Gurukulam | ഗുരുകുലം

കുറിഞ്ഞി ഓണ്‍‌ലൈന്‍ എന്ന വിജ്ഞാനപ്രദമായ ബ്ലോഗില്‍ (ഇതു് ഇതുവരെ കണ്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക. നല്ല വൈജ്ഞാനികലേഖനങ്ങള്‍ക്കു ദാരിദ്ര്യമുള്ള-ഷിജു, സി. എസ്., കൂമന്‍സ്, ദേവന്‍ തുടങ്ങിയവരെ മറക്കുന്നില്ല-ബൂലോഗത്തില്‍ ഇതൊരു മുതല്‍ക്കൂട്ടാണു്) ഒരു പ്രാചീനഗ്രീസ് കണ്ടുപിടിത്തത്തെപ്പറ്റി പറയുന്ന പോസ്റ്റില്‍ ലോനപ്പന്‍ എന്ന ദേവദാസ് ഇങ്ങനെയൊരു കമന്റിട്ടു:

ഒരു രഹസ്യം പറയാം ആരോടും പറയരുത്.
കാല്‍കുലസ് [ഇന്റഗ്രേഷന്‍-ഡിഫരന്‍സിയേഷന്‍] എന്നശാഖയ്ക്ക് “മൈല്‍‌സ്റ്റോണ്‍” ഇട്ടത് ന്യൂട്ടന്‍ ആണെന്നാണ് വെയ്പ്പ്. എന്നാല്‍ 3000 വര്‍ഷം മുമ്പ് ചോമാതിരി എന്ന ഭാരതീയന്‍(സൌതിന്ത്യന്‍) “ഏക ദോകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം” എന്ന് മൊഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്
ച്ചാല്‍ “d/dx of x= 1/2 root(X)” എന്ന്
അതൊക്കെ നാല്‍ കളഞ്ഞ് കുളിച്ചു. വല്ലതും ബാക്കിയുണ്ടോന്ന് ജര്‍മ്മന്‍കാരോട് ചോദിക്കണം.

“[മുകളില്‍ എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടില്‍ ക്ഷമിക്കുക, ഓര്‍മ്മയില്‍ നിന്നെടുത്തതാണ്]” എന്നൊരു മുന്‍‌കൂര്‍ ജാമ്യം എടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിലും പറയാതെ വയ്യ, “അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും, അതു മഞ്ഞളു പോലെ വെളുത്തിരിക്കും” എന്നതിനു് ഇതിനെക്കാള്‍ നല്ല ഒരു ഉദാഹരണം കുറവായിരിക്കും.

ഇതിലെ തെറ്റുകള്‍:

1. 
   എന്നതു തെറ്റാണെന്നു കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ബാലപാഠങ്ങള്‍ അറിയുന്ന ആര്‍ക്കും അറിയാം.
   
   ആണു ശരി. ഒരു പക്ഷേ
   
   എന്നായിരിക്കും ഉദ്ദേശിച്ചതു്.
2. 3000 വര്‍ഷമെന്നൊക്കെ പറയുമ്പോള്‍… അതൊരു വലിയ കാലയളവാണല്ലോ. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു് പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളും മറ്റും ഉണ്ടായിവരുന്നതേ ഉള്ളൂ. ഈ ചോമാതിരിമാരൊക്കെ അന്നുണ്ടോ എന്തോ? എന്തായാലും, കാല്‍ക്കുലസ് ഇല്ല എന്നതു തീര്‍ച്ച. അല്പം കുറച്ചു് 300 എന്നോ മറ്റോ ആക്കാമോ?

   ചോമാതിരി (സോമയാജി) എന്നതു് ഒരു ജാതിപ്പേരാണു് (സോമയാഗം ചെയ്ത നമ്പൂതിരി). ഒരാളുടെ പേരല്ല.

3. ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പ്രശസ്തരായ രണ്ടു ചോമാതിരി(സോമയാജി)മാരുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജിയും(ക്രി. പി. പതിനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) പുതുമന സോമയാജിയും (ക്രി. പി. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടു്). ധാരാളം കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ ഇവരുടേതായുണ്ടു്. രണ്ടുപേരും ന്യൂട്ടനു മുമ്പുള്ളവര്‍ തന്നെ. പക്ഷേ, ലോനപ്പന്‍ പറയുന്ന അത്രയും മുമ്പല്ല.
4. ഉദ്ധരിച്ച സംസ്കൃതശ്ലോകഭാഗം കാല്‍ക്കുലസ് അല്ല പറയുന്നതു്. “സങ്കലിതം” ആണു്. 1, 2, 3, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും ഒക്കെയാണു് സങ്കലിതം എന്നതുകൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്.

ഇങ്ങനെ ഭാരതീയജ്ഞാനത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അബദ്ധങ്ങള്‍ എഴുന്നള്ളിക്കുന്നവരാണു് നമ്മളെ പലപ്പോഴും മറ്റുള്ളവരുടെ മുന്നില്‍ അപഹാസ്യരാക്കുന്നതു്. ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ പരമാബദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം കാര്യങ്ങള്‍ ചെയിന്‍ ഇ-മെയിലുകളായും വെബ്‌പേജുകളായും ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റുകളായും കമന്റുകളായും ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ പരന്നു കിടക്കുന്നു. ഇവ മൂലം ഭാരതീയഗണിതത്തെപ്പറ്റി ആധികാരികമായി പറയുന്നതു പോലും കേള്‍ക്കാന്‍ ആരും തയ്യാറാകുന്നില്ല. നാം തന്നെ നമ്മുടെ ശവക്കുഴി തോണ്ടണോ?

---

ഈ ഉദ്ധരണി ഞാന്‍ മുമ്പു കണ്ടിട്ടില്ല. ഒരു പക്ഷേ ഇങ്ങനെയായിരിക്കാം:

ഏകാദ്യേകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം
ഏക-ആദി-ഏക-ഉത്തര-സങ്കലിതം പദ-വര്‍ഗ്ഗ-അര്‍ദ്ധം.

“ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു വീതം കൂട്ടിയ സംഖ്യകളെ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ പകുതിയാകും” എന്നര്‍ത്ഥം. അതായതു്,

എന്നര്‍ത്ഥം. ഇതു പൂര്‍ണ്ണമായി ശരിയല്ല.

എന്നതാണു ശരിയായ സൂത്രവാക്യം. ഇതു് ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു നേരത്തേ അറിയാമായിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഇതിനെപ്പറ്റി ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു താഴെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്.

n-ന്റെ മൂല്യം വളരെ വലുതാകുമ്പോള്‍ n(n+1)-നു പകരം n² ഉപയോഗിക്കാം എന്നു നീലകണ്ഠസോമയാജി യുക്തിദീപികയില്‍ (ഇതു നീലകണ്ഠന്റേതാണെന്നും അല്ല അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഒരു ശിഷ്യന്റേതാണെന്നും വാദങ്ങളുണ്ടു്. നീലകണ്ഠന്റെ തന്നെ “തന്ത്രസംഗ്രഹം” എന്ന വിശിഷ്ടകൃതിയുടെ വ്യാഖ്യാനമാണു യുക്തിദീപിക.) പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്.

സൈകവ്യാസാര്‍ദ്ധഗുണിതം വ്യാസാര്‍ദ്ധം യത് തതോ ദലം
ഏകാദ്യേകോത്തരമിതഭുജാസങ്കലിതം ഭവേത്

അണുത്വാര്‍ത്ഥം ഭുജാഭാഗേ ത്വണുഛേദാഹതേസതി
അത്ര രൂപം ത്വണുമിതം കല്പ്യം യസ്മാത്തതോऽണുയുക്

യദ്‌വ്യാസദലമന്യച്ച കേവലം യത് തയോര്‍ഹതിഃ
യാസ്യാത് തദ്ദലമുക്തസ്യ മാനം സങ്കലിതസ്യ തു

ഒരു ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള

എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉപപത്തിയിലാണു് ഇതുള്ളതു്. ഗോളത്തെ അസംഖ്യം ചെറിയ വൃത്തങ്ങളാക്കി അവയുടെ ക്ഷേത്രഫലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാണു് വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. അര്‍ത്ഥം അല്പം സരളമാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

1. വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തോടു് ഒന്നു കൂട്ടി അതിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു പകുതി കണ്ടാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു കൂട്ടി വരുന്ന ഭുജകളുടെ സങ്കലിതം ലഭിക്കും.

   അതായതു്,

   

2. ഇതിലെ ഓരോ ഭുജയെയും വീണ്ടും പല ഭാഗമാക്കിയാല്‍ ഓരോ ഭുജയും വളരെ ചെറുതാകുകയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതാവുകയും ചെയ്യും. പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വലുതാകുമ്പോള്‍ n എന്നതും (n+1) എന്നതും ഏകദേശം തുല്യമാണെന്നു പരിഗണിക്കാം.
3. അങ്ങനെ നോക്കിയാല്‍

   

   എന്നു് ഇവിടെ നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.

അതിനു ശേഷം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് ഗോളവ്യാപ്തത്തിലേക്കു പോകുന്നു.

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, ഇതു് ആധുനികഗണിതത്തിലെ രീതി തന്നെയാണെന്നു മനസ്സിലാകും. സാമാന്യമായ മൂല്യം എഴുതുക, അതിനു് ഒരു പ്രത്യേകസാഹചര്യത്തിലെ approximation ഉപയോഗിക്കുക, സീമാസിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു് infinite series-നു നല്ല approximation ഉണ്ടാക്കുക തുടങ്ങി. ഇവയൊക്കെ കാല്‍ക്കുലസിന്റെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ തന്നെ. എന്നാല്‍ കാല്‍ക്കുലസ് ന്യൂട്ടനു മുമ്പു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയാനും പറ്റില്ല. നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ കൊണ്ടു ഗണിതജ്ഞര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച സീമാസിദ്ധാന്തത്തെയും, ചെറിയ ഭാഗങ്ങളാക്കി വിഭജിച്ചു് ഓരോ ഭാഗത്തിന്റെയും വിലയുടെ approximate value കണ്ടുപിടിച്ചു് അവ കൂട്ടി തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയെയും മറ്റും യോജിപ്പിച്ചു് അവകലനത്തിന്റെയും (differentiation) സമാകലനത്തിന്റെയും (integration) സമഗ്രവും സാമാന്യവുമായ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി എന്നതുകൊണ്ടാണു് കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കളായി ന്യൂട്ടനെയും ലൈബ്‌നിറ്റ്സിനെയും കരുതുന്നതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇവര്‍ ഈ തിയറിയൊക്കെ ഉണ്ടാക്കി എന്നല്ല.

കാല്‍ക്കുലസ് ഇന്ത്യയിലുണ്ടായി എന്ന വാദത്തെ ഇതിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ വേണം കാണാന്‍. ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യം ആദ്യമായി കാണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരല്ല, ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് എന്നും ഓര്‍ക്കുക.

---

“സങ്കലിതം” എന്നതു ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഒരു പ്രിയപ്പെട്ട ആശയമായിരുന്നു. സങ്കലിതവും സങ്കലിതത്തിന്റെ സങ്കലിതവും അതിന്റെ സങ്കലിതവുമൊക്കെ കണ്ടുപിടിച്ചു് അവര്‍ മുന്നോട്ടു പോയി. ഒരു ലീലാവതീവ്യാഖ്യാനത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

പദേ സൈകപദാഭ്യസ്തേ യദ്വൈകദ്വിവധോദ്ധ്യതേ
ഏകാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ഭവേത് സങ്കലിതം തതഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ത്രയാണാം തു സമാഹതിഃ
ഏകോത്തരാദിത്രിവധഭക്താ സങ്കലിതായുതിഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ചതുര്‍‌ണാം തു സമാഹതേഃ
ഏകാദ്യേകോത്തരചതുര്‍ഘാതാപ്താ തദ്‌യുതേര്‍‌യുതിഃ

സമയക്കുറവു മൂലം പദാനുപദതര്‍ജ്ജമ എഴുതുന്നില്ല. അര്‍ത്ഥം ഗണിതരീതിയില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു (നൊട്ടേഷന്‍ എന്റേതു്):

ഇത്യാദി.

---

ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയുടെയും തുക കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആര്യഭടനു മുമ്പേ ഭാരതീയര്‍ക്കു് അറിയാമായിരുന്നു. ദോധകവൃത്തത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ എഴുതിയ മനോഹരശ്ലോകങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

സൈകപദഘ്നപദാര്‍ദ്ധമഥൈകാദ്യങ്കയുതിഃ കില സങ്കലിതാഖ്യാ

സ-ഏക-പദ-ഘ്ന-പദ-അര്‍ദ്ധം അഥ ഏക-ആദി-അങ്ക-യുതിഃ കില സങ്കലിത-ആഖ്യാ

സാ ദ്വിയുതേന പദേന വിനിഘ്നീ സാ ത്രിഹൃതാ ഖലു സങ്കലിതൈക്യം

ദ്വിഘ്നപദം കുയുതം ത്രിവിഭക്തം സങ്കലിതേന ഹതം കൃതിയോഗഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമമേകാദ്യങ്കഘനൈക്യമുദീരിതമാദ്യൈഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമം ഏക-ആദി-അങ്ക-ഘന-ഐക്യം ഉദീരിതം-ആദ്യൈഃ

---

ഇതിന്റെ സാമാന്യരൂപമായ

എന്നതിന്റെ മൂല്യം (എന്നതു് ഏതെങ്കിലും എണ്ണല്‍‌സംഖ്യ) കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതെയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു കഴിഞ്ഞില്ല. ആധുനികഗണിതത്തില്‍ത്തന്നെ ഇതൊരു കീറാമുട്ടിയായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ബെര്‍‌ണോളി സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണു് ഇന്നും ഇതു ചെയ്യുന്നതു്. (ഇതും വേദങ്ങളില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും താമസിയാതെ പറഞ്ഞേക്കും!). അതനുസരിച്ചു്,

എന്നതാണു് അതിന്റെ മൂല്യം. ഇവിടെ B_r എന്നതു ബെര്‍ണോളി സംഖ്യകളും _nC_r എന്നതു binomial coefficients-ഉം ആണു്.

ഇതും സരളമായ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യമല്ല, മറ്റൊരു ശ്രേഢിയാണു്. പക്ഷേ രണ്ടാമത്തേതു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പമാണു്, അത്രമാത്രം.

ഡാലിയുടെ അദ്വൈതവും പദാര്‍ത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ്വ സ്വഭാവവും – 2 എന്ന പോസ്റ്റിലെയും അതിന്റെ ചില കമന്റുകളിലെയും പരാമര്‍ശങ്ങളാണു് ഇതെഴുതാന്‍ എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്.

---

ഡാലി എഴുതുന്നു:

ഗണിതത്തിലും ഉണ്ടല്ലോ നിര്‍വചിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത ഒന്ന്: ഇന്‍ഫിനിറ്റി. 0/10 =0 എന്ന് പഠിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്. പ്രൈമറി സ്കൂള്‍ മാഷ് പറഞ്ഞ് കൊടുക്കും, ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള്‍ ആക്കിയതില്‍ എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0. എന്നാല്‍ 10/0 എന്നത് എങ്ങനെ പറഞ്ഞ് മനസ്സിലാക്കി കൊടുക്കും? ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍ എത്ര? പറഞ്ഞു കൊടുക്കാന്‍ ഇത്തിരി പാടാണ്.

ഒരു പാടുമില്ല ഡാലീ. ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി എന്നതു് ഒരു ലിമിറ്റാണു്. ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതും, ഏറ്റവും ചെറിയ (നെഗറ്റീവ്) സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറുതുമായ രണ്ടു ലിമിറ്റുകളെയാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി (പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു വലിയ (ചെറിയ) സംഖ്യ എന്നു തന്നെ കരുതാം.

10/0 എന്നതു് “ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍” എന്നെങ്ങനെ അര്‍ത്ഥം വരും? നമുക്കു് ഹരണത്തിന്റെ നിര്‍വ്വചനം നോക്കാം.

• 20/4 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ 4 എന്നതു് എത്ര പ്രാവശ്യം കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 20 ആകും എന്നാണര്‍ത്ഥം. അഞ്ചു തവണ എന്നര്‍ത്ഥം.
• 10/4 എന്നു പറഞ്ഞാലും അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ. രണ്ടു തവണയും പിന്നെ അരത്തവണയും (2 x 4 + 0.5 x 4 = 10) വയ്ക്കണം. അതായതു്, 10/4 = 2.5.
• ഇനി, 10/0 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ (0) എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 കിട്ടും എന്നാണു്. എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലും പൂജ്യത്തില്‍ കൂ‍ടില്ല. അപ്പോള്‍ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാളും വലിയ ഒരു സംഖ്യ തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലേ ആകൂ എന്നു വരുന്നു. ഇതാണു് ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി.
  മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും. അപ്പോള്‍ അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള്‍ ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല്‍ “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)

---

[2006/09/28]: ഇവിടെ undefined എന്നു ഡാലിയും ഷിജുവും പറഞ്ഞതു് indeterminate എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചു് infinity, indeterminate എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിശദീകരിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരു ഭാഗമുണ്ടായിരുന്നു. ഡാലിയും ഷിജുവും indeterminate-നെക്കുറിച്ചു പറഞ്ഞിട്ടില്ലാത്തതിനാല്‍ ഈ ലേഖനത്തില്‍ നിന്നു് അതു നീക്കം ചെയ്യുന്നു.

തെറ്റു ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച ഡാലി, അനുരണനം (ഡാലിയുടെ ബ്ലോഗില്‍) എന്നിവര്‍ക്കും അനുരണനത്തിന്റെ കമന്റ് ഇവിടെ പോസ്റ്റു ചെയ്ത ഷിജുവിനും നന്ദി.

---

ഡാലി പറയുന്നു:

കൌതുകം എന്താണെന്നു വച്ചാല്‍ ഇന്‍ഫിനിറ്റിയെ കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ ലേഖനങ്ങളില്‍ ഒന്ന് യജുര്‍ വേദമണെന്ന് വിക്കി പറയുന്നു

ഉദ്ധൃതമായ വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

Along with the early conceptions of infinite space proposed by the Taoist philosophers in ancient China, one of the earliest known documented knowledge of infinity was also presented in ancient India in the Yajur Veda (c. 1200–900 BC) which states that “if you remove a part from infinity or add a part to infinity, still what remains is infinity”.

ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു് (പാപ്പാന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതുപോലെ)

പൂര്‍ണ്ണമദഃ പൂര്‍ണ്ണമിദം
പൂര്‍ണ്ണാത് പൂര്‍ണ്ണമുദച്യതേ
പൂര്‍ണ്ണസ്യ പൂര്‍ണ്ണമാദായ
പൂര്‍ണ്ണമേവാവശിഷ്യതേ

(അതു പൂര്‍ണ്ണം, ഇതു പൂര്‍ണ്ണം, പൂര്‍ണ്ണതില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണം പൊന്തിവന്നു. പൂര്‍ണ്ണത്തില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണമെടുത്തപ്പോള്‍ പൂര്‍ണ്ണം അവശേഷിച്ചു.)

ആണെന്നു തോന്നുന്നു. (ഇതു് ഈശാവാസ്യോപനിഷത്തിലേതാണെന്നാണു് എന്റെ അറിവു്.) ഇതു ശരിയാണെങ്കില്‍ ഇതു മറ്റൊരു ഭാരതീയപൈതൃകവ്യാജാവകാശവാദം മാത്രമാണു്. Complete എന്ന അര്‍ത്ഥത്തിലാണു് ഇവിടെ പൂര്‍ണ്ണം എന്നുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഇതെങ്ങനെ ഗണിതത്തിലെ അനന്തം ആകും? അതില്‍ നിന്നു അതു തന്നെ കുറച്ചാല്‍ അതു തന്നെ കിട്ടും എന്നതു പൂജ്യത്തിനും ബാധകമാണല്ലോ. ഇതു് അനന്തത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വരി എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും?

---

ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില്‍ ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്‍ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്. ആര്‍ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള്‍ ഇതിന്റെ സകലസീമകളെയും ലംഘിക്കുന്നു. മഹാവിഷ്ണുവിന്റെ ദശാവതാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പുരാണങ്ങളില്‍ പരിണാമസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു പറയുന്നതു് ഒരുദാഹരണം. സൃഷ്ടികര്‍മ്മത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നിടത്തു് ഇതു പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ. ഈ അനന്തപരാമര്‍ശവും അങ്ങനെ തന്നെ. പൂജ്യം (ശൂന്യം) എന്നതു് ആധുനികഗണിതത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അറിവില്ലാതിരുന്ന കാലത്താണു് വേദങ്ങള്‍ എഴുതിയതെന്നു് ആലോചിക്കണം. പിന്നെയെങ്ങനെ അനന്തത്തെപ്പറ്റി പറയാന്‍?

---

അനന്തസംഖ്യയെപ്പറ്റി ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ചതു ബ്രഹ്മഗുപ്തനാണു്. (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) അദ്ദേഹം അതിനെ “ഖച്ഛേദം” (പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചതു് എന്നര്‍ത്ഥം) വിളിച്ചു. അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ വരുന്ന “ഖഹരം” എന്ന പേരാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഉപയോഗിച്ചതു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറയുന്നതു നോക്കൂ:

യോഗേ ഖം ക്ഷേപസമം,
വര്‍ഗ്ഗാദൌ ഖം, ഖഭാജിതോ രാശിഃ
ഖഹരഃ, സ്യാത് ഖഗുണഃ
ഖം, ഖഗുണശ്ചിന്ത്യശ്ച ശേഷവിധൌ

പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാല്‍ ആ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. പൂജ്യത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയും പൂജ്യം തന്നെ. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഖഹരം കിട്ടും. പൂജ്യം കൊണ്ടു ഏതു സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചാലും പൂജ്യം തന്നെ ഫലം.

പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം വ്യക്തമായി നിര്‍വ്വചിച്ചിരിക്കുകയാണു് ഇവിടെ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ പറഞ്ഞതും ഇതു തന്നെ.

ശൂന്യേ ഗുണകേ ജാതേ
ഖം ഹാരശ്ചേത് പുനസ്തദാ രാശിഃ
അവികൃത ഏവ ജ്ഞേയ-
സ്തഥൈവ ഖേനോനിതശ്ച യുതഃ

ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിക്കുകയും പിന്നീടു പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടി വന്നാല്‍ അതേ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. അതിനാല്‍ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനവും ഹരണവുമുള്ള ഗണിതക്രിയകളില്‍ ഇപ്രകാരമുള്ള ഗുണനഹരണങ്ങള്‍ സംഖ്യയെ മാറ്റുന്നില്ല എന്നു മനസ്സിലാക്കി അവസാനത്തെ ക്രിയയില്‍ മാത്രമേ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനമോ ഹരണമോ ചെയ്യാവൂ.

ഇതിനു പല വിമര്‍ശനങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ടു്. 0/0 = 1 എന്നാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു് എന്നാണു് പ്രധാനവിമര്‍ശനം. അങ്ങനെയല്ല എന്നു് ഈ ശ്ലോകം ശ്രദ്ധിച്ചു വായിച്ചാല്‍ മനസ്സിലാകും. അദ്ദേഹം ഉദ്ദേശിച്ചതു്

എന്നാണെന്നു മനസ്സിലാകും. കാല്‍ക്കുലസിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വം.

അനന്തത്തെപ്പറ്റി ആലങ്കാരികമായും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍.

അസ്മിന്‍ വികാരഃ ഖഹരേ ന രാശാ-
വപി പ്രവിഷ്ടേഷ്വപി നിഃസൃതേഷു
ബഹുഷ്വപി സ്യാല്ലയസൃഷ്ടികാലേऽ-
നന്തേऽച്യുതേ ഭൂതഗണേഷു യദ്വത്

ഏതു സംഖ്യ കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും ഖഹരത്തിനു വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല. ജീവജാലങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവുകയും നശിക്കുകയും ചെയ്താലും അനന്തനായാ അച്യുതനു വ്യത്യാസമുണ്ടാകാത്തതു പോലെ.

---

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ ലേഖനത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അദ്വൈതത്തില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നല്ല പറയുന്നതു്, മറിച്ചു രണ്ടിനും സാദൃശ്യമുള്ള തത്ത്വങ്ങളുണ്ടു് എന്നു പറയുകയാണു ചെയ്യുന്നതു് എന്നു ഡാലി തന്നെ പറയുന്നു. ഇതിനു കുഴപ്പമൊന്നുമില്ല.

കടലും കടലാടിയും പോലെയുള്ള വസ്തുതകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു ചില ഗവേഷകരുടെ ഇഷ്ടവിനോദമാണു്. “കാല്പനികത മാര്‍കേസിലും മുട്ടത്തുവര്‍ക്കിയിലും”, “കേരളത്തിലെ ഒടിവിദ്യയും ആസ്ട്രേലിയയിലെ ബൂമറാംഗും”, “ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ കൊടുങ്ങല്ലൂര്‍ ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍” തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിലുള്ള (ഈ വിഷയങ്ങളെല്ലാം സാങ്കല്പികം) പ്രബന്ധങ്ങളും കാമ്പുള്ള ഗവേഷണത്തിനോടൊപ്പം ഉണ്ടാകുന്നുണ്ടു്. ഇതൊക്കെ വൈജ്ഞാനികശാഖകള്‍‍ക്കു മുതല്‍ക്കൂട്ടു തന്നെ.

പക്ഷേ, ഈ താരതമ്യപ്പെടുത്തലിനപ്പുറം കമന്റെഴുതിയ പലരും ചെയ്തപോലെ അദ്വൈതത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നെന്നും, അല്ല ശങ്കരാചാര്യര്‍ തെറ്റാണെന്നു തെളിയിച്ച കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു തിയറിയില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് പൂര്‍ണ്ണമായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും പറയുമ്പോഴാണു വാദം ബാലിശമാകുന്നതു്.

---

ലേഖനത്തില്‍ പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യത്തെപ്പറ്റിക്കൂടി: പുതിയ നിയമം (ഞാന്‍ പുസ്തകത്തെപ്പറ്റിയാണു പറയുന്നതു്; ക്രിസ്തുവിനെപ്പറ്റിയോ ക്രിസ്തുമതത്തെപ്പറ്റിയോ അല്ല.) ഇത്രയും പോപ്പുലര്‍ ആയതു് അതിലെ വിപ്ലവകരമായ ആശയങ്ങളുടെ മഹത്ത്വം കൊണ്ടല്ല, ക്രിസ്തുമതം പ്രചരിപ്പിക്കാന്‍ അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്ത ഒരു പറ്റം ആളുകളുടെ കഴിവു കൊണ്ടാണു്. എന്റെ ഒരു അഭിപ്രായം മാത്രം.

ശാസ്ത്രപ്രമാണങ്ങളുടെ പിതൃത്വം നിശ്ചയിക്കുന്നതു രണ്ടു കാര്യം നോക്കിയാണു്-ആരാണു് അതു് ആദ്യം പറഞ്ഞതെന്നു നോക്കിയും, ആരാണു് അതു് ആദ്യം തെളിയിച്ചതെന്നു നോക്കിയും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പൊതുവേ തെളിയിച്ച ആളിന്റെ പേരിലാണു സിദ്ധാന്തങ്ങളൊക്കെ. വളരെക്കാലം തെളിയിക്കപ്പെടാതെ കിടന്ന പല സിദ്ധാന്തങ്ങളും ആദ്യം പറഞ്ഞവരുടെ പേരിലും അറിയപ്പെടാറുണ്ടു്. ഫെര്‍മയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം (Fermat’s last theorem) ഒരുദാഹരണം.

---

ഈ പ്രശ്നം സംഭവിച്ച ഒരു പഴയ സിദ്ധാന്തമാണു് മട്ടത്രികോണസിദ്ധാന്തം. അതായതു്, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ (Right angled triangle) കര്‍ണ്ണം വശമായി ഒരു സമചതുരം വരച്ചാല്‍ അതിന്റെ വിസ്താരം മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളിലും വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്താരത്തിന്റെ തുകയോടു തുല്യമാണെന്നുള്ള സിദ്ധാന്തം. ഇതിന്റെ പിതൃത്വം ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന പിഥഗോറസില്‍ (Pythagoras-ക്രി. മു. ആറാം ശതകം) ആണു കെട്ടിവെച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി തെളിയിച്ചതു് ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന യൂക്ലിഡ് (ക്രി. മു. നാലാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. (ക്രി. മു. ആറാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ എഴുതപ്പെട്ട ആപസ്തംബശുല്ബസൂത്രത്തില്‍ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു ജ്യാമിതീയ ഉപപത്തിയുണ്ടു്‌. പക്ഷേ, ആപസ്തംബശുല്ബസൂത്രത്തിനു്‌ അത്ര പഴക്കമില്ല എന്നൊരു വാദമുണ്ടു്‌. അതിനാല്‍ ആദ്യം ഇതു തെളിയിച്ചതു്‌ യൂക്ലിഡ് ആണെന്നു തന്നെ പറയാം.)

ആദ്യമായി ആരാണിതു പറഞ്ഞതു് എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അതൊരു കഥയാണു്.

പിഥഗോറിയന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യാത്രയങ്ങളെപ്പറ്റി (3, 4, 5; 5, 12, 13 തുടങ്ങിയവ) ക്രിസ്തുവിനു നാല്പതു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പേ മനുഷ്യര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നു എന്നാണു വിക്കിപീഡിയ പറയുന്നതു്. ഏതായാലും പിരമിഡുകള്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈജിപ്തുകാര്‍ മട്ടകോണം ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഇത്തരം സംഖ്യാത്രയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നാണു വിദഗ്ദ്ധമതം.

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു് ഭാരതത്തില്‍ വേദകാലഘട്ടത്തില്‍ (ഇതിനെയാണു് Vedic Mathematics എന്നു വിളിക്കേണ്ടതു്; അല്ലാതെ പുരി ശങ്കരാചാര്യര്‍ അടുത്ത കാലത്തെഴുതിയെന്നു പറയപ്പെടുന്ന തട്ടിപ്പിനെയല്ല.) ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളിലൊരെണ്ണം എഴുതിയ ബോധായനനാണു്. (ക്രി. മു. പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്). ആപസ്തംബശുല്‍ബസൂത്രത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

സമചതുരശ്രസ്യക്ഷ്ണയാ രജ്ജു ദ്വിഷ്ടാവതിം ഭൂമിം കരോതി

സമചതുരത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണം വശമായി വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്താരം ഇരട്ടിയായിരിക്കും എന്നര്‍ത്ഥം.

കൂടാതെ, ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിനും ഇതു ബാധകമാണെന്നും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്:

ദീര്‍ഘചതുരശ്രസ്യക്ഷ്ണയാ രജ്ജുഃ പാര്‍ശ്വമാനി തിര്യന്മാനി ച യത്പൃഥഗ്ഭൂതേ കുരുതസ്തദുഭയം കരോതി

ദീര്‍ഘചതുരത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കൂട്ടിയാല്‍ കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണമാകും എന്നര്‍ത്ഥം.

ഇതു തന്നെ മട്ടത്രികോണസിദ്ധാന്തം. ശുല്‍ബസൂത്രമാണെന്നു തോന്നുന്നു ആദ്യമായി ഇതു രേഖപ്പെടുത്തിയതു്. (ഒരു പക്ഷേ, അതിനു മുമ്പു തന്നെ ഇതിനെപ്പറ്റി അറിവുണ്ടായിരുന്നിരിക്കണം.) ആദ്യം തെളിയിച്ചതു യൂക്ലിഡും. രണ്ടായാലും പിഥഗോറസിന്റേതല്ല.

---

പെല്‍ സമവാക്യം എന്നു വിളിക്കുന്ന ഒന്നുണ്ടു് സംഖ്യാശാസ്ത്രത്തില്‍.

എന്നതാണതു്. ഇവിടെ x, y എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായി കണ്ടുപിടിക്കണം. D തന്നിട്ടുള്ള, പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണു്. (പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാണെങ്കില്‍ x, y ഇവയ്ക്കു 1, -1, 0 എന്നീ മൂല്യങ്ങളേ ഉണ്ടാവുകയുള്ളൂ.)

പ്രശസ്ത ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന ഓയ്‌ലര്‍ (Leonard Euler) ആണു് ഇതിനെ ജോണ്‍ പെല്‍ എന്ന ഗണിതജ്ഞനുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇതു കണ്ട പെല്‍ അമ്പരന്നിട്ടുണ്ടാവണം. കാരണം, ഇതിന്റെ തിയറിയ്ക്കു് പെല്‍ കാര്യമായി ഒന്നും ചെയ്തിട്ടില്ല എന്നതാണു വാസ്തവം.

ഇതു വളരെ പഴയ പ്രശ്നമാണു്. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ കന്നാലിച്ചോദ്യം വിശകലനം ചെയ്താല്‍ (ഇതു് ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റേതാണോ എന്നു പലര്‍ക്കും സംശയമുണ്ടു്.)

എന്ന സമവാക്യം കിട്ടും. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ കാലത്തു് ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുമായിരുന്നു എന്നു തോന്നുന്നില്ല. പിന്നീടും ഗണിതജ്ഞര്‍ പരസ്പരം മത്സരബുദ്ധ്യാ ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഇടുമായിരുന്നു.

ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള പൂര്‍ണ്ണമായ വഴി ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു ലെഗ്രാന്‍‌ഗെ (പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണെന്നാണു പാശ്ചാത്യഗണിതചരിത്രം പറയുന്നതു്. തുടര്‍ഭിന്നങ്ങള്‍ (continued fractions) ഉപയോഗിച്ചു് ഇതിന്റെ കൃത്യവും സമഗ്രവുമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണരീതി അദ്ദേഹം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. പെല്ലിനു പകരം ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരാണു വരേണ്ടിയിരുന്നതു്.

പിതൃത്വം പിഴച്ചെന്നു പാശ്ചാത്യര്‍ സമ്മതിക്കുന്ന ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പിതൃത്വം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതില്‍ അവര്‍ ഒന്നുകൂടി പിഴച്ചു എന്നതാണു സത്യം. ക്രി. പി. ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ ഈ സമവാക്യം നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഒരു വഴി കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. പിന്നീടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) അതിനെ പരിഷ്കരിച്ചു സരളമാക്കി. “ചക്രവാളരീതി” എന്നാണു് അതിന്റെ പേരു്. (ഞാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരെ മാത്രമേ വായിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ കൃതികളൊന്നും കണ്ടിട്ടില്ല.)

ചക്രവാളരീതി വിശദീകരിക്കാന്‍ ഒരു വലിയ പോസ്റ്റ് തന്നെ വേണം. അതു മറ്റൊരിക്കലാവാം. എങ്കിലും ഇത്രയും പറയട്ടേ.

ഒരു കരണിയുടെ (surd) തുടര്‍ഭിന്നവികസനം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രരീതിയുണ്ടു്. ഇതും ലെഗ്രാന്‍‌ഗെ കണ്ടുപിടിച്ചതു തന്നെ. (ഒരു റെഫറന്‍സു തരാന്‍ ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ ഇതു കാണുന്നില്ല.) മുകളില്‍ക്കൊടുത്ത സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണത്തില്‍ ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന രീതി തന്നെയാണു ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ചക്രവാളരീതി. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ക്കു തുടര്‍ഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റിയും അവ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സരളരീതിയെപ്പറ്റിയും അറിയാമായിരുന്നു എന്നാണു് ഇതില്‍ നിന്നു മനസ്സിലാക്കെണ്ടതു്.

ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച എന്തെങ്കിലും ഒരു കാര്യം ഉദ്ധരിച്ചു് അതിനു പിന്നിലുള്ള എല്ലാ തിയറിയും അവര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നും എന്നു പറയുന്ന ഒരു പ്രവണതയുണ്ടു്. (വിമാനവും ആറ്റം ബോംബും ഉദാഹരണം. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകള്‍ മറ്റൊന്നു്.) ഇതു് അത്തരത്തിലൊന്നല്ല എന്നു പറഞ്ഞുകൊള്ളട്ടേ. തുടര്‍ഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റി അറിയാതെ ചക്രവാളരീതി എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കും എന്നതിനു് എനിക്കു് ഒരു വിശദീകരണവും തോന്നുന്നില്ല.

എങ്കിലും ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ഇതിനെ ഇപ്പോഴും Pell’s equation എന്നു വിളിക്കുന്നു.

---

Binomial coefficients ക്രമമായി കിട്ടാന്‍ ബ്ലൈസ് പാസ്കല്‍ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു സൂത്രമുണ്ടു്. പാസ്കല്‍ ത്രിഭുജം എന്നാണു് അതറിയപ്പെടുന്നതു്. ഇതു പിംഗളസൂത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഹലായുധന്‍ (പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്) ഖണ്ഡമേരു (മേരുപ്രസ്തം) എന്ന പേരില്‍ പറയുന്നുണ്ടു്. ഓരോ ഛന്ദസ്സിലും നിശ്ചിത എണ്ണം ഗുരു (അല്ലെങ്കില്‍ ലഘു) വരുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാനാണു് ഇതുപയോഗിക്കുന്നതു്. പാസ്കല്‍ ത്രിഭുജത്തിന്റെ രൂപത്തിലല്ലെങ്കിലും ഇതേ കാര്യം തന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പിംഗളന്‍ (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) തന്നെ മാര്‍ഗ്ഗം കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്. ഇവയെപ്പറ്റി വിശദമായ ഒരു ലേഖനം (ഈ ലേഖനത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം) എഴുതാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് കൂടുതലായി ഇവിടെ വിശദീകരിക്കുന്നില്ല.

ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പാസ്കല്‍ തന്നെ കണ്ടുപിടിച്ചതും പിന്നീടു ഐസക് ന്യൂട്ടന്‍ സാമാന്യവത്കരിച്ചതുമായ Binomial theorem പിംഗളന്റെ സംഭാവനയാണെന്നു് തെറ്റായ ഒരു വാദമുണ്ടു്. ഒന്നിലധികം വസ്തുക്കള്‍ കലരുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന വ്യത്യസ്തവിധങ്ങള്‍ (Combinations) കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയാണു പിംഗളന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം. ബൈനോമിയല്‍ തിയറമാകട്ടേ

എന്നും. ഇതിന്റെ ഓരോ പദത്തിന്റെയും ഗുണകങ്ങള്‍ (Coefficients)--കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു പിംഗളന്റെ രീതിയില്‍ നിന്നു കിട്ടുക. അല്ലാതെ അവയെ എന്നതിന്റെ വികസനവുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന ബൈനോമിയല്‍ തിയറമല്ല. എങ്കിലും ഈ തെറ്റായ അവകാശവാദം വിക്കിപീഡിയയിലും കാണാം. ഈ ലേഖനത്തില്‍ പാസ്കലിനു മുമ്പേ ഇതു പിംഗളനും പിന്നീടു ചൈനീസ് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന യാങ് ഹുയിയും (പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) പേര്‍ഷ്യയിലെ ഒമാര്‍ ഖയ്യാമും (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്. റുബായിയാത്ത് എഴുതിയ കവി തന്നെ-അദ്ദേഹം ഗണിതജ്ഞനുമായിരുന്നു.) കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നും പറയുന്നു. എത്രത്തോളം ശരിയാണെന്നറിയില്ല.

---

കലനം (Calculus) കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിനടുത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടതെന്നു പറയുന്ന പല അനന്തശ്രേണികളും ഭാരതീയഗണിതജ്ഞരുടെ സംഭാവനയാണെന്നു് ഞാന്‍ നേരത്തേ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. (എന്റെ ഗ്രിഗറിസായ്പും മാധവനും, ഗ്രിഗറി/മാധവശ്രേണിയുടെ സാമാന്യരൂപം, ചില അനന്തശ്രേണികള്‍, അനന്തശ്രേണികളുടെ സാധുത എന്നീ ലേഖനങ്ങള്‍ കാണുക.) അവ മറ്റു പലരുടെയും പേരിലാണു് അറിയപ്പെടുന്നതു്.

---

നിത്യജീവിതത്തില്‍ നിന്നുള്ള കുറേ സംഖ്യകള്‍ എടുത്തിട്ടു് (ഇവ റാന്‍ഡം നമ്പരുകള്‍ അല്ല എന്നു പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുക) അവയുടെ ആദ്യത്തെ (പൂജ്യമല്ലാത്ത) അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം എണ്ണി നോക്കിയാല്‍ ഏതക്കമായിരിക്കും കൂടുതല്‍? 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ഏകദേശം ഒരേ എണ്ണം ഉണ്ടാവുമോ? (ഇതിനോടു സദൃശമായ ഒരു പ്രശ്നം സന്തോഷിന്റെ റാന്‍‌ഡം നമ്പരുകള്‍ എന്ന പോസ്റ്റിലുണ്ടു്.) അല്ല എന്നാണൊരു കണ്ടുപിടിത്തം. 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ആദ്യത്തെ അക്കമായി വരാനുള്ള സാദ്ധ്യത യഥാക്രമം 30.1%, 17.6%, 12.5%, 9.1%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1%, 4.6% ആയിരിക്കുമത്രേ. (മറ്റക്കങ്ങള്‍ക്കും ഇതുപോലെയുള്ള തിയറിയുണ്ടു്.) കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ഈ ലേഖനം കാണുക.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തെ ബെന്‍ഫോര്‍ഡിന്റെ നിയമം (Benford’s law) എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഫ്രാങ്ക് ബെന്‍ഫോര്‍ഡ് എന്ന അമേരിക്കന്‍ ഊര്‍ജ്ജതന്ത്രജ്ഞന്‍ 1938-ല്‍ ആദ്യമായി പറഞ്ഞു എന്നു ചിലര്‍ പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണു് ആ പേരു വന്നതു്. എന്നാല്‍ ഇതു് ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു് 1881-ല്‍ Simon Newcomb ആണു്. ആദ്യമായി തെളിയിച്ചതു് Theodore P. Hill എന്ന ഗണിതജ്ഞനും-1988-ല്‍. (പ്രൊഫ. ഹില്ലിന്റെ പേപ്പറുകള്‍ ഇവിടെ കാണാം. ഈ സിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി പല പേപ്പറുകളും അവിടെയുണ്ടു്.)

---

പോല്യ എന്യൂമറേഷന്‍ തിയറം എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ടു്. ഹംഗറിയില്‍ നിന്നു് അമേരിക്കയിലേക്കു കുടിയേറിപ്പാര്‍ത്ത ജോര്‍ജ് പോല്യ എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ 1936-ല്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതു കൊണ്ടാണു് ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു് ഈ പേരു കിട്ടിയതു്. ഇതിനും ഒന്‍പതു കൊല്ലം മുമ്പേ ജെ. എഛ്. റെഡ്‌ഫീല്‍ഡ് എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കുകയും അമേരിക്കന്‍ ജേണല്‍ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നു.

---

ഇങ്ങനെ അനവധിയനവധി സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടു് കണ്ടുപിടിച്ചവന്റെ പേരിലല്ലാതെ അറിയപ്പെടുന്നവ.

ഇതിന്റെ അങ്ങേയറ്റം

“ശാസ്ത്രീയമായ ഒരു കണ്ടുപിടിത്തവും അതു കണ്ടുപിടിച്ച ആളിന്റെ പേരിലല്ല അറിയപ്പെടുന്നതു്…”

എന്നു പറയുന്ന Stigler’s law of eponymy എന്ന സിദ്ധാന്തമാണു്. ഇതിന്റെ ആവിഷ്കാരകനെന്നറിയപ്പെടുന്ന സ്റ്റിഗ്ലര്‍ (ഇദ്ദേഹം യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ഷിക്കാഗോയിലെ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് പ്രൊഫസറാണു്) പറയുന്നതു് ഇതു യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ആവിഷ്കരിച്ചതു് അമേരിക്കന്‍ സാമൂഹികശാസ്ത്രജ്ഞനായ Robert K. Merton ആണെന്നാണു്!

ഈ സിദ്ധാന്തം അതിന്റെ തന്നെ ഉദാഹരണമാണെന്നു സാരം.

കല്ലേച്ചിയുടെ കണക്കിലെ നാലു ക്രിയകളില്‍ ഹരണം എന്ന ലേഖനമാണു് എന്നെ ഇതെഴുതാന്‍ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്. ഇതു വായിക്കുന്നതിനു മുമ്പു് ദയവായി ആ ലേഖനം വായിക്കുക. പേരു ഭയപ്പെടുത്തുന്നതുപോലെ അതു് ഒരു ഗണിതലേഖനമല്ല.

സങ്കലനം (addition), വ്യവകലനം (subtraction), ഗുണനം (multiplication), ഹരണം (division) എന്നീ നാലു ക്രിയകളില്‍ ഹരണം ഏറ്റവും ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെയാണു്. (പ്രീഡിഗ്രിയ്ക്കു ഫസ്റ്റ് ഗ്രൂപ്പെടുത്തു പഠിച്ച കുട്ടികളില്‍ ഹരണം അറിയാത്തവരെ ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടുണ്ടു്.) കാരണം, മറ്റു മൂന്നു ക്രിയകള്‍ക്കും വ്യക്തമായ വഴികളുണ്ടു്. പൂജ്യം മുതല്‍ ഒമ്പതു വരെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ സങ്കലന(ഗുണന)പ്പട്ടികകള്‍ അറിയാമെങ്കില്‍ എത്ര വലിയ രണ്ടു സംഖ്യകളെയും തമ്മില്‍ കൂട്ടാം (ഗുണിക്കാം). ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തു നിന്നു തുടങ്ങുക. ഫലം ഒമ്പതില്‍ കൂടുതലാണെങ്കില്‍ അവസാനത്തെ അക്കം മാത്രമെഴുതി ബാക്കി “കാരി ഓവര്‍” ആയി അടുത്ത സ്ഥാനത്തു കൂട്ടുക. ലളിതം.

വ്യവകലനം അല്പം കൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. താഴത്തെ അക്കം മുകളിലത്തെ അക്കത്തെക്കാള്‍ വലുതായാല്‍. പഠിച്ച രീതി ഏതാണെന്നതനുസരിച്ചു മുകളില്‍ നിന്നു കടമെടുക്കുകയോ താഴേയ്ക്കു കടം കൊടുക്കുകയോ ചെയ്തു് വ്യത്യാസം കാണണം. എങ്കിലും ഇതിനും ഹരണത്തിന്റെ അത്രയും ബുദ്ധിമുട്ടില്ല.

ഹരണത്തിന്റെ പ്രശ്നം അതില്‍ ചെലുത്തേണ്ട “എക്സ്ട്രാ ഇന്റലിജെന്‍സ്” ആണു്. ഉദാഹരണമായി 1300000-നെ 4 കൊണ്ടു ഹരിക്കാനാണു പ്രശ്നം എന്നിരിക്കട്ടേ.

• ആദ്യം ഇടത്തുനിന്നു വായിച്ചിട്ടു് നാലിനെക്കാള്‍ വലിയ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കണം. അതായതു് 1 വിട്ടിട്ടു 13-നെ എടുക്കണം.
• ഇനി, 13-നെ 4 കൊണ്ടു ഹരിക്കാന്‍ പട്ടികയൊന്നുമില്ല. മറിച്ചു്, 4-ന്റെ ഗുണനപ്പട്ടിക ചൊല്ലിനോക്കി എപ്പോഴാണു് ഒരെണ്ണം 13-ല്‍ കുറവോ തുല്യമോ ആകുകയും അടുത്തതു 13-ല്‍ കൂടുതല്‍ ആകുകയോ ചെയ്യുന്നതു് എന്നു കണ്ടുപിടിക്കണം: 4, 8, 12, 16 എന്നിങ്ങനെ. ഇതാണു ഹരണത്തിലെ ഏറ്റവും വലിയ പ്രശ്നം. ചെയ്തു പരിചയമുണ്ടെങ്കില്‍ ഇതു നേരേ തോന്നും; ഇല്ലെങ്കില്‍ പട്ടിക ചൊല്ലിയേ വഴിയുള്ളൂ. ഇതു മനസ്സിലാകാനും പരിശീലിക്കാനും നല്ല ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള കാര്യമാണു്.
• ഇനി, 3 എന്നു കിട്ടിയാല്‍, അതിനെ 4 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 13-നു താഴെ എഴുതിയിട്ടു് ഒരു വ്യവകലനം വീണ്ടും. അതിനു ശേഷം ഓരോ അക്കം താഴെ ഇറക്കി ഈ ക്രിയ തന്നെ വീണ്ടും.

4-നു പകരം ഹരിക്കേണ്ട സംഖ്യ 463 ആയാല്‍ ഇതു വീണ്ടും സങ്കീര്‍ണ്ണമാകും. 1300-ല്‍ എത്ര 463 ഉണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കണം. 463-ന്റെ പട്ടിക അറിയില്ല. 13-ല്‍ 4 മൂന്നു തവണ പോകുമെന്നറിയാം. 1300-ല്‍ 463 എത്ര തവണ പോകും? അറിയാന്‍ എളുപ്പവഴിയൊന്നുമില്ല. 3 കൊണ്ടും 2 കൊണ്ടും ഗുണിച്ചു നോക്കണം. പലപ്പോഴും ആദ്യത്തേതു ശരിയാവില്ല. തുടച്ചിട്ടു വീണ്ടുമെഴുതണം. പിന്നെ കുറയ്ക്കണം. കിട്ടുന്നതിനോടു് അടുത്ത സ്ഥാനങ്ങള്‍ ഇറക്കിയെഴുതണം. അപ്പോള്‍ അതിലും വലിയ ഒരു പ്രശ്നം കിട്ടും!

മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ രീതി മിക്ക കുട്ടികള്‍ക്കും ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെയാണു്. യാന്ത്രികമായി ചെയ്തുപോകാന്‍ പറ്റുന്ന ക്രിയകളൊക്കെ കുട്ടികള്‍ വേഗത്തില്‍ പഠിച്ചെടുക്കും. സങ്കലനവും ഗുണനവും കുറച്ചൊക്കെ വ്യവകലനവും അങ്ങനെയാണു്. കൂടുതല്‍ ഇന്റലിജെന്‍സ് ആവശ്യമായി വരുമ്പോഴാണു് ഇതു പ്രശ്നം.

മറ്റൊരു കാരണം ഹരണത്തില്‍ ബാക്കി മൂന്നു ക്രിയകളും ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്നു എന്നതാണു്. ഹാരകം കൊണ്ടു ഹരണഫലത്തെ ഗുണിക്കണം (ആ ഗുണനത്തില്‍ സങ്കലനവും ആവശ്യമാണു്). പിന്നെ മുകളിലുള്ള സംഖ്യയില്‍ നിന്നു ഗുണനഫലം കുറയ്ക്കണം. അതായതു്, എല്ലാ ഗണിതക്രിയകളും കൂടാതെ അല്പം ഇന്റലിജെന്‍സും കൂടി വേണമെന്നര്‍ത്ഥം. ഹരണം ദുഷ്ക്കരമായതില്‍ അദ്ഭുതമില്ല!

---

ഹരണത്തിലും ബുദ്ധിമുട്ടാണു് വര്‍ഗ്ഗമൂലം(square root) കണ്ടുപിടിക്കല്‍. സ്കൂളുകളില്‍ അതിനു പുറകിലുള്ള തിയറി പറയാറില്ലെങ്കിലും

എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചാണു വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. വിശദീകരിക്കാം.

• ആദ്യമായി, സംഖ്യയെ വലത്തുനിന്നു രണ്ടക്കങ്ങള്‍ വീതമുള്ള ഗണങ്ങളായി തിരിക്കണം. n അക്കങ്ങളുള്ള ഒരു സംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിനു് അങ്ങേയറ്റം 2n അക്കങ്ങളുള്ളതുകൊണ്ടാണു് ഇങ്ങനെ ചെയ്യുന്നതു്.
• എന്നിട്ടു് ഏറ്റവും ഇടത്തേ അറ്റത്തെ ഗണത്തിലെ സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറിയ ഏറ്റവും വലിയ പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗം കണ്ടുപിടിക്കണം. (ഹരണത്തിലെ ആദ്യത്തെ സ്റ്റെപ്പു പോലെ തന്നെ. ഇവിടെ 1×1, 2×2, 3×3,… എന്നിങ്ങനെയാണു നോക്കേണ്ടതു് എന്നു മാത്രം.) മുകളില്‍ കൊടുത്ത സമവാക്യത്തിലെ a (അല്ലെങ്കില്‍ അതിനെ 100, 10000 തുടങ്ങിയവയില്‍ ഒന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ച സംഖ്യ) കണ്ടുപിടിക്കുകയാണു് ഇവിടെച്ചെയ്യുന്നതു്.
• അതു കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മുകളിലും ഇടത്തുവശത്തും അതെഴുതി ഗുണിച്ചു കുറയ്ക്കണം. ഇപ്പോള്‍ നമ്മള്‍ a² കുറച്ചു. ബാക്കി b(2a + b) ഉണ്ടു്.
• ഇനിയുമാണു് ഏറ്റവും പണി. കിട്ടിയ ഫലത്തിന്റെ കൂടെ അടുത്ത രണ്ടക്കമുള്ള ഗണം ഇറക്കിയെഴുതണം. എന്നിട്ടു് ഹരണഫലത്തിന്റെ ഇരട്ടി (2a) ഇടത്തു വശത്തെഴുതണം. പിന്നെ b എന്ന സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കണം-b(2a + b) എന്നതു ബാക്കിയെക്കാള്‍ കുറവാകുകയും bയ്ക്കു പകരം (b+1) എടുത്താല്‍ കൂടുതലാവുകയും ചെയ്യത്തക്ക വിധത്തിലുള്ള ഒരു b. ഇതു ഹരണഫലം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിലും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്.
• അതിലും ശിഷ്ടം വന്നാല്‍ ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ച വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ a എന്നു കരുതുന്നു. ഇതേ രീതിയുപയോഗിച്ചു തുടര്‍ന്നു തുടര്‍ന്നു പോകും.

ഒരു രഹസ്യം പറയാം. ഈ രീതിയില്‍ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മിക്ക എഞ്ചിനീയറിംഗ് വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ക്കും അറിയില്ല! കാല്‍ക്കുലേറ്ററില്ലാതെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറയുന്നതു ബാലവേലനിയമപ്രകാരം ശിക്ഷാര്‍ഹമാണെന്നു നമ്മുടെ ആദിത്യന്‍ ഒരിക്കല്‍ പ്രസ്താവിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഈ രീതി സവിസ്തരം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഇതു മാത്രമല്ല, ഘനമൂലം (cube root) കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇതു പോലെ തന്നെ

എന്ന സമവാക്യമുപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു രീതിയും അതിലുണ്ടു്. ആര്‍ക്കെങ്കിലും അവ എങ്ങനെയെന്നു് അറിയണമെന്നു് ആഗ്രഹമുണ്ടെങ്കില്‍ വേറേ ഒരു പോസ്റ്റായി ഇടാം.

---

ഹരണം പഠിച്ചിരുന്ന കാലത്തു ബുദ്ധിമുട്ടായിരുന്നു എന്നു മങ്ങിയ ഒരു ഓര്‍മ്മയുണ്ടു്. പക്ഷേ അതിന്റെ ബുദ്ധിമുട്ടു വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കിയതു പില്‍ക്കാലത്തു് C++-ല്‍ ഒരു multi-precision arithmetic class library എഴുതിയപ്പോഴാണു്. ബാക്കി മൂന്നു ക്രിയകളും വളരെ എളുപ്പം. ഹരണം ശരിയാക്കിയെടുക്കാന്‍ ഒരുപാടു ബുദ്ധിമുട്ടി.

---

[2006/08/09]: വര്‍ഗ്ഗമൂലം കാണാനുള്ള ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി ആധുനികരീതിയില്‍ നിന്നു് വ്യത്യാസമുണ്ടു്. രണ്ടക്കം വീതം ഇറക്കിയെഴുതുന്നതിനു പകരം ഓരോ അക്കം ഇറക്കിയെഴുതി കിട്ടുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ വേറേ ഒരിടത്തെഴുതിവെച്ചിട്ടു് അവയില്‍ നിന്നു പിന്നീടു വര്‍ഗ്ഗമൂലം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയാണു് അദ്ദേഹത്തിന്റേതു്. ഘനമൂലവും അങ്ങനെ തന്നെ.

ആധുനികരീതി ഇതിനെക്കാള്‍ സരളമാണു്. വര്‍ഗ്ഗമൂലം കാണാനുള്ള വഴി ഇവിടെയും ഘനമൂലം കാണാനുള്ള വഴി ഇവിടെയും കാണാം.