കല്ലേച്ചിയുടെ കണക്കിലെ നാലു ക്രിയകളില്‍ ഹരണം എന്ന ലേഖനമാണു് എന്നെ ഇതെഴുതാന്‍ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്. ഇതു വായിക്കുന്നതിനു മുമ്പു് ദയവായി ആ ലേഖനം വായിക്കുക. പേരു ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുപോലെ അതു് ഒരു ഗണിതലേഖനമല്ല.
സങ്കലനം (addition), വ്യവകലനം (subtraction), ഗുണനം (multiplication), ഹരണം (division) എന്നീ നാലു ക്രിയകളില്‍ ഹരണം ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെയാണു്. (പ്രീഡിഗ്രിയ്ക്കു ഫസ്റ്റ് ഗ്രൂപ്പെടുത്തു പഠിച്ച കുട്ടികളില്‍ ഹരണം അറിയാത്തവരെ ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ടു്.) കാരണം, മറ്റു മൂന്നു ക്രിയകള്‍ക്കും വ്യക്തമായ വഴികളുണ്ടു്. പൂജ്യം മുതല്‍ ഒമ്പതു വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ സങ്കലന(ഗുണന)പ്പട്ടികകള്‍ അറിയാമെങ്കില്‍ എത്ര വലിയ രണ്ടു സംഖ്യകളെയും തമ്മില്‍ കൂട്ടാം (ഗുണിക്കാം). ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തു നിന്നു തുടങ്ങുക. ഫലം ഒമ്പതില്‍ കൂടുതലാണെങ്കില്‍ അവസാനത്തെ അക്കം മാത്രമെഴുതി ബാക്കി “കാരി ഓവര്‍” ആയി അടുത്ത സ്ഥാനത്തു കൂട്ടുക. ലളിതം.
വ്യവകലനം അല്പം കൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. താഴത്തെ അക്കം മുകളിലത്തെ അക്കത്തെക്കാള്‍ വലുതായാല്‍. പഠിച്ച രീതി ഏതാണെന്നതനുസരിച്ചു മുകളില്‍ നിന്നു കടമെടുക്കുകയോ താഴേയ്ക്കു കടം കൊടുക്കുകയോ ചെയ്തു് വ്യത്യാസം കാണണം. എങ്കിലും ഇതിനും ഹരണത്തിന്റെ അത്രയും ബുദ്ധിമുട്ടില്ല.
ഹരണത്തിന്റെ പ്രശ്നം അതില്‍ ചെലുത്തേണ്ട “എക്സ്ട്രാ ഇന്റലിജെന്‍സ്” ആണു്. ഉദാഹരണമായി 1300000-നെ 4 കൊണ്ടു ഹരിക്കാനാണു പ്രശ്നം എന്നിരിക്കട്ടേ.
- ആദ്യം ഇടത്തുനിന്നു വായിച്ചിട്ടു് നാലിനെക്കാള്‍ വലിയ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കണം. അതായതു് 1 വിട്ടിട്ടു 13-നെ എടുക്കണം.
- ഇനി, 13-നെ 4 കൊണ്ടു ഹരിക്കാന്‍ പട്ടികയൊന്നുമില്ല. മറിച്ചു്, 4-ന്റെ ഗുണനപ്പട്ടിക ചൊല്ലിനോക്കി എപ്പോഴാണു് ഒരെണ്ണം 13-ല്‍ കുറവോ തുല്യമോ ആകുകയും അടുത്തതു 13-ല്‍ കൂടുതല്‍ ആകുകയോ ചെയ്യുന്നതു് എന്നു കണ്ടുപിടിക്കണം: 4, 8, 12, 16 എന്നിങ്ങനെ. ഇതാണു ഹരണത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രശ്നം. ചെയ്തു പരിചയമുണ്ടെങ്കില്‍ ഇതു നേരേ തോന്നും; ഇല്ലെങ്കില്‍ പട്ടിക ചൊല്ലിയേ വഴിയുള്ളൂ. ഇതു മനസ്സിലാകാനും പരിശീലിക്കാനും നല്ല ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണു്.
- ഇനി, 3 എന്നു കിട്ടിയാല്‍, അതിനെ 4 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 13-നു താഴെ എഴുതിയിട്ടു് ഒരു വ്യവകലനം വീണ്ടും. അതിനു ശേഷം ഓരോ അക്കം താഴെ ഇറക്കി ഈ ക്രിയ തന്നെ വീണ്ടും.
4-നു പകരം ഹരിക്കേണ്ട സംഖ്യ 463 ആയാല്‍ ഇതു വീണ്ടും സങ്കീര്‍ണ്ണമാകും. 1300-ല്‍ എത്ര 463 ഉണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കണം. 463-ന്റെ പട്ടിക അറിയില്ല. 13-ല്‍ 4 മൂന്നു തവണ പോകുമെന്നറിയാം. 1300-ല്‍ 463 എത്ര തവണ പോകും? അറിയാന്‍ എളുപ്പവഴിയൊന്നുമില്ല. 3 കൊണ്ടും 2 കൊണ്ടും ഗുണിച്ചു നോക്കണം. പലപ്പോഴും ആദ്യത്തേതു ശരിയാവില്ല. തുടച്ചിട്ടു വീണ്ടുമെഴുതണം. പിന്നെ കുറയ്ക്കണം. കിട്ടുന്നതിനോടു് അടുത്ത സ്ഥാനങ്ങള്‍ ഇറക്കിയെഴുതണം. അപ്പോള്‍ അതിലും വലിയ ഒരു പ്രശ്നം കിട്ടും!
മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ രീതി മിക്ക കുട്ടികള്‍ക്കും ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെയാണു്. യാന്ത്രികമായി ചെയ്തുപോകാന്‍ പറ്റുന്ന ക്രിയകളൊക്കെ കുട്ടികള്‍ വേഗത്തില്‍ പഠിച്ചെടുക്കും. സങ്കലനവും ഗുണനവും കുറച്ചൊക്കെ വ്യവകലനവും അങ്ങനെയാണു്. കൂടുതല്‍ ഇന്റലിജെന്‍സ് ആവശ്യമായി വരുമ്പോഴാണു് ഇതു പ്രശ്നം.
മറ്റൊരു കാരണം ഹരണത്തില്‍ ബാക്കി മൂന്നു ക്രിയകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നു എന്നതാണു്. ഹാരകം കൊണ്ടു ഹരണഫലത്തെ ഗുണിക്കണം (ആ ഗുണനത്തില്‍ സങ്കലനവും ആവശ്യമാണു്). പിന്നെ മുകളിലുള്ള സംഖ്യയില്‍ നിന്നു ഗുണനഫലം കുറയ്ക്കണം. അതായതു്, എല്ലാ ഗണിതക്രിയകളും കൂടാതെ അല്പം ഇന്റലിജെന്‍സും കൂടി വേണമെന്നര്‍ത്ഥം. ഹരണം ദുഷ്ക്കരമായതില്‍ അദ്ഭുതമില്ല!
ഹരണത്തിലും ബുദ്ധിമുട്ടാണു് വര്‍ഗ്ഗമൂലം(square root) കണ്ടുപിടിക്കല്‍. സ്കൂളുകളില്‍ അതിനു പുറകിലുള്ള തിയറി പറയാറില്ലെങ്കിലും
എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചാണു വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. വിശദീകരിക്കാം.
- ആദ്യമായി, സംഖ്യയെ വലത്തുനിന്നു രണ്ടക്കങ്ങള്‍ വീതമുള്ള ഗണങ്ങളായി തിരിക്കണം. n അക്കങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിനു് അങ്ങേയറ്റം 2n അക്കങ്ങളുള്ളതുകൊണ്ടാണു് ഇങ്ങനെ ചെയ്യുന്നതു്.
- എന്നിട്ടു് ഏറ്റവും ഇടത്തേ അറ്റത്തെ ഗണത്തിലെ സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറിയ ഏറ്റവും വലിയ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗം കണ്ടുപിടിക്കണം. (ഹരണത്തിലെ ആദ്യത്തെ സ്റ്റെപ്പു പോലെ തന്നെ. ഇവിടെ 1×1, 2×2, 3×3,… എന്നിങ്ങനെയാണു നോക്കേണ്ടതു് എന്നു മാത്രം.) മുകളില്‍ കൊടുത്ത സമവാക്യത്തിലെ a (അല്ലെങ്കില്‍ അതിനെ 100, 10000 തുടങ്ങിയവയില്‍ ഒന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ച സംഖ്യ) കണ്ടുപിടിക്കുകയാണു് ഇവിടെച്ചെയ്യുന്നതു്.
- അതു കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മുകളിലും ഇടത്തുവശത്തും അതെഴുതി ഗുണിച്ചു കുറയ്ക്കണം. ഇപ്പോള്‍ നമ്മള്‍ a2 കുറച്ചു. ബാക്കി b(2a + b) ഉണ്ടു്.
- ഇനിയുമാണു് ഏറ്റവും പണി. കിട്ടിയ ഫലത്തിന്റെ കൂടെ അടുത്ത രണ്ടക്കമുള്ള ഗണം ഇറക്കിയെഴുതണം. എന്നിട്ടു് ഹരണഫലത്തിന്റെ ഇരട്ടി (2a) ഇടത്തു വശത്തെഴുതണം. പിന്നെ b എന്ന സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കണം-b(2a + b) എന്നതു ബാക്കിയെക്കാള്‍ കുറവാകുകയും bയ്ക്കു പകരം (b+1) എടുത്താല്‍ കൂടുതലാവുകയും ചെയ്യത്തക്ക വിധത്തിലുള്ള ഒരു b. ഇതു ഹരണഫലം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്.
- അതിലും ശിഷ്ടം വന്നാല്‍ ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ച വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ a എന്നു കരുതുന്നു. ഇതേ രീതിയുപയോഗിച്ചു തുടര്‍ന്നു തുടര്‍ന്നു പോകും.
ഒരു രഹസ്യം പറയാം. ഈ രീതിയില്‍ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മിക്ക എഞ്ചിനീയറിംഗ് വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്കും അറിയില്ല! കാല്‍ക്കുലേറ്ററില്ലാതെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറയുന്നതു ബാലവേലനിയമപ്രകാരം ശിക്ഷാര്‍ഹമാണെന്നു നമ്മുടെ ആദിത്യന്‍ ഒരിക്കല്‍ പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ടു്.
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഈ രീതി സവിസ്തരം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഇതു മാത്രമല്ല, ഘനമൂലം (cube root) കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇതു പോലെ തന്നെ
എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു രീതിയും അതിലുണ്ടു്. ആര്‍ക്കെങ്കിലും അവ എങ്ങനെയെന്നു് അറിയണമെന്നു് ആഗ്രഹമുണ്ടെങ്കില്‍ വേറേ ഒരു പോസ്റ്റായി ഇടാം.
ഹരണം പഠിച്ചിരുന്ന കാലത്തു ബുദ്ധിമുട്ടായിരുന്നു എന്നു മങ്ങിയ ഒരു ഓര്‍മ്മയുണ്ടു്. പക്ഷേ അതിന്റെ ബുദ്ധിമുട്ടു വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കിയതു പില്‍ക്കാലത്തു് C++-ല്‍ ഒരു multi-precision arithmetic class library എഴുതിയപ്പോഴാണു്. ബാക്കി മൂന്നു ക്രിയകളും വളരെ എളുപ്പം. ഹരണം ശരിയാക്കിയെടുക്കാന്‍ ഒരുപാടു ബുദ്ധിമുട്ടി.
[2006/08/09]: വര്‍ഗ്ഗമൂലം കാണാനുള്ള ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി ആധുനികരീതിയില്‍ നിന്നു് വ്യത്യാസമുണ്ടു്. രണ്ടക്കം വീതം ഇറക്കിയെഴുതുന്നതിനു പകരം ഓരോ അക്കം ഇറക്കിയെഴുതി കിട്ടുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വേറേ ഒരിടത്തെഴുതിവെച്ചിട്ടു് അവയില്‍ നിന്നു പിന്നീടു വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയാണു് അദ്ദേഹത്തിന്റേതു്. ഘനമൂലവും അങ്ങനെ തന്നെ.
ആധുനികരീതി ഇതിനെക്കാള്‍ സരളമാണു്. വര്‍ഗ്ഗമൂലം കാണാനുള്ള വഴി ഇവിടെയും ഘനമൂലം കാണാനുള്ള വഴി ഇവിടെയും കാണാം.
Umesh::ഉമേഷ് | 08-Aug-06 at 9:40 pm | Permalink
ഹരണം മറ്റു മൂന്നു ഗണിതക്രിയകളെക്കാളും ബുദ്ധിമുട്ടാണോ? ഗുരുകുലത്തിലെ ഈ പുതിയ ലേഖനം കല്ലേച്ചിയുടെ ഈ ലേഖനവുമായി ചേര്‍ത്തുവായിക്കുക.
ഷിജു അലക്സ്‌ | 09-Aug-06 at 4:03 am | Permalink
ഉമേഷേട്ടാ വര്‍ഗ്ഗമൂലം(square root)ത്തിന്റെ പുറകിലുള്ള തിയറി ഒരു പുതിയ അറിവ്‌ ആയിരുന്നു.
അത്‌ പരിചയപ്പെടുത്തി തന്നതിന് നന്ദി. ലീലവതിയുടെ ഒക്കെ മലയാള പരിഭാഷ ലഭ്യമാണോ.
ഈ വിധത്തില്‍ നമ്മുടെ അദ്ധ്യാപകര്‍ ക്ലാസ്സുകള്‍ എടുത്തിരുന്നെങ്കില്‍ എത്ര നന്നായിരുന്നു എന്ന്‌ ആശിച്ച്‌ പോകുന്നു.
കൂമന്‍ | 09-Aug-06 at 4:21 am | Permalink
ഉമേഷ്ജി..വര്‍ഗ്ഗമൂലം ഘനമൂലം എന്നൊക്കെ പറഞ്ഞ് പേടിപ്പിക്കരുത്. ആ അദ്ധ്യായമൊക്കെ വിട്ടുപഠിച്ചിട്ടാണ് ഇവിടം വരെയെത്തിയത്. ഇനി മകള്‍ സ്കൂളില്‍ പഠിച്ചു തുടങ്ങുമ്പോള്‍ അവളോടും പറയും വിട്ടു പഠിക്കാന്‍. :)എന്തായാലും equation ഒക്കെ ഓര്‍മ്മിപ്പിച്ചതു നന്നായി.
Adithyan | 09-Aug-06 at 4:51 am | Permalink
ആ വരേന്റെ (<HR>) മോളില്‍ത്തെ സംഭവങ്ങള്‍ ഒക്കെ ഒരുമാതിരി വായിച്ചെത്തിച്ചു. പണ്ട് രണ്ടാം ക്ലാസിലോ മൂന്നാം ക്ലാസിലോ എപ്പഴോ പഠിച്ചതാണല്ലോ എന്നൊരു ഓര്‍മ്മ ഒക്കെ കിട്ടി. 12 നെ 3 കൊണ്ട് ഹരിക്കുന്നതു വരെയുള്ള കാര്യങ്ങള്‍ മനസിലാവേം ചെയ്തു.
എന്നാ ആ വരേന്റെ താഴെ ഉള്ളത്… കൊറച്ച് കടുപ്പമായിപ്പോയി എന്നു മാത്രം പറഞ്ഞു കൊണ്ട് ഞാന്‍ എന്റെ വാക്കുകള്‍ ഉപസംഹരിക്കുന്നു 🙂 ആ ബുള്ളറ്റ് പോയന്റിന്റുള്ളിലുള്ള സ്റ്റെപ്പ് ഒക്കെ ഒന്ന് നോകിയതിന്റെ പെരുപ്പ് മാറണേല്‍ ഇനി ദിവസം രണ്ടു മൂന്നു പിടിക്കും 🙁
Umesh::ഉമേഷ് | 09-Aug-06 at 5:28 am | Permalink
ഷിജൂ,
ലീലാവതിയിലെ രീതി അല്പം കൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. എഴുതി ക്രിയ ചെയ്യാനുള്ളതല്ല, ഓരോ സ്ഥാനത്തിലെയും അക്കത്തിനു തുല്യമായ കല്ലുകളോ കവിടികളോ നിരത്തിവെച്ചു് അവ മാറ്റിയും മറിച്ചും കൂട്ടിയും കുറച്ചുമൊക്കെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള രീതിയാണതു്. നാം പഠിച്ച രീതി (മുകളില്‍ കൊടുത്തതു്) അതിനെക്കാള്‍ സരളമാണു്.
ലീലാവതി മലയാളത്തില്‍ ലഭ്യമാണു്. ഷിജുവിന്റെ തന്നെ ചോദ്യത്തിനു മറുപടിയായി എഴുതിയ ഈ കമന്റില്‍ വിശദവിവരങ്ങളുണ്ടു്.
കൂമാ,
മകളെയെങ്കിലും വിടാതെ പഠിക്കാന്‍ പരിശീലിപ്പിക്കൂ. എന്താണു ചെയ്യുന്നതെന്നു മനസ്സിലാക്കിയാല്‍ കണക്കൊരിക്കലും വിഷമമാവില്ല.
ആദിത്യോ,
ബാംഗ്ലൂരില്‍ നിന്നു എറണാകുളത്തേക്കു് എത്ര ലിറ്റര്‍ പെട്രോള്‍ വേണമെന്നു കാല്‍ക്കുലേറ്റര്‍ ഉപയോഗിച്ചു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ അറിയില്ല എന്നു പറഞ്ഞപ്പഴേ കാര്യം മനസ്സിലായി. വരയുടെ മുകളിലേതു മനസ്സിലായി എന്നു വെറുതേ പറഞ്ഞതല്ലേ?
ഷിജു അലക്സ്‌ | 09-Aug-06 at 5:47 am | Permalink
ഉമേഷേട്ടാ,
ഒരു ചെറിയ അപ്‌ഡെറ്റ്‌
എന്നിട്ടു് ഏറ്റവും ഇടത്തേ അറ്റത്തെ മ്സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറിയ ഏറ്റവും വലിയ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗം കണ്ടുപിടിക്കണം.
എന്നത്‌
എന്നിട്ടു് ഏറ്റവും ഇടത്തേ അറ്റത്തെ ഗണത്തെക്കാള്‍ ചെറിയ ഏറ്റവും വലിയ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗം കണ്ടുപിടിക്കണം.
എന്നതല്ലേ കൂടുതല്‍ ശരി.
ഷിജു അലക്സ്‌ | 09-Aug-06 at 5:47 am | Permalink
ഉമേഷേട്ടാ,
ഘനമൂലം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതി കൂടി ഒന്ന് പറഞ്ഞു തരാമോ? നമ്മള്‍ സ്കൂളില്‍ ഘനമൂലം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതി പഠിക്കുന്നുണ്ടോ? ഓര്‍മയില്ല. പക്ഷെ ഏതോ ഒരു പുസ്തകത്തില്‍ കണ്ട ഒരു രീതി ചെറിയ ഓര്‍മയുണ്ട്‌. അതില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന രീതി ഇങ്ങനെ ആയിരുന്നു.
ഘനമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍
1.സംഖ്യയെ വലത്തുനിന്നു മൂന്നക്കങ്ങള്‍ വീതമുള്ള ഗണങ്ങളായി തിരിക്കുക.
2.ഏറ്റവും ഇടത്തേ അറ്റത്തെ ഗണത്തേക്കാള്‍ ചെറിയ ഏറ്റവും വലിയ cube കണ്ടുപിടിക്കണം
3.അതു കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മുകളിലും ഇടത്തുവശത്തും അതെഴുതി ഗുണിച്ചു കുറയ്ക്കണം
4. പിന്നെ മുകളില്‍ എഴുതിയിരിക്കുന്ന സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ 300 ഇരട്ടിയോട്‌ 30 ഇരട്ടി കൂട്ടി ……..
പിന്നെയൊന്നും ഓര്‍മയില്ല ഉമേഷേട്ടാ. അന്ന്‌ ഇത്‌ വായിച്ചപ്പോള്‍ തന്നെ മനസ്സിലാക്കിയെടുക്കാന്‍ കുറച്ച്‌ സമയം എടുത്തു. അത്‌ കൊണ്ട് പിന്നെ അതിനെ കുറിച്ച്‌ അധികം മനസ്സിലാക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചില്ല. ആ പുസ്തകത്തില്‍ 4th and 5th root കാണുന്ന methodഉം ഉണ്ടായിരുന്നതായാണ് ഓര്‍മ്മ.
സന്തോഷ് | 09-Aug-06 at 5:49 am | Permalink
ഈ രീതിയില്‍ വര്‍ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പണ്ട് പഠിക്കുകയും പിന്നീട് മറന്നുപോകയും ചെയ്തവനാണ് ഞാന്‍. ഓര്‍മപ്പെടുത്തിയതിന്/വീണ്ടും പറഞ്ഞുതന്നതിന് നന്ദി.
Deepak Chandran | 09-Aug-06 at 1:14 pm | Permalink
ഉമേഷേട്ടാ..
ഗണിത ക്രിയകളെ കുറിച്ചെഴുതിയിരിക്കുന്നത് നനായിരിക്കുന്നു. രണ്ടുത്തരത്തില്‍. ഒന്ന്, പഠിക്കുന്നവര്‍ക്കും പ‍ഠിപ്പിക്കുന്നവര്‍ക്കുമായുള്ള ഒരു വഴികാട്ടിയും നിര്‍ദ്ദേശവും ആയി. രണ്ടാമതായി വക്കാരിമിഷ്ട ബൂലോകം ബ്ലോഗില്‍ ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച ‘മാതൃഭൂമി’ വിശേഷത്തിന്റെ അനുബന്ധമായി. പഠനം അറിവില്‍നിന്ന് ചില മുന്‍ധാരണകളിലേക്ക് രൂപാന്തരണം ചെയ്യപ്പെട്ട ഈ കാലഘട്ടത്തില്‍, അറിവിലേക്കുള്ള പിന്‍ച്ചൂണ്ടലായി നിങ്ങളുടെ ഈ കുറിപ്പുകളെ കണക്കാക്കാമല്ലോ. ഈയൊരാത്മാവിന്റെ നഷ്ടപ്പെടലുകളില്‍ നിന്നാണ് ‘അച്ചന്‍’കൂടങള്‍ തേടിയുള്ള മലയാളിയുടെ സഞ്ചാരം ആരംഭിക്കുന്നത്.
Umesh::ഉമേഷ് | 09-Aug-06 at 1:20 pm | Permalink
ഷിജൂ,
വര്‍ഗ്ഗമൂലവും ഘനമൂലവും കാണുന്ന രീതി ഉദാഹരണസഹിതം വിശദീകരിക്കാഞ്ഞതു മനഃപൂര്‍വ്വമാണു്. അടിസ്ഥാനഗണിതത്തിന്റെ പുസ്തകങ്ങളിലോ ഗൂഗിളിലോ തെരഞ്ഞാല്‍ അവ കിട്ടും. ഉദാഹരണത്തിനു്,
വര്‍ഗ്ഗമൂലം കാണാന്‍
ഘനമൂലം കാണാന്‍
ഹരണത്തിന്റെയും വര്‍ഗ്ഗമൂലഗണനത്തിന്റെയും ബുദ്ധിമുട്ടു വിശദീകരിക്കുക മാത്രമായിരുന്നു ഈ ലേഖനത്തിന്റെ ലക്ഷ്യം.
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി ഇവയെക്കാള്‍ ബുദ്ധിമുട്ടുള്ളവയാണു്. ഞാന്‍ ഇന്നലെ ഒന്നു നോക്കി. അവ ഇവിടെ വിശദീകരിച്ചിട്ടു കാര്യമുണ്ടെന്നു തോന്നുന്നില്ല. ഉദാഹരണസഹിതം വിശദീകരിക്കേണ്ടി വരും. ആ സമയം കൊണ്ടു് അദ്ദേഹത്തിന്റെ കുറെക്കൂടി നല്ല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ വിശദീകരിക്കുകയാണു നല്ലതെന്നു തോന്നി.
ഷിജു പറഞ്ഞ വാക്യം “ഏറ്റവും ഇടത്തെ ഗണത്തിലുള്ള സംഖ്യയെക്കാള്‍” എന്നു തിരുത്താം. നന്ദി.
ഷിജു അലക്സ്‌ | 09-Aug-06 at 1:39 pm | Permalink
എല്ലാം ഒന്ന് Refresh ചെയ്യേണ്ട കാലം അതിക്രമിച്ചിരിക്കുന്നു. കണക്കിലെ പല കളികളും മറന്ന്‌ പോയിരിക്കുന്നു. ഊമേഷേട്ടന്റെ ലേഖനങ്ങള്‍ ഞങ്ങള്‍ക്ക്‌ എന്തൊക്കെ അറിയില്ല എന്നത്‌ വെളിപ്പെടുത്തുന്നു.
അരവിന്ദന്‍ | 11-Aug-06 at 10:22 am | Permalink
…എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു രീതിയും അതിലുണ്ടു്. ആര്‍ക്കെങ്കിലും അവ എങ്ങനെയെന്നു് അറിയണമെന്നു് ആഗ്രഹമുണ്ടെങ്കില്‍ വേറേ ഒരു പോസ്റ്റായി ഇടാം”
ഇടൂ ഉമേഷ്ജി ഇടൂ…
skumar | 27-Aug-06 at 8:38 am | Permalink
Hai sir,
I am sorry to take this place for posting this subject here. I didnt find your personal id. i am very sorry to do this.
Icreate a blog named paappidam.blogspot.com.I am a very new person in blogging. So i need your help to modify and make it more usefull to others. At present i am facing a problem how to edit template and add links for each tittle.eg, I have 10 differnt titles about a house. I want to list it in left side and give links for each tittle. ( if i click on nadumuttam tittle it will lead to that topic).
please help me
regards
skumar
പ്രകാശ് | 30-Mar-09 at 9:43 am | Permalink
hello skumar please give your email id to me so that we may try to solve ur problems policeachan@gmail.com