കഴിഞ്ഞ ഒരു ലേഖനത്തില്‍ (ഗ്രിഗറിസായ്പും മാധവനും) മാധവന്‍ പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ നല്കിയ അനന്തശ്രേണിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരുന്നു. ഭാരതീയര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച മറ്റു ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു. ഇവയെ ആധുനികഗണിതമുപയോഗിച്ചു തെളിയിച്ചു് ആ ഉപപത്തികള്‍ കൂടി ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാമേന്നു കരുതിയതാണു്. സമയം കിട്ടിയില്ല. ഏതായാലും ഇവ ഇവിടെ ഇടുന്നു. ഇതിന്റെ തെളിവുകള്‍ ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഉണ്ടാക്കാമെങ്കില്‍ കമന്റായി ഇടുക. (ഉമേഷ്.പി.നായര്‍ അറ്റ് ജിമെയില്‍ ഡോട്ട് കോമില്‍ അയച്ചാലും മതി) അതു ഞാന്‍ ഇവിടെ തെളിയിച്ച ആളിന്റെ പേരോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.
ഇവയില്‍ പലതും പാശ്ചാത്യര്‍ ഇതു വരെ കണ്ടുപിടിക്കാത്തതാണു്.
- പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
വ്യാസാച്ചതുര്‍ഘ്നാദ് ബഹുധഃ പൃഥക് സ്ഥാത്
ത്രിപഞ്ചസപ്താദ്യയുഗാഹൃതാനി
വ്യാസേ ചതുര്‍ഘ്നേ ക്രമശസ്തൃണം സ്വം
കുര്യാത് തഥാ സ്യാത് പരിധിഃ സുസൂക്ഷ്മഃ
വ്യാസത്തെ നാലുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് വെവ്വേറേ വെച്ചു് ഓരോന്നിനെയും 3, 5, 7 തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചു്, നാലുകൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തില്‍ നിന്നു ഒന്നിടവിട്ടു കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.
ഇതു് മാധവ-ഗ്രിഗറി ശ്രേണി തന്നെയാണു്.
- പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
വ്യാസാദ് വനസംഗുണിതാദ്
പൃഥഗാപ്തം ത്ര്യാദ്യയുഗ്വിമൂലഘനൈഃ
ത്രിഗുണവ്യാസേ സ്വമൃണം
ക്രമശഃ കൃത്വാപി പരിധിരാനേയുഃ
വ്യാസത്തെ നാലു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു്, വെവ്വേറെ വെച്ചിട്ടു്, ഓരോന്നിനെയും മൂന്നു തൊട്ടുള്ള ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഘനത്തില്‍ നിന്നു സംഖ്യ കുറച്ച ഫലം കൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു്, മൂന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തോടു ക്രമമായി കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും.അതായതു്,
- പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
വര്‍ഗ്ഗൈര്‍‌യുജാം വാ ദ്വിഗുണൈര്‍നിരേകൈര്‍-
വര്‍ഗ്ഗീകൃതൈര്‍‌വര്‍ജിതയുഗ്മവര്‍ഗ്ഗൈഃ
വ്യാസം ച ഷഡ്ഘ്നം വിഭജേത് ഫലം സ്വം
വ്യാസേ ത്രിനിഘ്നേ പരിധിസ്തദാസ്യാത്
ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയുടെയും വര്‍ഗ്ഗത്തെ രണ്ടു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു്, അതില്‍ നിന്നു് ഒന്നു കുറച്ചിട്ടു്, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തില്‍ നിന്നു് ആ ഇരട്ടസംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കുറച്ചിട്ടു്, ആറു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വാസത്തെ അതുകൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു്, മൂന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തോടു് അതു ക്രമമായി കൂട്ടിയാല്‍ പരിധി കിട്ടും.
അതായതു്,
- ശങ്കരന്റെ യുക്തിദീപികയില്‍ നിന്നു്:
വ്യാസവര്‍ഗ്ഗാദ് രവിഹതാത് പദം സ്യാത് പ്രഥമം ഫലം
തതസ്തത്തത് ഫലാച്ചാപി യാവദിച്ഛം ത്രിഭിര്‍ ഹരേത്
രൂപാദ്യയുഗ്മസംഖ്യാഭിര്‍ലബ്ധേഷ്വേഷു യഥാക്രമം
വിഷമാനാം യുതേസ്ത്യക്തേ സമയോഗേ വൃതിര്‍ ഭവേത്
വ്യാസത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തെ പന്ത്രണ്ടു (രവി = സൂര്യന്‍ = 12) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലമാണു് ആദ്യത്തെ ഫലം. തൊട്ടു മുമ്പത്തെ ഫലത്തെ മൂന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ അടുത്ത ഫലം കിട്ടും. ഓരോ ഫലത്തെയും 1, 3, 5, … തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒറ്റഫലങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഇരട്ടഫലങ്ങളെ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും.ഇവിടെ
ആയതുകൊണ്ടു്
- കടത്തനാട്ടു ശങ്കരവര്‍മ്മയുടെ സദ്രത്നമാലയില്‍ നിന്നു്:
വ്യാസഘ്നേऽര്‍ക്കകൃതേഃ പദേऽഗ്നിഭിരതോനൈതേ ച തത്തത്ഫലാത്
ചാതൈക്യദ്യയുഗാ ഹൃതേഷു പരിധേര്‍ഭേദോ യുഗൌനൈക്യയോഃ
ഏവം ചാത്ര പരാര്‍ദ്ധവിസ്തൃതിമഹാവൃത്തസ്യ നാഹോക്ഷരൈഃ
സ്യാദ് ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ
വ്യാസത്തെ പന്ത്രണ്ടു (അര്‍ക്ക = സൂര്യന്‍ = 12) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ മൂന്നു കൊണ്ടു ക്രമത്തില്‍ ഹരിക്കുകയും 1, 3, 5, … തുടങ്ങിയവ കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും അവയെ ഒന്നിടവിട്ടു കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും. പരാര്‍ദ്ധം വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി “ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ” ആണു്.പൂര്‍വാര്‍ദ്ധത്തിലെ അനന്തശ്രേണി തൊട്ടു മുന്നിലുള്ള ശ്രേണി തന്നെയാണു്. പരാര്‍ദ്ധം എന്നതു്
-ഉം (ഈ ലേഖനം കാണുക.) “ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ” എന്നതു പരല്‍പ്പേര്‍ നുസരിച്ചു് (കെവിന്റെ ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക) 314159265358979324-ഉം ആണു്.
എന്നര്‍ത്ഥം.
ഈ ലേഖനം അപൂര്‍ണ്ണമാണു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ ഇതില്‍ കൂട്ടിച്ചേര്‍ത്തുകൊണ്ടിരിക്കും. കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുന്നവയുടെ വിവരങ്ങള്‍ കമന്റായി കൊടുക്കും.
Umesh | 01-Jun-06 at 2:29 pm | Permalink
ഭാരതീയഗണിതത്തിലെ അറിയപ്പെടാതെ കിടക്കുന്ന അനന്തശ്രേണികളെ പ്രതിപാദിക്കുന്ന ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റ്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ കിട്ടുന്നതനുസരിച്ചു് ഇതില്‍ ചേര്‍ത്തുകൊണ്ടിരിക്കും. തത്‌കാലം നിഷ്പത്തികളും ഉപപത്തികളും ചേര്‍ത്തിട്ടില്ല.