കഴിഞ്ഞ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളില്‍ കൊടുത്തിരുന്ന പ്രശ്നങ്ങള്‍
(”അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകളും“, “അരയന്നങ്ങളും“) quadratic equations
ഉണ്ടാക്കി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഏതു സ്കൂള്‍കുട്ടിക്കും കഴിയും. കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട മൂല്യം (അമ്പുകളുടെ എണ്ണമോ, അരയന്നങ്ങളുടെ എണ്ണമോ) x2 എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ ആദ്യത്തേതില്‍ നിന്നു്‌
എന്നും, രണ്ടാമത്തേതില്‍ നിന്നു്‌
എന്നുമുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി
എന്നസൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 10 എന്നും 4 എന്നുമുള്ള ഉത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടും. (-2 എന്നും എന്നും രണ്ടുത്തരങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ടു്‌. അതിവിടെ പ്രസക്തമല്ലാത്തതുകൊണ്ടു്‌ ഉപേക്ഷിച്ചു.) അപ്പോള്‍ 100 അമ്പുകള്‍, 16 അരയന്നങ്ങള്‍.
ഇനി, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ സൂത്രവാക്യം നോക്കാം.
ദൃഷ്ടസ്യ യുക്തസ്യ ഗുണാര്‍ദ്ധകൃത്യാ
മൂലം ഗുണാര്‍ദ്ധേന യുതം വിഹീനം
വര്‍ഗ്ഗീകൃതം പ്രഷ്ടുരഭീഷ്ടരാശിഃ
അറിയേണ്ട രാശി(variable)യോടു്‌, രാശിയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ ഗുണം എന്ന സംഖ്യകൊണ്ടു്‌ ഗുണിച്ചതു കൂടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്ത ഫലം തന്നിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍, ആ ഫലത്തിനോടു്‌ ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു യഥാക്രമം കുറയ്ക്കുകയോ കൂട്ടുകയോ ചെയ്താല്‍ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട രാശി കിട്ടും.
അതായതു്, എന്നതില്‍ നിന്നു്‌
ഉദാഹരണമായി,
- അമ്പുകളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = 4 x 2 = 8, ഫലം = (6 + 3 + 1) x 2 = 20. ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = 4, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 16, ഫലത്തോടു കൂട്ടിയാല്‍ 20 + 16 = 36. വര്‍ഗ്ഗമൂലം = 6, ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയൊടു കൂട്ടിയാല്‍ 4 + 6 = 10, വര്‍ഗ്ഗം 100. ഉത്തരം: 100 അമ്പുകള്‍.
- അരയന്നങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = (7/2), ഫലം = 2, ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = (7/4), വര്‍ഗം = (49/16), ഫലം കൂട്ടിയാല്‍ 2 + (49/16) = (81/16), വര്‍ഗ്ഗമൂലം (9/4), ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ (7/4) + (9/4) = (16/4) = 4, വര്‍ഗ്ഗം = 16. ഉത്തരം: 16 അരയന്നങ്ങള്‍.
ഇങ്ങനെ സാമാന്യനിയമം പറയുന്നതുകൂടാതെ, Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട മറ്റു പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഈ സൂത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചു തന്നെ നിയമങ്ങള്‍ അദ്ദേഹം നല്‍കിയിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, ഒരു സമാന്തരശ്രേഢി (Arithmetic Progression)യിലെ ആദ്യപദവും (മുഖം, a), പൊതുവ്യത്യാസവും (ചയം, d), ആദ്യത്തെ n (ഗച്ഛം) പദങ്ങളുടെ തുകയും (ഫലം, S) തന്നാല്‍ n കണ്ടുപിടിക്കാന്‍
എന്ന Quadratic equation n-നു വേണ്ടി നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ടി വരും.
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി നോക്കൂ:
ച്ചയാര്‍ദ്ധവക്ത്രാന്തരവര്‍ഗ്ഗയുക്താത്‌
മൂലം മുഖോനം ചയഖണ്ഡയുക്തം
ചയോദ്ധൃതം ഗച്ഛമുദാഹരന്തി
ശ്രേഢീഫലത്തെ (S) ചയത്തിന്റെ (d) ഇരട്ടി കൊണ്ടു (ലോചനം = കണ്ണു്‌ = 2 (ഭൂതസംഖ്യ)) ഗുണിച്ചിട്ടൂ്‌, ചയത്തിന്റെ പകുതിയില്‍ നിന്നു മുഖം (a) കുറച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിയതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം മുഖത്തില്‍(a) നിന്നു കുറച്ചു്‌ ചയത്തിന്റെ (d) പകുതി കൂട്ടി ചയം (d) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഗച്ഛം (n) കിട്ടും.
അതായതു്,
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഉദാഹരണം നോക്കുക:
ദാതും പ്രവൃത്തോ ദ്വിചയേന തേന
ശതത്രയം ഷഷ്ട്യധികം ദ്വിജേഭ്യോ
ദത്തം ക്രിയദ്ഭിര്‍ദിവസൈര്‍വദാശു
ഒരു രാജാവു്‌ ആദ്യത്തെ ദിവസം മൂന്നു നാണയം ബ്രാഹ്മണര്‍ക്കു ദാനം ചെയ്തു. പിന്നീടു്‌ ഓരോ ദിവസവും രണ്ടു നാണയം വീതം കൂട്ടിക്കൊടുത്തു. എത്ര ദിവസം കൊണ്ടു്‌ 360 നാണയം കൊടുത്തു എന്നു കണ്ടുപിടിക്കുക.
ഇവിടെ ഫലം = 360, മുഖം = 3, ചയം = 2.
ചയത്തിന്റെ ഇരട്ടി = 2 x 2 = 4, അതുകൊണ്ടു ഫലത്തെ ഗുണിച്ചാല്‍ 360 x 4 = 1440, ചയത്തിന്റെ പകുതി = 1, അതു മുഖത്തില്‍ നിന്നു കുറച്ചാല്‍ 3 – 1 = 2, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 4, അതു കൂട്ടിയാല്‍ 1444. വര്‍ഗ്ഗമൂലം 38. മുഖം കുറച്ചാല്‍ 38 – 3 = 35, ചയത്തിന്റെ പകുതി കൂട്ടിയാല്‍ 35 + 1 = 16, ചയം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 36 / 2 = 18. ഗച്ഛം (n) = 18.
സൂക്ഷിച്ചുനോക്കിയാല്‍
അതായതു് എന്ന Quadratic equation-ന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം തന്നെയാണു്‌ ഈ രീതിയെന്നു കാണാം.
ഇംഗ്ലീഷ്‌ വിക്കിപീഡിയയില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഈ രീതി പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌.
നിഷ്പത്തി
വര്‍ഗ്ഗീകരണം പൂര്‍ത്തിയാക്കി quadratic equations നിര്‍ദ്ധരിക്കുന്ന വിദ്യ ബാബിലോണിയക്കാര്‍ക്കു ക്രി. മു. നാലാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ അറിയാമായിരുന്നു എന്നു് വിക്കിപീഡിയ പറയുന്നു. ഈ രീതി തന്നെയാണു ഭാസ്കരാചാര്യരും ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതു്.
നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട സമവാക്യം
എന്നാണല്ലോ. ഇതിനെ എന്നു കരുതിയിട്ടു്, രണ്ടിനോടും
കൂട്ടി ഇടത്തുവശത്തുള്ളതിനെ ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാക്കുന്നതാണു് ഈ രീതി. അതായതു്,
വര്‍ഗ്ഗമൂലമെടുത്താല്‍
അപ്പോള്‍
എന്നു കിട്ടും. ഇതാണു ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഗുണഘ്നമൂലോന… എന്ന ശ്ലോകത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥം.
viswam | 23-Feb-06 at 8:49 am | Permalink
വീടു മാറിയപ്പോള്‍ മുന്‍പത്തെ കമന്റുഭാണ്ഡക്കെട്ടുകള്‍ കൂടെ കൊണ്ടുവന്നില്ല അല്ലേ?
ഉമേഷ് | 23-Feb-06 at 2:54 pm | Permalink
കമന്റിനെ കമന്റായി കൊണ്ടുവരാന്‍ പറ്റിയില്ല വിശ്വം. അതുകൊണ്ടു് പോസ്റ്റുകളുടെ അവസാനം ചേര്‍ത്തിരുന്നു. ഇന്നലെ എടുത്തുകളഞ്ഞു. പകരം രണ്ടു കാര്യങ്ങള്‍ ചെയ്യാനാണു പരിപാടി.
1. ഭാരതീയഗണിതം ബ്ലോഗില്‍ നിന്നു കൊണ്ടുവന്ന പോസ്റ്റുകളില്‍ ആ ബ്ലോഗിലേക്കു് ഒരു കണ്ണി കൊടുക്കും. ആളുകള്‍ക്കു് അവിടെപ്പോയി പഴയ കമന്റുകള്‍ വായിക്കാം.
2. കമന്റുകളിലെ പ്രസക്തഭാഗങ്ങള്‍ താമസിയാതെ ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റുകളായി വരും. അപ്പോള്‍ അവിടെക്കാണാം.
നന്ദി, വിശ്വം.
wakaari | 17-Mar-06 at 4:14 am | Permalink
ഉമേഷ്‌ജീ.. ഭൂലോകം കറങ്ങുന്നത് കണക്കിലാണെന്ന് തിലകണ്ണൻ പറഞ്ഞ അന്നു തൊട്ടു തുടങ്ങിയ തലകറക്കം ഇതുവരെ മാറിയിട്ടില്ല. കണക്കിൽ പൂജ്യമാണ് ഏറ്റവും പ്രധാനപ്പെട്ട നമ്പറെന്ന ഉറച്ചവിശ്വാസക്കാരനാണ് ഞാൻ!
വിക്കിപ്പീടികയിലെ ചർച്ചയിൽ ഒരണ്ണൻ ഇതിന്റെയൊക്കെ പ്രാക്ടിക്കൽ ആപ്ലിക്കേഷനും റിയൽ വേൾഡിൽ ഇതൊക്കെ എങ്ങിനെയാണ് ഉപയോഗിക്കുന്നതെന്നും ചോദിച്ചുകണ്ടു. എനിക്കും പണ്ടുമുതലേ ഉള്ള ഒരു സംശയമായിരുന്നു അത്. നമ്മൾ ഈ കണക്കിലൊക്കെ പഠിക്കുന്ന ഇന്റഗ്രേഷൻ, ഡിഫറെൻഷ്യേഷൻ, ഖ്വാഡ്രാറ്റിക്ക് ഇഖ്വേഷൻ മുതലായവയുടെയൊക്കെ പ്രാക്ടിക്കൽ ആപ്ലിക്കേഷൻ വളരെ ലഘുവായി വിവരിക്കുന്ന വല്ല സംഗതിയും പുസ്തകരൂപത്തിലോ വെബ് രൂപത്തിലോ നിലവിലുണ്ടോ? “ഓ.. നീയെന്തിനാ ഇതൊക്കെ ഇങ്ങിനെ ചെയ്യുന്നത്.. ഇന്റഗ്രേറ്റു ചെയ്താൽ പോരേ” എന്നോ “ അതിന്റെ ബന്ധവും ഇതിന്റെ ബന്ധവും മനസ്സിലാക്കാനാണല്ലോ മണ്ടാ ലാപ്ലേസ് ഉള്ളത്” എന്നൊക്കെയുള്ള രീതിയിൽ കാര്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കാൻ. എവിടെയാണിതിന്നാപ്ലിക്കേഷൻ, എന്തിനാണിത് എന്നൊക്കെ കുട്ടികൾ ചോദിച്ചാൽ “കുട്ടികളേ………..” എന്നു വിളിച്ച് അവരെ അടുത്തിരുത്തി വളരെ സിമ്പിളായി കാര്യങ്ങൾ പറഞ്ഞു മനസ്സിലാക്കിക്കൊടുക്കാൻ പാകത്തിൽ…….
അതോ അങ്ങിനെയൊരു സംഗതി നടപ്പില്ലാ എന്നും വരുമോ……….?അതിനൊക്കെ ഒരു മിനിമം ചോറ് തലയിൽ വേണമെന്ന് വരുമോ………..?
Umesh | 17-Mar-06 at 10:16 pm | Permalink
വക്കാരീ, നല്ല ചോദ്യം. ഇതിനു് ഒരു സമഗ്രമായ മറുപടി ഞാന്‍ ഒരു പോസ്റ്റായി ഇടാം.
ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്‍, ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനു് ഒരുപാടു പ്രാക്ടിക്കല്‍ ആപ്ലിക്കേഷനുകള്‍ ഉണ്ടു്; അവ നമ്മുടെ സ്കൂളുകളില്‍ പഠിപ്പിക്കുന്നില്ല എന്നു മാത്രം. ഗണിതത്തിനു മാത്രമല്ല, വ്യാകരണം, വൃത്തം, അലങ്കാരം, മാപ് പ്രൊജക്‌ഷനുകള്‍, ചരിത്രം, കവിതാസ്വാദനം തുടങ്ങിയ പല കാര്യങ്ങളും നമ്മളെ തിയറിയായി മാത്രം പഠിപ്പിക്കുകയും, തന്മൂലം ഇവയൊക്കെ ഉപയോഗ്യശൂന്യം എന്നൊരു തോന്നല്‍ നമുക്കുണ്ടാവുകയും ചെയ്യുന്നു.
ഗണിതത്തിന്റെ ഉപയോഗങ്ങള്‍ സരളമായി സാധാരണക്കാരന്റെ ഭാഷയില്‍ വിശദീകരിക്കുന്ന നല്ല പുസ്തകങ്ങള്‍ ഒരുപാടുണ്ടു്. വെബ്സൈറ്റുകളുമുണ്ടു്. ഒരു ലിസ്റ്റ് ഞാന്‍ ഉടനെ തരാം. മറ്റുള്ളവരും ദയവായി വിവരങ്ങള്‍ നല്‍കുക.
നന്ദി.
– ഉമേഷ്
Viswaprabha | 17-Mar-06 at 11:19 pm | Permalink
Here is an old story of practical maths:
When Sine (and other trig.functions) were first introduced in high school, I was highly confused. There seemed to be no point in making a ഗഗഗഗഗഗ kind of line on paper for angles more than 2pi and multiples thereof…
But the teacher was really good! He just said that it is a shadow (on a wall) of a line that rotates freely and as many times…
Or else, he said, it could be termed as a shadow (on the ground) of a pendulam that oscillates above.
Back at home, I made a small setup to actually create a physical sine wave from this explanation. In a coconut shell, I filled sand and hung it in a makeshift pendulum. The small hole of the shell let the sand fall down smooth and steady. As my sister swinged the pendulum, I moved a long piece of newspaper under it in somewhat a constant speed. The sand falling through the hole drew a raw but still acceptable Sine Wave!
Yet it took a long time for me to understand why the hell there should be anything called differentiation and integration at all! Neverthless, we kept on scribbling all those equations…
… until some day it occurred, well, it can be useful…
(1. What if this is purely in English?)
(2. What it I did not want this comment to go to places, but only to remain here? Can we have a switch?)
Thanks
ഉമേഷ് | 17-Mar-06 at 11:32 pm | Permalink
വിശ്വം,
പഞ്ചായത്തില്‍ വരാന്‍ “ഗഗഗഗ” ഇടയ്ക്കു ചേര്‍ത്തതു കലക്കി.
മലയാളം അല്പം പോലുമില്ലെങ്കില്‍ എങ്ങും പോവില്ല വിശ്വം. വേണമെങ്കില്‍ “ഇതു പബ്ലിക്കാക്കല്ലേ” എന്നോ മറ്റോ എഴുതിയാല്‍ പഞ്ചായത്തില്‍ വിടാത്ത വിധം നമുക്കൊരു സംവിധാനമുണ്ടാക്കാം.
Viswaprabha | 17-Mar-06 at 11:43 pm | Permalink
Oh! Is it so?
ഏവൂരാന്‍ | 18-Mar-06 at 12:00 am | Permalink
അല്ലേലും വിശ്വം ഇടയ്ക്കിടയ്ക്ക് ഇങ്ങനെ ഒരൊറ്റ് വെടി കൊണ്ട് രണ്ടും മൂന്നും പക്ഷികളെ ഒന്നിച്ച് കൊല്ലാറുണ്ട്. 🙂