ്പോള്‍ രാവിലെ ഈ ഡയലോഗ് കേള്‍ക്കാം.

“അമ്മേ, അമ്മേ, ഏറ്റവും ചെറിയ പ്ലാനറ്റ് ഏതാ?”
“മെര്‍ക്കുറി”
“പിന്നെ അമ്മ ഇന്നാളു പറഞ്ഞല്ലോ പ്ലൂട്ടോ ആണെന്നു്?”
“അതേ മോനേ, അമ്മയ്ക്കു വിവരമില്ലാഞ്ഞതു കൊണ്ടാ…”

(Calvin and Hobbes-ലെ കാര്‍ട്ടൂണുകള്‍ കണ്ടുപിടിച്ചു തന്നതിനു് ആദിത്യനു നന്ദി.)

വൈയക്തികം (Personal)
വിശാഖ്
നര്‍മ്മം
സ്മരണകള്‍

Comments (45)

Permalink

പ്രശ്നങ്ങള്‍ (puzzles) ഇഷ്ടമാണോ ആര്‍ക്കെങ്കിലും?

സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഒരു ചോദ്യം ഇ-മെയില്‍ വഴി ചോദിച്ചപ്പോഴാണു് പണ്ടുതൊട്ടേ വിചാരിച്ചിരുന്ന “പസില്‍ ബ്ലോഗ്” എന്ന ആശയം ഇവിടെത്തന്നെ തുടങ്ങിയാലോ എന്നു വിചാരിച്ചതു്.

ആശയം ഇതാണു്: രസകരങ്ങളായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ (puzzles) ചോദിച്ചിട്ടു് അവയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വിശകലനം ചെയ്യുക. കമന്റുകളിലൂടെ കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളും കിട്ടും.

നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക. പ്രധാനമായും ഈ കാര്യങ്ങളില്‍:

  1. ഇതു വേണോ?
  2. വേണമെങ്കില്‍, മലയാളമോ ഇംഗ്ലീഷോ ഒന്നു കൂടി നല്ലതു്? അതോ രണ്ടും കൂടിയോ?
  3. ഈ ബ്ലോഗില്‍ത്തന്നെ വേണോ അതോ വേറൊരു ബ്ലോഗില്‍ വേണോ?

    പസിലുകള്‍ക്കു തന്നെ വേറെ ഒരു ബ്ലോഗാണെങ്കില്‍ ഉള്ള മെച്ചങ്ങള്‍:

    • പല തരം പസിലുകള്‍ പല കാറ്റഗറികളിലാക്കാം.
    • കൂട്ടുബ്ലോഗ് ആക്കാം.
    • കമന്റുകള്‍ മോഡരേറ്റ് ചെയ്യാം (വിക്കി ക്വിസ് ടൈം പോലെ). എന്നിട്ടു് ഒന്നിച്ചു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.
    • വേറേ ടെമ്പ്ലേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം.
  4. കൂടുതല്‍ ഗണിതജ്ഞാനം ആവശ്യമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കണോ?
  5. മലയാളഭാഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങള്‍ ചേര്‍ക്കണോ?

ഇതു തുടങ്ങുകയാണെങ്കില്‍ എന്റെ മനസ്സിലുള്ള രീതി ഇതാണു്:

  1. പ്രധാനമായും നമ്മള്‍ കേട്ടിട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ആയിരിക്കും ഉണ്ടായിരിക്കുക. നമ്മള്‍ ചോദ്യവും ഉത്തരവും കേട്ടിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. പക്ഷേ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി അറിവുണ്ടാവുകയില്ല. അതറിയാന്‍ ഒരു അവസരം.
  2. അറിയാവുന്ന രീതികളെക്കാള്‍ എളുപ്പമുള്ള മറ്റു രീതികളുണ്ടാവും. അവയെപ്പറ്റി അറിയുക.
  3. ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റായോ ഇ-മെയിലായോ അയയ്ക്കാം. കമന്റുകള്‍ മോഡറേറ്റു ചെയ്യുകയുമാവാം.
  4. നാലഞ്ചു ദിവസം കഴിഞ്ഞു് ഉത്തരം പോസ്റ്റില്‍ത്തന്നെ ചേര്‍ക്കുക. ഒന്നിലധികം നല്ല ഉത്തരങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ എല്ലാം ചേര്‍ക്കുക. വേണമെങ്കില്‍ ശരിയുത്തരം അയച്ചവരുടെ പേരുകളും ചേര്‍ക്കാം.
  5. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ തുടങ്ങിയ ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ ശ്ലോകത്തില്‍ ചോദിച്ച ചോദ്യങ്ങളും ചേര്‍ക്കാം. അവയില്‍ പലതും ഈ ബ്ലോഗില്‍ ഈ കാറ്റഗറിയില്‍ മുമ്പു പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക.


ഉദാഹരണത്തിനു്, രണ്ടു ലളിതമായ ചോദ്യങ്ങള്‍:

  1. പന്ത്രണ്ടു മണിക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിട്ടു സൂചിയും ഒരേ ദിശയിലേക്കു ചൂണ്ടിയിരിക്കുമെന്നറിയാമല്ലോ. അതു കഴിഞ്ഞു് എത്ര സമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ അതേ സ്ഥിതി വരും?

    1:05-നും 1:10-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നറിയാം. കൃത്യമായി എത്ര സമയം എന്നു പറയണം. (സെക്കന്റ് സൂചി പരിഗണിക്കേണ്ട).

  2. മൂന്നു പെട്ടികള്‍. മൂന്നിലും ആഭരണങ്ങള്‍. മൂന്നിന്റെ പുറത്തും ലേബലുണ്ടു്. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം”, “വെള്ളി മാത്രം”, “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്നു മൂന്നു ലേബലുകള്‍. മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായ ലേബലാണുള്ളതെന്നു നമ്മളോടു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നുനോക്കാന്‍ നമുക്കു് അനുവാദമുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നു നോക്കിയിട്ടു് മൂന്നു പെട്ടിയുടെയും ലേബല്‍ ശരിയാക്കണം. എങ്ങനെ?

കട്ടിയുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ പിന്നെ ചോദിക്കാം. ഈ രണ്ടെണ്ണത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇപ്പോള്‍ കണ്ടുപിടിക്കണമെന്നില്ല.

പ്രശ്നങ്ങള്‍ (Problems)

Comments (62)

Permalink

പിതൃത്വം പിഴച്ച പ്രമാണങ്ങള്‍

ശാസ്ത്രപ്രമാണങ്ങളുടെ പിതൃത്വം നിശ്ചയിക്കുന്നതു രണ്ടു കാര്യം നോക്കിയാണു്-ആരാണു് അതു് ആദ്യം പറഞ്ഞതെന്നു നോക്കിയും, ആരാണു് അതു് ആദ്യം തെളിയിച്ചതെന്നു നോക്കിയും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പൊതുവേ തെളിയിച്ച ആളിന്റെ പേരിലാണു സിദ്ധാന്തങ്ങളൊക്കെ. വളരെക്കാലം തെളിയിക്കപ്പെടാതെ കിടന്ന പല സിദ്ധാന്തങ്ങളും ആദ്യം പറഞ്ഞവരുടെ പേരിലും അറിയപ്പെടാറുണ്ടു്. ഫെര്‍മയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം (Fermat’s last theorem) ഒരുദാഹരണം.



ഈ പ്രശ്നം സംഭവിച്ച ഒരു പഴയ സിദ്ധാന്തമാണു് മട്ടത്രികോണസിദ്ധാന്തം. അതായതു്, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ (Right angled triangle) കര്‍ണ്ണം വശമായി ഒരു സമചതുരം വരച്ചാല്‍ അതിന്റെ വിസ്താരം മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളിലും വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്താരത്തിന്റെ തുകയോടു തുല്യമാണെന്നുള്ള സിദ്ധാന്തം. ഇതിന്റെ പിതൃത്വം ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന പിഥഗോറസില്‍ (Pythagoras-ക്രി. മു. ആറാം ശതകം) ആണു കെട്ടിവെച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി തെളിയിച്ചതു് ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന യൂക്ലിഡ് (ക്രി. മു. നാലാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. (ക്രി. മു. ആറാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ എഴുതപ്പെട്ട ആപസ്തംബശുല്ബസൂത്രത്തില്‍ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു ജ്യാമിതീയ ഉപപത്തിയുണ്ടു്‌. പക്ഷേ, ആപസ്തംബശുല്ബസൂത്രത്തിനു്‌ അത്ര പഴക്കമില്ല എന്നൊരു വാദമുണ്ടു്‌. അതിനാല്‍ ആദ്യം ഇതു തെളിയിച്ചതു്‌ യൂക്ലിഡ് ആണെന്നു തന്നെ പറയാം.)

ആദ്യമായി ആരാണിതു പറഞ്ഞതു് എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അതൊരു കഥയാണു്.

പിഥഗോറിയന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യാത്രയങ്ങളെപ്പറ്റി (3, 4, 5; 5, 12, 13 തുടങ്ങിയവ) ക്രിസ്തുവിനു നാല്പതു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പേ മനുഷ്യര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നു എന്നാണു വിക്കിപീഡിയ പറയുന്നതു്. ഏതായാലും പിരമിഡുകള്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈജിപ്തുകാര്‍ മട്ടകോണം ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഇത്തരം സംഖ്യാത്രയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നാണു വിദഗ്ദ്ധമതം.

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു് ഭാരതത്തില്‍ വേദകാലഘട്ടത്തില്‍ (ഇതിനെയാണു് Vedic Mathematics എന്നു വിളിക്കേണ്ടതു്; അല്ലാതെ പുരി ശങ്കരാചാര്യര്‍ അടുത്ത കാലത്തെഴുതിയെന്നു പറയപ്പെടുന്ന തട്ടിപ്പിനെയല്ല.) ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളിലൊരെണ്ണം എഴുതിയ ബോധായനനാണു്. (ക്രി. മു. പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്). ആപസ്തംബശുല്‍ബസൂത്രത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

സമചതുരശ്രസ്യക്ഷ്ണയാ രജ്ജു ദ്വിഷ്ടാവതിം ഭൂമിം കരോതി

സമചതുരത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണം വശമായി വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്താരം ഇരട്ടിയായിരിക്കും എന്നര്‍ത്ഥം.

കൂടാതെ, ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിനും ഇതു ബാധകമാണെന്നും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്:

ദീര്‍ഘചതുരശ്രസ്യക്ഷ്ണയാ രജ്ജുഃ പാര്‍ശ്വമാനി തിര്യന്മാനി ച യത്പൃഥഗ്ഭൂതേ കുരുതസ്തദുഭയം കരോതി

ദീര്‍ഘചതുരത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കൂട്ടിയാല്‍ കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണമാകും എന്നര്‍ത്ഥം.

ഇതു തന്നെ മട്ടത്രികോണസിദ്ധാന്തം. ശുല്‍ബസൂത്രമാണെന്നു തോന്നുന്നു ആദ്യമായി ഇതു രേഖപ്പെടുത്തിയതു്. (ഒരു പക്ഷേ, അതിനു മുമ്പു തന്നെ ഇതിനെപ്പറ്റി അറിവുണ്ടായിരുന്നിരിക്കണം.) ആദ്യം തെളിയിച്ചതു യൂക്ലിഡും. രണ്ടായാലും പിഥഗോറസിന്റേതല്ല.



പെല്‍ സമവാക്യം എന്നു വിളിക്കുന്ന ഒന്നുണ്ടു് സംഖ്യാശാസ്ത്രത്തില്‍.

എന്നതാണതു്. ഇവിടെ x, y എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായി കണ്ടുപിടിക്കണം. D തന്നിട്ടുള്ള, പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണു്. (പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാണെങ്കില്‍ x, y ഇവയ്ക്കു 1, -1, 0 എന്നീ മൂല്യങ്ങളേ ഉണ്ടാവുകയുള്ളൂ.)

പ്രശസ്ത ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന ഓയ്‌ലര്‍ (Leonard Euler) ആണു് ഇതിനെ ജോണ്‍ പെല്‍ എന്ന ഗണിതജ്ഞനുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇതു കണ്ട പെല്‍ അമ്പരന്നിട്ടുണ്ടാവണം. കാരണം, ഇതിന്റെ തിയറിയ്ക്കു് പെല്‍ കാര്യമായി ഒന്നും ചെയ്തിട്ടില്ല എന്നതാണു വാസ്തവം.

ഇതു വളരെ പഴയ പ്രശ്നമാണു്. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ കന്നാലിച്ചോദ്യം വിശകലനം ചെയ്താല്‍ (ഇതു് ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റേതാണോ എന്നു പലര്‍ക്കും സംശയമുണ്ടു്.)

എന്ന സമവാക്യം കിട്ടും. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ കാലത്തു് ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുമായിരുന്നു എന്നു തോന്നുന്നില്ല. പിന്നീടും ഗണിതജ്ഞര്‍ പരസ്പരം മത്സരബുദ്ധ്യാ ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഇടുമായിരുന്നു.

ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള പൂര്‍ണ്ണമായ വഴി ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു ലെഗ്രാന്‍‌ഗെ (പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണെന്നാണു പാശ്ചാത്യഗണിതചരിത്രം പറയുന്നതു്. തുടര്‍ഭിന്നങ്ങള്‍ (continued fractions) ഉപയോഗിച്ചു് ഇതിന്റെ കൃത്യവും സമഗ്രവുമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണരീതി അദ്ദേഹം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. പെല്ലിനു പകരം ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരാണു വരേണ്ടിയിരുന്നതു്.

പിതൃത്വം പിഴച്ചെന്നു പാശ്ചാത്യര്‍ സമ്മതിക്കുന്ന ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പിതൃത്വം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതില്‍ അവര്‍ ഒന്നുകൂടി പിഴച്ചു എന്നതാണു സത്യം. ക്രി. പി. ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ ഈ സമവാക്യം നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഒരു വഴി കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. പിന്നീടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) അതിനെ പരിഷ്കരിച്ചു സരളമാക്കി. “ചക്രവാളരീതി” എന്നാണു് അതിന്റെ പേരു്. (ഞാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരെ മാത്രമേ വായിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ കൃതികളൊന്നും കണ്ടിട്ടില്ല.)

ചക്രവാളരീതി വിശദീകരിക്കാന്‍ ഒരു വലിയ പോസ്റ്റ് തന്നെ വേണം. അതു മറ്റൊരിക്കലാവാം. എങ്കിലും ഇത്രയും പറയട്ടേ.

ഒരു കരണിയുടെ (surd) തുടര്‍ഭിന്നവികസനം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രരീതിയുണ്ടു്. ഇതും ലെഗ്രാന്‍‌ഗെ കണ്ടുപിടിച്ചതു തന്നെ. (ഒരു റെഫറന്‍സു തരാന്‍ ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ ഇതു കാണുന്നില്ല.) മുകളില്‍ക്കൊടുത്ത സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണത്തില്‍ ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന രീതി തന്നെയാണു ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ചക്രവാളരീതി. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ക്കു തുടര്‍ഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റിയും അവ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സരളരീതിയെപ്പറ്റിയും അറിയാമായിരുന്നു എന്നാണു് ഇതില്‍ നിന്നു മനസ്സിലാക്കെണ്ടതു്.

ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച എന്തെങ്കിലും ഒരു കാര്യം ഉദ്ധരിച്ചു് അതിനു പിന്നിലുള്ള എല്ലാ തിയറിയും അവര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നും എന്നു പറയുന്ന ഒരു പ്രവണതയുണ്ടു്. (വിമാനവും ആറ്റം ബോംബും ഉദാഹരണം. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകള്‍ മറ്റൊന്നു്.) ഇതു് അത്തരത്തിലൊന്നല്ല എന്നു പറഞ്ഞുകൊള്ളട്ടേ. തുടര്‍ഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റി അറിയാതെ ചക്രവാളരീതി എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കും എന്നതിനു് എനിക്കു് ഒരു വിശദീകരണവും തോന്നുന്നില്ല.

എങ്കിലും ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ഇതിനെ ഇപ്പോഴും Pell’s equation എന്നു വിളിക്കുന്നു.



Binomial coefficients ക്രമമായി കിട്ടാന്‍ ബ്ലൈസ് പാസ്കല്‍ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു സൂത്രമുണ്ടു്. പാസ്കല്‍ ത്രിഭുജം എന്നാണു് അതറിയപ്പെടുന്നതു്. ഇതു പിംഗളസൂത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഹലായുധന്‍ (പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്) ഖണ്ഡമേരു (മേരുപ്രസ്തം) എന്ന പേരില്‍ പറയുന്നുണ്ടു്. ഓരോ ഛന്ദസ്സിലും നിശ്ചിത എണ്ണം ഗുരു (അല്ലെങ്കില്‍ ലഘു) വരുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാനാണു് ഇതുപയോഗിക്കുന്നതു്. പാസ്കല്‍ ത്രിഭുജത്തിന്റെ രൂപത്തിലല്ലെങ്കിലും ഇതേ കാര്യം തന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പിംഗളന്‍ (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) തന്നെ മാര്‍ഗ്ഗം കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്. ഇവയെപ്പറ്റി വിശദമായ ഒരു ലേഖനം (ഈ ലേഖനത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം) എഴുതാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് കൂടുതലായി ഇവിടെ വിശദീകരിക്കുന്നില്ല.

ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പാസ്കല്‍ തന്നെ കണ്ടുപിടിച്ചതും പിന്നീടു ഐസക് ന്യൂട്ടന്‍ സാമാന്യവത്കരിച്ചതുമായ Binomial theorem പിംഗളന്റെ സംഭാവനയാണെന്നു് തെറ്റായ ഒരു വാദമുണ്ടു്. ഒന്നിലധികം വസ്തുക്കള്‍ കലരുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന വ്യത്യസ്തവിധങ്ങള്‍ (Combinations) കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയാണു പിംഗളന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം. ബൈനോമിയല്‍ തിയറമാകട്ടേ

എന്നും. ഇതിന്റെ ഓരോ പദത്തിന്റെയും ഗുണകങ്ങള്‍ (Coefficients)--കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു പിംഗളന്റെ രീതിയില്‍ നിന്നു കിട്ടുക. അല്ലാതെ അവയെ എന്നതിന്റെ വികസനവുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന ബൈനോമിയല്‍ തിയറമല്ല. എങ്കിലും ഈ തെറ്റായ അവകാശവാദം വിക്കിപീഡിയയിലും കാണാം. ഈ ലേഖനത്തില്‍ പാസ്കലിനു മുമ്പേ ഇതു പിംഗളനും പിന്നീടു ചൈനീസ് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന യാങ് ഹുയിയും (പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) പേര്‍ഷ്യയിലെ ഒമാര്‍ ഖയ്യാമും (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്. റുബായിയാത്ത് എഴുതിയ കവി തന്നെ-അദ്ദേഹം ഗണിതജ്ഞനുമായിരുന്നു.) കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നും പറയുന്നു. എത്രത്തോളം ശരിയാണെന്നറിയില്ല.



കലനം (Calculus) കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിനടുത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടതെന്നു പറയുന്ന പല അനന്തശ്രേണികളും ഭാരതീയഗണിതജ്ഞരുടെ സംഭാവനയാണെന്നു് ഞാന്‍ നേരത്തേ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. (എന്റെ ഗ്രിഗറിസായ്പും മാധവനും, ഗ്രിഗറി/മാധവശ്രേണിയുടെ സാമാന്യരൂപം, ചില അനന്തശ്രേണികള്‍, അനന്തശ്രേണികളുടെ സാധുത എന്നീ ലേഖനങ്ങള്‍ കാണുക.) അവ മറ്റു പലരുടെയും പേരിലാണു് അറിയപ്പെടുന്നതു്.



നിത്യജീവിതത്തില്‍ നിന്നുള്ള കുറേ സംഖ്യകള്‍ എടുത്തിട്ടു് (ഇവ റാന്‍ഡം നമ്പരുകള്‍ അല്ല എന്നു പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുക) അവയുടെ ആദ്യത്തെ (പൂജ്യമല്ലാത്ത) അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം എണ്ണി നോക്കിയാല്‍ ഏതക്കമായിരിക്കും കൂടുതല്‍? 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ഏകദേശം ഒരേ എണ്ണം ഉണ്ടാവുമോ? (ഇതിനോടു സദൃശമായ ഒരു പ്രശ്നം സന്തോഷിന്റെ റാന്‍‌ഡം നമ്പരുകള്‍ എന്ന പോസ്റ്റിലുണ്ടു്.) അല്ല എന്നാണൊരു കണ്ടുപിടിത്തം. 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ആദ്യത്തെ അക്കമായി വരാനുള്ള സാദ്ധ്യത യഥാക്രമം 30.1%, 17.6%, 12.5%, 9.1%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1%, 4.6% ആയിരിക്കുമത്രേ. (മറ്റക്കങ്ങള്‍ക്കും ഇതുപോലെയുള്ള തിയറിയുണ്ടു്.) കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ഈ ലേഖനം കാണുക.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തെ ബെന്‍ഫോര്‍ഡിന്റെ നിയമം (Benford’s law) എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഫ്രാങ്ക് ബെന്‍ഫോര്‍ഡ് എന്ന അമേരിക്കന്‍ ഊര്‍ജ്ജതന്ത്രജ്ഞന്‍ 1938-ല്‍ ആദ്യമായി പറഞ്ഞു എന്നു ചിലര്‍ പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണു് ആ പേരു വന്നതു്. എന്നാല്‍ ഇതു് ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു് 1881-ല്‍ Simon Newcomb ആണു്. ആദ്യമായി തെളിയിച്ചതു് Theodore P. Hill എന്ന ഗണിതജ്ഞനും-1988-ല്‍. (പ്രൊഫ. ഹില്ലിന്റെ പേപ്പറുകള്‍ ഇവിടെ കാണാം. ഈ സിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി പല പേപ്പറുകളും അവിടെയുണ്ടു്.)



പോല്യ എന്യൂമറേഷന്‍ തിയറം എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ടു്. ഹംഗറിയില്‍ നിന്നു് അമേരിക്കയിലേക്കു കുടിയേറിപ്പാര്‍ത്ത ജോര്‍ജ് പോല്യ എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ 1936-ല്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതു കൊണ്ടാണു് ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു് ഈ പേരു കിട്ടിയതു്. ഇതിനും ഒന്‍പതു കൊല്ലം മുമ്പേ ജെ. എഛ്. റെഡ്‌ഫീല്‍ഡ് എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കുകയും അമേരിക്കന്‍ ജേണല്‍ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നു.



ഇങ്ങനെ അനവധിയനവധി സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടു് കണ്ടുപിടിച്ചവന്റെ പേരിലല്ലാതെ അറിയപ്പെടുന്നവ.

ഇതിന്റെ അങ്ങേയറ്റം

“ശാസ്ത്രീയമായ ഒരു കണ്ടുപിടിത്തവും അതു കണ്ടുപിടിച്ച ആളിന്റെ പേരിലല്ല അറിയപ്പെടുന്നതു്…”

എന്നു പറയുന്ന Stigler’s law of eponymy എന്ന സിദ്ധാന്തമാണു്. ഇതിന്റെ ആവിഷ്കാരകനെന്നറിയപ്പെടുന്ന സ്റ്റിഗ്ലര്‍ (ഇദ്ദേഹം യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ഷിക്കാഗോയിലെ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് പ്രൊഫസറാണു്) പറയുന്നതു് ഇതു യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ആവിഷ്കരിച്ചതു് അമേരിക്കന്‍ സാമൂഹികശാസ്ത്രജ്ഞനായ Robert K. Merton ആണെന്നാണു്!

ഈ സിദ്ധാന്തം അതിന്റെ തന്നെ ഉദാഹരണമാണെന്നു സാരം.

ഭാരതീയഗണിതം (Indian Mathematics)
ഗണിതം (Mathematics)

Comments (19)

Permalink

കമന്റുകള്‍ക്കു നമ്പര്‍ വേരിഫിക്കേഷന്‍

സ്പാം ഒഴിവാക്കാന്‍ ഒരു പുതിയ പണി നോക്കുകയാണു്. വേര്‍ഡ് വേരിഫിക്കേഷനു പകരം നമ്പര്‍ വേരിഫിക്കേഷന്‍.

കമന്റിനു താഴെ ഒരു നമ്പര്‍ ചിത്രമായി ഉണ്ടാവും. അതു ടെക്സ്റ്റ് ബോക്സില്‍ ടൈപ്പു ചെയ്യുക. അതു ശരിയായാലേ കമന്റിനെ സ്വീകരിക്കുകയുള്ളൂ.

ഈ സെക്യൂരിറ്റി കോഡ് തെറ്റുകയോ മറ്റു തെറ്റുകള്‍ ഉണ്ടാവുകയോ ചെയ്താല്‍ അതു വേറൊരു പേജില്‍ എറര്‍ മെസ്സേജ് കാണിക്കും. അവിടെ Back button അമര്‍ത്തി തിരിച്ചു പോസ്റ്റിലേക്കു പോകാം.

ഇതു ടെസ്റ്റു ചെയ്യുന്നതു വരെ ദയവായി കമന്റിനെ കോപ്പി ചെയ്തിട്ടു മാത്രം പോസ്റ്റു ചെയ്യുക-നഷ്ടപ്പെട്ടു പോകാതിരിക്കാന്‍.

പ്രശ്നങ്ങള്‍ കണ്ടാല്‍ അറിയിക്കുക-ഉമേഷ്.പി.നായര്‍ അറ്റ് ജീമെയില്‍.കോം.

പലവക (General)
സാങ്കേതികം (Technical)

Comments (19)

Permalink

മരങ്ങളും പരോപകാരികളും

ഭര്‍ത്തൃഹരിയുടെ നീതിശതകത്തിലും കാളിദാസന്റെ അഭിജ്ഞാനശാകുന്തളത്തിലും (അഞ്ചാം അങ്കം) കാണുന്ന ഒരു പ്രസിദ്ധശ്ലോകം. ഇതു ഭര്‍ത്തൃഹരിയുടേതാണെന്നും ശാകുന്തളത്തില്‍ ആരോ പിന്നെ കൂട്ടിച്ചേര്‍ത്തതാണെന്നും (പ്രക്ഷിപ്തം) ആണു പണ്ഡിതമതം.

ഭവന്തി നമ്രാസ്തരവഃ ഫലോദ്‌ഗമൈര്‍-
നവാംബുഭിര്‍ ദൂരവിലംബിനോ ഘനാഃ
അനുദ്ധതാഃ സത്‌പുരുഷാഃ സമൃദ്ധിഭിഃ
സ്വഭാവ ഏവൈഷ പരോപകാരിണാം

അര്‍ത്ഥം:

തരവഃ ഫല-ആഗമൈഃ നമ്രാഃ ഭവന്തി : മരങ്ങള്‍ പഴങ്ങളുണ്ടാകുമ്പോള്‍ കുനിയുന്നു
ഘനാഃ നവ-അംബുഭിഃ ദൂര-വിലംബിനഃ (ഭവന്തി) : മേഘങ്ങള്‍ പുതിയ വെള്ളമുണ്ടാകുമ്പോള്‍ കൂടുതല്‍ താഴുന്നു
സത്‌പുരുഷാഃ സമൃദ്ധിഭിഃ അനുദ്ധതാഃ (ഭവന്തി) : നല്ല ആളുകള്‍ ഐശ്വര്യങ്ങളില്‍ അഹങ്കരിക്കില്ല
ഏഷ പരോപകാരിണാം സ്വഭാവഃ ഏവ : ഇതു പരോപകാരികളുടെ സ്വഭാവം തന്നെയാണു്.

“ഫലോദ്‌ഗമൈഃ” എന്നതിനു “ഫലാഗമൈഃ” എന്നും “ദൂരവിലംബിനഃ” എന്നതിനു “ഭൂരിവിലംബിനഃ” എന്നും പാഠഭേദം.

വംശസ്ഥം ആണു് ഇതിന്റെ വൃത്തം.


പരിഭാഷകള്‍:

ശാകുന്തളത്തിന്റെ മിക്കവാറും എല്ലാ പരിഭാഷകരും ഈ ശ്ലോകം പരിഭാഷപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ടു്. മൂന്നെണ്ണം താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

  1. ആറ്റൂര്‍ കൃഷ്ണപ്പിഷാരടി (വൃത്തം: വംശസ്ഥം)
    മരങ്ങള്‍ താഴുന്നു ഫലാഗമത്തിനാല്‍;
    പരം നമിക്കുന്നു ഘനം നവാംബുവാല്‍;
    സമൃദ്ധിയാല്‍ സജ്ജനമൂറ്റമാര്‍ന്നിടാ;
    പരോപകാരിക്കിതു താന്‍ സ്വഭാവമാം

  2. ഏ. ആര്‍. രാജരാജവര്‍മ്മ (വൃത്തം: വംശസ്ഥം)
    മരങ്ങള്‍ കായേറ്റു കുനിഞ്ഞു ചാഞ്ഞിടും;
    ധരിച്ചു നീരം ജലദങ്ങള്‍ തൂങ്ങിടും;
    ശിരസ്സു സത്തര്‍ക്കുയരാ സമൃദ്ധിയാല്‍;
    പരോപകാരിക്കിതു ജന്മസിദ്ധമാം.

  3. കേരളവര്‍മ്മ വലിയ കോയിത്തമ്പുരാന്‍ (വൃത്തം: ദ്രുതവിളംബിതം)
    ഫലഭരേണ തരുക്കള്‍ നമിച്ചിടും;
    ജലഭരേണ ഘനങ്ങളുമങ്ങനെ;
    അലഘുസമ്പദി സജ്ജനവും തഥാ
    വിലസിടുന്നു-ഗുണം ഗുണികള്‍ക്കിതു്.

അക്ഷരശ്ലോകം ഗ്രൂപ്പിലെ ഇ-സദസ്സില്‍ ഒരു സ-ഫ ശ്ലോകം filler ആയി ആവശ്യം വന്നപ്പോള്‍ ഇതിനെ അവലംബിച്ചു ഞാന്‍ എഴുതിയ ഒരു ശ്ലോകം: (വൃത്തം: ദ്രുതവിളംബിതം)

സ്ഖലിതഭാഗ്യമണഞ്ഞൊരു നാളിലും
നില മറക്കരുതാരുമൊരിക്കലും;
ഫലഗണം പൊഴിയും പൊഴുതേറ്റവും
തലയുയര്‍ത്തുകയാണു തരുവ്രജം.

മക്കളൊക്കെ ഒരു നിലയിലായി വിട്ടുപോകുമ്പോള്‍ അച്ഛനമ്മമാര്‍ക്കുള്ള സ്ഥിതിയാണു് ഇതെന്നായിരുന്നു ബാലേന്ദുവിന്റെ നിരീക്ഷണം :)