Gurukulam | ഗുരുകുലം

കിടന്നിട്ടു് ഉറക്കം ശരിയായില്ല. മാതൃഭൂമി പഞ്ചാംഗത്തിനു് ഇങ്ങനെയൊരു തെറ്റു വരാന്‍ എന്താണു കാരണം എന്ന ഒരു കണ്‍ഫ്യൂഷന്‍.

ഇന്നലെ നാട്ടില്‍ നിന്നു മടങ്ങി വന്ന ഒരു സുഹൃത്തു് ഇക്കൊല്ലത്തെ ഒരു മാതൃഭൂമി കലണ്ടര്‍ കൊണ്ടു തന്നിരുന്നു. അതിലെ സംക്രമങ്ങളൊക്കെ പരിശോധിച്ചപ്പോള്‍ ഒരു കാര്യം വ്യക്തമായി – എല്ലാ സംക്രമങ്ങള്‍ക്കും ഏകദേശം 33 മിനിട്ടിന്റെ വ്യത്യാസമുണ്ടു്.

ഇക്കൊല്ലത്തെ സംക്രമങ്ങളുടെ സമയങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

മലയാളമാസം	സംക്രമം	സംക്രമസമയം	സംക്രമസമയം
	(തീയതി)	(ഞാന്‍)	(മാതൃഭൂമി)
മകരം	2006/01/14	11:53 A	11:26 A
കുംഭം	2006/02/13	12:53 A	12:21 A
മീനം	2006/03/14	09:45 P	09:11 P
മേടം	2006/04/14	06:15 A	05:39 A
ഇടവം	2006/05/15	03:08 A	02:33 A
മിഥുനം	2006/06/15	09:44 A	09:14 A
കര്‍ക്കടകം	2006/07/16	08:36 P	08:09 P
ചിങ്ങം	2006/08/17	05:00 A	04:35 A
കന്നി	2006/09/17	04:56 A	04:33 A
തുലാം	2006/10/17	04:53 P	04:31 P
വൃശ്ചികം	2006/11/16	04:41 P	04:17 P
ധനു	2006/12/16	07:19 A	06:54 A

ഇതില്‍ നിന്നു ഞാന്‍ മനസ്സിലാക്കുന്നതു താഴെപ്പറയുന്നവയില്‍ ഒന്നു സംഭവിച്ചിരിക്കാം എന്നാണു്:

1. മാതൃഭൂമിക്കു് എന്തോ ഭീമാബദ്ധം പറ്റി. അവരുടെ ചരിത്രം നോക്കിയാല്‍ ഇങ്ങനെ വരാന്‍ സാദ്ധ്യത കുറവാണു്.
2. അവര്‍ ലാഹിരിയുടെ അയനാംശമല്ല, മറ്റേതോ അയനാംശമാണു് ഉപയോഗിക്കുന്നതു്. മിക്കവാറും ഇതാണു കാരണം എന്നാണു തോന്നുന്നതു്.

ഈ അയനാംശം എന്നു പറയുന്നതെന്താണെന്നു പറയാന്‍ മറ്റൊരു പോസ്റ്റു വേണ്ടി വരും. (എനിക്കെന്നാണോ ഇതൊക്കെ എഴുതാന്‍ സമയം കിട്ടുക? 🙁 ) എങ്കിലും ചുരുക്കമായി പറയാം.

പാശ്ചാത്യര്‍ ഭൂമിയെ അപേക്ഷിച്ചു് സൂര്യനുള്ള ചലനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണു് സംക്രമങ്ങള്‍ കണക്കാക്കുക. അവര്‍ക്കു് മാര്‍ച്ച് 21-നാണു മേടസംക്രമം. (First point of Aries). അന്നാണു് സൂര്യന്‍ ഭൂമദ്ധ്യരേഖ തെക്കു നിന്നു വടക്കോട്ടു മുറിച്ചുകടക്കുന്നതു്. അന്നാണു് ഭൂമിയിലെവിടെയും രാത്രിയും പകലും തുല്യദൈര്‍ഗ്ഘ്യത്തോടെ വരുന്നതു്. (സെപ്റ്റംബര്‍ 23-നും ഇതു സംഭവിക്കും – സൂര്യന്‍ വടക്കുനിന്നു തെക്കോട്ടു കടക്കുമ്പോള്‍ – തുലാസംക്രമം – First point of Libra). ശരിക്കു് വിഷു വരേണ്ടതു് ഈ ദിവസമാണു്, നിര്‍വ്വചനമനുസരിച്ചു്. കൂടുതല്‍ ശാസ്ത്രീയവും ഇതാണു്.

പക്ഷേ, സൂര്യനെ അപേക്ഷിച്ചു നക്ഷത്രങ്ങള്‍ സ്ഥിരമായി നില്‍ക്കുന്നു എന്നു കരുതിയ ഭാരതീയര്‍ നക്ഷത്രങ്ങളെയാണു് സ്ഥാനമാനത്തിനു് ഉപയോഗിച്ചതു്. ജ്യോതിശ്ചക്രത്തെ (360 ഡിഗ്രി) അവര്‍ ഇരുപത്തേഴായി വിഭജിച്ചു് ഓരോ ഭാഗവും (13 ഡിഗ്രി 20 മിനിട്ടു്) അവിടെയുള്ള ഓരോ നക്ഷത്രത്തിനു (അശ്വതി, ഭരണി തുടങ്ങിയവ) കൊടുത്തു. ഇതനുസരിച്ചു്, രേവതിയുടെയും അശ്വതിയുടെയും ഇടയ്ക്കുള്ള സ്ഥലം പൂജ്യം ഡിഗ്രിയിലും ചിത്തിരയുടെ മദ്ധ്യം 180 ഡിഗ്രിയിലുമായിരുന്നു.

ഇതു് ക്രി. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലെ (ആര്യഭടന്റെ കാലം) കാര്യം. ലോകത്തില്‍ ഒന്നും സ്ഥിരമല്ല. ഇന്നു് അശ്വതിയുടെ ആദിക്കും ചിത്തിരയ്ക്കും ഇടയ്ക്കുള്ള ആംഗിള്‍ 180 ഡിഗ്രി അല്ല. അതുപോലെ തന്നെ മറ്റു നക്ഷത്രങ്ങളും. ഇവയില്‍ ഏതു നക്ഷത്രത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി വേണം സ്ഥാനമാനം എന്നു് ഭാരതീയശാസ്ത്രജ്ഞന്മാര്‍ കലഹിക്കാന്‍‍ തുടങ്ങി. ഇന്നും ആ കലഹം തുടര്‍ന്നുകൊണ്ടിരിക്കുന്നു.

പാശ്ചാത്യരുടെ സൂര്യനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള തിയറിയില്‍ നിന്നു് ഒരു പ്രത്യേകഭാരതീയമാനത്തിനു് എത്ര ഡിഗ്രി വ്യത്യാസമുണ്ടു് എന്ന അളവാണു് അയനാംശം. ഇതു പലര്‍ക്കും പലതാണു്. ഉദാഹരണമായി 2000 തുടങ്ങുമ്പോഴുള്ള പല അയനാംശങ്ങളും താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ലാഹിരി	23:51:41
ബി. വി. രാമന്‍	22:24:11
Fagan/Bradley	24:44:11
ഉഷ – ശശി	20:03:26
കൃഷ്ണമൂര്‍ത്തി	23:45:06
ദേവദത്ത	23:28:34

ഇതനുസരിച്ചു് ഗ്രഹസ്ഫുടങ്ങള്‍ക്കും സംക്രമസമയങ്ങള്‍ക്കും (നക്ഷത്രം, ഞാറ്റുവേല തുടങ്ങിയവയ്ക്കും ഇതു ബാധകമാണു്) വ്യത്യാസമുണ്ടാകും. ഭാരതസര്‍ക്കാര്‍ അംഗീകരിച്ചരിക്കുന്നതു് (എന്റെ അറിവില്‍) ലാഹിരിയുടെ അയനാംശമാണു്.

അയനാംശം, അതു് ഏതു പദ്ധതിയാണെങ്കിലും, ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയല്ല. അതു കൂടിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നു.

ഞാന്‍ എന്റെ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്കുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു് ലാഹിരിയുടെ അയനാംശമാണു്. കൃത്യമായിപ്പറഞ്ഞാല്‍, ലാഹിരിയുടെ പട്ടികകളില്‍ നിന്നു് ഞാന്‍ least square fitting ഉപയോഗിച്ചു് ഉണ്ടാക്കിയെടുത്ത

അയനാംശം =

എന്ന സൂത്രവാക്യം. ഇതില്‍ c എന്നതു് 2000 ജനുവരി 1 നട്ടുച്ച (GMT) മുതലുള്ള നൂറ്റാണ്ടുകളുടെ എണ്ണം (2000-ത്തിനു മുമ്പുള്ള തീയതികള്‍ക്കു് ഇതു നെഗറ്റീവായിരിക്കും.) ഒരു ഭിന്നമായി കൊടുത്തതാണു്.

ഈ അടുത്തകാലത്തു് കൃഷ്ണമൂര്‍ത്തിയുടെ പദ്ധതിയാണു “കൂടുതല്‍ ശരി” എന്നു് വളരെ ജ്യോത്സ്യന്മാര്‍ (ഭാവിഫലം ശരിയാകാനാണേ, ശാസ്ത്രത്തിനു വേണ്ടിയല്ല!) വാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

എനിക്കു തോന്നുന്നതു് മാതൃഭൂമി ഇപ്പോള്‍ കൃഷ്ണമൂര്‍ത്തി പദ്ധതിയാണു് ഉപയോഗിക്കുന്നതു് എന്നാണു്.

ഇതു് തെറ്റെന്നു പറഞ്ഞുകൂടാ. എല്ലാം ഒരുപോലെ ശരിയാണു്. അഥവാ എല്ലാം ഒരുപോലെ തെറ്റും. ഇതില്‍ ഞാന്‍ പൂര്‍ണ്ണമായും നിഷ്പക്ഷനാണു്. കണ്‍ഫ്യൂഷന്‍ കുറവുള്ള പാശ്ചാത്യരീതിയോടാണു് എനിക്കു ചായ്‌വു്. പക്ഷേ ഭാരതീയര്‍ അതു സമ്മതിക്കുമെന്നു തോന്നുന്നില്ല.

മാതൃഭൂമി മിക്കവാറും വിശദീകരണം പ്രസിദ്ധീകരിച്ചേക്കും. ആരെങ്കിലും അതു കണ്ടാല്‍ ദയവായി ഇവിടെയൊരു കമന്റിടുക.

കുട്ട്യേടത്തി അയച്ചു തന്ന ഈ മനോരമ ലിങ്കിലെ വസ്തുതകളെപ്പറ്റിയുള്ള ആദ്യത്തെ പ്രതികരണമാണിതു്.

ഈ പോസ്റ്റിന്റെ കമന്റില്‍ ഞാന്‍ “മനോരമ എഴുതിയിരിക്കുന്നതു് ടോട്ടല്‍ നോണ്‍സെന്‍സ് ആണു്…” എന്നെഴുതിയിരുന്നു. അതു തെറ്റാണു്. പതിനാറു കൊല്ലം മുമ്പുണ്ടായ ഒരു തര്‍ക്കത്തിന്റെ മുന്‍‌വിധിയില്‍ കണക്കൊന്നും കൂട്ടാതെ പറഞ്ഞതാണു്. ക്ഷമിക്കുക.

മനോരമ പറയുന്നതിലും കാര്യമുണ്ടു്. എങ്കിലും അവര്‍ പറയുന്നതു മുഴുവനും ശരിയല്ല. വിഷു 14-നു തന്നെ.

മനോരമ ലേഖനത്തിലെ പ്രധാന വസ്തുതകള്‍

1. വി. പി.കെ. പൊതുവാള്‍ ഗണിച്ച മാതൃഭൂമി പഞ്ചാംഗമനുസരിച്ചു് മേടസംക്രമം 14-നു വെളുപ്പിനു് 5:39-നാണു്. ഇതു തെറ്റാണു്.
2. ശരിയായ മേടസംക്രമം വെളുപ്പിനു് 6:19-നാണു്. ഇതാണു് അധികഗണിതജ്ഞരും അംഗീകരിക്കുന്നതു്.
3. സൂര്യോദയം വിവിധസ്ഥലങ്ങളില്‍ വിവിധസമയത്താണു്. തിരുവനന്തപുരം – 6:17, കൊച്ചി – 6:18, കോഴിക്കോടു് – 6:20, കണ്ണൂര്‍ – 6:20, കാസര്‍കോടു് – 6:20 എന്നിങ്ങനെയാണു്.
4. തിരുവനന്തപുരത്തു് ഉദയത്തിനു ശേഷം രണ്ടു മിനിട്ടു കഴിഞ്ഞിട്ടാണു് മേടസംക്രമം. അതിനാല്‍ പിറ്റേന്നാണു വിഷുക്കണി.

എന്റെ നിരീക്ഷണങ്ങള്‍

ഞാന്‍ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രം, കലണ്ടര്‍, കൊല്ലവര്‍ഷം തുടങ്ങിയവയുടെ ഗണിതക്രിയകള്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന ഏതാനും കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാമുകള്‍ എഴുതിയിട്ടുണ്ടു്. മറ്റു പല രീതികള്‍ പോലെ interpolation പോലെയുള്ള ഏകദേശരീതികള്‍ ഉപയോഗിച്ചല്ല, ആധുനികശാസ്ത്രത്തിന്റെ ഡാറ്റ ഉപയോഗിച്ചാണു് ഇതുണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ടു്. ലോകത്തു പല സ്ഥലത്തു നിന്നും ഇറങ്ങുന്ന അല്‍മനാക്കുകളും പഞ്ചാംഗങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു് ഇതിന്റെ സാധുത സ്ഥിരീകരിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

ഇതിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ മുകളില്‍ പറയുന്ന നാലു വസ്തുതകളെ ഒന്നു പരിശോധിക്കട്ടേ.

1. മനോരമ പറഞ്ഞതു ശരിയാണു്. മാതൃഭൂമിക്കും പൊതുവാളിനും തെറ്റുപറ്റിപ്പോയി. എന്റെ കണക്കുകൂട്ടലില്‍ 6:15-നാണു മേടസംക്രമം. പൊതുവാളിന്റെ 5:39 ഒരു ഭീമാബദ്ധമാണു്.
2. ശരിയായ മേടസംക്രമം വെളുപ്പിനു് 6:15-നാണു്. അധികഗണിതജ്ഞരും അംഗീകരിക്കുന്ന മൂല്യമെന്നു മനോരമ പറയുന്ന സമയത്തെക്കാള്‍ നാലു മിനിറ്റു മുമ്പു്. (ഈ നാലു മിനിറ്റ് ഇവിടെ വളരെ വലുതാണേ!)
3. ഇവിടെയും മനോരമ ശരിയാണു്. കേരളത്തിലെ വിവിധസ്ഥലങ്ങളിലെ ഉദയം താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:
   

   സ്ഥലം	അക്ഷാംശം	രേഖാംശം	ഉദയം	മനോരമ
   	(ഡിഗ്രി:മിനിട്ട് N)	(ഡിഗ്രി:മിനിട്ട് E)	(AM IST)	(AM IST)
   പാറശ്ശാല	08:28	76:55	06:17
   തിരുവനന്തപുരം	08:29	76:59	06:17	06:17
   ശബരിമല	09:22	76:49	06:17
   കൊച്ചി	09:58	76:17	06:18	06:18
   ആലുവ	10:07	76:24	06:18
   ഗുരുവായൂര്‍	09:34	76:31	06:18	06:18
   പാലക്കാടു്	10:46	76:39	06:16
   കോഴിക്കോടു്	11:15	75:49	06:19	06:20
   കണ്ണൂര്‍	11:52	75:25	06:20	06:20
   കാസര്‍കോടു്	12:30	75:00	06:22	06:22

4. ഇവിടെ മനോരമയ്ക്കും കേരളസര്‍ക്കാരിനും തെറ്റുപറ്റി. ഇവയില്‍ ഒരു സ്ഥലത്തും ഉദയത്തിനു ശേഷമല്ല മേടസംക്രമം. അതിനാല്‍ എല്ലായിടത്തും വിഷു 14-നു തന്നെ.

ഇതില്‍ നിന്നു ഞാന്‍ മനസ്സിലാക്കുന്നതു് ഇതാണു്: മാതൃഭൂമി പഞ്ചാംഗം ഗണിച്ച വി. പി. കെ. പൊതുവാളിനു് ഒരു വലിയ അബദ്ധം പറ്റിപ്പോയി. മനോരമ അതു കണ്ടുപിടിച്ചു. തൊണ്ണൂറുകളുടെ ആദ്യം സംഭവിച്ച ക്ഷീണം വിട്ടുമാറാത്ത (അന്നു് ഇതുപോലൊരു തര്‍ക്കമുണ്ടായിട്ടു് മാതൃഭൂമിയുടെ വാദമാണു ശരിയെന്നു തീരുമാനമുണ്ടായി) മനോരമ ഈ അവസരം ശരിക്കു വിനിയോഗിച്ചു. പക്ഷേ ഇതു മൂലം വിഷുവിന്റെ തീയതി തെറ്റിയിട്ടില്ല. സര്‍ക്കാരിന്റെ കലണ്ടറിലെ തെറ്റു് വികലമായ കണക്കുകൂട്ടലിന്റെ ഫലമാണു്.

തമിഴ്‌നാട്ടില്‍ 15-നാണു വിഷുക്കണി എന്നു മനോരമ പറയുന്നതു ശരിയാണു്. കുറച്ചുകൂടി കിഴക്കുള്ള അവര്‍ക്കു സൂര്യന്‍ അല്പം നേരത്തെ ഉദിക്കും. അതുകൊണ്ടു് സൂര്യോദയത്തിനു ശേഷമേ മേടസംക്രമം ഉണ്ടാവുകയുള്ളൂ.

അതിനാല്‍, കേരളത്തിലും അതിനു പടിഞ്ഞാറോട്ടു് അമേരിക്ക വരെയുള്ളവര്‍ 14-നു തന്നെ വിഷു ആഘോഷിച്ചു കൊള്ളൂ. കേരളത്തിനു കിഴക്കുള്ളവള്‍ 15-നാണെന്നു തോന്നുന്നു. വക്കാരി ഏതായലും 14-നു തന്നെ ആഘോഷിക്കൂ. 15-നു വേണോ എന്നു് ഞാന്‍ ഒരു ദിവസത്തിനകം പറയാം.

തോന്നുന്നു എന്നു പറഞ്ഞതു് എന്റെ അറിവുകേടു കൊണ്ടാണു്. വിഷു എന്നും മേടം 1-നാണെന്നാണു ഞാന്‍ കരുതിയിരുന്നതു്. അല്ലെന്നു തോന്നുന്നു. വിശദമായി അന്വേഷിച്ചതിനു ശേഷം അതിനെപ്പറ്റി എഴുതാം. മേടം 1 ഏതായാലും 14-നു തന്നെ.

വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു മുമ്പുണ്ടായിരുന്ന തര്‍ക്കം ഒന്നാം തീയതിയെപ്പറ്റിയായിരുന്നു. വിഷുവാണോ ആണ്ടുപിറപ്പാണോ (ചിങ്ങം 1) എന്നു് ഓര്‍മ്മയില്ല.

മലയാളമാസം ഒന്നാം തീയതി കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു് ഇങ്ങനെയാണു്:

സൂര്യന്‍ മീനത്തില്‍ നിന്നു മേടത്തിലേക്കു കടക്കുന്നതു് (മേടസംക്രമം) എപ്പോഴാണെന്നു നോക്കുക. (കലണ്ടറില്‍ കാണും. അല്ലെങ്കില്‍ കണക്കുകൂട്ടുക.)

ഈ സമയം മദ്ധ്യാഹ്നം കഴിയുന്നതിനു മുമ്പാണെങ്കില്‍, ആ ദിവസം തന്നെ ഒന്നാം തീയതിയും വിഷുവും. മദ്ധ്യാഹ്നത്തിനു ശേഷമാണെങ്കില്‍ പിറ്റേന്നും.

ഇനി, “മദ്ധ്യാഹ്നം കഴിയുക” എന്നു വെച്ചാല്‍ നട്ടുച്ച കഴിയുക എന്നല്ല. ഒരു പകലിനെ അഞ്ചായി വിഭജിച്ചതിന്റെ (പ്രാഹ്ണം, പൂര്‍വാഹ്നം, മദ്ധ്യാഹ്നം, അപരാഹ്നം, സായാഹ്നം) മൂന്നാമത്തെ അഹ്നമാണു മദ്ധ്യാഹ്നം. അതുകൊണ്ടു “മദ്ധ്യാഹ്നം കഴിയുക” എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ദിവസത്തിന്റെ അഞ്ചില്‍ മൂന്നു സമയം കഴിയുക എന്നാണു്. ഉദയവും അസ്തമയവും എപ്പോഴെന്നു നോക്കീട്ടു കണക്കാക്കണം. (ലോകത്തിന്റെ പല ഭാഗത്തു് ഇതു പല സമയത്താണെന്നു് ഓര്‍ക്കണം.) ആറു മണി മുതല്‍ ആറു മണി വരെയുള്ള ഒരു പകലില്‍ ഇതു് ഏകദേശം 1:12 PM-നു് ആയിരിക്കും. (ഇതായിരുന്നു മാതൃഭൂമിയും മനോരമയും തമ്മിലുള്ള തര്‍ക്കം. മനോരമ ഉച്ച എന്നു കരുതി. ആ വര്‍ഷം സംക്രമം 12 മണിക്കും 1:12-നും ഇടയ്ക്കായിരുന്നു)

പിന്നെ, വടക്കേ മലബാറില്‍ ഈ പ്രശ്നമൊന്നുമില്ല. അവിടെ എപ്പോഴും പിറ്റേ ദിവസമാണു് ഒന്നാം തീയതി. ഇതും മാതൃഭൂമി കലണ്ടറില്‍ കാണാം. “വടക്കേ മലബാറില്‍ ചിങ്ങം … ദിവസം. … -നു കന്നി 1.” എന്നിങ്ങനെ. സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, ആ മാസങ്ങളുടെ സംക്രമം മദ്ധ്യാഹ്നം കഴിയുന്നതിനു മുമ്പാണെന്നു കാണാം.

പൊതുവാള്‍ അല്പം കൂടി ശ്രദ്ധിക്കേണ്ടിയിരുന്നു. ഇതുവരെ മാതൃഭൂമി കലണ്ടറിനെ വലിയ വിശ്വാസവും ബഹുമാനവുമായിരുന്നു. (നാട്ടില്‍ പോയ ഒരു സുഹൃത്തിനോടു പറഞ്ഞു് ഇന്നലെ ഒന്നു കിട്ടിയതേ ഉള്ളൂ.) അതു പോയിക്കിട്ടി.

മനോരമയും അതേ ഉദ്ദേശിച്ചിട്ടുള്ളൂ എന്നു തോന്നുന്നു.

(ദയവായി ഇതുകൂടി വായിക്കുക.)

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിനു ദക്ഷിണഭാരതത്തിന്റെ – പ്രത്യേകിച്ചു കേരളത്തിന്റെ – സംഭാവനകളിലൊന്നായ പരല്‍പ്പേരിനെപ്പറ്റി ഞാന്‍ ഇവിടെ എഴുതിയ ലേഖനങ്ങള്‍ (1, 2)അധികം ആളുകള്‍ക്കും അജ്ഞാതമായിരുന്ന ആ രീതിയെ പരിചയപ്പെടുത്താന്‍ ഉപകരിച്ചു എന്നറിഞ്ഞതില്‍ സന്തോഷം. ആ ലേഖനങ്ങള്‍ താഴെപ്പറയുന്നവയ്ക്കു പ്രചോദനമായതില്‍ അതിലും സന്തോഷം.

1. പരല്‍പ്പേരിനെപ്പറ്റി ഒരു ലേഖനം വിക്കിപീഡിയയില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ടു. പരല്‍പ്പേരിനെപ്പറ്റിയുള്ള എന്റെ എല്ലാ ലേഖനങ്ങളുടെയും സംഗ്രഹം അവിടെ കാണാം.
2. അഞ്ജലീപിതാവായ കെവിന്‍ പരല്‍പ്പേരിലുള്ള ഒരു വാക്കോ വാക്യമോ സംഖ്യയാക്കാനുള്ള ഒരു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതി. പ്രോഗ്രാമും അതിന്റെ സോഴ്സും സോഴ്സ്ഫോര്‍ജിലുള്ള ഇവിടെ നിന്നു കിട്ടും.

കെവിന്റെ പ്രോഗ്രാം ഒരു നല്ല കൊച്ചു പ്രോഗ്രാമാണു്. നന്ദി കെവിന്‍. ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ആരെങ്കിലും ഒരു വെബ് പ്രോഗ്രാം കൂടി എഴുതുമോ – PHP-യിലോ മറ്റോ?

ആധുനികഭാരതത്തിലെ ഏറ്റവും മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്നു ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍. നമ്മുടെ അശാസ്ത്രീയമായ വിദ്യാഭ്യാസസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ബലിയാടായി പരീക്ഷകളില്‍ തോല്‍ക്കുകയും ക്ലാസ്സുകയറ്റം നിഷേധിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തു്, പില്‍ക്കാലത്തു ലോകത്തെമ്പാടുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ അമ്പരപ്പിച്ച (ഇന്നും അമ്പരപ്പിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന) സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ തന്റെ പഴയ വീട്ടിലെ ബെഞ്ചിലിരുന്നു് തന്റെ നോട്ടുബുക്കുകളില്‍ കുറിച്ചിട്ട അസാമാന്യപ്രതിഭാശാലി. ജി. എച്ച്. ഹാര്‍ഡി കണ്ടെത്തിയിരുന്നില്ലെങ്കില്‍ ഇന്നും ഈ “കാന്തിയും മൂല്യവും വാച്ചിടും” രത്നം “ചാണ കാണാതെ” ഭാരതാംബയുടെ കുക്ഷിയില്‍ മറഞ്ഞുപോയേനേ.

രാമാനുജനെപ്പറ്റിയുള്ള കഥകള്‍ പലപ്പോഴും അതിഭാവുകത്വത്തിലേക്കു കടക്കാറുണ്ടു്. പലപ്പോഴും അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞാനത്തെയും കഴിവിനെയും സത്യസന്ധമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനു പകരം, അദ്ദേഹത്തെ ഒരു അമാനുഷനാക്കുന്ന കഥകളാണു നാം കേള്‍ക്കുന്നതു്.

ഇതിനു് ഒരു നല്ല ഉദാഹരണമാണു് രാമാനുജനും 1729 എന്ന സംഖ്യയും ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഈ സംഭവം. ഹാര്‍ഡി പറയുന്നു:

I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavurable omen. “No,” he replied, “it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.”

അതായതു്, രോഗശയ്യയിലായിരുന്ന രാമാനുജനോടു് ഹാര്‍ഡി 1729 (ഹാര്‍ഡി സഞ്ചരിച്ച ടാക്സിയുടെ നമ്പര്‍) ഒരു ചീത്ത സംഖ്യയാണു് എന്നു പറഞ്ഞപ്പോള്‍, അതു് രണ്ടു ഘനസംഖ്യകളുടെ തുകയായി രണ്ടു വിധത്തിലെഴുതാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണെന്നു് രാമാനുജന്‍ ഉത്തരം പറഞ്ഞു.

ഇത്രയും നടന്ന കാര്യം. (യുക്തിവാദിയായിരുന്ന ഹാര്‍ഡി unfavourable omen എന്നു പറഞ്ഞതു് വിശ്വാസിയായ രാമാനുജനോടായതുകൊണ്ടാവാം.) ഇതില്‍നിന്നു വീരഗാഥയെഴുതുന്ന പാണന്മാര്‍ കണ്ടെത്തുന്നതു് ഏതു സംഖ്യ കിട്ടിയാലും ഞൊടിയിടയ്ക്കുള്ളില്‍ അതിന്റെ ഇത്രയും ദുര്‍ഗ്രഹമായ പ്രത്യേകതകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന അസാമാന്യപ്രതിഭ എന്നാണു്.

സത്യത്തില്‍ രാമാനുജനു് 1729-ന്റെ ഈ പ്രത്യേകത നേരത്തേ അറിയാമായിരുന്നു. രാമാനുജന്റെ അവസാനത്തെ നോട്ടുബുക്ക് എവിടെയോ വെച്ചു നഷ്ടമായതു് അദ്ദേഹം മരിച്ചു വളരെക്കാലം കഴിഞ്ഞാണു് (1965-ല്‍) കണ്ടെടുക്കുന്നതു്. ഇതിലെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ ഇന്നും ദുര്‍ഗ്രഹങ്ങളായി നിലകൊള്ളുന്നു. 1987-ല്‍ Tata Institute of Fundamental Research-ഉം Narosa Publishers-ഉം ചേര്‍ന്നു് രാമാനുജന്റെ നഷ്ടപ്പെട്ട കുറിപ്പുകള്‍ (Lost Notebook) ഫോട്ടോസ്റ്റാറ്റ് രൂപത്തില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അതിന്റെ 341-ാ‍ം പേജില്‍ ഇങ്ങനെ കാണാം:

If

then

Examples:

അവസാനത്തേതിനു തൊട്ടുമുമ്പിലുള്ള ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധിക്കൂ. 1729 ആണു് അതിന്റെ മൂല്യം. ഈ സിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി പഠിച്ച സമയത്തു് 1729-ന്റെ ഈ പ്രത്യേകത രാമാനുജന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവണം. അതു് ആ സന്ദര്‍ഭത്തില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുമുണ്ടാവണം. രോഗശയ്യയായിരുന്നതിനാല്‍ സംസാരവിഷയം പെട്ടെന്നു മാറിപ്പോയിട്ടുണ്ടാവണം. രാമാനുജന്റെ മരണത്തിനു ശേഷമായിരിക്കണം ഹാര്‍ഡി ഇതു പിന്നെ ഓര്‍ത്തതും രേഖപ്പെടുത്തിയതും. ഹാര്‍ഡിക്കോ പിന്നെ ചരിത്രം രേഖപ്പെടുത്തിയവര്‍ക്കോ രാമാനുജനെഴുതിയ ഈ കുറിപ്പുകളെപ്പറ്റി അറിവുണ്ടായിരുന്നില്ല. 1987-നു ശേഷവും ആരെങ്കിലും ഇതു ശ്രദ്ധിച്ചതായി എനിക്കറിവില്ല.

ഇനി, ഈ സിദ്ധാന്തം ശ്രദ്ധിക്കൂ. ഇതെങ്ങനെ കിട്ടിയെന്നോ, ഇതെങ്ങനെ തെളിയിക്കുമെന്നോ, ഇതില്‍ നിന്നു് മേല്‍പ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കുമെന്നോ എനിക്കു വലിയ പിടിയില്ല. അവിടെയാണു് ഗവേഷണം ആവശ്യമാവുന്നതു്. അവിടെയാണു് രാമാനുജന്റെ പ്രതിഭ കുടികൊള്ളുന്നതു്. ഒരു അജ്ഞാതസംഖ്യയെപ്പറ്റി ഞൊടിയിടയ്ക്കുള്ളില്‍ ഒരു സിദ്ധാന്തം “ഉണ്ടാക്കിയെടുത്തതില്‍” അല്ല.

കഴിഞ്ഞ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളില്‍ കൊടുത്തിരുന്ന പ്രശ്നങ്ങള്‍
(”അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകളും“, “അരയന്നങ്ങളും“) quadratic equations
ഉണ്ടാക്കി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഏതു സ്കൂള്‍കുട്ടിക്കും കഴിയും. കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട മൂല്യം (അമ്പുകളുടെ എണ്ണമോ, അരയന്നങ്ങളുടെ എണ്ണമോ) x² എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ ആദ്യത്തേതില്‍ നിന്നു്‌

എന്നും, രണ്ടാമത്തേതില്‍ നിന്നു്‌

എന്നുമുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി

എന്നസൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 10 എന്നും 4 എന്നുമുള്ള ഉത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടും. (-2 എന്നും എന്നും രണ്ടുത്തരങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ടു്‌. അതിവിടെ പ്രസക്തമല്ലാത്തതുകൊണ്ടു്‌ ഉപേക്ഷിച്ചു.) അപ്പോള്‍ 100 അമ്പുകള്‍, 16 അരയന്നങ്ങള്‍.

ഇനി, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ സൂത്രവാക്യം നോക്കാം.

ഗുണഘ്നമൂലോനയുതസ്യ രാശേര്‍-
ദൃഷ്ടസ്യ യുക്തസ്യ ഗുണാര്‍ദ്ധകൃത്യാ
മൂലം ഗുണാര്‍ദ്ധേന യുതം വിഹീനം
വര്‍ഗ്ഗീകൃതം പ്രഷ്ടുരഭീഷ്ടരാശിഃ
അറിയേണ്ട രാശി(variable)യോടു്‌, രാശിയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ ഗുണം എന്ന സംഖ്യകൊണ്ടു്‌ ഗുണിച്ചതു കൂടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്ത ഫലം തന്നിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍, ആ ഫലത്തിനോടു്‌ ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു യഥാക്രമം കുറയ്ക്കുകയോ കൂട്ടുകയോ ചെയ്താല്‍ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട രാശി കിട്ടും.

അതായതു്‌, എന്നതില്‍ നിന്നു്‌

ഉദാഹരണമായി,

1. അമ്പുകളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = 4 x 2 = 8, ഫലം = (6 + 3 + 1) x 2 = 20. ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = 4, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 16, ഫലത്തോടു കൂട്ടിയാല്‍ 20 + 16 = 36. വര്‍ഗ്ഗമൂലം = 6, ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയൊടു കൂട്ടിയാല്‍ 4 + 6 = 10, വര്‍ഗ്ഗം 100. ഉത്തരം: 100 അമ്പുകള്‍.
2. അരയന്നങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = (7/2), ഫലം = 2, ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = (7/4), വര്‍ഗം = (49/16), ഫലം കൂട്ടിയാല്‍ 2 + (49/16) = (81/16), വര്‍ഗ്ഗമൂലം (9/4), ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ (7/4) + (9/4) = (16/4) = 4, വര്‍ഗ്ഗം = 16. ഉത്തരം: 16 അരയന്നങ്ങള്‍.

ഇങ്ങനെ സാമാന്യനിയമം പറയുന്നതുകൂടാതെ, Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട മറ്റു പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഈ സൂത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചു തന്നെ നിയമങ്ങള്‍ അദ്ദേഹം നല്‍കിയിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, ഒരു സമാന്തരശ്രേഢി (Arithmetic Progression)യിലെ ആദ്യപദവും (മുഖം, a), പൊതുവ്യത്യാസവും (ചയം, d), ആദ്യത്തെ n (ഗച്ഛം) പദങ്ങളുടെ തുകയും (ഫലം, S) തന്നാല്‍ n കണ്ടുപിടിക്കാന്‍

എന്ന Quadratic equation n-നു വേണ്ടി നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ടി വരും.
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി നോക്കൂ:

ശ്രേഢീഫലാദുത്തരലോചനഘ്നാ-
ച്ചയാര്‍ദ്ധവക്ത്രാന്തരവര്‍ഗ്ഗയുക്താത്‌
മൂലം മുഖോനം ചയഖണ്ഡയുക്തം
ചയോദ്ധൃതം ഗച്ഛമുദാഹരന്തി 
ശ്രേഢീഫലത്തെ (S) ചയത്തിന്റെ (d) ഇരട്ടി കൊണ്ടു (ലോചനം = കണ്ണു്‌ = 2 (ഭൂതസംഖ്യ)) ഗുണിച്ചിട്ടൂ്‌, ചയത്തിന്റെ പകുതിയില്‍ നിന്നു മുഖം (a) കുറച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിയതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം മുഖത്തില്‍(a) നിന്നു കുറച്ചു്‌ ചയത്തിന്റെ (d) പകുതി കൂട്ടി ചയം (d) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഗച്ഛം (n) കിട്ടും.

അതായതു്‌,

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഉദാഹരണം നോക്കുക:

ദ്രമ്മത്രയം യഃ പ്രഥമേഹ്നി ദത്വാ
ദാതും പ്രവൃത്തോ ദ്വിചയേന തേന
ശതത്രയം ഷഷ്ട്യധികം ദ്വിജേഭ്യോ
ദത്തം ക്രിയദ്ഭിര്‍ദിവസൈര്‍വദാശു 
ഒരു രാജാവു്‌ ആദ്യത്തെ ദിവസം മൂന്നു നാണയം ബ്രാഹ്മണര്‍ക്കു ദാനം ചെയ്തു. പിന്നീടു്‌ ഓരോ ദിവസവും രണ്ടു നാണയം വീതം കൂട്ടിക്കൊടുത്തു. എത്ര ദിവസം കൊണ്ടു്‌ 360 നാണയം കൊടുത്തു എന്നു കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇവിടെ ഫലം = 360, മുഖം = 3, ചയം = 2.

ചയത്തിന്റെ ഇരട്ടി = 2 x 2 = 4, അതുകൊണ്ടു ഫലത്തെ ഗുണിച്ചാല്‍ 360 x 4 = 1440, ചയത്തിന്റെ പകുതി = 1, അതു മുഖത്തില്‍ നിന്നു കുറച്ചാല്‍ 3 – 1 = 2, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 4, അതു കൂട്ടിയാല്‍ 1444. വര്‍ഗ്ഗമൂലം 38. മുഖം കുറച്ചാല്‍ 38 – 3 = 35, ചയത്തിന്റെ പകുതി കൂട്ടിയാല്‍ 35 + 1 = 16, ചയം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 36 / 2 = 18. ഗച്ഛം (n) = 18.

സൂക്ഷിച്ചുനോക്കിയാല്‍

അതായതു്‌ എന്ന Quadratic equation-ന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം തന്നെയാണു്‌ ഈ രീതിയെന്നു കാണാം.

ഇംഗ്ലീഷ്‌ വിക്കിപീഡിയയില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഈ രീതി പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌.

നിഷ്പത്തി

വര്‍ഗ്ഗീകരണം പൂര്‍ത്തിയാക്കി quadratic equations നിര്‍ദ്ധരിക്കുന്ന വിദ്യ ബാബിലോണിയക്കാര്‍ക്കു ക്രി. മു. നാലാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ അറിയാമായിരുന്നു എന്നു് വിക്കിപീഡിയ പറയുന്നു. ഈ രീതി തന്നെയാണു ഭാസ്കരാചാര്യരും ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതു്.

നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട സമവാക്യം

എന്നാണല്ലോ. ഇതിനെ എന്നു കരുതിയിട്ടു്, രണ്ടിനോടും കൂട്ടി ഇടത്തുവശത്തുള്ളതിനെ ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാക്കുന്നതാണു് ഈ രീതി. അതായതു്,

വര്‍ഗ്ഗമൂലമെടുത്താല്‍

അപ്പോള്‍

എന്നു കിട്ടും. ഇതാണു ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഗുണഘ്നമൂലോന… എന്ന ശ്ലോകത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥം.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II – ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നു മറ്റൊരു പ്രശ്നം:

ബാലേ, മരാളകുലമൂലദലാനി സപ്ത
തീരേ വിലാസഭരമന്ഥരഗാണ്യപശ്യം
കുര്‍വഞ്ച കേളികലഹം കലഹംസയുഗ്മം
ശേഷം ജലേ, വദ മരാളകുലപ്രമാണം
(ബാലേ, മരാള-കുല-മൂല-ദലാനി സപ്ത തീരേ വിലാസ-ഭര-മന്ഥരഗാണി-അപശ്യം
കുര്‍വന്‍ ച കേളി-കലഹം കള-ഹംസ-യുഗ്മം ശേഷം ജലേ വദ മരാള-കുല-പ്രമാണം എന്നന്വയം)

കുട്ടീ, അരയന്നങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) പകുതിയുടെ ഏഴിരട്ടി തീരത്തുകൂടി കുണുങ്ങിക്കുണുങ്ങി നടന്നു. ബാക്കിയുള്ള രണ്ടെണ്ണം കളിയും ചിരിയും വഴക്കുമൊക്കെയായി വെള്ളത്തില്‍ത്തന്നെയും കഴിഞ്ഞു. (വാലന്റൈന്‍സ്‌ ഡേ ആയതുകൊണ്ടായിരിക്കണം) എന്നാല്‍ ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

6 Responses to “ലീലാവതിയിലെ വേറൊരു പ്രശ്നം: അരയന്നങ്ങള്‍”

1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 5:13 am

   കാളിദാസന്റേതായി ഇതുപോലൊരു ശ്ലോകമില്ലേ? “ബാലേ” എന്നു തുടങ്ങുന്നതാണെന്നാണെന്റെ ഓര്‍മ്മ.

2. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 8:50 am

   ഉത്തരം ആരെങ്കിലും വരുന്നതിനു മുന്‍പു പറഞ്ഞിട്ടോടാം

   അല്ലെങ്കില്‍ ‘ചാടാം’ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചോന്നും നോക്കാലോ

3. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 9:01 am

   ഇലയും പക്ഷിയുമായുമോ മറ്റോ ഒരു simultaneous സമവാക്യത്തിന്റെ ശ്ലോകം കൂടെ കേട്ടിട്ടുണ്ടല്ലോ ഉമേഷേ. എന്താണതു്‌? പക്ഷികളിരട്ടയായിരുന്നാല്‍ ഒരില ബാക്കി. ഒറ്റയായിരുന്നാലൊരു പക്ഷി ബാക്കി എന്നാണര്‍ഥം

4. ഭാരതീയഗണിതം Says:

   February 15th, 2006 at 3:09 pm

   “ചാടി“യതു ശരിയായി സിദ്ധാര്‍ത്ഥാ. അപ്പോ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചു, ല്ലേ?

   മറ്റേ കണക്കു കേട്ടിട്ടുണ്ടു് (ഓരോ പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു പക്ഷി ബാക്കി, ഈരണ്ടു പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു മരം ബാക്കി – 4 പക്ഷി, 3 മരം എന്നുത്തരം.), ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല.

   കാളിദാസന്റെ ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല. ഇതിനെ കാളിദാസന്റേതെന്നു് ആരോ പറഞ്ഞതായിരിക്കും.

   അതോ, ഈ സമസ്യാപൂരണമാണോ?

   കുസുമേ കുസുമോത്പത്തി
   ശ്രൂയതേ വാ ന ദൃശ്യതേ
   ബാലേ, തവ മുഖാംഭോജാ-
   ദക്ഷിരിന്ദീവരദ്വയം!

   അതോ, ഇതോ?

   കാ ത്വം ബാലേ? കാഞ്ചനമാലാ;
   കസ്യാഃ പുത്രീ? കനകലതായാഃ;
   കിം തേ ഹസ്തേ? താലീപത്രം;
   കാ വാ രേഖാ? ക ഖ ഗ ഘ;

   രണ്ടും കാളിദാസന്റെയാണെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. ഇതു രണ്ടുമേ കാളിദാസന്റെ “ബാലേ” എന്നുള്ള ശ്ലോകം ഓര്‍മ്മ വരുന്നുള്ളൂ.

5. viswam വിശ്വം Says:

   February 17th, 2006 at 11:21 pm

   എല്ലാ ദിവസവും ഇവിടെ വന്നു നോക്കുന്നുണ്ട്. പഴയപോലെ ഗംഭീരമായി തുടങ്ങിവെച്ച് ഗംഭീരമായി ഉഴപ്പാനാണോ ഭാവം? എങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ വെറുതെ വിടില്ല!

   😉

6. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 18th, 2006 at 12:47 am

   ആരംഭശൂരത്വത്തിനു ഞാന്‍ കുപ്രസിദ്ധനാണു വിശ്വം. എങ്കിലും കഴിയുന്നതു ശ്രമിക്കാം. ഓഫീസിലെ തിരക്കുകള്‍, മകന്റെ പിറന്നാള്‍ തുടങ്ങിയവ മൂലം സമയക്കുറവുണ്ടു്‌. എങ്കിലും അടുത്ത പോസ്റ്റിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഇവിടെ നോക്കൂ.

   വിശ്വത്തിന്റെ കമന്റുകളില്‍ നിന്നു പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടു്‌ കലിദിനസംഖ്യയെപ്പറ്റി രണ്ടുമൂന്നു്‌ നെടുങ്കന്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ ഉടനേ പ്രതീക്ഷിക്കാം. മൊത്തം എഴുതിയിട്ടേ പ്രസിദ്ധീകരിക്കൂ.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II – ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം:

പാര്‍ത്ഥഃ കര്‍ണ്ണവധായ മാര്‍ഗ്ഗണഗണം ക്രുദ്ധോ രണേ സന്ദധേ
തസ്യാര്‍ദ്ധേന നിവാര്യ തച്ഛരഗണം മൂലൈശ്ചതുര്‍ഭിര്‍ഹയാന്‍
ശല്യം ഷഡ്ഭിരഥേഷുഭിസ്ത്രിഭിരപിച്ഛത്രം ധ്വജം കാര്‍മുകം
ചിച്ഛേദാസ്യ ശിരഃ ശരേണ, കതി തേ യാനര്‍ജ്ജുനഃ സന്ദധേ?

ഭാരതയുദ്ധത്തില്‍ അര്‍ജ്ജുനന്‍ ക്രുദ്ധനായി കര്‍ണ്ണനെ കൊല്ലാന്‍ കുറേ അമ്പുകള്‍ എടുത്തു. അതില്‍ പകുതി കൊണ്ടു കര്‍ണ്ണന്റെ അമ്പുകളെല്ലാം നശിപ്പിച്ചു. വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) നാലിരട്ടി കൊണ്ടു്‌ കുതിരകളെ കൊന്നു. ആറു്‌ അമ്പു കൊണ്ടു ശല്യരെ (കര്‍ണ്ണന്റെ തേരാളി) ഒഴിവാക്കി. മൂന്നെണ്ണം കൊണ്ടു്‌ കുട, കൊടിമരം, വില്ലു്‌ എന്നിവ മുറിച്ചു. ബാക്കി വന്ന ഒരമ്പു കൊണ്ടു്‌ കര്‍ണ്ണന്റെ ശിരസ്സും ഛേദിച്ചു. എങ്കില്‍ ആദ്യം എത്ര അമ്പാണു്‌ എടുത്തതു്‌?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

7 Responses to “ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം: അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകള്‍”

1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 14th, 2006 at 8:41 pm

   100 എന്നാണു എന്റെ ഉത്തരം. അഥവാ ശരിയാണെങ്കില്‍ പൊട്ടഭാഗ്യത്തിനു 100 മാര്‍ക്കു കൊടുത്തോള്ളൂ.

2. Viswanathan Prabhakaran Says:

   February 14th, 2006 at 9:14 pm

   ഇതില്‍ എന്താ ഇത്ര കുടുക്ക് എന്നു മനസ്സിലായില്ല!

   let N = x^2 be the number of arrows.

   Then we have

   x^2 – 8x -20 = 0

   from which, a positive root is x=10.

   so N = 100
   ശരിയല്ലേ? അതോ ഇനി വല്ല കുഴപ്പവുമുണ്ടോ?

3. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 14th, 2006 at 9:23 pm

   ആധുനിക ഗണിതത്തിനു ഇതൊരു കുടുക്കല്ലല്ലോ വിശ്വം. ഭാസ്കരാചര്യര്‍ക്കു എപ്രകാരം വിഷമമായിരുന്നു എന്നുള്ളതു ഉമേഷ് വിശദീകരിക്കുമ്പോള്‍ അറിയാം.

4. Viswanathan Prabhakaran Says:

   February 14th, 2006 at 9:26 pm

   എനിക്ക് ഓര്‍മ്മ വരുന്നില്ല പെട്ടെന്ന്. പക്ഷേ ഒരിക്കല്‍ ഞാന്‍ ചെയ്തിരുന്നൂന്നു മാത്രം ഓര്‍മ്മയുണ്ട്!

   വയസ്സായിത്തുടങ്ങി…!

   🙁

5. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 14th, 2006 at 9:32 pm

   കുടുക്കൊന്നുമില്ല വിശ്വം. ആറാം ക്ലാസ്സിലെ കുട്ടി ചെയ്യും ഇതു്‌.

   രണ്ടു കാരണങ്ങള്‍ കൊണ്ടാണു്‌ ഇതിവിടെ ചേര്‍ത്തതു്‌

   1) മനോഹരമായി പ്രശ്നങ്ങള്‍ പദ്യരൂപത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതു കാണിക്കാന്‍.

   2) 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടിലും (അതിനു മുമ്പും) ഇതൊക്കെ ചെയ്യാനറിയുന്നവര്‍ ഭാരതത്തിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു കാണിക്കാന്‍. “ലീലാവതി” ഒരുപാടു കാലം ടെക്സ്റ്റുബുക്കായിരുന്നു.

   നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ശരി തന്നെ. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഇതിനു്‌ ഒട്ടും പണിപ്പെട്ടിട്ടില്ല പെരിങ്ങോടരേ. നീറ്റായി ഒരു ഫോര്‍മുല തന്നിട്ടുണ്ടു മൂപ്പര്‍. അടുത്ത പോസ്റ്റും ഒരു quadratic equation ആണു്‌. അതുകൂടി കഴിഞ്ഞു്‌ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും മറ്റും ഈ രണ്ടു ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും വിശദീകരിക്കാം.

   ഭാസ്കരാചര്യരും അതിനു മുമ്പു ബ്രഹ്മഗുപ്തനും സോള്‍വു ചെയ്തതും, പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു പിന്നെയും നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടു കൂടി വേണ്ടി വന്നതും, നമ്മളില്‍ മിക്കവര്‍ക്കും ഇപ്പോഴും ചെയ്യാന്‍ പറ്റാത്തതുമായ ചിലതു്‌ ഇനി വരുന്നുണ്ടു്‌. ജാഗ്രതൈ!

ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ള മൂന്നു സംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങളെപ്പറ്റിയാണു്‌ കഴിഞ്ഞ കുറേ ലേഖനങ്ങള്‍. അവയിലേക്കു്‌ ഒരു സൂചിക താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

• അക്ഷരസംഖ്യകളെപ്പറ്റി പൊതുവേ: അക്ഷരസംഖ്യകള്‍
• പരല്‍പ്പേരു്‌ (കടപയാദി)
  • ഉദാഹരണം: പൈയുടെ മൂല്യം പരല്‍പ്പേരുപയോഗിച്ചു്‌
• ഭൂതസംഖ്യ
  • ഉദാഹരണം: ഭൂതസംഖ്യ ഛന്ദശാസ്ത്രത്തില്‍
  • ഉദാഹരണം: പൈയുടെ മൂല്യം ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചു്‌
• ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമം
  • ഉദാഹരണം: ആര്യഭടന്റെ സൈന്‍ പട്ടിക

ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തിനു് ഒരുദാഹരണം:

3.75 ഡിഗ്രി മുതല്‍ 3.75 ഡിഗ്രി ഇടവിട്ടു് 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ആംഗിളുകളുടെ സൈന്‍ മൂല്യം ആര്യഭടന്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്.  തൊട്ടു മുന്‍പത്തെ മൂല്യത്തോടു കൂട്ടേണ്ട മൂല്യമാണു ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമത്തില്‍ നല്‍കിയിട്ടുള്ളതു്.

മഖി, ഭഖി, ഫഖി, ധഖി, ണഖി, ഞഖി
ങഖി, ഹസ്ഝ, സ്കകി, കിഷ്ഗ, ശ്ഘകി, കിഘ്വാ
ഘ്ലകി, കിഗ്ര, ഹക്യ, ധാഹാ,
സ്ത, സ്ഗ, ശ്ഝ, ങ്വ, ല്ക, പ്ത, ഫ, ഛ, കലാര്‍ധജ്യാ
വ്യാസാര്‍ദ്ധം 3438 ആയിട്ടുള്ള ഒരു വൃത്തത്തില്‍ 3.75 ഡിഗ്രി മുതല്‍ 3.75 ഇടവിട്ടൂ് 90 ഡിഗ്രി വരെയുള്ള ആംഗിളുകള്‍ക്കുള്ള ജ്യാവുകളെ (Rsin – length of opposite side) കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ശ്ലോകമാണിതു്.

ആര്യഭടന്റെ മൂല്യങ്ങളും ആധുനികമൂല്യങ്ങളും താഴെ പട്ടികയായി ചേര്‍ക്കുന്നു:

Angle	കൂട്ടേണ്ട മൂല്യം		മൂല്യം	കൃത്യമൂല്യം	സൈന്‍ (ആര്യഭടന്‍)	സൈന്‍ (കൃത്യമൂല്യം)
3.75	മഖി	225	225	224.8560	0.0654	0.0654
7.50	ഭഖി	224	449	448.7490	0.1306	0.1305
11.25	ഫഖി	222	671	670.7205	0.1952	0.1951
15.00	ധഖി	219	890	889.8199	0.2589	0.2588
18.75	ണഖി	215	1105	1105.1089	0.3214	0.3214
22.50	ഞഖി	210	1315	1315.6656	0.3825	0.3827
26.25	ങഖി	205	1520	1520.5885	0.4421	0.4423
30.00	ഹസ്ഝ	199	1719	1719.0000	0.5000	0.5000
33.75	സ്കകി	191	1910	1910.0505	0.5556	0.5556
37.50	കിഷ്ഗ	183	2093	2092.9218	0.6088	0.6088
41.25	ശ്ഘകി	174	2267	2266.8309	0.6594	0.6593
45.00	കിഘ്വാ	164	2431	2431.0331	0.7071	0.7071
48.75	ഘ്ലകി	154	2585	2584.8253	0.7519	0.7518
52.50	കിഗ്ര	143	2728	2727.5488	0.7935	0.7934
56.25	ഹക്യ	131	2859	2858.5925	0.8316	0.8315
60.00	ധാഹാ	119	2978	2977.3953	0.8662	0.8660
63.75	സ്ത	106	3084	3083.4485	0.8970	0.8969
67.50	സ്ഗ	93	3177	3176.2978	0.9241	0.9239
71.25	ശ്ഝ	79	3256	3255.5458	0.9471	0.9469
75.00	ങ്വ	65	3321	3320.8530	0.9660	0.9659
78.75	ല്ക	51	3372	3371.9398	0.9808	0.9808
82.50	പ്ത	37	3409	3408.5874	0.9916	0.9914
86.25	ഫ	22	3431	3430.6390	0.9980	0.9979
90.00	ഛ	7	3438	3438.0000	1.0000	1.0000

 

ആദ്യത്തെ മൂന്നു വരിയിലും ഈരണ്ടക്ഷരങ്ങളെക്കൊണ്ടും, അവസാനത്തെ വരിയില്‍ ഓരോ അക്ഷരത്തിനെക്കൊണ്ടുമാണു മൂല്യങ്ങള്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഉദാഹരണത്തിനു്, ക = 1, കി = 1 x 100 = 100, ഘ = 4, വ = 60; അതുകൊണ്ടു്, കിഘ്വാ = 100 + 4 + 60 = 164; ഹ = 100, ക = 1, യ = 30; ഹക്യ = 100 + 1 + 30 = 131.

 ആര്യഭടന്റെ മൂല്യങ്ങള്‍ വളരെ കൃത്യമാണു്.  വലിയ വൃത്തങ്ങള്‍ വരച്ചു് ആംഗിളുകള്‍ അളന്നല്ല ഇതു കണ്ടുപിടിച്ചതു്.  അനന്തശ്രേണികള്‍ (infinite series) ഉപയോഗിച്ചു് സൈന്‍ തുടങ്ങിയ മൂല്യങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതീയര്‍ക്കു് പാശ്ചാത്യരെക്കാള്‍ ഒന്‍പതു നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പേ അറിയാമായിരുന്നു.  അതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു ലേഖനത്തിലെഴുതാം.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

6 Responses to “ആര്യഭടന്റെ സൈന്‍ പട്ടിക”

1. sysop Says:

   February 14th, 2006 at 1:32 pm

   hi , i have problems reading some of the text, any pointers on setting up the proper fonts?

   nice site , interesting content ( from what i can read).

2. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 14th, 2006 at 1:41 pm

   Hi sysop,

   This site is in Malayalam. You need to have a Malayalam unicode font installed on your computer. And of course, you should know Malayalam

   This post is about the sine table given by the Indian Mathematician Aryabhata (5th century AD), which is very accurate.

   This blog is to discuss various contributions to ancient Indian mathematicians to Mathematics, and to criticize many false claims for Indian Mathematics.

   I wanted to quote the verses also, that is why I chose Malayalam. Someday, I’ll translate this to English as well

   Nice to know that you liked it. Thanks a lot.

3. Raj Nair Says:

   February 14th, 2006 at 6:49 pm

   വിക്കിയിലും മറ്റും ആര്യഭട്ടന്റെ സംഭാവനകളെ കുറിച്ചുള്ള ലേഖനങ്ങള്‍ വായിച്ചിട്ടുണ്ടെന്നല്ലാതെ വിശദമായൊരു പഠനം ഇതുവരെ തരമായിരുന്നില്ല. ഇപ്പോള്‍ ഉമേഷിന്റെ വിശദീകരണങ്ങള്‍ ആ പരിമിതി ഒരളവുവരെ പരിഹരിക്കുന്നു. അനന്തശ്രേണികള്‍ എന്നു പറയുമ്പോള്‍ ആര്യഭട്ടന്റെ മെത്തഡോളജി ഒന്നു വിശദീകരിക്കാമോ?

4. ഭാരതീയഗണിതം Says:

   February 14th, 2006 at 7:19 pm

   രാജ്,

   ഗണിതം ശരിക്കെഴുതാന്‍ ഇതുവരെ പറ്റാത്തതുകൊണ്ടാണു് ഇതുവരെ അതുപോലെയുള്ള വിഷയങ്ങള്‍ പരാമര്‍ശിക്കാതിരുന്നതു്. താമസിയാതെ വിശദീകരിക്കാം.

   സൈന്‍ തുടങ്ങിയ ഫലനങ്ങളും, വൃത്തപരിധി തുടങ്ങിയവയും (അതായതു് പൈയുടെ മൂല്യം) കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതീയര്‍ക്കു വഴികളുണ്ടായിരുന്നു. ആര്യഭടനു ശേഷമാണു് പല വഴികളും രേഖപ്പെടുത്തിയതു്. ഉദാഹരണത്തിനു്, തന്ത്രസംഗ്രഹം, യുക്തിഭാഷ, കരണപദ്ധതി തുടങ്ങിയ പുസ്തകങ്ങളില്‍ ഈ വഴികള്‍ കാണാം. പക്ഷേ, ഈ വഴികളില്ലാതെ ആര്യഭടന്‍ എങ്ങനെ ഇതൊക്കെ കൃത്യമായി കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ ഇവ അന്നുമുണ്ടായിരുന്നു എന്നു വിശ്വസിക്കേണ്ടിവരും.
   ആര്യഭടന്‍ ഫോര്‍മുലകള്‍ മാത്രമേ നല്‍കിയിട്ടുള്ളൂ.

   “ആര്യഭടന്‍” എന്നാണു ശരി. നമ്മുടെ ഉപഗ്രഹത്തിനു് “ആര്യഭട്ട” എന്നു പേരിട്ടതു് വിവരമില്ലാത്തവര്‍ സര്‍ക്കാരിന്റെ തലപ്പത്തുണ്ടായിരുന്നതുകൊണ്ടാണു്.

ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളെ കുഞ്ഞുകുഞ്ഞു്‌ ആര്യാവൃത്തശ്ലോകങ്ങളില്‍ ഒതുക്കിയ ആര്യഭടന്‍ സംഖ്യകളെ – പ്രത്യേകിച്ചും വളരെ വലിയ സംഖ്യകളെ – സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഒരു രീതി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ബുദ്ധിമുട്ടുള്ള രീതിയായതുകൊണ്ടു്‌ പിന്നീടു്‌ കാര്യമായി ആരും ഇതു്‌ ഉപയോഗിച്ചില്ല.

ഈ രീതി ചുരുക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

1. ക മുതല്‍ മ വരെയുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ യഥാക്രമം 1 മുതല്‍ 25 വരെയുള്ള സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
   യ മുതല്‍ ഹ വരെയുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ യഥാക്രമം 30 മുതല്‍ 100 വരെയുള്ള സംഖ്യകളെ (പത്തിടവിട്ടു്‌) സൂചിപ്പിക്കുന്നു.        

   അതായതു്‌,

   ക = 1, ഖ = 2, ഗ = 3, ഘ = 4, ങ = 5, ച = 6, ഛ = 7, ജ = 8, ഝ = 9, ഞ = 10, ട = 11, ഠ = 12, ഡ = 13, ഢ = 14, ണ = 15, ത = 16, ഥ = 17, ദ = 18, ധ = 19, ന = 20, പ = 21, ഫ = 22, ബ = 23, ഭ = 24, മ = 25, യ = 30, ര = 40, ല = 50, വ = 60, ശ = 70, ഷ = 80, സ = 90, ഹ = 100.

2. ഈ വ്യഞ്ജനങ്ങളോടു്‌ അ മുതല്‍ ഔ വരെയുള്ള 9 സ്വരങ്ങള്‍ (ദീര്‍ഘസ്വരങ്ങള്‍ കൂട്ടേണ്ട.) ചേര്‍ത്താല്‍ 1, 100, 10000 എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഗുണിക്കുന്ന ഫലം വരും.അതായതു്‌,അ = 1, ഇ = 100, ഉ = 10000, ഋ = 10⁶, ഌ = 10⁸, എ = 10¹⁰, ഐ = 10¹², ഒ = 10^14, ഔ = 10¹⁶ എന്നിവയെക്കൊണ്ടു ഗുണിക്കണം.

ഉദാഹരണത്തിനു്‌, ച = 6, ചി = 600, ചു = 60000 എന്നിങ്ങനെ.

3. ഇങ്ങനെ ഓരോ അക്ഷരത്തിനും ഉള്ള മൂല്യങ്ങളെല്ലാം കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന സംഖ്യ മൊത്തം വാക്കു സൂചിപ്പിക്കുന്ന സംഖ്യയായി.

ഉദാഹരണത്തിനു്‌, “ഗണിതം” എന്ന വാക്കു്‌ 1519-നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു (3 + 1500 + 16). പക്ഷേ, ആര്യഭടീയത്തില്‍ “ഗണിതം” പോലെയുള്ള “നല്ല” വാക്കുകള്‍ കാണാറില്ല; പകരം, “ഞിലാ”, “ചയഗിയിങു” തുടങ്ങിയ രൂപങ്ങളാണു കാണുക.

കൂടുതല്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ഇനിയുള്ള ലേഖനങ്ങളില്‍.