Gurukulam | ഗുരുകുലം

ഭാരതീയഗണിതത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേകത ഫലങ്ങള്‍ മാത്രമേ രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നുള്ളൂ എന്നതാണു്. ഈ ഫലങ്ങളല്ലാതെ അവയിലെത്തിച്ചേരാനുള്ള ഗണിതക്രിയകള്‍ പലപ്പോഴും ആചാര്യന്മാര്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നില്ല. സാമാന്യജനത്തിനു മനസ്സിലാക്കാന്‍ പ്രയാസമുള്ളതുകൊണ്ടോ ഓലയില്‍ അവയൊക്കെ എഴുതുന്നതു് അനാവശ്യമാണെന്നു കരുതിയതുകൊണ്ടാണെന്നു തോന്നിയതുകൊണ്ടോ പ്രായോഗികതയ്ക്കു മാത്രം പ്രാധാന്യം കൊടുത്തതുകൊണ്ടോ രേഖപ്പെടുത്താന്‍ സൗകര്യത്തിലുള്ള സങ്കേതത്തിന്റെ (notation) അഭാവം കൊണ്ടോ ആയിരിക്കാം ഫലങ്ങള്‍ മാത്രം ശ്ലോകങ്ങളും സൂത്രങ്ങളും വഴി രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നതു്.

ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്‍ (പണ്ഡിതര്‍ ക്രി. മു. അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു മുതല്‍ ക്രി. മു. ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ പിംഗളന്റെ കാലമായി പറയുന്നുണ്ടു്.) എഴുതിയ ഛന്ദസൂത്രങ്ങളില്‍ പില്‍ക്കാലത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട അനവധി ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളുടെ കാതലുണ്ടു്. ലഘു, ഗുരു എന്നു രണ്ടുതരം അക്ഷരങ്ങളുടെ വിന്യാസങ്ങളുടെ തത്ത്വങ്ങള്‍ മാത്രം പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതുകൊണ്ടു മുഴുവന്‍ സിദ്ധാന്തങ്ങളും നമുക്കു കിട്ടിയിട്ടില്ല.

പില്‍ക്കാലത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ദ്വ്യങ്കഗണിതം (binary number system and arithmetic-ക്രി. പി. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്), ബൈനോമിയല്‍ സിദ്ധാന്തം(binomial theorem-ക്രി. പി. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) തുടങ്ങിയവയുടെ ഉപജ്ഞാതാവു് പിംഗളനാണെന്നു വിക്കിപീഡിയ വരെ പറയുന്നുണ്ടു്. അതൊരല്പം കടന്ന കയ്യാണെന്നാണു് എന്റെ അഭിപ്രായം. രണ്ടിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകളുടെ തിയറി ഉണ്ടാക്കി എന്നു പറയുകയാവും കൂടുതല്‍ ശരി. ദ്വ്യങ്കഗണിതവും ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ളതായതുകൊണ്ടു് അതിലെ പല നിയമങ്ങളും ഇവിടെ കാണാം എന്നു മാത്രം.

പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതു് പിംഗളനാണെന്നും ഒരു വാദമുണ്ടു്. അദ്ദേഹം ശൂന്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഒരു ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചു എന്നു മാത്രമേ ഉള്ളൂ. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള സ്ഥാനീയമൂല്യരീതി (place value system) പിന്നെയും പല നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു ശേഷമാണു് (ഭാരതത്തില്‍ത്തന്നെ-ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ കാലത്തു് ക്രി. പി. ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍) ഉണ്ടായതു്. അന്നേ പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയാന്‍ പറ്റൂ.

പ്രസ്താരം, നഷ്ടം, ഉദ്ദിഷ്ടം, ലഗം എന്നു നാലുവിധം ഗണിതക്രിയകളാണു പിംഗളന്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്. അവയില്‍ ആദ്യത്തെ മൂന്നു ക്രിയകളാണു് ഈ ലേഖനത്തിന്റെ പ്രതിപാദ്യം. ലഗക്രിയ അടുത്ത ലേഖനത്തില്‍.

---

കുറിപ്പു്: ഇതില്‍ ഉദ്ധരിച്ചിരിക്കുന്ന ശ്ലോകങ്ങളും രീതികളും ഏ. ആര്‍. രാജരാജവര്‍മ്മയുടെ വൃത്തമഞ്ജരിയില്‍ നിന്നു് എടുത്തിട്ടുള്ളവയാണു്. ഇതു് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യത്തില്‍ രചിക്കപ്പെട്ട പുസ്തകമാണു്. അതിനാല്‍ ഇതിനെ മാത്രം അടിസ്ഥാനമാക്കി പിംഗളന്‍ ഈ ഗണിതരീതികള്‍ ഉണ്ടാക്കി എന്നു പറയുന്നതു തെറ്റാണു്. എങ്കിലും പിംഗളന്റെ ഛന്ദസൂത്രത്തിലും ക്രി. പി. പത്താം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഹലായുധന്റെ വ്യാഖ്യാനത്തിലും ഇവ ഉണ്ടെന്നുള്ള വിവരം മറ്റു സ്രോതസ്സുകളില്‍ നിന്നു കിട്ടിയതു കൊണ്ടാണു് ഇവിടെ ഇവ വിവരിക്കുന്നതു്. ഛന്ദസൂത്രവും ഹലായുധവ്യാഖ്യാനവും കിട്ടിയാല്‍ വിശദവിവരങ്ങള്‍ എഴുതാം.

---

സൌകര്യത്തിനായി നമുക്കു ഗുരുവിനെ 0 എന്നും ലഘുവിനെ 1 എന്നും രേഖപ്പെടുത്താം. ദ്വ്യങ്കഗണിതത്തിന്റെയും (binary arithmetic) ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തിന്റെയും മറ്റും സാദൃശ്യം വ്യക്തമാക്കാനാണു് ഈ സങ്കേതം.

പ്രസ്താരം:

ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഛന്ദസ്സിലെ എല്ലാ വൃത്തങ്ങളെയും കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു പ്രസ്താരം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, n ഏതു മൂല്യമെടുത്താലും _nP₂ പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകളെയും ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഈ രീതി സഹായിക്കും.

ആദ്യത്തേ വരിയാകവേ ഗുരു, വതിന്‍ കീഴോട്ടു കീഴോട്ടു പി-
ന്നാദ്യത്തേ ഗുരു നീക്കി വെയ്ക്കുക ലഘും, ശേഷം നടേത്തേതു താന്‍
മുന്‍ സ്ഥാനങ്ങളിരിക്കിലത്ര ഗുരു താന്‍ വെപ്പൂ, തുടര്‍ന്നിത്തരം
ചെയ്യേണം ക്രിയയങ്ങു സര്‍വ്വലഘുവാം പാദം ലഭിക്കും വരെ.

അതായതു്,

1. ആദ്യത്തെ വൃത്തമായി എല്ലാം ഗുരുവായ വൃത്തം എഴുതുക.
2. അടുത്ത വൃത്തം കിട്ടാന്‍ തൊട്ടു തലേ വൃത്തത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ ഗുരു മാറ്റി ലഘു വയ്ക്കുകയും അതിനു മുമ്പുള്ള ലഘുക്കളെയെല്ലാം ഗുരുക്കളാക്കുകയും ചെയ്യുക. ശേഷമുള്ളവ മാറ്റണ്ട.
3. എല്ലാം ലഘുവായ വൃത്തം കിട്ടിയാല്‍ നിര്‍ത്തുക.

ഉദാഹരണമായി, നാലക്ഷരമുള്ള ഛന്ദസ്സിന്റെ പ്രസ്താരം താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

No. (N)	1	2	3	4	വിശദീകരണം
1	0	0	0	0	എല്ലാം ഗുരു.
2	1	0	0	0	ആദ്യത്തെ (1) ഗുരു മാറ്റി ലഘു.
3	0	1	0	0	ആദ്യത്തെ (2) ഗുരു മാറ്റി ലഘു. മുമ്പുള്ളതെല്ലാം (1) ഗുരു.
4	1	1	0	0	ആദ്യത്തെ (1) ഗുരു മാറ്റി ലഘു.
5	0	0	1	0	ആദ്യത്തെ ഗുരു (3) മാറ്റി പകരം ലഘു. അതിനു മുമ്പില്‍ മുഴുവന്‍ (1, 2) ഗുരു.
6	1	0	1	0	ആദ്യത്തെ (1) ഗുരു മാറ്റി ലഘു.
7	0	1	1	0	ആദ്യത്തെ ഗുരു (2) മാറ്റി പകരം ലഘു. അതിനു മുമ്പില്‍ മുഴുവന്‍ (1) ഗുരു.
8	1	1	1	0	ആദ്യത്തെ (1) ഗുരു മാറ്റി ലഘു.
9	0	0	0	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (4) മാറ്റി പകരം ലഘു. അതിനു മുമ്പില്‍ മുഴുവന്‍ (1, 2, 3) ഗുരു.
10	1	0	0	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (1) മാറ്റി പകരം ലഘു.
11	0	1	0	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (2) മാറ്റി പകരം ലഘു. അതിനു മുമ്പില്‍ മുഴുവന്‍ (1) ഗുരു.
12	1	1	0	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (1) മാറ്റി പകരം ലഘു.
13	0	0	1	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (3) മാറ്റി പകരം ലഘു. അതിനു മുമ്പില്‍ മുഴുവന്‍ (1, 2) ഗുരു.
14	1	0	1	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (1) മാറ്റി പകരം ലഘു.
15	0	1	1	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (2) മാറ്റി പകരം ലഘു. അതിനു മുമ്പില്‍ മുഴുവന്‍ (1) ഗുരു.
16	1	1	1	1	ആദ്യത്തെ ഗുരു (1) മാറ്റി പകരം ലഘു.

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, (N-1)ന്റെ binary representation ആണു് അതാതു വരിയില്‍ എന്നു കാണാം, വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തേക്കു വായിച്ചാല്‍. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, ദ്വ്യങ്കഗണിതത്തില്‍ അടുത്ത സംഖ്യ ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന അല്‍ഗരിതം തന്നെയാണു് ഇവിടെ അടുത്ത വൃത്തം കണ്ടുപിടിക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നതു് എന്നര്‍ത്ഥം.

നഷ്ടം:

മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയില്‍ എഴുതിയാല്‍ ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയ്ക്കു നേരേ വരുന്ന വൃത്തമേതെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള രീതിയാണു നഷ്ടം. മറ്റൊരു രീതിയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ N എന്ന സംഖ്യ തന്നാല്‍ (N-1)ന്റെ binary representation കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി.

നഷ്ടാങ്കം സമമെങ്കിലാദി ലഘുവാ, മല്ലെങ്കില്‍ മറ്റേതുമാ-
മര്‍ദ്ധിച്ചും പുനരിക്രമത്തിലെഴുതൂ വര്‍ണ്ണം ലഗം വന്ന പോല്‍
ഓജത്തില്‍ പുനരൊന്നു ചേര്‍ത്തിഹ മുറിക്കേണം സദാ മേല്‍ക്കുമേല്‍
ഛന്ദസ്സിന്‍ പടിയുള്ള വര്‍ണ്ണമഖിലം വന്നാല്‍ നിറുത്താം ക്രിയ.

ഇതു് ഇങ്ങനെ സംഗ്രഹിക്കാം:

1. സംഖ്യ ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ആദ്യത്തെ അക്ഷരം ലഘുവാണു്-ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ഗുരുവും.
2. ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ പകുതി കാണുക. ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ഒന്നു കൂട്ടിയിട്ടു പകുതി കാണുക.
3. ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ സംഖ്യയെ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ ക്രിയ തന്നെ ചെയ്യുക. പിന്നീടുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ കിട്ടും.
4. ആവശ്യത്തിനു് അക്ഷരമായാല്‍ നിര്‍ത്തുക.

ഉദാഹരണമായി, നാലക്ഷരമുള്ള ഛന്ദസ്സിലെ പതിനൊന്നാമത്തെ വൃത്തം കണ്ടുപിടിക്കണം എന്നിരിക്കട്ടേ. ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം.

• 11 ഒറ്റസംഖ്യയായതിനാല്‍ ആദ്യത്തെ അക്ഷരം ഗുരു (0).
• അടുത്ത സംഖ്യ (11+1)/2 = 6. അതു് ഇരട്ടസംഖ്യയായതിനാല്‍ രണ്ടാമത്തെ അക്ഷരം ലഘു (1).
• അടുത്ത സംഖ്യ 6/2 = 3. അതു് ഒറ്റസംഖ്യയായതിനാല്‍ മൂന്നാമത്തെ അക്ഷരം ഗുരു (0).
• അടുത്ത സംഖ്യ (3+1)/2 = 2. അതു് ഇരട്ടസംഖ്യയായതിനാല്‍ നാലാമത്തെ അക്ഷരം ലഘു (1).

അപ്പോള്‍ പതിനൊന്നാമത്തെ വൃത്തം 0101. മുകളിലെ പട്ടികയില്‍ നോക്കിയാല്‍ ഇതു ശരിയാണെന്നു കാണാം.

മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 11-1 = 10ന്റെ ദ്വ്യങ്കരൂപം 1010 ആണു്.

ഈ രീതി ദ്വ്യങ്കഗണിതത്തില്‍ ഒരു സംഖ്യയുടെ ദ്വ്യങ്കരൂപം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന അതേ രീതി തന്നെയാണെന്നു കാണാന്‍ കഴിയും.

ഉദ്ദിഷ്ടം:

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ലക്ഷണം കിട്ടിയാല്‍ അതു് ആ ഛന്ദസ്സില്‍ എത്രാമത്തേതാണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയാണു് ഉദ്ദിഷ്ടം. അതായതു്, ദ്വ്യങ്കരൂപം കിട്ടിയാല്‍ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വിദ്യ എന്നര്‍ത്ഥം.

ഉദ്ദിഷ്ടം പാദമമ്പോടെഴുതി, യതിലെഴുന്നക്ഷരങ്ങള്‍ക്കു മേലാ-
യൊന്നാദ്യം രണ്ടു നാലെട്ടിതി മുറയിലിരട്ടിച്ച ലക്കം കുറിപ്പൂ;
കൂട്ടേണം പിന്നെയൊന്നിച്ചിഹ ലഘുവിനു മേലുള്ള ലക്കങ്ങളെന്നാ-
ലസ്സംഖ്യാതുല്യവൃത്തങ്ങളിഹ കില കഴിഞ്ഞുള്ളതാണിഷ്ടവൃത്തം.

ഈ ശ്ലോകത്തിന്റെ താത്പര്യം ഇങ്ങനെ സംഗ്രഹിക്കാം:

• വൃത്തത്തിന്റെ ലക്ഷണം (ഗുരു ലഘു എന്നിങ്ങനെ) എഴുതുക.
• ഓരോ അക്ഷരത്തിന്റെയും മുകളില്‍ ഇടത്തു നിന്നു വലത്തോട്ടു് 1, 2, 4, 8, … എന്നിങ്ങനെ ഇരട്ടിച്ച സംഖ്യകള്‍ എഴുതുക.
• ലഘുക്കള്‍ക്കു മുകളിലുള്ള സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയിട്ടു് ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ ഉദ്ദിഷ്ടസംഖ്യ കിട്ടും.

ഉദാഹരണത്തിനു്, 0101 (ഗുരു-ലഘു-ഗുരു-ലഘു) എത്രാമത്തെ വൃത്തമാണെന്നു നോക്കാം.

1	2	4	8
0	1	0	1

2+8 = 10. ഉദ്ദിഷ്ടസംഖ്യ 10+1 = 11.

ഇതു് 1010 എന്നതു് 10-ന്റെ ദ്വ്യങ്കരൂപമാണെന്നു പറയുന്നതിനു തുല്യമാണു്.

ഇതു് ഏതു നമ്പര്‍ സിസ്റ്റത്തിലും സംഖ്യയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു്. (ഇവിടെ ഒന്നിന്റെ വ്യത്യാസം ഉണ്ടെന്നു മാത്രം). ഉദാഹരണത്തിനു് ഇവിടെ നോക്കൂ.

ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്‍…

പിംഗളന്റെ ഛന്ദസൂത്രത്തില്‍ പില്‍ക്കാലത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട പല ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളുടെയും മൂലരൂപം കാണാം. അതിനെ വൃത്തശാസ്ത്രം (prosody) ആയി കണക്കാക്കിയതു കൊണ്ടു് അതിലെ ഗണിതവശം പലപ്പോഴും കാണാതെ പോയിട്ടുണ്ടു്.

നാലാമത്തെ ക്രിയയായ ലഗക്രിയയെയും അതിനോടു ബന്ധപ്പെട്ട ഖണ്ഡമേരുപ്രസ്താരത്തെയും അവയ്ക്കു പാസ്കല്‍ ത്രികോണം, ബൈനോമിയല്‍ തിയറം എന്നിവയുമായുള്ള ബന്ധത്തെയും പറ്റി പ്രതിപാദിക്കാന്‍ ഒരു പ്രത്യേക പോസ്റ്റ് വേണം. അതു് ഈ വിഭാഗത്തിലെ അടുത്ത പോസ്റ്റില്‍.