കലന(Calculus)ത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു നാഴികക്കല്ലായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലാണു കലനം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടതെങ്കിലും അതിനു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പു തന്നെ അതിന്റെ കാതലായ സീമാസിദ്ധാന്തവും (Limit Theory) സമാകലനത്തിന്റെ (Integration) അടിസ്ഥാനസിദ്ധാന്തങ്ങളും ഗണിതജ്ഞന്മാര്‍ വിശദീകരിച്ചിരുന്നു.
പല പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കും വളരെ ലളിതമായ ഉത്തരങ്ങളും ഉപപത്തികളും നല്‍കാന്‍ സഹായിച്ചു എന്നതാണു്‌ കലനത്തിന്റെ ഒരു വലിയ ഉപയോഗം. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, -നെ (
എന്ന notation തെറ്റാണെന്നു് ഒരു വിഭാഗം ഗണിതജ്ഞര്‍ വാദിക്കുന്നുണ്ടു്.) ഒരു അനന്തശ്രേണിയായി എഴുതാന്‍ ഒരു സ്കൂള്‍ക്കുട്ടിക്കു പോലും കഴിയും:
ഇവിടെ x = 1 എന്നു കൊടുത്താല്‍ (*)
എന്നു കിട്ടും. ഈ ശ്രേണി ഗ്രിഗറി സീരീസ് എന്ന പേരിലാണു് പൊതുവേ അറിയപ്പെടുന്നതു്. ഇതു്‌ കലനം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെടുന്നതിനുമുമ്പു്‌ സ്കോട്ട്‌ലന്‍ഡിലെ ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന ജെയിംസ്‌ ഗ്രിഗറി (1638-1675) യാണു്‌ ആദ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നാണു പാശ്ചാത്യലോകം ഘോഷിക്കുന്നതു്‌. ത്രികോണമിതി (trigonometry) ഉപയോഗിച്ചു് അദ്ദേഹം ഇതു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ടത്രേ.
ഗ്രിഗറിക്കും മൂന്നു നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പു്‌ കേരളീയനായിരുന്ന മാധവന്‍ (1350-1425) എഴുതിയ ഈ നിയമം നോക്കൂ:
വ്യാസേ വാരിധിനിഹതേ
രൂപഹതേ വ്യാസസാഗരാഭിഹതേ
ത്രിശരാദിവിഷമസംഖ്യാ-
ഭക്തമൃണം സ്വം പൃഥക്‌ ക്രമാത്‌ കുര്യാത്‌
…
…
ലബ്ധഃ പരിധിഃ സൂക്ഷ്മോ
ബഹുകൃത്വോ ഹരണതോऽതിസൂക്ഷ്മഃ സ്യാത്‌
ഭൂതസംഖ്യയാണു് ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. വാരിധി (സാഗരം) = സമുദ്രം = 4, രൂപം = 1, ത്രി = 3, ശരം = (കാമദേവന്റെ) അമ്പു് = 5.
വ്യാസത്തിനെ നാലു (വാരിധി) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ഒന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചതിനോടു് വ്യാസത്തെ നാലു (സാഗരം) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് മൂന്നു് (ത്രി), അഞ്ചു് (ശരം) തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ച ഫലങ്ങള്‍ ക്രമേണ കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ ….. പരിധി കൂടുതല്‍ ക്രിയ ചെയ്യുന്തോറും കൂടുതല്‍ സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.
അതായതു്, വ്യാസം (diameter) d-യും പരിധി (perimeter) p-യുമായാല്‍
ആയതുകൊണ്ടു്, ഇതില്‍ നിന്നു്
എന്നു കിട്ടും. ഇതു തന്നെയാണു ഗ്രിഗറിയുടെ ശ്രേണി.
ഈ ശ്രേണി നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ ഇല്ലാതെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റില്ല എന്നതു് മിക്കവാറും തീര്‍ച്ചയാണു്. മാധവന്റേതായി ഒരു ഉപപത്തി ഇതിനു കണ്ടിട്ടില്ല. (മാധവന്റെ എല്ലാ കൃതികളും നഷ്ടപ്പെട്ടു പോയിരിക്കുന്നു. മറ്റുള്ളവരുടെ ഉദ്ധരണികളില്‍ നിന്നാണു നാം മാധവനെ അറിയുന്നതു്. മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഞാന്‍ തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാനമായ യുക്തിദീപികയില്‍ (പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടു്) നിന്നാണു് ഉദ്ധരിക്കുന്നതു്) എങ്കിലും ഇതിന്റെ സരളജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു് ഒരു നിഷ്പത്തി മലയാളത്തിലുള്ള ഗണിതഗ്രന്ഥമായ യുക്തിഭാഷ (1475)യില്‍ (യുക്തിഭാഷയെപ്പറ്റി പറയാന്‍ ഇനിയൊരു പോസ്റ്റു തന്നെ വേണം) ഞാന്‍ വായിച്ചിട്ടുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജി(1444-1544)യും ഇതിനു നിഷ്പത്തി കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു വായിച്ചിട്ടുണ്ടു്.
രസകരമായ ഒരു വസ്തുത, ഇതൊരു ഉപയോഗശൂന്യമായ ശ്രേണി ആണെന്നതാണു്. ഇതുപയോഗിച്ചു വൃത്തമുണ്ടാക്കാന്‍ പോയാല്‍ അതു ചതുരമായിപ്പോകും. വളരെ പതുക്കെ മാത്രം converge ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണിതു്. ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ 1000 പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ പൈയുടെ വില മൂന്നു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനു ശരിയായി കിട്ടും; ഒരു ലക്ഷം പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ അഞ്ചു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനും! ഇന്ത്യയില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ഈ ഉപയോഗശൂന്യമായ ശ്രേണി പിന്നീടു് ഗ്രിഗറിസായ്പ് ഒന്നു കൂടി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്തിനാണാവോ? ഇന്ത്യയില്‍ സംഘമായി വന്നു് ഇവിടെ നിന്നു കുരുമുളകും മറ്റും കടത്തിയ കൂട്ടത്തില്‍ അപൂര്‍വ്വഗ്രന്ഥങ്ങളും വണിക്കുകള്‍ പടിഞ്ഞാട്ടേക്കു കടത്തിയിട്ടുണ്ടാവാം. സായ്പിന്റെ നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ കണ്ടിട്ടു വേണം അതിനെ സോമയാജിയുടെ നിഷ്പത്തിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാന്‍. ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഇതിന്റെ ഗ്രിഗറിയുടെ തെളിവു് അറിയാമെങ്കില്‍ ദയവായി പോസ്റ്റു ചെയ്യുകയോ കമന്റു ചെയ്യുകയോ ലിങ്ക് നല്‍കുകയോ ചെയ്യുക.
വളരെ വേഗം converge ചെയ്യുന്ന ശ്രേണികള്‍ ഭാരതീയര്‍ തന്നെ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. മറ്റൊരു ലേഖനത്തില്‍ പ്രതിപാദിക്കാം. പൈയുടെ വില കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇന്നുള്ളതില്‍ ഏറ്റവും fastest converging series നമ്മുടെ ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്റേതാണു്. അതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു ലേഖനത്തില്‍.
(*): ഇതില്‍ ഒരു ചെറിയ കുഴപ്പമുണ്ടു്. എന്ന സമവാക്യം
ആയാലേ ശരിയാകൂ. എങ്കിലും
എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും. x = 1 എന്നതിനു് ഇതും മാധവ/ഗ്രിഗറി ശ്രേണി തന്നെ തരുന്നു.
Umesh | 26-May-06 at 5:21 pm | Permalink
ഭാരതത്തില്‍ നിന്നു പാശ്ചാത്യര്‍ അടിച്ചുമാറ്റിയ ഒരു “യൂസ്‌ലെസ്സ്” വിജ്ഞാനത്തെപ്പറ്റി.
Raj Nair | 27-May-06 at 9:33 am | Permalink
Convergent series -നെ കുറിച്ചു വലിയ അറിവില്ലാത്തതുകാരണം പൂര്‍ണ്ണമായും കാര്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലായില്ല. എന്തൊക്കെ പഠിക്കുവാന്‍ കിടക്കുന്നു, ഗുരുകുലം കൂടുതല്‍ പഠിക്കുവാനുള്ള തൃഷ്ണ കൈവരുത്തുന്നു.
അരവിന്ദന്‍ | 29-May-06 at 9:05 am | Permalink
ഉമേഷ് ജിക്ക് വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ കിട്ടുന്നുണ്ടോ എന്ന് ഞാന്‍ സംശയിക്കുന്നു.
സത്യമായിട്ടും ഉമേഷ് ജിയുടെ എഴുത്തുകള്‍ ലോകം അറിയേണ്ടതാണ്. വളരെയധികം പേര്‍ക്ക് ഗുണം ചെയ്യുന്നതാണ് ഈ വിജ്ഞാനഭണ്ഡാകാരത്തിന്റെ (പണ്ടാരമല്ല ട്ടോ :-)) കുറിപ്പുകള്‍.
പെരിങ്ങ്സേ, ഉമേഷ് ജിയെപറ്റി രണ്ട് വാക്ക് പറഞ്ഞാരുന്നോ? ഏഷ്യാനെറ്റില്‍?
പറഞ്ഞില്ലെങ്കില്‍ പുട്ടും പഴോം കാണിച്ചോണ്ടിരുന്ന് ഒരു ചാന്‍സ് മിസ്സാക്ക്യല്ലോ ചുള്‍സ്… 🙂
devanand | 29-May-06 at 9:55 am | Permalink
അരവിന്നന്‍ കുട്ടീ,
കന്നിനെ കയം കാണിക്കരുതെന്നു കേട്ടിട്ടില്ലേ? ലങ്ങേരെ പത്ര മാദ്ധ്യമങ്ങള്‍ക്കു കാട്ടിക്കൊടുത്താല്‍ അവരു വിളിക്കും ലങ്ങേരു പോകും. ആര്‍ക്കു പോയി? മല്ലുബ്ലോഗ്ഗര്‍ക്കു പോയി.
അതുകൊണ്ട്‌ ഇനിയിപ്പോ ആരെങ്കിലും ” ഉമേഷ് നായരു ബ്ലോഗ്ഗിലുണ്ടോ?” എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ തന്നെ “യേയ്‌ ഇല്ലയില്ല” എന്നു പറഞ്ഞോണം. “യേയ്‌ നിക്കു ന്യൂക്ലിയര്‍ വെപ്പണ്‍ ഇല്ലാ” എന്നു കൊറിയ പറഞ്ഞപോലെ.
Raj Nair | 29-May-06 at 9:57 am | Permalink
ഉമേഷ്ജിയെ കുറിച്ചൊന്നും പറയാതിരുന്നതു നന്നായി അരവിന്ദോ, സ്റ്റുഡിയോയ്ക്കകത്തു പലര്‍ക്കും ബോധക്ഷയം വന്നേനെ 🙂 നിസ്വാര്‍ത്ഥ സേവനം എന്നൊക്കെ കേട്ടിട്ടേയുള്ളൂ, സിബുവും ഉമേഷും കെവിനുമെല്ലാം അതല്ലേ മലയാളികള്‍ക്കുവേണ്ടി ചെയ്യുന്നതു്. ബെന്നി ലിനക്സും-മലയാളവും എന്ന ബ്ലോഗിലും ഇതുപോലൊരു കമന്റിപ്പോള്‍ ഇട്ടിട്ടേയുള്ളൂ. ബ്ലോഗിനെ കുറിച്ചൊരു ഡോക്യുമെന്ററി എടുക്കണം, അപ്പോള്‍ എല്ലാം വിശദായി കാണിക്കുവാന്‍ കഴിയും. ബ്ലോഗുകളെ കുറിച്ചു വിസ്തരിച്ചൊരു ലേഖനം എഴുതേണ്ടതുണ്ടു്, ഞാനതിന്റെ പണിപ്പുരയിലാണു്.
അരവിന്ദന്‍ | 29-May-06 at 10:12 am | Permalink
ങ്‌ഹേ? പെരിങ്ങ്സ് വീണ്ടും ലേഖനമെഴുതുന്നോ?
ആന കൊടുത്താലും ആശ കൊടുക്കല്ലേ ചുള്ളാ..ഇയ്യ് കൊറേ നാളായി എന്നെ പറ്റിക്ക്‍ണൂ..
ഇപ്രാവിശ്യെങ്ങിലും..
കാണണ്ണ്ട്, കാണണ്ണ്ട് അന്നെ ഞാന്‍ വീട്ടില്‍ വന്ന് കാണണ്ണ്ട്..
ഹൈ ഒറപ്പ്!..ഞാനല്ലേ പറേന്ന്‌ന്ന്.
(പിന്നേയ്, ഞാന്‍ ഇപ്പോ ഒരു സീരിയസ്സ് കാര്യം എഴുതിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു. ഈ ചളിപ്പ് വിറ്റൊക്കെ അടിച്ച് നടന്നിട്ട് എനിക്ക് സ്വന്തം ഒരു വെയിറ്റ് ഇല്ലാത്തത് പോലെ ഒരു ഫീലിംഗ്‌സ്.
സൌത്ത് ആഫ്രിക്കയും ഗാട്ട് കരാറും ഇറാക്കിലെ യുദ്ധവും. ഹെഡ്ഡിംഗ് ഉണ്ടാക്കാന്‍ രണ്ട് ദിവസം എടുത്തു.)
ഞാന്‍ വണ്ടി വിട്വാ പെരിങ്ങ്സേ..ഉമേഷ്ജി ഉറക്കം കഴിഞ്ഞ് വന്നല്ലെങ്കില്‍ എന്റെ ചെവിക്ക് തൂക്കും.