Gurukulam | ഗുരുകുലം

ബ്ലോഗെഴുതാൻ മൂന്നു മണിക്കൂർ സമയം ഫ്രീ കിട്ടി. എന്തു ചെയ്യണം?

ഒരുപാടു കാലത്തിനു ശേഷമാണു് തടസ്സങ്ങളില്ലാതെ ഇത്രയും സമയം കിട്ടുന്നതു്. തിരക്കിനിടയിൽ വീണുകിട്ടുന്ന മിനിറ്റുകളിൽ എഴുതുന്ന തുണ്ടുകളെ ചേർത്തുവെച്ചാണു പലപ്പോഴും പോസ്റ്റുകളാക്കുന്നതു്. ഒരു ആശയം കിട്ടിയാൽ ഒരു പുതിയ പോസ്റ്റ് തുടങ്ങി ഒരു തലക്കെട്ടും കൊടുത്തു് രണ്ടു വാക്യങ്ങളും എഴുതി അവിടെയിടും. അല്പം സമയം കിട്ടുമ്പോൾ ഡ്രാഫ്റ്റ് പോസ്റ്റുകളുടെ തലക്കെട്ടു നോക്കി അന്നേരത്തെ മൂഡനുസരിച്ചു് തോന്നുന്ന ഒന്നിൽ കുറേക്കൂടി ചേർക്കും. ഇടയ്ക്കു് ഒരു അരമുക്കാൽ മണിക്കൂർ കിട്ടുകയും ഏതെങ്കിലും ഒരു പോസ്റ്റ് തീരാറായിരിക്കുകയും ചെയ്യുമ്പോഴാണു് അവസാനപണികൾ ചെയ്തു് അതു പൂർത്തിയാക്കി പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതു്. (ഈ പോസ്റ്റു പോലെയുള്ള വയറിളക്കങ്ങൾക്കു് ഇതു ബാധകമല്ല)

ചുരുക്കം പറഞ്ഞാൽ ബ്ലോഗെഴുത്തിനു് അനോണി ആന്റണി തരുന്ന പെരുമാറ്റച്ചട്ടങ്ങളിൽ ഒന്നു പോലും ഞാൻ പാലിക്കാറില്ല എന്നർത്ഥം. ചുമ്മാതല്ല പോസ്റ്റുകൾ ഉണ്ടാകാത്തതു്!

അതു പോട്ടേ. എനിക്കിന്നു മൂന്നു മണിക്കൂർ സമയമുണ്ടു്. എഴുതിത്തീരാറായ ഏതെങ്കിലും പോസ്റ്റ് തീർക്കണമെന്നുണ്ടു്. ഇവയിൽ ഏതു തീർക്കും?

2006 ജൂണിൽ എഴുതിത്തുടങ്ങിയ “വൃത്തനിർണ്ണയം” എന്ന മൾട്ടിമീഡിയ പോസ്റ്റ് മുതൽ മധുരാജിന്റെ ഈ കമന്റ് കണ്ടപ്പോൾ തോന്നിയ “ചിന്തയുടെ ഭാഷ” എന്ന പോസ്റ്റ് വരെ ഡ്രാഫ്റ്റ് ആയി കിടക്കുന്ന 56 പോസ്റ്റുകളിലെ പലതും കാലഹരണപ്പെട്ടതാണു്. എങ്കിലും ഒരു പത്തുനാല്പതെണ്ണമെങ്കിലും ഇന്നും പ്രസക്തിയുള്ളവയാണു്. അവയിൽ പത്തെണ്ണമെങ്കിലും മിക്കവാറും തീർന്നിരിക്കുന്നതുമാണു്. ഏതെടുക്കണമെന്നു് ഒരു ചിന്താക്കുഴപ്പം.

അഞ്ചു മിനിട്ടു മാത്രം കിട്ടുമ്പോൾ ഈ ചിന്താക്കുഴപ്പം ഉണ്ടാകാറില്ല. തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സമയമില്ല. ഏതെങ്കിലും ഒന്നെടുക്കും. കൂടുതൽ സമയമുള്ളപ്പോൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാനാണു സമയം മുഴുവൻ പോകുക. ഇടയ്ക്കിടെ, “അയ്യോ, കിട്ടിയ സമയം വെയ്സ്റ്റാക്കരുതല്ലോ” എന്നു വ്യാകുലപ്പെടാൻ പോകുന്ന സമയം വേറെയും.

അതെന്താ അങ്ങനെ?

ചില കാര്യങ്ങളെപ്പറ്റി എല്ലാവര്‍ക്കും അറിയാം. പക്ഷേ മിക്കവര്‍ക്കും അവയെപ്പറ്റി കാര്യമായ ഗ്രാഹ്യമൊന്നും ഉണ്ടാവില്ല. അദ്വൈതം, ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തം, വൈരുദ്ധ്യാത്മകഭൌതികവാദം, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്, ടൈം മെഷീന്‍, ഗൂഗിള്‍ പേജ് റാങ്കിംഗ്, ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി, മനുസ്മൃതി, ഭഗവദ്ഗീത, വേദാന്തം, വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ്, ചോംസ്കിയുടെ ഭാഷാശാസ്ത്രം, ജ്യോതിഷം, വാസ്തുവിദ്യ തുടങ്ങിയവ ഇങ്ങനെയുള്ള ചില സംഭവങ്ങളാണു്. കേട്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ചുരുങ്ങും. എന്നാല്‍ കേട്ടവരില്‍ ഭൂരിപക്ഷത്തിനും എന്താണു സംഭവം എന്നു വലിയ പിടിയൊന്നും ഉണ്ടാവില്ല. പക്ഷേ തിരിച്ചും മറിച്ചും അവയെപ്പറ്റി വാചകമടിക്കാന്‍ യാതൊരു മടിയുമില്ല താനും.

ഇങ്ങനെയുള്ള അറിവുകളില്‍ പ്രമുഖസ്ഥാനത്തു നില്‍ക്കുന്നു പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം. പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരാണെന്നു് ഏതു കൊച്ചുകുട്ടിയ്ക്കുമറിയാം. എന്നാല്‍ എന്താണു് ഈ കണ്ടുപിടിത്തം കൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്, അല്ലെങ്കില്‍ മുമ്പില്ലാത്ത എന്താണു് ഭാരതീയര്‍ പൂജ്യത്തെ സംബന്ധിച്ചു കണ്ടുപിടിച്ചതു്, ഏകദേശം ഏതു കാലത്താണു് ഈ കണ്ടുപിടിത്തം ഉണ്ടായതു് തുടങ്ങിയവയെപ്പറ്റി ഭൂരിഭാഗം ആളുകള്‍ക്കും കാര്യമായ വിവരം ഇല്ല എന്നതാണു സത്യം.

പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ടു കിടക്കുന്ന മറ്റൊന്നാണു് സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം (place-value decimal system). 0 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള പത്തു് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു് ഏതു സംഖ്യയെയും എഴുതുന്ന വിദ്യ. ഇതു് ഭാരതത്തില്‍ പ്രയോഗത്തിലായപ്പോഴേയ്ക്കും ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ആറാം നൂറ്റാണ്ടെങ്കിലും ആയിക്കാണും എന്നതാണു് ഇവിടെ പറയാന്‍ പോകുന്നതിലെ കാതലായ ഒരു കാര്യം. (ഇതു പൂര്‍ത്തിയാക്കിയതു് അറബികളാണു്. അതിനെപ്പറ്റി വഴിയേ.)

സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായവും ദശാംശസമ്പ്രദായവും തമ്മിൽ തെറ്റരുതു്. പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സംഖ്യാസമ്പ്രദായമാണു് ദശാംശസമ്പ്രദായം. ലോകത്തു പലയിടത്തും, ഭാരതത്തിലുൾപ്പെടെ, ഈ സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായിരുന്നു. (ഏകം, ദശം, ശതം,… തുടങ്ങിയ പേരുകളും ഉണ്ടായിരുന്നു ഭാരതത്തിൽ.) മനുഷ്യന്റെ രണ്ടു കൈകളിലും കൂടിയുള്ള പത്തു വിരലുകൾ ഉപയോഗിച്ചു് എണ്ണാൻ തുടങ്ങിയതു കൊണ്ടാണു് ഇതു സംഭവിച്ചതു് എന്നാണു് ഒരു തിയറി.

പത്തു കൂടാതെ പന്ത്രണ്ടു്, പതിനാറു്, ഇരുപതു്, അറുപതു് എന്നിങ്ങനെ പല സംഖ്യകളും എണ്ണലിന്റെയും അളവിന്റെയും അടിസ്ഥാനമായുണ്ടു്. പക്ഷേ ഇവയിലൊക്കെ വലിയ സംഖ്യകളോ അളവുകളോ വരുമ്പോൾ പുതിയ അളവുകൾ/ചിഹ്നങ്ങൾ വേണ്ടി വരുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ചിഹ്നങ്ങളെക്കൊണ്ടു് ഏതു വലിയ സംഖ്യയെയും എഴുതാൻ പറ്റുന്ന സമ്പ്രദായമാണു സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം. സ്ഥാനമനുസരിച്ചു് ചിഹ്നങ്ങളുടെ വില വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന രീതി. അതിനു് ഒരു സ്ഥാനത്തു ചിഹ്നമില്ലെന്നു കാണിക്കാൻ പൂജ്യം ഉണ്ടായേ തീരൂ.

ആദ്യമായി പറയട്ടേ, നാം ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന രീതി കൃത്രിമമാണു്. വളരെ നൂറ്റാണ്ടുകൊണ്ടു് മനുഷ്യന്‍ കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു സുപ്രധാനമായ രീതിയാണു് അക്കങ്ങള്‍ക്കു സ്ഥാനമനുസരിച്ചു വിവിധവിലകള്‍ കൊടുത്തു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഈ രീതി. വലിയ സംഖ്യകളെക്കൊണ്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ അത്യന്താപേക്ഷിതമായപ്പോഴാണു് മനുഷ്യന്‍ ഈ രീതി ഉണ്ടാക്കിയതു്. സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ മാത്രം സ്വാഭാവികമായി (natural) ഇങ്ങനെയൊരു രീതി ഒരിക്കലും ഉണ്ടാവില്ല.

വിശ്വസിക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? വളരെ ചെറുപ്പത്തിലേ ഇതു നാം പഠിച്ചതുകൊണ്ടു് ഇതിന്റെ ബുദ്ധിമുട്ടു് ഓര്‍മ്മയുണ്ടാവില്ല. നാലഞ്ചു വയസ്സു പ്രായമുള്ള ഒരു കുട്ടിയെ ശ്രദ്ധിക്കൂ. അവനു് സംഖ്യകളെപ്പറ്റി നല്ല വിവരമുണ്ടായിരിക്കും. എണ്ണാന്‍ അറിയാം. ചെറിയ കൂട്ടലുകളും കുറയ്ക്കലുകളും അറിയാം. എങ്കിലും സംഖ്യകള്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോള്‍ അവന്‍ വല്ലാതെ തെറ്റിക്കുന്നതു കാണാം. ഇരുനൂറ്റിമൂന്നു് (Two hundred and three) എഴുതാന്‍ പറഞ്ഞാല്‍ അവന്‍ 2003 എന്നെഴുതും. അതാണു സ്വാഭാവികം‍. “ഈ ചെറുക്കനു് ഇത്രയും സിമ്പിള്‍ ആയ ഒരു കാര്യം എത്ര പറഞ്ഞാലും തലയില്‍ കയറില്ലല്ലോ” എന്നു മക്കളെ ശകാരിക്കുന്ന അച്ഛനമ്മമാരെ ഞാന്‍ ധാരാളം കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. മനുഷ്യന്‍ ഒരു സഹസ്രാബ്ദം കൊണ്ടു നേടിയ അറിവു് ഏതാനും മാസം കൊണ്ടു തലയില്‍ കയറ്റാനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടാണു് അതു്. സ്ഥാനീയരീതി കുട്ടികളെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ നല്ല ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. “പൂജ്യത്തിനു വിലയില്ല. അപ്പോള്‍ നൂറും ലക്ഷവും ഒരുപോലെ അല്ലേ” എന്നും മറ്റും ചിലപ്പോള്‍ മുതിര്‍ന്നവര്‍ തന്നെ തര്‍ക്കിക്കുന്നതു് ഈ രീതിയെപ്പറ്റിയുള്ള വികലധാരണകള്‍ കൊണ്ടാണു്.

സംഖ്യകള്‍ എഴുതേണ്ട ആവശ്യം വന്നപ്പോള്‍ ഒരു എണ്ണത്തിനു പകരം ഒരു വരയോ വട്ടമോ ഇട്ടാണു് ആദ്യം കാര്യം നടത്തിയതു്. ഇങ്ങനെ ഒരുപാടു വരകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടായതിനാല്‍ അഞ്ചോ പത്തോ കൂടുന്ന കൂട്ടത്തെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേകരീതിയില്‍ കാണിച്ചു. (സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കല്‍ എണ്ണലിനു് ഇപ്പോഴും ഈ രീതിയിലുള്ള റ്റാലി മാര്‍ക്കുകള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്.) കൂടുതല്‍ വലിയ സംഖ്യകള്‍ വന്നപ്പോള്‍ വലിയ സംഖ്യകളെ കാണിക്കാന്‍ പുതിയ രീതികള്‍ ഉണ്ടാക്കി. ലോകത്തു പണ്ടുണ്ടായിരുന്ന മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യാലേഖനരീതികളും ഈ രീതിയാണു് അവലംബിക്കുന്നതു്.

ഉദാഹരണമായി എല്ലാവര്‍ക്കും പരിചയമുള്ള റോമന്‍ രീതി എടുക്കാം. ഒന്നിനു് I, അഞ്ചിനു് V, പത്തിനു് X, അമ്പതിനു് L, നൂറിനു് C, അഞ്ഞൂറിനു് D, ആയിരത്തിനു് M എന്നിങ്ങനെ ചിഹ്നങ്ങള്‍ കൊടുത്തു. 1989 എന്നതു് MDCCCCLXXXVIIII എന്നെഴുതും. (കൂട്ടല്‍ കൂടാതെ കുറയ്ക്കലും ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടു് MCMLXXXIX എന്നെഴുതുന്ന സമ്പ്രദായം പിന്നീടുണ്ടായതാണു്.) ഈ രീതി അവര്‍ക്കാവശ്യമുണ്ടായിരുന്ന സംഖ്യകളൊക്കെ എഴുതാന്‍ മതിയായിരുന്നു. വലിയ സംഖ്യകള്‍ എഴുതേണ്ടി വരുമ്പോള്‍ (ഇരുപതിനായിരം എഴുതാന്‍ ഇരുപതു് M എഴുതേണ്ടി വരും. അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കേണ്ടി വരും.) ഇതു പിന്നെയും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. (ആയിരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതു കാണിക്കാന്‍ മുകളില്‍ വരയിടുന്ന സമ്പ്രദായം വളരെ കാലത്തിനു ശേഷം വന്നതാണു്.)

പ്രാചീനഭാരതത്തിലും ഇതേ രീതിയിലുള്ള ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. റോമന്‍ സമ്പ്രദായത്തെ അപേക്ഷിച്ചു് വളരെ കൂടുതല്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു മാത്രം.

ഈ രീതി വളരെ പണ്ടു മാത്രം ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന പ്രാകൃതരീതിയാണെന്നു കരുതരുതു്. ഈ അടുത്ത കാലം വരെയും കേരളത്തിലെ കണക്കപ്പിള്ളമാര്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന നന്നാടിസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റി ദേവരാഗമാണെന്നു തോന്നുന്നു എവിടെയോ എഴുതിയിരുന്നു. ഈ ചിഹ്നങ്ങള്‍ യൂണിക്കോഡ് സ്റ്റാന്‍ഡേര്‍ഡില്‍ ഇപ്പോള്‍ സ്ഥാനം പിടിച്ചിട്ടുണ്ടു് – 5.1-ല്‍.

ഈ രീതിയിലാണു് നാം എഴുതിയിരുന്നെങ്കില്‍ നാലു വയസ്സുകാരന്‍ പയ്യനു് യാതൊരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഉണ്ടാവില്ലായിരുന്നു. ഇരുനൂറ്റിമൂന്നു് എഴുതാന്‍ ഇരുനൂറിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതുക, അതിനു ശേഷം മൂന്നിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതുക. സോ സിമ്പിള്‍!

ഈ രീതി പ്രശ്നമാകുന്നതു് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലാണു്. രണ്ടു റോമന്‍ സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടാനോ ഗുണിക്കാനോ ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ. എഴുത്തില്‍ത്തന്നെ ഇടത്തുവശത്തു കുറയ്ക്കേണ്ട ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഇടാത്ത പഴയ രീതിയാണെങ്കില്‍ കൂട്ടാന്‍ വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല. ഒരേ തരത്തിലുള്ള ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഒന്നിച്ചു വെയ്ക്കുക. അവയുടെ എണ്ണം അഞ്ചാവുമ്പോള്‍ അവ മാറ്റി അവയുടെ തൊട്ടു മുകളിലുള്ള ചിഹ്നം ഒരെണ്ണം വെയ്ക്കുക. വലത്തുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടോ, ഇടത്തു നിന്നു വലത്തോട്ടോ ഏതെങ്കിലും ക്രമത്തിലോ ഇതു ചെയ്യാം എന്നൊരു സൌകര്യമുണ്ടു്.

കുറയ്ക്കല്‍ അല്പം കൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. ഗുണനം പിന്നെയും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചു് ആരെങ്കിലും ഹരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ടോ എന്നു തന്നെ എനിക്കറിയില്ല.

ഇന്നത്തെ രീതിയിലുള്ള സംഖ്യാലേഖനസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഏറ്റവും പഴയ രൂപം ഉണ്ടായതു ബാബിലോണിയയിലാണു്. പത്തിനു പകരം 60-നെ ആധാരമാക്കി എടുത്തിരുന്ന അവര്‍ക്കു് ഒന്നു മുതല്‍ 60 വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ക്കു ചിഹ്നമുണ്ടായിരുന്നു. അറുപത്തൊന്നു് എന്നെഴുതാന്‍ ഒന്നിന്റെ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലത്തുവശത്തു് ഒന്നിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതും. അതായതു് ഇടത്തേ ഒന്നു് അറുപതിനെയും വലത്തേ ഒന്നു് ഒന്നിനെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

3600 വരെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം. അതു കഴിഞ്ഞു് മൂന്നക്കങ്ങളുടെ വരവായി. ഇങ്ങനെ ഈ അറുപതു ചിഹ്നങ്ങളുപയോഗിച്ചു് എത്ര വലിയ സംഖ്യകളെയും എഴുതാം. അങ്ങനെ സ്ഥാനീയസംഖ്യാസമ്പ്രദായം (സ്ഥാനം അനുസരിച്ചു് ഒരേ ചിഹ്നത്തിനു പല വില വരുന്ന രീതി) ആദ്യമുണ്ടാക്കിയവരാണു ബാബിലോണിയക്കാര്‍.

ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ടു്. 61 എന്നു് എങ്ങനെ എഴുതും? രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. 3601 എന്നു് എങ്ങനെ എഴുതും? അതും രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. 3660 എന്നതോ? അതും രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. ഇവയെ തമ്മില്‍ വ്യവച്ഛേദിക്കാന്‍ പൂജ്യം പോലെ ഒന്നും അവര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നില്ല.

അതെങ്ങനെ, അത്ര മണ്ടന്മാരായിരുന്നോ ബാബിലോണിയക്കാര്‍? സത്യം അതല്ല. സംഖ്യകള്‍ അവര്‍ എഴുതിയല്ല സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതു്. കണക്കുകൂട്ടലിലെ ആദ്യത്തെ നാഴികക്കല്ലായ മണിച്ചട്ടം (Abacus) കണ്ടുപിടിച്ചവരാണു് അവര്‍. (മണിച്ചട്ടം കണ്ടുപിടിച്ച കാലത്തു് ബാബിലോണിയ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. എങ്കിലും സുമേറിയൻ എന്നു വിളിക്കുന്ന ആ സംസ്കാരത്തിലാണു് മണിച്ചട്ടത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം.) കണക്കുകൂട്ടലിനായി അവര്‍ സംഖ്യകള്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതു് മണിച്ചട്ടത്തിലായിരുന്നു. മണിച്ചട്ടത്തില്‍ ഓരോ സ്ഥാനത്തിനും ഓരോ വരി മുത്തുകള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഒരു വശത്തേയ്ക്കു നീക്കുന്ന മുത്തുകള്‍ ആ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇടയ്ക്കു് ഒരു വരിയില്‍ മുത്തുകള്‍ നീക്കിയിട്ടില്ലെങ്കില്‍ അതു കൂട്ടേണ്ടാ. ഈ രീതിയില്‍ 61, 3601, 3660 എന്നിവ വ്യത്യസ്തം തന്നെയാണു്. കണക്കുകൂട്ടലിനെ അതു ബാധിക്കുന്നില്ല.

ഇവിടെ മുത്തുകള്‍ നീക്കാത്ത ഒരു വരി ഇന്നത്തെ പൂജ്യത്തിന്റെ ധര്‍മ്മം നിര്‍വ്വഹിക്കുന്നു. പക്ഷേ, സംഖ്യകള്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങിയപ്പോള്‍ അവര്‍ ഇത്തരം വരികള്‍ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ വഴി ഉണ്ടാക്കിയില്ല. തനിക്കു് അപ്പോള്‍ ആവശ്യമില്ലാത്ത കാര്യങ്ങള്‍ ചെയ്യാതിരിക്കുക എന്നതു മനുഷ്യന്റെ സ്വഭാവമാണല്ലോ!

കുറേ കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഈ പ്രശ്നം മനസ്സിലാക്കി അവര്‍ ഇടയ്ക്കു് വിട്ടുപോയ ഒരു സ്ഥാനം ഉണ്ടെന്നു കാണിക്കാന്‍ ഒരു സ്പേസ് ഇട്ടു. 305 എന്നതിനു പകരം 3 5 എന്നു് എഴുതുന്നതു പോലെ. അങ്ങനെ അതിനെ 35-ൽ നിന്നു വേർതിരിച്ചറിയാം. പക്ഷേ, 35-നെയും 350-നെയും അപ്പോഴും തിരിച്ചറിയാൻ പറ്റില്ല. പിൽക്കാലത്തു് സ്പേസ് മാറ്റി ഒരു ചിഹ്നം ഇട്ടുതുടങ്ങി. ഇതാണു ചരിത്രത്തിലെ ആദ്യത്തെ പൂജ്യം. അപ്പോഴും സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തിൽ അതു് ഇട്ടില്ല, ഇടയിലേ ഇട്ടുള്ളൂ. അതായതു് 60 അടിസ്ഥാനമായ സമ്പ്രദായത്തിൽ 61, 3601 എന്നിവയെ ഇപ്പോള്‍ തിരിച്ചറിയാം. എന്നാല്‍ 61, 3660 എന്നിവയെ തിരിച്ചറിയാന്‍ പറ്റില്ല.

ഇങ്ങനെയൊക്കെയാണെങ്കിലും, ബാബിലോണിയന്‍ രീതി കണക്കുകൂട്ടാന്‍ വളരെ എളുപ്പമായിരുന്നു. അലക്സാണ്ടര്‍ ബാബിലോണിയയെ കീഴടക്കിയതോടെ ബാബിലോണിയന്‍ സംഖ്യാലേഖനരീതിയും അവസാനിച്ചു. എങ്കിലും ഗ്രീസിലെ ഗണിതജ്ഞര്‍ രഹസ്യമായി ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചാണു കണക്കുകൂട്ടിയിരുന്നതു് എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. എന്നിട്ടു് അവര്‍ ഫലങ്ങള്‍ റോമന്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു് എഴുതി നാട്ടുകാര്‍ക്കു കൊടുത്തു. ജ്ഞാനം വരേണ്യവര്‍ഗ്ഗത്തില്‍ത്തന്നെ ഒതുങ്ങിനിന്നതിന്റെ ചരിത്രം ലോകത്തു് എല്ലായിടത്തുമുണ്ടു്.

അലക്സാണ്ടറുടെ ഇന്ത്യയിലേയ്ക്കുള്ള പടനീക്കമാണു് ബാബിലോണിയന്‍ സംഖ്യാലേഖനരീതി ഇന്ത്യയിലേയ്ക്കു് എത്താന്‍ സഹായിച്ചതു് എന്നൊരു തിയറിയുണ്ടു്. അതു് ഇന്ത്യയുടെ പൈതൃകത്തെ ഇടിച്ചുതാഴ്ത്തി യൂറോപ്പിലാണു് എല്ലാം ഉണ്ടായതു് എന്നു വാദിക്കുന്ന യൂറോപ്യന്‍സിന്റെ കുത്സിതശ്രമമാണെന്നു് ഭാരതീയപൈതൃകവാദികള്‍ വാദിക്കുന്നു. അതെന്തെങ്കിലുമാകട്ടേ. ഏതായാലും, ഭാരതത്തില്‍ ആറാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ പൂജ്യമുള്ള സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചു് ആരും എഴുതിയിട്ടില്ല. പൂജ്യം ആ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുമില്ല.

ബാബിലോണിയന്‍ രീതിയോടു സാദൃശ്യമുള്ള, എന്നാല്‍ ദശാംശസമ്പ്രദായത്തിലുള്ള, സംഖ്യകള്‍ ബാഖ്‌ഷലി രേഖയില്‍ (ഇതെഴുതിയ സമയത്തെപ്പറ്റി തര്‍ക്കമാണു്. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു മുതല്‍ ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ ഇതിന്റെ കാലം പറഞ്ഞു കേള്‍ക്കുന്നുണ്ടു്. കണ്ടെടുത്ത പ്രതിയുടെ കാലം ക്രി. പി. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടാണു്.) ഉണ്ടു്. അതിലും പൂജ്യമില്ല. എങ്കിലും പൂജ്യമില്ലാത്ത സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ആ കാലഘട്ടത്തില്‍ ഭാരതത്തില്‍ പ്രചരിച്ചു തുടങ്ങി എന്നു പറയാം.

ആര്യഭടന്‍ (5/6 നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് പൂജ്യവും സ്ഥാനീയസംഖ്യാസമ്പ്രദായവും കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നു് ഒരു വാദമുണ്ടു്. ഏതായാലും, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആര്യഭടീയത്തില്‍ അതിനുള്ള തെളിവൊന്നുമില്ല. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദാ‍യവും പൂജ്യവും പ്രചാരത്തിലായിരുന്നെങ്കില്‍ അദ്ദേഹം കഠിനമായ ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമം ഉപയോഗിക്കാതെ ഭൂതസംഖ്യ പോലെയോ പരല്‍പ്പേരു പോലെയോ ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ചേനേ.

ഏതായാലും ആര്യഭടന്റെ കാലത്തിനടുത്താണു് നമ്മള്‍ പൂജ്യവും ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായവും ഉണ്ടായതെന്നു കരുതാം.

അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രാകൃതഭാഷയിൽ എഴുതിയ ലോകവിഭാഗ എന്ന ജൈനകൃതിയിൽ പൂജ്യം ഉൾക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഉണ്ടു് എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. ഈ പുസ്തകം കണ്ടുകിട്ടിയിട്ടില്ല. ഇതിന്റെ ഒരു സംസ്കൃതപരിഭാഷയാണു കിട്ടിയിട്ടുള്ളതു്. അതു പിൽക്കാലത്തു് എഴുതിയതുമാണു്. ഇതിൽ ചിഹ്നങ്ങളല്ല, വാക്കുകളായാണു് ഓരോ അക്കവും പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്.

ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഒരു സിറിയൻ ബിഷപ്പ് ഒൻപതു ചിഹ്നങ്ങൾ കൊണ്ടു് ഏതു സംഖ്യയെയും ഭാരതീയർ എഴുതുന്നതിനെപ്പറ്റി എഴുതിയതാണു് സ്ഥാനീയരീതി ഉപയോഗിച്ചതിന്റെ ആദ്യത്തെ തെളിവു്. പക്ഷേ ഇതു് എങ്ങനെയായിരുന്നു എന്നോ, ഇതിൽ പൂജ്യം ഉണ്ടായിരുന്നോ എന്നോ വ്യക്തമല്ല.

ആദ്യമായി പൂജ്യം എഴുതിയതിന്റെ തെളിവു് 876-ലാണു്. ഗ്വാളിയോറിലെ ഒരു ക്ഷേത്രത്തോടനുബന്ധിച്ചുള്ള പൂന്തോട്ടത്തിന്റെ വലിപ്പവും (187 ഹസ്തം x 270 ഹസ്തം) ഒരു ദിവസം പൂജിക്കേണ്ട പുഷ്പങ്ങളുടെ എണ്ണവും (50) പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചു് എഴുതിയതു്. ആ കാലമായപ്പോഴേയ്ക്കും പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പ്രചാരത്തിലായി. അതിനാൽ അതിനും ഏകദേശം 200 കൊല്ലമെങ്കിലും മുമ്പായിരിക്കണം ഈ ആശയം പൂർണ്ണമായി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നാണു വിദഗ്ദ്ധർ അനുമാനിക്കുന്നതു്. അതായതു് ഏകദേശം ആറാമത്തെയോ ഏഴാമത്തെയോ നൂറ്റാണ്ടിൽ.

എന്തായാലും ക്രിസ്തുവിനു പിൻപു് അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാണു് പൂജ്യം ഉൾപ്പെടുന്ന സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ഉണ്ടായതു് എന്ന കാര്യത്തിൽ കാര്യമായ സംശയമൊന്നും ഇല്ല.

സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായത്തിൽ ഒരു സ്ഥാനത്തിന്റെ അഭാവം കാണിക്കുന്ന ചിഹ്നം എന്നതു കൂടാതെ പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നതും കൂടി ഉണ്ടെങ്കിലേ ഇന്നു നാം കാണുന്ന പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം പൂർണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. ഇതും ഭാരതത്തിൽ തന്നെയാണു് സംഭവിച്ചതു്.

ആര്യഭടൻ പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ആകാശം എന്ന അർത്ഥമുള്ള “ഖം” എന്ന വാക്കാണു് അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ചതു്. എങ്കിലും പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി വ്യക്തമായി നിർവ്വചിക്കുകയും അതിന്റെ സ്വഭാവങ്ങളും അതിൽ ചെയ്യാവുന്ന ക്രിയകളും വിവരിക്കുകയും ചെയ്തതു് ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ പൂജ്യം കിട്ടും എന്ന ഒരു കാര്യം ഒഴിച്ചാൽ (ഇതു പിന്നീടു് പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഭാസ്കരാചാര്യർ തിരുത്തി) ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രവുമായി ഒത്തുപോകുന്നു. പൂജ്യം മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ വിശദമായി പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

മുകളിൽ കൊടുത്ത രണ്ടു കാര്യങ്ങൾ ചേർത്തു വെച്ചാൽ ഇന്നത്തെ പൂജ്യത്തിന്റെ ജന്മം ഏതാണ്ടു് ക്രിസ്തുവിനു പിൻപു് ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു് ആണെന്നു കാണാം. എഴുതുന്നതിനു മുമ്പു് കുറേക്കാലം മുമ്പുതന്നെ ഈ ആശയം ഉടലെടുത്തു എന്നു വാദിച്ചാൽ തന്നെ, അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു മുമ്പല്ല എന്നു നിസ്സംശയം പറയാം.

സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പൂർത്തിയാക്കിയതു് അറബികളാണു്. ഭാരതീയർ പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലാത്ത സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഭിന്നസംഖ്യകളാണു് ഉപയോഗിച്ചതു്. അതായതു് അംശം, ഛേദം എന്നു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ അനുപാതമായി ഭിന്നങ്ങളെ എഴുതി. അറബികൾ ഒരു പടി കൂടി മുന്നോട്ടു പോയി ദശാംശബിന്ദുവിനു വലത്തോട്ടു് അക്കങ്ങളെഴുതി ഭിന്നങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇടത്തോട്ടു് 1, 10, 100,… തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളെ അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നതു പോലെ, വലത്തോട്ടു് 1/10, 1/100, 1/1000,… തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളെയും അവിടത്തെ അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി ഉണ്ടായതോടെ സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പൂർത്തിയായി.

പൂജ്യത്തെപ്പറ്റി പറയുമ്പോൾ മറ്റൊരു കൂട്ടരെ പരാമർശിക്കാതെ പോകുന്നതു ശരിയല്ല. പരിഷ്കൃതലോകത്തിൽ നിന്നകന്നു് മദ്ധ്യ-അമേരിക്കയിൽ ഉണ്ടായി പുറം‌ലോകവുമായി ബന്ധമുണ്ടാകാതെ അവിടെത്തന്നെ ഒടുങ്ങിയ മായന്മാരെ.

മായന്മാർക്കു ഭ്രാന്തു കാ‍ലഗണനത്തിലായിരുന്നു. അഞ്ചാറു തരം കലണ്ടറുകളാണു് അവർ ഉണ്ടാക്കിയതു്. സൂര്യനെയും ചന്ദ്രനെയും മാത്രമല്ല, ശുക്രന്റെ സഞ്ചാരത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി അവർ കലണ്ടർ ഉണ്ടാക്കി.

സ്വാഭാവികമായും കലണ്ടറുകൾ ഉണ്ടാക്കിയ വകയിൽ അവരുടെ ഗണിതശാസ്ത്രവും വളരെ മികച്ചതായിരുന്നു. പൂജ്യം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഇരുപതു് അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായവും (എണ്ണാൻ കൈയിലെ മാത്രമല്ല, കാലിലെ വിരലുകളും ഉപയോഗിച്ചുകാണും!) അതെഴുതാൻ രണ്ടു രീതികളും, അതിലൊരു രീതിയിൽ അഞ്ചിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉള്ള എഴുത്തും അവരുടെ പ്രത്യേകതയാണു്.

മായന്മാരാണോ ഭാരതീയരാണോ പൂജ്യം ആദ്യം ഉപയോഗിച്ചതെന്നതു വ്യക്തമല്ല. പക്ഷേ, ലോകത്തിനു പൂജ്യം സംഭാവന ചെയ്തതു ഭാരതീയരാണെന്നതിൽ തർക്കമില്ല. ഭാരതീയരിൽ നിന്നു പൂജ്യം നേടിയതിനു വളരെക്കാലം ശേഷമാണു് മായന്മാരെപ്പറ്റി ലോകം അറിഞ്ഞതു്.

ന്യായമായ ചോദ്യം. പൂജ്യം ആരു് എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നതിനു് ഇന്നു് എന്തു പ്രാധാന്യമുണ്ടു്?

പൂജ്യം ഭാരതത്തിലാണു കണ്ടുപിടിച്ചതു് എന്നു പറഞ്ഞു് അഭിമാനിക്കാനോ? ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തിൽ നിന്നു യൂറോപ്പിൽ നിന്നുള്ളതല്ലാത്തവയെല്ലാം തമസ്കരിച്ചു് റോമൻ സാമ്രാജ്യത്തിന്റെ തകർച്ചയ്ക്കു ശേഷം പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ ലോകത്തിൽ ഒരു ശാസ്ത്രപുരോഗതിയും നടന്നിട്ടില്ല എന്ന അസംബന്ധം വിളിച്ചുകൂവുന്ന ചില പാശ്ചാത്യശാസ്ത്രചരിത്രകാരന്മാരെ എതിർക്കാനോ? ഭാരതത്തിലെ (അതുപോലെ യൂറോപ്പല്ലാത്ത മറ്റു രാജ്യങ്ങളിലെയും) പഴയ ശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ തപ്പിയെടുത്തു് വിശദീകരണങ്ങളോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യം ആളുകളെ മനസ്സിലാക്കിക്കാനോ?

തീർച്ചയായും. മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം ഈ ലേഖനം എഴുതാനുള്ള പ്രചോദനങ്ങളിൽ പെടും. അതോടൊപ്പം തന്നെ ഭാരതീയർ തന്നെ പടച്ചുണ്ടാക്കുന്ന ചില അസംബന്ധങ്ങളുടെ നിജസ്ഥിതി വെളിയിൽ കൊണ്ടുവരാനും ഇതു് ഉപകരിക്കും.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെ.

1. വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പേരിൽ പ്രചരിക്കുന്ന ഒരു തട്ടിപ്പുണ്ടു്. ശ്രീ ഭാരതികൃഷ്ണ തീർത്ഥജി എന്ന പുരി മഠത്തിലെ ഒരു ശങ്കരാചാര്യർ എഴുതിയ ഈ പുസ്തകത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉള്ളതു്. ഇല്ലാത്ത ഒരു വേദത്തിൽ നിന്നുള്ള വല്ലാത്ത കുറേ സൂത്രങ്ങൾ ഉദ്ധരിച്ചിട്ടു് അവയുടെ അർത്ഥം കാൽക്കുലസിലെ ഇന്റഗ്രേഷൻ ഫോർമുലയാണു്, പിൽക്കാലത്തു മാത്രം കണ്ടുപിടിച്ച ഒരുപാടു കാര്യങ്ങൾ അവയിലുണ്ടു് എന്നു വാദിക്കുന്ന വെള്ളം ചേർക്കാത്ത തട്ടിപ്പു്. (വേദകാലത്തു് ഭാരതത്തിൽ ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ പോലെയുള്ള മഹത്തായ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. അവയെപ്പറ്റിയല്ല ഞാൻ പറയുന്നതു്.) ഈ പുസ്തകത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പലതും തെറ്റാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാൻ വേദകാലത്തു സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഇല്ല എന്ന ഒരേയൊരു വസ്തുത മതി.
   1. 19, 29, 39,… തുടങ്ങിയ vulgar fractions(!)-ന്റെ ദശാംശരീതിയിലുള്ള expansion നൽകുന്ന സൂത്രമാണു് “ഏകാധികേന പൂർവ്വേന” എന്ന സൂത്രമെന്നു പറയുന്നു. വേദകാലത്തു് സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായമില്ല, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയില്ല, ഭിന്നങ്ങളെ ദശാംശരീതിയിൽ എഴുതുന്ന രീതി തുടങ്ങിയിട്ടുമില്ല. പിന്നെയെന്തു സൂത്രം?
   2. “നിഖിലം നവതശ്ചരമം ദശമഃ” എന്ന സൂത്രം സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്നു് മറ്റൊരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ഉള്ള സംഖ്യ കിട്ടാനുള്ള എളുപ്പ വഴി തരുന്നു. (മറ്റു സംഖ്യകൾക്കു് അതു് ഉപയോഗശൂന്യമാണു്). മനുഷ്യൻ വേദകാലത്തു് സംഖ്യകൾ എങ്ങനെയാണു് എഴുതിയിരുന്നതു് എന്നു് ഇതിനെ പൊക്കിക്കൊണ്ടു നടക്കുന്നവർക്കു വല്ല രൂപവുമുണ്ടോ?

   ഈ തട്ടിപ്പു് സമ്മതിക്കണമെങ്കിൽ വേദങ്ങൾ ഉണ്ടായതു് ക്ര്. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാണെന്നു പറയേണ്ടി വരും. ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തെപ്പറ്റി ഒരു ചുക്കും അറിയാത്ത ഒരു സന്ന്യാസി തനിക്കറിയാവുന്ന എളുപ്പവഴികൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും അവയ്ക്കു് അനുയോജ്യമായ രീതിയിലുള്ള ചില സംസ്കൃതസൂത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ ഉണ്ടാക്കുകയോ ചെയ്തതു് അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണത്തിനു ശേഷം ചിലർ ഭാരതീയപൈതൃകം എന്നു പറഞ്ഞാൽ മുന്നും പിന്നും നോക്കാതെ എടുത്തു ചാടുന്ന ഇന്ത്യക്കാരെ കബളിപ്പിക്കാൻ പുസ്തകമാക്കി മാർക്കറ്റ് ചെയ്യുകയും അങ്ങനെ വേദഗണിതം എന്ന വാക്കിന്റെ തന്നെ അർത്ഥം മാറിമറിഞ്ഞു പോവുകയും ആണുണ്ടായതു്.

   വേദഗണിതത്തട്ടിപ്പിനെപ്പറ്റി പറയണമെങ്കിൽ ഒരു വലിയ പോസ്റ്റു തന്നെ വേണ്ടിവരും. ഇനിയൊരിക്കലാവട്ടേ…

2. ഭൂതസംഖ്യ, പരൽ‌പ്പേരു് എന്നീ അക്ഷരസംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചുള്ളവയാണു്. അവ ഉണ്ടായതു് ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാവാനേ വഴിയുള്ളൂ. അതിനു മുമ്പുണ്ടായെന്നു പറയുന്ന പല അവകാശവാദങ്ങളും തെറ്റാണു്. ഉദാഹരണമായി…
   1. മഹാഭാരതത്തിന്റെ ആദ്യരൂപം ഇന്നുള്ളതിനേക്കാൾ വളരെ ചെറുതായിരുന്നു. ആ ചെറിയ ഗ്രന്ഥത്തിനെ “ജയ” എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഈ “ജയ” എന്ന വാക്കു് പരൽ‌പ്പേർ പ്രകാരം 18 എന്ന സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നും അങ്ങനെ മഹാഭാരതത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനസംഖ്യയായ പതിനെട്ടിനെ (ഭാരതത്തിൽ പതിനെട്ടു പർവ്വങ്ങൾ, ഗീതയിൽ പതിനെട്ടദ്ധ്യായങ്ങൾ, കുരുക്ഷേത്രയുദ്ധത്തിൽ പതിനെട്ടു് അക്ഷൌഹിണികൾ) വ്യാസൻ പരൽ‌പ്പേരുപയോഗിച്ചു സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നും പലയിടത്തും കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. ജയ എന്ന വാക്കു് പിൽക്കാലത്തുണ്ടായ പരൽ‌പ്പേരനുസരിച്ചു് 18-നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതു് തികച്ചും യാദൃച്ഛികം മാത്രം.
   2. ഉണ്ണുനീലിസന്ദേശത്തെപ്പറ്റിയുള്ള രസകരമായ ഒരു വാദം ഈ വിക്കി സംവാദത്തിൽ കാണാം. ഉണ്ണുനീലിസന്ദേശത്തിലെ ഒരു വാക്കു് അതെഴുതിയ ദിവസത്തെ കലിദിനസംഖ്യ പരൽ‌പ്പേർ ഉപയോഗിച്ചെഴുതിയെന്നാണു ‘രസികരഞ്ജിനി’ പത്രാധിപർ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ചില ‘ചരിത്രകാരന്മാർ’ വാദിച്ചതു്. അങ്ങനെ കിട്ടിയ തീയതിയുടെ കാലത്തു് മലയാളഭാഷയുമില്ല, പൂജ്യവുമില്ല, സ്ഥാനീയദശാംശരീതിയുമില്ല, പരൽ‌പ്പേരുമില്ല.

മറ്റുദാഹരണങ്ങൾ വഴിയേ പറയാം. അവ പറയുമ്പോൾ ലിങ്ക് കൊടുക്കാൻ ഒരു റെഫറൻസ് ആകട്ടേ എന്നാലോചിച്ചുമാണു് ഇതെഴുതിയതു്.

അധികവായനയ്ക്കു്:

(Disclaimer: ഇവയിൽ പലതും പൂജ്യത്തെപ്പറ്റിയല്ല പറയുന്നതു്. പലതിലെയും പ്രതിപാദ്യത്തോടു് എനിക്കു പൂർണ്ണമായ യോജിപ്പുമില്ല.)

1. B. Datta and A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, Vol. I, Bharatiya Kala Prakashan, New Delhi 2004.
2. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock – Non-European roots of Mathematics, Princeton University Press 2000.
3. Charles Seife, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin, 2000.
4. Kaplan, R., The Nothing that Is: A Natural History of Zero, Oxford University Press USA, 2000.
5. Teresi, D., Lost Discoveries, The ancient roots of Modern Science – from the Babylonians to the Maya, Simon & Schuster 2002.
6. Wikipedia articles:
   1. 0 (Number)
   2. Positional notation
   3. History of Hindu-Arabic numeral system
   4. Brahmi numeral
   5. Maya numerals
   6. Aryabhata
   7. Brahmagupta

ഇതിനെപ്പറ്റി മുമ്പു ഞാന്‍ നേരിട്ടും ഈമെയിലിലൂടെയും പലരോടും ചർച്ച ചെയ്തപ്പോൾ വളരെയധികം എതിര്‍പ്പുകളും എതിര്‍വാദങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നു. അവയില്‍ പലതും എന്താണു ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചതെന്നു വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കാത്തതു കൊണ്ടായിരുന്നു. ചില അലപ്രകൾ (അ.ല.പ്ര. = അടിക്കടി ലഭിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ = Frequently Asked Questions) താഴെ:

ചോദ്യം:

അസംബന്ധം! “ശൂന്യം” എന്ന വാക്കു് വേദങ്ങളില്‍ തൊട്ടു് ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതാണു്. ഭാരതീയര്‍ക്കു പൂജ്യത്തെപ്പറ്റി വേദകാലം മുതല്‍ക്കേ അറിയാമായിരുന്നു. അതിനെ ക്രി. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലേയ്ക്കു തള്ളുന്നതു് ശരിയല്ല.

ഉത്തരം:
“ശൂന്യം” അല്ലെങ്കില്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ എന്ന ആശയം ഭാരതത്തിലും മറ്റു പല രാജ്യങ്ങളിലും പണ്ടു തൊട്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു. പില്‍ക്കാലത്തു് സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം വന്നപ്പോള്‍ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുമ്പോള്‍ ഒരു പ്രത്യേകസ്ഥാനത്തു് ഒന്നുമില്ല എന്നു സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ആ വാക്കു് ഉപയോഗിച്ചു. ഈ രണ്ടാമതു പറഞ്ഞ ടെക്നിക്കിനെപ്പറ്റിയാണു് നാം ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നതു്; ആദ്യം പറഞ്ഞ വാക്കിനെപ്പറ്റിയല്ല.

ചോദ്യം:

പൂജ്യത്തിന്റെ ചിഹ്നം അതിനു മുമ്പേ പലരും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിനു ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രകാരനായിരുന്ന പിംഗളന്‍ (ബി. സി. നാലാം നൂറ്റാണ്ടു്).

ഉത്തരം:
വട്ടത്തെ ഒരു ചിഹ്നമായി പലരും ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതു മുമ്പു പറഞ്ഞ പൂജ്യം എന്ന ആശയത്തിനു വേണ്ടി ഉപയോഗിച്ചെങ്കിലേ നാം ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്ന കാര്യത്തില്‍ എത്തൂ. ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രത്തിലെ “ലഘു” എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കാനാണു പിംഗളന്‍ വട്ടം ഉപയോഗിച്ചതു്.

ചോദ്യം:

പിംഗളന്‍ ഉപയോഗിച്ചതു് അങ്ങനെയല്ല. ആ വട്ടം (ലഘു) പൂജ്യം തന്നെയായിരുന്നു. ഗുരു ഒന്നും. അവയെ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ദ്വ്യങ്കസമ്പ്രദായം (binary number system) കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനാണു്. ദശാംസസമ്പ്രദായം അല്ലെങ്കിലും രണ്ടു് അടിസ്ഥാനമായ സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം തന്നെയാണു് അതു്. ബൈനോമിയല്‍ തിയറവും കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനാണു്, ന്യൂട്ടനല്ല.

ഉത്തരം:
നമ്മുടെ ചര്‍ച്ചയ്ക്കു് ദശാംശസമ്പ്രദായം വേണമെന്നില്ല. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം മതി. അടിസ്ഥാനം രണ്ടോ പത്തോ പതിനാറോ ഇരുപതോ അറുപതോ ആയിക്കോട്ടേ. ഒരു നിശ്ചിത-എണ്ണം അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കാനുള്ള രീതിയാണു നമുക്കു വേണ്ടതു്.

പിംഗളന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതു് വളരെ സുപ്രധാനമായ മറ്റൊരു കണ്ടുപിടിത്തമാണു്. രണ്ടു തരത്തിലാകാവുന്ന (ഇവിടെ ഗുരുവും ലഘുവും) ചരങ്ങളുടെ (variables) കൂട്ടങ്ങള്‍ എത്ര വിധത്തില്‍ വിന്യസിച്ചു വൃത്തങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം എന്നതു്. Permutations and combinations എന്നാണു് ഈ ഗണിതശാഖയുടെ പേരു്. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായത്തിനു മുമ്പേ ഈ ശാഖ പച്ച പിടിച്ചിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതിനെപ്പറ്റി സവിസ്തരം പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഈ ഗണിതശാഖ മറ്റു പല സുപ്രധാനശാഖകളുടെയും അടിസ്ഥാനമാണു്. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം അതിലൊന്നാണു്. ഒരു നിശ്ചിത-എണ്ണം അക്കങ്ങളെ (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 10) പല വിധത്തില്‍ വിന്യസിച്ചു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണു് അതു്. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഉടലെടുത്ത സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം (Theory of probability) ആണു മറ്റൊന്നു്. രണ്ടു സംഭവങ്ങള്‍ സംഭവിക്കാനുള്ള വിവിധരീതികള്‍ എണ്ണി ഒന്നിനെ അപേക്ഷിച്ചു മറ്റേതു സംഭവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്ന a-priori probability ഇതുപയോഗിച്ചേ ചെയ്യാന്‍ പറ്റൂ. പക്ഷേ, അതുകൊണ്ടു് സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രവും സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായവും Permutations and combinations കണ്ടുപിടിച്ച കാലത്തു തന്നെ കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നു പറയാന്‍ പറ്റില്ല.

ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തിന്റെ കാര്യവും വ്യത്യസ്തമല്ല. ബൈനോമിയല്‍ വികസനത്തിലെ (binomial expansion) ഓരോ പദവും പിംഗളന്‍ തുടങ്ങിവെച്ച തിയറി കൊണ്ടാണു കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. പക്ഷേ അതു കൊണ്ടു് ബൈനോമിയല്‍ തിയറം പിംഗളന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയുന്നതു് അബദ്ധമാണു്.

പാസ്കല്‍ ത്രികോണം എന്നറിയപ്പെടുന്ന വിദ്യ ബൈനോമിയല്‍ വികസനത്തിലെ ഓരോ പദത്തെയും നല്‍കുന്നു. പിംഗളന്റെ ഖണ്ഡമേരു എന്നു പറയുന്ന സമ്പ്രദായം പാസ്കല്‍ ത്രികോണം തന്നെയാണു് എന്നൊരു വാദം. ഖണ്ഡമേരു പാസ്കല്‍ ത്രികോണം തന്നെയാണെന്നതു ശരി തന്നെ. പക്ഷേ അതു കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനല്ല. പിംഗളസൂത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഹലായുധന്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. എന്തായാലും പാസ്കലിനു മുമ്പു് ഭാരതീയര്‍ അതു കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. പക്ഷേ ഹലായുധനും ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തില്‍ എത്തിയില്ല. പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ആണു് ഹലായുധന്‍ ഖണ്ഡമേരു ഉപയോഗിച്ചതു്. പാസ്കലാകട്ടേ അതു ബൈനോമിയല്‍ കോ-എഫിഷ്യന്റുകളെ കണ്ടുപിടിക്കാനും. ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കൊണ്ടു് രണ്ടും ഒരേ രീതി ആയെന്നു മാത്രം.
ചോദ്യം:

ദശാംശസമ്പ്രദായം ക്രിസ്തുവിനു ശേഷമാണു് ഉണ്ടായതെന്നോ? ഏകം, ദശം, ശതം, … തുടങ്ങിയ സംഖ്യകളെപ്പറ്റി കേട്ടിട്ടില്ലേ? വേദങ്ങള്‍, രാമായണം, മഹാഭാരതം, ബുദ്ധകഥകള്‍ തുടങ്ങിയവയിലെല്ലാം ഈ സംഖ്യകളെപ്പറ്റി പറയുന്നുണ്ടു്.

ഉത്തരം:
ശരിയാണു്. മാത്രമല്ല, ഗ്രീക്കുകാര്‍ക്കു് Myriad എന്ന പതിനായിരത്തിനു മുകളില്‍ സംഖ്യകളില്ലായിരുന്ന കാലത്തും പരാര്‍ദ്ധവും (10¹⁷) അതിനപ്പുറമുള്ളവയും ആയ സംഖ്യകള്‍ക്കു പേരുണ്ടാക്കിയവരാണു ഭാരതീയര്‍. പക്ഷേ, നാം ഇവിടെ പറയുന്നതു ദശാംശസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റിയല്ല, സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റിയാണു്. പത്തു് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു് സ്ഥാനം അനുസരിച്ചു് അക്കങ്ങള്‍ക്കു വിലയില്‍ വ്യത്യാസം വരുത്തുന്ന രീതിയെപ്പറ്റി.

സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു മുമ്പു തന്നെ ലോകത്തു പലയിടത്തും പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരുന്നു സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നതു്. (ബാബിലോണിയക്കാര്‍ അറുപതിനെയും മായന്മാര്‍ ഇരുപതിനെയും ആണു് അടിസ്ഥാനമാക്കിയതു്.) രണ്ടു കൈകളിലെയും കൂടി വിരലുകളുടെ എണ്ണം പത്തായതാണു് ഇതിനു കാരണമെന്നാണു് ഒരു തിയറി.

ഇതും അതും തമ്മില്‍ കൂട്ടിക്കുഴയ്ക്കരുതു്.

(കൂടുതൽ അലപ്രകൾ കമന്റുകൾ വരുന്ന വഴിയ്ക്കു് ഇടാം.)

കുറിഞ്ഞി ഓണ്‍‌ലൈന്‍ എന്ന വിജ്ഞാനപ്രദമായ ബ്ലോഗില്‍ (ഇതു് ഇതുവരെ കണ്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക. നല്ല വൈജ്ഞാനികലേഖനങ്ങള്‍ക്കു ദാരിദ്ര്യമുള്ള-ഷിജു, സി. എസ്., കൂമന്‍സ്, ദേവന്‍ തുടങ്ങിയവരെ മറക്കുന്നില്ല-ബൂലോഗത്തില്‍ ഇതൊരു മുതല്‍ക്കൂട്ടാണു്) ഒരു പ്രാചീനഗ്രീസ് കണ്ടുപിടിത്തത്തെപ്പറ്റി പറയുന്ന പോസ്റ്റില്‍ ലോനപ്പന്‍ എന്ന ദേവദാസ് ഇങ്ങനെയൊരു കമന്റിട്ടു:

ഒരു രഹസ്യം പറയാം ആരോടും പറയരുത്.
കാല്‍കുലസ് [ഇന്റഗ്രേഷന്‍-ഡിഫരന്‍സിയേഷന്‍] എന്നശാഖയ്ക്ക് “മൈല്‍‌സ്റ്റോണ്‍” ഇട്ടത് ന്യൂട്ടന്‍ ആണെന്നാണ് വെയ്പ്പ്. എന്നാല്‍ 3000 വര്‍ഷം മുമ്പ് ചോമാതിരി എന്ന ഭാരതീയന്‍(സൌതിന്ത്യന്‍) “ഏക ദോകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം” എന്ന് മൊഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്
ച്ചാല്‍ “d/dx of x= 1/2 root(X)” എന്ന്
അതൊക്കെ നാല്‍ കളഞ്ഞ് കുളിച്ചു. വല്ലതും ബാക്കിയുണ്ടോന്ന് ജര്‍മ്മന്‍കാരോട് ചോദിക്കണം.

“[മുകളില്‍ എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടില്‍ ക്ഷമിക്കുക, ഓര്‍മ്മയില്‍ നിന്നെടുത്തതാണ്]” എന്നൊരു മുന്‍‌കൂര്‍ ജാമ്യം എടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിലും പറയാതെ വയ്യ, “അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും, അതു മഞ്ഞളു പോലെ വെളുത്തിരിക്കും” എന്നതിനു് ഇതിനെക്കാള്‍ നല്ല ഒരു ഉദാഹരണം കുറവായിരിക്കും.

ഇതിലെ തെറ്റുകള്‍:

1. 
   എന്നതു തെറ്റാണെന്നു കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ബാലപാഠങ്ങള്‍ അറിയുന്ന ആര്‍ക്കും അറിയാം.
   
   ആണു ശരി. ഒരു പക്ഷേ
   
   എന്നായിരിക്കും ഉദ്ദേശിച്ചതു്.
2. 3000 വര്‍ഷമെന്നൊക്കെ പറയുമ്പോള്‍… അതൊരു വലിയ കാലയളവാണല്ലോ. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു് പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളും മറ്റും ഉണ്ടായിവരുന്നതേ ഉള്ളൂ. ഈ ചോമാതിരിമാരൊക്കെ അന്നുണ്ടോ എന്തോ? എന്തായാലും, കാല്‍ക്കുലസ് ഇല്ല എന്നതു തീര്‍ച്ച. അല്പം കുറച്ചു് 300 എന്നോ മറ്റോ ആക്കാമോ?

   ചോമാതിരി (സോമയാജി) എന്നതു് ഒരു ജാതിപ്പേരാണു് (സോമയാഗം ചെയ്ത നമ്പൂതിരി). ഒരാളുടെ പേരല്ല.

3. ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പ്രശസ്തരായ രണ്ടു ചോമാതിരി(സോമയാജി)മാരുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജിയും(ക്രി. പി. പതിനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) പുതുമന സോമയാജിയും (ക്രി. പി. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടു്). ധാരാളം കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ ഇവരുടേതായുണ്ടു്. രണ്ടുപേരും ന്യൂട്ടനു മുമ്പുള്ളവര്‍ തന്നെ. പക്ഷേ, ലോനപ്പന്‍ പറയുന്ന അത്രയും മുമ്പല്ല.
4. ഉദ്ധരിച്ച സംസ്കൃതശ്ലോകഭാഗം കാല്‍ക്കുലസ് അല്ല പറയുന്നതു്. “സങ്കലിതം” ആണു്. 1, 2, 3, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും ഒക്കെയാണു് സങ്കലിതം എന്നതുകൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്.

ഇങ്ങനെ ഭാരതീയജ്ഞാനത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അബദ്ധങ്ങള്‍ എഴുന്നള്ളിക്കുന്നവരാണു് നമ്മളെ പലപ്പോഴും മറ്റുള്ളവരുടെ മുന്നില്‍ അപഹാസ്യരാക്കുന്നതു്. ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ പരമാബദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം കാര്യങ്ങള്‍ ചെയിന്‍ ഇ-മെയിലുകളായും വെബ്‌പേജുകളായും ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റുകളായും കമന്റുകളായും ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ പരന്നു കിടക്കുന്നു. ഇവ മൂലം ഭാരതീയഗണിതത്തെപ്പറ്റി ആധികാരികമായി പറയുന്നതു പോലും കേള്‍ക്കാന്‍ ആരും തയ്യാറാകുന്നില്ല. നാം തന്നെ നമ്മുടെ ശവക്കുഴി തോണ്ടണോ?

ഈ ഉദ്ധരണി ഞാന്‍ മുമ്പു കണ്ടിട്ടില്ല. ഒരു പക്ഷേ ഇങ്ങനെയായിരിക്കാം:

ഏകാദ്യേകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം
ഏക-ആദി-ഏക-ഉത്തര-സങ്കലിതം പദ-വര്‍ഗ്ഗ-അര്‍ദ്ധം.

“ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു വീതം കൂട്ടിയ സംഖ്യകളെ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ പകുതിയാകും” എന്നര്‍ത്ഥം. അതായതു്,

എന്നര്‍ത്ഥം. ഇതു പൂര്‍ണ്ണമായി ശരിയല്ല.

എന്നതാണു ശരിയായ സൂത്രവാക്യം. ഇതു് ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു നേരത്തേ അറിയാമായിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഇതിനെപ്പറ്റി ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു താഴെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്.

n-ന്റെ മൂല്യം വളരെ വലുതാകുമ്പോള്‍ n(n+1)-നു പകരം n² ഉപയോഗിക്കാം എന്നു നീലകണ്ഠസോമയാജി യുക്തിദീപികയില്‍ (ഇതു നീലകണ്ഠന്റേതാണെന്നും അല്ല അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഒരു ശിഷ്യന്റേതാണെന്നും വാദങ്ങളുണ്ടു്. നീലകണ്ഠന്റെ തന്നെ “തന്ത്രസംഗ്രഹം” എന്ന വിശിഷ്ടകൃതിയുടെ വ്യാഖ്യാനമാണു യുക്തിദീപിക.) പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്.

സൈകവ്യാസാര്‍ദ്ധഗുണിതം വ്യാസാര്‍ദ്ധം യത് തതോ ദലം
ഏകാദ്യേകോത്തരമിതഭുജാസങ്കലിതം ഭവേത്

അണുത്വാര്‍ത്ഥം ഭുജാഭാഗേ ത്വണുഛേദാഹതേസതി
അത്ര രൂപം ത്വണുമിതം കല്പ്യം യസ്മാത്തതോऽണുയുക്

യദ്‌വ്യാസദലമന്യച്ച കേവലം യത് തയോര്‍ഹതിഃ
യാസ്യാത് തദ്ദലമുക്തസ്യ മാനം സങ്കലിതസ്യ തു

ഒരു ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള

എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉപപത്തിയിലാണു് ഇതുള്ളതു്. ഗോളത്തെ അസംഖ്യം ചെറിയ വൃത്തങ്ങളാക്കി അവയുടെ ക്ഷേത്രഫലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാണു് വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. അര്‍ത്ഥം അല്പം സരളമാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

1. വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തോടു് ഒന്നു കൂട്ടി അതിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു പകുതി കണ്ടാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു കൂട്ടി വരുന്ന ഭുജകളുടെ സങ്കലിതം ലഭിക്കും.

   അതായതു്,

   

2. ഇതിലെ ഓരോ ഭുജയെയും വീണ്ടും പല ഭാഗമാക്കിയാല്‍ ഓരോ ഭുജയും വളരെ ചെറുതാകുകയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതാവുകയും ചെയ്യും. പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വലുതാകുമ്പോള്‍ n എന്നതും (n+1) എന്നതും ഏകദേശം തുല്യമാണെന്നു പരിഗണിക്കാം.
3. അങ്ങനെ നോക്കിയാല്‍

   

   എന്നു് ഇവിടെ നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.

അതിനു ശേഷം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് ഗോളവ്യാപ്തത്തിലേക്കു പോകുന്നു.

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, ഇതു് ആധുനികഗണിതത്തിലെ രീതി തന്നെയാണെന്നു മനസ്സിലാകും. സാമാന്യമായ മൂല്യം എഴുതുക, അതിനു് ഒരു പ്രത്യേകസാഹചര്യത്തിലെ approximation ഉപയോഗിക്കുക, സീമാസിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു് infinite series-നു നല്ല approximation ഉണ്ടാക്കുക തുടങ്ങി. ഇവയൊക്കെ കാല്‍ക്കുലസിന്റെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ തന്നെ. എന്നാല്‍ കാല്‍ക്കുലസ് ന്യൂട്ടനു മുമ്പു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയാനും പറ്റില്ല. നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ കൊണ്ടു ഗണിതജ്ഞര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച സീമാസിദ്ധാന്തത്തെയും, ചെറിയ ഭാഗങ്ങളാക്കി വിഭജിച്ചു് ഓരോ ഭാഗത്തിന്റെയും വിലയുടെ approximate value കണ്ടുപിടിച്ചു് അവ കൂട്ടി തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയെയും മറ്റും യോജിപ്പിച്ചു് അവകലനത്തിന്റെയും (differentiation) സമാകലനത്തിന്റെയും (integration) സമഗ്രവും സാമാന്യവുമായ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി എന്നതുകൊണ്ടാണു് കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കളായി ന്യൂട്ടനെയും ലൈബ്‌നിറ്റ്സിനെയും കരുതുന്നതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇവര്‍ ഈ തിയറിയൊക്കെ ഉണ്ടാക്കി എന്നല്ല.

കാല്‍ക്കുലസ് ഇന്ത്യയിലുണ്ടായി എന്ന വാദത്തെ ഇതിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ വേണം കാണാന്‍. ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യം ആദ്യമായി കാണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരല്ല, ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് എന്നും ഓര്‍ക്കുക.

“സങ്കലിതം” എന്നതു ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഒരു പ്രിയപ്പെട്ട ആശയമായിരുന്നു. സങ്കലിതവും സങ്കലിതത്തിന്റെ സങ്കലിതവും അതിന്റെ സങ്കലിതവുമൊക്കെ കണ്ടുപിടിച്ചു് അവര്‍ മുന്നോട്ടു പോയി. ഒരു ലീലാവതീവ്യാഖ്യാനത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

പദേ സൈകപദാഭ്യസ്തേ യദ്വൈകദ്വിവധോദ്ധ്യതേ
ഏകാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ഭവേത് സങ്കലിതം തതഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ത്രയാണാം തു സമാഹതിഃ
ഏകോത്തരാദിത്രിവധഭക്താ സങ്കലിതായുതിഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ചതുര്‍‌ണാം തു സമാഹതേഃ
ഏകാദ്യേകോത്തരചതുര്‍ഘാതാപ്താ തദ്‌യുതേര്‍‌യുതിഃ

സമയക്കുറവു മൂലം പദാനുപദതര്‍ജ്ജമ എഴുതുന്നില്ല. അര്‍ത്ഥം ഗണിതരീതിയില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു (നൊട്ടേഷന്‍ എന്റേതു്):

ഇത്യാദി.

ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയുടെയും തുക കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആര്യഭടനു മുമ്പേ ഭാരതീയര്‍ക്കു് അറിയാമായിരുന്നു. ദോധകവൃത്തത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ എഴുതിയ മനോഹരശ്ലോകങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

സൈകപദഘ്നപദാര്‍ദ്ധമഥൈകാദ്യങ്കയുതിഃ കില സങ്കലിതാഖ്യാ

സ-ഏക-പദ-ഘ്ന-പദ-അര്‍ദ്ധം അഥ ഏക-ആദി-അങ്ക-യുതിഃ കില സങ്കലിത-ആഖ്യാ

സാ ദ്വിയുതേന പദേന വിനിഘ്നീ സാ ത്രിഹൃതാ ഖലു സങ്കലിതൈക്യം

ദ്വിഘ്നപദം കുയുതം ത്രിവിഭക്തം സങ്കലിതേന ഹതം കൃതിയോഗഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമമേകാദ്യങ്കഘനൈക്യമുദീരിതമാദ്യൈഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമം ഏക-ആദി-അങ്ക-ഘന-ഐക്യം ഉദീരിതം-ആദ്യൈഃ

ഇതിന്റെ സാമാന്യരൂപമായ

എന്നതിന്റെ മൂല്യം (എന്നതു് ഏതെങ്കിലും എണ്ണല്‍‌സംഖ്യ) കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതെയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു കഴിഞ്ഞില്ല. ആധുനികഗണിതത്തില്‍ത്തന്നെ ഇതൊരു കീറാമുട്ടിയായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ബെര്‍‌ണോളി സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണു് ഇന്നും ഇതു ചെയ്യുന്നതു്. (ഇതും വേദങ്ങളില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും താമസിയാതെ പറഞ്ഞേക്കും!). അതനുസരിച്ചു്,

എന്നതാണു് അതിന്റെ മൂല്യം. ഇവിടെ B_r എന്നതു ബെര്‍ണോളി സംഖ്യകളും _nC_r എന്നതു binomial coefficients-ഉം ആണു്.

ഇതും സരളമായ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യമല്ല, മറ്റൊരു ശ്രേഢിയാണു്. പക്ഷേ രണ്ടാമത്തേതു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പമാണു്, അത്രമാത്രം.

രണ്ടുമൂന്നു കൊല്ലം മുമ്പു പോര്‍ട്ട്‌ലാന്‍ഡിലെ ഒരു മലയാളി വീട്ടമ്മയ്ക്കു് ഒരു ആശയം തോന്നി.

ഒരു മലയാളം ക്ലാസ് തുടങ്ങിയാലോ?

ഭിലായിയില്‍ ജനിച്ചു വളര്‍ന്ന ഈ വനിതയ്ക്കു മലയാളം നന്നായി പറയാന്‍ അറിയാമെങ്കിലും എഴുതാനും വായിക്കാനും ബുദ്ധിമുട്ടു്. അമേരിക്കയില്‍ ജനിച്ചുവളര്‍ന്ന അടുത്ത തലമുറയിലെ കുട്ടികള്‍ക്കും കേരളത്തിനു വെളിയില്‍ ജനിച്ചുവളര്‍ന്ന പല മുതിര്‍ന്നവര്‍ക്കും മലയാളം പറയാന്‍ പോലും അറിയില്ല.

ആശയം കുറെക്കാലം മുമ്പു തൊട്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു. പ്രാവര്‍ത്തികമാക്കിയതു് 2004-ലെ വിജയദശമിനാളില്‍.

എല്ലാ ശനിയാഴ്ചയും ഒരു മണിക്കൂര്‍ വീതം. സൌജന്യമാണു ക്ലാസ്. ആദ്യം ആരുടെയെങ്കിലും വീട്ടിലായിരുന്നു. അതു ബുദ്ധിമുട്ടായപ്പോള്‍ ഒരു പള്ളിയോടു ചേര്‍ന്നുള്ള ഒരു മുറി വാടകയ്ക്കെടുത്തു. വാടകയ്ക്കും ഇടയ്ക്കു നടത്തുന്ന ചെറിയ മത്സരങ്ങളില്‍ കൊടുക്കുന്ന സമ്മാനങ്ങള്‍ക്കുമായി (എല്ലാവര്‍ക്കും സമ്മാനമുണ്ടു്) ഒരു ചെറിയ തുക മാത്രം രക്ഷിതാക്കളില്‍ നിന്നു് ഈടാക്കുന്നു.

ക്ലാസ് എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ കട്ടിയുള്ളതൊന്നുമല്ല. ഒരാള്‍ വന്നു രണ്ടുമൂന്നു പാട്ടും കഥയും പറയും. ഒന്നോ രണ്ടോ അക്ഷരം വായിക്കാന്‍ പഠിപ്പിക്കും. മലയാളം ഉപയോഗിക്കേണ്ട ചില ചെറിയ കളികളുമുണ്ടാവും. രണ്ടു വയസ്സു മുതല്‍ പതിനഞ്ചു വയസ്സു വരെയുള്ള വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍. അവരുടെ കൂടെ വന്നിരിക്കുന്ന രക്ഷാകര്‍ത്താക്കള്‍. അദ്ധ്യാപകന്‍. ഇവരൊന്നിച്ചുള്ള സംഭാഷണങ്ങളും കളികളുമൊക്കെയായി ക്ലാസ് മുന്നോട്ടു പോയി.

ഒരു കൊല്ലത്തിനു ശേഷം അക്ഷരങ്ങള്‍ എഴുതാനും പഠിപ്പിച്ചു തുടങ്ങി.

അദ്ധ്യാപകര്‍ മലയാളത്തില്‍ വിദഗ്ദ്ധരാവണമെന്നു നിര്‍ബന്ധമില്ല. മലയാളം പറയാനും എഴുതാനും അറിയണം. കുട്ടികളോടു സംസാരിക്കാനും കഴിയണം. അത്രമാത്രം.

അദ്ധ്യാപകരെ കൂടാതെ മറ്റു പലരും ഇതില്‍ സഹകരിച്ചിരുന്നു. ആവശ്യമായ പടങ്ങള്‍ വരച്ചു കൊടുക്കുവാനും, ചിത്രങ്ങളും മറ്റും പത്രങ്ങളില്‍ നിന്നും ഇന്റര്‍നെറ്റിന്‍ല്‍ നിന്നും ശേഖരിക്കുവാനും, പഠിപ്പിക്കുന്നതു ടൈപ്പു ചെയ്തു പുസ്തകമാക്കുവാനും തൊട്ടു് ക്ലാസ്‌റൂമിലെ ബഞ്ചും ഡസ്കും പിടിച്ചു വെയ്ക്കാനും ക്ലാസ് കഴിഞ്ഞാല്‍ തിരിച്ചു വെയ്ക്കാനും വരെ.

വളരെ വിജയകരമായി നടന്നു വരുന്ന ഈ ക്ലാസില്‍ ഇതിനകം എട്ടു പേര്‍ അദ്ധ്യാപകരായിട്ടുണ്ടു്-ഞാനും രാജേഷ് വര്‍മ്മയും ഉള്‍പ്പെടെ. മുപ്പതോളം വിദ്യാര്‍ത്ഥികളും ഉണ്ടു്. കുഞ്ഞുണ്ണിക്കവിതകളും മറ്റു കുട്ടിക്കവിതകളും ഇതിനകം അവര്‍ ഹൃദിസ്ഥമാക്കിയിട്ടുണ്ടു്. ഇവിടെ നടക്കുന്ന കലോത്സവങ്ങളില്‍ മലയാളത്തില്‍ പരിപാടി അവതരിപ്പിക്കാം എന്ന സ്ഥിതിയിലായി കുട്ടികള്‍.

ഇതിനു വേണ്ടി ഒരു യാഹൂ ഗ്രൂപ്പ് തുടങ്ങിയിരുന്നു. ക്ലാസ്സിലേക്കുള്ള പുസ്തകങ്ങളും മറ്റും അവിടെയാണു് ഇട്ടിരുന്നതു്. അതു കണ്ടിട്ടു് ലോകത്തിന്റെ പല ഭാഗത്തുമുള്ള മലയാളികള്‍ അതില്‍ ചേരാന്‍ ആഗ്രഹം പ്രകടിപ്പിച്ചുതുടങ്ങി.

ഗ്രൂപ്പു് ഇവിടത്തുകാര്‍ക്കു മാത്രമായി നിലനിര്‍ത്താനാണു് ഉദ്ദേശ്യം. എങ്കിലും വിജ്ഞാനം എല്ലാവര്‍ക്കും കിട്ടണം എന്ന ആഗ്രഹമുള്ളതുകൊണ്ടു്, ക്ലാസ്സിലെ പഠനസാമഗ്രികള്‍ ഒരു പൊതുസ്ഥലത്തു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം എന്നു തീരുമാനിച്ചു.

അതനുസരിച്ചു്, ചില പുസ്തകങ്ങള്‍ ഇവിടെ ഇട്ടിട്ടുണ്ടു്. ക്ലാസ്സില്‍ പഠിപ്പിച്ച മുഴുവന്‍ കാര്യങ്ങളുമില്ല. (കഥകള്‍ വളരെ കുറച്ചു മാത്രമേ ടൈപ്പു ചെയ്യാന്‍ പറ്റിയിട്ടുള്ളൂ.) കുഞ്ഞുങ്ങളെ മലയാളം പഠിപ്പിക്കുവാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന പ്രവാസികള്‍ക്കു് ഇതു പ്രയോജനപ്രദമായിരിക്കും എന്നു പ്രതീക്ഷിക്കുന്നു.

ഈ സംരഭത്തിന്റെ ഭാഗമായ എല്ലാവര്‍ക്കും ഈ മൂന്നാം വര്‍ഷത്തില്‍ ആശംസകള്‍!

(വിജയദശമിയ്ക്കു പ്രസിദ്ധീകരിക്കണമെന്നു വിചാരിച്ചതാണു്. സമയപരിമിതി മൂലം സാധിച്ചില്ല.)

ഡാലിയുടെ അദ്വൈതവും പദാര്‍ത്ഥത്തിന്റെ ദ്വന്ദ്വ സ്വഭാവവും – 2 എന്ന പോസ്റ്റിലെയും അതിന്റെ ചില കമന്റുകളിലെയും പരാമര്‍ശങ്ങളാണു് ഇതെഴുതാന്‍ എന്നെ പ്രേരിപ്പിച്ചതു്.

ഗണിതത്തിലും ഉണ്ടല്ലോ നിര്‍വചിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത ഒന്ന്: ഇന്‍ഫിനിറ്റി. 0/10 =0 എന്ന് പഠിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണ്. പ്രൈമറി സ്കൂള്‍ മാഷ് പറഞ്ഞ് കൊടുക്കും, ഒരു കേക്ക് 10 കഷ്ണങ്ങള്‍ ആക്കിയതില്‍ എനിക്കു കിട്ടിയത് പൂജ്യം കഷ്ണം (അതായത് ഒന്നും കിട്ടിയില്ല) അതുകൊണ്ട് 0/10=0. എന്നാല്‍ 10/0 എന്നത് എങ്ങനെ പറഞ്ഞ് മനസ്സിലാക്കി കൊടുക്കും? ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍ എത്ര? പറഞ്ഞു കൊടുക്കാന്‍ ഇത്തിരി പാടാണ്.

ഒരു പാടുമില്ല ഡാലീ. ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി എന്നതു് ഒരു ലിമിറ്റാണു്. ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാള്‍ വലുതും, ഏറ്റവും ചെറിയ (നെഗറ്റീവ്) സംഖ്യയെക്കാള്‍ ചെറുതുമായ രണ്ടു ലിമിറ്റുകളെയാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി (പോസിറ്റീവും നെഗറ്റീവും) എന്നു വിളിക്കുന്നതു്. ഒരു വലിയ (ചെറിയ) സംഖ്യ എന്നു തന്നെ കരുതാം.

10/0 എന്നതു് “ഒന്നുമില്ലായ്മയില്‍ നിന്നു 10 എടുത്താല്‍” എന്നെങ്ങനെ അര്‍ത്ഥം വരും? നമുക്കു് ഹരണത്തിന്റെ നിര്‍വ്വചനം നോക്കാം.

• 20/4 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ 4 എന്നതു് എത്ര പ്രാവശ്യം കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 20 ആകും എന്നാണര്‍ത്ഥം. അഞ്ചു തവണ എന്നര്‍ത്ഥം.
• 10/4 എന്നു പറഞ്ഞാലും അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ. രണ്ടു തവണയും പിന്നെ അരത്തവണയും (2 x 4 + 0.5 x 4 = 10) വയ്ക്കണം. അതായതു്, 10/4 = 2.5.
• ഇനി, 10/0 എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ (0) എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 കിട്ടും എന്നാണു്. എത്ര തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലും പൂജ്യത്തില്‍ കൂ‍ടില്ല. അപ്പോള്‍ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യയെക്കാളും വലിയ ഒരു സംഖ്യ തവണ കൂട്ടിവെച്ചാലേ ആകൂ എന്നു വരുന്നു. ഇതാണു് ഇന്‍‌ഫിനിറ്റി.
  മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 0 എന്നതിനു പകരം പൂജ്യത്തോടു് അല്പം മാത്രം കൂടുതലായ ഒരു സംഖ്യ സങ്കല്പിക്കുക. 0.00000….00001 എന്നിരിക്കട്ടേ. അതു് എത്ര കൂട്ടിവെച്ചാല്‍ 10 ആകും? വളരെ വലിയ ഒരു എണ്ണം. ഈ സംഖ്യ പൂജ്യത്തോടു് അടുക്കുന്തോറും ഈ എണ്ണം കൂടിവരും. അപ്പോള്‍ അതു പൂജ്യമാകുമ്പോള്‍ ഉള്ള എണ്ണമാണു് ഇന്‍ഫിനിറ്റി. (ഇനി മുതല്‍ “അനന്തം” എന്നു വിളിക്കുന്നു.)

[2006/09/28]: ഇവിടെ undefined എന്നു ഡാലിയും ഷിജുവും പറഞ്ഞതു് indeterminate എന്നു തെറ്റിദ്ധരിച്ചു് infinity, indeterminate എന്നിവ തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം വിശദീകരിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരു ഭാഗമുണ്ടായിരുന്നു. ഡാലിയും ഷിജുവും indeterminate-നെക്കുറിച്ചു പറഞ്ഞിട്ടില്ലാത്തതിനാല്‍ ഈ ലേഖനത്തില്‍ നിന്നു് അതു നീക്കം ചെയ്യുന്നു.

തെറ്റു ചൂണ്ടിക്കാണിച്ച ഡാലി, അനുരണനം (ഡാലിയുടെ ബ്ലോഗില്‍) എന്നിവര്‍ക്കും അനുരണനത്തിന്റെ കമന്റ് ഇവിടെ പോസ്റ്റു ചെയ്ത ഷിജുവിനും നന്ദി.

ഡാലി പറയുന്നു:

കൌതുകം എന്താണെന്നു വച്ചാല്‍ ഇന്‍ഫിനിറ്റിയെ കുറിച്ചുള്ള ആദ്യ ലേഖനങ്ങളില്‍ ഒന്ന് യജുര്‍ വേദമണെന്ന് വിക്കി പറയുന്നു

ഉദ്ധൃതമായ വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

Along with the early conceptions of infinite space proposed by the Taoist philosophers in ancient China, one of the earliest known documented knowledge of infinity was also presented in ancient India in the Yajur Veda (c. 1200–900 BC) which states that “if you remove a part from infinity or add a part to infinity, still what remains is infinity”.

ഇവിടെ ഉദ്ദേശിച്ചിരിക്കുന്നതു് (പാപ്പാന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയതുപോലെ)

പൂര്‍ണ്ണമദഃ പൂര്‍ണ്ണമിദം
പൂര്‍ണ്ണാത് പൂര്‍ണ്ണമുദച്യതേ
പൂര്‍ണ്ണസ്യ പൂര്‍ണ്ണമാദായ
പൂര്‍ണ്ണമേവാവശിഷ്യതേ

(അതു പൂര്‍ണ്ണം, ഇതു പൂര്‍ണ്ണം, പൂര്‍ണ്ണതില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണം പൊന്തിവന്നു. പൂര്‍ണ്ണത്തില്‍ നിന്നു പൂര്‍ണ്ണമെടുത്തപ്പോള്‍ പൂര്‍ണ്ണം അവശേഷിച്ചു.)

ആണെന്നു തോന്നുന്നു. (ഇതു് ഈശാവാസ്യോപനിഷത്തിലേതാണെന്നാണു് എന്റെ അറിവു്.) ഇതു ശരിയാണെങ്കില്‍ ഇതു മറ്റൊരു ഭാരതീയപൈതൃകവ്യാജാവകാശവാദം മാത്രമാണു്. Complete എന്ന അര്‍ത്ഥത്തിലാണു് ഇവിടെ പൂര്‍ണ്ണം എന്നുപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഇതെങ്ങനെ ഗണിതത്തിലെ അനന്തം ആകും? അതില്‍ നിന്നു അതു തന്നെ കുറച്ചാല്‍ അതു തന്നെ കിട്ടും എന്നതു പൂജ്യത്തിനും ബാധകമാണല്ലോ. ഇതു് അനന്തത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാല്‍ ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രണ്ടു വരി എങ്ങനെ വിശദീകരിക്കും?

ഏതെങ്കിലും മത/സംസ്കാരഗ്രന്ഥത്തില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന ഏതെങ്കിലും തത്ത്വത്തിനു് ഏതെങ്കിലും ആധുനികശാസ്ത്രതത്ത്വവുമായി വിദൂരസാദൃശ്യമുണ്ടെങ്കില്‍ ആ വിജ്ഞാനം പണ്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്ന അവകാശവാദമുന്നയിക്കുന്നതു് പല സംസ്കാരങ്ങളെയും ഉയര്‍ത്തിപ്പിടിക്കുന്നവരുടെ സ്വഭാവമാണു്. ആര്‍ഷസംസ്കാരത്തിന്റെയും ഭാരതീയപൈതൃകത്തിന്റെയും ആധുനികവക്താക്കള്‍ ഇതിന്റെ സകലസീമകളെയും ലംഘിക്കുന്നു. മഹാവിഷ്ണുവിന്റെ ദശാവതാരങ്ങളുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പുരാണങ്ങളില്‍ പരിണാമസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി സൂചിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ടു് എന്നു പറയുന്നതു് ഒരുദാഹരണം. സൃഷ്ടികര്‍മ്മത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നിടത്തു് ഇതു പറഞ്ഞിട്ടില്ലല്ലോ. ഈ അനന്തപരാമര്‍ശവും അങ്ങനെ തന്നെ. പൂജ്യം (ശൂന്യം) എന്നതു് ആധുനികഗണിതത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ അറിവില്ലാതിരുന്ന കാലത്താണു് വേദങ്ങള്‍ എഴുതിയതെന്നു് ആലോചിക്കണം. പിന്നെയെങ്ങനെ അനന്തത്തെപ്പറ്റി പറയാന്‍?

അനന്തസംഖ്യയെപ്പറ്റി ആദ്യം സൂചിപ്പിച്ചതു ബ്രഹ്മഗുപ്തനാണു്. (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) അദ്ദേഹം അതിനെ “ഖച്ഛേദം” (പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചതു് എന്നര്‍ത്ഥം) വിളിച്ചു. അതേ അര്‍ത്ഥം തന്നെ വരുന്ന “ഖഹരം” എന്ന പേരാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഉപയോഗിച്ചതു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറയുന്നതു നോക്കൂ:

യോഗേ ഖം ക്ഷേപസമം,
വര്‍ഗ്ഗാദൌ ഖം, ഖഭാജിതോ രാശിഃ
ഖഹരഃ, സ്യാത് ഖഗുണഃ
ഖം, ഖഗുണശ്ചിന്ത്യശ്ച ശേഷവിധൌ

പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയോടു കൂട്ടിയാല്‍ ആ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. പൂജ്യത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയും പൂജ്യം തന്നെ. ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഖഹരം കിട്ടും. പൂജ്യം കൊണ്ടു ഏതു സംഖ്യയെ ഗുണിച്ചാലും പൂജ്യം തന്നെ ഫലം.

പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം വ്യക്തമായി നിര്‍വ്വചിച്ചിരിക്കുകയാണു് ഇവിടെ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ പറഞ്ഞതും ഇതു തന്നെ.

ശൂന്യേ ഗുണകേ ജാതേ
ഖം ഹാരശ്ചേത് പുനസ്തദാ രാശിഃ
അവികൃത ഏവ ജ്ഞേയ-
സ്തഥൈവ ഖേനോനിതശ്ച യുതഃ

ഒരു സംഖ്യയെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഗുണിക്കുകയും പിന്നീടു പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിക്കുകയും ചെയ്യേണ്ടി വന്നാല്‍ അതേ സംഖ്യ തന്നെ കിട്ടും. അതിനാല്‍ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനവും ഹരണവുമുള്ള ഗണിതക്രിയകളില്‍ ഇപ്രകാരമുള്ള ഗുണനഹരണങ്ങള്‍ സംഖ്യയെ മാറ്റുന്നില്ല എന്നു മനസ്സിലാക്കി അവസാനത്തെ ക്രിയയില്‍ മാത്രമേ പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഗുണനമോ ഹരണമോ ചെയ്യാവൂ.

ഇതിനു പല വിമര്‍ശനങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നിട്ടുണ്ടു്. 0/0 = 1 എന്നാണു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു് എന്നാണു് പ്രധാനവിമര്‍ശനം. അങ്ങനെയല്ല എന്നു് ഈ ശ്ലോകം ശ്രദ്ധിച്ചു വായിച്ചാല്‍ മനസ്സിലാകും. അദ്ദേഹം ഉദ്ദേശിച്ചതു്

എന്നാണെന്നു മനസ്സിലാകും. കാല്‍ക്കുലസിലെ ഒരു പ്രധാനതത്ത്വം.

അനന്തത്തെപ്പറ്റി ആലങ്കാരികമായും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍.

അസ്മിന്‍ വികാരഃ ഖഹരേ ന രാശാ-
വപി പ്രവിഷ്ടേഷ്വപി നിഃസൃതേഷു
ബഹുഷ്വപി സ്യാല്ലയസൃഷ്ടികാലേऽ-
നന്തേऽച്യുതേ ഭൂതഗണേഷു യദ്വത്

ഏതു സംഖ്യ കൂട്ടിയാലും കുറച്ചാലും ഖഹരത്തിനു വ്യത്യാസം വരുന്നില്ല. ജീവജാലങ്ങള്‍ ഉണ്ടാവുകയും നശിക്കുകയും ചെയ്താലും അനന്തനായാ അച്യുതനു വ്യത്യാസമുണ്ടാകാത്തതു പോലെ.

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ ലേഖനത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അദ്വൈതത്തില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നല്ല പറയുന്നതു്, മറിച്ചു രണ്ടിനും സാദൃശ്യമുള്ള തത്ത്വങ്ങളുണ്ടു് എന്നു പറയുകയാണു ചെയ്യുന്നതു് എന്നു ഡാലി തന്നെ പറയുന്നു. ഇതിനു കുഴപ്പമൊന്നുമില്ല.

കടലും കടലാടിയും പോലെയുള്ള വസ്തുതകളെ താരതമ്യപ്പെടുത്തുന്നതു ചില ഗവേഷകരുടെ ഇഷ്ടവിനോദമാണു്. “കാല്പനികത മാര്‍കേസിലും മുട്ടത്തുവര്‍ക്കിയിലും”, “കേരളത്തിലെ ഒടിവിദ്യയും ആസ്ട്രേലിയയിലെ ബൂമറാംഗും”, “ചോംസ്കിയുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ കൊടുങ്ങല്ലൂര്‍ ഭരണിപ്പാട്ടിന്റെ ഘടനയുടെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍” തുടങ്ങിയ വിഷയങ്ങളിലുള്ള (ഈ വിഷയങ്ങളെല്ലാം സാങ്കല്പികം) പ്രബന്ധങ്ങളും കാമ്പുള്ള ഗവേഷണത്തിനോടൊപ്പം ഉണ്ടാകുന്നുണ്ടു്. ഇതൊക്കെ വൈജ്ഞാനികശാഖകള്‍‍ക്കു മുതല്‍ക്കൂട്ടു തന്നെ.

പക്ഷേ, ഈ താരതമ്യപ്പെടുത്തലിനപ്പുറം കമന്റെഴുതിയ പലരും ചെയ്തപോലെ അദ്വൈതത്തില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് അടങ്ങിയിരിക്കുന്നെന്നും, അല്ല ശങ്കരാചാര്യര്‍ തെറ്റാണെന്നു തെളിയിച്ച കാലഹരണപ്പെട്ട ഒരു തിയറിയില്‍ ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് പൂര്‍ണ്ണമായി അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും പറയുമ്പോഴാണു വാദം ബാലിശമാകുന്നതു്.

ലേഖനത്തില്‍ പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുള്ള ഒരു കാര്യത്തെപ്പറ്റിക്കൂടി: പുതിയ നിയമം (ഞാന്‍ പുസ്തകത്തെപ്പറ്റിയാണു പറയുന്നതു്; ക്രിസ്തുവിനെപ്പറ്റിയോ ക്രിസ്തുമതത്തെപ്പറ്റിയോ അല്ല.) ഇത്രയും പോപ്പുലര്‍ ആയതു് അതിലെ വിപ്ലവകരമായ ആശയങ്ങളുടെ മഹത്ത്വം കൊണ്ടല്ല, ക്രിസ്തുമതം പ്രചരിപ്പിക്കാന്‍ അശ്രാന്തപരിശ്രമം ചെയ്ത ഒരു പറ്റം ആളുകളുടെ കഴിവു കൊണ്ടാണു്. എന്റെ ഒരു അഭിപ്രായം മാത്രം.

സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ ഒരു ചോദ്യം ഇ-മെയില്‍ വഴി ചോദിച്ചപ്പോഴാണു് പണ്ടുതൊട്ടേ വിചാരിച്ചിരുന്ന “പസില്‍ ബ്ലോഗ്” എന്ന ആശയം ഇവിടെത്തന്നെ തുടങ്ങിയാലോ എന്നു വിചാരിച്ചതു്.

ആശയം ഇതാണു്: രസകരങ്ങളായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ (puzzles) ചോദിച്ചിട്ടു് അവയുടെ ഉത്തരങ്ങള്‍ വിശകലനം ചെയ്യുക. കമന്റുകളിലൂടെ കൂടുതല്‍ വിശകലനങ്ങളും കിട്ടും.

നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക. പ്രധാനമായും ഈ കാര്യങ്ങളില്‍:

1. ഇതു വേണോ?
2. വേണമെങ്കില്‍, മലയാളമോ ഇംഗ്ലീഷോ ഒന്നു കൂടി നല്ലതു്? അതോ രണ്ടും കൂടിയോ?
3. ഈ ബ്ലോഗില്‍ത്തന്നെ വേണോ അതോ വേറൊരു ബ്ലോഗില്‍ വേണോ?

   പസിലുകള്‍ക്കു തന്നെ വേറെ ഒരു ബ്ലോഗാണെങ്കില്‍ ഉള്ള മെച്ചങ്ങള്‍:

   • പല തരം പസിലുകള്‍ പല കാറ്റഗറികളിലാക്കാം.
   • കൂട്ടുബ്ലോഗ് ആക്കാം.
   • കമന്റുകള്‍ മോഡരേറ്റ് ചെയ്യാം (വിക്കി ക്വിസ് ടൈം പോലെ). എന്നിട്ടു് ഒന്നിച്ചു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാം.
   • വേറേ ടെമ്പ്ലേറ്റ് ഉപയോഗിക്കാം.
4. കൂടുതല്‍ ഗണിതജ്ഞാനം ആവശ്യമായ പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഒഴിവാക്കണോ?
5. മലയാളഭാഷയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പ്രശ്നങ്ങള്‍ ചേര്‍ക്കണോ?

ഇതു തുടങ്ങുകയാണെങ്കില്‍ എന്റെ മനസ്സിലുള്ള രീതി ഇതാണു്:

1. പ്രധാനമായും നമ്മള്‍ കേട്ടിട്ടുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ആയിരിക്കും ഉണ്ടായിരിക്കുക. നമ്മള്‍ ചോദ്യവും ഉത്തരവും കേട്ടിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. പക്ഷേ ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി അറിവുണ്ടാവുകയില്ല. അതറിയാന്‍ ഒരു അവസരം.
2. അറിയാവുന്ന രീതികളെക്കാള്‍ എളുപ്പമുള്ള മറ്റു രീതികളുണ്ടാവും. അവയെപ്പറ്റി അറിയുക.
3. ഉത്തരങ്ങള്‍ കമന്റായോ ഇ-മെയിലായോ അയയ്ക്കാം. കമന്റുകള്‍ മോഡറേറ്റു ചെയ്യുകയുമാവാം.
4. നാലഞ്ചു ദിവസം കഴിഞ്ഞു് ഉത്തരം പോസ്റ്റില്‍ത്തന്നെ ചേര്‍ക്കുക. ഒന്നിലധികം നല്ല ഉത്തരങ്ങളുണ്ടെങ്കില്‍ എല്ലാം ചേര്‍ക്കുക. വേണമെങ്കില്‍ ശരിയുത്തരം അയച്ചവരുടെ പേരുകളും ചേര്‍ക്കാം.
5. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ തുടങ്ങിയ ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ ശ്ലോകത്തില്‍ ചോദിച്ച ചോദ്യങ്ങളും ചേര്‍ക്കാം. അവയില്‍ പലതും ഈ ബ്ലോഗില്‍ ഈ കാറ്റഗറിയില്‍ മുമ്പു പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

അഭിപ്രായങ്ങള്‍ അറിയിക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിനു്, രണ്ടു ലളിതമായ ചോദ്യങ്ങള്‍:

1. പന്ത്രണ്ടു മണിക്കു് മണിക്കൂര്‍ സൂചിയും മിനിട്ടു സൂചിയും ഒരേ ദിശയിലേക്കു ചൂണ്ടിയിരിക്കുമെന്നറിയാമല്ലോ. അതു കഴിഞ്ഞു് എത്ര സമയം കഴിഞ്ഞാല്‍ അതേ സ്ഥിതി വരും?

   1:05-നും 1:10-നും ഇടയ്ക്കാണെന്നറിയാം. കൃത്യമായി എത്ര സമയം എന്നു പറയണം. (സെക്കന്റ് സൂചി പരിഗണിക്കേണ്ട).

2. മൂന്നു പെട്ടികള്‍. മൂന്നിലും ആഭരണങ്ങള്‍. മൂന്നിന്റെ പുറത്തും ലേബലുണ്ടു്. “സ്വര്‍ണ്ണം മാത്രം”, “വെള്ളി മാത്രം”, “സ്വര്‍ണ്ണവും വെള്ളിയും” എന്നു മൂന്നു ലേബലുകള്‍. മൂന്നു പെട്ടിയിലും തെറ്റായ ലേബലാണുള്ളതെന്നു നമ്മളോടു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നുനോക്കാന്‍ നമുക്കു് അനുവാദമുണ്ടു്. ഒരു പെട്ടി മാത്രം തുറന്നു നോക്കിയിട്ടു് മൂന്നു പെട്ടിയുടെയും ലേബല്‍ ശരിയാക്കണം. എങ്ങനെ?

കട്ടിയുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ പിന്നെ ചോദിക്കാം. ഈ രണ്ടെണ്ണത്തിന്റെ ഉത്തരം ഇപ്പോള്‍ കണ്ടുപിടിക്കണമെന്നില്ല.

ശാസ്ത്രപ്രമാണങ്ങളുടെ പിതൃത്വം നിശ്ചയിക്കുന്നതു രണ്ടു കാര്യം നോക്കിയാണു്-ആരാണു് അതു് ആദ്യം പറഞ്ഞതെന്നു നോക്കിയും, ആരാണു് അതു് ആദ്യം തെളിയിച്ചതെന്നു നോക്കിയും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പൊതുവേ തെളിയിച്ച ആളിന്റെ പേരിലാണു സിദ്ധാന്തങ്ങളൊക്കെ. വളരെക്കാലം തെളിയിക്കപ്പെടാതെ കിടന്ന പല സിദ്ധാന്തങ്ങളും ആദ്യം പറഞ്ഞവരുടെ പേരിലും അറിയപ്പെടാറുണ്ടു്. ഫെര്‍മയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം (Fermat’s last theorem) ഒരുദാഹരണം.

ഈ പ്രശ്നം സംഭവിച്ച ഒരു പഴയ സിദ്ധാന്തമാണു് മട്ടത്രികോണസിദ്ധാന്തം. അതായതു്, ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ (Right angled triangle) കര്‍ണ്ണം വശമായി ഒരു സമചതുരം വരച്ചാല്‍ അതിന്റെ വിസ്താരം മറ്റു രണ്ടു വശങ്ങളിലും വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്താരത്തിന്റെ തുകയോടു തുല്യമാണെന്നുള്ള സിദ്ധാന്തം. ഇതിന്റെ പിതൃത്വം ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന പിഥഗോറസില്‍ (Pythagoras-ക്രി. മു. ആറാം ശതകം) ആണു കെട്ടിവെച്ചിരിക്കുന്നതു്. ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി തെളിയിച്ചതു് ഗ്രീക്ക് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന യൂക്ലിഡ് (ക്രി. മു. നാലാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. (ക്രി. മു. ആറാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ എഴുതപ്പെട്ട ആപസ്തംബശുല്ബസൂത്രത്തില്‍ ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ ഒരു ജ്യാമിതീയ ഉപപത്തിയുണ്ടു്‌. പക്ഷേ, ആപസ്തംബശുല്ബസൂത്രത്തിനു്‌ അത്ര പഴക്കമില്ല എന്നൊരു വാദമുണ്ടു്‌. അതിനാല്‍ ആദ്യം ഇതു തെളിയിച്ചതു്‌ യൂക്ലിഡ് ആണെന്നു തന്നെ പറയാം.)

ആദ്യമായി ആരാണിതു പറഞ്ഞതു് എന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അതൊരു കഥയാണു്.

പിഥഗോറിയന്‍ ത്രയങ്ങള്‍ എന്നറിയപ്പെടുന്ന സംഖ്യാത്രയങ്ങളെപ്പറ്റി (3, 4, 5; 5, 12, 13 തുടങ്ങിയവ) ക്രിസ്തുവിനു നാല്പതു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു മുമ്പേ മനുഷ്യര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നു എന്നാണു വിക്കിപീഡിയ പറയുന്നതു്. ഏതായാലും പിരമിഡുകള്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈജിപ്തുകാര്‍ മട്ടകോണം ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഇത്തരം സംഖ്യാത്രയങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു എന്നാണു വിദഗ്ദ്ധമതം.

ഈ സിദ്ധാന്തം ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു് ഭാരതത്തില്‍ വേദകാലഘട്ടത്തില്‍ (ഇതിനെയാണു് Vedic Mathematics എന്നു വിളിക്കേണ്ടതു്; അല്ലാതെ പുരി ശങ്കരാചാര്യര്‍ അടുത്ത കാലത്തെഴുതിയെന്നു പറയപ്പെടുന്ന തട്ടിപ്പിനെയല്ല.) ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളിലൊരെണ്ണം എഴുതിയ ബോധായനനാണു്. (ക്രി. മു. പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്). ആപസ്തംബശുല്‍ബസൂത്രത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

സമചതുരശ്രസ്യക്ഷ്ണയാ രജ്ജു ദ്വിഷ്ടാവതിം ഭൂമിം കരോതി

സമചതുരത്തിന്റെ കര്‍ണ്ണം വശമായി വരയ്ക്കുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്താരം ഇരട്ടിയായിരിക്കും എന്നര്‍ത്ഥം.

കൂടാതെ, ഏതു മട്ടത്രികോണത്തിനും ഇതു ബാധകമാണെന്നും പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്:

ദീര്‍ഘചതുരശ്രസ്യക്ഷ്ണയാ രജ്ജുഃ പാര്‍ശ്വമാനി തിര്യന്മാനി ച യത്പൃഥഗ്ഭൂതേ കുരുതസ്തദുഭയം കരോതി

ദീര്‍ഘചതുരത്തിന്റെ നീളത്തിന്റെയും വീതിയുടെയും സമചതുരങ്ങളുടെ വിസ്തീര്‍ണ്ണം കൂട്ടിയാല്‍ കര്‍ണ്ണത്തിന്റെ സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണ്ണമാകും എന്നര്‍ത്ഥം.

ഇതു തന്നെ മട്ടത്രികോണസിദ്ധാന്തം. ശുല്‍ബസൂത്രമാണെന്നു തോന്നുന്നു ആദ്യമായി ഇതു രേഖപ്പെടുത്തിയതു്. (ഒരു പക്ഷേ, അതിനു മുമ്പു തന്നെ ഇതിനെപ്പറ്റി അറിവുണ്ടായിരുന്നിരിക്കണം.) ആദ്യം തെളിയിച്ചതു യൂക്ലിഡും. രണ്ടായാലും പിഥഗോറസിന്റേതല്ല.

പെല്‍ സമവാക്യം എന്നു വിളിക്കുന്ന ഒന്നുണ്ടു് സംഖ്യാശാസ്ത്രത്തില്‍.

എന്നതാണതു്. ഇവിടെ x, y എന്നിവ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായി കണ്ടുപിടിക്കണം. D തന്നിട്ടുള്ള, പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമല്ലാത്ത ഒരു സംഖ്യയാണു്. (പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാണെങ്കില്‍ x, y ഇവയ്ക്കു 1, -1, 0 എന്നീ മൂല്യങ്ങളേ ഉണ്ടാവുകയുള്ളൂ.)

പ്രശസ്ത ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന ഓയ്‌ലര്‍ (Leonard Euler) ആണു് ഇതിനെ ജോണ്‍ പെല്‍ എന്ന ഗണിതജ്ഞനുമായി ബന്ധപ്പെടുത്തിയതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇതു കണ്ട പെല്‍ അമ്പരന്നിട്ടുണ്ടാവണം. കാരണം, ഇതിന്റെ തിയറിയ്ക്കു് പെല്‍ കാര്യമായി ഒന്നും ചെയ്തിട്ടില്ല എന്നതാണു വാസ്തവം.

ഇതു വളരെ പഴയ പ്രശ്നമാണു്. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ കന്നാലിച്ചോദ്യം വിശകലനം ചെയ്താല്‍ (ഇതു് ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റേതാണോ എന്നു പലര്‍ക്കും സംശയമുണ്ടു്.)

എന്ന സമവാക്യം കിട്ടും. ആര്‍ക്കിമിഡീസിന്റെ കാലത്തു് ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ കഴിയുമായിരുന്നു എന്നു തോന്നുന്നില്ല. പിന്നീടും ഗണിതജ്ഞര്‍ പരസ്പരം മത്സരബുദ്ധ്യാ ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഇടുമായിരുന്നു.

ഇതു നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള പൂര്‍ണ്ണമായ വഴി ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു ലെഗ്രാന്‍‌ഗെ (പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണെന്നാണു പാശ്ചാത്യഗണിതചരിത്രം പറയുന്നതു്. തുടര്‍ഭിന്നങ്ങള്‍ (continued fractions) ഉപയോഗിച്ചു് ഇതിന്റെ കൃത്യവും സമഗ്രവുമായ ഒരു നിര്‍ദ്ധാരണരീതി അദ്ദേഹം പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. പെല്ലിനു പകരം ഇദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരാണു വരേണ്ടിയിരുന്നതു്.

പിതൃത്വം പിഴച്ചെന്നു പാശ്ചാത്യര്‍ സമ്മതിക്കുന്ന ഈ സിദ്ധാന്തത്തിന്റെ പിതൃത്വം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതില്‍ അവര്‍ ഒന്നുകൂടി പിഴച്ചു എന്നതാണു സത്യം. ക്രി. പി. ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ബ്രഹ്മഗുപ്തന്‍ ഈ സമവാക്യം നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഒരു വഴി കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. പിന്നീടു ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) അതിനെ പരിഷ്കരിച്ചു സരളമാക്കി. “ചക്രവാളരീതി” എന്നാണു് അതിന്റെ പേരു്. (ഞാന്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരെ മാത്രമേ വായിച്ചിട്ടുള്ളൂ. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ കൃതികളൊന്നും കണ്ടിട്ടില്ല.)

ചക്രവാളരീതി വിശദീകരിക്കാന്‍ ഒരു വലിയ പോസ്റ്റ് തന്നെ വേണം. അതു മറ്റൊരിക്കലാവാം. എങ്കിലും ഇത്രയും പറയട്ടേ.

ഒരു കരണിയുടെ (surd) തുടര്‍ഭിന്നവികസനം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രരീതിയുണ്ടു്. ഇതും ലെഗ്രാന്‍‌ഗെ കണ്ടുപിടിച്ചതു തന്നെ. (ഒരു റെഫറന്‍സു തരാന്‍ ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ ഇതു കാണുന്നില്ല.) മുകളില്‍ക്കൊടുത്ത സമവാക്യത്തിന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണത്തില്‍ ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന രീതി തന്നെയാണു ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ചക്രവാളരീതി. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ക്കു തുടര്‍ഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റിയും അവ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സരളരീതിയെപ്പറ്റിയും അറിയാമായിരുന്നു എന്നാണു് ഇതില്‍ നിന്നു മനസ്സിലാക്കെണ്ടതു്.

ഭാരതീയാചാര്യന്മാര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച എന്തെങ്കിലും ഒരു കാര്യം ഉദ്ധരിച്ചു് അതിനു പിന്നിലുള്ള എല്ലാ തിയറിയും അവര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നും എന്നു പറയുന്ന ഒരു പ്രവണതയുണ്ടു്. (വിമാനവും ആറ്റം ബോംബും ഉദാഹരണം. സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ തെളിവുകള്‍ മറ്റൊന്നു്.) ഇതു് അത്തരത്തിലൊന്നല്ല എന്നു പറഞ്ഞുകൊള്ളട്ടേ. തുടര്‍ഭിന്നങ്ങളെപ്പറ്റി അറിയാതെ ചക്രവാളരീതി എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കും എന്നതിനു് എനിക്കു് ഒരു വിശദീകരണവും തോന്നുന്നില്ല.

എങ്കിലും ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ ഇതിനെ ഇപ്പോഴും Pell’s equation എന്നു വിളിക്കുന്നു.

Binomial coefficients ക്രമമായി കിട്ടാന്‍ ബ്ലൈസ് പാസ്കല്‍ പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു സൂത്രമുണ്ടു്. പാസ്കല്‍ ത്രിഭുജം എന്നാണു് അതറിയപ്പെടുന്നതു്. ഇതു പിംഗളസൂത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഹലായുധന്‍ (പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്) ഖണ്ഡമേരു (മേരുപ്രസ്തം) എന്ന പേരില്‍ പറയുന്നുണ്ടു്. ഓരോ ഛന്ദസ്സിലും നിശ്ചിത എണ്ണം ഗുരു (അല്ലെങ്കില്‍ ലഘു) വരുന്ന വൃത്തങ്ങളുടെ എണ്ണം കണ്ടുപിടിക്കാനാണു് ഇതുപയോഗിക്കുന്നതു്. പാസ്കല്‍ ത്രിഭുജത്തിന്റെ രൂപത്തിലല്ലെങ്കിലും ഇതേ കാര്യം തന്നെ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പിംഗളന്‍ (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) തന്നെ മാര്‍ഗ്ഗം കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്. ഇവയെപ്പറ്റി വിശദമായ ഒരു ലേഖനം (ഈ ലേഖനത്തിന്റെ രണ്ടാം ഭാഗം) എഴുതാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് കൂടുതലായി ഇവിടെ വിശദീകരിക്കുന്നില്ല.

ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തില്‍ പാസ്കല്‍ തന്നെ കണ്ടുപിടിച്ചതും പിന്നീടു ഐസക് ന്യൂട്ടന്‍ സാമാന്യവത്കരിച്ചതുമായ Binomial theorem പിംഗളന്റെ സംഭാവനയാണെന്നു് തെറ്റായ ഒരു വാദമുണ്ടു്. ഒന്നിലധികം വസ്തുക്കള്‍ കലരുമ്പോള്‍ ഉണ്ടാകുന്ന വ്യത്യസ്തവിധങ്ങള്‍ (Combinations) കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനുള്ള രീതിയാണു പിംഗളന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം. ബൈനോമിയല്‍ തിയറമാകട്ടേ

എന്നും. ഇതിന്റെ ഓരോ പദത്തിന്റെയും ഗുണകങ്ങള്‍ (Coefficients)--കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു പിംഗളന്റെ രീതിയില്‍ നിന്നു കിട്ടുക. അല്ലാതെ അവയെ എന്നതിന്റെ വികസനവുമായി യോജിപ്പിക്കുന്ന ബൈനോമിയല്‍ തിയറമല്ല. എങ്കിലും ഈ തെറ്റായ അവകാശവാദം വിക്കിപീഡിയയിലും കാണാം. ഈ ലേഖനത്തില്‍ പാസ്കലിനു മുമ്പേ ഇതു പിംഗളനും പിന്നീടു ചൈനീസ് ഗണിതജ്ഞനായിരുന്ന യാങ് ഹുയിയും (പതിമൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) പേര്‍ഷ്യയിലെ ഒമാര്‍ ഖയ്യാമും (പതിനൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്. റുബായിയാത്ത് എഴുതിയ കവി തന്നെ-അദ്ദേഹം ഗണിതജ്ഞനുമായിരുന്നു.) കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നും പറയുന്നു. എത്രത്തോളം ശരിയാണെന്നറിയില്ല.

കലനം (Calculus) കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിനടുത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടതെന്നു പറയുന്ന പല അനന്തശ്രേണികളും ഭാരതീയഗണിതജ്ഞരുടെ സംഭാവനയാണെന്നു് ഞാന്‍ നേരത്തേ പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. (എന്റെ ഗ്രിഗറിസായ്പും മാധവനും, ഗ്രിഗറി/മാധവശ്രേണിയുടെ സാമാന്യരൂപം, ചില അനന്തശ്രേണികള്‍, അനന്തശ്രേണികളുടെ സാധുത എന്നീ ലേഖനങ്ങള്‍ കാണുക.) അവ മറ്റു പലരുടെയും പേരിലാണു് അറിയപ്പെടുന്നതു്.

നിത്യജീവിതത്തില്‍ നിന്നുള്ള കുറേ സംഖ്യകള്‍ എടുത്തിട്ടു് (ഇവ റാന്‍ഡം നമ്പരുകള്‍ അല്ല എന്നു പ്രത്യേകം ശ്രദ്ധിക്കുക) അവയുടെ ആദ്യത്തെ (പൂജ്യമല്ലാത്ത) അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം എണ്ണി നോക്കിയാല്‍ ഏതക്കമായിരിക്കും കൂടുതല്‍? 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ഏകദേശം ഒരേ എണ്ണം ഉണ്ടാവുമോ? (ഇതിനോടു സദൃശമായ ഒരു പ്രശ്നം സന്തോഷിന്റെ റാന്‍‌ഡം നമ്പരുകള്‍ എന്ന പോസ്റ്റിലുണ്ടു്.) അല്ല എന്നാണൊരു കണ്ടുപിടിത്തം. 1 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ ആദ്യത്തെ അക്കമായി വരാനുള്ള സാദ്ധ്യത യഥാക്രമം 30.1%, 17.6%, 12.5%, 9.1%, 7.9%, 6.7%, 5.8%, 5.1%, 4.6% ആയിരിക്കുമത്രേ. (മറ്റക്കങ്ങള്‍ക്കും ഇതുപോലെയുള്ള തിയറിയുണ്ടു്.) കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ഈ ലേഖനം കാണുക.

ഈ സിദ്ധാന്തത്തെ ബെന്‍ഫോര്‍ഡിന്റെ നിയമം (Benford’s law) എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഫ്രാങ്ക് ബെന്‍ഫോര്‍ഡ് എന്ന അമേരിക്കന്‍ ഊര്‍ജ്ജതന്ത്രജ്ഞന്‍ 1938-ല്‍ ആദ്യമായി പറഞ്ഞു എന്നു ചിലര്‍ പറഞ്ഞതു കൊണ്ടാണു് ആ പേരു വന്നതു്. എന്നാല്‍ ഇതു് ആദ്യമായി പറഞ്ഞതു് 1881-ല്‍ Simon Newcomb ആണു്. ആദ്യമായി തെളിയിച്ചതു് Theodore P. Hill എന്ന ഗണിതജ്ഞനും-1988-ല്‍. (പ്രൊഫ. ഹില്ലിന്റെ പേപ്പറുകള്‍ ഇവിടെ കാണാം. ഈ സിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി പല പേപ്പറുകളും അവിടെയുണ്ടു്.)

പോല്യ എന്യൂമറേഷന്‍ തിയറം എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തമുണ്ടു്. ഹംഗറിയില്‍ നിന്നു് അമേരിക്കയിലേക്കു കുടിയേറിപ്പാര്‍ത്ത ജോര്‍ജ് പോല്യ എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ 1936-ല്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതു കൊണ്ടാണു് ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു് ഈ പേരു കിട്ടിയതു്. ഇതിനും ഒന്‍പതു കൊല്ലം മുമ്പേ ജെ. എഛ്. റെഡ്‌ഫീല്‍ഡ് എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കുകയും അമേരിക്കന്‍ ജേണല്‍ ഓഫ് മാത്തമാറ്റിക്സില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നു.

ഇങ്ങനെ അനവധിയനവധി സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടു് കണ്ടുപിടിച്ചവന്റെ പേരിലല്ലാതെ അറിയപ്പെടുന്നവ.

ഇതിന്റെ അങ്ങേയറ്റം

“ശാസ്ത്രീയമായ ഒരു കണ്ടുപിടിത്തവും അതു കണ്ടുപിടിച്ച ആളിന്റെ പേരിലല്ല അറിയപ്പെടുന്നതു്…”

എന്നു പറയുന്ന Stigler’s law of eponymy എന്ന സിദ്ധാന്തമാണു്. ഇതിന്റെ ആവിഷ്കാരകനെന്നറിയപ്പെടുന്ന സ്റ്റിഗ്ലര്‍ (ഇദ്ദേഹം യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ഷിക്കാഗോയിലെ ഒരു സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ് പ്രൊഫസറാണു്) പറയുന്നതു് ഇതു യഥാര്‍ത്ഥത്തില്‍ ആവിഷ്കരിച്ചതു് അമേരിക്കന്‍ സാമൂഹികശാസ്ത്രജ്ഞനായ Robert K. Merton ആണെന്നാണു്!

ഈ സിദ്ധാന്തം അതിന്റെ തന്നെ ഉദാഹരണമാണെന്നു സാരം.

ഭാരതീയഗണിതത്തിന്റെ ഒരു പ്രത്യേകത ഫലങ്ങള്‍ മാത്രമേ രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നുള്ളൂ എന്നതാണു്. ഈ ഫലങ്ങളല്ലാതെ അവയിലെത്തിച്ചേരാനുള്ള ഗണിതക്രിയകള്‍ പലപ്പോഴും ആചാര്യന്മാര്‍ രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നില്ല. സാമാന്യജനത്തിനു മനസ്സിലാക്കാന്‍ പ്രയാസമുള്ളതുകൊണ്ടോ ഓലയില്‍ അവയൊക്കെ എഴുതുന്നതു് അനാവശ്യമാണെന്നു കരുതിയതുകൊണ്ടാണെന്നു തോന്നിയതുകൊണ്ടോ പ്രായോഗികതയ്ക്കു മാത്രം പ്രാധാന്യം കൊടുത്തതുകൊണ്ടോ രേഖപ്പെടുത്താന്‍ സൗകര്യത്തിലുള്ള സങ്കേതത്തിന്റെ (notation) അഭാവം കൊണ്ടോ ആയിരിക്കാം ഫലങ്ങള്‍ മാത്രം ശ്ലോകങ്ങളും സൂത്രങ്ങളും വഴി രേഖപ്പെടുത്തിയിരുന്നതു്.

ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന പിംഗളന്‍ (പണ്ഡിതര്‍ ക്രി. മു. അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു മുതല്‍ ക്രി. മു. ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ പിംഗളന്റെ കാലമായി പറയുന്നുണ്ടു്.) എഴുതിയ ഛന്ദസൂത്രങ്ങളില്‍ പില്‍ക്കാലത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട അനവധി ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളുടെ കാതലുണ്ടു്. ലഘു, ഗുരു എന്നു രണ്ടുതരം അക്ഷരങ്ങളുടെ വിന്യാസങ്ങളുടെ തത്ത്വങ്ങള്‍ മാത്രം പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതുകൊണ്ടു മുഴുവന്‍ സിദ്ധാന്തങ്ങളും നമുക്കു കിട്ടിയിട്ടില്ല.

പില്‍ക്കാലത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ടിട്ടുള്ള ദ്വ്യങ്കഗണിതം (binary number system and arithmetic-ക്രി. പി. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്), ബൈനോമിയല്‍ സിദ്ധാന്തം(binomial theorem-ക്രി. പി. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) തുടങ്ങിയവയുടെ ഉപജ്ഞാതാവു് പിംഗളനാണെന്നു വിക്കിപീഡിയ വരെ പറയുന്നുണ്ടു്. അതൊരല്പം കടന്ന കയ്യാണെന്നാണു് എന്റെ അഭിപ്രായം. രണ്ടിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയുള്ള പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകളുടെ തിയറി ഉണ്ടാക്കി എന്നു പറയുകയാവും കൂടുതല്‍ ശരി. ദ്വ്യങ്കഗണിതവും ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലുള്ളതായതുകൊണ്ടു് അതിലെ പല നിയമങ്ങളും ഇവിടെ കാണാം എന്നു മാത്രം.

പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതു് പിംഗളനാണെന്നും ഒരു വാദമുണ്ടു്. അദ്ദേഹം ശൂന്യത്തെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ഒരു ചിഹ്നം ഉപയോഗിച്ചു എന്നു മാത്രമേ ഉള്ളൂ. പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള സ്ഥാനീയമൂല്യരീതി (place value system) പിന്നെയും പല നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു ശേഷമാണു് (ഭാരതത്തില്‍ത്തന്നെ-ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ കാലത്തു് ക്രി. പി. ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍) ഉണ്ടായതു്. അന്നേ പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയാന്‍ പറ്റൂ.

പ്രസ്താരം, നഷ്ടം, ഉദ്ദിഷ്ടം, ലഗം എന്നു നാലുവിധം ഗണിതക്രിയകളാണു പിംഗളന്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്. അവയില്‍ ആദ്യത്തെ മൂന്നു ക്രിയകളാണു് ഈ ലേഖനത്തിന്റെ പ്രതിപാദ്യം. ലഗക്രിയ അടുത്ത ലേഖനത്തില്‍.

കുറിപ്പു്: ഇതില്‍ ഉദ്ധരിച്ചിരിക്കുന്ന ശ്ലോകങ്ങളും രീതികളും ഏ. ആര്‍. രാജരാജവര്‍മ്മയുടെ വൃത്തമഞ്ജരിയില്‍ നിന്നു് എടുത്തിട്ടുള്ളവയാണു്. ഇതു് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യത്തില്‍ രചിക്കപ്പെട്ട പുസ്തകമാണു്. അതിനാല്‍ ഇതിനെ മാത്രം അടിസ്ഥാനമാക്കി പിംഗളന്‍ ഈ ഗണിതരീതികള്‍ ഉണ്ടാക്കി എന്നു പറയുന്നതു തെറ്റാണു്. എങ്കിലും പിംഗളന്റെ ഛന്ദസൂത്രത്തിലും ക്രി. പി. പത്താം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ജീവിച്ചിരുന്ന ഹലായുധന്റെ വ്യാഖ്യാനത്തിലും ഇവ ഉണ്ടെന്നുള്ള വിവരം മറ്റു സ്രോതസ്സുകളില്‍ നിന്നു കിട്ടിയതു കൊണ്ടാണു് ഇവിടെ ഇവ വിവരിക്കുന്നതു്. ഛന്ദസൂത്രവും ഹലായുധവ്യാഖ്യാനവും കിട്ടിയാല്‍ വിശദവിവരങ്ങള്‍ എഴുതാം.

സൌകര്യത്തിനായി നമുക്കു ഗുരുവിനെ 0 എന്നും ലഘുവിനെ 1 എന്നും രേഖപ്പെടുത്താം. ദ്വ്യങ്കഗണിതത്തിന്റെയും (binary arithmetic) ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തിന്റെയും മറ്റും സാദൃശ്യം വ്യക്തമാക്കാനാണു് ഈ സങ്കേതം.

പ്രസ്താരം:

ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം അക്ഷരങ്ങളുള്ള ഛന്ദസ്സിലെ എല്ലാ വൃത്തങ്ങളെയും കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു പ്രസ്താരം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, n ഏതു മൂല്യമെടുത്താലും _nP₂ പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകളെയും ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഈ രീതി സഹായിക്കും.

ആദ്യത്തേ വരിയാകവേ ഗുരു, വതിന്‍ കീഴോട്ടു കീഴോട്ടു പി-
ന്നാദ്യത്തേ ഗുരു നീക്കി വെയ്ക്കുക ലഘും, ശേഷം നടേത്തേതു താന്‍
മുന്‍ സ്ഥാനങ്ങളിരിക്കിലത്ര ഗുരു താന്‍ വെപ്പൂ, തുടര്‍ന്നിത്തരം
ചെയ്യേണം ക്രിയയങ്ങു സര്‍വ്വലഘുവാം പാദം ലഭിക്കും വരെ.

അതായതു്,

1. ആദ്യത്തെ വൃത്തമായി എല്ലാം ഗുരുവായ വൃത്തം എഴുതുക.
2. അടുത്ത വൃത്തം കിട്ടാന്‍ തൊട്ടു തലേ വൃത്തത്തിന്റെ ആദ്യത്തെ ഗുരു മാറ്റി ലഘു വയ്ക്കുകയും അതിനു മുമ്പുള്ള ലഘുക്കളെയെല്ലാം ഗുരുക്കളാക്കുകയും ചെയ്യുക. ശേഷമുള്ളവ മാറ്റണ്ട.
3. എല്ലാം ലഘുവായ വൃത്തം കിട്ടിയാല്‍ നിര്‍ത്തുക.

ഉദാഹരണമായി, നാലക്ഷരമുള്ള ഛന്ദസ്സിന്റെ പ്രസ്താരം താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, (N-1)ന്റെ binary representation ആണു് അതാതു വരിയില്‍ എന്നു കാണാം, വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തേക്കു വായിച്ചാല്‍. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, ദ്വ്യങ്കഗണിതത്തില്‍ അടുത്ത സംഖ്യ ഉണ്ടാക്കാന്‍ ഉപയോഗിക്കുന്ന അല്‍ഗരിതം തന്നെയാണു് ഇവിടെ അടുത്ത വൃത്തം കണ്ടുപിടിക്കാനും ഉപയോഗിക്കുന്നതു് എന്നര്‍ത്ഥം.

നഷ്ടം:

മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന രീതിയില്‍ എഴുതിയാല്‍ ഒരു പ്രത്യേക സംഖ്യയ്ക്കു നേരേ വരുന്ന വൃത്തമേതെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള രീതിയാണു നഷ്ടം. മറ്റൊരു രീതിയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ N എന്ന സംഖ്യ തന്നാല്‍ (N-1)ന്റെ binary representation കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴി.

നഷ്ടാങ്കം സമമെങ്കിലാദി ലഘുവാ, മല്ലെങ്കില്‍ മറ്റേതുമാ-
മര്‍ദ്ധിച്ചും പുനരിക്രമത്തിലെഴുതൂ വര്‍ണ്ണം ലഗം വന്ന പോല്‍
ഓജത്തില്‍ പുനരൊന്നു ചേര്‍ത്തിഹ മുറിക്കേണം സദാ മേല്‍ക്കുമേല്‍
ഛന്ദസ്സിന്‍ പടിയുള്ള വര്‍ണ്ണമഖിലം വന്നാല്‍ നിറുത്താം ക്രിയ.

ഇതു് ഇങ്ങനെ സംഗ്രഹിക്കാം:

1. സംഖ്യ ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ആദ്യത്തെ അക്ഷരം ലഘുവാണു്-ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ഗുരുവും.
2. ഇരട്ടസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ പകുതി കാണുക. ഒറ്റസംഖ്യയാണെങ്കില്‍ ഒന്നു കൂട്ടിയിട്ടു പകുതി കാണുക.
3. ഇങ്ങനെ കിട്ടിയ സംഖ്യയെ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ ക്രിയ തന്നെ ചെയ്യുക. പിന്നീടുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ കിട്ടും.
4. ആവശ്യത്തിനു് അക്ഷരമായാല്‍ നിര്‍ത്തുക.

ഉദാഹരണമായി, നാലക്ഷരമുള്ള ഛന്ദസ്സിലെ പതിനൊന്നാമത്തെ വൃത്തം കണ്ടുപിടിക്കണം എന്നിരിക്കട്ടേ. ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം.

• 11 ഒറ്റസംഖ്യയായതിനാല്‍ ആദ്യത്തെ അക്ഷരം ഗുരു (0).
• അടുത്ത സംഖ്യ (11+1)/2 = 6. അതു് ഇരട്ടസംഖ്യയായതിനാല്‍ രണ്ടാമത്തെ അക്ഷരം ലഘു (1).
• അടുത്ത സംഖ്യ 6/2 = 3. അതു് ഒറ്റസംഖ്യയായതിനാല്‍ മൂന്നാമത്തെ അക്ഷരം ഗുരു (0).
• അടുത്ത സംഖ്യ (3+1)/2 = 2. അതു് ഇരട്ടസംഖ്യയായതിനാല്‍ നാലാമത്തെ അക്ഷരം ലഘു (1).

അപ്പോള്‍ പതിനൊന്നാമത്തെ വൃത്തം 0101. മുകളിലെ പട്ടികയില്‍ നോക്കിയാല്‍ ഇതു ശരിയാണെന്നു കാണാം.

മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 11-1 = 10ന്റെ ദ്വ്യങ്കരൂപം 1010 ആണു്.

ഈ രീതി ദ്വ്യങ്കഗണിതത്തില്‍ ഒരു സംഖ്യയുടെ ദ്വ്യങ്കരൂപം കണ്ടുപിടിക്കുന്ന അതേ രീതി തന്നെയാണെന്നു കാണാന്‍ കഴിയും.

ഉദ്ദിഷ്ടം:

ഒരു വൃത്തത്തിന്റെ ലക്ഷണം കിട്ടിയാല്‍ അതു് ആ ഛന്ദസ്സില്‍ എത്രാമത്തേതാണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയാണു് ഉദ്ദിഷ്ടം. അതായതു്, ദ്വ്യങ്കരൂപം കിട്ടിയാല്‍ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വിദ്യ എന്നര്‍ത്ഥം.

ഉദ്ദിഷ്ടം പാദമമ്പോടെഴുതി, യതിലെഴുന്നക്ഷരങ്ങള്‍ക്കു മേലാ-
യൊന്നാദ്യം രണ്ടു നാലെട്ടിതി മുറയിലിരട്ടിച്ച ലക്കം കുറിപ്പൂ;
കൂട്ടേണം പിന്നെയൊന്നിച്ചിഹ ലഘുവിനു മേലുള്ള ലക്കങ്ങളെന്നാ-
ലസ്സംഖ്യാതുല്യവൃത്തങ്ങളിഹ കില കഴിഞ്ഞുള്ളതാണിഷ്ടവൃത്തം.

ഈ ശ്ലോകത്തിന്റെ താത്പര്യം ഇങ്ങനെ സംഗ്രഹിക്കാം:

• വൃത്തത്തിന്റെ ലക്ഷണം (ഗുരു ലഘു എന്നിങ്ങനെ) എഴുതുക.
• ഓരോ അക്ഷരത്തിന്റെയും മുകളില്‍ ഇടത്തു നിന്നു വലത്തോട്ടു് 1, 2, 4, 8, … എന്നിങ്ങനെ ഇരട്ടിച്ച സംഖ്യകള്‍ എഴുതുക.
• ലഘുക്കള്‍ക്കു മുകളിലുള്ള സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയിട്ടു് ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ ഉദ്ദിഷ്ടസംഖ്യ കിട്ടും.

ഉദാഹരണത്തിനു്, 0101 (ഗുരു-ലഘു-ഗുരു-ലഘു) എത്രാമത്തെ വൃത്തമാണെന്നു നോക്കാം.

2+8 = 10. ഉദ്ദിഷ്ടസംഖ്യ 10+1 = 11.

ഇതു് 1010 എന്നതു് 10-ന്റെ ദ്വ്യങ്കരൂപമാണെന്നു പറയുന്നതിനു തുല്യമാണു്.

ഇതു് ഏതു നമ്പര്‍ സിസ്റ്റത്തിലും സംഖ്യയുടെ മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയാണു്. (ഇവിടെ ഒന്നിന്റെ വ്യത്യാസം ഉണ്ടെന്നു മാത്രം). ഉദാഹരണത്തിനു് ഇവിടെ നോക്കൂ.

ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാല്‍…

പിംഗളന്റെ ഛന്ദസൂത്രത്തില്‍ പില്‍ക്കാലത്തു കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട പല ഗണിതശാസ്ത്രതത്ത്വങ്ങളുടെയും മൂലരൂപം കാണാം. അതിനെ വൃത്തശാസ്ത്രം (prosody) ആയി കണക്കാക്കിയതു കൊണ്ടു് അതിലെ ഗണിതവശം പലപ്പോഴും കാണാതെ പോയിട്ടുണ്ടു്.

നാലാമത്തെ ക്രിയയായ ലഗക്രിയയെയും അതിനോടു ബന്ധപ്പെട്ട ഖണ്ഡമേരുപ്രസ്താരത്തെയും അവയ്ക്കു പാസ്കല്‍ ത്രികോണം, ബൈനോമിയല്‍ തിയറം എന്നിവയുമായുള്ള ബന്ധത്തെയും പറ്റി പ്രതിപാദിക്കാന്‍ ഒരു പ്രത്യേക പോസ്റ്റ് വേണം. അതു് ഈ വിഭാഗത്തിലെ അടുത്ത പോസ്റ്റില്‍.

ഗൂഢലേഖനശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു രീതിയാണു് അക്ഷരങ്ങള്‍ അങ്ങോട്ടുമിങ്ങോട്ടും മാറ്റിമറിക്കുന്നതു്. അതിന്റെ ഒരു ലളിതമായ രീതിയാണു് ROT13.

A മുതല്‍ M വരെയുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ക്കു പകരം യഥാക്രമം N മുതല്‍ Z വരെയുള്ള അക്ഷരങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കുകയാണു് ഇതിന്റെ രീതി. BAR എന്നതു ONE എന്നാകും, ONE എന്നതു BAR എന്നും. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ക്കു് ROT13 എന്ന വിക്കിപീഡിയ ലേഖനം നോക്കുക.

ഇതിനോടു സദൃശമായ പലതും കേരളത്തിലുണ്ടായിരുന്നു. അതില്‍ പ്രമുഖമാണു മൂലഭദ്ര. ഒളിവില്‍ നടക്കുന്ന കാലത്തു്, ശത്രുവേതു് മിത്രമേതു് എന്നറിയാത്ത ഘട്ടത്തില്‍, തന്ത്രപ്രധാനമായ കാര്യങ്ങള്‍ സംസാരിക്കാന്‍ മാര്‍ത്താണ്ഡവര്‍മ്മ യുവരാജാവും രാമയ്യന്‍ ദളവയും കൂടി ഉണ്ടാക്കിയ ഭാഷ.

ഇംഗ്ലീഷുകാരുടെ ROT13 പോലെ തന്നെ അക്ഷരങ്ങളെ അങ്ങോട്ടുമിങ്ങോട്ടും മാറ്റിമറിച്ചുള്ള രീതിയാണു മൂലഭദ്രയ്ക്കു്. മൂലഭദ്രയുടെ ഫുള്‍ സ്പെസിഫിക്കേഷന്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

അകോ ഖഗോ ഘങശ്ചൈവ
ചടോ ഞണോ തപോ നമഃ
യശോ രഷോ ലസശ്ചൈവ
വഹ ക്ഷള റഴ റ്റന

അതായതു്, താഴെപ്പറയുന്ന അക്ഷരങ്ങളെ പരസ്പരം മാറ്റി ഉപയോഗിക്കുക.

അ – ക
(അതുപോലെ ആ – കാ, ഇ – കി എന്നിങ്ങനെയും. ഇനി വരുന്ന അക്ഷരങ്ങള്‍ക്കും ഇതു ബാധകമാണു്.)

ഖ – ഗ
ഘ – ങ

ച – ട
ഛ – ഠ
ജ – ഡ
ഝ – ഢ
ഞ – ണ

ത – പ
ഥ – ഫ
ദ – ബ
ധ – ഭ
ന – മ

യ ‌- ശ
ര – ഷ
ല – സ
വ – ഹ
ക്ഷ – ള
റ – ഴ
റ്റ (എന്റെ എന്നതിലെ എന്‍ കഴിഞ്ഞാലുള്ളതു്) – ന (നനഞ്ഞു എന്നതിലെ രണ്ടാമത്തെ അക്ഷരം)

ചില കാര്യങ്ങള്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക:

1. അന്നു് ‘ക്ഷ’യെ അക്ഷരമാലയിലെ ഒരു അക്ഷരമായി കരുതിയിരുന്നു. അതൊരു കൂട്ടക്ഷരമായി ഉച്ചരിക്കാതെ നാടന്മാര്‍ ഉച്ചരിക്കുന്നതുപോലെ ഉച്ചരിക്കുക. ഏതാണ്ടൊരു ‘ട്ഷ’ പോലെ. കൂട്ടക്ഷരമായ ‘ക്ഷ’ ‘ള്ള’യുടേത്താണു്.
2. ലിപിയില്ലെങ്കിലും റ്റയെയും നയെയും പ്രത്യേകം പരിഗണിച്ചിരിക്കുന്നതു നോക്കുക. ഇന്നു യൂണിക്കോഡിന്റെ കാലത്തുപോലും മനുഷ്യര്‍ക്കു ബുദ്ധി നേരേ ആയിട്ടില്ല.
3. മൂലഭദ്ര(മൂലഭദ്ര(X)) = X എന്ന നിയമം ഇവിടെയും ബാധകമാണു്.

ചില കൂട്ടക്ഷരങ്ങള്‍ നല്ല ഭംഗിയില്‍ വരും.

ഞ്ച – ണ്ട
മ്പ – ന്ത

തുടങ്ങി.

ഇനി നമുക്കു് ഉദാഹരണങ്ങളിലേക്കു കടക്കാം.

കല – അസ (തിരിച്ചും അങ്ങനെയാണെന്നു പറയേണ്ടല്ലോ)
മനോരമ ആഴ്ചപ്പതിപ്പു് – നറ്റോഷന കാര്‍ട്ടത്തപിത്തു്
തെന്നുന്നു – പെമ്മുമ്മു

ഇനി, ചില വാക്കുകളുടെ മേല്‍ മൂലഭദ്ര നടത്തിയാലും അര്‍ത്ഥമുള്ള വാക്കുകള്‍ കിട്ടും. ഉദാഹരണത്തിനു്,

ഇഞ്ചി – കിണ്ടി
ഇഞ്ചിനീരന്‍ – കിണ്ടിമീശന്‍ (ഇതു പറഞ്ഞുതന്ന അനോണിമൌസിനു നന്ദി)
ഉഷ – കുര
അമ്മേ – കന്നേ (അമ്മയെ ഞാന്‍ ചെറുപ്പത്തില്‍ ഇങ്ങനെ വിളിക്കുമായിരുന്നു. ചേച്ചിയെ കുരട്ടേട്ടി എന്നും.)
അറത്തു് – കഴപ്പു്
കോഴ – ഓറ

എങ്കിലും ചൊറിച്ചുമല്ലല്‍ പോലെ രണ്ടു വിധത്തിലും പൂര്‍ണ്ണ അര്‍ത്ഥമുള്ള വാക്യങ്ങള്‍ മൂലഭദ്രയില്‍ വിരളമാണു്. അസഭ്യവും ഉണ്ടാകാമെങ്കിലും ചൊറിച്ചുമല്ലല്‍ പോലെ ഇല്ല്ല.

പറയാനുള്ള കോഡുഭാഷയാണു മൂലഭദ്ര. എഴുതുമ്പോള്‍ ചില പ്രശ്നങ്ങളുണ്ടു്. “ക്ക” എഴുതുന്നതാണു് ഒരു പ്രശ്നം.

ക്ക = അ് അ
ക്കു = ഉ് ഉ

എന്നിങ്ങനെ. വരമൊഴി, കീമാന്‍, യൂണിക്കോഡ് സ്റ്റാന്ദേര്‍ഡ് തുടങ്ങിയവ മാറ്റിയെഴുതേണ്ടി വരും രണ്ടു സ്വരങ്ങളെ ചന്ദ്രക്കലയിട്ടു യോജിപ്പിച്ചാല്‍ ഒന്നാക്കാതെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ 🙂

സി. വി. രാമന്‍ പിള്ളയുടെ മാര്‍ത്താണ്ഡവര്‍മ്മ എന്ന നോവല്‍ വായിച്ചിട്ടുള്ളവര്‍ക്കു് ഓര്‍മ്മയുണ്ടാവും മാങ്കോയിക്കല്‍ക്കുറുപ്പിന്റെ വീട്ടില്‍ വെച്ചു് മാര്‍ത്താണ്ഡവര്‍മ്മയും പരമേശ്വരന്‍ പിള്ളയും കൂടി ഇതു സംസാരിക്കുന്നതു്.

– ടപിഉ് ഉനോ?
– ലൂള്ളിഅ അഞം.
– തസ്നറ്റാധതുഷപ്പു് കിപ്ഴ ഭൃപിശിസ് കാക്ഷ് കശട്ടപു് കെമ്പിറ്റു്?

എന്നു വെച്ചാല്‍,

– ചതിക്കുമോ?
– സൂക്ഷിക്കണം.
– പത്മനാഭപുരത്തു് ഇത്ര ധൃതിയില്‍ ആള്‍ അയച്ചതു് എന്തിനു്? (ത്മ എന്നതു് ല്മ എന്നാണു് ഉച്ചരിച്ചതു്)

ഇനി നമുക്കു മൂലഭദ്രയില്‍ സംസാരിക്കാം. ഇതിനെ ആദ്യം ആരു മനസ്സിലാക്കും എന്നു നോക്കട്ടേ. ആദ്യം കിട്ടുന്നവര്‍ കമന്റായി ഇടുക.

കീ സേഗറ്റപ്പിറ്റെ കേപു ആന്നഖഴിശിസിചഞനെമ്മു ലന്യശനാശിഷുമ്മു. ധാഷപീശഖഞിപപ്പിസ്പ്പറ്റെ കിചാന്. കെമ്പാശാലുന് ഖൂഝസേഗറ്റയാപ്ഴപ്പിറ്റു ഏഷക്ഷപ്പിറ്റ്നെ ലന്ഢാഹറ്റശസ്സേ!

കാ എഹിറ്റ് കിപു ഹസ്സപുന് കഞ്ചാസ് തഷസ്ത്തേഷിറ്റെറുപിശതോസെ കിപിറ്റുന് കെറുതുന് കൊഷു ത്ഴോഖ്‌ഷാന്. കെറ്റ്നന്നേ!

കുറിപ്പുകള്‍:

1. ഇതു ഞാന്‍ വായിച്ചതു് ഈ. വി. കൃഷ്ണപിള്ളയുടെ ജീവിതസ്മരണകള്‍ എന്ന ആത്മകഥയിലാണു്. അതില്‍ രാമഡായി എന്ന കൂടുതല്‍ സങ്കീര്‍ണ്ണമായ ഭാഷയെപ്പറ്റിയും പറയുന്നുണ്ടു്. “അസ്പാ കദാ ഗഡാ ജസ്താ…” എന്നു പോകുന്നു അതിന്റെ ലക്ഷണം. അ-പ, ക-ദ, ഗ-ഡ, ജ-ത എന്നു് നല്ല കോമ്പ്ലിക്കേറ്റഡ് ആയിത്തന്നെ. കൂടുതല്‍ എന്‍ക്രിപ്ഷന്‍ വേണ്ടവര്‍ക്കു് അതു് ഉപയോഗിക്കാം.
2. ഉള്ളൂര്‍ കേരളസാഹിത്യചരിത്രത്തില്‍ മൂലഭദ്രയെപ്പറ്റി പറയുമ്പോള്‍ അല്പം കൂടി സങ്കീര്‍ണ്ണമാണു ലക്ഷണം. അതു് ആരെങ്കിലും ഉപയോഗിച്ചതായി കണ്ടിട്ടില്ല.

“ഗുരുകുല”ത്തിന്റെ ഭാഗമായ “ഭാരതീയഗണിതം” ബ്ലോഗില്‍ ഭാരതത്തിലെ പ്രാചീനാചാര്യന്മാരുടെ പല കണ്ടുപിടിത്തങ്ങളെപ്പറ്റിയും ഞാന്‍ പ്രതിപാദിച്ചിട്ടുണ്ടു്. ഇതില്‍ നിന്നു ഞാന്‍ പ്രാചീനഭാരതത്തിലെ വിജ്ഞാനം ആധുനികശാസ്ത്രത്തിലുള്ള വിജ്ഞാനത്തെക്കാള്‍ മികച്ചതാണു് എന്നൊരു വിശ്വാസം വെച്ചുപുലര്‍ത്തുന്ന ആളാണെന്നുള്ള ഒരു വിശ്വാസം ചില വായനക്കാര്‍ക്കിടയില്‍ പ്രബലമായിട്ടുണ്ടു്. അങ്ങനെയല്ല എന്നു മാത്രമല്ല, ആ വാദത്തെ ശക്തമായി എതിര്‍ക്കുന്ന ആളാണു ഞാന്‍ എന്നു വ്യക്തമാക്കിക്കൊള്ളട്ടേ.

വേദങ്ങളിലും പിന്നീടുണ്ടായ ആര്‍ഷഗ്രന്ഥങ്ങളിലും ലോകവിജ്ഞാനം മുഴുവനും അടങ്ങിയിരിക്കുന്നു എന്നും, പാശ്ചാത്യവും പൗരസ്ത്യവുമായ യാതൊന്നിനും അതില്‍ നിന്നു മുന്നോട്ടു പോകാന്‍ കഴിഞ്ഞിട്ടില്ലെന്നുമുള്ള ഒരു വിശ്വാസം ഭാരതീയരില്‍ പലര്‍ക്കും ഉണ്ടു്. അസംഖ്യം ഇ-മെയില്‍ സന്ദേശങ്ങളിലൂടെയും വെബ്‌സൈറ്റുകളിലൂടെയും ഇതു ഭാരതീയപൈതൃകത്തെപ്പറ്റി പരിഹാസ്യമായ പ്രസ്താവനകള്‍ നിരത്തിക്കൊണ്ടു പരന്നുകിടക്കുന്നു. അടിസ്ഥാനമോ തെളിവുകളോ ഇല്ലാത്ത വെറും അവകാശവാദങ്ങള്‍ മാത്രമാണു് അവയില്‍ പലതും. “ഭാരതീയഗണിതം” അത്തരമൊരു സ്ഥലമല്ല.

പാശ്ചാത്യവും പൗരസ്ത്യവുമായ ഒട്ടനവധി കേന്ദ്രങ്ങളില്‍ നിന്നു വിജ്ഞാനമാര്‍ജ്ജിച്ചാണു് ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രം വളര്‍ന്നതു്. അതില്‍ ഇന്നുള്ളത്രയും വിജ്ഞാനം ഈ ഒരു കേന്ദ്രത്തിനും ഒറ്റയ്ക്കു് ഇല്ല. ഭാരതത്തിനും അതു ബാധകമാണു്.

ലോകത്തില്‍ വേണ്ടത്ര ശ്രദ്ധ കിട്ടാഞ്ഞ ചില ഭാരതീയസംഭാവനകളെ അവതരിപ്പിക്കാനാണു ഇവിടെ ശ്രമിക്കുന്നതു്. അവയില്‍ത്തന്നെ, പില്‍ക്കാലത്തെ ആരുടെയെങ്കിലും പേരില്‍ കിടക്കുന്ന സിദ്ധാന്തങ്ങളാണു് ഇവിടെ അധികം പ്രതിപാദിക്കുന്നതു്.

സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ അവതരിപ്പിക്കുക മാത്രമല്ല, അവയുടെ നിഷ്പത്തിയോ (derivation) ഉപപത്തിയോ (proof) കൂടി നല്‍കാനാണു ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രം ശ്രമിക്കുന്നതു്. ഇവയിലേതെങ്കിലുമുള്ളവയെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ (theorems) എന്നും ഇല്ലാത്തവയെ അഭ്യൂഹങ്ങള്‍ (conjectures) എന്നും വിളിക്കുന്നു. പല അഭ്യൂഹങ്ങളും പില്‍ക്കാലത്തു സിദ്ധാന്തങ്ങളായിട്ടുണ്ടു്.

പണ്ടുള്ളവര്‍ ഇതിനു പ്രാധാന്യം കൊടുത്തിരുന്നില്ല. ഭാരതീയര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച പല സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെയും നിഷ്പത്തിയോ ഉപപത്തിയോ അവരുടെ കൈവശമുണ്ടായിരുന്നു എന്നു വാസ്തവമാണു്. പക്ഷേ അവ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചിട്ടില്ലാത്തതുകൊണ്ടു അവയെ അഭ്യൂഹങ്ങളില്‍ നിന്നു വേര്‍തിരിച്ചറിയുക വിഷമമാണു്.

ശരിയായ സിദ്ധാന്തങ്ങളോടൊപ്പം തന്നെ തെറ്റായ അനവധി അഭ്യൂഹങ്ങളും ഭാരതീയഗണിതത്തിലുണ്ടു്. അവയില്‍ ചിലതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ശുദ്ധഗണിതം മാത്രമേ ഇവിടെ സൂചിപ്പിക്കുന്നുള്ളൂ. ഭാരതീയജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഇതില്‍ കൂടുതല്‍ തെറ്റുകളുണ്ടു്.

1. വൃത്തപരിധിയും വ്യാസവും തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യയാണെന്നു് വളരെക്കാലം മുമ്പു തന്നെ അറിവുള്ളതാണെങ്കിലും വീരസേനന്‍ (ക്രി. പി. ഒന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടു്) എന്ന ഗണിതജ്ഞന്‍ ധവളടീക എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ അങ്ങനെയല്ല എന്നു പറയുന്നു:
   

   വ്യാസം ഷോഡശഗുണിതം
   ഷോഡശസഹിതം ത്രിരൂപരൂപഭക്തം
   വ്യാസ ത്രിഗുണിതസഹിതം
   സൂക്ഷ്മാദപി തദ്ഭവേത് സൂക്ഷ്മം

   വ്യാസത്തെ 16 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു 16 കൂട്ടി 113 (ത്രി-രൂപ-രൂപ – ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചു്) കൊണ്ടു ഹരിച്ച ഫലം വ്യാസത്തിന്റെ മൂന്നിരട്ടിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ പരിധി സൂക്ഷ്മത്തിലും സൂക്ഷ്മമായി കിട്ടും.

   അതായതു്,

   

   (355/113) എന്നതു പൈയുടെ ഒരു നല്ല മൂല്യമാണു്. എങ്കിലും അനുപാതം സ്ഥിരസംഖ്യയല്ല എന്ന പ്രസ്താവം ശരിയല്ലല്ലോ.

2. ആര്യഭടന്‍ (ക്രി. പി. അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തത്തിനുള്ള സൂത്രവാക്യം കൊടുത്തതു തെറ്റാണു്.
   

   സമപരിണാഹസ്യാര്‍ദ്ധം
   വിഷ്കംഭാര്‍ദ്ധഹതമേവ വൃത്തഫലം
   തന്നിജമൂലേന ഹതം
   ഘനഗോളഫലം നിരവശേഷം

   വൃത്തപരിധിയുടെ പകുതിയെ വ്യാസത്തിന്റെ പകുതി കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. അതിനെ അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ (അതേ വ്യാസമുള്ള) ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കിട്ടും.

   വൃത്തഫലം കാണാനുള്ള സൂത്രവാക്യം ശരി തന്നെ.

   

   പക്ഷേ, ഗോളവ്യാപ്തം കിട്ടാന്‍ അതേ വ്യാസമുള്ള വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്താരത്തെ അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം കൊണ്ടു ഗുണിക്കണം എന്നുള്ളതു തെറ്റാണു്. അതായതു്,

   

   ഇതു് ശരിയായ വ്യാപ്തത്തേക്കാള്‍ 25% കുറവാണു്. ചില ആളുകള്‍ ആര്യഭടന്‍ പൈയുടെ മൂല്യം തെറ്റായി കണക്കാക്കി എന്നു് ഇതിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി പറയുന്നുണ്ടു്. അതു തെറ്റാണു്. ആര്യഭടനു് പൈയുടെ മൂല്യം നാലു ദശാംശസ്ഥാനത്തു ശരിയായി അറിയാമായിരുന്നു. (ഈ പോസ്റ്റു നോക്കുക.) ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഫോര്‍മുലയാണു് ആര്യഭടനു തെറ്റിയതു്.

   ക്യൂബിനെ സംബന്ധിച്ചു് ഇതു ശരിയാണു്. ക്യൂബിന്റെ വ്യാപ്തം (x³) അതേ വശമുള്ള സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്താരത്തെ (x²) അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം (x) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതാണു്. അതില്‍ നിന്നു് ഈ നിയമം ആര്യഭടന്‍ തെറ്റായി അനുമാനിച്ചതാവണം എന്നു് നീലകണ്ഠന്‍ പ്രസ്താവിക്കുന്നുണ്ടു്.

   ഇതു് ഏഴു നൂറ്റാണ്ടിനുമുമ്പു് ഗ്രീസില്‍ ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) കൃത്യമായി പറഞ്ഞിട്ടുള്ളതാണു്. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് ഭാരതത്തില്‍ ഇതു കൃത്യമായി ആദ്യം പറഞ്ഞതു്.

   വൃത്തക്ഷേത്രേ പരിധിഗുണിതവ്യാസപാദം ഫലം; തത്
   ക്ഷുണ്ണം വേദൈരുപരി പരിതഃ കന്ദുകസ്യേവ ജാലം
   ഗോളസ്യൈവം തദപി ച ഫലം പൃഷ്ഠജം; വ്യാസനിഘ്നം
   ഷഡ്‌ഭിര്‍ഭക്തം ഭവതി നിയതം ഗോളഗര്‍ഭേ ഘനാഖ്യം
   
   വൃത്തത്തിന്റെ പരിധിയെ വ്യാസത്തിന്റെ നാലിലൊന്നു കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ ക്ഷേത്രഫലം കിട്ടും. അതിനെ നാലു (വേദം = 4) കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ അതേ വ്യാസമുള്ള ഒരു പന്തിന്റെ ചുറ്റുമുള്ള വിസ്താരം കിട്ടും. അതിനെ വ്യാസം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് ആറു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ വ്യാപ്തം കിട്ടും.

   അതായതു്,

   

   ഇതു് ഒറ്റയടിക്കു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വഴിയും ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്:

   ഘനീകൃതവ്യാസദലം നിജൈക
   വിംശാംശയുഗ്‌ ഗോളഫലം ഘനം സ്യാത്
   
   വ്യാസത്തിന്റെ ഘനത്തിന്റെ പകുതിയോടു് അതിന്റെ ഇരുപത്തിയൊന്നിലൊന്നു കൂട്ടിയാല്‍ വ്യാപ്തമാകും.

   

   പൈയുടെ മൂല്യം (22/7) എന്നെടുത്തുള്ള ഫോര്‍മുലയാണു് ഇതെന്നു വ്യക്തം.

3. സമത്രികോണസ്തൂപത്തിന്റെ (tetrahedron) വ്യാപ്തം ആര്യഭടന്‍ കൊടുത്തിട്ടുള്ളതും തെറ്റാണു്.
   

   ത്രിഭുജസ്യ ഫലശരീരം
   സമദലകോടീഭുജാര്‍ദ്ധസംവര്‍ഗ്ഗഃ
   ഊര്‍ദ്ധ്വഭുജാതര്‍ത്സവര്‍ഗ്ഗാര്‍ദ്ധ
   സ ഘനഃ ഷഡശ്രിരിതി
   
   ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം ഒരു വശത്തിന്റെയും അതിന്റെ കോടിയുടെ (altitude) പകുതിയുടെയും ഗുണനഫലമാണു്. അതിനെ ഉയരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ പകുതിയാണു് ആറു വശമുള്ള സമരൂപത്തിന്റെ വ്യാപ്തം.

   

   ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലത്തിന്റെ സൂത്രവാക്യം ശരിയാണു്. (ഇതു വേദകാലത്തു തന്നെ അറിവുള്ളതാണു് – ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളില്‍ ഇതു പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്) പക്ഷേ ടെട്രാഹീഡ്രന്റെ വ്യാപ്തത്തിന്റേതു തെറ്റാണു്. ത്രിഭുജത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലത്തെ ഉയരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതിന്റെ മൂന്നിലൊന്നാണു വ്യാപ്തം. (ഇതു് എല്ലാ സ്തൂപങ്ങള്‍ക്കും ബാധകമാണു്.)

   

4. ഒരു വൃത്തത്തില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്യാവുന്ന ത്രികോണം, സമചതുരം തുടങ്ങിയവയുടെ വശത്തിന്റെ നീളം ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:
   

   ത്രിദ്വങ്കാഗ്നിനഭശ്ചന്ദ്രൈ-
   സ്ത്രിബാണാഷ്ടയുഗാഷ്ടഭിഃ
   വേദാഗ്നിബാണഖാശ്വൈവ
   ഖഖാഭ്രാഭ്രരസൈഃ ക്രമാത്

   ബാണേഷുനഖബാണൈശ്ച
   ദ്വിദ്വിനന്ദേഷുസാഗരൈഃ
   കുരാമദശവേദൈശ്ച
   വൃത്തേ വ്യാസസമാഹതേ

   ഖഖഖാഭ്രാര്‍ക്കസംഭക്തേ
   ലഭ്യന്തേ ക്രമശോ ഭുജാഃ
   വൃത്താന്തത്ര്യസ്രപൂര്‍വ്വാണാം
   നവാസ്രാന്തം പൃഥക് പൃഥക്

   വൃത്തവ്യാസത്തെ 103923, 84853, 70534, 60000, 52055, 45922, 41031 എന്നിവ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചു് 120000 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ വൃത്തത്തിനുള്ളില്‍ അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്തിരിക്കുന്ന മൂന്നു മുതല്‍ ഒന്‍‌പതു വരെ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശങ്ങള്‍ ക്രമത്തില്‍ കിട്ടും.

   ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചാണു സംഖ്യകള്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്. ഖം = അഭ്രം = നഭ = ആകാശം = 0, കു = ഭൂമി = 1, ചന്ദ്ര = 1, ദ്വി = 2, ത്രി = 3, അഗ്നി = 3, രാമന്‍ (പരശു, ശ്രീ, ബലഭദ്ര) = 3, യുഗം = 4, വേദം = 4, സാഗരം = കടല്‍ = 4, ബാണം = ഇഷു = അമ്പു് = 5, രസം = 6, അശ്വം = കുതിര = 7, അഷ്ട = 8, നന്ദ = 9, ദശ = 10, നഖം = 20 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്നു. വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടു വായിക്കണം എന്നോര്‍ക്കുക.

   ത്രി-ദ്വി-അങ്ക-അഗ്നി-നഭ-ചന്ദ്ര = 1-0-3-9-2-3
   ത്രി-ബാണ-അഷ്ട-യുഗ-അഷ്ട = 8-4-8-5-3
   വേദ-അഗ്നി-ബാണ-ഖ-അശ്വ = 7-0-5-3-4
   ഖ-ഖ-ഖ-അഭ്ര-അഭ്ര-രസ = 6-0-0-0-0
   ബാണ-ഇഷു-നഖ-ബാണ = 5-20-5-5
   ദ്വി-ദ്വി-നന്ദ-ഇഷു-സാഗര = 4-5-9-2-2
   കു-രാമ-ദശ-വേദ = 4-10-3-1

   ഇതനുസരിച്ചു് വ്യാസം 120000 ആയ വൃത്തത്തില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളുന്ന 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 എന്നീ വശങ്ങളുള്ള സമബഹുഭുജങ്ങളുടെ വശത്തിന്റെ നീളങ്ങള്‍ യഥാക്രമം 103923, 84853, 70534, 60000, 52055, 45922, 41031 ആണു്.

   വ്യാസം d ആയ ഒരു വൃത്തത്തില്‍ n വശങ്ങളുള്ള ഒരു സമബഹുഭുജം അന്തര്‍ലേഖനം ചെയ്താല്‍ അതിന്റെ വശത്തിന്റെ നീളം ത്രികോണമിതി ഉപയോഗിച്ചു്

   

   ആണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണു്. അതനുസരിച്ചുള്ള മൂല്യങ്ങള്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നു.

   വശങ്ങളുടെ	ഒരു വശത്തിന്റെ നീളം
   എണ്ണം	ആധുനികഗണിതം	ഭാസ്കരാചാര്യര്‍
   3	103923.0485	103923
   4	84852.8137	84853
   5	70534.2303	70534
   6	60000.0000	60000
   7	52066.0487	52055
   8	45922.0119	45922
   9	41042.4172	41031

   ഇവയില്‍ 7, 9 എന്നിവയൊഴികെയുള്ളവ ശരിയാണു്. (എന്തുകൊണ്ടു് ഇവ രണ്ടും തെറ്റി എന്നതിനെപ്പറ്റി മറ്റൊരു പോസ്റ്റില്‍.) 7, 9 എന്നിവയുടെ മൂല്യങ്ങള്‍ക്കു നല്ല വ്യത്യാസമുണ്ടു്.

ഇതു ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു ശേഷമുള്ള കാര്യം. വേദകാലത്തുള്ള വിജ്ഞാനം ഇതിലും ശുഷ്കമാണു്. അന്നുള്ള വിജ്ഞാനത്തില്‍ മികവു കാട്ടിയിരുന്നു എന്നതു സത്യം. എങ്കിലും വേദഗണിതത്തില്‍ (Vedic Mathematics) ആധുനികഗണിതത്തിലുള്ള പല സിദ്ധാന്തങ്ങളെയും പറ്റി പ്രതിപാദിച്ചിരുന്നു എന്നു പറയുന്നതു പൊള്ളയായ അവകാശവാദമാണു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളിലെ (ഇവയാണു ലോകത്തിലെ ആദ്യത്തെ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങള്‍) മഹത്തായ ഗണിതതത്ത്വങ്ങള്‍ – ഇതില്‍ നാം ഇന്നു പിഥഗോറസ് സിദ്ധാന്തം (Pythagorus theorem) എന്നു വിളിക്കുന്ന തത്ത്വവും ഉള്‍പ്പെടും – ഒഴിച്ചു നിര്‍ത്തിയാല്‍ വേദഗണിതത്തെപ്പറ്റി ഇന്നു പ്രചരിക്കുന്ന പല അവകാശവാദങ്ങളും അബദ്ധപ്പഞ്ചാംഗങ്ങളാണു്. അതിനെപ്പറ്റി വിശദമായ ഒരു ലേഖനം പിന്നീടു്.