മുന്പേ നടന്ന ഗുരുക്കള് തെളിച്ച ദീപപ്രകാശത്തില് ലോകത്തെ കാണാനൊരു ശ്രമം…
(To follow this blog, scroll to the bottom of this page. To subscribe posts by email, click here.)
{ Category Archives }
ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ള മൂന്നു സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങളെപ്പറ്റിയാണു്‌ കഴിഞ്ഞ കുറേ ലേഖനങ്ങള്‍. അവയിലേക്കു്‌ ഒരു സൂചിക താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:
ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തിനു് ഒരുദാഹരണം:
3.75 ഡിഗ്രി മുതല്‍ 3.75 ഡിഗ്രി ഇടവിട്ടു് 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ആംഗിളുകളുടെ സൈന്‍ മൂല്യം ആര്യഭടന്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. തൊട്ടു മുന്‍പത്തെ മൂല്യത്തോടു കൂട്ടേണ്ട മൂല്യമാണു ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തില്‍ നല്‍കിയിട്ടുള്ളതു്.
ആര്യഭടന്റെ മൂല്യങ്ങളും ആധുനികമൂല്യങ്ങളും താഴെ പട്ടികയായി ചേര്‍ക്കുന്നു:
| Angle | കൂട്ടേണ്ട മൂല്യം | മൂല്യം | കൃത്യമൂല്യം | സൈന്‍ (ആര്യഭടന്‍) | സൈന്‍ (കൃത്യമൂല്യം) | |
| 3.75 | മഖി | 225 | 225 | 224.8560 | 0.0654 | 0.0654 |
| 7.50 | ഭഖി | 224 | 449 | 448.7490 | 0.1306 | 0.1305 |
| 11.25 | ഫഖി | 222 | 671 | 670.7205 | 0.1952 | 0.1951 |
| 15.00 | ധഖി | 219 | 890 | 889.8199 | 0.2589 | 0.2588 |
| 18.75 | ണഖി | 215 | 1105 | 1105.1089 | 0.3214 | 0.3214 |
| 22.50 | ഞഖി | 210 | 1315 | 1315.6656 | 0.3825 | 0.3827 |
| 26.25 | ങഖി | 205 | 1520 | 1520.5885 | 0.4421 | 0.4423 |
| 30.00 | ഹസ്ഝ | 199 | 1719 | 1719.0000 | 0.5000 | 0.5000 |
| 33.75 | സ്കകി | 191 | 1910 | 1910.0505 | 0.5556 | 0.5556 |
| 37.50 | കിഷ്ഗ | 183 | 2093 | 2092.9218 | 0.6088 | 0.6088 |
| 41.25 | ശ്ഘകി | 174 | 2267 | 2266.8309 | 0.6594 | 0.6593 |
| 45.00 | കിഘ്വാ | 164 | 2431 | 2431.0331 | 0.7071 | 0.7071 |
| 48.75 | ഘ്ലകി | 154 | 2585 | 2584.8253 | 0.7519 | 0.7518 |
| 52.50 | കിഗ്ര | 143 | 2728 | 2727.5488 | 0.7935 | 0.7934 |
| 56.25 | ഹക്യ | 131 | 2859 | 2858.5925 | 0.8316 | 0.8315 |
| 60.00 | ധാഹാ | 119 | 2978 | 2977.3953 | 0.8662 | 0.8660 |
| 63.75 | സ്ത | 106 | 3084 | 3083.4485 | 0.8970 | 0.8969 |
| 67.50 | സ്ഗ | 93 | 3177 | 3176.2978 | 0.9241 | 0.9239 |
| 71.25 | ശ്ഝ | 79 | 3256 | 3255.5458 | 0.9471 | 0.9469 |
| 75.00 | ങ്വ | 65 | 3321 | 3320.8530 | 0.9660 | 0.9659 |
| 78.75 | ല്ക | 51 | 3372 | 3371.9398 | 0.9808 | 0.9808 |
| 82.50 | പ്ത | 37 | 3409 | 3408.5874 | 0.9916 | 0.9914 |
| 86.25 | ഫ | 22 | 3431 | 3430.6390 | 0.9980 | 0.9979 |
| 90.00 | ഛ | 7 | 3438 | 3438.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
ആദ്യത്തെ മൂന്നു വരിയിലും ഈരണ്ടക്ഷരങ്ങളെക്കൊണ്ടും, അവസാനത്തെ വരിയില്‍ ഓരോ അക്ഷരത്തിനെക്കൊണ്ടുമാണു മൂല്യങ്ങള്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഉദാഹരണത്തിനു്, ക = 1, കി = 1 x 100 = 100, ഘ = 4, വ = 60; അതുകൊണ്ടു്, കിഘ്വാ = 100 + 4 + 60 = 164; ഹ = 100, ക = 1, യ = 30; ഹക്യ = 100 + 1 + 30 = 131.
ആര്യഭടന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ വളരെ കൃത്യമാണു്. വലിയ വൃത്തങ്ങള്‍ വരച്ചു് ആംഗിളുകള്‍ അളന്നല്ല ഇതു കണ്ടുപിടിച്ചതു്. അനന്തശ്രേണികള്‍ (infinite series) ഉപയോഗിച്ചു് സൈന്‍ തുടങ്ങിയ മൂല്യങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതീയര്‍ക്കു് പാശ്ചാത്യരെക്കാള്‍ ഒന്‍പതു നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പേ അറിയാമായിരുന്നു. അതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു ലേഖനത്തിലെഴുതാം.
ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളെ കുഞ്ഞുകുഞ്ഞു്‌ ആര്യാവൃത്തശ്ലോകങ്ങളില്‍ ഒതുക്കിയ ആര്യഭടന്‍ സംഖ്യകളെ – പ്രത്യേകിച്ചും വളരെ വലിയ സംഖ്യകളെ – സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രീതിയായതുകൊണ്ടു്‌ പിന്നീടു്‌ കാര്യമായി ആരും ഇതു് ഉപയോഗിച്ചില്ല.
ഈ രീതി ചുരുക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.
അതായതു്,
ക = 1, ഖ = 2, ഗ = 3, ഘ = 4, ങ = 5, ച = 6, ഛ = 7, ജ = 8, ഝ = 9, ഞ = 10, ട = 11, ഠ = 12, ഡ = 13, ഢ = 14, ണ = 15, ത = 16, ഥ = 17, ദ = 18, ധ = 19, ന = 20, പ = 21, ഫ = 22, ബ = 23, ഭ = 24, മ = 25, യ = 30, ര = 40, ല = 50, വ = 60, ശ = 70, ഷ = 80, സ = 90, ഹ = 100.
ഉദാഹരണത്തിനു്, ച = 6, ചി = 600, ചു = 60000 എന്നിങ്ങനെ.
ഉദാഹരണത്തിനു്, “ഗണിതം” എന്ന വാക്കു്‌ 1519-നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (3 + 1500 + 16). പക്ഷേ, ആര്യഭടീയത്തില്‍ “ഗണിതം” പോലെയുള്ള “നല്ല” വാക്കുകള്‍ കാണാറില്ല; പകരം, “ഞിലാ”, “ചയഗിയിങു” തുടങ്ങിയ രൂപങ്ങളാണു കാണുക.
കൂടുതല്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഇനിയുള്ള ലേഖനങ്ങളില്‍.
(പൈയുടെ മൂല്യം, പൈയുടെ മൂല്യം പരല്‍പ്പേരുപയോഗിച്ചു്‌, ഭൂതസംഖ്യ എന്നീ ലേഖനങ്ങളെയും കാണുക.)
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ക്രി. പി. 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടു്‌) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നു്:
വ്യാസത്തെ 3927 (ഭ-നന്ദ-അഗ്നി = 27-9-3) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്‌ 1250 (ഖ-ബാണ-സൂര്യ = 0-5-12) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ സൂക്ഷ്മമായും, 22 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്‌ 7 (ശൈലം) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ സ്ഥൂലമായും പരിധി ലഭിക്കും. ഭൂതസംഖ്യയുടെ ഉപയോഗം ശ്രദ്ധിക്കുക.
എന്നതു്‌ ആര്യഭടന്റെ
എന്ന ഭിന്നത്തിന്റെ സരളരൂപമാണു്‌. 3.1416 എന്നു ദശാംശരീതിയില്‍.
(3.142857…) എന്നതു്‌ പൈയ്ക്കു പകരം ഏറ്റവും വ്യാപകമായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഭിന്നവും.
February 12th, 2006 at 7:39 pm
ഹാവൂ! പരല്‍പ്പേരൊഴികെയുള്ളതെല്ലാം ബഹുകഷ്ടം! വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ് ലേഖനങ്ങള്‍ക്കായി കാത്തിരിക്കുന്നു.
February 14th, 2006 at 1:30 pm
രാജ്,
ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തിനു് ഒരുദാഹരണത്തിനു് അടുത്ത ലേഖനം കാണുക.
വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സിനെപ്പറ്റി അത്ര നല്ല കാര്യങ്ങളല്ല ഞാന്‍ എഴുതാന്‍ പോകുന്നതു്. ഒരുപക്ഷേ, ഒരു വലിയ വിവാദത്തിനു് അതു വഴിയൊരുക്കിയേക്കും.
February 14th, 2006 at 6:51 pm
മുമ്പു സൂചിപ്പിച്ചതു ഓര്‍മ്മയുണ്ടായിരുന്നു, അതുകൊണ്ടു തന്നെയാണു് അവ പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു എന്നു പറഞ്ഞതു്.
February 18th, 2006 at 10:56 am
ee vazhi ippozhaanu vannathu..
nannaayirikkunnu..
bhaarathathinte ganitha saasthra sambhaavanaye kurichu kootuthal ariyaanum manassilaakkanum saadhikkumennu karuthunnu..
keralathinte sambhaavanakale kurichu chila lEkhanangalum, avatharanangalum ivite kaanaam..
Neither Newton nor Leibnitz — The Pre-History of Calculus and Celestial Mechanics in Medieval Kerala
http://www.canisius.edu/images/userImages/chuckp/Page_7164/Spring2005.pdf
http://www.pas.rochester.edu/~rajeev/canisiustalks.pdf
February 18th, 2006 at 2:45 pm
Sreejith,
Thanks for the links.
To avoid spam, I had turned on comment moderation if there are two or more links in a comment. That is why your comment didn’t immediately get approved.
– Umesh
ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രത്തില്‍ (പദ്യങ്ങളിലെ വൃത്തങ്ങളുടെ ലക്ഷണവും മറ്റും പ്രതിപാദിക്കുന്ന ശാസ്ത്രം) യതിയുടെ സ്ഥാനവും മറ്റും പറയാന്‍ ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്‌. ഉദാഹരണമായി, ശാര്‍ദൂലവിക്രീഡിതവൃത്തത്തിന്റെ സംസ്കൃതത്തിലുള്ള ലക്ഷണം
മലയാളത്തില്‍ വൃത്തമഞ്ജരി എഴുതിയ ഏ. ആര്‍. രാജരാജവര്‍മ്മ രണ്ടു പരിഷ്കാരം ചെയ്തു: ഒന്നു്, പാദാന്ത്യത്തിലുള്ള യതിയെ പ്രത്യേകം സൂചിപ്പിച്ചില്ല. രണ്ടു്‌, ഭൂതസംഖ്യയ്ക്കു പകരം സംഖ്യകള്‍ തന്നെ ഉപയോഗിച്ചു. അങ്ങനെ ലക്ഷണം
ഒരുദാഹരണം കൂടി. ശിഖരിണീവൃത്തത്തിന്റെ സംസ്കൃതലക്ഷണം:
മലയാളലക്ഷണം:
പരല്‍പ്പേരു പോലെ, വാക്കുകളെക്കൊണ്ടു സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന മറ്റൊരു രീതിയാണു ഭൂതസംഖ്യ. ഇതു വളരെക്കാലം മുമ്പുണ്ടാക്കിയതാണു്‌. പിംഗളന്റെ ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഇതുള്ളതുകൊണ്ടു്‌ ക്രി. മു. മൂന്നാം ദശകത്തിനു മുമ്പാണു്‌ ഈ രീതി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നു വ്യക്തമാണു്‌.
ഭൂതസംഖ്യ മനസ്സിലാക്കാന്‍ പുരാണങ്ങള്‍, ശാസ്ത്രങ്ങള്‍ തുടങ്ങിയ പല മണ്ഡലങ്ങളിലും സാമാന്യജ്ഞാനം ആവശ്യമാണു്‌. പല വസ്തുക്കളെയും അതിനോടു ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു സംഖ്യയോടു യോജിപ്പിക്കുന്നതാണു്‌ ഇതിന്റെ രീതി. ഉദാഹരണമായി, “മൂര്‍ത്തി” എന്ന വാക്കു്‌ 3-നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു – ത്രിമൂര്‍ത്തികള്‍ മൂന്നാകയാല്‍. “ദന്തം” 32-നെയും, “രസം” ആറിനെയും (ഷഡ്‌രസങ്ങള്‍ – നവരസങ്ങളല്ല), “രുദ്രന്‍” 11-നെയും (ഏകാദശരുദ്രന്മാര്‍), “സൂര്യന്‍” 12-നെയും (ദ്വാദശാദിത്യന്മാര്‍) സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഈ വാക്കുകളും അവയുടെ പര്യായങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു് വൃത്തത്തിലൊതുങ്ങുന്ന പദ്യങ്ങള്‍ എഴുതാമെന്നതാണു്‌ ഇതിന്റെ ഗുണം. സാധാരണയായി ഉപയോഗിക്കുന്ന ഭൂതസംഖ്യകള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:
0 : ആകാശം (ഖം, അഭ്രം, ഗഗനം, …), ശൂന്യം, പൂര്‍ണ്ണം.
1 : ചന്ദ്രന്‍ (ശശി, ഇന്ദു,…)
2 : കണ്ണു്‌ (അക്ഷി, നേത്രം, നയനം,…)
3 : അഗ്നി, ഗുണം, ലോകം [ത്രിലോകം], രാമന്‍ [പരശു, ശ്രീ, ബലഭദ്ര]
4 : വേദം, സമുദ്രം, യുഗം
5 : ഭൂതം [പഞ്ചഭൂതം], ഇന്ദ്രിയം [പഞ്ചേന്ദ്രിയങ്ങള്‍], ബാണം [കാമദേവന്റെ അഞ്ചമ്പുകള്‍] (ശരം, ഇഷു,…)
6 : രസം, ഋതു
7 : ഋഷി, പര്‍വ്വതം (ഗിരി, അചലം, …), സ്വരം, അശ്വം(ഹയം, …)
8 : വസു, നാഗം (സര്‍പ്പം,…)
9 : ദ്വാരം [നവദ്വാരങ്ങള്‍] (സുഷിരം, രന്ധ്രം,…), നന്ദ
10 : അവതാരം, ദിക്ക്‌, പംക്തി
11 : രുദ്രന്‍
12 : സൂര്യ (ആദിത്യ, അര്‍ക്ക, …)
13 : വിശ്വദേവ
15 : തിഥി
27 : നക്ഷത്രം (ഭം, താരം, …)
32 : ദന്തം
പരല്‍പ്പേരുപോലെതന്നെ വലത്തുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടാണു സംഖ്യകള്‍ നോക്കേണ്ടതു്‌. ഉദാഹരണമായി,
ഭനന്ദാഗ്നി = 3927 (ഭം = നക്ഷത്രം = 27, നന്ദ = 9, അഗ്നി = 3)
ഖബാണസൂര്യ = 1250 (ഖം = 0, ബാണം = 5, സൂര്യ = 12)
ഭൂതസംഖ്യ പരല്‍പ്പേരിനെക്കാള്‍ ബുദ്ധിമുട്ടാണു്‌. പരല്‍പ്പേരിലെപ്പോലെ നല്ല അര്‍ത്ഥമുള്ള വാക്കുകള്‍ ഉണ്ടാക്കാനും പറ്റില്ല. വൃത്തത്തിലൊതുങ്ങുന്ന വാക്കുകള്‍ ഉണ്ടാക്കാമെന്നേ ഉള്ളൂ.
ഭൂതസംഖ്യയ്ക്കു്‌ കൂടുതല്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഇനിയുള്ള ലേഖനങ്ങളില്‍ ഉണ്ടാവും.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമായ പൈയുടെ വില ഓര്‍ക്കാന്‍ പാശ്ചാത്യര്‍ പല വേലകളും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്‌. ഇതിനെക്കാളും മനോഹരവും ഉപയോഗപ്രദവുമായ പല വിദ്യകളും പരല്‍പ്പേര്‍ ഉപയോഗിച്ചു് ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാര്‍ ആവിഷ്കരിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌. അവയില്‍ ചിലതു ചുവടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.
ഇവയ്ക്കു്‌ ഗണിതചരിത്രത്തില്‍ വലിയ പ്രാധാന്യമില്ല. അതാതു കാലത്തു്‌ അറിവുണ്ടായിരുന്ന മൂല്യങ്ങള്‍ പദ്യത്തിലാക്കി എന്നു മാത്രം.
അതായതു്, അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യം (10000000000) വ്യാസമുള്ള ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാല (31415926536) ആയിരിക്കും എന്നു്‌. എത്ര മനോഹരമായ വാക്കുകളാണുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതെന്നു നോക്കൂ.
അതായതു്, പരാര്‍ദ്ധം (1017) വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി 314159265358979324 (ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗിഃ) ആണെന്നര്‍ത്ഥം. ഈ പദ്യഭാഗത്തിനു മറ്റൊരു വാച്യാര്‍ത്ഥമുണ്ടെന്നതു മറ്റൊരു കാര്യം.
February 10th, 2006 at 2:19 am
ഇതിപ്പൊ നാക്കു വടിച്ചാലെ കണക്കു വഴങ്ങൂ എന്ന സ്ഥിതിയാരുന്നല്ലോ മാഷേ….
February 10th, 2006 at 9:10 am
ഒരു വിശദീകരണം കൂടി കൊടുക്കണം മാഷെ, ഈ ശ്ലോകം വായിച്ചു് ഇതിലെവിടെ അക്കം എന്നാലോചിക്കുകയാണു്. ഏകം, ദശം, ശതം, അയുതം എന്നിവ വിട്ടു നമുക്കാകട്ടെ വേറെ സംഖ്യകളില്ല. വേര്‍ഡ്പ്രസ്സിന്റെ തീം മലയാളത്തിനു പറ്റിയതല്ലെന്നു തോന്നുന്നു, വായിക്കാന്‍ ഭയങ്കര കഷ്ടം. എന്റെ ഒരു ടെസ്റ്റ് ബ്ലോഗില്‍ ഈ വായിക്കാന്‍ എളുപ്പത്തിനായി ഞാന്‍ ക്ലാസിക്ക് തീം ഉപയോഗിക്കുകയാണുണ്ടായത്. http://peringodan.wordpress.com/
February 10th, 2006 at 6:57 pm
പെരിങ്ങോടരേ,
പല തീമും നോക്കിയിട്ടു്‌ ഒന്നും പിടിച്ചില്ല. ദാ, പിന്നെയും മാറ്റിയിട്ടുണ്ടു്‌. നോക്കുക.
പരല്‍പ്പേരു ലേഖനത്തിലേക്കു്‌ ഒരു കണ്ണി ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ടു്‌. വേര്‍ഡ്പ്രെസ്സില്‍ ഞാനോരു ശിശുവാണു്‌. പഠിച്ചുവരട്ടേ.
ദക്ഷിണഭാരതത്തില്‍ പ്രചാരത്തിലുണ്ടായിരുന്ന ഒരു അക്ഷരസംഖ്യാരീതിയായിരുന്നു പരല്പ്പേരു്. ക, ട, പ, യ എന്നീ അക്ഷരങ്ങള്‍ ഒന്നു് എന്ന അക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് കടപയാദി എന്നും ഈ സമ്പ്രദായത്തിനു പേരുണ്ടു്.
ഓരോ അക്ഷരവും 0 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള ഏതെങ്കിലും അക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക നോക്കുക.
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| ക | ഖ | ഗ | ഘ | ങ | ച | ഛ | ജ | ഝ | ഞ |
| ട | ഠ | ഡ | ഢ | ണ | ത | ഥ | ദ | ധ | ന |
| പ | ഫ | ബ | ഭ | മ | |||||
| യ | ര | ല | വ | ശ | ഷ | സ | ഹ | ള | ഴ, റ |
അ മുതല്‍ ഔ വരെയുള്ള സ്വരങ്ങള്‍ തനിയേ നിന്നാല്‍ പൂജ്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. വ്യഞ്ജനങ്ങള്‍ക്കു സ്വരത്തോടു ചേര്‍ന്നാലേ വിലയുള്ളൂ. ഏതു സ്വരത്തോടു ചേര്‍ന്നാലും ഒരേ വിലയാണു്. അര്‍ദ്ധാക്ഷരങ്ങള്‍ക്കും ചില്ലുകള്‍ക്കും അനുസ്വാരത്തിനും വിസര്‍ഗ്ഗത്തിനും വിലയില്ല. അതിനാല്‍ കൂട്ടക്ഷരങ്ങളിലെ അവസാനത്തെ വ്യഞ്ജനം മാത്രമേ നോക്കേണ്ടതുള്ളൂ.
വാക്കുകളെ സംഖ്യകളാക്കുമ്പോള്‍ പ്രതിലോമമായി ഉപയോഗിക്കണം. അതായതു്, ഇടത്തു നിന്നു വലത്തോട്ടുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടുള്ള അക്കങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഉദാഹരണമായി.
മ = 5
ഇ = 0
ക്ഷ = ഷ = 6
ശ്രീ = ര = 2
മ്യോ = യ = 1
സ്വച്ഛന്ദം = 824 (വ = 4, ഛ = 2, ദ = 8 )
ചണ്ഡാംശു = 636 (ച = 6, ഡ = 3, ച = 6)
അമേരിക്കയില്‍ (മറ്റു രാജ്യങ്ങളിലും) ടെലിഫോണ്‍ നമ്പരുകള്‍ ഓര്‍ക്കാന്‍ ഇതുപോലെയൊരു സംവിധാനമുണ്ടു്. 2 = ABC, 3 = DEF, 4 = GHI, 5 = JKL, 6 = MNO, 7 = PQRS, 8 = TUV, 9=WXYZ എന്നിങ്ങനെ. ഉദാഹരണമായി, 1-800-FLOWERS = 1-800-356-9377. ഫോണില്‍ ഈ അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉള്ളതുകൊണ്ടു് ഡയല്‍ ചെയ്യാനും എളുപ്പം. പക്ഷേ, 0, 1 എന്നീ അക്കങ്ങള്‍ക്കു അക്ഷരമില്ലാത്തതും, 9 പോലെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്കു “വികടാക്ഷരങ്ങള്‍” മാത്രമുള്ളതും ഇതുപയോഗിച്ചു് അര്‍ത്ഥമുള്ള വാക്കുകള്‍ ഉണ്ടാക്കാന്‍ പലപ്പോഴും ബുദ്ധിമുട്ടുണ്ടാക്കുന്നു. പരല്പ്പേരു് ഇതിനെ അപേക്ഷിച്ചു വളരെ മികച്ചതാണു്. ഒരു സംഖ്യയ്ക്കു പറ്റിയ അര്‍ത്ഥമുള്ള ഒരു വാക്കുണ്ടാക്കാന്‍ വളരെ ശ്രമിക്കേണ്ട കാര്യമില്ല.
ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഇവിടെ നിര്‍ത്തുന്നു. ധാരാളം ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഇനി വരുന്ന ലേഖനങ്ങളില്‍ ഉണ്ടാവും.
February 10th, 2006 at 2:15 am
പരല്‍പ്പേരു പരിപാടി കൊള്ളാമല്ലോ..
ആദ്യമായാണു കേള്‍ക്കുന്നത്….
അമേരിക്കക്കാരന്റെ സൂത്രം എല്ലായിടത്തും വിലപ്പോവില്ലല്ലോ..
February 10th, 2006 at 4:11 am
1. കൊല്ലവര്‍ഷത്തോടു ‘ശരജം‘ (528 തിരിച്ചിട്ട് 825) കൂട്ടിയാല്‍ ക്രിസ്ത്വബ്ദം കിട്ടും.
ഉദാ: 1181 + ശരജം = 2006.
2. ഒരു കാര്യം കൂടി: സാധാരണ ‘റ’യ്ക്ക് പൂജ്യം ആണെങ്കിലും കൂട്ടക്ഷരത്തില്‍ അന്ത്യമായിവരുന്ന ‘റ’യ്ക്ക് ‘ര‘യുടെ വില (അതായത് 2) കണക്കാക്കണം.
February 10th, 2006 at 6:34 am
നന്ദി വിശ്വം.
കൊല്ലത്തില്‍ “തരളാംഗ“ (3926) ത്തെ-
ക്കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷമാം;
കൊല്ലത്തില്‍ “ശരജം” (825) കൂട്ടി-
ക്കൃസ്തുവര്‍ഷം ചമയ്ക്കണം
എന്നു പൂര്‍ണ്ണശ്ലോകം. കലണ്ടറുകളെപ്പറ്റിയും കലിദിനസംഖ്യയെപ്പറ്റിയും പിന്നീടെഴുതുന്നുണ്ടു്. അപ്പോള്‍ ഇതു സൂചിപ്പിക്കാമെന്നു കരുതി. പരല്‍പ്പേരിനെപ്പറ്റി ഒരു ആമുഖമെന്നേ ഉദ്ദേശിച്ചുള്ളൂ.
കൂട്ടക്ഷരത്തിന്റെ അവസാനം നാം “റ്” എന്നുച്ചരിക്കുന്നതു രേഫമായിട്ടാണല്ലോ കണക്കാക്കുന്നതു് എന്നു കരുതിയാണു് അതു് പ്രത്യേകം പറയാഞ്ഞതു്. ചൂണ്ടീക്കാട്ടിയതിനു നന്ദി.
“എണ്‍പത്തൊന്നതു…” എന്ന ശ്ലോകം വിശ്വം അക്ഷരശ്ലോകസദസ്സില്‍ ചൊല്ലിയതു് അടിച്ചുമാറ്റിയതാണു്. ക്ഷമിക്കുമല്ലോ 
February 10th, 2006 at 7:17 am
ഉമേഷ് മാഷേ,
നന്നായീ, ഇതൊക്കെ അറിവുള്ളവരുടെ പക്കലില്‍ നിന്നും വരുമ്പോള്‍ പഠിക്കാന്‍ ഉത്സാഹം കൂടും.
പിന്‍ സീറ്റിലിരുന്നോളാം..
February 10th, 2006 at 9:15 am
വിശദീകരണം ആദ്യമേ കൊടുത്തുവല്ലേ, ഇതുകാണാതെ ഇതിനുശേഷം വന്ന പോസ്റ്റില്‍ ഞാനൊരു അഭിപ്രായമെഴുതിയിട്ടുണ്ടു്. അതു കണക്കില്‍ പെടുത്തേണ്ടാ.
February 14th, 2006 at 9:52 pm
കോളംബം തരളംഗാഢ്യം
ഗോത്രഗായകവര്‍ദ്ധിതം
കുലൈരാപ്തഫലം ത്വേക-
യുക്തം ശുദ്ധകലിര്‍ ഭവേത്.
കലിദിനം = kol + 3926; * 11323; / 31; + 1
ഇതില്‍നിന്നും ആഴ്ചദിവസം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന വിദ്യ ഉമേഷ് പറയട്ടെ.
February 14th, 2006 at 10:11 pm
ഇതു ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടില്ല വിശ്വം. തരളാംഗം (3926) കലിവര്‍ഷവും കൊല്ലവര്‍ഷവും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസമാണെന്നറിയാം. പിന്നീടുള്ളതു്‌ ആദ്യം മനസ്സിലായില്ല. പിന്നെ 11323 / 31 = 365.25806…. ആണെന്നു മനസ്സിലായപ്പോള്‍ എല്ലാം ക്ലിയറായി.
കോളംബം എന്നു വച്ചാല്‍ കൊല്ലവര്‍ഷം. (”കൊല്ലാബ്ദം” എന്നായിരിക്കുമോ?) അതിനോടു്‌ 3926 കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷം കിട്ടും. അതിനെ 11323 (ഗോത്രനായക) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്‌ 31 (കുലം) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍, അതായതു് 365.25806… കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ കലിവര്‍ഷം തുടങ്ങിയതു തൊട്ടുള്ള ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം കിട്ടും.
കണ്ടിട്ടു്‌ കൊല്ലവര്‍ഷം തുടങ്ങുന്ന ദിവസത്തെ (ചിങ്ങം 1) കലിദിനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതുപോലെയുണ്ടു്‌. പക്ഷേ ആകാന്‍ വഴിയില്ല. കാരണം, കലിവര്‍ഷം തുടങ്ങിയതു്‌ ഒരു ഫെബ്രുവരിയിലാണു്‌, ഓഗസ്റ്റിലല്ല.
വിശ്വം തന്നെ പറയട്ടെ.
February 15th, 2006 at 4:43 am
ചിങ്ങത്തിലല്ല, മേടത്തിലാണ്.
അതായത് ആ കൊല്ലം മേടം ഒന്നിനുള്ള കലിദിനം ആണു സിദ്ധമാവുക.
എന്നിട്ട് ആവശ്യമുള്ള തീയതിയിലേക്കുള്ള ദിവസങ്ങള്‍ കൂട്ടുകയോ കുറക്കുകയോ ചെയ്യണം. അപ്പോള്‍ ആ തീയതിയിലെ കലിദിനമാവും.
കലിദിനം ഓരോ ദിവസത്തിനും Corresponding ആയതിനാല്‍, ഏഴിന്റെ ശിഷ്ടസംഖ്യാക്രമം ഓര്‍ത്തിരുന്നാല്‍, ആഴ്ച്ച കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ വിഷമം വരില്ല.
ഉദാ: കൊല്ലം 1173 മിഥുനം 32 (1998 ജൂലൈ 16) (ഹരിശ്രീയുടെ ജന്മദിനം)
a) 1173മേടം 1 നു കലിദിനം
((1173+3926)*11323/31)+1 = 1862451.871:=1862452
b) Till മിഥുനം 32,
മേടം(31)+ഇടവം(31)+മിഥുനം (31); i.e. +93
മിഥുനം 32 നു കലിദിനം = 1862545
MOD(1862545,7) = 6 = വ്യാഴം
( ശിഷ്ടം 0 വന്നാല്‍ വെള്ളി. 1=ശനി, 2=ഞായര്‍, ഇങ്ങനെ 6=വ്യാഴം വരെ.)
വേണമെങ്കില്‍ മേടത്തില്‍നിന്നും പിന്നോട്ടുപോയി ചിങ്ങം വരെയും കാണാവുന്നതാണ്. അത്രയും ദിവസങ്ങള്‍ കുറയ്ക്കണമെന്നു മാത്രം.
ആഴ്ചശ്ലോകം ഓര്‍മ്മവരുന്നില്ല. പതിവനുസരിച്ച് ഒന്നുരണ്ടാഴ്ച്ചക്കുള്ളില്‍ സ്വപ്നത്തില്‍ ഓര്‍മ്മ വന്നോളും.
പ്രാചീനഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രപുസ്തകങ്ങളില്‍ സൂത്രവാക്യങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും പ്രശ്നങ്ങളും എന്തിനു് വ്യാഖ്യാനം വരെ പദ്യത്തിലായിരുന്നു എഴുതിയിരുന്നതു്. ഹൃദിസ്ഥമാക്കാനുള്ള സൌകര്യത്തിനു വേണ്ടിയായിരുന്നു ഇതു്.
വൃത്തനിബദ്ധമായ പദ്യത്തില്‍ ഗണിതം എഴുതുമ്പോള്‍ സംഖ്യകളെ എങ്ങനെ സൂചിപ്പിക്കും എന്നതൊരു പ്രശ്നമാണു്. അതു പരിഹരിക്കാന്‍ കണ്ടുപിടിച്ച സൂത്രമാണു് അക്ഷരസംഖ്യകള്‍. അക്കങ്ങള്‍ക്കു പകരം അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചു് സംഖ്യകളെ വാക്കുകള്‍ കൊണ്ടു സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി. പരല്പ്പേരു്, ഭൂതസംഖ്യ എന്നിവയായിരുന്നു അവയില്‍ പ്രധാനം.
ഇവയെപ്പറ്റി ഇനിയുള്ള ലേഖനങ്ങളില്‍ പ്രതിപാദിക്കാം.
ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതമായ “പൈ”യുടെ മൂല്യം ക്രി. പി. അഞ്ചാം ശതകത്തിൽ ആര്യഭടന്‍ നാലു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കണ്ടെത്തി.
ലോകത്തില്‍ ആദ്യമായി പൈയുടെ മൂല്യം നാലു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ക്കു കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിച്ചതു് ആര്യഭടനാണു്‌ എന്നൊരു തെറ്റായ ധാരണയുണ്ടു്‌. ക്രി. മു. മൂന്നാം ശതകത്തില്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ്‌ പൈയുടെ മൂല്യം 211875/67441 = 3.14163… ആണെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. ക്രി. പി. രണ്ടാം ശതകത്തില്‍ ടോളമി 377/120 = 3.141666… എന്നും. ഇവയ്ക്കു രണ്ടിനെക്കാളും പൈയുടെ മൂല്യത്തോടു്‌ (3.1415926…) അടുത്തു നില്‍ക്കുന്നതു്‌ ആര്യഭടന്റെ മൂല്യമാണെന്നതു മറ്റൊരു കാര്യം. ആര്യഭടനു മുമ്പേ ചീനക്കാരനായ സു ചൊങ്ങ്ഴി (Zu Chongzhi) ഇതിനെക്കാള്‍ കൃത്യമായി (3.1415926-നും 3.1415927-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നു്‌) കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നും തെളിഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്‌.
അറിവുള്ളവര്‍ യഥാവിധിയേ അതുപകര്‍ന്നുകൊടുക്കുന്നതാണു് ശ്രേഷ്ഠമായ കര്‍മ്മം. ഉമേഷ് അപ്രകാരം ശ്രേഷ്ഠത പ്രകടിപ്പിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. വ്യാകരണവും, ജ്യോതിശാസ്ത്രവും, ഗണിതവും, അല്‍‌ഗോരിതവും എല്ലാം ഒരേ കുടക്കീഴില്‍ കൊണ്ടുവന്നുകൂടെ? വേര്‍ഡ്‌പ്രസ്സിലാകുമ്പോള്‍ കാറ്റഗറൈസ് ചെയ്യുവാനും എളുപ്പമാകും. ആശംസകള്‍!!!
February 9th, 2006 at 10:13 pm
നന്ദി, പെരിങ്ങോടരേ.
February 10th, 2006 at 3:05 pm
ഉമേഷ് മാഷേ,
കടപയാദി വിക്കിയിലെടുക്കാന്‍ പരുവത്തിലാണല്ലോ. ഇത് അതുപോലെ തന്നെ ഇട്ടാലും മതി. അതല്ലെങ്കില്‍ ഭാരതീയ ഗണിതത്തെപ്പറ്റി വിക്കിബുക്സില്‍ ഒരു പുസ്തക രചനയ്ക്കും സ്ക്കൊപ്പുണ്ട്.
അറിയാത്ത ഒരുപാടു കാര്യങ്ങള്‍ ഇവിടെയെത്തുമ്പോള്‍ കണ്ടെത്താനാവുന്നതിലുള്ള സന്തോഷം മറച്ചു വയ്ക്കുന്നില്ല.
മന്‍‌ജിത്
February 10th, 2006 at 7:21 pm
മഞ്ജിത്ത്‌,
ഈ ബ്ലോഗിന്റെ അന്തിമലക്ഷ്യം വിക്കി തന്നെ. പക്ഷേ, ഒരു ബ്ലോഗിലിട്ടു്‌ വിവരമുള്ളവരുടെ അഭിപ്രായങ്ങളൊക്കെ ചേര്‍ത്തു്‌, തെറ്റുകള്‍ തിരുത്തിയതിനു ശേഷം വിക്കിയിലിടുന്നതല്ലേ ഭംഗി?
മാത്രമല്ല, എന്റേതായ ചില അഭിപ്രായങ്ങളും, ശരിയെന്നുറപ്പില്ലാത്ത ചില കാര്യങ്ങളും ഇതിലുണ്ടാവും. അതൊക്കെ നന്നായി എഡിറ്റു ചെയ്തിട്ടേ വിക്കിയിലിടാന്‍ പറ്റൂ.
ഇപ്പോള്‍ത്തന്നെ വിക്കിയിലെ പല ലേഖനങ്ങളും (എന്റേതുള്‍പ്പെടെ) വിജ്ഞാനകോശലേഖനങ്ങളേക്കാള്‍ അതിഭാവുകത്വത്തിലേക്കു വഴുതിവീഴുന്ന സെന്‍സിറ്റീവ്‌ സാഹിത്യമാകുന്നില്ലേ എന്നൊരു സംശയമുണ്ടു്‌. വിക്കി മത്സരം തുടങ്ങുമ്പോള്‍ നമുക്കു കാണിക്കാന്‍ കുറേ നല്ല ഉദാഹരണങ്ങള്‍ വേണ്ടേ?
– ഉമേഷ്
February 14th, 2006 at 1:32 pm
hi , i have problems reading some of the text, any pointers on setting up the proper fonts?
nice site , interesting content ( from what i can read).
February 14th, 2006 at 1:41 pm
Hi sysop,
This site is in Malayalam. You need to have a Malayalam unicode font installed on your computer. And of course, you should know Malayalam
This post is about the sine table given by the Indian Mathematician Aryabhata (5th century AD), which is very accurate.
This blog is to discuss various contributions to ancient Indian mathematicians to Mathematics, and to criticize many false claims for Indian Mathematics.
I wanted to quote the verses also, that is why I chose Malayalam. Someday, I’ll translate this to English as well
Nice to know that you liked it. Thanks a lot.
February 14th, 2006 at 6:49 pm
വിക്കിയിലും മറ്റും ആര്യഭട്ടന്റെ സംഭാവനകളെ കുറിച്ചുള്ള ലേഖനങ്ങള്‍ വായിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നല്ലാതെ വിശദമായൊരു പഠനം ഇതുവരെ തരമായിരുന്നില്ല. ഇപ്പോള്‍ ഉമേഷിന്റെ വിശദീകരണങ്ങള്‍ ആ പരിമിതി ഒരളവുവരെ പരിഹരിക്കുന്നു. അനന്തശ്രേണികള്‍ എന്നു പറയുമ്പോള്‍ ആര്യഭട്ടന്റെ മെത്തഡോളജി ഒന്നു വിശദീകരിക്കാമോ?
February 14th, 2006 at 7:19 pm
രാജ്,
ഗണിതം ശരിക്കെഴുതാന്‍ ഇതുവരെ പറ്റാത്തതുകൊണ്ടാണു് ഇതുവരെ അതുപോലെയുള്ള വിഷയങ്ങള്‍ പരാമര്‍ശിക്കാതിരുന്നതു്. താമസിയാതെ വിശദീകരിക്കാം.
സൈന്‍ തുടങ്ങിയ ഫലനങ്ങളും, വൃത്തപരിധി തുടങ്ങിയവയും (അതായതു് പൈയുടെ മൂല്യം) കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതീയര്‍ക്കു വഴികളുണ്ടായിരുന്നു. ആര്യഭടനു ശേഷമാണു് പല വഴികളും രേഖപ്പെടുത്തിയതു്. ഉദാഹരണത്തിനു്, തന്ത്രസംഗ്രഹം, യുക്തിഭാഷ, കരണപദ്ധതി തുടങ്ങിയ പുസ്തകങ്ങളില്‍ ഈ വഴികള്‍ കാണാം. പക്ഷേ, ഈ വഴികളില്ലാതെ ആര്യഭടന്‍ എങ്ങനെ ഇതൊക്കെ കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ ഇവ അന്നുമുണ്ടായിരുന്നു എന്നു വിശ്വസിക്കേണ്ടിവരും.
ആര്യഭടന്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ മാത്രമേ നല്‍കിയിട്ടുള്ളൂ.
“ആര്യഭടന്‍” എന്നാണു ശരി. നമ്മുടെ ഉപഗ്രഹത്തിനു് “ആര്യഭട്ട” എന്നു പേരിട്ടതു് വിവരമില്ലാത്തവര്‍ സര്‍ക്കാരിന്റെ തലപ്പത്തുണ്ടായിരുന്നതുകൊണ്ടാണു്.