വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കർമ്മണിപ്രയോഗം എന്ന പോസ്റ്റിൽ ഇട്ട കമന്റിൽ ബാബുകല്യാണം (ഇവനെയൊന്നും കല്യാണം കഴിപ്പിച്ചു വിടാൻ ആരുമില്ലേ?) ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിനു് ശ്രീഹരിയും (ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഇവിടെയും)മധുസൂദനൻ പേരടിയും (ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഇവിടെയും) തമ്മിൽ നടന്ന തർക്കത്തിനു മേൽ എന്റെ അഭിപ്രായമാണു താഴെ:
ശ്രീഹരിയുടെയും മധുസൂദനന്റെയും വാദങ്ങൾ മുഴുവനും വായിച്ചില്ല. എങ്കിലും, ശ്രീഹരിയാണു ശരിയെന്നു തോന്നുന്നു.
ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം ബാബു കല്യാണത്തിന്റെ പ്രശ്നം ഇങ്ങനെയാണു്:
- രണ്ടു സിംഹവും രണ്ടു പെണ്ണും.
- രാജാവു് നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു. അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ ആദ്യത്തെ മുറിയിൽ സിംഹത്തെ കയറ്റുന്നു. അക്കം വന്നാൽ പെണ്ണിനെയും.
- രാജാവു വീണ്ടും നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു. അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ മുറിയിൽ സിംഹത്തെ കയറ്റുന്നു. അക്കം വന്നാൽ പെണ്ണിനെയും.
- തടവുകാരൻ ഒരു മുറി തുറന്നു് അകത്തു കയറുന്നു. ഏതു മുറിയിൽ എന്താണെന്നു് അവനു് അറിയില്ല. കയറുന്ന സ്ഥലത്തു് സിംഹമാണെങ്കിൽ ഉടനേ സുഖമായി മരിക്കുന്നു. പെണ്ണാണെങ്കിൽ അവളെ കല്യാണം കഴിച്ചു് വളരെക്കാലം കൊണ്ടു് ഇഞ്ചിഞ്ചായി വേദനയനുഭവിച്ചു മരിക്കുന്നു.
അവനു് സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ‌പ്പെട്ടു മരിക്കാതെ പെണ്ണിനെക്കെട്ടി ജീവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യതയാണു കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്.
ഇനി, താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ കൂടി ശരിയാണെന്നും നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.
- നാണയത്തിന്റെ ഒരു വശത്തു് അശോകസ്തംഭവും മറ്റേ വശത്തു് അക്കവും ആകണം. അല്ലാതെ രണ്ടിലും സ്തംഭം വരരുതു്. ഒരിടത്തു് അശോകസ്തംഭവും അക്കവും കൂടിയും മറ്റേ വശത്തു കുടുംബാസൂത്രണത്തിന്റെ ചിഹ്നവും ഉള്ള നാണയം പാടില്ല.
- അശോകസ്തംഭവും അക്കവും വീഴാനുള്ള സാദ്ധ്യത തുല്യമായിരിക്കണം. നാണയം unbiased ആയിരിക്കണം എന്നർത്ഥം.
- കുറ്റവാളിക്കു യാതൊരു സൂചനയും ഇല്ല. അതിനാൽ അയാൾ ഒരു മുറി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതും നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നതു പോലെ തന്നെ. 50%-50% സാദ്ധ്യത.
ഈ പ്രശ്നത്തെ രണ്ടു തരത്തിൽ കാണാം.
- മേൽ‌പ്പറഞ്ഞ പ്രശ്നം നമുക്കു തന്നിട്ടു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറയുക.
- രാജാവു് നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്തു് രണ്ടു മുറിയും നിറച്ചതിനു ശേഷം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറയുക.
രണ്ടിലും ഉത്തരം രണ്ടാണു്.
രണ്ടാമത്തേതു് ആദ്യം എടുക്കാം. രാജാവ് നാണയമിട്ടപ്പോൾ രണ്ടു തവണയും അശോകസ്തംഭം വന്നെന്നിരിക്കട്ടേ. രണ്ടിലും സിംഹങ്ങൾ. ഇവിടെ പ്രതി സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ അകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത 100% ആണു്. നേരെ മറിച്ചു്, രണ്ടിലും അക്കം വരുകയും രണ്ടിലും പെണ്ണുങ്ങൾ ആവുകയും ചെയ്താൽ അതു 0% ആണു്. ഇനി ഒരെണ്ണം അശോകസ്തംഭവും മറ്റേതു് അക്കവും ആയി ഒന്നിൽ സിംഹവും മറ്റേതിൽ പെണ്ണുമായാൽ സിംഹമുള്ള വാതിൽ അയാൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സാദ്ധ്യത 50% ആണു്.
രാജാവിന്റെ കോയിൻ ടോസ്സ് അനുസരിച്ചു് ഫലം മാറാം എന്നർത്ഥം.
ഇനി, ആദ്യത്തെ ചോദ്യം പരിശോധിക്കാം.
ഇതിൽ മൂന്നുതരം സംഭവങ്ങളുണ്ടു്.
ഒന്നാം സംഭവം: കുറ്റവാളി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന വാതിൽ
സൂചനയൊന്നും ഇല്ലാത്തതിനാൽ ആദ്യത്തേയോ രണ്ടാമത്തെയോ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/2 വീതം.
രണ്ടാം സംഭവം: നാണയമിടുന്നതും സിംഹത്തെയോ പെണ്ണിനെയോ മുറിയിൽ ഇടുന്നതും.
ഒരു പോലെ സാദ്ധ്യതയുള്ള നാലു് സംഭവങ്ങളാണു് രാജാവു നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഉണ്ടാവുക.
- രണ്ടും അശോകസ്തംഭം. രണ്ടിലും സിംഹം.
- രണ്ടും അക്കം. രണ്ടിലും പെൺ‌കുട്ടികൾ.
- ആദ്യം അശോകസ്തംഭം, പിന്നെ അക്കം. ആദ്യത്തേതിൽ സിംഹം, രണ്ടാമത്തേതിൽ പെണ്ണു്.
- ആദ്യം അക്കം, പിന്നെ അശോകസ്തംഭം. ആദ്യത്തേതിൽ പെണ്ണു്, രണ്ടാമത്തേതിൽ സിംഹം.
ഇവ നാലിനും സാദ്ധ്യത തുല്യം. 1/4 വീതം.
മൂന്നാം സംഭവം (ക): സിംഹമുള്ള മുറിയിൽ അകപ്പെട്ടാൽ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ പെട്ടു മരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത
സിംഹത്തിനു വെള്ളെഴുത്തോ വയറ്റുനോവോ ഇല്ലെന്നു കരുതിയാൽ ഇതു് നൂറു ശതമാനം ആണു്. 1 എന്നർത്ഥം.
മൂന്നാം സംഭവം (ഖ): പെണ്ണുള്ള മുറിയിൽ അകപ്പെട്ടാൽ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ പെട്ടു മരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത
ഇതു് പൂജ്യം ആണു്. കൂടുതൽ വേദനാജനകമായ മരണം അവനെ കാത്തിരിക്കുന്നു.
ഈ മൂന്നു സംഭവങ്ങളും തമ്മിൽ ബന്ധമില്ലാത്തതും ഒരേ സമയം സംഭവിക്കുന്നവയും ആകുന്നതു കൊണ്ടു് അവയുടെ സംഭാവ്യതകളെ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന സാദ്ധ്യതകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടി മൊത്തം സാദ്ധ്യത കണ്ടു പിടിക്കുന്നു.
അപ്പോൾ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ അകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത
= (1/2 x 1/4 x 1 + 1/2 x 1/4 x 1) + (1/2 x 1/4 x 0 + 1/2 x 1/4 x 0) + (1/2 x 1/4 x 1 + 1/2 x 1/4 x 0) + (1/2 x 1/4 x 0 + 1/2 x 1/4 x 1)
= 1/4 + 0 + 1/8 + 1/8 = 1/2.
അതായതു്, കുറ്റവാളി സിംഹത്തിന്റെ വായിലകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത നേർപകുതി (50%) ആണു്.
സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും ഉത്തരങ്ങളും ഇതുപോലെ ശരിയായി കണക്കുകൂട്ടിയാലേ കിട്ടൂ. സാഹചര്യമനുസരിച്ചു് അതു മാറുകയും ചെയ്യും. മധുസൂദനൻ പേരടി പറയുന്നതു പോലെ ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷനുമായി പോയാൽ പലപ്പോഴും തെറ്റായ ഉത്തരമേ കിട്ടൂ.
ഈ തരത്തിലുള്ള മറ്റൊരു പ്രശസ്ത പ്രശ്നമുണ്ടു് – മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം. ഇതിൽ മൂന്നു വാതിലും ഒരു പെണ്ണും രണ്ടു സിഹവും ഉണ്ടു്. രാജാവു നാണയമൊന്നും ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നില്ല. പകരം ഒരു വാതിലിനു പിന്നിൽ പെണ്ണിനെയും മറ്റു രണ്ടു വാതിലുകളുടെയും പിറകിൽ സിംഹങ്ങളെയും നിർത്തിയിരിക്കുന്നു. എന്നിട്ടു് കുറ്റവാളിയോടു് ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ പറയും. അയാൾ ഏതു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്താലും സിംഹമുള്ള വേറേ ഒരു മുറിയെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കുമല്ലോ. ആ മുറിയുടെ കിളിവാതിൽ തുറന്നിട്ടു് അതിനകത്തു സിംഹമാണെന്നു് കുറ്റവാളിയെ കാണിക്കും. എന്നിട്ടു് കുറ്റവാളിക്കു് തന്റെ തീരുമാനം പുനഃപരിശോധിക്കാൻ അവസരം കൊടുക്കും. ഒന്നുകിൽ അയാൾക്കു് ആദ്യത്തെ വാതിൽ തന്നെ തുറക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ അയാൾക്കു് സിംഹത്തെ കണ്ടതല്ലാത്ത മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കാം. ഏതു തുറക്കുന്നതാണു് നല്ലതു്?
ഇതു വളരെയധികം തർക്കമുണ്ടാക്കിയിട്ടുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണു്. ഒരിക്കൽ ഈ ചോദ്യത്തിനു് മറിലിൻ സാവന്ത് പറഞ്ഞ ഉത്തരം തെറ്റാണെന്നു പറഞ്ഞു് പല ഗണിതശാസ്ത്രപ്രൊഫസർ മാർ വരെ ബഹളമുണ്ടാക്കിയായിരുന്നു. (മറിലിൻ പറഞ്ഞതു ശരിയായിരുന്നു.)
മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കുന്നതാണു നല്ലതു്. കാരണം, ഓരോ വാതിലിലും പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത തുല്യമാണു് – 1/3 വീതം. ആദ്യത്തെ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തപ്പോൾ അതിൽ പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരുന്നു. മറ്റു രണ്ടെണ്ണത്തിനും 2/3-ഉം. മറ്റു രണ്ടെണ്ണത്തിലെ സിംഹമുള്ള ഒരു വാതിൽ ഒഴിവാക്കിയാൽ മൂന്നാമത്തെ വാതിലിൽ പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത അതിനാൽ 2/3 ആണു്. അതായതു് തീരുമാനം മാറ്റിയാൽ സാദ്ധ്യത ഇരട്ടിയാകും എന്നർത്ഥം.
തർക്കിക്കുന്നവർക്കു രണ്ടു വാദങ്ങളാണു്:
- ഓരോ വാതിലിന്റെയും സാദ്ധ്യത 1/3 ആണു്. ഒരു വാതിൽ സിംഹമാണന്നറിഞ്ഞാലും മറ്റു രണ്ടിലെയും സാദ്ധ്യതകൾ മാറുന്നില്ല. മാറിയാലും അവ 1/2 വീതമായിരിക്കും.
ഇതു തെറ്റാണു്.
- സിംഹത്തെ കാണുന്നതിനു മുമ്പു് എല്ലാ വാതിലിന്റെയും സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരുന്നു. സിംഹത്തെ കണ്ടുകഴിഞ്ഞു് ആദ്യത്തെ വാതിലിന്റെ സംഭാവ്യത മാറുന്നില്ലെങ്കിലും മൂന്നാമത്തെ വാതിലിന്റെ സാദ്ധ്യത 1/3-ൽ നിന്നു് 1/2 ആയി ഉയർന്നു.
ഇതിലും മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കുന്നതു തന്നെയാണു നല്ലതെന്നു പറയുന്നു എങ്കിലും കാരണം തെറ്റാണു്.
കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾക്കു് വിക്കി ലേഖനം തന്നെ വായിക്കൂ. അതിന്റെ വിശദമായ വിശകലനവും തിയറിയും അതു പോലെയുള്ള മറ്റു പ്രശ്നങ്ങളിലേക്കുമുള്ള ലിങ്കും ഒക്കെയായി ഒരു ദിവസത്തെ വായനയ്ക്കുണ്ടു്.
സൂക്ഷിച്ചു കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഗണിതശാഖയാണു് സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം (Theory of Probability). അതിന്റെ ബേസിക് അസമ്‌പ്ഷൻസ് വിട്ടു പോകുന്നതാണു് പലപ്പോഴും തെറ്റു പറ്റാൻ കാരണം. അതുപോലെ നമുക്കു് അറിവുള്ള കാര്യങ്ങൾ മാറുമ്പോൾ സംഭാവ്യതയും മാറും. മുകളിൽ പറഞ്ഞ മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം ഒരുദാഹരണം.
ഇതു പോലെ മറ്റൊരു പ്രഹേളികയുള്ളതു് ഒരു കഥയായി താഴെച്ചേർക്കുന്നു.
ഒരു ഇന്റർവ്യൂവിനു കാലിഫോർണിയയിൽ എത്തിയതാണു ഞാൻ. എയർപോർട്ടിൽ നിന്നു് എന്നെ കൂട്ടിക്കൊണ്ടു പോകാമെന്നു് സിബു പറഞ്ഞിരുന്നു. സിബുവും ഞാനും അതു വരെ തമ്മിൽ കണ്ടിട്ടില്ല. ബ്ലോഗിലൂടെയുള്ള പരിചയമേ ഉള്ളൂ.
ഇന്റർവ്യൂവിനു കുത്തിയിരുന്നു പഠിച്ച കൂട്ടത്തിൽ ഏറ്റവും അവസാനം പഠിച്ചതു ഗണിതമായിരുന്നു. ഇവർ പസിലുകളൊക്കെ ചോദിക്കുമെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. വിമാനത്തിലിരുന്നു വായിച്ചതു് പ്രോബബിളിറ്റി തിയറിയാണു്. അതിനാൽ വെളിയിൽ ഇറങ്ങിയപ്പോൾ കാണുന്നിടത്തെല്ലാം പ്രോബബിളിറ്റി കാണാൻ തുടങ്ങി. തല നേരേ നിൽക്കുന്നില്ല.
എയർപോർട്ടിന്റെ വെളിയിൽ ഇറങ്ങി. സിബുവിന്റെ പൊടി പോലുമില്ല. ഇനി ഇങ്ങേർ പറ്റിക്കുമോ? ഏയ് ഇല്ല, ഒരു ബ്ലോഗർ മറ്റൊരു ബ്ലോഗറെ പറ്റിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവാണു്. കൂടി വന്നാൽ കേസു കൊടുക്കും, അത്രയേ ഉള്ളൂ.
സിബുവിനെ വിളിച്ചു. സിബു വീട്ടിൽ നിന്നു് ഇറങ്ങുന്നതേ ഉള്ളൂ. “ഉമേഷേ, ഞാൻ പത്തു മിനിട്ടിൽ എത്തും. എന്റെ കൂടെ വരണം എന്നു പറഞ്ഞു് രണ്ടു ക്ടാങ്ങളും കൂടി ഭയങ്കര വഴക്കു്. അതാ ഇറങ്ങാൻ വൈകിയതു്. ഒരു വെള്ള നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്രയാണു കാർ.” നമ്പർ പ്ലേറ്റിന്റെ അവസാനത്തെ മൂന്നു് അക്കങ്ങളും പറഞ്ഞുതന്നു.
ഒരു കാറിന്റെ നമ്പരിന്റെ അവസാനത്തെ മൂന്നു നമ്പരും അതു തന്നെയാവാൻ സാദ്ധ്യത 10 x 10 x 10 = ആയിരത്തിൽ ഒന്നു മാത്രമാണു്. അതൊരു വെള്ളക്കാറും കൂടി ആവാനോ? ഞാൻ ആലോചിച്ചു. മൊത്തം കാറുകളിൽ അഞ്ചിലൊന്നു വെളുപ്പാണെന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. അപ്പോൾ നമ്പരും നിറവും അതു തന്നെയാവാൻ സാദ്ധ്യത അയ്യായിരത്തിൽ ഒന്നു്. അതൊരു നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്രയും ആവാനോ? ആകെ കാറുകളിൽ എത്ര ശതമാനമാണു നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര? ആ, ആർക്കറിയാം! ഒരു ഇരുനൂറിൽ ഒന്നെന്നു ചുമ്മാ കൂട്ടിയാൽ തന്നെ ഞാൻ കാറു തെറ്റി കയറാനുള്ള സാദ്ധ്യത ഒരു മില്യനിൽ ഒന്നാകും. ഇനി അതിലുള്ള ആൾ ഒരു സീരിയൽ കില്ലർ ആകാനും എന്നെ കൊന്നു വഴിയരികിൽ തള്ളാനും സാദ്ധ്യത പിന്നെയും കുറയും. ആ നമ്പരിൽ അവസാനിക്കുന്ന വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര കണ്ടാൽ അതു സിബു തന്നെ ആയിരിക്കും. കയറുക തന്നെ.
കാറിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു വഴിക്കാക്കിയപ്പോൾ സിബുവിന്റെ വീടിനെപ്പറ്റി ചിന്തിച്ചു. രണ്ടു കുട്ടികൾ ഉണ്ടെന്നു പറഞ്ഞു. ആണായിരിക്കുമോ പെണ്ണായിരിക്കുമോ? ആദ്യത്തേതു് ആണാവാനും പെണ്ണാവാനും സാദ്ധ്യത 1/2 വീതം. രണ്ടാമത്തേതിനും അതു തന്നെ. അങ്ങനെ നാലു രീതികൾ.
- ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
- ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 25%. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 25%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 50%.
ഇത്രയും ആലോചിച്ച്പ്പോഴേയ്ക്കും ഒരു വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര ഓടിക്കിതച്ചു വന്നു് എന്നെയും കടന്നു പോയി മുന്നിൽ പോയി നിന്നു. അവിടെയുള്ള ഒരു പോലീസുകാരനോടു് അലാസ്ക എയർലൈൻസിൽ വരുന്നവർ എവിടെയാണു് ഇറങ്ങിനിൽക്കുക എന്നു് ഒരുത്തൻ ത്രിശ്ശൂർ ആക്സന്റുള്ള ഇംഗ്ലീഷിൽ ചോദിക്കുന്നതു കേട്ടു. “സംശയമില്ല, ഇതു സിബു തന്നെ” എന്നുറപ്പിച്ചു് ഞാൻ ഓടിച്ചെന്നു. എന്നെക്കൊണ്ടു് ഒരു ശ്ലോകം ചൊല്ലിച്ചു് ഞാൻ ആണെന്നു് ഉറപ്പുവരുത്തിയതിനു ശേഷം സിബു എന്നെ കാറിൽ കയറാൻ സമ്മതിച്ചു.
കാർ വിട്ടപ്പോൾ പുറകിൽ നിന്നു് ഒരു കിളിനാദം, “ഹലോ…”. പുറകിലെ സീറ്റിൽ ഒരു അഞ്ചുവയസ്സുകാരി സുന്ദരിക്കുട്ടി ഇരിക്കുന്നു.
സാദ്ധ്യതകളാകെ തകിടം മറിഞ്ഞു. അപ്പോൾ സിബുവിന്റെ രണ്ടു കുട്ടികളും ആണാവാനുള്ള സാദ്ധ്യത പൂജ്യം.
ഒന്നുകൂടി നോക്കിയപ്പോൾ ഇത്രയേ സാദ്ധ്യതയുള്ളൂ.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.- ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 33.3333…%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 66.6666…%
“ഇളയ ക്ടാവു ഭയങ്കര വഴക്കായി പിണങ്ങിപ്പോയി. അതുകൊണ്ടു് ഇവളെ കൊണ്ടുപോന്നു,…” സിബു പറഞ്ഞു. അപ്പോൾ മൂത്തതു പെണ്ണാണു്. പ്രോബബിലിറ്റി പിന്നെയും തകിടം മറിഞ്ഞു.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 0.- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.
- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.
അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 50%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 50%.
സിബുവിന്റെ വീട്ടിൽ എത്തി. രണ്ടാമത്തെ മകൾ വാതിൽക്കൽ തന്നെ നിൽ‌പ്പുണ്ടായിരുന്നു. പിണക്കമൊക്കെ മാറി ചിരിച്ചുകൊണ്ടു്.
ഏറ്റവും പുതിയ പ്രൊബബിലിറ്റി.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 0.ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.- ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1.
അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0%. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 100%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 0%.
ഒരേ സംഭവത്തിനുള്ള സാദ്ധ്യത ഡാറ്റാ മാറുന്നതനുസരിച്ചു മാറുന്നതു നോക്കണേ!
വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കർമ്മണിപ്രയോഗം എന്ന പോസ്റ്റിനെപ്പറ്റി ചില അഭിപ്രായങ്ങൾ:
- വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:
കള്ളം മാത്രം പറയുന്ന ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്ന് ഒരാള്‍, സത്യം മാത്രം പറയുന്ന ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്ന് ഒരാള്‍. ഇവര്‍ക്കു നടുവില്‍ നിന്നുകൊണ്ട്, കള്ളം പറയുന്നതാര് സത്യം പറയുന്നതാര് എന്നൊരു പിടിയുമില്ലാത്ത കാസ്പര്‍, കള്ളം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കണം. ഒരേയൊരു ചോദ്യമേ പാടുള്ളൂ. മുന്നില്‍ കാണുന്ന ഒരാളോട്, കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അയാള്‍ പറഞ്ഞേക്കാവുന്ന ഉത്തരത്തിന്റെ വിരുദ്ധമായ ഗ്രാമമായിരിക്കും കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം. ഈ വിഷമപ്രശ്നത്തിന് അങ്ങനെയൊരു ഉത്തരം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നാണ് പ്രഫസറുടെ നിലപാട്. പ്രഫസര്‍ പറയുന്നത്, തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു നിഷേധങ്ങള്‍ (നെഗറ്റീവുകള്‍), ഒരാളിന്റെ ശരിയായ വ്യക്തിത്വത്തെ വെളിപ്പെടുത്താന്‍ സഹായിക്കുമെന്നാണ്.
ഇതു തെറ്റാണു്. സത്യം പറയുന്ന ആളോടാണു് ഇതു ചോദിക്കുന്നതെങ്കിൽ ശരിയായ ഉത്തരം തന്നെയായിരിക്കും കിട്ടുന്നതു്.
ഇതിനു് പല ഉത്തരങ്ങളുമുണ്ടു്. ഒരെണ്ണം ഇതാ: ഒരു ഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴി ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരാളോടു ചോദിക്കുക: “ഇതു സത്യം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു് മറ്റേ ആളോടു ചോദിച്ചാൽ അയാൾ എന്തു പറയും?” കിട്ടുന്ന ഉത്തരത്തിനു നേരേ എതിരായിരിക്കും സത്യം. True and False എന്നതും False and True എന്നതും False തന്നെയായിരിക്കും എന്ന boolean algebra-യിലെ തത്ത്വമാണു് ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്.
നേരേ മറിച്ചു്, രണ്ടു നെഗേഷൻ True ആകുന്നതിനു് ഉദാഹരണം വേണമെങ്കിൽ “ഇതു സത്യഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു ചോദിച്ചാൽ സാധാരണ നീ എന്താണു പറയാറുള്ളതു്?” എന്നോ മറ്റോ ചോദിക്കണം. രണ്ടു ഗ്രാമത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പറ്റം ആളുകളെയോ ഏതു ഗ്രാമത്തിൽ നിന്നു് എന്നറിയാത്ത ഒരാളെ മാത്രമോ കണ്ടാൽ ഈ ചോദ്യം ചോദിക്കാം.
- വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:
ഈ കഥയ്ക്കുള്ള മറ്റൊരു വെര്‍ഷനില്‍ കള്ളം പറയുന്നവനെയും സത്യം മാത്രം പറയുന്നവനെയും കൂടാതെ കള്ളവും സത്യവും മാറിമാറി പറയുന്ന മറ്റൊരാളുകൂടി കടന്നു വരുന്നതു കാണാം. ജീവിതം എന്ന പ്രഹേളികയുടെ ഉത്തരം തന്നെ നേരെ കണ്ടെത്താന്‍ വയ്യാതെ അട്ടം നോക്കുന്നവന്റെ കുഴങ്ങുന്നവന്റെ ബാദ്ധ്യത വര്‍ദ്ധിപ്പിക്കാനായിട്ട് !
വെള്ളെഴുത്തിനെ എന്റെ ഹ്രീഹ്ലാദവും ജഞ്ജലിപ്പും എന്ന പോസ്റ്റു വായിക്കാൻ ക്ഷണിക്കുന്നു. Boolean algebra-യിലെ xor എന്ന ക്രിയ കൊണ്ടു് അറിയേണ്ടാ‍ത്തതായ ഒരു ചരത്തെ ഒഴിവാക്കുന്ന ടെക്നിക്ക് ആണു് അതിൽ.
- വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:
പക്ഷേ കാസ്പറിനു പറയാന്‍ മറ്റൊരുത്തരമുണ്ടായിരുന്നു. വളരെ ലളിതമായത്. വരുന്നവനോട് ‘നീ മരത്തവളയാണോ’ എന്നു ചോദിക്കുക. അവന്‍ ‘അതെ’ എന്നു പറയുകയാണെങ്കില്‍ (കള്ളം മാത്രം പറയുന്നവന് മറ്റെന്തു പറ്റും?) അവന്‍ കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്നാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാമല്ലോ.
ഉറപ്പിക്കാം. പക്ഷേ അയാൾ ഏതു ഗ്രാമത്തിലേതാണു് എന്നതല്ല നമ്മുടെ പ്രശ്നം. ഏതാണു സത്യഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴി എന്നതാണു്. ഈ മരത്തവളച്ചോദ്യം വേണ്ടാത്ത ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തെയാണു തേടുന്നതു്.
- “ഒരു കൂട്ടത്തില്‍ 98 ശതമാനവും ചിന്തിക്കുന്നത് ഒരേ തരത്തിലായിരിക്കും…” എന്നു തുടങ്ങുന്ന ഖണ്ഡികയ്ക്കു് ഒരു സ്പെഷ്യൽ സല്യൂട്ട്!
ശ്രീഹരി::Sreehari | 16-Mar-09 at 9:26 pm | Permalink
കമന്റുകളെ ഒരു പോസ്റ്റായി വികസിപ്പിക്കേണം എന്നു കരുതിയപ്പോഴാണ് ഉമേഷ് ജീയുടെ പോസ്റ്റ് കാണുന്നത്. കാര്യങ്ങള്‍ ലളിതമായ ഭാഷയില്‍ വിവരിച്ചതിന് വളരെ നന്ദി.
അതില്‍ നര്‍മം കലര്‍ത്തി ചിരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു. അദ്ധ്യാപകന്‍ എന്ന തൊഴില്‍ തുടര്‍ന്നിരുന്നുവെങ്കില്‍ കേരളത്തിലെ ഏതെങ്കിലും ഒരു കലായത്തിലെ വിദ്യാര്‍ത്ഥികളുടെ ഭാഗ്യം ആയേനേ…
ഡാറ്റയ്ക്ക് അനുസരിച്ച് സാദ്ധ്യത മാറുന്ന ഉദാഹരണം വളരെ നന്നായി.
കരിങ്കല്ല് | 16-Mar-09 at 9:57 pm | Permalink
രണ്ടു ദിവസം മുമ്പ് എന്തോ ഒരൊര്‍മ്മ വന്നിട്ടു മോണ്ടി പ്രോബ്ലം നോക്കിയിരുന്നു…
എന്നിട്ടൊരു സുഹൃത്തിനു വിശദീകരിച്ചു കൊടുക്കാന്‍ ഇത്തിരി ബുദ്ധിമുട്ടി…
ഇനി ഇപ്പൊ ഈ പേജില്‍ വന്നാലും മതി… ഇല്ലേ?
manu | 16-Mar-09 at 10:47 pm | Permalink
ഇദെന്ത് കളിയാണ്? (ആദ്യത്തേത് മാത്രം) പ്രോബബിലിറ്റീസ് ഒരുപാട് ബാക്കീല്ലേ.. സിനിമ കാണണം… രണ്ടാമത്തെ നാണയം ടോസ് ചെയ്യുന്നതിനിടയില്‍ രാജാവിനെ സിംഹം പിടിക്കാനുള്ള സാധ്യത(കൊച്ചിന്‍ ഹനീഫ ആണു രാജാവെങ്കില്‍ ഉറപ്പ്); അകത്തിടുന്ന യുവാവ് ജയന്‍ ആയിരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാധ്യത (ആ സിംഹങ്ങളുടെ കാര്യം ഓര്‍ത്തിട്ട് ങ്ഹീ‍ീ..); രണ്ടുവാതിലുകളും ഒരുമിച്ച് തുറക്കാനുള്ള സാധ്യത (അകത്ത് രജനി ആണെങ്കില്‍ അത് ഉറപ്പായും നടക്കും) അകത്തിരിക്കുന്നത് പെണ്‍സിംഹമാണെങ്കില്‍ ചെക്കനെക്കണ്ട് പ്രണയപരവശ ആകാനുള്ള സാധ്യത (മോഹന്‍‌ലാല്‍ ആണെങ്കില്‍ ഉറപ്പായിട്ടും നടക്കും); അകത്തെ മുറിയിലെ സിംഹത്തിന് ദഹനക്കേടായിരിക്കാനുള്ള സാധ്യത ………………………. ദെയര്‍ ആര്‍ കിലോമീറ്റേഴ്സ് ആന്‍ഡ് കിലോമീറ്റേഴ്സ് ഓഫ് പോസിബിലിറ്റീസ്…
ഏറ്റവും കിടിലന്‍ സാധ്യത ആദ്യം തുറക്കുന്ന വാതിലിനകത്ത് പ്രണയപരവശയായ ഷക്കീലയിരിക്കുന്നത് കണ്ട് പയ്യന്‍ മറുവശത്തേക്കോടി സിംഹമിരിക്കുന്ന മറ്റേമുറിയില്‍ ചാടി ആത്മഹത്യ ചെയ്യുന്നതാണ്. ആ സിംഹത്തിന്റെ കാര്യവും പോക്ക്!
Jayarajan | 17-Mar-09 at 5:23 am | Permalink
“ഇതു സത്യം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു് മറ്റേ ആളോടു ചോദിച്ചാൽ അയാൾ എന്തു പറയും?” ഇത്രയൊക്കെ കഷ്ടപ്പെടണോ ഉമേഷേട്ടാ?
മുന്നില്‍ കാണുന്ന ആളോട്, നിങ്ങളുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അയാള്‍ പറഞ്ഞേക്കാവുന്ന ഉത്തരത്തിന്റെ വിരുദ്ധമായ ഗ്രാമമായിരിക്കില്ലേ കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം?
മതി ജയരാജാ. അതുകൊണ്ടല്ലെ പല ഉത്തരങ്ങളുണ്ടു് എന്നു പറഞ്ഞതു്?
ആര്യന്‍ | 17-Mar-09 at 6:35 am | Permalink
ഏയ് ഓട്ടോ…
ഉമേഷ് ജി,
‘വിഷം’ എന്ന പദത്തിന് നല്ല ഒരു പര്യായം പറഞ്ഞു തരാമോ?
‘Poison Ivy’ എന്ന വാക്കിന് മലയാളം ഉണ്ടാക്കാന്‍ വേണ്ടി ആയിരുന്നു…
‘വിഷലത’ എന്നൊക്കെ ആലോചിച്ചു നോക്കി, ബട്ട് ഒരു പേര് പോലെ തോന്നുന്നില്ല.
Can you please help me?
റെമിസ് | 17-Mar-09 at 6:44 am | Permalink
തലക്കെണ്ട് കണ്ടു വന്നതാണ്. പക്ഷെ പോസ്റ്റ് വായിച്ചപ്പം കലിപ്പ് വന്നു
സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ | 17-Mar-09 at 6:45 am | Permalink
മെര്‍ലിന്‍ സാവന്തിന്റെ പ്രശ്നത്തില്‍ എനിക്കു് എതിരഭിപ്രായമാണുള്ളതു്, കണക്കില്‍ അതു് ശരിയാണെന്നു വരികിലും.
കാരണം, ബാക്കി ഉള്ള രണ്ടു വാതിലില്‍ ഒരു സിംഹത്തെ കാണിച്ചു കഴിഞ്ഞാല്‍ അതു തീര്‍ന്നു എന്നതാണു് പ്രായോഗികമായ സത്യം. സിബുവിന്റെ ആദ്യ ക്ടാവിനെ കണ്ടപ്പോള്‍ പ്രോബബിലിറ്റി ബാക്കി മൂന്നു് ഇവന്റുകളിലേക്കു് മാത്രമാക്കി മാറ്റുകയല്ലേ ചെയ്തതു്?
സാവന്തിനെ സിബുവില്‍ സന്നിവേശിപ്പിച്ചാല്‍, കാറില്‍ കയറുന്നതിനു മുന്‍പേ സിബുവിനു് ഒരു പെണ്ണും ഒരാണും ആയിരിക്കണം എന്നുമേഷ് വിചാരിച്ചു. കാറില്‍ കയറി പിന്നില്‍ നിന്നും ഹലോ കേട്ട ശേഷം അതു മാറ്റുന്നതാണോ നല്ലതു്, എന്നല്ലേ വരൂ?
Eccentric | 17-Mar-09 at 7:34 am | Permalink
annaaaaaaaaaaaaaa,
namichu…
njaan ee paranjath sathyam aavanulla sadhyatha 50%
kaliyakkiyathakanulla sadhyatha 50%
alle?
babukalyanam | 17-Mar-09 at 8:50 am | Permalink
ഹോ…എന്റെ ഒരു കമന്റിനെ പറ്റി ഉമേഷ് ഒരു പോസ്റ്റ് ഇട്ടു. ആനന്ദ ലബ്ധിക്കിനിയെന്തു വേണം 🙂
ഇനി വെള്ളെഴുത്തിന്റെ പോസ്റ്റില്‍ ഓഫ് അടിക്കെണ്ടല്ലോ. 🙂
The puzzle I gave wasn’t the right one… Here is the original Gardner puzzle.
The arena reconstructed so that instead of one pair of doors there were now three pairs.
Behind one pair he placed two hungry
tigers. Behind the second pair he placed a tiger and a lady.
Behind the third pair he placed two ladies who were identical
twins and who were dressed exactly alike.
The cruel scheme was as fo!lows. The courtier must first
choose a pair of doors. Then he must select one of the two
and a key would be tossed to him for opening it. If the tiger
emerged, that was that. If the lady, the door would immediately
be slammed shut. The lady and her unknown partner
(either her twin sister or a tiger) would then be secretly rearranged
in the same two rooms, one to a room, according
to a flip of a special gold coin with a lady on one side and a
tiger on the other. The courtier would be given a second
choice between the same two doors, without knowing whether
the arrangement was different or the same as before. If he
chose a tiger, that was that again; if a lady, the door would
be slammed shut, the coin-flipping procedure repeated to determine
who went in which room, and the courtier given a
third and final choice of one of the same two doors. If successful
in his last choice, he would marry the lady and his
ordeal would be over.
Now what’s the probability that he might survive?
വെള്ളെഴുത്ത് | 17-Mar-09 at 10:17 am | Permalink
മുന്നില്‍ കാണുന്ന ഒരാളോട്, കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അയാള്‍ പറഞ്ഞേക്കാവുന്ന ഉത്തരത്തിന്റെ വിരുദ്ധമായ ഗ്രാമമായിരിക്കും കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം.
ഇതു എടുത്തെഴുതിയപ്പോള്‍ ഞാന്‍ തെറ്റിച്ചതാണ്. അതവിടെ തിരുത്തി.
“ഇതു സത്യഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു ചോദിച്ചാൽ സാധാരണ നീ എന്താണു പറയാറുള്ളതു്?” സത്യത്തില്‍ ഈ വാക്യത്തെ കള്ളഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴിയേതാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ മറ്റേയാള്‍ എന്താണു പറയുക?’ എന്നാക്കിയാലും ശരിയല്ലേ.. ? അതായിരുന്നു വേണ്ടിയിരുന്നത്, രണ്ടു നേഗേഷന്‍ സത്യമാക്കാന്‍.
ഇത്രയും സംഭാവ്യതയിലും ഗണിതത്തിലുമൊക്കെയുള്ള പ്രശ്നം. സിനിമ കൈകാര്യം ചെയ്യുന്നത് തത്വചിന്തയുടെ ശരിയും ശരികേടും. അവിടെയാണ് മരത്തവള പ്രശ്നം വരുന്നത്. ഇത്രയൊക്കെ കുഴഞ്ഞു മറിഞ്ഞ ഒരു (ഗണിത) പ്രശ്നത്തിനു മുന്നില്‍ നിന്നുകൊണ്ട് ‘നിങ്ങളുടെ ആവശ്യമെന്താ കള്ളം പറയുന്നവനാരാണെന്നു കണ്ടു പിടിക്കണം. അതിനു നീ മരത്തവളയാണോ എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ പോരേ“ എന്നാണ്.. പരിഷ്കാരം തീണ്ടാത്ത കാസ്പര്‍ ചോദിക്കുന്നത്. (ഞാന്‍ അതെഴുതി, മനസ്സിലാക്കാന്‍ വയ്യാതെയാക്കിയോ?) സിനിമയിലെ പ്രഫസറെ പോലെ ഉമേഷും അതംഗീകരിക്കുന്നില്ല.. 🙂 അല്ലേ? (അപ്പോള്‍ ഇന്‍ഡയറക്ടായി എന്റെ ഭാഗം ശരിയാവും!)
ഈ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഭംഗി തന്നെ അതിങ്ങനെ ഇന്റെര്‍ ഡിസിപ്ലിനറിയാവുമ്പോള്‍ ഒരു പ്രശ്നം കുഴയുന്നതിന്റെയും കുഴങ്ങുന്നതിന്റെയും ഭംഗിയാണ്..
കണക്ക് ഒരു വലിയ മുട്ടിയായി (കീറാ) എന്റെ തലയ്ക്കകത്ത് കുടിയിരുപ്പാണ്. എങ്കിലും ബ്ലോഗില്‍ വരുന്ന സമയത്ത് ഏറ്റവും കുഴച്ചുമറിച്ച പ്രശ്നം വാക്കാലും ആശയപരമായും അതായിരുന്നു.. ‘ഹ്രീഹ്ലാദവും ജഞ്ജലിപ്പും‘ !!!
SAJI | 17-Mar-09 at 11:43 am | Permalink
ഞാനിതു വായിച്ചു,. പിന്നേം വായിച്ചു. പിന്നേം വായിച്ചു.
എനിക്കിനി ജോലി ചെയ്യാന്‍ പറ്റില്ല. എന്റെ മൊത്തം കണക്ഷനും വിട്ടു പോയി. എന്റെ ജോലിയെങ്ങാനും പോയാല്‍, വളുത്തെഴുത്താണെങ്കിലും കറുത്തെഴുത്താണെങ്കിലും,ഉമേഷാണെങ്കിലും, മാസാമസം ചിലവിനുള്ള വക അയച്ചു തന്നേക്കണം! പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി പോലും!.
പഴയ പോലെ എന്റെ ഓര്‍മ്മയും സല്‍ബുദ്ധിയും തിരിച്ചു കിട്ടാന്‍ ഒരു പ്രോബബിലിറ്റിയും കാണുന്നില്ല!
പ്രിയപ്പെട്ടവരേ, മുകളില്‍ കാണുന്നതൊന്നും വായിച്ചേക്കരുത്. ഏതു വാതില്‍ തുറന്നാലും തിന്നുന്ന തയ്യാറായി നില്‍ക്കുന്ന സിംഹങ്ങളുള്ള ഒരു മുറിയാണ് ഈ പോസ്റ്റ്…
ബി കെയറ്ഫുള്‍!
Babukalyanam | 17-Mar-09 at 12:36 pm | Permalink
let’s make it a bit more tough. Assume that the courtier has selected a lady in the first two tries. What is the probability of him doing so in the third and final try?
Note: he couldn’t really identify whether the lady in second attempt was same as the first. It could be the same, or it could be her identical twin. 🙂
Vadakkoodan | 17-Mar-09 at 1:42 pm | Permalink
A related post and explanations
Umesh:ഉമേഷ് | 17-Mar-09 at 1:47 pm | Permalink
ബാബുവേ,
കൊല്ലും ഞാൻ! സാധാരണ ഗതിയിൽ ഒന്നു വായിച്ചു് ഒരല്പം വെള്ളം കുടിച്ചിട്ടു് പിന്നെയും ഒന്നുകൂടി വായിച്ചിട്ടു് “എന്തോ എന്തരോ” എന്നു പറഞ്ഞു് മനുഷ്യർ സ്കൂട്ടാവേണ്ട വെള്ളെഴുത്തുപോസ്റ്റിൽ ഒരു കൊസ്രാക്കൊള്ളിച്ചോദ്യം ചോദിച്ചിട്ടു് ശ്രീഹരിയുടെയും മധുസൂദനന്റെയും എന്റെയും മറ്റു പലരുടെയും ഉള്ള സമയമൊക്കെ കളഞ്ഞിട്ടു് ഇപ്പോൾ ചോദ്യം തെറ്റി എന്നു പറയുന്നോ?
ഇന്നലെ ജോഷി ഇതിനോടു സാദൃശ്യമുള്ള മൂന്നാലു ചോദ്യങ്ങൾ പറഞ്ഞുതന്നു. തല കറങ്ങി.
അപ്പോൾ ഇതുപോലെ ഉള്ള മറ്റു പ്രശ്നങ്ങൾ ഉള്ളവർ (“എന്റെ പ്രശ്നം ഗുരുതരമാണു ഡോക്ടർ. പേരിലുള്ള ഒന്നു് ജീവിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ല ഡോക്ടർ” എന്ന മാതിരിയുള്ള പ്രശ്നമല്ല) ഇവിടെ കമന്റായി ഇട്ടാൽ അവയെല്ലാം കൂടി ചേർത്തു് ഒരു പോസ്റ്റിടാം. ഇനി ഉത്തരം കിട്ടുന്നില്ലെങ്കിൽ “ബുദ്ധിപരീക്ഷ”യിൽ ഇടാം. നാട്ടുകാർ ചെയ്യട്ടേ 🙂
babukalyanam | 17-Mar-09 at 3:47 pm | Permalink
“പേരിലുള്ള ഒന്നു് ജീവിതത്തിൽ സംഭവിക്കുന്നില്ല ഡോക്ടർ”: ഇതെന്നെ ഉദ്ദേശിച്ചാണ്, എന്നെ തന്നെ ഉദ്ദേശിച്ചാണ്, എന്നെ മാത്രം ഉദ്ദേശിച്ചാണ്. 🙂
ഓര്‍മയില്‍ നിന്നും പസ്സില്‍ എടുത്തെഴുതിയപ്പോള്‍ വെറും elementary probability problem ആയി പോയി. gardner’s puzzle wasn’t that simple എന്ന് ഓര്‍മയുണ്ടായിരുന്നു. കഷ്ടപ്പെട്ട് gardnerude scientific american ബുക്ക് ഡൌണ്‍ലോഡ് ചെയ്തു നോക്കിയപ്പോള്‍ തെറ്റ് മനസ്സിലായി. അവസാനം പറഞ്ഞതാണ്‌ ശരിയായ പസ്സില്‍. (ഇനി മാറില്ല) 🙂
ശ്രീഹരി::Sreehari | 17-Mar-09 at 5:39 pm | Permalink
അത് ശരി കാര്യങ്ങള്‍ ഒരു വഴിക്ക് സെറ്റില്‍ ആക്കിയപ്പോള്‍ പ്രശ്നം തന്നെ മാറ്റിക്കളഞ്ഞോ?
എന്നാ ഇതിനു ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്നു നോക്കട്ടെ..
(ഉറപ്പില്ല)
സാദ്ധ്യതാദൈവങ്ങളേ കരുത്തു തരൂ…
ശ്രീഹരി::Sreehari | 17-Mar-09 at 6:07 pm | Permalink
ഇതാ എന്റെ മനസില്‍ വന്ന ഒരു ഉത്തരം….
തെറ്റാണോ ശരിയാണോ എന്നറിയില്ല…
ഇംഗ്ലീഷ് ക്ഷമിക്കുക
Now what’s the probability that he might survive?
In Three pairs, one contains a pair of tigers which is sure a death case
P(choosing tiger-tiger pair) = 1/3. SO there is always a 1/3 chance of death. Now it will increase from here lets see…
Probablity ( choosing a tiger-beauty Pair) = 1/3
Probablity (chossing tiger from tiger-beauty pair) = 1/3 x 1/2 = 1/6
So till now the total probability of getting killed = 1/3 + 1/6 = 3/6 = 1/2
there is no magic here….
Now here comes again the coin tossing.
P( choosing tiger coin toss 1) = 1/2
so till now total probability = 1/3 + 1/6 + (1/6 x 1/2) = 1/2 + 1/12 = 7/12
P(chosing tiger coin toss 2) = 1/2
So till now total probabilty = 1/3 + 1/6 + 1/12 + 1/24
Similiary after third coin toss
total probabilty = 1/3 + 1/6 + 1/12 + 1/24 + 1/48 = 7/12 + 1/24 + 1/48 = 28/48 + 2/48 + 1/48 = 31/48
അതായത് കൊല്ലപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത 24/48 ( അഥവാ 1/2) എന്നതില്‍ നിന്നും 31/48 എന്ന സാദ്ധ്യതയിലേക്ക് വര്‍ദ്ധിച്ചു.
ഇനി അടുത്ത പാര്‍ട്ട്.
Assume that the courtier has selected a lady in the first two tries. What is the probability of him doing so in the third and final try?
അത് സിമ്പിള്‍. ആദ്യത്തെ രണ്ട് try വിജയിച്ചുവെങ്കില്‍, മൂന്നാമത്തെ സക്സസ് ആവാന്‍ ഉള്ള ചാന്‍സ് = 1/2… എന്താ ശരി അല്ലേ? ഞാന്‍ പ്രശ്നം മനസിലാക്കിയതിന്റെ കുഴപ്പം ആവാം.
ശ്രീഹരി::Sreehari | 17-Mar-09 at 6:09 pm | Permalink
ഉമേഷ് ജീ,
ഞാന്‍ പറഞ്ഞതില്‍ വല്ലതും കറക്ട് ഉണ്ടോ?( ഏതോ ഒരു സിനിമയില്‍ ഹരിശ്രീ അശോകന്‍ പറയും പോലെ)
ശ്രീഹരി::Sreehari | 17-Mar-09 at 6:33 pm | Permalink
പ്രോബബിളിറ്റി തിയറി മാറ്റി വച്ച് സാധാരണ യുക്തിയില്‍ ചില കാര്യങ്ങള്‍ കൂടേ ചേര്‍ക്കട്ടെ.
ഇവിടെ മരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത എങ്ങിനെ കൂടി?
ടൈഗര്‍-സുന്ദരി പെയര്‍ തിരഞ്ഞെടുത്ത ശേഷം ടൈഗറിനെ തിരഞ്ഞെടുത്താല്‍ മരണം ഉറപ്പാണ്. വീണ്ടും ഒരു പരീക്ഷണം കൂടെ ഇല്ല.
അതേ സമയം ടൈഗര്‍ -സുന്ദരി പെയ്യറില്‍ നിന്നും സുന്ദരിയെ തിരഞ്ഞെടുത്താല്‍ വീണ്ടും അയാള്‍ ഒന്നു കൂടെ പരീക്ഷണവിധേയനാകണം.
ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്‍ മരിക്കാന്‍ ഉള്ള അവസരമാണ് വരുന്നതെങ്കില്‍ അപ്പോള്‍ മരിച്ചോളണം. നേരെ മറിച്ച് സുന്ദരിയോടൊത്ത് കുറേക്കാല്‍ം ജീവിച്ച് ഇഞ്ചിഞ്ചായി മരിക്കാന്‍ ഉള്ള അവസരം കിട്ടിയാല്‍ പിന്നേം ഒന്നൂടെ കോയി ടോസ് ചെയ്യണം.
അത് കൊണ്ടാണ് ഇവിടെ മരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കുറയുകയും രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കൂടുകയും ചെയ്യുന്നത്..
ഓടോ:-
മരിച്ചാലും ശരി , രക്ഷപ്പെട്ടാലും ശരി രാജാവിന് സന്തോഷം. രാജകുമാരിയെ എന്തായാലും വിവാഹം കഴിക്കില്ലല്ലോ. വേറെ സുന്ദരി അല്ലെ. അവിടെ സാദ്ധ്യതാപ്രശ്നം പോലും ഉപയോഗിക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ലല്ലോ 🙁 രാജശാസനം…..
അതേ സമയം സുന്ദരിയെ ഓര്‍ത്ത് വിഷമം ഉണ്ട്.. അവളുടെ വിവാഹക്കാര്യത്തില്‍ അവള്‍ക്കൊരു വോയ്സ് ഇല്ലേ? 🙁
വിശന്നിരിക്കുന്ന സിംഹത്തോട്(കടുവ) ദാ ഇര വരുന്നു ദാ ഇര പോയി എന്നൊക്കെ പറയുന്നത് ആലോചിക്കുമ്പോഴും വിഷമം വരുന്നു 🙁
ശ്രീഹരി::Sreehari | 17-Mar-09 at 6:35 pm | Permalink
മുകളിലെ കമന്റില്‍ ” അത് കൊണ്ടാണ് ഇവിടെ മരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കുറയുകയും രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കൂടുകയും ചെയ്യുന്നത്..”
എന്നത്
അത് കൊണ്ടാണ് ഇവിടെ മരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കൂടുകയും രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കുറയുകയും ചെയ്യുന്നത്..” എന്ന് തിരുത്തിവായിക്കാന്‍ അപേക്ഷ.
Joshy | 17-Mar-09 at 6:55 pm | Permalink
@സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍
മെര്‍ലിന്‍ സാവന്തിന്റെ ഒറിജിനല്‍ പ്രശ്നത്തില്‍ ( മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം) 2 വ്യവസ്ഥകളുണ്ട്. അതാണ് ആ പ്രശ്നത്തെ unique ആക്കുന്നത്.
1. ആദ്യമേ നടത്തുന്ന തിരഞ്ഞെടുപ്പ്.
2. തിരഞ്ഞെടുത്ത ശേഷം അവശേഷിക്കുന്നതില്‍ പെണ്ണില്ലാത്ത (അല്ലെങ്കില്‍ സിംഹമുള്ള) വാതില്‍ തുറന്നു കാണിക്കുന്നു. ഇവിടെ രാജാവിനു (അല്ലെങ്കില്‍ കളി നടത്തിപ്പുകാരന്) അവശേഷിക്കുന്ന രണ്ടു വാതിലിലും എന്താണ് എന്നറിയാം. ഈ അറിവ് ആണ് ഇവിടുത്തെ സംഭാവ്യതകളെ മാറ്റി മറിക്കുന്നത്. അതെങ്ങനെ മാറുന്നു എന്നത് പോസ്റ്റിലും അതില്‍ തന്നിട്ടുള്ള വിക്കി ലേഖനത്തിലും വിശദീകരിച്ചിട്ടുണ്ട്.
ഇനി സിബു-വിന്റെ പ്രശ്നത്തിലേക്കു മടങ്ങാം. അതിനെ മേല്‍പറഞ്ഞ പ്രശ്നമായി എങ്ങനെ മാറ്റാം എന്ന് ചിന്തിക്കുന്നു. ചോദ്യം തെറ്റാണെന്കില്‍് ഉമേഷ്ജി ക്ഷമിക്കുക.
====
രാവിലെ തിരക്കിട്ട് പുട്ടും കടലയും കഴിച്ച്, കരയുന്ന കുഞ്ഞുങ്ങളിലൊന്നിനെയും തൂക്കിയെടുത്ത്, എയര്‍ പോര്‍ട്ട്‌-ലേക്ക് തിരിക്കാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോളാണ്, ഉമേഷ്ജി (സംഭാവ്യത-കളിലെ ആശന്കകളുമായി ഇരിക്കുന്ന അതേ ഉമേഷ്ജി തന്നെ !) വിളിക്കുന്നത്‌. സ്വാഭാവികമായും മറ്റു കാര്യങ്ങള്‍ പറഞ്ഞ കൂട്ടത്തില്‍, സിബു-വിനു വട്ടാകുന്ന രീതിയില്‍ ഉമേഷ്ജി സംഭാവ്യതയെക്കുറിച്ചും എന്തൊക്കെയോ പറഞ്ഞു. എന്നാ ശരി, ഇങ്ങേര്‍ക്ക് ഒരു പ്രശ്നം കൊടുത്തു കളയാം എന്ന് സിബു വിചാരിച്ചു. തിരികെ അകത്തു കയറി, തിരക്കിട്ട് എന്തൊക്കെയോ എഴുതി 4 കവറിനകത്താക്കി ഒട്ടിച്ചു. (മുന്‍‌കൂര്‍ ജാമ്യം: മുഴുവന്‍ വായിച്ചു കഴിഞ്ഞ്, സിബു ഈ ചുരുങ്ങിയ സമയത്തിനുള്ളില്‍ ഇതൊക്കെ എങ്ങനെ ആലോചിച്ചു, ചെയ്തു എന്നൊന്നും എന്നോടു ചോദിക്കല്ലേ…സിബു ആരാ പുലി !!!). ഇനി സിബുവിന്റെ ഒട്ടിച്ച കവറില്‍ എന്താണ് എന്ന് എത്തിനോക്കാം. അത്, 1 കവറില്‍ 1 സാദ്ധ്യത എന്ന കണക്കിന്, സിബുവിന്റെ 2 കുട്ടികള്‍ മൂത്തത്, ഇളയത് ക്രമത്തില്‍ ആണും പെണ്ണും ആവാനുള്ള 4 സാദ്ധ്യതകള്‍ ആയിരുന്നു. ഇത് സിബു എഴുതിയത് കൊണ്ടും, കവറുകള്‍ തമ്മില്‍ സിബുവിനു തിരിച്ചറിയാം എന്നത് കൊണ്ടും ഓരോ കവറിലും ഏതു സാദ്ധ്യത ആണ് എന്നത് സിബുവിനു അറിയാം എന്ന് മനസ്സിലാക്കണം. ചിന്തിക്കുവാന്‍ എളുപ്പത്തിനായി ഈ സാദ്ധ്യതകള്‍ 1B2B, 1B2G, 1G2B, 1G2G എന്നിവയാണെന്ന് കരുതുക (1 മൂത്തതിനെയും 2 ഇളയതിനെയും B, G ഇവ യഥാക്രമം boy, girl എന്നതിനെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു) . സിബു നേരത്തെ പറഞ്ഞത് പോലെ തന്നെ, വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര കാറില്‍ എയര്‍പോര്‍ട്ട്-ലെത്തി ഉമേഷ്ജിയെ പിക്ക് ചെയ്തു. പലതും പറഞ്ഞങ്ങനെ കറങ്ങിത്തിരിഞ്ഞു ഉമേഷ്ജി സംഭാവ്യതയിലേക്കെത്തിയ നേരം സിബു തന്റെ പ്രശ്നം അവതരിപ്പിച്ചു. (ഇടക്ക് ഒന്ന് പറഞ്ഞോട്ടെ, ഈ ഗൂഗിള്‍ transliterate എന്നെ ക്ഷമയുടെ നെല്ലിപ്പലകയില്‍ എത്തിച്ചിരിക്കുന്നു, അതോണ്ട് ഞാന്‍ ചുരുക്കി അങ്ങ് പറയാം)
സിബു-വിനു രണ്ടു കുട്ടികള്‍. അതില്‍ സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം അനുസരിച്ച് സാധ്യമായ 4 സാദ്ധ്യതകള്‍, 4 കവറുകളില്‍ സീല്‍ ചെയ്തു വെച്ചിരിക്കുന്നു. ഉമേഷ്ജി കൃത്യമായ ഉത്തരമുള്ള കവര്‍ തിരഞ്ഞെടുത്താല്‍, ഇനി അടുത്ത 12 മാസത്തിനുള്ളില്‍ ഉമേഷ്ജി നടത്താനിടയുള്ള വീട് മാറ്റങ്ങളുടെ ചുമതല (അട്ടിമറി) സിബു ഏറ്റെടുത്ത് കൊള്ളാമത്രേ !!! (മറ്റൊരു ഓഫര്‍ കാലിഫോര്‍ണിയ-ടെ നാലില്‍ ഒന്നോ മറ്റോ ആയിരുന്നു. ഉമേഷ്ജി ഇത് മതിയെന്ന് വാശി). അങ്ങനെ സിബുവിന്റെ കയ്യില്‍ നിന്നും ഉമേഷ്ജി ഒരു കവര്‍ തിരഞ്ഞെടുത്തു. തുറക്കാന്‍ തുടങ്ങിയപ്പോളെക്കും സിബു തടഞ്ഞു. എന്നിട്ട് സിബുവിന്റെ കയ്യിലുള്ള മൂന്നു കവറുകളില്‍ രണ്ടെണ്ണം തുറന്നു കാട്ടി, അവ രണ്ടുമല്ല സാദ്ധ്യതകള്‍ എന്ന് പറഞ്ഞു. അപ്പോള്‍ ഇനി അവശേഷിക്കുന്നത് ഉമേഷ്ജി ആദ്യം തിരഞ്ഞെടുത്ത കവറും സിബുവിന്റെ കയ്യില്‍ ശേഷിക്കുന്ന ഒരു കവറും മാത്രം. ഉമേഷ്ജി തിരഞ്ഞെടുത്ത കവറില്‍ എന്താണെന്നു വീട്ടിലെത്തിയ ശേഷം നോക്കാം എന്ന് സിബു പറഞ്ഞു. പക്ഷെ, ഉമേഷ്ജിയുടെ പെട്ടികളും മറ്റും എടുത്തു വെക്കുന്നതിനിടയില്‍ എപ്പഴോ അറിയാതെ ഈ കവറുകള്‍ തമ്മില്‍ മാറിപ്പോയി. വീട്ടിലെത്തിയപ്പോള്‍ ഉമേഷ്ജിക്കു സിബുവിനു രണ്ടു പെണ്‍കുട്ടികളാണെന്ന് (1G2G) മനസ്സിലായി. ഇപ്പോള്‍ ഉമേഷ്ജിയുടെ കയ്യിലുള്ള കവറിലെ ഉത്തരം ശരിയാവാന്‍് എന്ത് സാദ്ധ്യത ഉണ്ട്?
====
സിബു, കഴിഞ്ഞ ആഴ്ച ഉമേഷ്ജി-യുടെ വീട്ടിലെ സാധനങ്ങള്‍ U-haul-ഇല്‍ വലിച്ചു കയറ്റുമ്പോള്‍, അന്ന് ഉമേഷ്ജി കവറുകള്‍ മനപൂര്‍്വ്വം മാറ്റിയതാണെന്ന് ആരോപിച്ചു എന്നത് ഒരു രഹസ്യം 🙂
babukalyanam | 17-Mar-09 at 6:55 pm | Permalink
ഹരി തന്നെ മുന്‍പ് പറഞ്ഞ തിയറി ഒക്കെ വച്ച് ഒന്ന് കൂടെ ട്രൈ ചെയ്തു നോക്കൂ ഹരീ.
Jinesh K J | 17-Mar-09 at 9:07 pm | Permalink
പ്രോബബിലിറ്റി മാത്സ് ഒക്കെ ഇഷ്ടമുള്ളവര്‍ക്ക് ഇഷ്ടപ്പെടാന് സാദ്ധ്യതയുള്ള സീരിയലാണ്, Numb3rs. സി.ബി.എസ് ആണെന്നു തോന്നു കാണിക്കുന്നത്. എനിക്കെന്തായാലും ഇഷ്ടപ്പെട്ടു.
ശ്രീഹരി::Sreehari | 17-Mar-09 at 9:09 pm | Permalink
ഒരു ചിന്ന മിസ്റ്റേക്ക്…
ഇതാ ആന്‍സര്‍…
മരിക്കാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത = 1/3 + 1/3 x(1/2 + 1/4+1/8) = 1/3 + 1/3×7/8= 1/3 + 7/24 = 15/24 = 5/8
രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത = 1- 5/8 = 3/8
രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത കുറവ് തന്നെ…
ഒന്നു കൂടെ ചിന്തിക്കാന്‍ പ്രേരിപ്പിച്ചതിന് ബാബു കല്യാണത്തിന് നന്ദി..
ഈ ഉത്തരം ശരിയാ… കട്ട….
Joshy | 17-Mar-09 at 10:34 pm | Permalink
@ശ്രീഹരി, ഇപ്പം ശരിയായി എന്ന് ഞാനും കരുതുന്നു.
ശ്രീ | 18-Mar-09 at 9:39 am | Permalink
എന്തായാലും ഇത്രയും വിശദീകരിച്ചു കൊണ്ടുള്ള പോസ്റ്റിനു നന്ദി, ഉമേഷേട്ടാ.
സത്യവും നുണയും പറയുന്നവരുടെ ചോദ്യം ഒരിയ്ക്കല്‍ കുഞ്ഞന്‍ ചേട്ടന്‍ ചോദിച്ചിരുന്നു
babukalyanam | 18-Mar-09 at 12:48 pm | Permalink
“അത് സിമ്പിള്‍. ആദ്യത്തെ രണ്ട് try വിജയിച്ചുവെങ്കില്‍, മൂന്നാമത്തെ സക്സസ് ആവാന്‍ ഉള്ള ചാന്‍സ് = 1/2…”
അത്ര സിമ്പിള്‍ ആണോ? 😉
ഗുരുവചനം ഓര്‍മിക്കുക:
“സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും ഉത്തരങ്ങളും ഇതുപോലെ ശരിയായി കണക്കുകൂട്ടിയാലേ കിട്ടൂ. സാഹചര്യമനുസരിച്ചു് അതു മാറുകയും ചെയ്യും. മധുസൂദനൻ പേരടി പറയുന്നതു പോലെ ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷനുമായി പോയാൽ പലപ്പോഴും തെറ്റായ ഉത്തരമേ കിട്ടൂ.”
ശ്രീഹരി::Sreehari | 18-Mar-09 at 6:22 pm | Permalink
ബാബു കല്യാണം ജീ,
ചോദ്യം മനസിലാക്കിയതില്‍ എന്തോ കുഴപ്പം ഉണ്ടെന്ന് കരുതുന്നു…
ആലോചിക്കട്ടെ…
ഉമേഷ് | Umesh | 18-Mar-09 at 6:36 pm | Permalink
ബാബൂ,
Assume that the courtier has selected a lady in the first two tries. എന്നു പറഞ്ഞതു് ഒന്നു വിശദീകരിക്കാമോ? രണ്ടു തവണ വീടു സെലക്ടു ചെയ്യുന്നതു തൊട്ടു തുടങ്ങി എന്നാണോ, അതോ വീട്ടിൽ ചെന്ന ശേഷം രണ്ടു തവണ പെണ്ണു വാതിൽ തുറക്കുകയും പിന്നെ അടയ്ക്കുകയും ചെയ്തു എന്നാണോ?
ചോദ്യം മനസ്സിലാക്കിയതിനു ശേഷം വേണ്ടേ ഉത്തരം. ആദ്യഭാഗത്തിന്റെ ഉത്തരം 5/12.
ജോഷീ,
ആ ചോദ്യവും മോണ്ടി ഹാളുമായി വ്യത്യാസമില്ലല്ലോ. ആദ്യത്തെ കവർ ശരിയാവാൻ 1/4 സാദ്ധ്യത. രണ്ടാമത്തേതു ശരിയാവാൻ 3/4 സാദ്ധ്യത.
കഥ കൊള്ളാം!
സിദ്ധാർത്ഥാ,
ആ വിക്കി പേജും അതിൽ ലിങ്കു ചെയ്തിരിക്കുന്ന Boy/Girl ലിങ്കും വായിച്ചു നോക്കൂ. ഇനിയും മനസ്സിലായില്ലെങ്കിൽ ഞാൻ ഒരു പോസ്റ്റുകൂടി ഇടാം.
ആര്യാ,
ക്ഷ്വേളസ്തു ഗരളം വിഷം
പുംസി ക്ലീബേ ച കാകോള-
കാളകൂടഹലാഹലാഃ
എന്നു് അമരകോശം. ക്ഷ്വേളം, ഗരളം, വിഷം, കാകോളം, കാളകൂടം, ഹലാഹലം എന്നിവ.
ഇതിലേതെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചു Poison ivy-യ്ക്കു മലയാളം ഉണ്ടാക്കിയിട്ടു് നാട്ടുകാർ ഓടിച്ചിട്ടു തല്ലിയാൽ ഞാൻ ഉത്തരവാദിയായിരിക്കുന്നതല്ല 🙂
ഉമേഷ് | Umesh | 18-Mar-09 at 6:44 pm | Permalink
ബാബു ഉദ്ദേശിച്ച മൂന്നു ട്രയൽ ഇവയാണെന്നു തോന്നുന്നു.
1) വീടു തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതു്
2) വാതിൽ തുറന്നു പെണ്ണിനെ കിട്ടുന്നതു്
3) ടോസ് ചെയ്തതിനു ശേഷം ആ പെണ്ണിനെയോ വേറേ ഒന്നിനെയോ കിട്ടുന്നതു്.
അതാണു ചോദ്യമെങ്കിൽ അവസാനത്തെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം 5/6.
(3/4 ആണെന്നു തോന്നും. പക്ഷേ അല്ല.)
ബാബുവേ, ഒന്നു വ്യക്തമാക്കൂ…
പാക്കരന്‍ | 18-Mar-09 at 8:09 pm | Permalink
ഈ പോസ്റ്റ് വായിച്ചാല്‍ ഒരു കാര്യം ഉറപ്പാ… 1:1 കാര്യം നടക്കും. ഒന്നുകില്‍ ഏതെന്കിലും സിംഹത്തിന്റെ മടയില്‍ പോയി അത്മഹത്യ ചെയ്യും… ഇല്ലെങ്കില്‍ ഏതെന്കിലും പെണ്ണിന്റെ അടുത്ത് പോകും. 🙂 😉
babukalyanam | 18-Mar-09 at 9:45 pm | Permalink
വീട് സെലക്റ്റ് ചെയ്തു.
ആദ്യത്തെ ട്രയല്‍: ഒരു വാതില്‍ തുറക്കുന്നു. അത്ഭുതം, ടൈഗര്‍ അല്ല.
രാജാവ് നാണയം ടോസ് ചെയ്തു അതിന്റെ ഫലം അനുസരിച്ച് re-arrange ചെയ്യുകയോ ചെയ്യാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ ട്രയല്‍: ഒരു വാതില്‍ തുറക്കുന്നു. വീണ്ടും, ടൈഗര്‍ അല്ല. പക്ഷെ ഇത്തവണ പുറത്തെത്തിയത് ആദ്യത്തെ ട്രയലില്‍ കണ്ട പെണ്‍കുട്ടി തന്നെയാണൊ എന്നറിയില്ല.
രാജാവ് നാണയം ടോസ് ചെയ്തു അതിന്റെ ഫലം അനുസരിച്ച് re-arrange ചെയ്യുകയോ ചെയ്യാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.
മൂന്നാമത്തെ ട്രയല്‍: എന്താണ് സംഭാവ്യത?
ആദ്യ ഭാഗത്തിന് (5/12 എങ്ങിനെ വന്നു? 5/8 അല്ലെ ശരി?
babukalyanam | 18-Mar-09 at 9:45 pm | Permalink
oops…i meant 3/8…
ശ്രീഹരി::Sreehari | 18-Mar-09 at 10:55 pm | Permalink
രക്ഷപ്പെടാന്‍ 3/8
മരിക്കാന്‍ 5/8 ഇത് ശരിയാ… ഉറപ്പ് ഉറപ്പ് ഉറപ്പു… 🙂
ആദ്യം ചെയ്തപ്പോള്‍ ഏതാണ്ട് അടുത്ത് വന്നിരുന്നു…
( കിട്ടിയത് 31/48, ശരി ഉത്തരം 30 /48 or 5/8. കണക്കില്‍ പക്ഷേ ഏതാണ്ട് ശരി ഇല്ലല്ലോ)..
രണ്ടാമത്തെ ഭാഗം ചോദ്യം മനസിലവുന്നില്ല 🙁 അല്ലണ്ട് ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷന്‍ ഇട്ടതല്ലാട്ടോ ബാബൂജീ
Joshy | 19-Mar-09 at 12:26 am | Permalink
@ ബാബു കല്യാണം
ചോദ്യം: (ആദ്യഭാഗത്തിന്റെ തുടര്‍ച്ച…)
ആദ്യത്തെ ട്രയല്‍: ഒരു വാതില്‍ തുറക്കുന്നു. അത്ഭുതം, ടൈഗര്‍ അല്ല.
രാജാവ് നാണയം ടോസ് ചെയ്തു അതിന്റെ ഫലം അനുസരിച്ച് re-arrange ചെയ്യുകയോ ചെയ്യാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.
രണ്ടാമത്തെ ട്രയല്‍: ഒരു വാതില്‍ തുറക്കുന്നു. വീണ്ടും, ടൈഗര്‍ അല്ല. പക്ഷെ ഇത്തവണ പുറത്തെത്തിയത് ആദ്യത്തെ ട്രയലില്‍ കണ്ട പെണ്‍കുട്ടി തന്നെയാണൊ എന്നറിയില്ല.
രാജാവ് നാണയം ടോസ് ചെയ്തു അതിന്റെ ഫലം അനുസരിച്ച് re-arrange ചെയ്യുകയോ ചെയ്യാതിരിക്കുകയോ ചെയ്യുന്നു.
മൂന്നാമത്തെ ട്രയല്‍: എന്താണ് സംഭാവ്യത?
ഉത്തരം:
1. tiger-ന്റെ പിടിയില്‍ പെട്ട് മരിക്കാന്‍ ഉള്ള probability = 5/8
2. ശരിയായ പെണ്‍കുട്ടിയെ കിട്ടാനുള്ള probability = 5/24
3. ലവളുടെ identical twin-നെ കിട്ടാനുള്ള probability = 1/6
Joshy | 19-Mar-09 at 1:04 am | Permalink
@ ബാബു കല്യാണം
ഞാന്‍ നേരത്തെ പറഞ്ഞത് ഈ പ്രശ്നത്തിലെ ആകെ probabilities ആണ് (അതായതു conditions ഒന്നും ഇല്ലാതെ). ബാബു കല്യാണം രണ്ടാമത് നല്‍കിയത് conditions ആണെങ്കില്‍ (അതായതു ഒന്നാമതും രണ്ടാമതും പെണ്‍കുട്ടിയെ കിട്ടി എന്നത്), അതനുസരിച്ച് ഉത്തരങ്ങള്‍ മാറും.
ഉത്തരം (after conditions):
1. tiger-ന്റെ പിടിയില്‍ പെട്ട് മരിക്കാന്‍ ഉള്ള probability = 1/2
2. ശരിയായ പെണ്‍കുട്ടിയെ കിട്ടാനുള്ള probability = 1/3
3. ലവളുടെ identical twin-നെ കിട്ടാനുള്ള probability = 1/6
Joshy | 19-Mar-09 at 1:24 am | Permalink
ഈ ഉമേഷ്ജി-ടെ ബ്ലോഗില്‍ ഒരു ഉത്തരം ഇട്ടാല്‍ അതെങ്ങനെ ഡിലീറ്റ്-ചെയ്യും? ഈ ഉമേഷ്ജി-ടെ ബ്ലോഗില്‍ ഒരു ഉത്തരം ഇട്ടാല്‍ അതെങ്ങനെ ഡിലീറ്റ്-ചെയ്യും? അല്ലെങ്കില്‍ ഒന്ന് എഡിറ്റ് ചെയ്യണമെങ്കില്‍ എന്തേലും വഴിയുണ്ടോ?
പ്രകാശ് | 19-Mar-09 at 1:29 am | Permalink
അത് ഷ്രോഡിഞ്ചറുടെ പൂച്ചയെ പോലുള്ള ഒരു അവസ്ഥ ആയിപ്പോവും!ഏന്ന് ശ്രീഹരി പറഞ്ഞത് ഒന്ന് ലളിതമായി പറഞ്ഞ്ഞ്ഞു തരാമോ. വര്ഷങ്ങളായി കൊണ്ടു നടക്കുന്ന സംശയമാണ്
http://www.blogger.com/profile/00971264265083630675
പ്രകാശ് | 19-Mar-09 at 1:30 am | Permalink
പ്രകാശ് | 19-Mar-09 at 1:29 am | Permalink
അത് ഷ്രോഡിഞ്ചറുടെ പൂച്ചയെ പോലുള്ള ഒരു അവസ്ഥ ആയിപ്പോവും!ഏന്ന് ശ്രീഹരി പറഞ്ഞത് ഒന്ന് ലളിതമായി പറഞ്ഞ്ഞ്ഞു തരാമോ. വര്ഷങ്ങളായി കൊണ്ടു നടക്കുന്ന സംശയമാണ് policeachan@gmail.com
http://www.blogger.com/profile/00971264265083630675
Devan | 19-Mar-09 at 6:53 am | Permalink
തള്ളേ പോബബിലിറ്റി. സാദാ പ്രോബബിലിറ്റി കണ്ടീഷണല്‍ പ്രോബബിലിറ്റി ഇന്‍‌വേര്‍സ് പ്രോബബിലിറ്റി. ഞാന്‍ പോസ്റ്റ് വിട്ടി പ്രാണനും കൊണ്ട് പാഞ്ഞു. പോണപോക്കില്‍ വളിപ്പടിച്ചിട്ട് പോകാം.
ഒരുത്തന്റെ ജോലി കാരണം സ്ഥിരം വിമാനത്തില്‍ അഫ്ഘാനിസ്താനിലേക്ക് പോകണം. പേടികൊണ്ട് ഇയാള്‍ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് വിഭാഗത്തില്‍ വിളിച്ച് കാബൂളിലേക്ക് പോകുന്ന വിമാനത്തില്‍ ബോംബ് ഉണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത എത്രയാണെന്ന് തിരക്കി.
“ആയിരത്തില്‍ ഒന്ന് ആണ് സര്‍”
“അയ്യോ ആയിരത്തില്‍ ഒന്നോ? ഞാന്‍ വര്‍ഷം പത്തന്‍പതു വിമാന യാത്ര അവിടേക്ക് നടത്തുന്ന ആളാണ്‌. അപ്പോ ഞാന്‍ പോകുന്ന വിമാനത്തില്‍ ബോംബ് കാണാനുള്ള സാധ്യത കൂടുതലാണല്ലോ?”
“യെസ് സര്‍ . കൂടുതലാണ്‌. പക്ഷേ സാറു വിഷമിക്കണ്ടാ, ഞാന്‍ ഒരു സൂത്ര പറഞ്ഞു തരാം.”
“എന്താ അത്?”
“സിമ്പിള്‍. സാറ് യാത്ര ചെയ്യുമ്പോഴെല്ലാം ഒരു ബോംബുമായി യാത്ര ചെയ്യണം. അതു പൊട്ടതെ ശ്രദ്ധിക്കണേ.”
“അതുകൊണ്ടെന്താ ഗുണം?”
“എന്താ ഗുണമെന്നോ? ഒരു വിമാനത്തില്‍ രണ്ട് ബോംബ് വരാനുള്ള സാദ്ധ്യത പത്തു ലക്ഷത്തില്‍ ഒന്നാണ്‌. റിസ്ക് എത്ര കുറയുമെന്ന് നോക്കിക്കേ.”
babukalyanam | 19-Mar-09 at 7:45 am | Permalink
Joshy,
yea, the question was about conditional probability only. പക്ഷേ ഉത്തരം 1/2 അല്ല
ശ്രീഹരീ, ചോദ്യം ഇനിയും മനസിലായില്ലേ? ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷന്‍ എന്നതു പരിഹാസം ആയിരുന്നില്ല. പോസ്റ്റിലെ വാചകം അതു പോലെ പേസ്റ്റ് ചെയ്തതാണേ 🙂
ഉമേഷ് | Umesh | 19-Mar-09 at 7:53 am | Permalink
ചോദ്യം ഇപ്പോഴും ക്ലിഷ്ടമാണു ബാബൂ. മൂന്നു ട്രയൽ ചെയ്യുന്ന രീതിയിൽ അവസാനം പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള പ്രോബബിലിറ്റി ആണോ, അതോ രണ്ടു ട്രയലിലും പെണ്ണിനെ കിട്ടി എന്ന സംഭവം കഴിഞ്ഞിട്ടു് മൂന്നാമത്തെ ട്രയലിൽ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യതയാണോ (P(A/B) എന്ന സാധനം) വേണ്ടതു് എന്നു വ്യക്തമാക്കണം.
എന്റെ കണക്കുകൂട്ടലിൽ രണ്ടു ട്രയലിൽ പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള ചാൻസ് 5/12. മൂന്നു ട്രയലിൽ കിട്ടാനുള്ള ചാൻസ് 3/8. എന്താ ശരിയാണോ?
babukalyanam | 19-Mar-09 at 10:03 am | Permalink
ആദ്യത്തെ രണ്ടു ട്രയല്‍ കഴിഞ്ഞു. അതിന്റെ റിസള്‍ട്ട് നമുക്കറിയാം. രണ്ടിലും പെണ്ണായിരുന്നു.
100% sure. Now that we know this, what’s the probability that he might find a girl in the third try.
If we don’t know the results of the first and second trials, the probability of finding a girl in the last try (probability of survival) is 3/8. Now that we know the results of first and second trials the probability changes ( more correctly increases….).
സിബുവിന്റെ കഥയിലെ പോലെ:
““ഇളയ ക്ടാവു ഭയങ്കര വഴക്കായി പിണങ്ങിപ്പോയി. അതുകൊണ്ടു് ഇവളെ കൊണ്ടുപോന്നു,…” സിബു പറഞ്ഞു. അപ്പോൾ മൂത്തതു പെണ്ണാണു്. പ്രോബബിലിറ്റി പിന്നെയും തകിടം മറിഞ്ഞു.”
So what’s the new probability of survival…
ഇനി എങ്ങിനെ ആണോ ഇതൊന്നു വിശദീകരിക്കുക. 🙁
ദേവന്റെ ബോംബ് കഥ കിടിലം 🙂 ഷ്രോഡിഞ്ചറുടെ പൂച്ചയും 🙂
Joshy | 19-Mar-09 at 3:18 pm | Permalink
ചോദ്യം മനസ്സിലാക്കിയതിന്റെ കുഴപ്പമാണെന്ന് തോന്നുന്നു…ബാബു കല്യാണത്തിന്റെ പുതിയ പോസ്റ്റ് അനുസരിച്ച്, ചോദ്യത്തിന്റെ രണ്ടാമത്തെ ഭാഗത്തിന് എനിക്ക് കിട്ടിയ, അവസാനത്തെ തിരഞ്ഞെടുപ്പിന് ശേഷം ഉള്ള സംഭാവ്യതകള്‍
1. ടൈഗര്‍-ന്റെ കയ്യില്‍ പെടാനുള്ള സംഭാവ്യത : 1/4
2. ഏതേലും പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള സംഭാവ്യത : 3/4 (അതില്‍ തന്നെ ശരിക്കുമുള്ള പെണ്ണിനെ കിട്ടാന്‍ 1/2; ലവളുടെ identical twin-നെ കിട്ടാനുള്ള സംഭാവ്യത 1/4)
=====
പുതിയ conditions അനുസരിച്ച് പ്രശ്നം വെറും രണ്ടു യൂണിറ്റുകള്‍ (with two doors each) ആയി ചുരുങ്ങുന്നു (അതായതു 2 വാതിലിലും ടൈഗര്‍ എന്ന യൂണിറ്റ് ഇല്ലാതാവുന്നു). ഇതില്‍ ഏതെങ്കിലും ഒരു യൂണിറ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സംഭാവ്യത 1/2, അതില്‍ തന്നെ ആദ്യത്തെ 2 തിരഞ്ഞെടുപ്പില്‍ പെണ്ണിനെ കിട്ടി എന്ന condition ഉള്ളത് കൊണ്ടു അവസാനത്തെ സംഭാവ്യത കാണാന്‍ മൂന്നാമത്തെ തിരഞ്ഞെടുപ്പ് മാത്രം പരിഗണിച്ചാല്‍ മതിയാവും (കാരണം ഏതു യൂണിറ്റ് തിരഞ്ഞെടുത്താലും അയാള്‍ മൂന്നാമത്തെ തിരഞ്ഞെടുപ്പില്‍ എത്തും എന്നുള്ളത് ഉറപ്പാണ്). പിന്നെ മൂന്നാമത്തെ തിരഞ്ഞെടുപ്പില്‍ അയാള്‍ക്ക്‌ 4 സാദ്ധ്യതകള്‍ (ടൈഗര്‍/പെണ്ണ്/പെണ്ണ്/identical twin, അതായത് 1 ടൈഗര്‍, 2 പെണ്ണ്, 1 ലവളുടെ identical twin). ശരിയാണോ കല്യാണ്ജി, ഉമേഷ്ജി, ശ്രീഹരി?
ദേവന്റെ ബോംബ് കഥ തകര്‍ത്തു 🙂
Umesh:ഉമേഷ് | 19-Mar-09 at 4:14 pm | Permalink
ബാബൂ,
90%. ഉത്തരം അതാണെങ്കിൽ സ്റ്റെപ്പെഴുതി ബുദ്ധിമുട്ടണ്ടാ. ഒരു പോസ്റ്റ് വരുന്നുണ്ടു്.
ശ്രീഹരി::Sreehari | 19-Mar-09 at 4:33 pm | Permalink
ഇപ്പോ സംഗതി പിടി കിട്ടി 🙂
അതായത് ബാബു കല്യാണത്തിനെ വേണ്ടത് ആദ്യ രണ്ട് കോയിന്‍ ടൊസിംഗിന്റെ അവസാനം തടവുകാരന്‍ രക്ഷപ്പെട്ടു. മൂന്നാമത്തെ ചോയ്സില്‍ മാത്രം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത അല്ലേ…
ദേ ഒരു ട്രിക്കി മെത്തേഡ്..
പ്രോബബിളിറ്റിയിലെ പ്രോഡ്കട് രൂള്‍ വെച്ചിട്ട്
രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള അവസാന സാദ്ധ്യത = രണ്ട് കോയിന്‍ ടോസിംഗിനു ശേഷം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത X മൂന്നാമത്തെ കോയിന്‍ ടൊസിംഗിനു ശേഷം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത.
അടിസ്ഥാന ഗണിതം ഉപയോഗിച്ച്.
മൂന്നാമത്തെ കോയിന്‍ ടൊസിംഗിനു ശേഷം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത = രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള അവസാന സാദ്ധ്യത / രണ്ട് കോയിന്‍ ടോസിംഗിനു ശേഷം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത.
രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള അവസാന സാദ്ധ്യത = 3/8 എന്ന് നമുക്കറിയാം…
രണ്ട് കോയിന്‍ ടോസിംഗിനു ശേഷം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത = 1/3 + 1/3(1/2*1/2) = 5/12
ഇത് മുകളിലെ സമവാക്യത്തില്‍ ഇട്ടാല്‍
മൂന്നാമത്തെ കോയിന്‍ ടൊസിംഗിനു ശേഷം രക്ഷപ്പെടാന്‍ ഉള്ള സാദ്ധ്യത = (3/8)/(5/12) = 9/10….
ഇത് ശരിയല്ലേ ബാബൂജീ/ജോഷിജീ/ഉമേഷ്ജീ? ചായക്കടയിലെ ഇന്‍‌റ്റ്യൂഷന്‍ ഒഫന്‍ഡഡ് ആയി എടുത്തില്ലാട്ടോ.. അങ്ങനെ പൊതുവേ ചെയ്യാറില്ല എന്ന് പറഞ്ഞതാ
ദേവന്‍‌ജീയുടെ ബോംബ് കഥക്കൊരു സല്യൂട്ട്… ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ പ്രോബബിളിറ്റിക്കും പോസ്സിബിളിറ്റിക്കും ഉള്ള സ്ഥാനം വ്യക്തമാക്കിക്കളഞ്ഞു 🙂
ശ്രീഹരി::Sreehari | 19-Mar-09 at 4:34 pm | Permalink
ഒരിത്തിരി വൈകി… ഉമേഷ് ജീ സ്കോര്‍ ചെയ്തു കളഞ്ഞു 🙁
Umesh:ഉമേഷ് | 19-Mar-09 at 5:30 pm | Permalink
ബാബുവിന്റെ പ്രശ്നങ്ങൾക്കു് എന്റെ ഉത്തരം ഇവിടെ.
കുരുവില്ലന്‍ | 30-Aug-12 at 11:08 pm | Permalink
ഉമേഷേട്ടാ,
ഒരുപാട് പഴയ പോസ്റ്റുകളൊക്കെ ഇപ്പോള്‍ ചികഞ്ഞെടുക്കുന്നതിനു ആദ്യമേ ഒരു ക്ഷമാപണം. ഇതൊക്കെ ഞാന്‍ കാണാന്‍ ഒരുപാടു വൈകിപ്പോയി. അതാ!
മുകളിലത്തെ പോസ്റ്റില്‍ ഒരു ചെറിയ കല്ലുകടി…
“കാർ വിട്ടപ്പോൾ പുറകിൽ നിന്നു് ഒരു കിളിനാദം, “ഹലോ…”. പുറകിലെ സീറ്റിൽ ഒരു അഞ്ചുവയസ്സുകാരി സുന്ദരിക്കുട്ടി ഇരിക്കുന്നു.
സാദ്ധ്യതകളാകെ തകിടം മറിഞ്ഞു. അപ്പോൾ സിബുവിന്റെ രണ്ടു കുട്ടികളും ആണാവാനുള്ള സാദ്ധ്യത പൂജ്യം.
ഒന്നുകൂടി നോക്കിയപ്പോൾ ഇത്രയേ സാദ്ധ്യതയുള്ളൂ.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 33.3333…%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 66.6666…%”
ഇതെങ്ങനെ ശരിയാകും?
ഇതുവരെയുള്ള അറിവ് വച്ച് – സിബുവിനു 2 കുട്ടികള്‍, അതിലൊന്നു പെണ്‍കുട്ടി. അത്രയേ അറിയൂ. അതിനാല്‍ ഒന്നുകില്‍ രണ്ടും പെണ്‍കുട്ടികള്‍ അല്ലെങ്കില്‍ ഒന്ന് ആണും ഒന്ന് പെണ്ണും. ഇതില്‍ ഏത് ആണ് ശരി എന്നത് വീട്ടില്‍ ഇരിക്കുന്ന കുട്ടിയെ മാത്രം ആശ്രയിച്ചാണ്‌ ഇരിക്കുന്നത്. അതു മൂത്തതായാലും ഇളയതായാലും വ്യത്യാസമില്ല.
അതുകൊണ്ട് ഇങ്ങനെയാണ് വരേണ്ടതെന്ന് തോന്നുന്നു:
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.
അല്ലെങ്കില്‍ ഇങ്ങനെ എഴുതാം:
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്(വീട്ടില്‍). രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്(കാറില്‍). സാദ്ധ്യത: 1/4.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്(കാറില്‍). രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്(വീട്ടില്‍). സാദ്ധ്യത: 1/4.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്(വീട്ടില്‍). രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്(കാറില്‍). സാദ്ധ്യത: 1/4.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്(കാറില്‍). രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്(വീട്ടില്‍). സാദ്ധ്യത: 1/4.
ഇനി കാറിലുള്ള കുട്ടി മൂത്തതാണെന്നു അറിഞ്ഞപ്പോള്‍:
ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
ആദ്യത്തേതു് ആണു്(വീട്ടില്‍). രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്(കാറില്‍). സാദ്ധ്യത: 0.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്(വീട്ടില്‍). രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്(കാറില്‍). സാദ്ധ്യത: 0.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്(കാറില്‍). രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്(വീട്ടില്‍). സാദ്ധ്യത: 1/2.
ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്(കാറില്‍). രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്(വീട്ടില്‍). സാദ്ധ്യത: 1/2.
എന്നുവച്ചാല്‍ കാറിലുള്ള കുട്ടി മൂത്തതോ ഇളയതോ എന്നത് കുട്ടികളുടെ ആണ്/പെണ്‍ അനുപാതത്തില്‍ അപ്രസക്തമാണ് എന്ന്.
എന്തു പറയുന്നു?
എന്റെ കണക്കൊക്കെ തെറ്റാനാണ് കൂടുതല്‍ എങ്കിലും എവിടെയാണ് പിശകിയതെന്നു പറഞ്ഞുതന്നാല്‍ വലിയ ഉപകാരം ആയിരുന്നു.
ഉമേഷേട്ടന്റെ ബ്ലോഗ്‌ ഇടവഴികള്‍ എല്ലാം കുറെക്കാലമായി ജനസഞ്ചാരമില്ലാതെ കിടക്കുന്നതുപോലെ തോന്നുന്നു. ഒരുപാടു വിജ്ഞാനപ്രദവും രസകരവും ആയ പോസ്റ്റുകള്‍ തന്നെ എല്ലാം. ദയവായി ഇതു നിര്‍ത്തി പൊയ്ക്കളയരുതേ!
കുരുവില്ലന്‍ | 04-Sep-12 at 7:05 pm | Permalink
വീണ്ടും വീണ്ടും ആലോചിച്ചപ്പോള്‍ ഒരു ചെറിയ കല്ലുകടി അല്ല –
രണ്ടു കുട്ടികളില്‍ ഒന്ന് പെണ്ണായാല്‍ മറ്റേതു പെണ്ണാകാന്‍ സാധ്യത മൂന്നില്‍ ഒന്നും, ആണാകാന്‍ സാധ്യത മൂന്നില്‍ രണ്ടും – തിരിച്ചും മറിച്ചും എത്ര തവണ കൂട്ടിക്കിഴിച്ചു നോക്കിയിട്ടും ഇത് ഒരു ആന മണ്ടത്തരം ആണെന്ന് തന്നെ തോന്നുന്നു. ഉമേഷേട്ടന് ഇതിനൊരു മറുപടി ഇടാത്തത് കാരണം രണ്ടു ദിവസമായി ഉറക്കവും ശരിയാകുന്നില്ല. ഞാനും probability യും തമ്മില്‍ പണ്ടേ അത്ര രസത്തില്‍ അല്ല. അതുകൊണ്ട് സാധാരണക്കാര്‍ക്ക് മനസ്സിലാകുന്ന ഭാഷയില്‍ വിശദീകരിച്ചു തന്നാല്‍ ഉപകാരം ആയിരുന്നു.
Umesh:ഉമേഷ് | 05-Sep-12 at 11:15 pm | Permalink
ഇവിടെ പറഞ്ഞ മൂന്നു കേസുകൾ equally likely ആണോ എന്നതാണു് കുരുവില്ലനെ കുഴയ്ക്കുന്ന പ്രശ്നം. (Mutually exclusive ആണെന്നുള്ളതിനു സംശയമില്ലല്ലോ.)
ഇതിനെ നമുക്കു മറ്റൊരു രീതിയിൽ നോക്കിക്കാണാം.
നമുക്കു് സിബുവിനു രണ്ടു കുട്ടികൾ ഉണ്ടെന്നു മാത്രം അറിയാം എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു രണ്ടും പെണ്ണാകാൻ എന്താണു സാദ്ധ്യത? 1/4. ഇതിനു സംശയമില്ലല്ലോ. ഈ ഇവന്റിനെ A എന്നു വിളിക്കുക.
ഇനി, നമുക്കു് സിബുവിനു രണ്ടു കുട്ടികൾ ഉണ്ടെന്നു മാത്രം അറിയാം എന്നിരിക്കട്ടേ. അവരിൽ ഒന്നെങ്കിലും പെണ്ണാവാനുള്ള സാദ്ധ്യത എന്താണു്? രണ്ടും ആണാകാനുള്ള 1/4 കഴിച്ചാൽ ബാക്കി 3/4. ഇതിനും സംശയമില്ലല്ലോ. ഈ ഇവന്റിനെ B എന്നു വിളിക്കുക.
ഇനി Conditional probability-യുടെ ഫോർമുല അപ്ലൈ ചെയ്തിട്ടു്, ഒരെണ്ണം പെണ്ണാണെന്നു് അറിയാമെങ്കിൽ രണ്ടും പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത കണ്ടുപിടിക്കുക.
P(A/B) = P(A) / P(B) = (1/4) / (3/4) = 1/3.
ഇതു തന്നെയല്ലേ ഇവിടുത്തെ പ്രശ്നം? ഒരു പെൺകുട്ടിയെ കണ്ടപ്പോൾ സിബുവിനു് ഒരു പെണ്ണെങ്കിലും ഉണ്ടു് എന്നു മാത്രമല്ലേ നമുക്കു മനസ്സിലായിട്ടുള്ളൂ?
Umesh:ഉമേഷ് | 05-Sep-12 at 11:32 pm | Permalink
ഇനിയും സംശയമാണെങ്കിൽ നമുക്കു് A-posteriori probability നോക്കാം. കമ്പ്യൂട്ടറുകൾ ഉള്ളതിനാൽ ഇതു് എളുപ്പമാണു്. താഴെപ്പറയുന്നതു സിമുലേറ്റ് ചെയ്യുന്ന ഒരു പ്രോഗ്രാം എഴുതുക.
1) വളരെയധികം തവണ (10 ലക്ഷം തവണ ആയിക്കോട്ടേ) 0, 1 എന്നീ റാൻഡം നമ്പരുകൾ തരുന്ന രണ്ടു കേസുകൾ വീതം ജെനറേറ്റ് ചെയ്യുക. 0 പെണ്ണിനെയും 1 ആണിനെയും സൂചിപ്പിക്കട്ടേ.
2) ഇവയിൽ ഒന്നെങ്കിലും പെണ്ണായ കേസുകൾ എണ്ണുക. ഇതാണു് നമുക്കറിയാവുന്ന കേസിന്റെ ഡൊമെയ്ൻ.
3) അതു പോലെ, രണ്ടും പെണ്ണായ കേസുകൾ എണ്ണുക. ഇതാണു നമുക്കു കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്.
4) (3)-ൽ കിട്ടിയ നമ്പറിനെ (2)-ൽ കിട്ടിയ നമ്പർ കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഇതാണു നമ്മുടെ പ്രൊബബിളിറ്റി. ഇതു് 1/3 ആണോ 1/2 ആണോ എന്നു നോക്കുക.
ഞാൻ പത്തു ലക്ഷം തവണ വീതം ഈ എക്സ്പെരിമെന്റ് മൂന്നു തവണ ചെയ്ത റിസൾട്ട് താഴെ.
$ ./girls.py
Total trials = 1000000
# of cases with both girls = 249844
# of cases with at least one girl = 750675
Probability of both girls given that one is a girl = 249844 / 750675 = 0.3328
$ ./girls.py
Total trials = 1000000
# of cases with both girls = 250454
# of cases with at least one girl = 750878
Probability of both girls given that one is a girl = 250454 / 750878 = 0.3335
$ ./girls.py
Total trials = 1000000
# of cases with both girls = 249810
# of cases with at least one girl = 750171
Probability of both girls given that one is a girl = 249810 / 750171 = 0.3330
$
മൂന്നു് കേസിലും 1/3-യ്ക്കു് അടുത്തു കിട്ടിയതു കണ്ടില്ലേ?
കുരുവില്ലന്‍ | 06-Sep-12 at 9:41 pm | Permalink
എന്റെ സംശയം തീര്‍ത്തു തരാന്‍ ഒരു പ്രോഗ്രാം ഒക്കെ ഏഴുതി കഷ്ടപ്പെട്ടു, അല്ലെ?
ഞാന്‍ ഭയപ്പെട്ടിരുന്നതുപോലെ തന്നെ – ഈ conditional probability എനിക്കത്ര ദഹിച്ചില്ല.
എന്നാലും വളരെ വിശദവും രസകരവുമായ ഉത്തരം. ആദ്യത്തെ കമന്റിലെ ഇവന്റ് A, ഇവന്റ് B എന്നിവയുടെ probability യഥാക്രമം 1/4, 3/4 എന്ന കാര്യത്തില്‍ യാതൊരു തര്‍ക്കവും ഇല്ല. അതുകൊണ്ട് തന്നെ അടുത്ത കമന്റിലെ സിമുലേഷനില്‍നിന്നും പ്രതീക്ഷിച്ച റിസള്‍ട്ട് തന്നെയാണ് കിട്ടിയത്. പക്ഷെ conditional probability of A given B: P(A|B) = P(A)/P(B) ഇവിടെ പ്രയോഗിക്കാമോ എന്ന് ഒരു സംശയം. ഇതിനു ഞാന്‍ കുറച്ചുകൂടി probability പഠിച്ചിട്ട് മറുപടി എഴുതാം. ഉമേഷേട്ടനെ ബോറടിപ്പിക്കുകയില്ല എന്ന് പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.
ഒരു പ്രധാന കാര്യം, ഉമേഷേട്ടന് ഇവിടെ സ്ഥാപിച്ചത് ഒരാളുടെ(സിബുവിനെ തല്‍ക്കാലം വിട്ടുകള) രണ്ടു കുട്ടികളില്‍ ഒന്ന് പെണ്ണാണെങ്കില്‍, മറ്റേതു ആണാകാനാണ് കൂടുതല്‍(പെണ്ണാകുന്നതിന്റെ ഇരട്ടി) സാധ്യത എന്നുതന്നെ ആണോ?
ഇതിനെ വേറെ ഒരു തരത്തില്‍ ചോദിക്കട്ടെ? ഞാന്‍ വഴിയില്‍ ഒരു പെണ്‍കുട്ടിയെ കണ്ടു എന്നിരിക്കട്ടെ. ചോദിച്ചപ്പോള്‍ അവള്‍ക്കു ഒരു കൂടെപ്പിറപ്പ് ഉണ്ടെന്നു പറഞ്ഞു. അതു ആണാണെന്ന് ഞാന്‍ തീര്‍ത്തു പറഞ്ഞാല്‍ അതു തെറ്റാകാനുള്ള സാധ്യത(0.33), ശരിയാകാനുള്ളതിന്റെ(0.66) പകുതിമാത്രം ആയിരിക്കുമോ?
Umesh:ഉമേഷ് | 06-Sep-12 at 10:18 pm | Permalink
തീർച്ചയായും.
ഒരു വീട്ടിലെ രണ്ടു കുട്ടികളും പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/4 ആണു്. ഈ നാലു സാദ്ധ്യതകൾക്കെല്ലാം തുല്യ സാദ്ധ്യതകളാണെന്നു ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒന്നു പെണ്ണാണെന്നറിഞ്ഞാൽ അതിലെ BB എന്നതു് ഒഴിവാക്കാം. ഇപ്പോഴും മറ്റു മൂന്നു കേസുകൾക്കും സാദ്ധ്യത തുല്യമാണു്. അതിനാൽ, ഒരു പെൺകുട്ടി തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്നു പറഞ്ഞാൽ അതു് ആണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 2/3 ആണു്.
ആണും പെണ്ണും വിടുക. ഒരു നാണയം രണ്ടു തവണ ടോസ്സ് ചെയ്യുക. അതിൽ ഒരെണ്ണം (ആദ്യത്തേതോ രണ്ടാമത്തേതോ) അശോകചക്രം ആയുള്ള കേസുകൾ മാത്രം എടുക്കുക. അവയിൽ മറ്റേതു് അക്കം ആകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 2/3 ആണു്.
ആദ്യത്തെ ടോസ് അശോകചക്രം ആയാൽ രണ്ടാമത്തേതു് എന്തായിരിക്കും? ഇവിടെ രണ്ടാമത്തേതു് അക്കം ആകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/2 ആണു്. കാരണം ഇവിടെ നമ്മൾ ഒരു കോയിൻ ടോസ്സ് (രണ്ടാമത്തേതു്) മാത്രമേ കണക്കിലെടുക്കുന്നുള്ളൂ. ആദ്യത്തെ കേസിൽ രണ്ടും കണക്കിലെടുക്കുന്നുണ്ടു്. ആദ്യമോ രണ്ടാമതോ അക്കം വരുന്ന സാദ്ധ്യത.
Umesh:ഉമേഷ് | 06-Sep-12 at 10:24 pm | Permalink
കുരുവില്ലനു വേണ്ടി മറ്റൊരു ചോദ്യം:
A large number of people are tossing coins. Each of them toss a coin until (s)he gets a tail, when (s)he stops. So, the tosses by different people may be like this:
T
HT
HHT
HHHT
HHHHT
….
Question: If a large number of people are doing this, what is the average number of tosses (i.e., total coin tosses divided by number of people) a person makes?
First, guess in which group the answer will be, from intuition:
1-2
3-4
5-10
11-40
41-100
> 100
Now, do the math. I am sure you will be surprised 🙂
Umesh:ഉമേഷ് | 07-Sep-12 at 5:42 pm | Permalink
ഞാൻ അവസാനം ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇവിടെ: http://www.usvishakh.net/documents/prob-1.pdf
ഇതിനെപ്പറ്റിയുള്ള പ്ലസ്: https://plus.google.com/u/0/104202810888475957594/posts/PgVGsgH1Siq
കുരുവില്ലന്‍ | 07-Sep-12 at 6:52 pm | Permalink
Interesting question. My initial intuition (simple guess) was that the average would be more than 2 but less than 3. Since you didn’t give me a 2-3 range I went with 3-4.
But the calculation gave me a perfect 2. Is that correct? If it is correct, I’ll spare you the details of my calculations.
I wrote this before you gave the answer but I took too long to post. So I see my calculation is correct, though my intuition is not.
Now back to your previous comment (54)…
കുരുവില്ലന്‍ | 07-Sep-12 at 6:58 pm | Permalink
“ഒരു വീട്ടിലെ രണ്ടു കുട്ടികളും പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/4 ആണു്.”
സമ്മതിച്ചു.
“ഈ നാലു സാദ്ധ്യതകൾക്കെല്ലാം തുല്യ സാദ്ധ്യതകളാണെന്നു ശ്രദ്ധിക്കുക. ഒന്നു പെണ്ണാണെന്നറിഞ്ഞാൽ അതിലെ BB എന്നതു് ഒഴിവാക്കാം.”
ഇതും സമ്മതിച്ചു.
“ഇപ്പോഴും മറ്റു മൂന്നു കേസുകൾക്കും സാദ്ധ്യത തുല്യമാണു്.”
ഇതു തീര്‍ച്ചയായും സമ്മതിച്ചു.
“അതിനാൽ, ഒരു പെൺകുട്ടി തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്നു പറഞ്ഞാൽ അതു് ആണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 2/3 ആണു്.”
ഇവിടെ വളരെ ശക്തമായി വിയോജിക്കുന്നു. വിശദീകരിക്കാം: മേല്‍ പറഞ്ഞതിന്റെ അര്‍ത്ഥം കൂടപ്പിറപ്പുള്ള എല്ലാ പെൺകുട്ടികളോടും “നിങ്ങളുടെ കൂടപ്പിറപ്പ് ആണ് ആണെ”ന്ന് പറഞ്ഞാല്‍ 2/3 കേസുകളിലും അതു ശരിയായിരിക്കണം എന്നല്ലേ?
ഒരു ഉദാഹരണം തരട്ടെ:
നാട്ടിലെ പണ്ടത്തെ കുടുംബാസൂത്രണ ആപ്തവാക്യം പോലെ “നാം രണ്ട് നമുക്ക്‌ രണ്ട്”എന്ന രീതിയില്‍ ആണു എല്ലാ കുടുംബങ്ങളും എന്ന് വയ്ക്കുക. ഇനി ലോകത്തിലുള്ള എല്ലാ പെൺകുട്ടികളോടും(സ്ത്രീകളോടും) നിന്റെ കൂടപ്പിറപ്പ് ആണാണ് എന്ന് പറയുക. ഇതില്‍ 1/2 മാത്രമേ ശരിയകുകയുള്ളൂ. അപ്പോള്‍ പിന്നെ “ഒരു പെൺകുട്ടി തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്നു പറഞ്ഞാൽ അതു് ആണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 2/3 ആണു്.” എന്നത് ശരിയാകും?
വേണമെങ്കില്‍ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം കൂടി തരാം:
എനിക്ക് കുട്ടികള്‍ രണ്ട്: ഒരു പെണ്ണും ഒരു ആണും. എന്റെ സുഹൃത്ത് സുനിലിനും അതുപോലെ തന്നെ ഒരു പെണ്ണും ഒരു ആണും – ഒരു വ്യത്യാസം മാത്രം: അവന്റെ മൂത്ത കുട്ടിയാണ് ആണ്, എന്റെ ഇളയതും. ഇവരുടെ കൂട്ടത്തില്‍ സിബുവിന്റെയും ഉമേഷേട്ടന്റെയും കുട്ടികളെ ചേര്ത്തോ ളൂ. എല്ലാ കോമ്പിനേഷനും ആയി – BB, BG, GB, GG. ഇവിടെയുള്ള എല്ലാ പെൺകുട്ടികളും പറയും തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്ന്. അതു ആണാണെന്ന് എല്ലാവരോടും പറഞ്ഞാല്‍ അതു ശരിയാകാനുള്ള സാധ്യത 1/2 അല്ലെ? അപ്പോള്‍ പിന്നെ “ഒരു പെൺകുട്ടി തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്നു പറഞ്ഞാൽ അതു് ആണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 2/3 ആണു്.” എന്നത് തെറ്റല്ലേ?
കുരുവില്ലന്‍ | 07-Sep-12 at 7:12 pm | Permalink
ഇനി ഉമേഷേട്ടന് നേരത്തെ ചെയ്ത സിമുലേഷന്‍ ഇങ്ങനെ ഒന്ന് മാറ്റി നോക്കൂ:
1)0, 1 എന്നീ റാൻഡം നമ്പരുകൾ തരുന്ന രണ്ടു കേസുകൾ വീതം ജെനറേറ്റ് ചെയ്യുക. 0 പെണ്ണിനെയും 1 ആണിനെയും സൂചിപ്പിക്കട്ടേ.
2)ഇതില്‍ നിന്നും റാൻഡം ആയി ഒരെണ്ണം പിക്ക് ചെയ്യുക.
3)അതു പെണ്ണാണെങ്കില്‍ കൂടെയുള്ളതു ഏതാണെന്ന് നോക്കുക.
4)വളരെയധികം തവണ (10 ലക്ഷം തവണ ആയിക്കോട്ടേ) ഇതു ആവര്‍ത്തിച്ചാല്‍ 50% കേസുകളിലും കൂടെയുള്ളത് പെണ്ണാണെന്ന് കാണും.
ശരിയല്ലേ?
Umesh:ഉമേഷ് | 07-Sep-12 at 9:01 pm | Permalink
കുരുവില്ലൻ പറഞ്ഞ രീതിയിൽ ചെയ്താൽ 1/2 എന്നു തന്നെ കിട്ടും. കാരണം ഒരു പെൺകുട്ടിയുള്ള എല്ലാ കേസും ഇവിടെ കൺസിഡർ ചെയ്യുന്നില്ല. സ്റ്റെപ്പുകൾ 2, 3 എന്നിവ ചേർന്നു് ചിലതു് ഒഴിവാക്കുന്നു.
ഇവിടെ എന്തു സംഭവിക്കുന്നു എന്നു ചോദിച്ചാൽ, ജെനറേറ്റ് ചെയ്യുന്നതു് GG ആണെങ്കിൽ (25% of the cases, പെണ്ണുള്ള കേസുകളിലെ 1/3) കുരുവില്ലന്റെ സ്റ്റെപ്പ് 2-വിലെ റാൻഡം ചോയിസിനു പ്രാധാന്യമില്ല. അതായതു് 25% കേസിൽ സ്റ്റെപ് 2-ൽ പെണ്ണിനെത്തന്നെ കിട്ടും; അവയിൽ 100% കേസിലും മറ്റേതും പെണ്ണായിരിക്കും.
എന്നാൽ, BG, GB കേസുകളിൽ (മൊത്തം 50% കേസിൽ, പെണ്ണുള്ള കേസുകളിലെ 2/3) സ്റ്റെപ് 2 50% കേസുകൾ എലിമിനേറ്റ് ചെയ്യുന്നു, ബാക്കിയുള്ള 50% കേസുകളിൽ മറ്റേതു് പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 0% ആവുകയും ചെയ്യുന്നു. ഒന്നു പെണ്ണായാൽ മറ്റേതു് ആണാവാനുള്ള കേസുകൾ കുറേ ഇങ്ങനെ എലിമിനേറ്റഡ് ആയിപ്പോകുന്നു. എന്നാൽ ഒന്നു പെണ്ണായാൽ മറ്റേതും പെണ്ണാകുന്ന കേസുകൾ ഇങ്ങനെ ഒഴിവാകുന്നും ഇല്ല. (കാരണം, റാൻഡമായി അവരിൽ ചൂസു ചെയ്താൽ പെണ്ണിനെത്തന്നെ കിട്ടും.)
ഈ എലിമിനേഷനാണു് ഇവിടെ മറ്റേതു് ആണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യതയെ കുറയ്ക്കുന്നതു്.
സിബു റാൻഡമായി ഒരുത്തിയെ വിളിച്ചു് അവൾ ആണോ പെണ്ണോ എന്നു നോക്കിയതല്ല. ഒരാൾ പെണ്ണാണു് എന്നു നമുക്കു് മനസ്സിലായതു മാത്രമാണു്. അവിടെ അങ്ങനെ വരാവുന്ന എല്ലാ കേസുകളും പരിഗണിക്കണം.
കോയിൻ ടോസ് അനോളജി അല്പം കൂടി എളുപ്പമാണു്.
കുരുവില്ലന്‍ | 07-Sep-12 at 10:28 pm | Permalink
എന്റെ കമന്റ് 58 ലെ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം നോക്കൂ –
ഇതില്‍ ആരെയും എലിമിനേറ്റ് ചെയ്യാതെ എല്ലാ പെണ്‍കുട്ടികളോടും ഒന്ന് തന്നെ പറയുന്നു “നിന്റെ കൂടപ്പിറപ്പ് ആണ് ആണ്” എന്ന്. അതില്‍ പകുതിയും തെറ്റി. ഇതിന്റെ കാരണം എലിമിനേഷന്‍ അല്ല നമ്മള്‍ എന്റെയും സുനിലിന്റെയും ഓരോ കുട്ടികളോട് പറയുന്ന കാര്യം സിബുവിന്റെ രണ്ട് കുട്ടികളോടും പറയുന്നു എന്നതാണ്.
അതുകൊണ്ട് “ഒരു പെൺകുട്ടി തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്നു പറഞ്ഞാൽ അതു് ആണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 2/3 ആണു്.” എന്നത് എന്തായാലും തെറ്റാണെന്ന് സമ്മതിക്കാതെ ഉമേഷേട്ടന് തരമില്ല.
ഇതു സമ്മതിച്ചാല്‍, കാറില്‍ കയറിയ കുട്ടിയുടെ കൂടപ്പിറപ്പിന്റെ കണക്ക്(എന്റെ ഭാഗം) ഒന്നുകൂടി വിശദീകരിച്ചു തരാം.
കുരുവില്ലന്‍ | 07-Sep-12 at 10:30 pm | Permalink
കോയിൻ ടോസ് അനോളജിയില്‍ ഞാന്‍ ഒരു വ്യത്യാസവും കാണുന്നില്ല. പിന്നെ കോയിനോട് ഒന്നും പറയാനും ചോദിക്കാനും പറ്റാത്തതുകൊണ്ടാണ് അതിനെ ഉദാഹരണത്തില്‍ നിന്നും ഒഴിവാക്കിയത്.
Umesh:ഉമേഷ് | 07-Sep-12 at 11:33 pm | Permalink
കുരുവില്ലാ,
നമ്മൾ നേരം വെളുക്കുന്നതു വരെ ഇവിടിരുന്നു തല്ലു കൂടുമെന്നു തോന്നുന്നു 🙂 നമ്മൾ മാത്രമല്ല, ഒരുപാടു പേർ ഇതിനു മുമ്പു തല്ലു കൂടിയ വിഷയമാണെന്നു വിക്കിയിൽ കാണുന്നു: http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox
രണ്ടും ശരിയാണു്, രണ്ടു് ഇന്റർപ്രെട്ടേഷൻ അനുസരിച്ചു് എന്നാണു് വിക്കി വിക്കി വിക്കി പറയുന്നതു്.
അപ്പോൾ നമുക്കു് അടിച്ചു പിരിഞ്ച് ഡ്രോ സമ്മതിച്ചു പിരിയാം, എന്തേ? 🙂
കുരുവില്ലന്‍ | 08-Sep-12 at 4:38 am | Permalink
ഈശ്വരാ,ഞാന്‍ ഇതിലാണോ പോയി തല ഇട്ടത്? അമ്പതിലേറെ വര്ഷങ്ങളായി വിവരമുള്ളവര്‍ തല്ലു കൂടിയ വിഷയമാണെന്നു ഒരു വാക്ക് പറയാമായിരുന്നില്ലേ ഉമേഷേട്ടാ? ഞാന്‍ എപ്പോഴേ വാലും ചുരുട്ടി സ്ഥലം വിട്ടേനെ!! പാവം ഒരു ലാറി എല്ലിസന്‍ എനിക്ക് രണ്ട് ദിവസമായി തന്ന ശമ്പളവും വേസ്റ്റ്.
എന്തായാലും ഞാന്‍ പറഞ്ഞതും ഒരു ഇന്റർപ്രെട്ടേഷൻ അനുസരിച്ചു് ശരിയായല്ലോ. ധാരാളം മതി.
ഇത്രയൊക്കെയായാലും ഞാന്‍ അടിക്കടി ക്വോട്ടിയ ഉമേഷേട്ടന്റെ ഒരു വാചകം “ഒരു പെൺകുട്ടി തനിക്കൊരു കൂടപ്പിറപ്പുണ്ടെന്നു…” തെറ്റാണെന്ന് സമ്മതിക്കാതിരിക്കാന്‍ ഞാന്‍ ഒരു ന്യായവും കാണുന്നില്ല – ആ വിക്കിയില്‍ പോലും. പക്ഷെ ഈ ഡ്രോയില്‍ ഞാന്‍ അതും വിട്ടുകളയുന്നു.
ഡ്രോ നൂറു വട്ടം സമ്മതം. ഭാഗ്യം! എന്തായാലും ഇതു ഇവിടെ അവസാനിച്ചത്‌ നന്നായി. എന്റെ ധര്‍മപത്നിക്ക് എന്റെ ബുദ്ധി സ്ഥിരതയില്‍ അലപം സംശയം തോന്നി തുടങ്ങിയിരുന്നു.(ഇതു പണ്ടേ തോന്നാഞ്ഞതു അവളുടെ ബുദ്ധിമാന്ദ്യം കൊണ്ടാണെന്ന് കുബുദ്ധികള്‍ പറയുന്നത് വേറെ കാര്യം).
ഉമേഷ് | Umesh | 08-Sep-12 at 6:03 am | Permalink
വിവരമുള്ളവർ തല്ലു കൂടിയ വിഷയമാണെന്നതു് ഇന്നു സേർച്ചു ചെയ്തപ്പോഴാണു കണ്ടതു്. ഇതു വരെ അറിയില്ലായിരുന്നു. എവിടെയോ വായിച്ച ഓർമ്മയായിരുന്നു. മാർട്ടിൻ ഗാർഡനർ തന്നെ ആയിരിക്കണം.
babukalyanam | 08-Sep-12 at 7:45 pm | Permalink
I think the “variants of the question” section in wiki exactly matches Umesh’s problem.
“the natural assumption is that Mr Smith selected the child companion at random but, if so, the three combinations of BB, BG and GB are no longer equiprobable. For this to be the case each combination would need to be equally likely to produce a boy companion but it can be seen that in the BB combination a boy companion is guaranteed whereas in the other two combinations this is not the case. When the correct calculations are made, if the walking companion was chosen at random then the probability that the other child is also a boy is 1/2”
babukalyanam | 08-Sep-12 at 7:58 pm | Permalink
കുരുവില്ലന്റെ ലോജിക് തെറ്റാണെന്നാണ് ഞാന്‍ ഇതു വരെ കരുതിയിരുന്നതു. പക്ഷെ given the wordings of Umesh’s puzzle, the correct answer seems to be 1/2.
ഡ്രോക്ക് എതിരായും കുരുവില്ലനു അനുകൂലം ആയും എന്റെ ഒരു വോട്ടു. 🙂
കുരുവില്ലന്‍ | 08-Sep-12 at 8:36 pm | Permalink
നന്ദി ബാബുജീ. ഞാനും ആ വിക്കിയൊക്കെ വായിച്ചുകഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ എന്റെ ഉത്തരം തന്നെ ശരിയാണെന്ന് ഉറപ്പിച്ചു. എന്നാലും എന്റെ ഒരു പോയിന്റും തെട്ടിയിട്ടുണ്ടെന്നു ശ്രദ്ധിച്ചു:
കമന്റ് 58 ല്‍:
‘“ഇപ്പോഴും മറ്റു മൂന്നു കേസുകൾക്കും സാദ്ധ്യത തുല്യമാണു്.”
ഇതു തീര്‍ച്ചയായും സമ്മതിച്ചു.’
പാടില്ലായിരുന്നു.
രണ്ടു കുട്ടികളില്‍ ഒന്ന് പെണ്ണാണെന്നറിഞ്ഞാൽ BG, GB, GG എന്നിവയ്ക്ക് സാധ്യത തുല്യമാണെന്ന് തീര്‍ത്തു പറയാന്‍ കഴിയില്ല. അതു ഒന്ന് പെണ്ണാണെന്ന് എങ്ങനെ അറിയുന്നു എന്നതിനെ ആശ്രയിച്ചിരിക്കൂന്നു.
സിബു ഒറ്റയ്ക്ക് വന്നിട്ട് ഉമേഷേട്ടനോട് കുട്ടികളില്‍ ഒന്നെങ്കിലും പെണ്ണാണെന്ന് പറഞ്ഞിരുന്നെങ്കില്‍ അതു രണ്ടും പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരിക്കും.
പക്ഷെ സിബുവിന്റെ കൂടെ രണ്ട് കുട്ടികളില്‍ ഒരാള്‍ റാന്‍ഡം ആയി കയറിയത് പെണ്ണായതു കൊണ്ട് മൂന്നു കേസുകള്‍ക്കും തുല്യ സാദ്ധ്യത അല്ല.
അപ്പോള്‍ വെടിനിര്‍ത്തല്‍ ഒക്കെ ലംഖിച്ച് ഉമേഷേട്ടനെ മുക്കാലിയില്‍ കെട്ടി മുന്നൂറു ചാട്ടവാറടി കൊടുത്താലോ ബാബൂ?
കുരുവില്ലന്‍ | 08-Sep-12 at 9:06 pm | Permalink
Now, think of this case to put it in a better perspective:
Assume there are 4 boxes containing 100 pieces of chocolates each sitting in a dark room.
One box contains 100 white chocolates,
The second and third box contain 1 dark chocolate and 99 white chocolates.
The fourth box contains 100 dark chocolates.
1. WWWWWWWWWW….W
2. WWWDWWWWWW….W
3. WWWWWWDWWW….W
4. DDDDDDDDDD….D
you go into the room and pick one of the chocolates and come out of the room.
You realize that you have picked a dark chocolate.
Following Umeshettan’s logic would be like this:
1)Since you got a dark chocolate, it is not the first box. So you eliminate the first box.
2)So that eliminates one of the four equal possibilities.
3)Now the remaining three cases have equal possibilities.
4)So it is more likely that you picked from one of the boxes containing 1 dark and 99 white chocolates.
You see the flaw in this logic?
I would say you most likely picked the one with just dark chocolates.
On the other hand assume that you picked a box without opening it and gave it to somebody. He peeked inside and told you there is at least one dark chocolate in there. Now it is more likely that the rest are all white.
ആ ഡ്രോ ഒക്കെ വലിച്ചുകീറി ദൂരെക്കളഞ്ഞു.
ഉമേഷേട്ടാ, ഇനിയും ഒരു തെറ്റുപറ്റിയെന്നു സമ്മതിക്കുന്നതല്ലേ അഭികാമ്യം? ഇല്ലെങ്കില്‍ ഒരു മുക്കാലിയുമായി ഞാനും ചാട്ടയുമായി ബാബുകല്യാണവും Cupertino യിലേക്ക് ഉടനെ മാര്‍ച്ചുചെയ്യുന്നതായിരിക്കും.
ഉമേഷ് | Umesh | 10-Sep-12 at 5:09 pm | Permalink
കുരുവില്ലൻ/ബാബു,
വീക്കെൻഡിൽ തിരക്കായിപ്പോയി. മറുപടി ഇന്നു വൈകിട്ടെഴുതാം.
കുരുവില്ലന്‍ | 20-Sep-12 at 6:54 pm | Permalink
തിരക്കൊഴിഞ്ഞോ? കൃത്യമായ ഒരു മറുപടി ഉമേഷേട്ടന് ഇതുവരെ പറഞ്ഞില്ല.