Gurukulam | ഗുരുകുലം

ഇതു് ഗുരുകുലത്തിലെ നൂറ്റൊന്നാമത്തെ പോസ്റ്റാണു്.

2006 ഫെബ്രുവരിയിലാണു “ഗുരുകുലം” തുടങ്ങിയതു്. പ്രധാനമായും വ്യാകരണലേഖനങ്ങള്‍ അടങ്ങിയ ഉമേഷിന്റെ മലയാളം ബ്ലോഗ്‌, ശരിയും തെറ്റും, പരിഭാഷകള്‍ അടങ്ങിയ ഉമേഷിന്റെ പരിഭാഷകള്‍ എന്നീ ബ്ലോഗ്സ്പോട്ട്‌ ബ്ലോഗുകളിലെയും, ഭാരതീയഗണിതം എന്ന വേര്‍ഡ്പ്രെസ്സ്‌ ബ്ലോഗിലെയും 48 പോസ്റ്റുകള്‍ കൂട്ടിച്ചേര്‍ത്തു് സ്വന്തമായി ഒരു സര്‍വറില്‍ ഇന്‍സ്റ്റാള്‍ ചെയ്ത വേര്‍ഡ്പ്രെസ്സ്‌ ബ്ലോഗില്‍.

ഒരു വര്‍ഷത്തില്‍ 48 പോസ്റ്റുകള്‍. അതു കഴിഞ്ഞു് അഞ്ചു മാസത്തിനുള്ളില്‍ 52 പോസ്റ്റുകള്‍!

2004 അവസാനത്തില്‍ ഞാനും രാജേഷ്‌ വര്‍മ്മയും കൂടി തുടങ്ങിവെച്ച അക്ഷരശ്ലോകഗ്രൂപ്പില്‍ ചൊല്ലുന്ന ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഒരു ബ്ലോഗില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതു നന്നായിരിക്കും എന്നു് Kerala blog roll നടത്തുന്ന മനോജ്‌ പറഞ്ഞതനുസരിച്ചാണു് ഞാന്‍ ആദ്യമായി ബ്ലോഗിംഗ്‌ തുടങ്ങിയതു് – 2005 ജനുവരി 17-നു് aksharaslokam.blogspot.com-ല്‍. അന്നു് ബൂലോഗത്തില്‍ പുലികള്‍ ഇറങ്ങിത്തുടങ്ങിയിട്ടില്ല. പെരിങ്ങോടനും സിബുവും ഏവൂരാനും സൂവും വിശ്വവുമുണ്ടു്. റീഡിഫില്‍ രേഷ്മയും എം. എസ്. എന്‍-ല്‍ കെവിനും. പിന്നെ രാത്രിഞ്ചരന്‍, ക്ഷുരകന്‍ എന്നിങ്ങനെ ഇപ്പോള്‍ അന്യം നിന്നു പോയ ചില സ്പിഷീസുകളും.

രണ്ടു ദിവസങ്ങള്‍ കൊണ്ടു കുറേ ശ്ലോകങ്ങളിട്ടപ്പോള്‍, സ്വന്തമായി എന്തെങ്കിലും എഴുതണമെന്നു തോന്നി. സച്ചിദാനന്ദനു പന്തളം കേരളവര്‍മ്മ പുരസ്കാരം കിട്ടിയതിനെപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു സര്‍ക്കാസ്റ്റിക്‌ പോസ്റ്റിലാണു തുടക്കം. പിന്നെ വ്യാകരണലേഖനങ്ങള്‍ കുറേ എഴുതി. അതധികവും തെറ്റു ചൂണ്ടിക്കാണിക്കുന്നവയായതുകൊണ്ടു് ശരിയും തെറ്റും (rightnwrong.blogspot.com)എന്ന പുതിയ ബ്ലോഗ്‌ തുടങ്ങി. പഴയ കുറേ പരിഭാഷകളെടുത്തു് ഉമേഷിന്റെ പരിഭാഷകള്‍ (umeshtranslations.blogspot.com) എന്ന ബ്ലോഗില്‍ ഇട്ടു.

മുകളില്‍ പരാമര്‍ശിച്ച സാധനങ്ങള്‍ ഇട്ടുകഴിഞ്ഞു ഞാന്‍ പോലും വായിച്ചിട്ടില്ല. പ്രത്യേകിച്ചു് ആ പരിഭാഷകള്‍. ബ്ലോഗറിനും വേര്‍ഡ്പ്രെസ്സിനും ഭാരമായി അവ ഇങ്ങനെ കിടക്കുന്നു.

ബൂലോഗത്തിലെ മിക്ക ആളുകളുടെയും പ്രചോദനം പെരിങ്ങോടനാണെന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഫെര്‍മയുടെ അവസാനത്തെ തിയൊറം എന്ന പോസ്റ്റില്‍ നിന്നു പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടു ഭാരതീയഗണിതം എന്ന വേര്‍ഡ്പ്രെസ്സ്‌.കോം ബ്ലോഗ്‌ തുടങ്ങി. അതില്‍ ഗണിതം എഴുതാന്‍ വഴിയൊന്നും കാണാഞ്ഞപ്പോഴാണു സ്വന്തമായി ഒരു സര്‍വറില്‍ വന്‍സെറ്റപ്പുമായി ഒരു ബ്ലോഗു തുടങ്ങണമെന്നു തോന്നിയതു്. മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ ബ്ലോഗുകളില്‍ നിന്നു കുറേ പോസ്റ്റുകള്‍ തപ്പിയെടുത്തു അതങ്ങു തുടങ്ങി. പിന്നീടൊന്നും ഓര്‍മ്മയില്ല 🙂

ഭാരതീയഗണിതം അതേ പേരില്‍ ഒരു കാറ്റഗറിയായി ഇവിടെ.

പല ബ്ലോഗുകളിലായിക്കിടന്ന പോസ്റ്റുകള്‍ ഇപ്പോള്‍ ഒരു ബ്ലോഗില്‍ പല കാറ്റഗറിയായിക്കിടക്കുന്നു. പഴയ വീഞ്ഞു്, പുതിയ കുപ്പി. കയ്പ്പും ചവര്‍പ്പും ഇത്തിരി കൂടിയോ എന്നു സംശയം!

സ്വന്തമായി എഴുതിയ ചില ശ്ലോകങ്ങളും പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. പരിഭാഷകളുടെ ഗതി തന്നെ അവയ്ക്കും!

പെരിങ്ങോടന്‍ പിന്നെയും വിട്ടില്ല. അദ്ദേഹത്തിന്റെ അപേക്ഷപ്രകാരമാണു് ഒരു ഓഡിയോ ബ്ലോഗ്‌ തുടങ്ങിയതു്. അതില്‍ കവിതകള്‍ ചൊല്ലിയതു ബൂലോഗചരിത്രത്തില്‍ കറുത്ത ലിപികളില്‍ എഴുതപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. അതിനിടയില്‍ എന്റെ മകന്‍ വിശാഖ്‌ ഉണ്ടായിരുന്നതുകൊണ്ടു തത്ക്കാലം രക്ഷപ്പേട്ടെന്നു പറയാം. പെരിങ്ങോടന്റെ തന്നെ അപേക്ഷപ്രകാരം തുടങ്ങിയ ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രം ഇല്ലത്തുനിന്നിറങ്ങുകയും ചെയ്തു, അമ്മാത്തൊട്ടെത്തിയുമില്ല എന്ന പരുവത്തില്‍ നില്‍ക്കുന്നു.

അല്‍പം സമയം വീണുകിട്ടുമ്പോള്‍ എന്തെങ്കിലുമെഴുതാന്‍ കയ്യില്‍ കോപ്പില്ലെന്നുള്ള സത്യം എന്നെ അലട്ടിക്കൊണ്ടിരുന്നു. എഴുതുന്നതെല്ലാം കുറേ തയ്യാറെടുപ്പാവശ്യമായ കാര്യങ്ങളായിരുന്നു. അതിനു വേണ്ടി തുടങ്ങിയതാണു സുഭാഷിതം. ഒരു പോസ്റ്റിനും പതിനഞ്ചു മിനിട്ടില്‍ കൂടുതല്‍ ചെലവാക്കിയിട്ടില്ല. എങ്കിലും അതാണു് ഏറ്റവും വിജയിച്ചതു്. ഉത്തമഭാര്യാലക്ഷണത്തെപ്പറ്റിയുള്ള പോസ്റ്റ്‌ കമന്റുകളില്‍ ഹാഫ് സെഞ്ച്വറിയടിക്കുകയും നാലുപേരെ – എല്‍. ജി., വഴിപോക്കന്‍, സന്തോഷ്‌, രാജേഷ്‌ എന്നിവരെ – ശ്ലോകങ്ങളെഴുതാന്‍ പ്രേരിപ്പിക്കുകയും ചെയ്തു എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ അതിന്റെ പ്രാധാന്യം മനസ്സിലാക്കാമല്ലോ.

ഏറ്റവുമവസാനം ജ്യോതിഷത്തിലാണു് അഭ്യാസം. ഇപ്പോഴാണു മനുഷ്യര്‍ ഞാനെഴുതുന്നതു വായിക്കാന്‍ തുടങ്ങിയതു് എന്നു തോന്നുന്നു. (അതോ വക്കാരിയുടെ കമന്റുകള്‍ വായിക്കാനാണോ അവിടെ ഒരു ആള്‍ക്കൂട്ടം?). ആദ്യമായി (മിക്കവാറും അവസാനമായും) എന്റെ ഒരു പോസ്റ്റിനു നൂറു കമന്റുകളും കിട്ടി. അതോടുകൂടി ഞാന്‍ കുട്ട്യേടത്തിയുടെ ശിഷ്യനായി.

ശിഷ്ടമുള്ള സമയം കമന്റുകളിട്ടും ഓഫ്‌ടോപ്പിക്കടിച്ചും ഇങ്ങനെ കഴിച്ചുകൂട്ടുന്നു.

ഗുരുകുലത്തിലെ പോസ്റ്റുകള്‍ കാറ്റഗറി തിരിച്ചു് ഇവിടെ.

ഇത്തരം ബോറന്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ നൂറെണ്ണമായെന്നു വിശ്വസിക്കാന്‍ പറ്റുന്നില്ല. എന്നെ സഹിക്കുന്ന എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി. ഇവിടെ വരെ എഴുതാന്‍ പ്രേരിപ്പിച്ച പെരിങ്ങോടനും വിശ്വത്തിനും സിബുവിനും പ്രത്യേകം നന്ദി.

ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ എന്ന ലേഖനത്തില്‍ ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഉണ്ടാക്കിയ ചില സമവാക്യങ്ങള്‍ കൊടുത്തിരുന്നു. അതില്‍ ആദ്യത്തെയൊഴികെയുള്ളവയുടെ തെളിവുകള്‍ എനിക്കറിയില്ല.

ഞാന്‍ അവയുടെ ആദ്യത്തെ ഒരു ലക്ഷം പദങ്ങള്‍ ഒരു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിച്ചു് (സാധാരണ പ്രോഗ്രാമുകളില്‍ 14 സ്ഥാനങ്ങളില്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യത കിട്ടാത്തതുകൊണ്ടു് GMP, LiDIA എന്നീ ലൈബ്രറികളുപയോഗിച്ചു് ഒരു C++ പ്രോഗ്രാം എഴുതി 100 സ്ഥാനങ്ങളുടെ കൃത്യതയിലാണു് ഇവ കണ്ടുപിടിച്ചതു്) കണ്ടുപിടിച്ചതിന്റെ വിവരങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു. പൈയുടെ മൂല്യത്തിന്റെ എത്ര ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ ശരിയായി എന്ന വിവരമാണു് ഇതു്.

കര്‍ത്താവു്‍	സമവാക്യം	n പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ ശരിയാകുന്ന ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍
		n=10‍	n=100‍	n=1000	n=10000‍	n=100000‍
മാധവന്‍		0	1	2	3	4
പുതുമന സോമയാജി		3	6	9	12	14
പുതുമന സോമയാജി		4	7	10	13	16
ശങ്കരന്‍‍		5	15	15	15	15

(പ്രോഗ്രാമിന്റെ ഔട്ട്പുട്ട് ഇവിടെ കാണാം.)

ഇതില്‍ നിന്നു താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ അനുമാനിക്കാം.

1. നാലാമത്തേതു് ശ്രേണി പൈയുടെ മൂല്യം 15 ദശാംശസ്ഥാനം വരെ ശരിയായി നല്‍കുന്ന, പെട്ടെന്നു converge ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണു്. അതു പൈയിലേക്കല്ല, അതിന്റെ ഒരു approximation-ലേക്കാണു converge ചെയ്യുന്നതു്. അതുകൊണ്ടു് അതു ശരിയല്ല.
2. 1, 2, 3 എന്നിവ പൈയിലേക്കു തന്നെ converge ചെയ്യുമെന്നു തോന്നുന്നു. കൂടുതല്‍ പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ കൂടുതല്‍ കൃത്യത കിട്ടുന്നു.
3. ഒന്നാമത്തേതു് തികച്ചും ഉപയോഗശൂന്യം. രണ്ടാമത്തേതും മൂന്നാമത്തേതും കൂടുതല്‍ നല്ലതു്.

ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍ (1887-1920) പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ കുറേ ശ്രേണികള്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. അതില്‍ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായതു് താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

ഈ ശ്രേണി ഓരോ പദത്തിലും എട്ടു ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ കൂടുതല്‍ ശരിയാക്കുമത്രേ. ഇതാണു് ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള fastest converging series for pi.

J.M. Borwein, P.B. Borwein എന്നീ ഗണിതജ്ഞര്‍ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് പൈയുടെ മൂല്യം ഒരു ബില്യണ്‍ ദശാംശസ്ഥാനങ്ങള്‍ വരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ഇവിടെ നോക്കുക.

ഈ സമവാക്യം സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ രാമാനുജന്റേതല്ല. രാമാനുജന്‍ നല്‍കിയ ഒരു സമവാക്യത്തിന്റെ ഒരു വിശേഷരൂപ(special case)ത്തില്‍ ചില ഭേദഗതികള്‍ വരുത്തി ഉണ്ടാക്കിയതാണതു്. എങ്കിലും അതു് രാമാനുജന്റേതായി അറിയപ്പെടുന്നു.

ഗുരുകുലം ബ്ലോഗിലെ എല്ലാ പോസ്റ്റുകളുടെയും ഒരു സൂചിക ഇപ്പോള്‍ ലഭ്യമാണു്. ഓരോ വിഭാഗത്തിലെയും പോസ്റ്റുകള്‍ പ്രത്യേകമായി കാണാം. ഏതെങ്കിലും ഒരു പോസ്റ്റു കണ്ടുപിടിക്കാനോ, ഒരു പ്രത്യേക വിഭാഗത്തിലെ പോസ്റ്റുകള്‍ ഒന്നിച്ചു വായിക്കാനോ ഇതു് ഉപയോഗിക്കാം.

ഇടത്തുവശത്തുള്ള സൈഡ്‌ബാറിലെ Posts – categorywise എന്ന ലിങ്കില്‍ ക്ലിക്കു ചെയ്യുക. അല്ലെങ്കില്‍ ഇവിടെ ക്ലിക്കുചെയ്യുക.

വേര്‍ഡ്‌പ്രെസ്സില്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ കൂടാതെ വെബ്‌പേജുകളും സാദ്ധ്യമാണു്. ഈ പേജുകള്‍ക്കു് പോസ്റ്റുകളുടെ ഡാറ്റാബേസില്‍ നിന്നു് വിവരങ്ങള്‍ കിട്ടുകയും ചെയ്യും. ഈ സൌകര്യം ഉപയോഗിച്ചാണു് ഈ സൂചിക ഉണ്ടാക്കിയതു്.

അതുപോലെ മലയാളം ബ്ലോഗുകളുടെ ബ്ലോഗ്‌റോള്‍ “മറ്റു മലയാളം ബ്ലോഗുകള്‍” എന്ന പേജിലും കാണാം.

കഴിഞ്ഞ ഒരു ലേഖനത്തില്‍ (ഗ്രിഗറിസായ്പും മാധവനും) മാധവന്‍ പൈയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ നല്കിയ അനന്തശ്രേണിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരുന്നു. ഭാരതീയര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച മറ്റു ചില അനന്തശ്രേണികള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു. ഇവയെ ആധുനികഗണിതമുപയോഗിച്ചു തെളിയിച്ചു് ആ ഉപപത്തികള്‍ കൂടി ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാമേന്നു കരുതിയതാണു്. സമയം കിട്ടിയില്ല. ഏതായാലും ഇവ ഇവിടെ ഇടുന്നു. ഇതിന്റെ തെളിവുകള്‍ ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഉണ്ടാക്കാമെങ്കില്‍ കമന്റായി ഇടുക. (ഉമേഷ്.പി.നായര്‍ അറ്റ് ജിമെയില്‍ ഡോട്ട് കോമില്‍ അയച്ചാലും മതി) അതു ഞാന്‍ ഇവിടെ തെളിയിച്ച ആളിന്റെ പേരോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.

ഇവയില്‍ പലതും പാശ്ചാത്യര്‍ ഇതു വരെ കണ്ടുപിടിക്കാത്തതാണു്.

1. പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസാച്ചതുര്‍ഘ്നാദ് ബഹുധഃ പൃഥക് സ്ഥാത്
   ത്രിപഞ്ചസപ്താദ്യയുഗാഹൃതാനി
   വ്യാസേ ചതുര്‍ഘ്നേ ക്രമശസ്തൃണം സ്വം
   കുര്യാത് തഥാ സ്യാത് പരിധിഃ സുസൂക്ഷ്മഃ
   

   വ്യാസത്തെ നാലുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് വെവ്വേറേ വെച്ചു് ഓരോന്നിനെയും 3, 5, 7 തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചു്, നാലുകൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തില്‍ നിന്നു ഒന്നിടവിട്ടു കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

   ഇതു് മാധവ-ഗ്രിഗറി ശ്രേണി തന്നെയാണു്.

   

2. പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസാദ് വനസംഗുണിതാദ്
   പൃഥഗാപ്തം ത്ര്യാദ്യയുഗ്വിമൂലഘനൈഃ
   ത്രിഗുണവ്യാസേ സ്വമൃണം
   ക്രമശഃ കൃത്വാപി പരിധിരാനേയുഃ
   
   വ്യാസത്തെ നാലു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു്, വെവ്വേറെ വെച്ചിട്ടു്, ഓരോന്നിനെയും മൂന്നു തൊട്ടുള്ള ഒറ്റസംഖ്യകളുടെ ഘനത്തില്‍ നിന്നു സംഖ്യ കുറച്ച ഫലം കൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു്, മൂന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തോടു ക്രമമായി കൂട്ടുകയും കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും.

   

   അതായതു്,

   

3. പുതുമന സോമയാജിയുടെ കരണപദ്ധതിയില്‍ നിന്നു്:
   
   വര്‍ഗ്ഗൈര്‍‌യുജാം വാ ദ്വിഗുണൈര്‍നിരേകൈര്‍-
   വര്‍ഗ്ഗീകൃതൈര്‍‌വര്‍ജിതയുഗ്മവര്‍ഗ്ഗൈഃ
   വ്യാസം ച ഷഡ്ഘ്നം വിഭജേത് ഫലം സ്വം
   വ്യാസേ ത്രിനിഘ്നേ പരിധിസ്തദാസ്യാത്
   

   ഓരോ ഇരട്ടസംഖ്യയുടെയും വര്‍ഗ്ഗത്തെ രണ്ടു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു്, അതില്‍ നിന്നു് ഒന്നു കുറച്ചിട്ടു്, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തില്‍ നിന്നു് ആ ഇരട്ടസംഖ്യയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കുറച്ചിട്ടു്, ആറു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വാസത്തെ അതുകൊണ്ടു ഹരിച്ചിട്ടു്, മൂന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ച വ്യാസത്തോടു് അതു ക്രമമായി കൂട്ടിയാല്‍ പരിധി കിട്ടും.

   

   അതായതു്,

   

4. ശങ്കരന്റെ യുക്തിദീപികയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസവര്‍ഗ്ഗാദ് രവിഹതാത് പദം സ്യാത് പ്രഥമം ഫലം
   തതസ്തത്തത് ഫലാച്ചാപി യാവദിച്ഛം ത്രിഭിര്‍ ഹരേത്
   
   രൂപാദ്യയുഗ്മസംഖ്യാഭിര്‍ലബ്ധേഷ്വേഷു യഥാക്രമം
   വിഷമാനാം യുതേസ്ത്യക്തേ സമയോഗേ വൃതിര്‍ ഭവേത്
   
   വ്യാസത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തെ പന്ത്രണ്ടു (രവി = സൂര്യന്‍ = 12) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലമാണു് ആദ്യത്തെ ഫലം. തൊട്ടു മുമ്പത്തെ ഫലത്തെ മൂന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ അടുത്ത ഫലം കിട്ടും. ഓരോ ഫലത്തെയും 1, 3, 5, … തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകളെക്കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒറ്റഫലങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഇരട്ടഫലങ്ങളെ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും.

   

   ഇവിടെ ആയതുകൊണ്ടു്

   

5. കടത്തനാട്ടു ശങ്കരവര്‍മ്മയുടെ സദ്രത്നമാലയില്‍ നിന്നു്:
   
   വ്യാസഘ്നേऽര്‍ക്കകൃതേഃ പദേऽഗ്നിഭിരതോനൈതേ ച തത്തത്ഫലാത്
   ചാതൈക്യദ്യയുഗാ ഹൃതേഷു പരിധേര്‍ഭേദോ യുഗൌനൈക്യയോഃ
   ഏവം ചാത്ര പരാര്‍ദ്ധവിസ്തൃതിമഹാവൃത്തസ്യ നാഹോക്ഷരൈഃ
   സ്യാദ് ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ
   
   വ്യാസത്തെ പന്ത്രണ്ടു (അര്‍ക്ക = സൂര്യന്‍ = 12) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ മൂന്നു കൊണ്ടു ക്രമത്തില്‍ ഹരിക്കുകയും 1, 3, 5, … തുടങ്ങിയവ കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും അവയെ ഒന്നിടവിട്ടു കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ പരിധി കിട്ടും. പരാര്‍ദ്ധം വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ പരിധി “ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ” ആണു്.

   പൂര്‍വാര്‍ദ്ധത്തിലെ അനന്തശ്രേണി തൊട്ടു മുന്നിലുള്ള ശ്രേണി തന്നെയാണു്. പരാര്‍ദ്ധം എന്നതു് -ഉം (ഈ ലേഖനം കാണുക.) “ഭദ്രാംബുധിസിദ്ധജന്മഗണിതശ്രദ്ധാസ്മയന്‍ ഭൂപഗീഃ” എന്നതു പരല്‍പ്പേര്‍ നുസരിച്ചു് (കെവിന്റെ ഈ പ്രോഗ്രാം ഉപയോഗിക്കുക) 314159265358979324-ഉം ആണു്. എന്നര്‍ത്ഥം.

ഈ ലേഖനം അപൂര്‍ണ്ണമാണു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ ഇതില്‍ കൂട്ടിച്ചേര്‍ത്തുകൊണ്ടിരിക്കും. കൂട്ടിച്ചേര്‍ക്കുന്നവയുടെ വിവരങ്ങള്‍ കമന്റായി കൊടുക്കും.

പ്രാചീനഭാരതത്തില്‍ വലിയ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ പല പേരുകളും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഇവയ്ക്കു് ഒരു ഐകരൂപ്യവുമില്ലായിരുന്നു. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടോടെ താഴെക്കൊടുക്കുന്ന സമ്പ്രദായം പ്രചാരത്തിലായി.

മൂല്യം	പേരു്
	ഏകം
	ദശം
	ശതം
	സഹസ്രം
	അയുതം
	ലക്ഷം
	പ്രയുതം
	കോടി
	അര്‍ബുദം
	അബ്ജം
	ഖര്‍വ്വം
	നിഖര്‍വ്വം
	മഹാപദ്മം
	ശങ്കു
	ജലധി
	അന്ത്യം
	മദ്ധ്യം
	പരാര്‍ദ്ധം

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ലീലാവതിയിലെ ഈ ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഇവ ക്രമമായി ഓര്‍ക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കാം:

ഏകദശശതസഹസ്രാ-
യുതലക്ഷപ്രയുതകോടയഃ ക്രമശഃ
അര്‍ബുദമബ്ജം ഖര്‍വനി-
ഖര്‍വമഹാപദ്മശംഖവസ്തസ്മാത്

ജലധിശ്ചാന്ത്യം മധ്യം
പരാര്‍ദ്ധമിതി ദശഗുണോത്തരാ സംജ്ഞാഃ
സംഖ്യായാഃ സ്ഥാനാനാം
വ്യവഹാരാര്‍ത്ഥം കൃതാഃ പൂര്‍വ്വൈഃ

ഇതിലെ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ പരാര്‍ദ്ധം ആയതുകൊണ്ടു്, “അനന്തസംഖ്യ” എന്ന അര്‍ത്ഥത്തിലും അതു് ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. മഹാകവി ഉള്ളൂര്‍

പരാര്‍ദ്ധസംഖ്യം പരമാണുഗണം പരസ്പരം ചേരും
ശരീരമുടയോന്നല്ലീ സകലം ചരാചരഗ്രാമം

എന്നു പ്രേമസംഗീതത്തില്‍ പാടിയതു് ഈ അര്‍ത്ഥത്തിലാണു്.

മാധവ ഗ്രിഗറി ശ്രേണിയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞപ്പോള്‍ നാം ഈ സമവാക്യം കലനമുപയോഗിച്ചു് ഉണ്ടാക്കിയെടുത്തിരുന്നു.

ഇവിടെ, എന്നു കൊടുത്താല്‍ താഴെക്കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സാമാന്യനിയമം കിട്ടും.

ഈ സമവാക്യം കണ്ടുപിടിച്ച ആളായി ഗ്രിഗറി, ലൈബ്‌നിറ്റ്സ്, മക്ലാരിന്‍ എന്നിവരുടെ പേരുകള്‍ കേള്‍ക്കാറുണ്ടു്. ഇതും മാധവന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നാണു വാസ്തവം. മാധവന്റെ ശ്ലോകം ഞാന്‍ കണ്ടിട്ടില്ല. പുതുമന സോമയാജി (പതിനഞ്ചാം ശതകം) കരണപദ്ധതിയില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

വ്യാസാര്‍ധേന ഹതാദഭീഷ്ടഗുണതഃ കോട്യാപ്തമാദ്യം ഫലം
ജ്യാവര്‍ഗേണ വിനിഘ്നമാദിമഫലം തത്തത്ഫലം ചാഹരേത്
കൃത്വാ കോടിഗുണസ്യ തത്ര തു ഫലേഷ്വേകത്രിപഞ്ചാദിഭിര്‍-
ഭക്തേഷ്വോജയുതൈസ്ത്യജേത് സമയുതിം ജീവാധനുഃ ശിഷ്യതേ

ജ്യാവിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് കോടി കൊണ്ടു ഹരിച്ചതാണു് ആദ്യത്തെ പദം. തൊട്ടു മുമ്പുള്ള പദത്തെ ജ്യാവിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് കോടിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ അടുത്ത പദം കിട്ടും. ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്ന പദങ്ങളെ 1, 3, 5, … എന്നിങ്ങനെ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒന്നിടവിട്ട പദങ്ങളെ കൂട്ടിയും കുറച്ചും (ഒറ്റപ്പദങ്ങളെ കൂട്ടിയും ഇരട്ടപ്പദങ്ങളെ കുറച്ചും) കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ ചാപം കിട്ടും.

ഇവിടെ ജ്യാ = , കോടി = എന്നാണര്‍ത്ഥം. (നിര്‍വ്വചനങ്ങള്‍ ഇവിടെ കാണുക.)
ഇവിടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ചിത്രത്തില്‍ കോടി = OB = a, ജ്യാ = AB = o എന്നു സങ്കല്പിച്ചാല്‍,

ഇവിടെ ആയതുകൊണ്ടു്

ഇതിനു് സരളജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു് ഉപപത്തികളും ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്.

കടത്തനാടു് ശങ്കരവര്‍മ്മയുടെ സദ്രത്നമാലയിലും ഈ സമവാക്യം കാണുന്നു.

കോടീഹൃതത്രിഗുണബാഹുവധേ ച തസ്മാ-
ത്തത്തത് ഫലാച്ച ഭുജവര്‍ഗ്ഗഹതാത്തു കോട്യാഃ
കൃത്യാ കൃതേഷു ച ധരാഗ്നിശരാദിഭക്തേ-
ഷ്വോജൈക്യതസ്ത്യജതു യുഗ്മയുതിം ധനുസ്തത്.

വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തെ കോടികൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ബാഹു (ഭുജം) കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. പിന്നീടുള്ള പദങ്ങള്‍ കിട്ടാന്‍ മുമ്പുള്ളതിനെ കോടിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു ഭുജവര്‍ഗ്ഗം കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഈ പദങ്ങളെ ക്രമേണ ഒന്നു് (ധര = ഭൂമി), മൂന്നു് (അഗ്നി), അഞ്ചു് (ശരം = 5) തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഒറ്റപ്പദങ്ങളെ കൂട്ടുകയും ഇരട്ടപ്പദങ്ങളെ കുറയ്ക്കുകയും ചെയ്താല്‍ ചാപം കിട്ടും.

ഇവിടെ ഭുജം, ബാഹു എന്നിവയെക്കൊണ്ടു OB-യെയും കോടി എന്നതിനെക്കൊണ്ടു് AB-യെയും ആണു് ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു്. “കോടി” എന്ന പേരു് രണ്ടര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഈ രണ്ടു ശ്ലോകങ്ങളില്‍ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു നോക്കുക.

ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ പല സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ക്കു് ആധുനികഗണിതത്തിലെ സിദ്ധാന്തങ്ങളുമായുള്ള ബന്ധം ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ പ്രകടമാകാത്തതു് സങ്കേതത്തി(notation)ലുള്ള വ്യത്യാസം മൂലമാണു്. ഇനി പ്രതിപാദിക്കാന്‍ പോകുന്ന, ജ്യാമിതി(Geometry)യെപ്പറ്റിയുള്ള ചില ലേഖനങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ഉപകരിക്കുന്ന ചില സങ്കേതങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ആധുനികഗണിതം sin x, cos x തുടങ്ങിയ ത്രികോണമിതിയിലുള്ള സങ്കേതങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നിടത്തു് ഭാരതീയര്‍ ഭുജ, കോടി, ജ്യാ, കര്‍ണ്ണം എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു.

ചിത്രത്തില്‍ OAB ഒരു മട്ടത്രികോണം (Right-angled triangle) ആണു്. B ആണു് മട്ടകോണ്‍ (right angle). x എന്ന കോണിനെ വ്യവഹരിക്കുമ്പോള്‍ OB എന്ന വശത്തെ ഭുജം (adjacent side) എന്നും AB എന്ന വശത്തെ ജ്യാ (opposite side) എന്നും വിളിക്കുന്നു. OA-യെ കര്‍ണ്ണം (hypotenuse) എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഭുജമ്, ജ്യാ എന്നിവയിലൊന്നു് ഉപയോഗിക്കുമ്പോള്‍ മറ്റേതിനെ കോടി (“കോടീ” എന്നു സംസ്കൃതത്തില്‍. നൂറു ലക്ഷം എന്ന സംഖ്യ “കോടി” ആണു്.) എന്നും പറയാറുണ്ടു്. അതായതു്, കോടി എന്നതു് ഭുജമോ ജ്യാവോ ആകാമെന്നര്‍ത്ഥം.

ത്രികോണത്തെ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍,

കര്‍ണ്ണം = OA = r
ഭുജം = OB = OA cos x = r cos x
ജ്യാ = AB = OA sin x = r sinx
കോടി എന്നതു ഭുജമോ ജ്യാവോ ആകാം.

കര്‍ണ്ണം വ്യാസാര്‍ദ്ധമായുള്ള വൃത്തത്തെ ഇതിനോടൊപ്പം പരിഗണിക്കാറുണ്ടു്. ഇവിടെ ACDയെ ചാപം (വില്ലു്) എന്നും ABDയെ ജ്യാ (ഞാണ്‍) എന്നും (ഈ ജ്യാ മുമ്പു പറഞ്ഞ ജ്യാവിന്റെ ഇരട്ടിയാണു്) BCയെ ശരം എന്നും വിളിക്കുന്നു.

വൃത്തത്തെ പരിഗണിക്കുമ്പോള്‍,

വൃത്തത്തിന്റെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം = OA = r
ജ്യാ = AD = 2 AB = 2r sin x
ശരം = BC = r – r cos x
ചാപം = ACD = rx (x റേഡിയനില്‍)

ഇവയുടെ പര്യായങ്ങളും ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. ഭുജം എന്നതിനു പകരം ബാഹു, പാണി തുടങ്ങിയവയും, ചാപത്തിനു പകരം ധനു തുടങ്ങിയവയും.

കലന(Calculus)ത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു നാഴികക്കല്ലായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിലാണു കലനം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടതെങ്കിലും അതിനു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പു തന്നെ അതിന്റെ കാതലായ സീമാസിദ്ധാന്തവും (Limit Theory) സമാകലനത്തിന്റെ (Integration) അടിസ്ഥാനസിദ്ധാന്തങ്ങളും ഗണിതജ്ഞന്മാര്‍ വിശദീകരിച്ചിരുന്നു.

പല പ്രശ്നങ്ങള്‍ക്കും വളരെ ലളിതമായ ഉത്തരങ്ങളും ഉപപത്തികളും നല്‍കാന്‍ സഹായിച്ചു എന്നതാണു്‌ കലനത്തിന്റെ ഒരു വലിയ ഉപയോഗം. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, -നെ ( എന്ന notation തെറ്റാണെന്നു് ഒരു വിഭാഗം ഗണിതജ്ഞര്‍ വാദിക്കുന്നുണ്ടു്.) ഒരു അനന്തശ്രേണിയായി എഴുതാന്‍ ഒരു സ്കൂള്‍ക്കുട്ടിക്കു പോലും കഴിയും:

ഇവിടെ x = 1 എന്നു കൊടുത്താല്‍ (*)

എന്നു കിട്ടും. ഈ ശ്രേണി ഗ്രിഗറി സീരീസ് എന്ന പേരിലാണു് പൊതുവേ അറിയപ്പെടുന്നതു്. ഇതു്‌ കലനം കണ്ടുപിടിക്കപ്പെടുന്നതിനുമുമ്പു്‌ സ്കോട്ട്‌ലന്‍ഡിലെ ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന ജെയിംസ്‌ ഗ്രിഗറി (1638-1675) യാണു്‌ ആദ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നാണു പാശ്ചാത്യലോകം ഘോഷിക്കുന്നതു്‌. ത്രികോണമിതി (trigonometry) ഉപയോഗിച്ചു് അദ്ദേഹം ഇതു തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ടത്രേ.

ഗ്രിഗറിക്കും മൂന്നു നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പു്‌ കേരളീയനായിരുന്ന മാധവന്‍ (1350-1425) എഴുതിയ ഈ നിയമം നോക്കൂ:

വ്യാസേ വാരിധിനിഹതേ
രൂപഹതേ വ്യാസസാഗരാഭിഹതേ
ത്രിശരാദിവിഷമസംഖ്യാ-
ഭക്തമൃണം സ്വം പൃഥക്‌ ക്രമാത്‌ കുര്യാത്‌
…
…
ലബ്ധഃ പരിധിഃ സൂക്ഷ്മോ
ബഹുകൃത്വോ ഹരണതോऽതിസൂക്ഷ്മഃ സ്യാത്‌

ഭൂതസംഖ്യയാണു് ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. വാരിധി (സാഗരം) = സമുദ്രം = 4, രൂപം = 1, ത്രി = 3, ശരം = (കാമദേവന്റെ) അമ്പു് = 5.

വ്യാസത്തിനെ നാലു (വാരിധി) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ഒന്നു കൊണ്ടു ഹരിച്ചതിനോടു് വ്യാസത്തെ നാലു (സാഗരം) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു് മൂന്നു് (ത്രി), അഞ്ചു് (ശരം) തുടങ്ങിയ ഒറ്റസംഖ്യകള്‍ കൊണ്ടു ഹരിച്ച ഫലങ്ങള്‍ ക്രമേണ കുറയ്ക്കുകയും കൂട്ടുകയും ചെയ്താല്‍ ….. പരിധി കൂടുതല്‍ ക്രിയ ചെയ്യുന്തോറും കൂടുതല്‍ സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

അതായതു്, വ്യാസം (diameter) d-യും പരിധി (perimeter) p-യുമായാല്‍

ആയതുകൊണ്ടു്, ഇതില്‍ നിന്നു്

എന്നു കിട്ടും. ഇതു തന്നെയാണു ഗ്രിഗറിയുടെ ശ്രേണി.

ഈ ശ്രേണി നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ ഇല്ലാതെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റില്ല എന്നതു് മിക്കവാറും തീര്‍ച്ചയാണു്. മാധവന്റേതായി ഒരു ഉപപത്തി ഇതിനു കണ്ടിട്ടില്ല. (മാധവന്റെ എല്ലാ കൃതികളും നഷ്ടപ്പെട്ടു പോയിരിക്കുന്നു. മറ്റുള്ളവരുടെ ഉദ്ധരണികളില്‍ നിന്നാണു നാം മാധവനെ അറിയുന്നതു്. മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ശ്ലോകങ്ങള്‍ ഞാന്‍ തന്ത്രസംഗ്രഹത്തിന്റെ വ്യാഖ്യാനമായ യുക്തിദീപികയില്‍ (പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടു്) നിന്നാണു് ഉദ്ധരിക്കുന്നതു്) എങ്കിലും ഇതിന്റെ സരളജ്യാമിതി ഉപയോഗിച്ചു് ഒരു നിഷ്പത്തി മലയാളത്തിലുള്ള ഗണിതഗ്രന്ഥമായ യുക്തിഭാഷ (1475)യില്‍ (യുക്തിഭാഷയെപ്പറ്റി പറയാന്‍ ഇനിയൊരു പോസ്റ്റു തന്നെ വേണം) ഞാന്‍ വായിച്ചിട്ടുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജി(1444-1544)യും ഇതിനു നിഷ്പത്തി കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു വായിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

രസകരമായ ഒരു വസ്തുത, ഇതൊരു ഉപയോഗശൂന്യമായ ശ്രേണി ആണെന്നതാണു്. ഇതുപയോഗിച്ചു വൃത്തമുണ്ടാക്കാന്‍ പോയാല്‍ അതു ചതുരമായിപ്പോകും. വളരെ പതുക്കെ മാത്രം converge ചെയ്യുന്ന ഒരു ശ്രേണിയാണിതു്. ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ 1000 പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ പൈയുടെ വില മൂന്നു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനു ശരിയായി കിട്ടും; ഒരു ലക്ഷം പദങ്ങള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയാല്‍ അഞ്ചു ദശാംശസ്ഥാനത്തിനും! ഇന്ത്യയില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ഈ ഉപയോഗശൂന്യമായ ശ്രേണി പിന്നീടു് ഗ്രിഗറിസായ്പ് ഒന്നു കൂടി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്തിനാണാവോ? ഇന്ത്യയില്‍ സംഘമായി വന്നു് ഇവിടെ നിന്നു കുരുമുളകും മറ്റും കടത്തിയ കൂട്ടത്തില്‍ അപൂര്‍വ്വഗ്രന്ഥങ്ങളും വണിക്കുകള്‍ പടിഞ്ഞാട്ടേക്കു കടത്തിയിട്ടുണ്ടാവാം. സായ്പിന്റെ നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ കണ്ടിട്ടു വേണം അതിനെ സോമയാജിയുടെ നിഷ്പത്തിയുമായി താരതമ്യം ചെയ്യാന്‍. ആര്‍ക്കെങ്കിലും ഇതിന്റെ ഗ്രിഗറിയുടെ തെളിവു് അറിയാമെങ്കില്‍ ദയവായി പോസ്റ്റു ചെയ്യുകയോ കമന്റു ചെയ്യുകയോ ലിങ്ക് നല്‍കുകയോ ചെയ്യുക.

വളരെ വേഗം converge ചെയ്യുന്ന ശ്രേണികള്‍ ഭാരതീയര്‍ തന്നെ നല്‍കിയിട്ടുണ്ടു്. മറ്റൊരു ലേഖനത്തില്‍ പ്രതിപാദിക്കാം. പൈയുടെ വില കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഇന്നുള്ളതില്‍ ഏറ്റവും fastest converging series നമ്മുടെ ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്റേതാണു്. അതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു ലേഖനത്തില്‍.

(*): ഇതില്‍ ഒരു ചെറിയ കുഴപ്പമുണ്ടു്. എന്ന സമവാക്യം ആയാലേ ശരിയാകൂ. എങ്കിലും

എന്നു തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റും. x = 1 എന്നതിനു് ഇതും മാധവ/ഗ്രിഗറി ശ്രേണി തന്നെ തരുന്നു.

ഗുരുകുലം ബ്ലോഗിന്റെ ടെമ്പ്ലേറ്റ് (തീം) മാറ്റാന്‍ ഒരു ശ്രമം നടത്തിക്കൊണ്ടിരിക്കുകയാണു്. പാതി വഴിയേ ആയിട്ടുള്ളൂ. അഭിപ്രായങ്ങള്‍ ദയവായി കമന്റുകളായി അറിയിക്കുക. ശരിയായിക്കഴിഞ്ഞാല്‍ ഈ പോസ്റ്റ് എടുത്തുകളയും.

കൊല്ലവര്‍ഷത്തിലെ ഒരു തീയതിയില്‍ നിന്നു കലിദിനസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു ശ്ലോകം വിശ്വപ്രഭ അയച്ചുതന്നതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

കോളംബം തരളംഗാഢ്യം
ഗോത്രഗായകവര്‍ദ്ധിതം
കുലൈരാപ്തഫലം ത്വേക-
യുക്തം ശുദ്ധകലിര്‍ ഭവേത്.

ഇതു് ഏതെങ്കിലും വര്‍ഷത്തെ മേടം ഒന്നിന്റെ കലിദിനസംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു് – പരല്‍പ്പേര്‍ ഉപയോഗിച്ചു്.

അതായതു്, കൊല്ലവര്‍ഷത്തോടു് 3926 കൂട്ടി 11323 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 31 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ആ വര്‍ഷത്തെ മേടം ഒന്നിന്റെ തലേന്നു വരെയുള്ള കലിദിനസംഖ്യ കിട്ടുമെന്നര്‍ത്ഥം.

ഉദാഹരണമായി. ഇക്കഴിഞ്ഞ മേടം 1, 2006 ഏപ്രില്‍ 14-നു് ആയിരുന്നല്ലോ. കൊല്ലവര്‍ഷം 1181 ആണു്.

എന്നു കിട്ടും. അതായതു് കലിദിനസംഖ്യ 1865373 + 1 = 1865374 ആണെന്നര്‍ത്ഥം. ഇവിടെ നോക്കി ഇതു സ്ഥിരീകരിക്കാം.

ഇതിന്റെ പിന്നിലെ തിയറി വളരെ ലളിതമാണു്. കലിവര്‍ഷം 3926-ല്‍ ആണു് കൊല്ലവര്‍ഷം തുടങ്ങിയതു്. (കൊല്ലത്തില്‍ തരളാംഗത്തെക്കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷമാം; കൊല്ലത്തില്‍ ശരജം കൂട്ടി ക്രിസ്തുവര്‍ഷം ചമയ്ക്കണം എന്നതനുസരിച്ചു് കൊല്ലവര്‍ഷത്തോടു 3926 (തരളാംഗം) കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷവും, 825 (ശരജം) കൂട്ടിയാല്‍ ക്രിസ്തുവര്‍ഷവും ലഭിക്കും.) അപ്പോള്‍ 3926 കൂട്ടിയാല്‍ കലിവര്‍ഷം ലഭിക്കും. ഭാരതീയഗണിതപ്രകാരം ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം ആണു്. അതുകൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ കഴിഞ്ഞുപോയ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണവും കിട്ടും. അതിനോടു് ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ അന്നത്തെ ദിവസവും കിട്ടും. ഇതിന്റെ വിപരീതക്രിയ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ (ഒന്നു കുറച്ചു്, 31 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു്, 11323 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു്, 3926 കുറച്ചാല്‍) കലിദിനസംഖ്യയില്‍ നിന്നു കൊല്ലവര്‍ഷവും കണ്ടുപിടിക്കാം.

മേടം 1-ന്റെ കലിദിനസംഖ്യയേ ഈ വിധത്തില്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റൂ. ഏതെങ്കിലും ദിവസത്തെ കലിദിനസംഖ്യ കാണാന്‍ മേടം ഒന്നു മുതലുള്ള ദിവസങ്ങള്‍ എണ്ണേണ്ടി വരും. കൊല്ലവര്‍ഷത്തില്‍ മറ്റു കലണ്ടറുകളെപ്പോലെ നിയതമായ തീയതിക്രമമില്ല. ഭൂമിയെ അനുസരിച്ചു് അക്കൊല്ലത്തെ സൂര്യന്റെ ചലനമനുസരിച്ചാണു് മാസങ്ങളിലെ തീയതികള്‍ വ്യത്യാസപ്പെടുക.