Gurukulam | ഗുരുകുലം

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി ഒരിക്കലെങ്കിലും കളിച്ചിട്ടില്ലാത്തവർ ചുരുക്കമായിരിക്കും. ഇതു കേരളത്തിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങി നിൽക്കുന്ന കളിയല്ല. ലോകത്തിൽ മിക്ക സ്ഥലങ്ങളിലും ഇതിന്റെ വകഭേദങ്ങൾ റാൻഡമായി ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കുട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഇസ്രയേലിൽ റഷ്യൻ ജൂതക്കുട്ടികൾ ഈ കളി കളിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടു് ഡാലി ഫോട്ടോ സഹിതം ഇട്ട കുട്ടികളികൾ (കുട്ടികളികൾ അല്ല ഡാലീ, കുട്ടിക്കളികൾ. ദ്വിത്വസന്ധി!) ആണു് മലയാളം ബ്ലോഗിൽ ഈ കളിയെപ്പറ്റി വന്ന ആദ്യത്തെ വിശദമായ പോസ്റ്റ്. അതിനു കിട്ടിയ കമന്റുകളിൽ നിന്നു പ്രചോദിതയായ ഡാലി പിന്നീടു് ‘അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി’ കളികൾ എന്നും ഒരു പോസ്റ്റെഴുതി. പിന്നീടു മഷിത്തണ്ടിൽ വന്ന അത്തള പിത്തള തവളാച്ചിയും വിക്കിച്ചൊല്ലുകളിൽ ചേർക്കാനുള്ള അനൂപിന്റെ നിർദ്ദേശവും ഇതുപോലെയുള്ള വായ്ത്താരികൾ ധാരാളം നൽകി. എല്ലാവർക്കും നന്ദി.

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ പോസ്റ്റിനു് രണ്ടു മാസം മുമ്പു് എഴുതിയ പോസ്റ്റാണു് ഇതു്. ഡാലിയുടെ പോസ്റ്റുകളിലെയും അവയുടെ കമന്റുകളിലെയും വിവരങ്ങൾ ചേർത്തു് പോസ്റ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യാം എന്നു കരുതി നീട്ടിവെച്ചു. ആ നീട്ടിവെയ്പ്പു് ഒന്നരക്കൊല്ലത്തിലധികം നീളും എന്നു കരുതിയില്ല.

ഇതിൽ ആദ്യം ചേർത്ത വായ്ത്താരികൾ കുറേപ്പേർക്കു് ഈമെയിലയച്ചു കിട്ടിയ മറുപടികളിൽ നിന്നാണു ശേഖരിച്ചതു്. ഇതിലെ വായ്ത്താരികള്‍ അയച്ചു തന്ന അനില്‍, കണ്ണൂസ്, കല്യാണി, തുളസി, ദില്‍ബാസുരന്‍, പച്ചാളം, ബിന്ദു, ബിരിയാണിക്കുട്ടി, മഞ്ജിത്ത്, രാജേഷ് വര്‍മ്മ, ശ്രീജിത്ത്, സന്തോഷ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, സിബു എന്നിവര്‍ക്കു നന്ദി. (ഇവരൊക്കെ ഇതു മറന്നുപോയിട്ടുണ്ടാവും. 2007 ഫെബ്രുവരിയിലാണു സംഭവം!)

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ ഈ കളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന വായ്ത്താരികൾക്കെല്ലാം ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടെന്നു കാണാം.

കുറേ കുട്ടികൾ തങ്ങളുടെ രണ്ടു കൈകളും (എണ്ണുന്ന ആൾ മാത്രം ഒരു കൈ) തറയിൽ കമഴ്ത്തി വെച്ചാണു കളി തുടങ്ങുക. ഏതെങ്കിലും ഒരു കൈയിൽ നിന്നു് എണ്ണിത്തുടങ്ങും. അവസാനത്തെ വാക്കു് നിൽക്കുന്ന കൈ മലർത്തിവെയ്ക്കും. മലർന്നിരിക്കുന്ന കൈയിലാണു വാക്കെത്തുന്നതെങ്കിൽ ആ കൈ കളിയിൽ നിന്നു മാറ്റും. അടുത്ത എണ്ണം തുടങ്ങുന്നതു് ആ കൈയുടെ പിന്നിലുള്ള കൈയിലാണു്. കളിയിൽ നിന്നു മാറിയ കൈകളെ പിന്നീടു കളിയിൽ ചേർക്കില്ല. അങ്ങനെ അവസാനം ഒരു കൈ ബാക്കി വരും.

ഈ കളി കളിച്ചിട്ടുള്ളവരെല്ലാം ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. എല്ലാ കൈകളും മലർന്നതിനു ശേഷമേ സാധാരണയായി ഒരു കൈ കളിക്കു പുറത്തു പോകാറുള്ളൂ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എല്ലാ കൈകളും മലർക്കുന്നതു വരെ വായ്ത്താരി തീരുന്നതു് ഒരു കമഴ്ന്ന കൈയിൽ ആയിരിക്കും. കുട്ടികളുടെ(കൈകളുടെ) എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു മിക്കപ്പോഴും ശരിയായിരിക്കും.

ഈ പ്രത്യേകത മൂലം ഇത്തരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഏകദേശം റാൻഡമായി, എന്നാൽ എല്ലാവർക്കും തുല്യമായ അവസരം കൊടുത്തു്, ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണമായി, ഒരു കൂട്ടായ്മയിൽ അടുത്ത പാട്ടു പാടേണ്ടതു് ആരാണെന്നു തീരുമാനിക്കാൻ. എല്ലാവരും പാടിക്കഴിഞ്ഞേ ആദ്യം പാടിയ ആൾക്കു വീണ്ടും അവസരം ലഭിക്കൂ.

ഇതെങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും ആലോചിച്ചിട്ടുണ്ടോ? ഇതിന്റെ ഉള്ളുകള്ളി മനസ്സിലാക്കാൻ അല്പം നമ്പർ തിയറിയുടെ സഹായം വേണ്ടി വരും.

ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു് വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണവും കുട്ടികളുടെ എണ്ണവും തമ്മിൽ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യം (Relatively prime/Coprime) ആകുമ്പോഴാണു്.

ഉദാഹരണത്തിനു്, ഒരു വായ്ത്താരിയ്ക്കു് 9 വാക്കുകളുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടേ. ഏഴു കുട്ടികൾ/കൈകൾ ഉള്ള ഒരു കളിയിൽ ആദ്യം രണ്ടാമത്തെ കൈ മലർക്കും. പിന്നെ 4, 6, 1, 3, 5, 7 എന്നീ കൈകളും. ഒമ്പതും ഏഴും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളായതു കൊണ്ടാണു് ഇതു്. അതേ സമയം, ആറു കുട്ടികളേയുള്ളെങ്കിൽ 3, 6 എന്നീ കൈകൾ മലർന്നതിനു ശേഷം ബാക്കി കൈകൾ മലർത്തുന്നതിനു മുമ്പു് വീണ്ടും മൂന്നിൽത്തന്നെ എത്തും. ഒമ്പതും ആറും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളല്ലാത്തതു കൊണ്ടാണു് (രണ്ടിനെയും 3 കൊണ്ടു ഹരിക്കാം.) ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു്.

ഇനി, കുട്ടികളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു സംഭവിക്കാൻ എന്താണു വഴി? മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യകളോടും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യമായ ഒരു സംഖ്യ വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണമായി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി. അതിനു് ഏറ്റവും നല്ല വഴി ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ (Prime number) തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണു്.

പറഞ്ഞു വന്നതു്, അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ നല്ല വായ്ത്താരികൾക്കും ഉള്ള ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും എന്നാണു്. അഭാജ്യസംഖ്യകൾ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,… എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു. വായ്ത്താരികളിലെ ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇവയിൽ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും.

വിശ്വസിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? നമുക്കറിയാവുന്ന വായ്ത്താരികളൊക്കെ ഒന്നു പരിശോധിച്ചു നോക്കാം. നിർത്തുന്ന ഭാഗങ്ങൾ ഒരു വര (-) കൊണ്ടു കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ബ്രായ്ക്കറ്റിലും.

1. അത്തിള്‍-ഇത്തിള്‍-പറങ്കി-പ്പാള-ചട്ടുമ-ചിട്ടുമ-ചള്‍ (7)
2. അത്തിളി-മുത്തളി-പറങ്കീ-താളി-സെറ്റുമ്മ-സെറ്റുമ്മ-സാ (7)
   ഇതു മുകളില്‍ കൊടുത്തതു തന്നെയാണെന്നു തോന്നുന്നു.
3. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താനവ-രുമ്പം-
   കല്ലേ-ക്കുത്ത് ക-രിങ്കു-ത്ത്-
   അക്കര-നിക്കണ-ചക്കി-പ്പെണ്ണിന്റെ-
   കയ്യോ-കാലോ-അടിച്ചൊ-ടിച്ച് -വാ. (17)
4. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താന വ-രമ്പേല്‍-
   കല്ലേ-ക്കുത്തു ക-ടുംകു-ത്ത്‌
   ചീപ്പു-വെള്ളം-താറാ-വെള്ളം-
   താറാ-മ്മക്കടെ-കയ്യേ-ലൊരു-
   വാങ്ക്‌ (17)
5. അത്തള-പിത്തള-തവളാ-ച്ചി-
   മുക്കിലി-രിക്കണ -ചൂലാ-പ്പ്‌-
   മറിയം-വന്ന് വി-ളക്കൂ-തി
   ഉണ്ടോ-മാണി-സാറാ-പീറാ-കോട്ട്‌. (17)
6. അരിപ്പോ-തിരിപ്പോ-
   പന്ത്ര-ണ്ടാനേം-
   ചക്കിട്ട-പൊക്കിട്ട-
   പതിനാം-വള്ളികെ-ന്തൂമ്പു?-
   മുരിക്കിന്‍ -പു (11)
7. മുരിക്കീലൊ-രിക്കി കെ-ടന്നോ-നെ-
   കൊങ്ങാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ-നെ-
   അത്തര-മുള്ളൊരു -മാട-പ്രാ-വിന്റെ-
   കയ്യൊ-കാലോ-ചെത്തി-കൂട്ട് മ-ടംകൂ-ട്ട് (19)
8. പരിപ്പു -കുത്തി- പാച്ചോ-റാക്കി
   ഞാനു-മുണ്ട് -സീതേ-മുണ്ട് –
   സീ‍തേ-ടപ്പന്റെ- പേരെന്ത് (11)
9. inki -pinki -ponki-
   uncle -has a -donkey-
   donkey – died -uncle – cried-
   inki -pinki -ponki (13)
10. uncle – called the – doctor
    doctor -called the – nurse
    nusre – called the – ambu – lance
    A – B – C (13)
11. Eena, – meena, – mina, – mo, –
    Catch a – tiger – by his – toe. –
    If – he – squeals, – let ‘im – go, –
    Eena, – meena, – mina, – mo. (17)

    ഈ പാട്ടിനു് അതിഭീകരമായ ഒരു ചരിത്രമുണ്ടു്.

    Eena, meena, mina, mo,
    Catch a nigger by his toe;
    If he squeals, let him go,
    Eena, meena, mina, moe

    എന്നായിരുന്നു ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രൂപം.

12. Ring – around the – ro – sey-
    A pocket – full of – po – sies –
    Ashes, – ashes –
    We all – fall – down (13)
13. അഡുപ്പും – തിഡുപ്പും –
    പാദര-പ്പള്ളില്‍-
    ബാങ്ക്‌ – കൊടുക്കും –
    ഏനുപ്പു? (7)
14. ഞാ-നൊ-രു-മ-നു-ഷ്യ-നെ- ക-ണ്ടു
    അ-യാ-ളു-ടെ-നി-റം-എ-ന്ത്?
    പ-ച്ച. (17)
15. ഒന്ന്, – രണ്ട്, – മൂന്ന്, – നാല് –
    അഞ്ച്, – ആറു്, – ഏഴ്, – എട്ട് –
    എട്ടും – മുട്ടും – താമര – മൊട്ടും –
    വടക്കോ-ട്ടുള്ള – അച്ഛനു-മമ്മയും
    പൊ-ക്കോ-ട്ടെ. (19)
16. അത്തിള്‍ – ഇത്തിള്‍ – ബെന്തി-പ്പൂ
    സ്വര്‍ഗ – രാജാ – പിച്ചി-പ്പൂ
    ബ്ലാം – ബ്ലീം – ബ്ലൂം (11)
17. അരിപ്പോ – തിരിപ്പോ – തോരണി – മംഗലം –
    പരിപ്പൂ – പന്ത്ര – ണ്ടാനേം – കുതിരേം –
    കുളിച്ച് – ജപിച്ച് – വരുമ്പം –
    എന്തമ്പൂ? മുരിക്കുമ്പൂ! (13)
18. മുരിക്കി – ചെരിക്കി – കെടന്നോ – ളേ
    അണ്ണാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ – ളേ
    അക്കര – നിക്കണ – മാട – പ്രാവിന്റെ –
    കയ്യോ – കാ‍ലോ – രണ്ടാ – ലൊന്ന് –
    കൊത്തി – ച്ചെത്തി –
    മടം കാട്ട് (19)
19. അരിപ്പ – തരിപ്പ – താലി – മംഗലം –
    പരിപ്പു – കുത്തി – പഞ്ചാ -രെട്ട്
    ഞാനു – മെന്റെ – ചിങ്കിരി – പാപ്പന്റെ
    പേരെന്ത്??? (13)

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ഓരോരുത്തരായി പുറത്തായി അവസാനം ശേഷിക്കുന്ന ആൾ ജയിക്കുമല്ലോ. എവിടെ നിന്നാൽ ഈ അവസാനത്തെ ആൾ ആകാം എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി അറിയാമെങ്കിൽ എപ്പോഴും ജയിക്കാമല്ലോ. അതിനു് എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?

വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 2 ആയാലുള്ള (അതായതു്, ഒന്നിടവിട്ട ആളുകളെ ഒഴിവാക്കിയാൽ) സ്ഥിതിയെപ്പറ്റി ധാരാളം പഠനങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം 1, 2, 3, 4, …. എന്നിങ്ങനെ ആയാൽ അവസാനം അവശേഷിക്കുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ (ഇവിടെ ഒന്നു തൊട്ടാണു് എണ്ണുന്നതു്) 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, …. എന്നിങ്ങനെ ആയിരിക്കും.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാൻ മറ്റൊരു എളുപ്പവഴിയുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തെ ദ്വയാങ്കരീതിയിൽ (binary system) എഴുതുക. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ബിറ്റുകളെ ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം ചാക്രികമായി നീക്കുക (cyclic bit shift). കിട്ടുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഒടുക്കം വരുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ.

ഉദാഹരണമായി, നമ്മുടെ വായ്ത്താരി “അടി, ഇടി” എന്നാണെന്നിരിക്കട്ടേ. “ഇടി” എന്നു പറഞ്ഞു തൊടുന്ന ആൾ പുറത്താകും. ഈ കളി പതിനായിരം കുട്ടികൾ കളിച്ചാൽ ആരു് അവസാനം അവശേഷിക്കും?

10000 എന്ന സംഖ്യ ബൈനറിയിൽ എഴുതിയാൽ 10011100010000. ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം സൈക്ലിക് ബിറ്റ്-ഷിഫ്റ്റ് നടത്തിയാൽ ഏറ്റവും ഇടത്തേ 1 ഏറ്റവും വലത്തു പോകും. അതായതു് 00111000100001 അഥവാ 111000100001. ഇതു് 3617 എന്ന ദശാംശസംഖ്യയ്ക്കു തുല്യമായ ദ്വയാങ്കസംഖ്യയാണു്. അതായതു് ഈ കളിയിൽ 3617-)ം സ്ഥാനത്തു നിൽക്കുന്ന കുട്ടിയായിരിക്കും ജയിക്കുക.

വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു കണക്കുകൂട്ടാൻ ഇതുപോലെ സരളമായ ഒരു രീതി ഇതു വരെ ആരും കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം k എന്നും വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം v എന്നും ഇരിക്കട്ടേ. അപ്പോൾ ഒന്നു തൊട്ടെണ്ണിയാൽ എന്ന കുട്ടി ആദ്യം പുറത്താകും. എന്ന കുട്ടി രണ്ടാമതും. ഇങ്ങനെ അവശേഷിക്കുന്ന ആളെയാണു് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്. നമുക്കു് അയാളുടെ നമ്പറിനെ എന്നു വിളിക്കാം.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം (formula) ഒന്നും ആരും ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, constant time algorithms ഒന്നുമില്ല.

നമ്മൾ സാധാരണ ചെയ്യുന്നതുപോലെ ചെയ്തുനോക്കാം. എണ്ണിത്തന്നെ. എണ്ണി ഓരോരുത്തരെ ഒഴിവാക്കുന്നതിനു പകരം ഓരോ റൌണ്ടിലും ഒഴിവാക്കേണ്ടവരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കിയിട്ടു് (ഉദാഹരണമായി, v = 11 ആണെങ്കിൽ, 11, 22, 33, … എന്നീ നമ്പരുകാരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കുക.) അതിനു ശേഷം എല്ലാവർക്കും പുതിയ നമ്പരുകൾ കൊടുക്കുക. ഇതു് O(v.(log k)) സമയത്തിനുള്ളിൽ ചെയ്യാം. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഇതുതന്നെ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴി.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കുറവും വാക്കുകളുടെ എണ്ണം കൂടുതലുമാണെങ്കിൽ O(k) സങ്കീർണ്ണതയുള്ള ഒരു അൽഗരിതം ഉണ്ടു്. താഴെക്കൊടുക്കുന്ന ആവർത്തക-ഏകദം (recurrence relation) ഉപയോഗിച്ചു ക്രമമായി കണക്കുകൂട്ടുന്നതു്.

ഇവിടെ കുട്ടികളെ 0, 1, …, (k-1) എന്നു് എണ്ണണം.

ഉദാഹരണമായി, വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 11 ആണെന്നിരിക്കട്ടേ. അതായതു്, v = 11.

എന്നിങ്ങനെ. അതായതു് 6 കുട്ടികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ തുടങ്ങുന്ന കുട്ടി മുതൽ നാലാമതു് (3 എന്നാണു് മുകളിൽ ഉത്തരം. പക്ഷേ നമ്മൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്നാണു് എണ്ണൽ തുടങ്ങുന്നതു് എന്നു് ഓർക്കുക.) നിൽക്കുന്ന ആളായിരിക്കും ജയിക്കുക എന്നർത്ഥം. ഒരേ വായ്ത്താരി തന്നെയാണു നമ്മൾ എപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിൽ അതിന്റെ പട്ടിക നേരത്തേ ഉണ്ടാക്കി അതിനനുസരിച്ചു നിന്നു് എപ്പോഴും ജയിക്കാം.

ജോസഫസ് പ്രശ്നം (Josephus Problem) എന്നാണു് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നതു്. ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഫ്ലേവിയസ് ജോസഫസ് എന്ന ജൂതചരിത്രകാരനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു കഥയിൽ നിന്നാണു് ഈ പേരുണ്ടായതു്. അന്നു റോമക്കാർ ജൂതന്മാരെ കൂട്ടമായി വേട്ടയാടുന്ന കാലമാണു്. ജോസഫസ് ഉൾപ്പെടെ 41 പേർ ഒരു ഗുഹയിൽ പെട്ടുപോയി. ചുറ്റും റോമൻ പട്ടാളവും. കീഴടങ്ങലിനേക്കാൾ ഭേദം ആത്മഹത്യയാണെന്നു തീരുമാനിച്ച ജൂതർ ഒരു വൃത്തത്തിൽ നിൽക്കാനും ജീവനോടെ നിൽക്കുന്ന ഓരോ മൂന്നാമത്തെ ആളെയും ബാക്കിയുള്ളവർ ചേർന്നു കൊല്ലാനും തീരുമാനിച്ചു. എങ്ങനെയെങ്കിലും രക്ഷപ്പെടണമെന്നുണ്ടായിരുന്ന ജോസഫസ് തന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപാടവം കൊണ്ടു് അവസാനം വരുന്ന ആൾ മുപ്പത്തൊന്നാമനായിരിക്കും എന്നു കണക്കുകൂട്ടി അവിടെ ആദ്യം തന്നെ ചെന്നു നിന്നു് മരണത്തിൽ നിന്നു രക്ഷപ്പെട്ടു എന്നാണു് ഐതിഹ്യം.

കണ്ടോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മാഹാത്മ്യം! ചുമ്മാതാണോ ആടുതോമയുടെ അച്ഛൻ തിലകൻ പറഞ്ഞതു് ലോകം മുഴുവൻ മാത്തമാറ്റിക്സാണെന്നു്!

ജോസഫസ് പ്രശ്നത്തെപ്പറ്റി കൂടുതലറിയാൻ വിക്കിപീഡിയയോ വൂൾഫ്രം മാത്ത് വേൾഡോ വായിക്കുക.

19 വാക്കുകളുള്ള ഒരു വായ്ത്താരിയുപയോഗിച്ചൂ് പതിനായിരം കുട്ടികൾ അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി കളിച്ചാൽ അവസാനം ആരു ജയിക്കും എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി പറയാൻ കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കാതെ ഇന്നും ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്നു ചുരുക്കം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാത്ത അനേകം കാര്യങ്ങൾ ഇനിയുമുണ്ടെന്നു മനസ്സിലായില്ലേ? നമ്മുടെ അത്തളപിത്തളക്കളി ആളു പുലിയാണെന്നും!

ഇതെങ്ങനെ ജോസഫസ് കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നാണു് എന്റെ സംശയം. അങ്ങേർ 41 കല്ലുകൾ വട്ടത്തിൽ വെച്ചു് ഓരോന്നും എടുത്തുകളഞ്ഞു് ഏതു് അവസാനം വരും എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചുകാണും. ഒരു പക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്രം പരാജയപ്പെടുന്നിടത്തു് സിമുലേഷൻ ജയിക്കും എന്നതിന്റെ ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണം ആവാം അതു്. കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ പ്രചാരത്തോടെ ഇന്നു് പല പ്രശ്നങ്ങളും ഇങ്ങനെ ശുദ്ധഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സും സിമുലേഷനും ഉപയോഗിച്ചു് നിർദ്ധരിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഒരു തവണ ഒരാളെ ‘റാൻഡം’ ആയി കണ്ടുപിടിക്കാനും കുട്ടികൾ ഇതുപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. (അമേരിക്കയിൽ “ഈനാ, മീനാ…” വായ്ത്താരിയാണു് ഇങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടുള്ളതു്.) ഇത്തരം ആവശ്യങ്ങൾക്കു് വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യയാകണമെന്നു നിർബന്ധമില്ല.

കൃത്യമായി ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയ്ക്കു ശേഷം സംഭവിക്കുന്ന ഇതിനെ റാൻഡം എന്നു വിളിക്കാനും പറ്റില്ല. എങ്കിലും റാൻഡം നമ്പർ (റാൻഡം നമ്പറാഭാസം എന്നു പറയണം –pseudo-random number) ഉണ്ടാക്കാനുള്ള ഒരു വഴി ഈ അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി തന്നെയാണെന്നതാണു സത്യം.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ആളുകൾ പുറത്താകുന്നില്ല എന്നു കരുതുക. v വാക്കുകളും k കുട്ടികളും (0 മുതൽ k-1 വരെ നമ്പരുകൾ) ഉള്ള കളിയിൽ ഓരോ തവണയും ഏതു കുട്ടിയാണെന്നു നോക്കാം.

എന്നിങ്ങനെ. ചുരുക്കത്തിൽ

ഇതിനെ അല്പം കൂടി ഭേദപ്പെടുത്തിയാൽ, അതായതു് വലത്തുവശത്തെ ആദ്യത്തെ പദത്തെ ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ, താഴെപ്പറയുന്ന രീതി കിട്ടും.

ഇതു തന്നെയാണു് മിക്കവാറും സോഫ്റ്റ്‌വെയറുകളിലും റാൻഡം നമ്പർ ഉണ്ടാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ലീനിയർ കോൺഗ്ര്വെൻഷ്യൽ (Linear congruential) രീതി. a എന്ന സംഖ്യയ്ക്കു ചില പ്രത്യേകതകൾ ഉണ്ടെന്നു മാത്രം. സാധാരണയായി k, v എന്നിവ അഭാജ്യസംഖ്യകളായിരിക്കും.

അക്കുത്തിക്കുത്തു കളിക്കു് ഇത്രയധികം ഗണിതശാസ്ത്രപ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നു് ആരെങ്കിലും കരുതിയോ?

ഇത്രയും പറഞ്ഞതിൽ‌നിന്നു് അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് നമ്പർ തിയറിയിലെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ അറിവുണ്ടായിരുന്നു എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ? ആ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പ്രസ്താവിച്ചു തെളിയിച്ചവരല്ല, അക്കുത്തിക്കുത്തു വായ്ത്താരി പോലെയുള്ളവ ഉണ്ടാക്കിയവരാണു യഥാർത്ഥത്തിൽ ആ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാക്കൾ എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ?

സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പൈതൃകത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അവകാശവാദങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഈ വിധത്തിലാണു് പോകുന്നതു്. അങ്ങനെയാണു് പിംഗളൻ ബൈനോമിയൽ തിയറം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും വേദങ്ങളിൽ കാൽക്കുലസ് ഉണ്ടാകുന്നതും വാല്മീകിയുടെ കാലത്തു വിമാനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും മറ്റും.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നവർ ആവർത്തിക്കാതെ കഴിയുന്നത്ര വിതരണം ചെയ്തു പോകണമെന്നുണ്ടായിരുന്നു. ചില എണ്ണങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതും ചിലവ ആവർത്തിക്കാതിരിക്കുന്നതും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവാം. അങ്ങനെ പലതു ശ്രമിച്ചിട്ടാവാം ഇന്നു പ്രചാരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഉണ്ടായതു്. അല്ലെങ്കിൽ, വായ്ത്താരികളിൽ നിന്നു് ഈ പ്രത്യേകത ഉള്ളവ മാത്രം പ്രചാരത്തിലായി എന്നുമാവാം. അവയ്ക്കും അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ആരും ശ്രദ്ധിച്ചു കാണില്ല. അതുകൊണ്ടാണു് ആരും ഇതുവരെ അതിനെപ്പറ്റി എഴുതി വെയ്ക്കാഞ്ഞതു്.

മറിച്ചു്, സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടാക്കിയവർ അതു് ഒരു ദിവസം കൊണ്ടു് ഉണ്ടാക്കിയതല്ല. (ആപ്പിൾ തലയിൽ വീണപ്പോൾ പെട്ടെന്നു ബോധോദയം ഉണ്ടായി ന്യൂട്ടൻ ഗുരുത്വാകർഷണനിയമം ഉണ്ടാക്കി എന്ന കള്ളക്കഥയാണല്ലോ നമുക്കു കൂടുതൽ പരിചയം!) അക്കുത്തിക്കുത്തു കളികൾ പോലെ നാട്ടിൽ പ്രചരിക്കുന്ന പല കളികളുടെയും പ്രസ്താവനകളുടെയും പസിലുകളുടെയും ഉള്ളുകള്ളികളിലേയ്ക്കു ചുഴിഞ്ഞാലോചിച്ചവർ അവരുടെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും പിന്നീടു വന്നവർ അവയെപ്പറ്റി കൂടുതൽ പഠിച്ചു് സിദ്ധാന്തങ്ങളാക്കി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തതാവാം. നൂറ്റാണ്ടുകൾ നീണ്ടുനിന്ന ശാസ്ത്രവികാസത്തിന്റെ ക്രെഡിറ്റ് “അമ്പത്താറു്” കളിയിൽ അവസാനം വിളിച്ചുനിർത്തുന്നവൻ മാത്രം കുണുക്കിറക്കുന്നതു പോലെ അവസാനത്തെ കുരുക്കഴിച്ചവന്റെ പേരിൽ മാത്രം പതിയുന്നു എന്നു മാത്രം. കാൽക്കുലസ് കണ്ടുപിടിച്ച ന്യൂട്ടൻ/ലൈബ്നിറ്റ്സും ഫെർമയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ച വെയിൽ‌സും ഇതിനു് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം.

ഞാൻ മലയാളം ബ്ലോഗിംഗു തുടങ്ങിയിട്ടു് നാലു വർഷം തികയുന്നു. 2005 ജനുവരി 19-നെഴുതിയ ആദ്യ പോസ്റ്റ്. ഇതു് ഇരുനൂറ്റിമുപ്പത്തേഴാമത്തെ പോസ്റ്റ്. അതായതു്, ഏകദേശം ആറു ദിവസത്തിൽ ഒരു പോസ്റ്റു വീതം. അനോണി ആന്റണി, ബെർലി, നമതു് തുടങ്ങിയവരെ അപേക്ഷിച്ചു നോക്കുമ്പോൾ ഒന്നുമല്ലെങ്കിലും ഇത്രയും നാൾ വലിയ മുടക്കമില്ലാതെ എഴുതാൻ കഴിഞ്ഞതിൽ സന്തോഷം.