Gurukulam | ഗുരുകുലം

മാധവ ഗ്രിഗറി ശ്രേണിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞപ്പോള്‍ നാം ഈ സമവാക്യം കലനമുപയോഗിച്ചു് ഉണ്ടാക്കിയെടുത്തിരുന്നു.

ഇവിടെ, എന്നു കൊടുത്താല്‍ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സാമാന്യനിയമം കിട്ടും.

ഈ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിച്ച ആളായി ഗ്രിഗറി, ലൈബ്‌നിറ്റ്സ്, മക്ലാരിന്‍ എന്നിവരുടെ പേരുകള്‍ കേള്‍ക്കാറുണ്ടു്. ഇതും മാധവന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നാണു വാസ്തവം. മാധവന്റെ ശ്ലോകം ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടില്ല. പുതുമന സോമയാജി (പതിനഞ്ചാം ശതകം) കരണപദ്ധതിയില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

വ്യാസാര്‍ധേന ഹതാദഭീഷ്ടഗുണതഃ കോട്യാപ്തമാദ്യം ഫലം
ജ്യാവര്‍ഗേണ വിനിഘ്നമാദിമഫലം തത്തത്ഫലം ചാഹരേത്
കൃത്വാ കോടിഗുണസ്യ തത്ര തു ഫലേഷ്വേകത്രിപഞ്ചാദിഭിര്‍-
ഭക്തേഷ്വോജയുതൈസ്ത്യജേത് സമയുതിം ജീവാധനുഃ ശിഷ്യതേ

ജ്യാവിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് കോടി കൊണ്ടു ഹരിച്ചതാണു് ആദ്യത്തെ പദം. തൊട്ടു മുമ്പുള്ള പദത്തെ ജ്യാവിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് കോടിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ അടുത്ത പദം കിട്ടും. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന പദങ്ങളെ 1, 3, 5, … എന്നിങ്ങനെ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒന്നിടവിട്ട പദങ്ങളെ കൂട്ടിയും കുറച്ചും (ഒറ്റപ്പദങ്ങളെ കൂട്ടിയും ഇരട്ടപ്പദങ്ങളെ കുറച്ചും) കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ ചാപം കിട്ടും.

ഇവിടെ ജ്യാ = , കോടി = എന്നാണര്‍ത്ഥം. (നിര്‍വ്വചനങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണുക.)
ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ കോടി = OB = a, ജ്യാ = AB = o എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

ഇവിടെ ആയതുകൊണ്ടു്

ഇതിനു് സരളജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു് ഉപപത്തികളും ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്.

കടത്തനാടു് ശങ്കരവര്‍മ്മയുടെ സദ്രത്നമാലയിലും ഈ സമവാക്യം കാണുന്നു.

കോടീഹൃതത്രിഗുണബാഹുവധേ ച തസ്മാ-
ത്തത്തത് ഫലാച്ച ഭുജവര്‍ഗ്ഗഹതാത്തു കോട്യാഃ
കൃത്യാ കൃതേഷു ച ധരാഗ്നിശരാദിഭക്തേ-
ഷ്വോജൈക്യതസ്ത്യജതു യുഗ്മയുതിം ധനുസ്തത്.

വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തെ കോടികൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ബാഹു (ഭുജം) കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. പിന്നീടുള്ള പദങ്ങള്‍ കിട്ടാന്‍ മുമ്പുള്ളതിനെ കോടിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു ഭുജവര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഈ പദങ്ങളെ ക്രമേണ ഒന്നു് (ധര = ഭൂമി), മൂന്നു് (അഗ്നി), അഞ്ചു് (ശരം = 5) തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒറ്റപ്പദങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഇരട്ടപ്പദങ്ങളെ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ ചാപം കിട്ടും.

ഇവിടെ ഭുജം, ബാഹു എന്നിവയെക്കൊണ്ടു OB-യെയും കോടി എന്നതിനെക്കൊണ്ടു് AB-യെയും ആണു് ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു്. “കോടി” എന്ന പേരു് രണ്ടര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഈ രണ്ടു ശ്ലോകങ്ങളില്‍ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു നോക്കുക.