Gurukulam | ഗുരുകുലം

ചില കാര്യങ്ങളെപ്പറ്റി എല്ലാവര്‍ക്കും അറിയാം. പക്ഷേ മിക്കവര്‍ക്കും അവയെപ്പറ്റി കാര്യമായ ഗ്രാഹ്യമൊന്നും ഉണ്ടാവില്ല. അദ്വൈതം, ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തം, വൈരുദ്ധ്യാത്മകഭൌതികവാദം, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്, ടൈം മെഷീന്‍, ഗൂഗിള്‍ പേജ് റാങ്കിംഗ്, ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി, മനുസ്മൃതി, ഭഗവദ്ഗീത, വേദാന്തം, വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ്, ചോംസ്കിയുടെ ഭാഷാശാസ്ത്രം, ജ്യോതിഷം, വാസ്തുവിദ്യ തുടങ്ങിയവ ഇങ്ങനെയുള്ള ചില സംഭവങ്ങളാണു്. കേട്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ചുരുങ്ങും. എന്നാല്‍ കേട്ടവരില്‍ ഭൂരിപക്ഷത്തിനും എന്താണു സംഭവം എന്നു വലിയ പിടിയൊന്നും ഉണ്ടാവില്ല. പക്ഷേ തിരിച്ചും മറിച്ചും അവയെപ്പറ്റി വാചകമടിക്കാന്‍ യാതൊരു മടിയുമില്ല താനും.

ഇങ്ങനെയുള്ള അറിവുകളില്‍ പ്രമുഖസ്ഥാനത്തു നില്‍ക്കുന്നു പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം. പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരാണെന്നു് ഏതു കൊച്ചുകുട്ടിയ്ക്കുമറിയാം. എന്നാല്‍ എന്താണു് ഈ കണ്ടുപിടിത്തം കൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്, അല്ലെങ്കില്‍ മുമ്പില്ലാത്ത എന്താണു് ഭാരതീയര്‍ പൂജ്യത്തെ സംബന്ധിച്ചു കണ്ടുപിടിച്ചതു്, ഏകദേശം ഏതു കാലത്താണു് ഈ കണ്ടുപിടിത്തം ഉണ്ടായതു് തുടങ്ങിയവയെപ്പറ്റി ഭൂരിഭാഗം ആളുകള്‍ക്കും കാര്യമായ വിവരം ഇല്ല എന്നതാണു സത്യം.

പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ടു കിടക്കുന്ന മറ്റൊന്നാണു് സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം (place-value decimal system). 0 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള പത്തു് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു് ഏതു സംഖ്യയെയും എഴുതുന്ന വിദ്യ. ഇതു് ഭാരതത്തില്‍ പ്രയോഗത്തിലായപ്പോഴേയ്ക്കും ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ആറാം നൂറ്റാണ്ടെങ്കിലും ആയിക്കാണും എന്നതാണു് ഇവിടെ പറയാന്‍ പോകുന്നതിലെ കാതലായ ഒരു കാര്യം. (ഇതു പൂര്‍ത്തിയാക്കിയതു് അറബികളാണു്. അതിനെപ്പറ്റി വഴിയേ.)

സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായവും ദശാംശസമ്പ്രദായവും തമ്മിൽ തെറ്റരുതു്. പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സംഖ്യാസമ്പ്രദായമാണു് ദശാംശസമ്പ്രദായം. ലോകത്തു പലയിടത്തും, ഭാരതത്തിലുൾപ്പെടെ, ഈ സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായിരുന്നു. (ഏകം, ദശം, ശതം,… തുടങ്ങിയ പേരുകളും ഉണ്ടായിരുന്നു ഭാരതത്തിൽ.) മനുഷ്യന്റെ രണ്ടു കൈകളിലും കൂടിയുള്ള പത്തു വിരലുകൾ ഉപയോഗിച്ചു് എണ്ണാൻ തുടങ്ങിയതു കൊണ്ടാണു് ഇതു സംഭവിച്ചതു് എന്നാണു് ഒരു തിയറി.

പത്തു കൂടാതെ പന്ത്രണ്ടു്, പതിനാറു്, ഇരുപതു്, അറുപതു് എന്നിങ്ങനെ പല സംഖ്യകളും എണ്ണലിന്റെയും അളവിന്റെയും അടിസ്ഥാനമായുണ്ടു്. പക്ഷേ ഇവയിലൊക്കെ വലിയ സംഖ്യകളോ അളവുകളോ വരുമ്പോൾ പുതിയ അളവുകൾ/ചിഹ്നങ്ങൾ വേണ്ടി വരുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ചിഹ്നങ്ങളെക്കൊണ്ടു് ഏതു വലിയ സംഖ്യയെയും എഴുതാൻ പറ്റുന്ന സമ്പ്രദായമാണു സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം. സ്ഥാനമനുസരിച്ചു് ചിഹ്നങ്ങളുടെ വില വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന രീതി. അതിനു് ഒരു സ്ഥാനത്തു ചിഹ്നമില്ലെന്നു കാണിക്കാൻ പൂജ്യം ഉണ്ടായേ തീരൂ.

ആദ്യമായി പറയട്ടേ, നാം ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന രീതി കൃത്രിമമാണു്. വളരെ നൂറ്റാണ്ടുകൊണ്ടു് മനുഷ്യന്‍ കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു സുപ്രധാനമായ രീതിയാണു് അക്കങ്ങള്‍ക്കു സ്ഥാനമനുസരിച്ചു വിവിധവിലകള്‍ കൊടുത്തു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഈ രീതി. വലിയ സംഖ്യകളെക്കൊണ്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ അത്യന്താപേക്ഷിതമായപ്പോഴാണു് മനുഷ്യന്‍ ഈ രീതി ഉണ്ടാക്കിയതു്. സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ മാത്രം സ്വാഭാവികമായി (natural) ഇങ്ങനെയൊരു രീതി ഒരിക്കലും ഉണ്ടാവില്ല.

വിശ്വസിക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? വളരെ ചെറുപ്പത്തിലേ ഇതു നാം പഠിച്ചതുകൊണ്ടു് ഇതിന്റെ ബുദ്ധിമുട്ടു് ഓര്‍മ്മയുണ്ടാവില്ല. നാലഞ്ചു വയസ്സു പ്രായമുള്ള ഒരു കുട്ടിയെ ശ്രദ്ധിക്കൂ. അവനു് സംഖ്യകളെപ്പറ്റി നല്ല വിവരമുണ്ടായിരിക്കും. എണ്ണാന്‍ അറിയാം. ചെറിയ കൂട്ടലുകളും കുറയ്ക്കലുകളും അറിയാം. എങ്കിലും സംഖ്യകള്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോള്‍ അവന്‍ വല്ലാതെ തെറ്റിക്കുന്നതു കാണാം. ഇരുനൂറ്റിമൂന്നു് (Two hundred and three) എഴുതാന്‍ പറഞ്ഞാല്‍ അവന്‍ 2003 എന്നെഴുതും. അതാണു സ്വാഭാവികം‍. “ഈ ചെറുക്കനു് ഇത്രയും സിമ്പിള്‍ ആയ ഒരു കാര്യം എത്ര പറഞ്ഞാലും തലയില്‍ കയറില്ലല്ലോ” എന്നു മക്കളെ ശകാരിക്കുന്ന അച്ഛനമ്മമാരെ ഞാന്‍ ധാരാളം കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. മനുഷ്യന്‍ ഒരു സഹസ്രാബ്ദം കൊണ്ടു നേടിയ അറിവു് ഏതാനും മാസം കൊണ്ടു തലയില്‍ കയറ്റാനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടാണു് അതു്. സ്ഥാനീയരീതി കുട്ടികളെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ നല്ല ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. “പൂജ്യത്തിനു വിലയില്ല. അപ്പോള്‍ നൂറും ലക്ഷവും ഒരുപോലെ അല്ലേ” എന്നും മറ്റും ചിലപ്പോള്‍ മുതിര്‍ന്നവര്‍ തന്നെ തര്‍ക്കിക്കുന്നതു് ഈ രീതിയെപ്പറ്റിയുള്ള വികലധാരണകള്‍ കൊണ്ടാണു്.

സംഖ്യകള്‍ എഴുതേണ്ട ആവശ്യം വന്നപ്പോള്‍ ഒരു എണ്ണത്തിനു പകരം ഒരു വരയോ വട്ടമോ ഇട്ടാണു് ആദ്യം കാര്യം നടത്തിയതു്. ഇങ്ങനെ ഒരുപാടു വരകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടായതിനാല്‍ അഞ്ചോ പത്തോ കൂടുന്ന കൂട്ടത്തെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേകരീതിയില്‍ കാണിച്ചു. (സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കല്‍ എണ്ണലിനു് ഇപ്പോഴും ഈ രീതിയിലുള്ള റ്റാലി മാര്‍ക്കുകള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്.) കൂടുതല്‍ വലിയ സംഖ്യകള്‍ വന്നപ്പോള്‍ വലിയ സംഖ്യകളെ കാണിക്കാന്‍ പുതിയ രീതികള്‍ ഉണ്ടാക്കി. ലോകത്തു പണ്ടുണ്ടായിരുന്ന മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യാലേഖനരീതികളും ഈ രീതിയാണു് അവലംബിക്കുന്നതു്.

ഉദാഹരണമായി എല്ലാവര്‍ക്കും പരിചയമുള്ള റോമന്‍ രീതി എടുക്കാം. ഒന്നിനു് I, അഞ്ചിനു് V, പത്തിനു് X, അമ്പതിനു് L, നൂറിനു് C, അഞ്ഞൂറിനു് D, ആയിരത്തിനു് M എന്നിങ്ങനെ ചിഹ്നങ്ങള്‍ കൊടുത്തു. 1989 എന്നതു് MDCCCCLXXXVIIII എന്നെഴുതും. (കൂട്ടല്‍ കൂടാതെ കുറയ്ക്കലും ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടു് MCMLXXXIX എന്നെഴുതുന്ന സമ്പ്രദായം പിന്നീടുണ്ടായതാണു്.) ഈ രീതി അവര്‍ക്കാവശ്യമുണ്ടായിരുന്ന സംഖ്യകളൊക്കെ എഴുതാന്‍ മതിയായിരുന്നു. വലിയ സംഖ്യകള്‍ എഴുതേണ്ടി വരുമ്പോള്‍ (ഇരുപതിനായിരം എഴുതാന്‍ ഇരുപതു് M എഴുതേണ്ടി വരും. അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കേണ്ടി വരും.) ഇതു പിന്നെയും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. (ആയിരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതു കാണിക്കാന്‍ മുകളില്‍ വരയിടുന്ന സമ്പ്രദായം വളരെ കാലത്തിനു ശേഷം വന്നതാണു്.)

പ്രാചീനഭാരതത്തിലും ഇതേ രീതിയിലുള്ള ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. റോമന്‍ സമ്പ്രദായത്തെ അപേക്ഷിച്ചു് വളരെ കൂടുതല്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു മാത്രം.

ഈ രീതി വളരെ പണ്ടു മാത്രം ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന പ്രാകൃതരീതിയാണെന്നു കരുതരുതു്. ഈ അടുത്ത കാലം വരെയും കേരളത്തിലെ കണക്കപ്പിള്ളമാര്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന നന്നാടിസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റി ദേവരാഗമാണെന്നു തോന്നുന്നു എവിടെയോ എഴുതിയിരുന്നു. ഈ ചിഹ്നങ്ങള്‍ യൂണിക്കോഡ് സ്റ്റാന്‍ഡേര്‍ഡില്‍ ഇപ്പോള്‍ സ്ഥാനം പിടിച്ചിട്ടുണ്ടു് – 5.1-ല്‍.

ഈ രീതിയിലാണു് നാം എഴുതിയിരുന്നെങ്കില്‍ നാലു വയസ്സുകാരന്‍ പയ്യനു് യാതൊരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഉണ്ടാവില്ലായിരുന്നു. ഇരുനൂറ്റിമൂന്നു് എഴുതാന്‍ ഇരുനൂറിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതുക, അതിനു ശേഷം മൂന്നിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതുക. സോ സിമ്പിള്‍!

ഈ രീതി പ്രശ്നമാകുന്നതു് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലാണു്. രണ്ടു റോമന്‍ സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടാനോ ഗുണിക്കാനോ ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ. എഴുത്തില്‍ത്തന്നെ ഇടത്തുവശത്തു കുറയ്ക്കേണ്ട ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഇടാത്ത പഴയ രീതിയാണെങ്കില്‍ കൂട്ടാന്‍ വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല. ഒരേ തരത്തിലുള്ള ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഒന്നിച്ചു വെയ്ക്കുക. അവയുടെ എണ്ണം അഞ്ചാവുമ്പോള്‍ അവ മാറ്റി അവയുടെ തൊട്ടു മുകളിലുള്ള ചിഹ്നം ഒരെണ്ണം വെയ്ക്കുക. വലത്തുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടോ, ഇടത്തു നിന്നു വലത്തോട്ടോ ഏതെങ്കിലും ക്രമത്തിലോ ഇതു ചെയ്യാം എന്നൊരു സൌകര്യമുണ്ടു്.

കുറയ്ക്കല്‍ അല്പം കൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. ഗുണനം പിന്നെയും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചു് ആരെങ്കിലും ഹരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ടോ എന്നു തന്നെ എനിക്കറിയില്ല.

ഇന്നത്തെ രീതിയിലുള്ള സംഖ്യാലേഖനസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഏറ്റവും പഴയ രൂപം ഉണ്ടായതു ബാബിലോണിയയിലാണു്. പത്തിനു പകരം 60-നെ ആധാരമാക്കി എടുത്തിരുന്ന അവര്‍ക്കു് ഒന്നു മുതല്‍ 60 വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ക്കു ചിഹ്നമുണ്ടായിരുന്നു. അറുപത്തൊന്നു് എന്നെഴുതാന്‍ ഒന്നിന്റെ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലത്തുവശത്തു് ഒന്നിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതും. അതായതു് ഇടത്തേ ഒന്നു് അറുപതിനെയും വലത്തേ ഒന്നു് ഒന്നിനെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

3600 വരെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം. അതു കഴിഞ്ഞു് മൂന്നക്കങ്ങളുടെ വരവായി. ഇങ്ങനെ ഈ അറുപതു ചിഹ്നങ്ങളുപയോഗിച്ചു് എത്ര വലിയ സംഖ്യകളെയും എഴുതാം. അങ്ങനെ സ്ഥാനീയസംഖ്യാസമ്പ്രദായം (സ്ഥാനം അനുസരിച്ചു് ഒരേ ചിഹ്നത്തിനു പല വില വരുന്ന രീതി) ആദ്യമുണ്ടാക്കിയവരാണു ബാബിലോണിയക്കാര്‍.

ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ടു്. 61 എന്നു് എങ്ങനെ എഴുതും? രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. 3601 എന്നു് എങ്ങനെ എഴുതും? അതും രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. 3660 എന്നതോ? അതും രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. ഇവയെ തമ്മില്‍ വ്യവച്ഛേദിക്കാന്‍ പൂജ്യം പോലെ ഒന്നും അവര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നില്ല.

അതെങ്ങനെ, അത്ര മണ്ടന്മാരായിരുന്നോ ബാബിലോണിയക്കാര്‍? സത്യം അതല്ല. സംഖ്യകള്‍ അവര്‍ എഴുതിയല്ല സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതു്. കണക്കുകൂട്ടലിലെ ആദ്യത്തെ നാഴികക്കല്ലായ മണിച്ചട്ടം (Abacus) കണ്ടുപിടിച്ചവരാണു് അവര്‍. (മണിച്ചട്ടം കണ്ടുപിടിച്ച കാലത്തു് ബാബിലോണിയ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. എങ്കിലും സുമേറിയൻ എന്നു വിളിക്കുന്ന ആ സംസ്കാരത്തിലാണു് മണിച്ചട്ടത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം.) കണക്കുകൂട്ടലിനായി അവര്‍ സംഖ്യകള്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതു് മണിച്ചട്ടത്തിലായിരുന്നു. മണിച്ചട്ടത്തില്‍ ഓരോ സ്ഥാനത്തിനും ഓരോ വരി മുത്തുകള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഒരു വശത്തേയ്ക്കു നീക്കുന്ന മുത്തുകള്‍ ആ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇടയ്ക്കു് ഒരു വരിയില്‍ മുത്തുകള്‍ നീക്കിയിട്ടില്ലെങ്കില്‍ അതു കൂട്ടേണ്ടാ. ഈ രീതിയില്‍ 61, 3601, 3660 എന്നിവ വ്യത്യസ്തം തന്നെയാണു്. കണക്കുകൂട്ടലിനെ അതു ബാധിക്കുന്നില്ല.

ഇവിടെ മുത്തുകള്‍ നീക്കാത്ത ഒരു വരി ഇന്നത്തെ പൂജ്യത്തിന്റെ ധര്‍മ്മം നിര്‍വ്വഹിക്കുന്നു. പക്ഷേ, സംഖ്യകള്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങിയപ്പോള്‍ അവര്‍ ഇത്തരം വരികള്‍ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ വഴി ഉണ്ടാക്കിയില്ല. തനിക്കു് അപ്പോള്‍ ആവശ്യമില്ലാത്ത കാര്യങ്ങള്‍ ചെയ്യാതിരിക്കുക എന്നതു മനുഷ്യന്റെ സ്വഭാവമാണല്ലോ!

കുറേ കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഈ പ്രശ്നം മനസ്സിലാക്കി അവര്‍ ഇടയ്ക്കു് വിട്ടുപോയ ഒരു സ്ഥാനം ഉണ്ടെന്നു കാണിക്കാന്‍ ഒരു സ്പേസ് ഇട്ടു. 305 എന്നതിനു പകരം 3 5 എന്നു് എഴുതുന്നതു പോലെ. അങ്ങനെ അതിനെ 35-ൽ നിന്നു വേർതിരിച്ചറിയാം. പക്ഷേ, 35-നെയും 350-നെയും അപ്പോഴും തിരിച്ചറിയാൻ പറ്റില്ല. പിൽക്കാലത്തു് സ്പേസ് മാറ്റി ഒരു ചിഹ്നം ഇട്ടുതുടങ്ങി. ഇതാണു ചരിത്രത്തിലെ ആദ്യത്തെ പൂജ്യം. അപ്പോഴും സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തിൽ അതു് ഇട്ടില്ല, ഇടയിലേ ഇട്ടുള്ളൂ. അതായതു് 60 അടിസ്ഥാനമായ സമ്പ്രദായത്തിൽ 61, 3601 എന്നിവയെ ഇപ്പോള്‍ തിരിച്ചറിയാം. എന്നാല്‍ 61, 3660 എന്നിവയെ തിരിച്ചറിയാന്‍ പറ്റില്ല.

ഇങ്ങനെയൊക്കെയാണെങ്കിലും, ബാബിലോണിയന്‍ രീതി കണക്കുകൂട്ടാന്‍ വളരെ എളുപ്പമായിരുന്നു. അലക്സാണ്ടര്‍ ബാബിലോണിയയെ കീഴടക്കിയതോടെ ബാബിലോണിയന്‍ സംഖ്യാലേഖനരീതിയും അവസാനിച്ചു. എങ്കിലും ഗ്രീസിലെ ഗണിതജ്ഞര്‍ രഹസ്യമായി ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചാണു കണക്കുകൂട്ടിയിരുന്നതു് എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. എന്നിട്ടു് അവര്‍ ഫലങ്ങള്‍ റോമന്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു് എഴുതി നാട്ടുകാര്‍ക്കു കൊടുത്തു. ജ്ഞാനം വരേണ്യവര്‍ഗ്ഗത്തില്‍ത്തന്നെ ഒതുങ്ങിനിന്നതിന്റെ ചരിത്രം ലോകത്തു് എല്ലായിടത്തുമുണ്ടു്.

അലക്സാണ്ടറുടെ ഇന്ത്യയിലേയ്ക്കുള്ള പടനീക്കമാണു് ബാബിലോണിയന്‍ സംഖ്യാലേഖനരീതി ഇന്ത്യയിലേയ്ക്കു് എത്താന്‍ സഹായിച്ചതു് എന്നൊരു തിയറിയുണ്ടു്. അതു് ഇന്ത്യയുടെ പൈതൃകത്തെ ഇടിച്ചുതാഴ്ത്തി യൂറോപ്പിലാണു് എല്ലാം ഉണ്ടായതു് എന്നു വാദിക്കുന്ന യൂറോപ്യന്‍സിന്റെ കുത്സിതശ്രമമാണെന്നു് ഭാരതീയപൈതൃകവാദികള്‍ വാദിക്കുന്നു. അതെന്തെങ്കിലുമാകട്ടേ. ഏതായാലും, ഭാരതത്തില്‍ ആറാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ പൂജ്യമുള്ള സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചു് ആരും എഴുതിയിട്ടില്ല. പൂജ്യം ആ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുമില്ല.

ബാബിലോണിയന്‍ രീതിയോടു സാദൃശ്യമുള്ള, എന്നാല്‍ ദശാംശസമ്പ്രദായത്തിലുള്ള, സംഖ്യകള്‍ ബാഖ്‌ഷലി രേഖയില്‍ (ഇതെഴുതിയ സമയത്തെപ്പറ്റി തര്‍ക്കമാണു്. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു മുതല്‍ ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ ഇതിന്റെ കാലം പറഞ്ഞു കേള്‍ക്കുന്നുണ്ടു്. കണ്ടെടുത്ത പ്രതിയുടെ കാലം ക്രി. പി. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടാണു്.) ഉണ്ടു്. അതിലും പൂജ്യമില്ല. എങ്കിലും പൂജ്യമില്ലാത്ത സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ആ കാലഘട്ടത്തില്‍ ഭാരതത്തില്‍ പ്രചരിച്ചു തുടങ്ങി എന്നു പറയാം.

ആര്യഭടന്‍ (5/6 നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് പൂജ്യവും സ്ഥാനീയസംഖ്യാസമ്പ്രദായവും കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നു് ഒരു വാദമുണ്ടു്. ഏതായാലും, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആര്യഭടീയത്തില്‍ അതിനുള്ള തെളിവൊന്നുമില്ല. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദാ‍യവും പൂജ്യവും പ്രചാരത്തിലായിരുന്നെങ്കില്‍ അദ്ദേഹം കഠിനമായ ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമം ഉപയോഗിക്കാതെ ഭൂതസംഖ്യ പോലെയോ പരല്‍പ്പേരു പോലെയോ ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ചേനേ.

ഏതായാലും ആര്യഭടന്റെ കാലത്തിനടുത്താണു് നമ്മള്‍ പൂജ്യവും ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായവും ഉണ്ടായതെന്നു കരുതാം.

അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രാകൃതഭാഷയിൽ എഴുതിയ ലോകവിഭാഗ എന്ന ജൈനകൃതിയിൽ പൂജ്യം ഉൾക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഉണ്ടു് എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. ഈ പുസ്തകം കണ്ടുകിട്ടിയിട്ടില്ല. ഇതിന്റെ ഒരു സംസ്കൃതപരിഭാഷയാണു കിട്ടിയിട്ടുള്ളതു്. അതു പിൽക്കാലത്തു് എഴുതിയതുമാണു്. ഇതിൽ ചിഹ്നങ്ങളല്ല, വാക്കുകളായാണു് ഓരോ അക്കവും പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്.

ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഒരു സിറിയൻ ബിഷപ്പ് ഒൻപതു ചിഹ്നങ്ങൾ കൊണ്ടു് ഏതു സംഖ്യയെയും ഭാരതീയർ എഴുതുന്നതിനെപ്പറ്റി എഴുതിയതാണു് സ്ഥാനീയരീതി ഉപയോഗിച്ചതിന്റെ ആദ്യത്തെ തെളിവു്. പക്ഷേ ഇതു് എങ്ങനെയായിരുന്നു എന്നോ, ഇതിൽ പൂജ്യം ഉണ്ടായിരുന്നോ എന്നോ വ്യക്തമല്ല.

ആദ്യമായി പൂജ്യം എഴുതിയതിന്റെ തെളിവു് 876-ലാണു്. ഗ്വാളിയോറിലെ ഒരു ക്ഷേത്രത്തോടനുബന്ധിച്ചുള്ള പൂന്തോട്ടത്തിന്റെ വലിപ്പവും (187 ഹസ്തം x 270 ഹസ്തം) ഒരു ദിവസം പൂജിക്കേണ്ട പുഷ്പങ്ങളുടെ എണ്ണവും (50) പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചു് എഴുതിയതു്. ആ കാലമായപ്പോഴേയ്ക്കും പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പ്രചാരത്തിലായി. അതിനാൽ അതിനും ഏകദേശം 200 കൊല്ലമെങ്കിലും മുമ്പായിരിക്കണം ഈ ആശയം പൂർണ്ണമായി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നാണു വിദഗ്ദ്ധർ അനുമാനിക്കുന്നതു്. അതായതു് ഏകദേശം ആറാമത്തെയോ ഏഴാമത്തെയോ നൂറ്റാണ്ടിൽ.

എന്തായാലും ക്രിസ്തുവിനു പിൻപു് അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാണു് പൂജ്യം ഉൾപ്പെടുന്ന സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ഉണ്ടായതു് എന്ന കാര്യത്തിൽ കാര്യമായ സംശയമൊന്നും ഇല്ല.

സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായത്തിൽ ഒരു സ്ഥാനത്തിന്റെ അഭാവം കാണിക്കുന്ന ചിഹ്നം എന്നതു കൂടാതെ പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നതും കൂടി ഉണ്ടെങ്കിലേ ഇന്നു നാം കാണുന്ന പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം പൂർണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. ഇതും ഭാരതത്തിൽ തന്നെയാണു് സംഭവിച്ചതു്.

ആര്യഭടൻ പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ആകാശം എന്ന അർത്ഥമുള്ള “ഖം” എന്ന വാക്കാണു് അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ചതു്. എങ്കിലും പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി വ്യക്തമായി നിർവ്വചിക്കുകയും അതിന്റെ സ്വഭാവങ്ങളും അതിൽ ചെയ്യാവുന്ന ക്രിയകളും വിവരിക്കുകയും ചെയ്തതു് ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ പൂജ്യം കിട്ടും എന്ന ഒരു കാര്യം ഒഴിച്ചാൽ (ഇതു പിന്നീടു് പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഭാസ്കരാചാര്യർ തിരുത്തി) ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രവുമായി ഒത്തുപോകുന്നു. പൂജ്യം മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ വിശദമായി പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

മുകളിൽ കൊടുത്ത രണ്ടു കാര്യങ്ങൾ ചേർത്തു വെച്ചാൽ ഇന്നത്തെ പൂജ്യത്തിന്റെ ജന്മം ഏതാണ്ടു് ക്രിസ്തുവിനു പിൻപു് ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു് ആണെന്നു കാണാം. എഴുതുന്നതിനു മുമ്പു് കുറേക്കാലം മുമ്പുതന്നെ ഈ ആശയം ഉടലെടുത്തു എന്നു വാദിച്ചാൽ തന്നെ, അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു മുമ്പല്ല എന്നു നിസ്സംശയം പറയാം.

സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പൂർത്തിയാക്കിയതു് അറബികളാണു്. ഭാരതീയർ പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലാത്ത സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഭിന്നസംഖ്യകളാണു് ഉപയോഗിച്ചതു്. അതായതു് അംശം, ഛേദം എന്നു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ അനുപാതമായി ഭിന്നങ്ങളെ എഴുതി. അറബികൾ ഒരു പടി കൂടി മുന്നോട്ടു പോയി ദശാംശബിന്ദുവിനു വലത്തോട്ടു് അക്കങ്ങളെഴുതി ഭിന്നങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇടത്തോട്ടു് 1, 10, 100,… തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളെ അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നതു പോലെ, വലത്തോട്ടു് 1/10, 1/100, 1/1000,… തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളെയും അവിടത്തെ അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി ഉണ്ടായതോടെ സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പൂർത്തിയായി.

പൂജ്യത്തെപ്പറ്റി പറയുമ്പോൾ മറ്റൊരു കൂട്ടരെ പരാമർശിക്കാതെ പോകുന്നതു ശരിയല്ല. പരിഷ്കൃതലോകത്തിൽ നിന്നകന്നു് മദ്ധ്യ-അമേരിക്കയിൽ ഉണ്ടായി പുറം‌ലോകവുമായി ബന്ധമുണ്ടാകാതെ അവിടെത്തന്നെ ഒടുങ്ങിയ മായന്മാരെ.

മായന്മാർക്കു ഭ്രാന്തു കാ‍ലഗണനത്തിലായിരുന്നു. അഞ്ചാറു തരം കലണ്ടറുകളാണു് അവർ ഉണ്ടാക്കിയതു്. സൂര്യനെയും ചന്ദ്രനെയും മാത്രമല്ല, ശുക്രന്റെ സഞ്ചാരത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി അവർ കലണ്ടർ ഉണ്ടാക്കി.

സ്വാഭാവികമായും കലണ്ടറുകൾ ഉണ്ടാക്കിയ വകയിൽ അവരുടെ ഗണിതശാസ്ത്രവും വളരെ മികച്ചതായിരുന്നു. പൂജ്യം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഇരുപതു് അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായവും (എണ്ണാൻ കൈയിലെ മാത്രമല്ല, കാലിലെ വിരലുകളും ഉപയോഗിച്ചുകാണും!) അതെഴുതാൻ രണ്ടു രീതികളും, അതിലൊരു രീതിയിൽ അഞ്ചിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉള്ള എഴുത്തും അവരുടെ പ്രത്യേകതയാണു്.

മായന്മാരാണോ ഭാരതീയരാണോ പൂജ്യം ആദ്യം ഉപയോഗിച്ചതെന്നതു വ്യക്തമല്ല. പക്ഷേ, ലോകത്തിനു പൂജ്യം സംഭാവന ചെയ്തതു ഭാരതീയരാണെന്നതിൽ തർക്കമില്ല. ഭാരതീയരിൽ നിന്നു പൂജ്യം നേടിയതിനു വളരെക്കാലം ശേഷമാണു് മായന്മാരെപ്പറ്റി ലോകം അറിഞ്ഞതു്.

ന്യായമായ ചോദ്യം. പൂജ്യം ആരു് എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നതിനു് ഇന്നു് എന്തു പ്രാധാന്യമുണ്ടു്?

പൂജ്യം ഭാരതത്തിലാണു കണ്ടുപിടിച്ചതു് എന്നു പറഞ്ഞു് അഭിമാനിക്കാനോ? ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തിൽ നിന്നു യൂറോപ്പിൽ നിന്നുള്ളതല്ലാത്തവയെല്ലാം തമസ്കരിച്ചു് റോമൻ സാമ്രാജ്യത്തിന്റെ തകർച്ചയ്ക്കു ശേഷം പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ ലോകത്തിൽ ഒരു ശാസ്ത്രപുരോഗതിയും നടന്നിട്ടില്ല എന്ന അസംബന്ധം വിളിച്ചുകൂവുന്ന ചില പാശ്ചാത്യശാസ്ത്രചരിത്രകാരന്മാരെ എതിർക്കാനോ? ഭാരതത്തിലെ (അതുപോലെ യൂറോപ്പല്ലാത്ത മറ്റു രാജ്യങ്ങളിലെയും) പഴയ ശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ തപ്പിയെടുത്തു് വിശദീകരണങ്ങളോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യം ആളുകളെ മനസ്സിലാക്കിക്കാനോ?

തീർച്ചയായും. മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം ഈ ലേഖനം എഴുതാനുള്ള പ്രചോദനങ്ങളിൽ പെടും. അതോടൊപ്പം തന്നെ ഭാരതീയർ തന്നെ പടച്ചുണ്ടാക്കുന്ന ചില അസംബന്ധങ്ങളുടെ നിജസ്ഥിതി വെളിയിൽ കൊണ്ടുവരാനും ഇതു് ഉപകരിക്കും.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെ.

1. വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പേരിൽ പ്രചരിക്കുന്ന ഒരു തട്ടിപ്പുണ്ടു്. ശ്രീ ഭാരതികൃഷ്ണ തീർത്ഥജി എന്ന പുരി മഠത്തിലെ ഒരു ശങ്കരാചാര്യർ എഴുതിയ ഈ പുസ്തകത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉള്ളതു്. ഇല്ലാത്ത ഒരു വേദത്തിൽ നിന്നുള്ള വല്ലാത്ത കുറേ സൂത്രങ്ങൾ ഉദ്ധരിച്ചിട്ടു് അവയുടെ അർത്ഥം കാൽക്കുലസിലെ ഇന്റഗ്രേഷൻ ഫോർമുലയാണു്, പിൽക്കാലത്തു മാത്രം കണ്ടുപിടിച്ച ഒരുപാടു കാര്യങ്ങൾ അവയിലുണ്ടു് എന്നു വാദിക്കുന്ന വെള്ളം ചേർക്കാത്ത തട്ടിപ്പു്. (വേദകാലത്തു് ഭാരതത്തിൽ ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ പോലെയുള്ള മഹത്തായ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. അവയെപ്പറ്റിയല്ല ഞാൻ പറയുന്നതു്.) ഈ പുസ്തകത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പലതും തെറ്റാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാൻ വേദകാലത്തു സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഇല്ല എന്ന ഒരേയൊരു വസ്തുത മതി.
   1. 19, 29, 39,… തുടങ്ങിയ vulgar fractions(!)-ന്റെ ദശാംശരീതിയിലുള്ള expansion നൽകുന്ന സൂത്രമാണു് “ഏകാധികേന പൂർവ്വേന” എന്ന സൂത്രമെന്നു പറയുന്നു. വേദകാലത്തു് സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായമില്ല, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയില്ല, ഭിന്നങ്ങളെ ദശാംശരീതിയിൽ എഴുതുന്ന രീതി തുടങ്ങിയിട്ടുമില്ല. പിന്നെയെന്തു സൂത്രം?
   2. “നിഖിലം നവതശ്ചരമം ദശമഃ” എന്ന സൂത്രം സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്നു് മറ്റൊരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ഉള്ള സംഖ്യ കിട്ടാനുള്ള എളുപ്പ വഴി തരുന്നു. (മറ്റു സംഖ്യകൾക്കു് അതു് ഉപയോഗശൂന്യമാണു്). മനുഷ്യൻ വേദകാലത്തു് സംഖ്യകൾ എങ്ങനെയാണു് എഴുതിയിരുന്നതു് എന്നു് ഇതിനെ പൊക്കിക്കൊണ്ടു നടക്കുന്നവർക്കു വല്ല രൂപവുമുണ്ടോ?

   ഈ തട്ടിപ്പു് സമ്മതിക്കണമെങ്കിൽ വേദങ്ങൾ ഉണ്ടായതു് ക്ര്. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാണെന്നു പറയേണ്ടി വരും. ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തെപ്പറ്റി ഒരു ചുക്കും അറിയാത്ത ഒരു സന്ന്യാസി തനിക്കറിയാവുന്ന എളുപ്പവഴികൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും അവയ്ക്കു് അനുയോജ്യമായ രീതിയിലുള്ള ചില സംസ്കൃതസൂത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ ഉണ്ടാക്കുകയോ ചെയ്തതു് അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണത്തിനു ശേഷം ചിലർ ഭാരതീയപൈതൃകം എന്നു പറഞ്ഞാൽ മുന്നും പിന്നും നോക്കാതെ എടുത്തു ചാടുന്ന ഇന്ത്യക്കാരെ കബളിപ്പിക്കാൻ പുസ്തകമാക്കി മാർക്കറ്റ് ചെയ്യുകയും അങ്ങനെ വേദഗണിതം എന്ന വാക്കിന്റെ തന്നെ അർത്ഥം മാറിമറിഞ്ഞു പോവുകയും ആണുണ്ടായതു്.

   വേദഗണിതത്തട്ടിപ്പിനെപ്പറ്റി പറയണമെങ്കിൽ ഒരു വലിയ പോസ്റ്റു തന്നെ വേണ്ടിവരും. ഇനിയൊരിക്കലാവട്ടേ…

2. ഭൂതസംഖ്യ, പരൽ‌പ്പേരു് എന്നീ അക്ഷരസംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചുള്ളവയാണു്. അവ ഉണ്ടായതു് ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാവാനേ വഴിയുള്ളൂ. അതിനു മുമ്പുണ്ടായെന്നു പറയുന്ന പല അവകാശവാദങ്ങളും തെറ്റാണു്. ഉദാഹരണമായി…
   1. മഹാഭാരതത്തിന്റെ ആദ്യരൂപം ഇന്നുള്ളതിനേക്കാൾ വളരെ ചെറുതായിരുന്നു. ആ ചെറിയ ഗ്രന്ഥത്തിനെ “ജയ” എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഈ “ജയ” എന്ന വാക്കു് പരൽ‌പ്പേർ പ്രകാരം 18 എന്ന സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നും അങ്ങനെ മഹാഭാരതത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനസംഖ്യയായ പതിനെട്ടിനെ (ഭാരതത്തിൽ പതിനെട്ടു പർവ്വങ്ങൾ, ഗീതയിൽ പതിനെട്ടദ്ധ്യായങ്ങൾ, കുരുക്ഷേത്രയുദ്ധത്തിൽ പതിനെട്ടു് അക്ഷൌഹിണികൾ) വ്യാസൻ പരൽ‌പ്പേരുപയോഗിച്ചു സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നും പലയിടത്തും കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. ജയ എന്ന വാക്കു് പിൽക്കാലത്തുണ്ടായ പരൽ‌പ്പേരനുസരിച്ചു് 18-നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതു് തികച്ചും യാദൃച്ഛികം മാത്രം.
   2. ഉണ്ണുനീലിസന്ദേശത്തെപ്പറ്റിയുള്ള രസകരമായ ഒരു വാദം ഈ വിക്കി സംവാദത്തിൽ കാണാം. ഉണ്ണുനീലിസന്ദേശത്തിലെ ഒരു വാക്കു് അതെഴുതിയ ദിവസത്തെ കലിദിനസംഖ്യ പരൽ‌പ്പേർ ഉപയോഗിച്ചെഴുതിയെന്നാണു ‘രസികരഞ്ജിനി’ പത്രാധിപർ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ചില ‘ചരിത്രകാരന്മാർ’ വാദിച്ചതു്. അങ്ങനെ കിട്ടിയ തീയതിയുടെ കാലത്തു് മലയാളഭാഷയുമില്ല, പൂജ്യവുമില്ല, സ്ഥാനീയദശാംശരീതിയുമില്ല, പരൽ‌പ്പേരുമില്ല.

മറ്റുദാഹരണങ്ങൾ വഴിയേ പറയാം. അവ പറയുമ്പോൾ ലിങ്ക് കൊടുക്കാൻ ഒരു റെഫറൻസ് ആകട്ടേ എന്നാലോചിച്ചുമാണു് ഇതെഴുതിയതു്.

അധികവായനയ്ക്കു്:

(Disclaimer: ഇവയിൽ പലതും പൂജ്യത്തെപ്പറ്റിയല്ല പറയുന്നതു്. പലതിലെയും പ്രതിപാദ്യത്തോടു് എനിക്കു പൂർണ്ണമായ യോജിപ്പുമില്ല.)

1. B. Datta and A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, Vol. I, Bharatiya Kala Prakashan, New Delhi 2004.
2. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock – Non-European roots of Mathematics, Princeton University Press 2000.
3. Charles Seife, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin, 2000.
4. Kaplan, R., The Nothing that Is: A Natural History of Zero, Oxford University Press USA, 2000.
5. Teresi, D., Lost Discoveries, The ancient roots of Modern Science – from the Babylonians to the Maya, Simon & Schuster 2002.
6. Wikipedia articles:
   1. 0 (Number)
   2. Positional notation
   3. History of Hindu-Arabic numeral system
   4. Brahmi numeral
   5. Maya numerals
   6. Aryabhata
   7. Brahmagupta

ഇതിനെപ്പറ്റി മുമ്പു ഞാന്‍ നേരിട്ടും ഈമെയിലിലൂടെയും പലരോടും ചർച്ച ചെയ്തപ്പോൾ വളരെയധികം എതിര്‍പ്പുകളും എതിര്‍വാദങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നു. അവയില്‍ പലതും എന്താണു ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചതെന്നു വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കാത്തതു കൊണ്ടായിരുന്നു. ചില അലപ്രകൾ (അ.ല.പ്ര. = അടിക്കടി ലഭിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ = Frequently Asked Questions) താഴെ:

ചോദ്യം:

അസംബന്ധം! “ശൂന്യം” എന്ന വാക്കു് വേദങ്ങളില്‍ തൊട്ടു് ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതാണു്. ഭാരതീയര്‍ക്കു പൂജ്യത്തെപ്പറ്റി വേദകാലം മുതല്‍ക്കേ അറിയാമായിരുന്നു. അതിനെ ക്രി. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലേയ്ക്കു തള്ളുന്നതു് ശരിയല്ല.

ഉത്തരം:
“ശൂന്യം” അല്ലെങ്കില്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ എന്ന ആശയം ഭാരതത്തിലും മറ്റു പല രാജ്യങ്ങളിലും പണ്ടു തൊട്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു. പില്‍ക്കാലത്തു് സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം വന്നപ്പോള്‍ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുമ്പോള്‍ ഒരു പ്രത്യേകസ്ഥാനത്തു് ഒന്നുമില്ല എന്നു സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ആ വാക്കു് ഉപയോഗിച്ചു. ഈ രണ്ടാമതു പറഞ്ഞ ടെക്നിക്കിനെപ്പറ്റിയാണു് നാം ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നതു്; ആദ്യം പറഞ്ഞ വാക്കിനെപ്പറ്റിയല്ല.

ചോദ്യം:

പൂജ്യത്തിന്റെ ചിഹ്നം അതിനു മുമ്പേ പലരും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിനു ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രകാരനായിരുന്ന പിംഗളന്‍ (ബി. സി. നാലാം നൂറ്റാണ്ടു്).

ഉത്തരം:
വട്ടത്തെ ഒരു ചിഹ്നമായി പലരും ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതു മുമ്പു പറഞ്ഞ പൂജ്യം എന്ന ആശയത്തിനു വേണ്ടി ഉപയോഗിച്ചെങ്കിലേ നാം ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്ന കാര്യത്തില്‍ എത്തൂ. ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രത്തിലെ “ലഘു” എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കാനാണു പിംഗളന്‍ വട്ടം ഉപയോഗിച്ചതു്.

ചോദ്യം:

പിംഗളന്‍ ഉപയോഗിച്ചതു് അങ്ങനെയല്ല. ആ വട്ടം (ലഘു) പൂജ്യം തന്നെയായിരുന്നു. ഗുരു ഒന്നും. അവയെ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ദ്വ്യങ്കസമ്പ്രദായം (binary number system) കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനാണു്. ദശാംസസമ്പ്രദായം അല്ലെങ്കിലും രണ്ടു് അടിസ്ഥാനമായ സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം തന്നെയാണു് അതു്. ബൈനോമിയല്‍ തിയറവും കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനാണു്, ന്യൂട്ടനല്ല.

ഉത്തരം:
നമ്മുടെ ചര്‍ച്ചയ്ക്കു് ദശാംശസമ്പ്രദായം വേണമെന്നില്ല. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം മതി. അടിസ്ഥാനം രണ്ടോ പത്തോ പതിനാറോ ഇരുപതോ അറുപതോ ആയിക്കോട്ടേ. ഒരു നിശ്ചിത-എണ്ണം അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കാനുള്ള രീതിയാണു നമുക്കു വേണ്ടതു്.

പിംഗളന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതു് വളരെ സുപ്രധാനമായ മറ്റൊരു കണ്ടുപിടിത്തമാണു്. രണ്ടു തരത്തിലാകാവുന്ന (ഇവിടെ ഗുരുവും ലഘുവും) ചരങ്ങളുടെ (variables) കൂട്ടങ്ങള്‍ എത്ര വിധത്തില്‍ വിന്യസിച്ചു വൃത്തങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം എന്നതു്. Permutations and combinations എന്നാണു് ഈ ഗണിതശാഖയുടെ പേരു്. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായത്തിനു മുമ്പേ ഈ ശാഖ പച്ച പിടിച്ചിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതിനെപ്പറ്റി സവിസ്തരം പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഈ ഗണിതശാഖ മറ്റു പല സുപ്രധാനശാഖകളുടെയും അടിസ്ഥാനമാണു്. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം അതിലൊന്നാണു്. ഒരു നിശ്ചിത-എണ്ണം അക്കങ്ങളെ (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 10) പല വിധത്തില്‍ വിന്യസിച്ചു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണു് അതു്. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഉടലെടുത്ത സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം (Theory of probability) ആണു മറ്റൊന്നു്. രണ്ടു സംഭവങ്ങള്‍ സംഭവിക്കാനുള്ള വിവിധരീതികള്‍ എണ്ണി ഒന്നിനെ അപേക്ഷിച്ചു മറ്റേതു സംഭവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്ന a-priori probability ഇതുപയോഗിച്ചേ ചെയ്യാന്‍ പറ്റൂ. പക്ഷേ, അതുകൊണ്ടു് സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രവും സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായവും Permutations and combinations കണ്ടുപിടിച്ച കാലത്തു തന്നെ കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നു പറയാന്‍ പറ്റില്ല.

ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തിന്റെ കാര്യവും വ്യത്യസ്തമല്ല. ബൈനോമിയല്‍ വികസനത്തിലെ (binomial expansion) ഓരോ പദവും പിംഗളന്‍ തുടങ്ങിവെച്ച തിയറി കൊണ്ടാണു കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. പക്ഷേ അതു കൊണ്ടു് ബൈനോമിയല്‍ തിയറം പിംഗളന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയുന്നതു് അബദ്ധമാണു്.

പാസ്കല്‍ ത്രികോണം എന്നറിയപ്പെടുന്ന വിദ്യ ബൈനോമിയല്‍ വികസനത്തിലെ ഓരോ പദത്തെയും നല്‍കുന്നു. പിംഗളന്റെ ഖണ്ഡമേരു എന്നു പറയുന്ന സമ്പ്രദായം പാസ്കല്‍ ത്രികോണം തന്നെയാണു് എന്നൊരു വാദം. ഖണ്ഡമേരു പാസ്കല്‍ ത്രികോണം തന്നെയാണെന്നതു ശരി തന്നെ. പക്ഷേ അതു കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനല്ല. പിംഗളസൂത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഹലായുധന്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. എന്തായാലും പാസ്കലിനു മുമ്പു് ഭാരതീയര്‍ അതു കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. പക്ഷേ ഹലായുധനും ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തില്‍ എത്തിയില്ല. പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ആണു് ഹലായുധന്‍ ഖണ്ഡമേരു ഉപയോഗിച്ചതു്. പാസ്കലാകട്ടേ അതു ബൈനോമിയല്‍ കോ-എഫിഷ്യന്റുകളെ കണ്ടുപിടിക്കാനും. ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കൊണ്ടു് രണ്ടും ഒരേ രീതി ആയെന്നു മാത്രം.
ചോദ്യം:

ദശാംശസമ്പ്രദായം ക്രിസ്തുവിനു ശേഷമാണു് ഉണ്ടായതെന്നോ? ഏകം, ദശം, ശതം, … തുടങ്ങിയ സംഖ്യകളെപ്പറ്റി കേട്ടിട്ടില്ലേ? വേദങ്ങള്‍, രാമായണം, മഹാഭാരതം, ബുദ്ധകഥകള്‍ തുടങ്ങിയവയിലെല്ലാം ഈ സംഖ്യകളെപ്പറ്റി പറയുന്നുണ്ടു്.

ഉത്തരം:
ശരിയാണു്. മാത്രമല്ല, ഗ്രീക്കുകാര്‍ക്കു് Myriad എന്ന പതിനായിരത്തിനു മുകളില്‍ സംഖ്യകളില്ലായിരുന്ന കാലത്തും പരാര്‍ദ്ധവും (10¹⁷) അതിനപ്പുറമുള്ളവയും ആയ സംഖ്യകള്‍ക്കു പേരുണ്ടാക്കിയവരാണു ഭാരതീയര്‍. പക്ഷേ, നാം ഇവിടെ പറയുന്നതു ദശാംശസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റിയല്ല, സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റിയാണു്. പത്തു് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു് സ്ഥാനം അനുസരിച്ചു് അക്കങ്ങള്‍ക്കു വിലയില്‍ വ്യത്യാസം വരുത്തുന്ന രീതിയെപ്പറ്റി.

സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു മുമ്പു തന്നെ ലോകത്തു പലയിടത്തും പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരുന്നു സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നതു്. (ബാബിലോണിയക്കാര്‍ അറുപതിനെയും മായന്മാര്‍ ഇരുപതിനെയും ആണു് അടിസ്ഥാനമാക്കിയതു്.) രണ്ടു കൈകളിലെയും കൂടി വിരലുകളുടെ എണ്ണം പത്തായതാണു് ഇതിനു കാരണമെന്നാണു് ഒരു തിയറി.

ഇതും അതും തമ്മില്‍ കൂട്ടിക്കുഴയ്ക്കരുതു്.

(കൂടുതൽ അലപ്രകൾ കമന്റുകൾ വരുന്ന വഴിയ്ക്കു് ഇടാം.)