സയന്‍സ് അങ്കിളിന്റെ ദാസിന്റെ പച്ചക്കറിക്കട – ഒരു ചെറിയ ഗണിതപ്രശ്നം എന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം കമന്റായി കൊടുക്കാമെന്നു കരുതിയപ്പോള്‍ <sup></sup> എന്ന ടാഗു പോലും അവിടെ അനുവദിക്കുകയില്ലെന്നു കണ്ടു. അതിനാല്‍ അതു് ഇവിടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.
ചോദ്യം:
പച്ചക്കറി വ്യാപാരിയായ ദാസിന്റെ കടയില്‍ നാല്പതു കിലോ തൂക്കമുള്ള ഒരു കട്ടിയുണ്ടായിരുന്നു. കരിങ്കല്ലില്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈ കട്ടിയുപയോഗിച്ച് അദ്ദേഹം മരച്ചീനിയും മറ്റും മൊത്തമായി തൂക്കി വാങ്ങി ചില്ലറ കച്ചവടം നടത്തി ജീവിച്ചു പോരുന്നു. അങ്ങനെയിരിക്കെയാണ് ആ ദുരന്തമുണ്ടായത്. തൂക്കുന്നതിന്നിടയില്‍ നാല്പതു കിലോ കരിങ്കല്‍ക്കട്ടി നിലത്തു വീണ് നാലു കഷണമായി. ദാസ് സങ്കടത്തിലായി.
ദാസിന്റെ ഭാര്യ തൂക്ക കട്ടിയുടെ കഷണങ്ങള്‍ പരിശോധിച്ചു നോക്കിയപ്പോള്‍ അത്ഭുതം! ത്രാസിന്റെ ഇരുതട്ടുകളിലും കഷണങ്ങള്‍ മാറിയും തിരിഞ്ഞും പെറുക്കി വെച്ചാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ 40 വരെയുള്ള ഏതു തൂക്കവും (1കിലോ,2 കിലോ, 3കിലോ ……, 39 കിലോ, 40 കിലോ) ഒറ്റയടിക്ക് ഇപ്പോള്‍ തൂക്കിയെടുക്കാം. ദാസിനും ഭാര്യയ്ക്കും സന്തോഷത്തിന്നതിരില്ല.
പൊട്ടിയ നാലുകഷണങ്ങള്‍ക്കും എത്ര കിലോ വീതം ഭാരമുണ്ടെന്ന് കൂട്ടുകാര്‍ക്കറിയാമോ?
ഉത്തരം:
1, 3, 9, 27 എന്നതാണു് ഉത്തരം. കൂടാതെ 2, 3, 9, 27 എന്ന ഉത്തരവും ശരിയാവുമെന്നു തോന്നുന്നു.
ഞാന്‍ ചെയ്ത വഴി:
സൌകര്യത്തിനായി പച്ചക്കറി ഇടത്തേ തട്ടിലും കട്ടികള്‍ വലത്തേ തട്ടിലുമാണു് ഇടുന്നതെന്നു കരുതുക. തൂക്കം ശരിയാക്കാന്‍ കുറേ കട്ടികള്‍ ഇടത്തേ തട്ടിലും ഇട്ടേയ്ക്കാം.
1 എന്തായാലും വേണ്ടി വരും. അല്ലെങ്കില്‍ 1, 39 എന്നിവ തൂക്കാന്‍ പറ്റില്ല. 1 കഴിഞ്ഞാല്‍ 2 തൂക്കാനായി 3 വേണ്ടിവരും. 1, 3 ഇവ ഉണ്ടെങ്കില്‍ 4 വരെ തൂക്കാം. പിന്നെ 5 തൂക്കാന്‍ ഏറ്റവും നല്ലതു് ഈ 4 കട്ടികളും ഇടത്തേ തട്ടിലിട്ടിട്ടു് 9 വലത്തേ തട്ടിലിടുകയാണു്. 1, 3, 9 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു് 13 വരെ തൂക്കാം. പിന്നെ 14 തൂക്കാന്‍ 13 + 14 = 27-ന്റെ കട്ടി വേണം. 1 + 3 + 9 + 27 = 40 ആയതുകൊണ്ടു് ഇത്ര മതി.
മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ n കട്ടികള്‍ കൊണ്ടു്
വരെ തൂക്കാം. അതായതു് n = 4 ആകുമ്പോള്‍ 40 വരെ.
നാലു വ്യത്യസ്ത കട്ടികള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ എത്ര വ്യത്യസ്ത തൂക്കങ്ങള്‍ തൂക്കാം?
ഓരോ കട്ടിയും മൂന്നു വിധത്തില്‍ വെയ്ക്കാം – ഒന്നുകില്‍ വലത്തേ തട്ടില്‍, അല്ലെങ്കില്‍ ഇടത്തേ തട്ടില്‍. അതുമല്ലെങ്കില്‍ രണ്ടിടത്തും വെയ്ക്കാതെ.
ഓരോ കട്ടിയ്ക്കും ഇങ്ങനെ മൂന്നു നിലകളുള്ളതുകൊണ്ടു് മൊത്തം 3 x 3 x 3 x 3 = 81 തരത്തില്‍ അവയെ വിന്യസിക്കാം. ഈ 81 നിലകളെ അടുത്തടുത്തായി ആവര്‍ത്തിക്കാതെ വരത്തക്കവിധത്തില്‍ വിന്യസിക്കുകയാണു വേണ്ടതു്.
1, 3, 9, 27 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു് -40, -39, … -2, -1, 0, 1, 2, …., 39, 40 എന്നീ 81 വിവിധ തൂക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം. അവയില്‍ നമുക്കു വേണ്ടതു് 1 മുതലുള്ളവയായതുകൊണ്ടാണു് (81 – 1) /2 = 40 തൂക്കങ്ങളായതു്.
സാമാന്യമായിപ്പറഞ്ഞാല്‍, n കട്ടികളെക്കൊണ്ടു് 3n കോംബിനേഷന്‍ ഉണ്ടാക്കാം. അവയിലെ പൂജ്യവും നെഗറ്റീവ് തൂക്കങ്ങളും ഒഴിവാക്കിയാല്‍ (3n – 1) / 2 എന്നു കിട്ടും. മുകളില്‍ കൊടുത്ത സൂത്രവാക്യം കിട്ടാന്‍ മറ്റൊരു വഴി ഇതാണു്.
സാധാരണ പലചരക്കുകടകളിലും മറ്റും കാണുന്ന തൂക്കങ്ങളില്‍ 20 വരെ തൂക്കാന്‍ 1, 2, 2, 5, 10 എന്നീ കട്ടികളാണുള്ളതു്. ഇവിടെ ഇടത്തുതട്ടില്‍ കട്ടികള്‍ വെയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.
അഞ്ചു കട്ടികള്‍ ശരിക്കുപയോഗിച്ചാല്‍ 20 വരെയല്ല, 31 വരെ ഉപയോഗിക്കാം. 1, 2, 4, 8, 16 എന്നിവയാണു് ആ കട്ടികള്‍. അതായതു് 20, 21, 22, …, 2n-1 എന്നീ n കട്ടികള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 0 മുതല്‍ 2n – 1 വരെയുള്ള 2n വരെയുള്ള തൂക്കങ്ങള്‍ തൂക്കാം.
ഒരു പ്രത്യേക തൂക്കം തൂക്കാന്‍ ഏതൊക്കെ കട്ടികള്‍ ഉപയോഗിക്കണം എന്നു കണ്ടുപിടിക്കാനും എളുപ്പമാണു്. അതിനെ ദ്വ്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ (ബൈനറി സിസ്റ്റം) ആക്കുക. എന്നിട്ടു വലത്തു വശത്തുള്ള ഓരോ അക്കവും നോക്കുക. അവ 1, 2, 4,… എന്നീ തൂക്കങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവയില്‍ 1 എന്നു വരുന്നതു മാത്രം എടുക്കുക.
ഉദാഹരണത്തിനു്, 19 തൂക്കാന്‍ 19-നെ ബൈനറി സിസ്റ്റത്തില്‍ എഴുതുക. 10011 എന്നു കിട്ടും. അപ്പോള്‍ 1, 2, 16 എന്നീ കട്ടികള്‍ എടുക്കുക. (4, 8 എന്നിവ വേണ്ട.) 1 + 2 + 16 = 19.
ഇടത്തേ തട്ടില്‍ക്കൂടി വെയ്ക്കാനാണെങ്കില്‍ സംഗതി കുറച്ചുകൂടി സങ്കീര്‍ണ്ണമാകും. ബൈനറിയ്ക്കു പകരം ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായം (ടേര്‍നറി സിസ്റ്റം) ഉപയോഗിക്കേണ്ടിവരും. (കാരണം മുമ്പു പറഞ്ഞതു തന്നെ. ഒരു കട്ടിയ്ക്കു മൂന്നുതരം സ്ഥിതിയുണ്ടു് ഇപ്പോള്‍.) എന്നിട്ടു് അതിനെ ദ്വ്യങ്ക-അക്കങ്ങള്‍ മാത്രമുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതുകയും വേണം.
വിശദവിവരങ്ങള്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ വഴി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.
ഉദാഹരണമായി 10 എങ്ങനെ തൂക്കണം എന്നു നോക്കാം. ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ 10 എഴുതുന്നതു് 101 എന്നാണു് (1 x 9 + 0 x 3 + 1 x 1). ഇതില്‍ 1, 0 എന്നിവ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, 2 ഇല്ല. ഇങ്ങനെ വന്നാല്‍ എളുപ്പമാണു്. വലത്തുവശത്തു മാത്രമേ കട്ടികള്‍ ആവശ്യമുള്ളൂ. വലത്തുവശത്തുനിന്നുള്ള ഓരോ സ്ഥാനത്തിനും 1, 3, 9, … എന്നിങ്ങനെ കൊടുത്തിട്ടു് 1 എന്നുള്ളവ മാത്രം എടുത്താല്‍ ഉത്തരമായി. അതായതു് 1, (3 വേണ്ട), 9 എന്നിവ വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക.
പ്രശ്നം വരുന്നതു് 32 പോലെയുള്ള തൂക്കങ്ങളിലാണു്. ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ 32 എഴുതുന്നതു് 1012 എന്നാണു്. (1 x 27 + 0 x 9 + 1 x 3 + 2 x 1). ഇതില്‍ 2-നെ നമുക്കു് ഒഴിവാക്കണം. 1012 എന്ന ത്ര്യങ്കസംഖ്യയെ 1, 0 എന്നിവ മാത്രമുള്ള രണ്ടു ത്ര്യങ്കസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതണം. അതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം.
വലത്തു വശത്തു നിന്നു തുടങ്ങാം. ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തു് 2 ആണു്. അതിനോടു് 1 കൂട്ടിയാല്‍ 2 + 1 = 10 (ത്ര്യങ്കം) ആകും. അതായതു് 1012 + 1 = 1020 (ത്ര്യങ്കം). അവസാനത്തെ അക്കം 0 ആയി. ഇനി മൂന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള 2-നെ ഒഴിവാക്കാന്‍ 10 കൂട്ടുക. 1020 + 10 = 1100 (ത്ര്യങ്കം). മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 1012 + 11 = 1100. അതായതു്
1012 = 1100 – 11 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 32 = 36 – 4)
ഇത്രയും ആയാല്‍ ഉത്തരമായി. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ വലത്തേ തട്ടിലിടുന്ന കട്ടികളെയും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുന്ന കട്ടികളെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ വലത്തേ തട്ടില്‍ (1, 3 വേണ്ട), 9, 27 എന്നിവയും, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 1, 3 എന്നിവയും ഇടണം എന്നു കിട്ടും.
ഇനി ഒരു വലിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം. 617 എങ്ങനെ തൂക്കും? നമ്മുടെ കയ്യില്‍ 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, … എന്നിങ്ങനെ മൂന്നിന്റെ ഘാതങ്ങളായ കട്ടികള്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക.
617 ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ 211212 ആണു് (ഇവിടെ സംഖ്യകളെ ഒരു ബേസില്‍ നിന്നു മറ്റൊന്നിലേയ്ക്കു മാറ്റാം.). നമുക്കു വലത്തു വശത്തു നിന്നു തുടങ്ങി 2-കളെ 0 ആക്കാം. (പൂജ്യങ്ങളെയും ഒന്നുകളെയും വെറുതേ വിടുക.)
211212 +
1
------------
211220 +
10
-----------
212000 +
1000
------------
220000 +
10000
-----------
1000000
ഒറ്റ സ്റ്റെപ്പായി എഴുതിയാല്‍,
211212 + 11011 ----------- 1000000
അതായതു്, 211212 = 1000000 – 11011 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 617 = 729 – 112)
വലത്തേ തട്ടില്‍ (1000000) : (1, 3, 9, 27, 81, 243 വേണ്ട), 729
ഇടത്തേ തട്ടില്‍ (11011) : 1, 3, (9 വേണ്ട), 27, 81.
അതായതു്, വലത്തേ തട്ടില്‍ 729, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 1, 3, 27, 81.
617 = 729 – 81 – 27 – 3 – 1 എന്നു കാണാം.
ഒരുദാഹരണം കൂടി. 574.
574 = 210021 (ത്ര്യങ്കം). കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ ഒരു സ്റ്റെപ്പില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.
210021 + 100010 ----------- 1010101
അതായതു് 210021 = 1010101 – 100010 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 574 = 820 – 246)
വലത്തേ തട്ടിലിടണ്ടതു്: 1, (3 വേണ്ട), 9, (27 വേണ്ട), 81, (243 വേണ്ട), 729
ഇടത്തേ തട്ടിലിടേണ്ടതു്: (1 വേണ്ട), 3, (9, 27, 81, വേണ്ട), 243
അതായതു്, വലത്തേ തട്ടില്‍ 1, 9, 81, 729, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 3, 243.
574 = 1 + 9 + 81 + 729 – 2 – 243 എന്നതു ശരിയാണെന്നു കാണാം.
തൂക്കേണ്ട സംഖ്യയെ (y) ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ എഴുതുക. പക്ഷേ, 0, 1, 2 എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനു പകരം -1, 0, 1 എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുക.
0, 1, 2 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതിയെ -1, 0, 1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതി എങ്ങനെയാക്കും?
അതു് ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം.
- y-യെ സാധാരണ ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ എഴുതുക.
ഉദാഹരണമായി, 574 = 210021 (ത്ര്യങ്കം)
- ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ എത്ര അക്കങ്ങളുണ്ടോ, അത്രയും ഒന്നുകളുള്ള സംഖ്യ അതിനോടു കൂട്ടുക.
ഇവിടെ
210021 +
111111
—————-
1021202ഇതിനു് ഒരു എളുപ്പവഴിയുണ്ടു്. y-യെക്കാള്‍ ചെറുതും (3n – 1)/2 എന്ന രീതിയിലുള്ളതുമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കുക. 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093,… എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു ഈ സംഖ്യകള്‍. അതു നേരേ കൂട്ടിയിട്ടു് തുകയുടെ ത്ര്യങ്കരീതി കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മതി.
ഇവിടെ 574 + 364 = 938. അതിന്റെ ത്ര്യങ്കരീതി 1021202. - തുകയില്‍ നിന്നു് കൂട്ടിയ സംഖ്യ തന്നെ കുറയ്ക്കുക. ഇപ്പോള്‍ കടമെടുക്കലും മറ്റുമില്ലാതെ ഓരോ അക്കമായി കുറയ്ക്കുക. അപ്പോള്‍ ഉത്തരം -1, 0, 1 എന്നിവയില്‍ ഒന്നു കിട്ടും.
ഇവിടെ
1 0 2 1 2 0 2 - 1 1 1 1 1 1 ------------------------------- 1 -1 1 0 1 -1 1
- ഇതു് y-യുടെ ത്ര്യങ്കരീതി തന്നെയാണു്. ഇതില്‍ ഓരോ അക്കവും വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടു് 1, 3, 9, …. എന്നീ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
ഇവിടെ,
574 = 1 – 3 + 9 + ( 0 x 27) + 81 – 243 + 729
അപ്പോള്‍ 1, 9, 81, 729 എന്നിവ വലത്തേ തട്ടില്‍. 3, 243 എന്നിവ ഇടത്തേ തട്ടിലും.
വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെ. സാധാരണ പച്ചക്കറിക്കടക്കാരന്‍ കുഴങ്ങിപ്പോവുകയേ ഉള്ളൂ. എങ്കിലും കണക്കറിയാമെങ്കില്‍ ചെയ്യാന്‍ കഴിയും എന്നു സാരം.
കണക്കറിയാത്തവര്‍ക്കും ജീവിക്കണ്ടേ സാര്‍? ഈ ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിക്കാതെ എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?
മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക സൂക്ഷിച്ചു പരിശോധിച്ചാ‍ല്‍ വലിയ കണക്കൊന്നും ഉപയോഗിക്കാതെ ഇതു ചെയ്യാന്‍ പറ്റും.
നമുക്കു് y എന്ന തൂക്കമാണു ഒരു തട്ടില്‍ ഇടേണ്ടതെന്നിരിക്കട്ടേ. 1, 3, 9, 27, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള തൂക്കങ്ങളില്‍ ഒന്നാണു y എങ്കില്‍ നമുക്കു് അവിടെ നിര്‍ത്താം.
അല്ലെങ്കില്‍ 1, 3, 9, 27, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള തൂക്കങ്ങളില്‍ y-യ്ക്കു തൊട്ടു താഴെയുള്ളതു് x എന്നും മുകളിലുള്ളതു് z എന്നും ഇരിക്കട്ടേ.
(ഉദാഹരണമായി y = 30 ആണെങ്കില്‍ x = 27, z = 81.)
y > (z/2) ആണെങ്കില്‍ തട്ടില്‍ z ഇടുക, എന്നിട്ടു് മറ്റേ തട്ടില്‍ (z – y) ഇടാനുള്ള വഴി കണ്ടുപിടിക്കുക.
അല്ലെങ്കില്‍ തട്ടില്‍ x ഇടുക. എന്നിട്ടു് ആ തട്ടില്‍ത്തന്നെ (y-x) ഇടാനുള്ള വഴി കണ്ടുപിടിക്കുക.
ഓരോ സ്റ്റെപ്പു കഴിയുമ്പോഴും y-യുടെ വില കുറഞ്ഞുവരും. അവസാനം അതു് 1, 3, 9, … ഇവയില്‍ ഒന്നാവും. അപ്പോള്‍ നിര്‍ത്താം.
മുകളില്‍ക്കൊടുത്തതില്‍ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം ഒന്നു ചെയ്തു നോക്കാം.
574 തൂക്കണം.
- അതായതു്, 574 വലത്തേ തട്ടില്‍.
- 729-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതു കൊണ്ടു് 729 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 729 – 574 = 155 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
- 155 ഇടത്തേ തട്ടില്‍.
- 243-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 243 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 243 – 155 = 88 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
- 88 വലത്തേ തട്ടില്‍.
- 243-ന്റെ പകുതിയില്‍ കുറവായതുകൊണ്ടു്, 81 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 88 – 81 = 7 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
- 7 വലത്തേ തട്ടില്‍.
- 9-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 9 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 9 – 7 = 2 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
- 2 ഇടത്തേ തട്ടില്‍.
- 3-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 3 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 3 – 2 = 1 വലത്തേ തട്ടില്‍.
- 1 വലത്തേ തട്ടില്‍.
അപ്പോള്‍,
- വലത്തേ തട്ടില്‍: 729, 81, 9, 1
- ഇടത്തേ തട്ടില്‍: 243, 3
ഇങ്ങനെയും ഇതു ചെയ്യാം എന്നു സാരം.
ജോയ് മോന്‍ | 01-Sep-08 at 8:14 am | Permalink
2, 3, 9, 27 ഇതെങ്ങിനെ ശരിയാകും മാഷേ ,40 കിലോ കട്ടി പൊട്ടിയാല്‍ 41 ആകുമോ?
അതു ശരിയാണല്ലോ ജോയിമോനേ. ദേ, ഞാന്‍ ആ ഉത്തരം വെട്ടി. നൂറു് ഏത്തവും ഇട്ടു 🙂
കരിങ്കല്ല് | 01-Sep-08 at 9:54 am | Permalink
കരിങ്കല്ലൊടച്ചുള്ള കളി അധികം വേണ്ടാ…
– കല്ല്, കരിങ്കല്ല്.
krish | കൃഷ് | 01-Sep-08 at 2:39 pm | Permalink
ദ്,കൊള്ളാലോ.
അപ്പോ..ഒരു..പച്ചക്കറിക്കട..തൊടങ്ങാം‌ല്ലേ.
🙂
Anil | 01-Sep-08 at 5:01 pm | Permalink
എന്ന ടാഗു പോലും അവിടെ അനുവദിക്കുകയില്ലെന്നു കണ്ടു
എന്നിട്ട് ഈ പോസ്റ്റില്‍ ഉത്തരത്തിന് സൂപ്പ് ഒന്നും ഉപയോഗിച്ചു കണ്ടില്ലല്ലോ.
Moorthy | 01-Sep-08 at 8:23 pm | Permalink
39 ഇല്ലായിരുന്നേല്‍ 2,3,9,26 (മൊത്തം 40 ആക്കാന്‍ വേണ്ടി 2,3,9,27ല്‍ നിന്നും ഒന്നു കുറച്ചത്) ശരിയാവുമായിരുന്നു…ഈ 39 കണ്ടുപിടിച്ചവനെ കിട്ടിയിരുന്നെങ്കില്‍…:)
Umesh::ഉമേഷ് | 02-Sep-08 at 11:28 pm | Permalink
വിശദമായ ഒരു വിശകലനം പോസ്റ്റില്‍ ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ടു്.
തമനു | 03-Sep-08 at 6:54 am | Permalink
ദാസിന്റെ പച്ചക്കറിക്കട – ഒരു ചെറിയ ഗണിതപ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇത്രേം വലുതു്..
എന്റമ്മൊ .. അപ്പൊ ഒരു വലിയ ഗണിതപ്രശ്നമാരുന്നേല്‍ പ്രശ്നമായേനമല്ലൊ. 🙂
സയന്‍സ് അങ്കിള്‍ | 03-Sep-08 at 8:02 pm | Permalink
വളരെ വളരെ മികച്ച അപഗ്രഥനം… ഞാന്‍ പറയാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചതും അതില്‍ കൂടുതലും താങ്കള്‍ പറഞ്ഞുകഴിഞ്ഞു. അഭിനന്ദിക്കാന്‍ താമസിച്ചതില്‍ ക്ഷമാപണം…ഗണിത ശാസ്ത്രത്തില്‍ മലയാളത്തിനു കിട്ടിയ അപൂര്‍വ്വ സമ്മാനമാണു താങ്കള്‍!!
മുല്ലപ്പൂ | 04-Sep-08 at 8:55 am | Permalink
നന്ദി.
ഇത്ര നാന്നായി വിശകലനം ഇട്ടതിനു
muhsin | 26-Feb-10 at 3:17 pm | Permalink
thangs explayice siance