ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II – ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം:
തസ്യാര്‍ദ്ധേന നിവാര്യ തച്ഛരഗണം മൂലൈശ്ചതുര്‍ഭിര്‍ഹയാന്‍
ശല്യം ഷഡ്ഭിരഥേഷുഭിസ്ത്രിഭിരപിച്ഛത്രം ധ്വജം കാര്‍മുകം
ചിച്ഛേദാസ്യ ശിരഃ ശരേണ, കതി തേ യാനര്‍ജ്ജുനഃ സന്ദധേ?
ഭാരതയുദ്ധത്തില്‍ അര്‍ജ്ജുനന്‍ ക്രുദ്ധനായി കര്‍ണ്ണനെ കൊല്ലാന്‍ കുറേ അമ്പുകള്‍ എടുത്തു. അതില്‍ പകുതി കൊണ്ടു കര്‍ണ്ണന്റെ അമ്പുകളെല്ലാം നശിപ്പിച്ചു. വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) നാലിരട്ടി കൊണ്ടു്‌ കുതിരകളെ കൊന്നു. ആറു്‌ അമ്പു കൊണ്ടു ശല്യരെ (കര്‍ണ്ണന്റെ തേരാളി) ഒഴിവാക്കി. മൂന്നെണ്ണം കൊണ്ടു്‌ കുട, കൊടിമരം, വില്ലു്‌ എന്നിവ മുറിച്ചു. ബാക്കി വന്ന ഒരമ്പു കൊണ്ടു്‌ കര്‍ണ്ണന്റെ ശിരസ്സും ഛേദിച്ചു. എങ്കില്‍ ആദ്യം എത്ര അമ്പാണു്‌ എടുത്തതു്‌?
Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.
February 14th, 2006 at 8:41 pm
100 എന്നാണു എന്റെ ഉത്തരം. അഥവാ ശരിയാണെങ്കില്‍ പൊട്ടഭാഗ്യത്തിനു 100 മാര്‍ക്കു കൊടുത്തോള്ളൂ.
February 14th, 2006 at 9:14 pm
ഇതില്‍ എന്താ ഇത്ര കുടുക്ക് എന്നു മനസ്സിലായില്ല!
let N = x^2 be the number of arrows.
Then we have
x^2 – 8x -20 = 0
from which, a positive root is x=10.
so N = 100
ശരിയല്ലേ? അതോ ഇനി വല്ല കുഴപ്പവുമുണ്ടോ?
February 14th, 2006 at 9:23 pm
ആധുനിക ഗണിതത്തിനു ഇതൊരു കുടുക്കല്ലല്ലോ വിശ്വം. ഭാസ്കരാചര്യര്‍ക്കു എപ്രകാരം വിഷമമായിരുന്നു എന്നുള്ളതു ഉമേഷ് വിശദീകരിക്കുമ്പോള്‍ അറിയാം.
February 14th, 2006 at 9:26 pm
എനിക്ക് ഓര്‍മ്മ വരുന്നില്ല പെട്ടെന്ന്. പക്ഷേ ഒരിക്കല്‍ ഞാന്‍ ചെയ്തിരുന്നൂന്നു മാത്രം ഓര്‍മ്മയുണ്ട്!
വയസ്സായിത്തുടങ്ങി…!
🙁
February 14th, 2006 at 9:32 pm
കുടുക്കൊന്നുമില്ല വിശ്വം. ആറാം ക്ലാസ്സിലെ കുട്ടി ചെയ്യും ഇതു്‌.
രണ്ടു കാരണങ്ങള്‍ കൊണ്ടാണു്‌ ഇതിവിടെ ചേര്‍ത്തതു്‌
1) മനോഹരമായി പ്രശ്നങ്ങള്‍ പദ്യരൂപത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതു കാണിക്കാന്‍.
2) 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടിലും (അതിനു മുമ്പും) ഇതൊക്കെ ചെയ്യാനറിയുന്നവര്‍ ഭാരതത്തിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു കാണിക്കാന്‍. “ലീലാവതി” ഒരുപാടു കാലം ടെക്സ്റ്റുബുക്കായിരുന്നു.
നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ശരി തന്നെ. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഇതിനു്‌ ഒട്ടും പണിപ്പെട്ടിട്ടില്ല പെരിങ്ങോടരേ. നീറ്റായി ഒരു ഫോര്‍മുല തന്നിട്ടുണ്ടു മൂപ്പര്‍. അടുത്ത പോസ്റ്റും ഒരു quadratic equation ആണു്‌. അതുകൂടി കഴിഞ്ഞു്‌ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും മറ്റും ഈ രണ്ടു ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും വിശദീകരിക്കാം.
ഭാസ്കരാചര്യരും അതിനു മുമ്പു ബ്രഹ്മഗുപ്തനും സോള്‍വു ചെയ്തതും, പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു പിന്നെയും നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടു കൂടി വേണ്ടി വന്നതും, നമ്മളില്‍ മിക്കവര്‍ക്കും ഇപ്പോഴും ചെയ്യാന്‍ പറ്റാത്തതുമായ ചിലതു്‌ ഇനി വരുന്നുണ്ടു്‌. ജാഗ്രതൈ!