ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ എന്ന ലേഖനത്തില്‍ ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഉണ്ടാക്കിയ ചില സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊടുത്തിരുന്നു. അതില്‍ ആദ്യത്തെയൊഴികെയുള്ളവയുടെ തെളിവുകള്‍ എനിക്കറിയില്ല.
ഞാന്‍ അവയുടെ ആദ്യത്തെ ഒരു ലക്ഷം പദങ്ങള്‍ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ചു് (സാധാരണ പ്രോഗ്രാമുകളില്‍ 14 സ്ഥാനങ്ങളില്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യത കിട്ടാത്തതുകൊണ്ടു് GMP, LiDIA എന്നീ ലൈബ്രറികളുപയോഗിച്ചു് ഒരു C++ പ്രോഗ്രാം എഴുതി 100 സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതയിലാണു് ഇവ കണ്ടുപിടിച്ചതു്) കണ്ടുപിടിച്ചതിന്റെ വിവരങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു. പൈയുടെ മൂല്യത്തിന്റെ എത്ര ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ ശരിയായി എന്ന വിവരമാണു് ഇതു്.
| കര്‍ത്താവു്‍ | സമവാക്യം | n പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ ശരിയാകുന്ന ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| n=10 | n=100 | n=1000 | n=10000 | n=100000 | ||
| മാധവന്‍ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
| പുതുമന സോമയാജി | 3 | 6 | 9 | 12 | 14 | |
| പുതുമന സോമയാജി | 4 | 7 | 10 | 13 | 16 | |
| ശങ്കരന്‍ | 5 | 15 | 15 | 15 | 15 | |
(പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഔട്ട്പുട്ട് ഇവിടെ കാണാം.)
ഇതില്‍ നിന്നു താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ അനുമാനിക്കാം.
- നാലാമത്തേതു് ശ്രേണി പൈയുടെ മൂല്യം 15 ദശാംശസ്ഥാനം വരെ ശരിയായി നല്‍കുന്ന, പെട്ടെന്നു converge ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണു്. അതു പൈയിലേക്കല്ല, അതിന്റെ ഒരു approximation-ലേക്കാണു converge ചെയ്യുന്നതു്. അതുകൊണ്ടു് അതു ശരിയല്ല.
- 1, 2, 3 എന്നിവ പൈയിലേക്കു തന്നെ converge ചെയ്യുമെന്നു തോന്നുന്നു. കൂടുതല്‍ പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യത കിട്ടുന്നു.
- ഒന്നാമത്തേതു് തികച്ചും ഉപയോഗശൂന്യം. രണ്ടാമത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും കൂടുതല്‍ നല്ലതു്.
ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍ (1887-1920) പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കുറേ ശ്രേണികള്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. അതില്‍ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായതു് താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:
ഈ ശ്രേണി ഓരോ പദത്തിലും എട്ടു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ കൂടുതല്‍ ശരിയാക്കുമത്രേ. ഇതാണു് ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള fastest converging series for pi.
J.M. Borwein, P.B. Borwein എന്നീ ഗണിതജ്ഞര്‍ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് പൈയുടെ മൂല്യം ഒരു ബില്യണ്‍ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ഇവിടെ നോക്കുക.
ഈ സമവാക്യം സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ രാമാനുജന്റേതല്ല. രാമാനുജന്‍ നല്‍കിയ ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വിശേഷരൂപ(special case)ത്തില്‍ ചില ഭേദഗതികള്‍ വരുത്തി ഉണ്ടാക്കിയതാണതു്. എങ്കിലും അതു് രാമാനുജന്റേതായി അറിയപ്പെടുന്നു.
Umesh | 14-Jun-06 at 2:15 am | Permalink
പൈയുടെ വില കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇതുവരെ ഉദ്ധരിച്ച അനന്തശ്രേണികളുടെ കമ്പ്യൂട്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ചുള്ള അപഗ്രഥനവും ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്റെ ഒരു പ്രശസ്തശ്രേണിയും.
അരവിന്ദന്‍ | 14-Jun-06 at 8:56 am | Permalink
കൊള്ളാം.:-)
(വെറൊന്നും പറയാന്‍ അറിവില്ല)
wakaari | 14-Jun-06 at 9:07 am | Permalink
പൈയും ഞാനുമായുള്ള ഏറ്റവു ഒടുവിലത്തെ ബന്ധം എറണാകുളം കവിത തീയറ്ററില്‍ പൈ ബ്രദേഴ്സ് സിനിമ സെക്കന്റ് ഷോ കണ്ടതും അതുകഴിഞ്ഞ് പന്ത്രണ്ട് കിലോമീറ്റര്‍ നടന്ന് ഹോസ്റ്റലിലേയ്ക്ക് പോയതുമാണ്.
പക്ഷേ അതൊന്നും താങ്കളെ നമിക്കുന്നതിന് ഒരു തടസ്സമാവില്ല. അതിശയം തന്നെ…
devanand | 14-Jun-06 at 9:13 am | Permalink
പൈയുടെ വില അറിയാന്‍ ഒരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഇല്ലല്ലോ. ഫോണ്‍ എടുത്ത്‌ ഒറ്റ വിളി . ആലു? ഗ്രോസറിയല്ലേ, പൈ എന്താ വില?
ഉടനേ കിട്ടും റിപ്ലേ
ആപ്പിള്‍ പൈ 2 ദിര്‍ഹം
ചിക്കന്‍ പൈ 3 ദിര്‍ഹം
പീച്ച്‌ പൈ 1 ദിര്‍ഹം
എത്രയാ വേണ്ടേ? ഫ്ലാറ്റ്‌ നമ്പര്‍ പറയൂ..
അനില്‍ | 14-Jun-06 at 9:16 am | Permalink
നാട്ടിലെ വീട്ടിലും ഉണ്ടായിരുന്നു പൈ.
തേയില അരിക്കാന്‍.
കലേഷ് | 14-Jun-06 at 9:21 am | Permalink
ഉമേഷേട്ടാ, ഇതിലൊക്കെ കമന്റ് വയ്ക്കാത്തത് വിവരക്കേട് കൊണ്ടാ. കൊള്ളാമെന്നോ, ഉഗ്രനെന്നോ ഒന്നും പ്രത്യേകിച്ച് പറഞ്ഞാല്‍ അതൊക്കെ അധികപ്രസംഗം ആകും. വിശാലന്‍ എന്നോട് ഒരു സ്വകാര്യ സംഭാഷണത്തില്‍ പറഞ്ഞപോലെ “കമന്റ് ചെയ്യാനുള്ള റെയ്ഞ്ച് ഇല്ല”..
എല്ലാം വിശദമായി വായിക്കാറുണ്ട്.
ഇങ്ങനെയൊക്കെ എഴുതാനുള്ള കഴിവിന്റെ മുന്നില്‍ നമിക്കുന്നു. എപ്പഴും ദൈവാനുഗ്രഹം ഉണ്ടാകട്ടെ!
ഇത്ര ഇന്‍ഫോര്‍മേറ്റീവായ ലേഖനങ്ങള്‍ക്ക് നന്ദി!
രാജ് നായര്‍ | 14-Jun-06 at 10:29 am | Permalink
ദശലക്ഷം ദശാംശസ്ഥാനങ്ങളോളം ഗണിച്ചിട്ടും അപൂര്‍ണ്ണമായിരിക്കുന്ന പൈ! ദൈവമേ, ഇത്രമേല്‍ അമൂര്‍ത്തമായ ജ്യാമിതിയാണോ വൃത്തം?
അനില്‍ | 14-Jun-06 at 10:52 am | Permalink
അയ്യോ. കലേഷും പെരിയ്‌കോഡരും പറഞ്ഞപ്പോഴാണ് കത്തിയത്.
ഇവിടെ കമന്റു മായ്ക്കാന്‍ സംവിധാനവും കാണുന്നില്ല. ഓടോകള്‍ കണ്ടു കയറി കമന്റടിച്ചതു തെറ്റായോ?
Umesh | 14-Jun-06 at 2:12 pm | Permalink
രാവിലെ എഴുനേറ്റു നോക്കിയപ്പോള്‍ ഏഴു കമന്റുകള്‍! “കൊള്ളാമല്ലോ വീഡിയോണ്‍” എന്നു കരുതി. നോക്കിയപ്പോഴല്ലേ, തിന്നാനുള്ള പൈയും ജാതിപ്പേരു പൈയുമൊക്കെയാണു വിഷയം എന്നു്. അനില്‍ പറഞ്ഞ തേയിലയരിക്കുന്ന പൈ എന്തെന്നു മനസ്സിലായില്ല. എന്റെ വീട്ടില്‍ ഒരു പൈയും പൈക്കുട്ടിയും ഉണ്ടായിരുന്നു.
അനില്‍,
കമന്റു മായ്ക്കണമെങ്കിലെനിക്കൊരു മെയിലയച്ചാല്‍ മതി. അല്ലെങ്കില്‍ കമന്റു മായ്ക്കണം എന്നൊരു കമന്റിട്ടാല്‍ മതി. ഞാന്‍ മായ്ച്ചോളാം. ബ്ലോഗറിലെപ്പോലെ ഇതിനു ലോഗിന്‍ ഇല്ലാത്തതു കൊണ്ടു് ഇട്ട ആളു തന്നെയാണു മായ്ക്കുന്നത്തെന്നു് ഉറപ്പാക്കാന്‍ കഴിയാത്തതാണു കാരണം.
ഏതായാലും ഈ കമന്റുകള്‍ മായ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമുണ്ടെന്നു തോന്നുന്നില്ല.
രാജ്,
പൈ, e തുടങ്ങിയവ transcedential numbers എന്ന വിഭാഗത്തില്‍ പെടും. ദശാംശസമ്പ്രദായത്തിലോ വേറേ ഏതെങ്കിലും സമ്പ്രദായത്തിലോ (ഉദാഹരണം: ദ്വയാങ്കം/binary) ആവര്‍ത്തിക്കാത്ത അക്കങ്ങള്‍. ഇവയെ തുടര്‍ഭിന്നമായി (continued fraction) എഴുതിയാലും ആവര്‍ത്തിക്കുന്ന പദങ്ങളില്ല.
x ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമല്ലെങ്കില്‍
എന്നതിലെ അക്കങ്ങളും ഒരു സമ്പ്രദായത്തിലും ആവര്‍ത്തിക്കുന്നില്ല. ഇവയെ (p/q) എന്നു രണ്ടു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളുടെ അനുപാതമായി എഴുതാനും പറ്റില്ല. ഇവയെ അമേയസംഖ്യകള്‍ (irrational numbers) എന്നു പറയുന്നു. പക്ഷേ, ഇവയെ തുടര്‍ഭിന്നമായി എഴുതിയാല്‍ ആവര്‍ത്തിക്കുന്ന പദങ്ങള്‍ കിട്ടും. എല്ലാ transcedential numbers-ഉം അമേയങ്ങളാണു്. എന്നാല്‍ തിരിച്ചല്ല.
(1/7) തുടങ്ങിയ സംഖ്യകളുടെയും ദശാംശരൂപം അവസാനിക്കാത്തതാണു്. എങ്കിലും അക്കങ്ങള്‍ ആവര്‍ത്തിക്കും. (1/3) = 0.33333…, (1/7) = 0.142857142857…എന്നിങ്ങനെ. ഇവ മേയസംഖ്യകളാണു് (rational numbers).
അപ്പോള്‍ അവസാനിക്കാത്ത ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ തന്നെ മൂന്നു തരത്തിലുണ്ടെന്നു മനസ്സിലായല്ലോ.
ഇതില്‍ പൈ transcedential ആണെന്ന കണ്ടുപിടിത്തം വളരെ പ്രാധാന്യമുള്ളതാണു്. ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ തുല്യവിസ്താരമുള്ള സമചതുരം മുഴക്കോലും വൃത്തലേഖിനിയും (കുട്ട്യേടത്തി ആദ്യം പറഞ്ഞ കോമ്പസ്സ്) മാത്രം (പെന്‍‌സിലും വേണം, കേട്ടോ :-))ഉപയോഗിച്ചു വരയ്ക്കാന്‍ പറ്റില്ല എന്നു് തെളിയിക്കപ്പെട്ടതു് അന്നാണു്. നൂറ്റാണ്ടുകളായി മനുഷ്യനെ കുഴക്കിയ പ്രശ്നം. കൂടുതല്‍ വീവരര്‍ങ്ങള്‍ക്കു് squaring the circle, quadrature of circle എന്നിവ ഗൂഗിളില്‍ തെരഞ്ഞുനോക്കുക.
അനില്‍ | 14-Jun-06 at 3:05 pm | Permalink
ഞാന്‍ പറഞ്ഞ പൈ ഏകദേശം ഇങ്ങനെയൊക്കെയിരിക്കും. ഹോം‌മെയ്ഡ്/ഹാന്‍ഡ്‌മെയ്ഡ്.
സമോവര്‍ (ഞങ്ങള്‍ക്ക് ബായ്‌ലര്‍!) ഉപയോഗിക്കുന്ന ചായക്കടകളില്‍ ഇപ്പോഴും ഇതു കാണും.
പിന്നേം ഓ.ടോ 🙁
വഴിപോക്കന്‍ | 14-Jun-06 at 6:05 pm | Permalink
കമ്മന്റിടാന്‍ മാത്രം ഉള്ള വിവരം ഇല്ലെങ്കിലും താങ്കളുടെ വിജ്ഞാനത്തിന്റെ പരപ്പും അത്‌ പങ്ക്‌ വയ്കാനുള്ള മനസ്കതയും വളരെ വലുതാണ്‌ എന്ന് പറയട്ടെ.
Ragesh | 14-Jun-06 at 6:15 pm | Permalink
ഓ ടോ – ഉമേഷ് മാഷേ – നാളെ വീക്കെണ്ടാ, താങ്കളുടേം, വിശാഖന്റേയും, കവിതകള്‍ എനിക്ക്
rageshku@gmail.com
ല്‍ ഒന്നയച്ചു തരാമോ പ്ലീസ്.
Umesh | 14-Jun-06 at 9:14 pm | Permalink
അയച്ചിട്ടുണ്ടു കുറുമാനേ.
Umesh | 15-Jun-06 at 1:49 am | Permalink
കലേഷിനെ വിട്ടുപോയി.
വായിച്ചിട്ടുള്ളതും ആലോചിച്ചിട്ടുള്ളതുമായ കാര്യങ്ങള്‍ എവിടെയെങ്കിലും എഴുതിവയ്ക്കണമെന്നു കുറെക്കാലമായി വിചാരിക്കുന്നു – എനിക്കു വേണ്ടിത്തന്നെ.
കുറെയോക്കെ LaTeX-ല്‍ എഴുതി PDF ആയി സൂക്ഷിച്ചിട്ടുമുണ്ടു്. ബ്ലോഗ്, വേര്‍ഡ്പ്രെസ്സ്, mimetex തുടങ്ങിയവ കണ്ടപ്പോള്‍ ഇതു തന്നെ നല്ല വഴിയെന്നു വിചാരിച്ചു.
എനിക്കും ഉപയോഗിക്കാം, വേറെ ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഉപയോഗമാകുമെങ്കില്‍ അതും നല്ലതു്.
നന്ദി, കലേഷ്. വഴിപോക്കനും അരവിന്ദനും വക്കാരിക്കും തീറ്റിപ്പൈയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞ ദേവനും നന്ദി.
വഴിപോക്കന്‍ | 15-Jun-06 at 8:08 pm | Permalink
ഉമെഷ്ജി … ഓഫ്‌ ടോപിക്‌ ഒരു ചോദ്യംചോദിയ്ക്കട്ടെ.. ഇന്നലെ “രസതന്ത്ര” ത്തിലെ “അമ്പത്തൊന്നക്ഷരം ചൊല്ലി പഠിപ്പിച്ച” എന്ന പാട്ട്‌ ടിവിയില്‍ കേട്ടപ്പ്പ്പോള്‍ സംശയം മലയാളത്തില്‍ 56 അക്ഷരമല്ലേ? പക്ഷെ സത്യന്‍ അന്തിക്കാട്‌ ഇങ്ങനെ ഒരു സിമ്പിള്‍ കാര്യത്തില്‍ തെറ്റ്‌ വരുത്തുമൊ എന്നും സംശയം.. വരമൊഴി ഹെല്‍പില്‍ എണ്ണി നോക്കിയപ്പോള്‍ കണ്‍ഫൂഷന്‍ കൂടി.. അതില്‍ അമ്പത്തഞ്ചേ ഉള്ളൂ..
Shiju Alex | 17-Jun-06 at 7:24 am | Permalink
ഉമേഷ് ചേട്ടാ, ഈ പോസ്റ്റിനേകുറിച്ച്‌ ആധികാരികമായി അഭിപ്രായം പറയാന്‍ ഞാന്‍ ആളല്ല. ഇതു മനസിലായില്ല എന്നു ഞാന്‍ പറയുന്നില്ല. എനിക്കു ഗണിതം (പ്രത്യേകിച്ചു Algebra and Geometry) താല്‍പര്യം ഉള്ള വിഷയം ആണ്‌. ഞാന്‍ ജ്യോതിശാസ്ത്രത്തില്‍ M.Sc ചെയ്തപ്പോള്‍ ഗണിതം ഒരു പ്രധാന വിഷയം ആയിരുന്നു. പക്ഷേ ഞാന്‍ അതില്‍ നിന്നൊക്കെ അകലെ ആയിരുന്നു. ഇപ്പോള്‍ പതുക്കെ തിരിച്ചു വരുന്നു.
ചേട്ടന്റെ ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ എന്ന പോസ്റ്റില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നു, “ഇവയില്‍ പലതും പാശ്ചാത്യര്‍ ഇതു വരെ കണ്ടുപിടിക്കാത്തതാണു”.
എന്താണ്‌ ഇതു കൊണ്ടു അര്‍ത്ഥമാക്കുന്നത്‌. പാശ്ചാത്യര്‍ കണ്ടു പിടിച്ചാലേ അതു കണ്ടു പിടുത്തം ആവൂ?
ഞാന്‍ കുട്ടിയേടത്തിയില്‍ പറഞ്ഞതു ഒന്നു കൂടെ ആവര്‍ത്തിക്കട്ടെ. നമ്മുടെ നാട്‌ പ്രത്യേകിച്ച് കേരളം, ഗണിതത്തിന്റെ കാര്യത്തില്‍ വളരെയേറെ മുന്നേറിയിരുന്നു എന്നു കാണാം. പക്ഷെ പിന്‍ തലമുറക്ക്‌ അതു എന്തു കൊണ്ട്‌ തുടര്‍ന്നു കൊണ്ടുപോകാന്‍ കഴിഞ്ഞില്ല?
നമ്മുടെ നാട്ടില്‍ ശാസ്ത്രം മതത്തോട്‌ ചേര്‍ന്നു നിന്നിരുന്നു. കേരളത്തില്‍ ജ്യോതിശാസ്ത്രവും ഗണിതവും ഇത്രയേറെ മുന്നേറാന്‍ കാരണം അതു ജ്യോതിഷവും ആയി ബന്ധപ്പെട്ടതു കൊണ്ടാണെന്നു എനിക്കു തോന്നുന്നു. ശരിക്കു നമുക്കു ജ്യോതിഷവും ജ്യോതിശാസ്ത്രവും ഒന്നായിരുന്നു.
പണ്ടത്തെ എല്ലാ കണ്ടു പിടുത്തവും need based ആയിരുന്നു. ഇപ്പോഴത്തെ ഗവേഷണങ്ങള്‍ എന്തെങ്കിലും കണ്ടു പിടിക്കുവാന്‍ വേണ്ടിയുള്ള ഗവേഷണം ആകുന്നു.
ഞാന്‍ ഒരു കാര്യത്തില്‍ ഉമേഷ് ചേട്ടനെ പ്രത്യേകിച്ച് അഭിനന്ദിക്കുന്നു. ഇത്ര ഗഹനമായ വിഷയങ്ങള്‍, അതും മലയാളത്തില്‍, (audience കുറവായിരിക്കും എന്ന് അറിയാമായിരിന്നിട്ടും) പോസ്റ്റ്‌ ചെയ്യാന്‍ താങ്കള്‍ കാണിക്കുന്ന ശുഷ്കാന്തി അഭിനന്ദനീയം തന്നെ. ഞാന്‍ ഈ സൈറ്റ്‌ ഇനി എല്ലാ ദിവസവും സന്‌ദര്‍ശിക്കാം.
സതീഷ് | 17-Jun-06 at 8:37 am | Permalink
കഴിഞ്ഞ തവണ സിംഗപ്പൂര്‍ വക വിമാനത്തില്‍ ഒരു വിദ്വാന്റെ പരിപാടി കണ്ടിരുന്നു. pi യുടെ വില 20000 ദശാംശം വരെ ഇദ്ദേഹം മനസ്സില്‍ ഗണിച്ച് പറഞ്ഞു. കുറച്ച് നേരത്തേക്ക് വായും പൊളിച്ച് അതു കേട്ടിരുന്നു!
പിന്നെ ഇതു കണ്ടപ്പോള്‍ ആദ്യേ!!