Gurukulam | ഗുരുകുലം

The idea – as well as certain metaphors – of this poem, written in 1994, was stolen from a little-known Russian poem, the details of which I forgot.

We are two legs galloping forward,
     We are two eyes beholding the moon,
We are two lips containing a kiss,
     And we are two ears enjoying a tune.

We are two hands that stretch a bow
     And set an arrow to hit an aim,
We are two partners in a mixed doubles,
     Working together to win a game.

We are two sides of a Mobius strip
     Which are the same but still distinct,
We are two lids of a beautiful eye
     Which know to be one when they do want to wink.

We are like childish and matured lives,
     (When one ends and the other begins?)
We are like friendship and love all mixed,
     (Where one transforms to other and wins!).

We are like you and me, my girl,
Two wonderful lives with a common soul!

A poem I wrote in 1994:

I am the sea – no, in fact I am the ocean
     Which you felt terrific;
I often seem to be in power and motion
     But inside cool, pacific.

You are the land – no, in fact are the shore
     On which I budged my lips;
I rose to your forehead but then ebbed to your feet,
     And you never felt my kiss.

You’re very strong and firm in the core
     Peaceful, cool and calm;
But on your surface, you have many pebbles
     Always restless, warm.

They stamped on you, threw dirt on you,
     Making you so sore,
You gave them all the shells you have
     And asked then, “Want some more?”

I always came to give new shells
     To add more glues to you,
I always cared to clean the wounds
     On you, as I withdrew.

In day, you got so hot, I touched
     To keep you cool and calm;
In night, you shivered in cold, I hugged
     To guard you with my warmth.

I absorb anything always slow
     To hold it for a long –
Whether it’s heat or whether it’s love
     Or whether it’s just a song.

I’m not the water that surrounds you,
     But you encircle me,
You’re the shore and my soul and my dream
     On all my sides I see.

Where is the end of of me, you know –
     The last drop you can feel;
Where is the end of you, I know –
     The last pebble I can heel.

My life is not in vain, my friend,
     When I sing for thee,
My song is not waste, when it lends
     Thy lovely lips a glee!

The last stanza is a distant translation of a stanza by the Malayalam poet Sugathakumari. See this post.

ഗുരുകുലം വീണ്ടും സ്ഥലം മാറി. ഇവിടെ നിന്നു് ഇവിടേയ്ക്കു്.

ബുക്ക്മാര്‍ക്കു ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍ ദയവായി തിരുത്തുക.

ആധുനികഭാരതത്തിലെ ഏറ്റവും മഹാനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്നു ശ്രീനിവാസരാമാനുജന്‍. നമ്മുടെ അശാസ്ത്രീയമായ വിദ്യാഭ്യാസസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ബലിയാടായി പരീക്ഷകളില്‍ തോല്‍ക്കുകയും ക്ലാസ്സുകയറ്റം നിഷേധിക്കപ്പെടുകയും ചെയ്തു്, പില്‍ക്കാലത്തു ലോകത്തെമ്പാടുമുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരെ അമ്പരപ്പിച്ച (ഇന്നും അമ്പരപ്പിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കുന്ന) സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ തന്റെ പഴയ വീട്ടിലെ ബെഞ്ചിലിരുന്നു് തന്റെ നോട്ടുബുക്കുകളില്‍ കുറിച്ചിട്ട അസാമാന്യപ്രതിഭാശാലി. ജി. എച്ച്. ഹാര്‍ഡി കണ്ടെത്തിയിരുന്നില്ലെങ്കില്‍ ഇന്നും ഈ “കാന്തിയും മൂല്യവും വാച്ചിടും” രത്നം “ചാണ കാണാതെ” ഭാരതാംബയുടെ കുക്ഷിയില്‍ മറഞ്ഞുപോയേനേ.

രാമാനുജനെപ്പറ്റിയുള്ള കഥകള്‍ പലപ്പോഴും അതിഭാവുകത്വത്തിലേക്കു കടക്കാറുണ്ടു്. പലപ്പോഴും അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞാനത്തെയും കഴിവിനെയും സത്യസന്ധമായി വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിനു പകരം, അദ്ദേഹത്തെ ഒരു അമാനുഷനാക്കുന്ന കഥകളാണു നാം കേള്‍ക്കുന്നതു്.

ഇതിനു് ഒരു നല്ല ഉദാഹരണമാണു് രാമാനുജനും 1729 എന്ന സംഖ്യയും ഉള്‍പ്പെടുന്ന ഈ സംഭവം. ഹാര്‍ഡി പറയുന്നു:

I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavurable omen. “No,” he replied, “it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways.”

അതായതു്, രോഗശയ്യയിലായിരുന്ന രാമാനുജനോടു് ഹാര്‍ഡി 1729 (ഹാര്‍ഡി സഞ്ചരിച്ച ടാക്സിയുടെ നമ്പര്‍) ഒരു ചീത്ത സംഖ്യയാണു് എന്നു പറഞ്ഞപ്പോള്‍, അതു് രണ്ടു ഘനസംഖ്യകളുടെ തുകയായി രണ്ടു വിധത്തിലെഴുതാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യയാണെന്നു് രാമാനുജന്‍ ഉത്തരം പറഞ്ഞു.

ഇത്രയും നടന്ന കാര്യം. (യുക്തിവാദിയായിരുന്ന ഹാര്‍ഡി unfavourable omen എന്നു പറഞ്ഞതു് വിശ്വാസിയായ രാമാനുജനോടായതുകൊണ്ടാവാം.) ഇതില്‍നിന്നു വീരഗാഥയെഴുതുന്ന പാണന്മാര്‍ കണ്ടെത്തുന്നതു് ഏതു സംഖ്യ കിട്ടിയാലും ഞൊടിയിടയ്ക്കുള്ളില്‍ അതിന്റെ ഇത്രയും ദുര്‍ഗ്രഹമായ പ്രത്യേകതകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന അസാമാന്യപ്രതിഭ എന്നാണു്.

സത്യത്തില്‍ രാമാനുജനു് 1729-ന്റെ ഈ പ്രത്യേകത നേരത്തേ അറിയാമായിരുന്നു. രാമാനുജന്റെ അവസാനത്തെ നോട്ടുബുക്ക് എവിടെയോ വെച്ചു നഷ്ടമായതു് അദ്ദേഹം മരിച്ചു വളരെക്കാലം കഴിഞ്ഞാണു് (1965-ല്‍) കണ്ടെടുക്കുന്നതു്. ഇതിലെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ ഇന്നും ദുര്‍ഗ്രഹങ്ങളായി നിലകൊള്ളുന്നു. 1987-ല്‍ Tata Institute of Fundamental Research-ഉം Narosa Publishers-ഉം ചേര്‍ന്നു് രാമാനുജന്റെ നഷ്ടപ്പെട്ട കുറിപ്പുകള്‍ (Lost Notebook) ഫോട്ടോസ്റ്റാറ്റ് രൂപത്തില്‍ പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. അതിന്റെ 341-ാ‍ം പേജില്‍ ഇങ്ങനെ കാണാം:

If

then

Examples:

അവസാനത്തേതിനു തൊട്ടുമുമ്പിലുള്ള ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധിക്കൂ. 1729 ആണു് അതിന്റെ മൂല്യം. ഈ സിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി പഠിച്ച സമയത്തു് 1729-ന്റെ ഈ പ്രത്യേകത രാമാനുജന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവണം. അതു് ആ സന്ദര്‍ഭത്തില്‍ പറഞ്ഞിട്ടുമുണ്ടാവണം. രോഗശയ്യയായിരുന്നതിനാല്‍ സംസാരവിഷയം പെട്ടെന്നു മാറിപ്പോയിട്ടുണ്ടാവണം. രാമാനുജന്റെ മരണത്തിനു ശേഷമായിരിക്കണം ഹാര്‍ഡി ഇതു പിന്നെ ഓര്‍ത്തതും രേഖപ്പെടുത്തിയതും. ഹാര്‍ഡിക്കോ പിന്നെ ചരിത്രം രേഖപ്പെടുത്തിയവര്‍ക്കോ രാമാനുജനെഴുതിയ ഈ കുറിപ്പുകളെപ്പറ്റി അറിവുണ്ടായിരുന്നില്ല. 1987-നു ശേഷവും ആരെങ്കിലും ഇതു ശ്രദ്ധിച്ചതായി എനിക്കറിവില്ല.

ഇനി, ഈ സിദ്ധാന്തം ശ്രദ്ധിക്കൂ. ഇതെങ്ങനെ കിട്ടിയെന്നോ, ഇതെങ്ങനെ തെളിയിക്കുമെന്നോ, ഇതില്‍ നിന്നു് മേല്‍പ്പറഞ്ഞ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ എങ്ങനെ ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കുമെന്നോ എനിക്കു വലിയ പിടിയില്ല. അവിടെയാണു് ഗവേഷണം ആവശ്യമാവുന്നതു്. അവിടെയാണു് രാമാനുജന്റെ പ്രതിഭ കുടികൊള്ളുന്നതു്. ഒരു അജ്ഞാതസംഖ്യയെപ്പറ്റി ഞൊടിയിടയ്ക്കുള്ളില്‍ ഒരു സിദ്ധാന്തം “ഉണ്ടാക്കിയെടുത്തതില്‍” അല്ല.

1986-ലാണു്‌ ഞാന്‍ കക്കാടിന്റെ “സഫലമീ യാത്ര” വായിക്കുന്നതു്‌. ഇത്രയേറെ ഹൃദയത്തെ മഥിച്ച ഒരു കവിത അക്കാലത്തെങ്ങും വായിച്ചിരുന്നില്ല. ഒന്നു രണ്ടു ദിവസം കൊണ്ടു കവിത മുഴുവനും ഹൃദിസ്ഥമായി. കവിത ചൊല്ലാന്‍ പറ്റിയ വേദികളിലൊക്കെ അതു ചൊല്ലി. കേട്ട പലരെയും കരയിച്ചു.

അങ്ങനെയിരിക്കെ ഒരു ദിവസം കക്കാടു മരിച്ചു. തീയതി ഓര്‍മ്മയില്ല. തിരുവാതിരയ്ക്കു്‌ കുറേ നാള്‍ മുമ്പാണെന്നു മാത്രമോര്‍മ്മയുണ്ടു്‌. രാത്രി ഉറങ്ങാന്‍ കഴിയാതെ ഇരിക്കുമ്പോള്‍, ആ പുസ്തകത്തില്‍ത്തന്നെ ഈ വരികള്‍ കുറിച്ചുവച്ചു. ഈ കവിത ആരുടെയെങ്കിലും പക്കലുണ്ടോ എന്ന പെരിങ്ങോടന്റെ ചോദ്യത്തിനുത്തരം കൊടുക്കാനായി പഴയ പുസ്തകം തപ്പിയെടുത്തപ്പോള്‍ ഇതു വീണ്ടും കിട്ടി. പെരിങ്ങോടന്റെ പ്രേരണയനുസരിച്ചു്‌ അതു്‌ എഡിറ്റുചെയാതെ ഇവിടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ഈ കവിത(?)യില്‍ കക്കാടിന്റെ “സഫലമീ യാത്ര”യുടെയും, ഒ. എന്‍. വി. യുടെ “ഭൂമിക്കു്‌ ഒരു ചരമഗീത”ത്തിന്റെയും, അയ്യപ്പപ്പണിക്കരുടെ “കാടെവിടെ മക്കളേ”യുടെയും പ്രേതങ്ങളല്ലാതെ മൌലികമായ ഒന്നും കാണാഞ്ഞതുകൊണ്ടു്‌ ഇതുവരെ ഇതു്‌ ആരെയും കാണിച്ചിട്ടില്ല. ആദ്യമായി കാണിക്കുന്നതു നിങ്ങളെ. എന്തും എഴുതിവിടാനുള്ള വേദിയാണല്ലോ ബ്ലോഗ്‌!

(വിദ്യാര്‍ത്ഥിയായിരുന്ന കാലത്തു്‌ ഇതെഴുതുമ്പോള്‍ ഭാവിയില്‍ പോര്‍വിമാനങ്ങളുടെയും മിസൈലുകളുടെയും നാട്ടില്‍ കമ്പ്യൂട്ടറില്‍ ജോലി ചെയ്യേണ്ടി വരുമെന്നു സ്വപ്നത്തില്‍പ്പോലും കരുതിയില്ല. അതും ഒരു നിയോഗമാവാം.)

ആതിര വരും മുമ്പു നീ പോയി, ധനുമാസ-
രാവുകളിലാര്‍ദ്രയെക്കണ്ടറിയുന്നവരാരുണ്ടു്‌?
കൈകോര്‍ത്തെതിരേല്‍ക്കുവാനുള്ളൊരാകാംക്ഷയാര്‍ക്കുണ്ടു്‌?
ശാന്തനായ്‌, സൌമ്യനായ്‌ നീയെതിരേറ്റു നിന്നാതിരയെ, നിന്നോടു
കൂടിയൊരു നല്ലൂന്നുവടിയായി നിന്നീക്കൊടും യാത്ര സഫലമാക്കീടാന്‍,
വരും കാലമെല്ലാത്തിരുവോണവും വിഷുവും വര്‍ഷവും
തരുവും സുമവും ഫലങ്ങളും
ഊഴമിട്ടൂഴമിട്ടണയവേ,
ശാന്തനായ്‌, സൌമ്യനായ്‌ നിന്നവയെല്ലാമെതിരേറ്റൊരാതിരയ്ക്കായ്‌ കാത്തു നില്‍ക്കാന്‍ കൊതിക്കുന്നു ഞാന്‍…


സഫലമാകാം നിന്റെ യാത്ര, പക്ഷേയിതിനെ
വിഫലമെന്നനുനിമിഷമോര്‍ക്കുന്ന ഞങ്ങള്‍ക്കു,
വിഫലമെന്നനുനിമിഷമറിയുന്ന ഞങ്ങള്‍ക്കു,
വിഷുവെവിടെ, യാതിരയുമോണവും വര്‍ഷവും
തളിര്‍പൂക്കള്‍ കായ്കളും തടിനികളുമെവിടെ?
ഇന്നവയൊക്കെ മരവിച്ചു പോയൊരിച്ചിത്തത്തിലെന്നോ മറഞ്ഞടിഞ്ഞോരു കബന്ധങ്ങള്‍ മാത്രമാം;
ഇരുപത്തിയൊന്നാം ശതാബ്ദത്തിലേക്കോടിയണയുന്ന മന്നിന്റെ മുന്‍കാലചരിതത്തിലെച്ചില മങ്ങിമറഞ്ഞ ദുരൂഹദുര്‍ഗ്രാഹ്യശിലാശാസനങ്ങളാം;


കുളിരെങ്ങു പോയെന്നറിയാത്തൊരാതിരയും,
അലര്‍കളെക്കണി കണ്ടിടാത്തതാമാവണിയും,
അവനിയെ മഴയാല്‍ മുടിക്കുന്ന മകരവും,
ശുനകരൊറ്റയ്ക്കു കൊയ്തീടുന്ന കന്നിയും,
പഴമൊക്കെയോര്‍മ്മയായ്‌ മാറിയ മേടവും,
ചുടുവെയിലില്‍ ദാഹജലമരുളാത്തൊരിടവവും,
പരിചിതമായിക്കഴിഞ്ഞിന്നു ഞങ്ങള്‍ക്കു
മിഴി പാര്‍ത്തു കാത്തിരിക്കുന്നതാ “കമ്പ്യൂട്ട”-
റരുളും മനോജ്ഞമാം “സോഷ്യലിസ”ത്തിനാം;
ചെവിയോര്‍ത്തു കാത്തിരിക്കുന്നതാപ്പോര്‍വിമാനങ്ങളുടെ,
കത്തിജ്വലിക്കും മിസൈലിന്റെ മധുരനാദത്തിനാം.


സഫലമല്ലീ യാത്ര, യനുനിമിഷമേറുമസംതൃപ്തി ഞങ്ങളുടെ-
യകതാരിനെക്കാര്‍ന്നു തിന്നുന്നു നിത്യവും.
സഫലമാവില്ലൊരു നാളുമീ യാത്ര, യീ
ധരയിലിനിയും – പ്രളയമുണ്ടാകണം, സകലമൊഴിയണം, പഴയതാമാലില പോലും നശിക്കണം –
പിന്നൊരു നൂതനഭൂമിയുമാകാശവും പിറന്നീടണം –
ഇനിയുമേതെങ്കിലും യാത്ര സഫലമായ്ത്തീരുവാന്‍!

(എഴുതിയതു്: 1987-ലോ 1988-ലോ)

2006 മാര്‍ച്ച് 4:

വിശ്വത്തിന്റെ കുറിപ്പില്‍ നിന്നു് കക്കാടിന്റെ മരണം 1987 ജനുവരി ആറിനാണെന്നു മനസ്സിലായി. ധനുമാസത്തിലെ തിരുവാതിരയ്ക്കു് ഏഴു ദിവസം മുമ്പു്. അപ്പോള്‍ ഞാന്‍ ഇതു് എഴുതിയതു് 1987 ജനുവരി ഏഴാം തീയതി കഴിഞ്ഞുള്ള രാത്രിയിലാവണം. നന്ദി, വിശ്വം!

ഇതു ഞാന്‍ പണ്ടു “ബാലരമ”യില്‍ വായിച്ചതാണു്. ഏതു തീയതിയുടെയും ആഴ്ച മനസ്സില്‍ കണക്കുകൂട്ടി കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള വിദ്യ. ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിനെപ്പറ്റി ഒരു ലേഖനം എഴുതിയപ്പോള്‍ ഇതു കൂടി എഴുതാമെന്നു കരുതി.

1. ഒരു സാധാരണ വര്‍ഷത്തില്‍ 365 ദിവസങ്ങളാണുള്ളതു്. അതായതു്, 52 ആഴ്ചകളും ഒരു ദിവസവും. അതുകൊണ്ടു്, ആഴ്ച മാത്രം നോക്കിയാല്‍ ഒരു വര്‍ഷത്തില്‍ ഒരു ദിവസത്തിന്റെ വ്യത്യാസമുണ്ടാവും. ഉദാഹരണമായി, 2006 ഫെബ്രുവരി 23 വ്യാഴാഴ്ചയാണെങ്കില്‍, 2007 ഫെബ്രുവരി 23 വെള്ളിയാഴ്ചയായിരിക്കും എന്നര്‍ത്ഥം.
2. നാലു വര്‍ഷത്തില്‍ ഒരു അധിവര്‍ഷവും വരുന്നതുകൊണ്ടു് ഈ വ്യത്യാസം 4 + 1 = 5 ദിവസമാണു്.
3. 100 വര്‍ഷത്തിന്റെ അവസാനത്തില്‍ ഒരു ദിവസം കുറയുന്നതുകൊണ്ടു് മൊത്തം വ്യത്യാസം 5 x 25 – 1 = 124 ദിവസമാണു്. 124 = 17 x 7 + 5 ആയതുകൊണ്ടു് ഒരു നൂറ്റാണ്ടിലെ വ്യത്യാസം 5 ദിവസത്തിന്റേതാണു്. അതായതു്, 2106 ഫെബ്രുവരി 23 ചൊവ്വാഴ്ചയായിരിക്കും.
4. 400 വര്‍ഷത്തിന്റെ അവസാനം ഒരു അധിവര്‍ഷം കൂടിയുള്ളതുകൊണ്ടു്, 400 വര്‍ഷം കൊണ്ടു് ഈ വ്യത്യാസം 5 x 4 + 1 = 21 ദിവസത്തിന്റേതാണു്. 21 = 3 x 7 ആയതുകൊണ്ടു്, 400 കൊല്ലം കഴിഞ്ഞാല്‍ ആഴ്ചയ്ക്കു വ്യത്യാസമുണ്ടാവുകയില്ല എന്നര്‍ത്ഥം. 400 കൊല്ലത്തില്‍ കലണ്ടര്‍ ആവര്‍ത്തിച്ചുവരുന്നു എന്നാണു് ഇതിനര്‍ത്ഥം.
5. അതായതു്, നാലു നൂറ്റാണ്ടുകളുടെ കൂട്ടത്തില്‍ (നാനൂറ്റാണ്ടു് എന്നു വിളിക്കാം) ആദ്യത്തെ നൂറ്റാണ്ടില്‍ 0, രണ്ടാമത്തേതില്‍ 5, മൂന്നാമത്തേതില്‍ 3 (2 x 5 = 10 നെ ഏഴു കൊണ്ടു ഹരിച്ചതിന്റെ ശിഷ്ടം), നാലാമത്തേതില്‍ 1 (3 x 5 = 15 നെ ഏഴു കൊണ്ടു ഹരിച്ചതിന്റെ ശിഷ്ടം) എന്നീ ദിവസങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം വരും എന്നര്‍ത്ഥം.
6. കൂടാതെ, നാലു വര്‍ഷത്തില്‍ 5 ദിവസത്തെ വ്യത്യാസമുള്ളതുകൊണ്ടു്, 4 x 7 = 28 വര്‍ഷത്തില്‍ 35 ദിവസത്തെ വ്യത്യാസമുണ്ടു്. അതായതു് അതേ ആഴ്ചയായിരിക്കും എന്നര്‍ത്ഥം. അതിനാല്‍ നൂറ്റാണ്ടിനകത്തുള്ള 28 വര്‍ഷത്തിലും കലണ്ടര്‍ ആവര്‍ത്തിക്കുന്നു.

ഇത്രയും വിവരങ്ങള്‍ മതി.

ഇനി നമുക്കു് 1998 ജൂലൈ 16-ന്റെ ആഴ്ച കണ്ടുപിടിക്കാം. എത്ര ദിവസങ്ങളുടെ വ്യത്യാസം വരുമെന്നു നോക്കിയാണു് ഇതു ചെയ്യുന്നതു്. ഒരു സംഖ്യ കൂട്ടുന്നതിനു പകരം 7-ന്റെ ഒരു ഗുണിതം കുറച്ച വില കൂട്ടിയാല്‍ മതി. ഉദാഹരണത്തിനു്, 25 കൂട്ടുന്നതിനു പകരം, 4 കൂട്ടിയാല്‍ മതി. (7 x 3 = 21, 21 + 4 = 25)

1. 400 കൊല്ലത്തില്‍ കലണ്ടര്‍ ആവര്‍ത്തിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് 1998 – 1600 = 368-ലെ കലണ്ടര്‍ നോക്കിയാല്‍ മതി. മൂന്നു നൂറ്റാണ്ടില്‍ 3 x 5 = 15 ദിവസത്തെ വ്യത്യാസം. അതായതു്, ഒരു ദിവസത്തെ വ്യത്യാസം.
2. 28, 56, 84 വര്‍ഷങ്ങളില്‍ കലണ്ടര്‍ ആവര്‍ത്തിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് 98 വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു പകരം 98 – 84 = 14 വര്‍ഷങ്ങള്‍ എന്നു കൂട്ടിയാല്‍ മതി. 14 വര്‍ഷത്തില്‍ 14/4 = 3 അധിവര്‍ഷങ്ങളുള്ളതുകൊണ്ടു്, മൊത്തം വ്യത്യാസം 14 + 3 = 17 ദിവസം. അതായതു്, 3 ദിവസം. മുമ്പത്തെ ഒന്നു കൂടി കൂട്ടിയാല്‍ 4 ദിവസം.
3. ഇനി, ജനുവരി മുതല്‍ ഡിസംബര്‍ വരെ ഈ സംഖ്യകള്‍ ഓര്‍ക്കേണ്ടി വരും: 0, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 0, 3, 5. വര്‍ഷത്തിന്റെ തുടക്കത്തിലെ ദിവസത്തില്‍ നിന്നു് അതാതു മാസത്തിലെ ഒന്നാം തീയതി എത്ര ദിവസം കഴിഞ്ഞിട്ടാണു് എന്നതാണു് ഇതു സൂചിപ്പിക്കുന്നതു്. ഇതോര്‍ക്കാന്‍ ഭൂതസംഖ്യ ഉപയോഗിച്ചു് ഞാന്‍ ഒരു ശ്ലോകമുണ്ടാക്കിയിട്ടുണ്ടു്:
   ശൂന്യമൂര്‍ത്തിസ്ത്രിഷഡ്‌ഭൂമിര്‍ യുഗശാസ്ത്രാക്ഷിസായകാഃ
   ആകാശാഗ്നീഷവഃ സംഖ്യാ മാസാനാം തു യഥാക്രമം
   (ഒരു ശ്ലോകം കൂടിയുണ്ടായിരുന്നു. മറന്നു പോയി)

   ഭൂതസംഖ്യ അനുസരിച്ചു് ശൂന്യ (0), മൂര്‍ത്തി (3), ത്രി (3), ഷട് (6), ഭൂമി (1), യുഗ (4), ശാസ്ത്ര (6), അക്ഷി (2), സായക (5), ആകാശ (0), അഗ്നി (3), ഇഷു (5) എന്നിങ്ങനെ ഈ സംഖ്യകള്‍ ഓര്‍ക്കാം.

4. മാസത്തിന്റെ സംഖ്യയും ദിവസത്തിന്റെ സംഖ്യയും മുമ്പേ കൂട്ടിക്കിട്ടിയ സംഖ്യയോടു കൂട്ടുക. ജൂലൈയുടെ സംഖ്യ 6. 4 + 6 = 10. 10 = 7 + 3 ആയതുകൊണ്ടു 3 ദിവസം.
5. തീയതി 16. 14 + 2 ആയതുകൊണ്ടു് രണ്ടു കൂട്ടിയാല്‍ മതി. അപ്പോള്‍ മൊത്തം 3 + 2 = 5.

അവസാനത്തെ ഉത്തരം 5 ആയതിനാല്‍ ഈ തീയതി ഒരു വ്യാഴാഴ്ചയായിരിക്കും. (1 = ഞായര്‍, 2 = തിങ്കള്‍, 3 = ചൊവ്വ, 4 = ബുധന്‍, 5 = വ്യാഴം, 6 = വെള്ളി, 0 = ശനി)

അധിവര്‍ഷങ്ങളില്‍ ജനുവരി, ഫെബ്രുവരി മാസങ്ങളില്‍ അല്പം വ്യത്യാസമുണ്ടു്. ഇങ്ങനെ കണ്ടുപിടിക്കുന്ന ദിവസത്തിന്റെ തലേ ദിവസമായിരിക്കും. ഒരു അധിവര്‍ഷം നാം കൂടുതല്‍ കൂട്ടുന്നതുകൊണ്ടാണിതു്.

ഉദാഹരണത്തിനു്, 2004 ഫെബ്രുവരി 10. 2004നു പകരം 4 കൂട്ടിയാല്‍ മതി. 4 വര്‍ഷത്തില്‍ 4+1 = 5 ദിവസം. ഫെബ്രുവരിയുടെ സംഖ്യ 3. 10-നു പകരം 3. അപ്പോള്‍ 5 + 3 + 3 = 11, അതായതു് 4. ബുധനാഴ്ച. അധിവര്‍ഷത്തിലെ ഫെബ്രുവരിയായതിനാല്‍ ചൊവ്വാഴ്ച.

ഇതു വളരെ വേഗം മനസ്സില്‍ കണക്കുകൂട്ടാം. വര്‍ഷങ്ങളുടെ സംഖ്യ നേരത്തെ കണക്കുകൂട്ടി വയ്ക്കുകയുമാവാം. ഉദാഹരണത്തിനു്, 2006-ന്റെ സംഖ്യ 6 + 1 = 7 ആണു്. അതായതു് 0. അപ്പോള്‍ ഒന്നും കൂട്ടേണ്ട. മാസത്തിന്റെയും ദിവസത്തിന്റെയും സംഖ്യകള്‍ കൂട്ടി 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ശിഷ്ടം കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മതി. ഉദാഹരണത്തിനു് നവംബര്‍ 8-നു് 3 + 1 = 4, ബുധനാഴ്ച.

മറ്റൊരു രീതി

മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന 5-)മത്തെ നിയമത്തില്‍, ഒരു നാനൂറ്റാണ്ടിനകത്തുള്ള നാലു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ക്കു് യഥാക്രമം 0, 5, 3, 1 എന്നിവ കൂട്ടിയാല്‍ മതി എന്നു പറഞ്ഞല്ലോ. 0 കൂട്ടുന്നതും 7 കൂട്ടുന്നതും ഇവിടെ ഒരുപോലെ ആയതുകൊണ്ടു് (അവസാനം നാം 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ശിഷ്ടം കാണാന്‍ പോവുകയല്ലേ?) 7, 5, 3, 1 എന്ന പാറ്റേണ്‍ കാണാം. ഇതുപയോഗിച്ചും കണക്കുകൂട്ടാം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍പറഞ്ഞാല്‍ (4 – k) x 2 – 1 എന്ന സൂത്രവാക്യത്തില്‍ k-യ്ക്കു് 0, 1, 2, 3 എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ കൊടുത്തും ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇതാണു് വിശ്വപ്രഭ കാണിച്ചുതന്ന രീതി. അതനുസരിച്ചു്,

1. വര്‍ഷത്തിലെ നൂറ്റാണ്ടു കണ്ടുപിടിക്കുക. 1998 ജൂലൈ 16-ന്റെ നൂറ്റാണ്ടു് 19. 2006 ഫെബ്രുവരി 10-ന്റെ നൂറ്റാണ്ടു് 20.
2. ഇതിനു ശേഷമുള്ള അടുത്ത നാനൂറ്റാണ്ടു കണ്ടുപിടിക്കുക. അതായതു്, നാലുകൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ പറ്റുന്ന അടുത്ത സംഖ്യ. 1998-നു് 20, 2004 നു 24.
3. ആ സംഖ്യയില്‍ നിന്നു നൂറ്റാണ്ടിന്റെ സംഖ്യ കുറയ്ക്കുക. അതില്‍ നിന്നു് ഒന്നു കുറയ്ക്കുക. അതിനെ രണ്ടുകൊണ്ടു ഗുണിക്കുക. c = (CC4 – CC – 1) x 2 എന്നെഴുതിയാല്‍ അല്പം കൂടി വ്യക്തമാകും.
   1998-നു്, (20 – 19 – 1) x 2 = 0; 2004-നു്, (24 – 20 – 1) x 2 = 6. ഈ സംഖ്യയാണു നൂറ്റാണ്ടിന്റേതായി കൂട്ടേണ്ടതെന്നര്‍ത്ഥം.
   ഇതു് എന്റെ രീതിയിലെ (a)-യിലെ മൂല്യത്തില്‍ നിന്നു് ഒന്നു കുറവാണു്.
4. ഇതിന്റെ കൂടെ വര്‍ഷം (അതിനെ ഏഴുകൊണ്ടു ഹരിച്ചതിന്റെ ശിഷ്ടം കൂട്ടിയാല്‍ മതി) കൂട്ടുക. വര്‍ഷത്തിന്റെ നാലിലൊന്നും (ഹരണഫലം മാത്രം മതി. അതിനെ ഏഴു കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടം കൂട്ടിയാലും മതി.) കൂട്ടുക.

   (ഇതില്‍ 28-ന്റെ ഗുണിതം കുറയ്ക്കുക എന്നൊരു എളുപ്പവഴി കൂടി ചേര്‍ത്താല്‍ എന്റെ രീതിയായി.)

5. ബാക്കി രണ്ടു രീതികളും ഒന്നുതന്നെ.

വിശ്വം തരുന്ന നൂറ്റാണ്ടിന്റെ സംഖ്യകള്‍ (6, 4, 2, 0 എന്നിവ) കൂട്ടുന്നതു് ഞാന്‍ കൊടുത്ത സംഖ്യകളില്‍ (0, 5, 3, 1) നിന്നു് (വേണ്ടി വന്നാല്‍ 7 കൂട്ടിയതിനു ശേഷം) ഒന്നു കുറച്ച ഫലം ആണെന്നു കാണാം. ഈ ഒന്നിന്റെ വ്യത്യാസം മൂലമാണു് അവസാനം ആഴ്ച കണ്ടുപിടിക്കുമ്പോള്‍ ഞാന്‍ 1 = ഞായര്‍, 2 = തിങ്കള്‍, …, 0 = ശനി എന്നു കൂട്ടുമ്പോള്‍ വിശ്വം 0 = ഞായര്‍, 1 = തിങ്കള്‍, …, 6 = ശനി എന്നു കൂട്ടുന്നതു്. കൂടാതെ 28-ന്റെ ഗുണിതം കുറയ്ക്കുന്നതും വിശ്വത്തിന്റെ രീതിയില്‍ ഇല്ല.

ബാലരമയില്‍ വന്ന രീതിയിലും ഇതു രണ്ടും ഉണ്ടായിരുന്നില്ല എന്നാണു് എന്റെ ഓര്‍മ്മ. ആഴ്ചകളെ ഞായറില്‍ തുടങ്ങുന്നതും 28-ന്റെ ഗുണിതം കുറയ്ക്കുന്നതും എന്റെ വകയായുള്ള പരിഷ്കാരങ്ങളായിരുന്നു.

വേറേ വിധം

The Oxford Companion to the Year എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ ആഴ്ച കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ മൂന്നു രീതികള്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്. അതിലൊന്നു് മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ രീതിയാണു്. നമ്മുടെ ശൂന്യമൂര്‍ത്തി… ശ്ലോകത്തിനു പകരം ഈ പദ്യമാണു് അവര്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്

At Dover Dwells George Brown Esquire,
Good Christopher Fitch And David Friar

ഓരോ വാക്കിന്റെയും ആദ്യത്തെ അക്ഷരം എടുത്തിട്ടു് A=1, B=2, …, G=7 എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ 1, 4, 7, 2, 5, 7, 3, 6, 1, 4, 6 എന്നു കിട്ടും. ഇവ നമ്മുടെ മൂല്യങ്ങളോടു് ഒന്നു വീതം കൂട്ടിയതാണെന്നു കാണാം. പാവങ്ങള്‍ക്കു പൂജ്യം കാണിക്കാന്‍ വഴിയില്ലാത്തതുകൊണ്ടു് 0-6 എന്നതിനു പകരം 1-7 എന്ന റേഞ്ചിലാണു് അഭ്യാസം.

Worship God and attain… എന്നു തുടങ്ങുന്ന ഒരു പദ്യവും ഇതിനു കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. ഓരോ വാക്കിലെയും അക്ഷരങ്ങളുടെ എണ്ണമാണു് ഇവിടെ നോക്കേണ്ടതു്. ഇതു് 7, 3, 3, 6, 1, 4, 6, 2, 5, 7, 3, 5 എന്നീ മൂല്യങ്ങള്‍ തരും. ഇതു നമ്മുടെ ശൂന്യമൂര്‍ത്തി… തന്നെ. പൂജ്യത്തിനു പകരം 7 ഉപയോഗിച്ചു എന്നേ ഉള്ളൂ. ശൂന്യമൂര്‍ത്തി… കൂടുതല്‍ എളുപ്പമായതു കൊണ്ടു് ഞാന്‍ ഇതു പഠിക്കാന്‍ മെനക്കെട്ടില്ല. ആര്‍ക്കെങ്കിലും അതു് അറിയാമോ?

ഭാരതത്തിലെ കലണ്ടറുകളെപ്പറ്റി കുറേ ലേഖനങ്ങള്‍ തയ്യാറാക്കാന്‍ ഉദ്ദേശിക്കുന്നു. അവയെപ്പറ്റി പരാമര്‍ശിക്കുമ്പോള്‍ അവയ്ക്കു്‌ ഇന്നു പ്രചാരത്തിലിരിക്കുന്ന ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറുമായുള്ള ബന്ധം പറയേണ്ടി വരും. അതിനു വേണ്ടിയുള്ളതാണു്‌ ഈ ലേഖനം.

ഇതു്‌ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിനെപ്പറ്റിയുള്ള ഒരു സമഗ്രലേഖനമല്ല. അതിനു്‌ വിക്കിപീഡിയയിലെ ഈ ലേഖനം വായിക്കുക.

കൂടാതെ, ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറിനോടുള്ള സംസ്കരണം(correction) തുടങ്ങിയ കാര്യങ്ങളും ഇവിടെ കണക്കിലെടുക്കുന്നില്ല. ഇന്നു കണക്കുകൂട്ടുന്നതുപോലെ കലണ്ടര്‍ ഗണനം മുന്നിലേക്കും പിന്നിലേക്കും നടത്തുന്നു എന്നു കരുതിയാണു്‌ ഇനിയുള്ള കാര്യങ്ങള്‍ പറയുന്നതു്‌.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറനുസരിച്ചു്‌ ഒരു വര്‍ഷത്തിനു്‌ 365.2425 ദിവസമാണു്‌. അതായതു്‌, 100 വര്‍ഷത്തില്‍ 36524.25 ദിവസം. 400 വര്‍ഷത്തില്‍ 146097 ദിവസം. ദിവസത്തിന്റെ ഇടയ്ക്കുവച്ചു വര്‍ഷം മാറുന്നതു്‌ അസൌകര്യമായതുകൊണ്ടു്‌ താഴെപ്പറയുന്ന രീതി ഉപയോഗിക്കുന്നു:

1. ഒരു വര്‍ഷത്തില്‍ 365 ദിവസം ഉണ്ടാവും. ജനുവരി മുതല്‍ ഡിസംബര്‍ വരെയുള്ള മാസങ്ങള്‍ക്കു്‌ യഥാക്രമം 31, 28, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31 ദിവസങ്ങളുണ്ടാവും. ഇങ്ങനെയുള്ള വര്‍ഷങ്ങളെ സാധാരണ വര്‍ഷം (common year) എന്നു വിളിക്കുന്നു. ഇതുമൂലമുള്ള വ്യത്യാസം പരിഗണിക്കാന്‍ ഇടയ്ക്കിടെ ചില വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഒരു ദിവസം കൂടുതല്‍ ചേര്‍ക്കും. ഈ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഫെബ്രുവരിക്കു്‌ 29 ദിവസവും മൊത്തം 366 ദിവസവും ഉണ്ടാവും. ഇങ്ങലെയുള്ള വര്‍ഷങ്ങളെ അധിവര്‍ഷം (leap year) എന്നു പറയുന്നു.
2. നാലു വര്‍ഷം കൂടുമ്പോള്‍ വ്യത്യാസം ഏകദേശം ഒരു ദിവസമാകുന്നു. (4 x (365.2425 – 365) = 0.97) അതുകൊണ്ടു്‌ ഓരോ നാലു വര്‍ഷവും ഓരോ ദിവസം കൂടി കൂട്ടുന്നു. നാലു കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന വര്‍ഷങ്ങളെ അധിവര്‍ഷമാക്കിയാണു്‌ ഇതു ചെയ്യുന്നതു്‌. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, 2004, 2008 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങള്‍ അധിവര്‍ഷങ്ങളാണു്‌.

   ഇതനുസരിച്ചു്‌, ഓരോ ചതുര്‍വര്‍ഷത്തിലും (quad-year) 4 x 365 + 1 = 1461 ദിവസങ്ങളുണ്ടു്‌.

3. നാലു വര്‍ഷത്തിലൊരിക്കലുള്ള ഈ സംസ്കരണം 1 – 0.97 = 0.03 ദിവസത്തിന്റെ വ്യത്യാസം ഉണ്ടാക്കും. നൂറു വര്‍ഷം കൊണ്ടു്‌ ഇതു്‌ 25 x 0.03 = 0.75 ദിവസം ആകും. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 100 വര്‍ഷത്തില്‍ മൊത്തം ഉണ്ടാകേണ്ട 36524.25 ദിവസത്തിനു പകരം 25 x 1461 = 36525 ദിവസങ്ങള്‍ കണക്കാക്കും. അതുകൊണ്ടു്‌, ഓരോ നൂറു വര്‍ഷത്തിലും ഒരു ദിവസം കുറയ്ക്കും. ഓരോ നൂറാമത്തെയും വര്‍ഷത്തെ (4 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്നതായിക്കൂടി) സാധാരണ വര്‍ഷമാക്കിക്കൊണ്ടാണു്‌ ഇതു ചെയ്യുന്നതു്‌. അതിനാല്‍ 1800, 1900 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങള്‍ അധിവര്‍ഷങ്ങളല്ല.
   ഇതനുസരിച്ചു്‌, 100 വര്‍ഷത്തില്‍ 0.25 ദിവസം കുറച്ചേ കണക്കാക്കുന്നുള്ളൂ. ഇതു പരിഹരിക്കാന്‍ 400 വര്‍ഷം കൂടുമ്പോള്‍ ഒരു ദിവസം കൂടി കൂട്ടുന്നു. അതായതു്‌, 400 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന വര്‍ഷങ്ങള്‍ അധിവര്‍ഷങ്ങളാണു്‌. 2000, 2400 തുടങ്ങിയവ ഉദാഹരണം.

ഒരു വര്‍ഷം അധിവര്‍ഷമാണോ അല്ലയോ എന്നതിനുള്ള നിയമം ചുരുക്കി C എന്ന കമ്പ്യൂട്ടര്‍ ഭാഷയില്‍ ഇങ്ങനെ പറയാം:

#define IS_LEAP(year) \\
((year) % 400 == 0 || ((year) % 4 == 0 && (year) % 100 != 0))

അപ്പോള്‍ ഒരു സാധാരണവര്‍ഷത്തില്‍ 365 ദിവസം, ഒരു സാധാ‍രണ ചതുര്‍വര്‍ഷത്തില്‍ 1461 ദിവസം, ഒരു സാധാരണ നൂറ്റാണ്ടില്‍ 36524 ദിവസം, ഒരു നാനൂറ്റാണ്ടില്‍ (ചതുശ്ശതകം) 146097 ദിവസം. എല്ലാം മനസ്സിലായില്ലേ. ഇനിയാണു തമാശ.

തുടക്കം മുതലുള്ള ദിവസങ്ങള്‍

നമുക്കു് ഇനിയുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്കു് 1998 ജൂലൈ 16 എന്ന തീയതി ഉപയോഗിക്കാം. വിശ്വപ്രഭയുടെ മകള്‍ ഹരിശ്രീയുടെ ജന്മദിനമാണു് അതു്.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറര്‍ തുടങ്ങിയ ദിവസം മുതല്‍ (അതായതു് AD 1 ജനുവരി 1 മുതല്‍) 1998 ജൂലൈ 16 വരെ എത്ര ദിവസമായി?

1998 = 4 x 400 + 3 x 100 + 24 x 4 + 2 ആണല്ലോ. അതായതു് നാലു നാനൂറ്റാണ്ടുകളും, മൂന്നു നൂറ്റാണ്ടുകളും, 24 ചതുര്‍വര്‍ഷങ്ങളും 1 വര്‍ഷവും കഴിഞ്ഞുള്ള വര്‍ഷം. അപ്പോള്‍ 1997 ഡിസംബര്‍ 31 വരെ മൊത്തം ദിവസങ്ങള്‍ = 4 x 146097 + 3 x 36524 + 24 x 1461 + 1 x 365 = 729389 ദിവസങ്ങള്‍.

ഇനി 1998 ജനുവരി 1 മുതല്‍ ജൂലൈ 16 വരെ എത്ര ദിവസമുണ്ടെന്നു കണക്കാക്കണം. അതിനു പല വഴികളുള്ളതില്‍ ഒന്നു (ബാക്കിയുള്ളവ ആര്‍ക്കെങ്കിലും താത്പര്യമുണ്ടെങ്കില്‍ പിന്നീടു ചേര്‍ക്കാം) താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ഇവിടെ m മാസവും (1 – ജനുവരി, 2 – ഫെബ്രുവരി, …, 12 – ഡിസംബര്‍) d ദിവസവുമാണു്. എന്നു വച്ചാല്‍ x-നെ y കൊണ്ടു ഹരിച്ചതിന്റെ ഹരണഫലം (ശിഷ്ടം കണക്കാക്കേണ്ട) എന്നര്‍ത്ഥം. k എന്നതു് സാധാരണവര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു് 2, അധിവര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു് 1.

ഇവിടെ, അധിവര്‍ഷമല്ലാത്തതുകൊണ്ടു് k = 2, ജൂലൈ 16-നു് m = 7, d = 16. അപ്പോള്‍

ദിവസങ്ങള്‍ =

അതായതു്, 1998 ജനുവരി 1 മുതല്‍ ജൂലൈ 16 വരെ 197 ദിവസങ്ങളുണ്ടു് എന്നര്‍ത്ഥം. ഇതുകൂടി കൂട്ടിയാല്‍ 729389 + 197 = 729586 എന്നു കിട്ടും.

തിരിച്ചുള്ള ക്രിയ

ഇനി തിരിച്ചുള്ള ക്രിയ നോക്കാം. AD 1 ജനുവരി 1 മുതല്‍ 729586-)മത്തെ ദിവസം എന്നാണു്?

1. ആദ്യമായി, 729586-നെ 146097 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം 4, ശിഷ്ടം 145198. അതായതു്, നാലു നാനൂറ്റാണ്ടുകളും 145198 ദിവസങ്ങളും.
2. ഇനി 145198-നെ 36524 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. 3 നൂറ്റാണ്ടുകളും 35626 ദിവസങ്ങളും എന്നു കിട്ടും.
3. ഇനി 35626-നെ 1461 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. 24 ചതുര്‍വര്‍ഷങ്ങളും 562 ദിവസങ്ങളും എന്നു കിട്ടും.
4. 562-നെ 365 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. 1 വര്‍ഷവും 197 ദിവസങ്ങളും എന്നു കിട്ടും.

അതായതു്, 4 x 400 + 3 x 100 + 4 x 24 + 1 = 1997 വര്‍ഷങ്ങളും 197 ദിവസങ്ങളും എന്നര്‍ത്ഥം. ഇതില്‍നിന്നു് 1998 ജൂലൈ 16 എന്നു കിട്ടും.

ഇതൊക്കെ എന്തിനാണു് എന്നു നിങ്ങള്‍ കരുതുന്നുണ്ടാവാം. കലിദിനസംഖ്യകളെപ്പറ്റിയുള്ള ലേഖനം വരട്ടെ, അപ്പോള്‍ മനസ്സിലാകും.

കഴിഞ്ഞ രണ്ടു ലേഖനങ്ങളില്‍ കൊടുത്തിരുന്ന പ്രശ്നങ്ങള്‍
(”അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകളും“, “അരയന്നങ്ങളും“) quadratic equations
ഉണ്ടാക്കി നിര്‍ദ്ധരിക്കാന്‍ ഏതു സ്കൂള്‍കുട്ടിക്കും കഴിയും. കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട മൂല്യം (അമ്പുകളുടെ എണ്ണമോ, അരയന്നങ്ങളുടെ എണ്ണമോ) x² എന്നു സങ്കല്‍പ്പിച്ചാല്‍ ആദ്യത്തേതില്‍ നിന്നു്‌

എന്നും, രണ്ടാമത്തേതില്‍ നിന്നു്‌

എന്നുമുള്ള സമവാക്യങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി

എന്നസൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 10 എന്നും 4 എന്നുമുള്ള ഉത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടും. (-2 എന്നും എന്നും രണ്ടുത്തരങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ടു്‌. അതിവിടെ പ്രസക്തമല്ലാത്തതുകൊണ്ടു്‌ ഉപേക്ഷിച്ചു.) അപ്പോള്‍ 100 അമ്പുകള്‍, 16 അരയന്നങ്ങള്‍.

ഇനി, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ സൂത്രവാക്യം നോക്കാം.

ഗുണഘ്നമൂലോനയുതസ്യ രാശേര്‍-
ദൃഷ്ടസ്യ യുക്തസ്യ ഗുണാര്‍ദ്ധകൃത്യാ
മൂലം ഗുണാര്‍ദ്ധേന യുതം വിഹീനം
വര്‍ഗ്ഗീകൃതം പ്രഷ്ടുരഭീഷ്ടരാശിഃ
അറിയേണ്ട രാശി(variable)യോടു്‌, രാശിയുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തെ ഗുണം എന്ന സംഖ്യകൊണ്ടു്‌ ഗുണിച്ചതു കൂടുകയോ കുറയ്ക്കുകയോ ചെയ്ത ഫലം തന്നിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍, ആ ഫലത്തിനോടു്‌ ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയുടെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിക്കിട്ടുന്നതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു യഥാക്രമം കുറയ്ക്കുകയോ കൂട്ടുകയോ ചെയ്താല്‍ കണ്ടുപിടിക്കേണ്ട രാശി കിട്ടും.

അതായതു്‌, എന്നതില്‍ നിന്നു്‌

ഉദാഹരണമായി,

1. അമ്പുകളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = 4 x 2 = 8, ഫലം = (6 + 3 + 1) x 2 = 20. ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = 4, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 16, ഫലത്തോടു കൂട്ടിയാല്‍ 20 + 16 = 36. വര്‍ഗ്ഗമൂലം = 6, ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയൊടു കൂട്ടിയാല്‍ 4 + 6 = 10, വര്‍ഗ്ഗം 100. ഉത്തരം: 100 അമ്പുകള്‍.
2. അരയന്നങ്ങളുടെ പ്രശ്നത്തില്‍, ഗുണം = (7/2), ഫലം = 2, ഗുണത്തിന്റെ പകുതി = (7/4), വര്‍ഗം = (49/16), ഫലം കൂട്ടിയാല്‍ 2 + (49/16) = (81/16), വര്‍ഗ്ഗമൂലം (9/4), ഗുണത്തിന്റെ പകുതിയോടു കൂട്ടിയാല്‍ (7/4) + (9/4) = (16/4) = 4, വര്‍ഗ്ഗം = 16. ഉത്തരം: 16 അരയന്നങ്ങള്‍.

ഇങ്ങനെ സാമാന്യനിയമം പറയുന്നതുകൂടാതെ, Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട മറ്റു പ്രശ്നങ്ങള്‍ ഈ സൂത്രം ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചു തന്നെ നിയമങ്ങള്‍ അദ്ദേഹം നല്‍കിയിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഉദാഹരണത്തിനു്‌, ഒരു സമാന്തരശ്രേഢി (Arithmetic Progression)യിലെ ആദ്യപദവും (മുഖം, a), പൊതുവ്യത്യാസവും (ചയം, d), ആദ്യത്തെ n (ഗച്ഛം) പദങ്ങളുടെ തുകയും (ഫലം, S) തന്നാല്‍ n കണ്ടുപിടിക്കാന്‍

എന്ന Quadratic equation n-നു വേണ്ടി നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ടി വരും.
ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതി നോക്കൂ:

ശ്രേഢീഫലാദുത്തരലോചനഘ്നാ-
ച്ചയാര്‍ദ്ധവക്ത്രാന്തരവര്‍ഗ്ഗയുക്താത്‌
മൂലം മുഖോനം ചയഖണ്ഡയുക്തം
ചയോദ്ധൃതം ഗച്ഛമുദാഹരന്തി 
ശ്രേഢീഫലത്തെ (S) ചയത്തിന്റെ (d) ഇരട്ടി കൊണ്ടു (ലോചനം = കണ്ണു്‌ = 2 (ഭൂതസംഖ്യ)) ഗുണിച്ചിട്ടൂ്‌, ചയത്തിന്റെ പകുതിയില്‍ നിന്നു മുഖം (a) കുറച്ചതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം കൂട്ടിയതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗമൂലം മുഖത്തില്‍(a) നിന്നു കുറച്ചു്‌ ചയത്തിന്റെ (d) പകുതി കൂട്ടി ചയം (d) കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഗച്ഛം (n) കിട്ടും.

അതായതു്‌,

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഉദാഹരണം നോക്കുക:

ദ്രമ്മത്രയം യഃ പ്രഥമേഹ്നി ദത്വാ
ദാതും പ്രവൃത്തോ ദ്വിചയേന തേന
ശതത്രയം ഷഷ്ട്യധികം ദ്വിജേഭ്യോ
ദത്തം ക്രിയദ്ഭിര്‍ദിവസൈര്‍വദാശു 
ഒരു രാജാവു്‌ ആദ്യത്തെ ദിവസം മൂന്നു നാണയം ബ്രാഹ്മണര്‍ക്കു ദാനം ചെയ്തു. പിന്നീടു്‌ ഓരോ ദിവസവും രണ്ടു നാണയം വീതം കൂട്ടിക്കൊടുത്തു. എത്ര ദിവസം കൊണ്ടു്‌ 360 നാണയം കൊടുത്തു എന്നു കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഇവിടെ ഫലം = 360, മുഖം = 3, ചയം = 2.

ചയത്തിന്റെ ഇരട്ടി = 2 x 2 = 4, അതുകൊണ്ടു ഫലത്തെ ഗുണിച്ചാല്‍ 360 x 4 = 1440, ചയത്തിന്റെ പകുതി = 1, അതു മുഖത്തില്‍ നിന്നു കുറച്ചാല്‍ 3 – 1 = 2, അതിന്റെ വര്‍ഗ്ഗം = 4, അതു കൂട്ടിയാല്‍ 1444. വര്‍ഗ്ഗമൂലം 38. മുഖം കുറച്ചാല്‍ 38 – 3 = 35, ചയത്തിന്റെ പകുതി കൂട്ടിയാല്‍ 35 + 1 = 16, ചയം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 36 / 2 = 18. ഗച്ഛം (n) = 18.

സൂക്ഷിച്ചുനോക്കിയാല്‍

അതായതു്‌ എന്ന Quadratic equation-ന്റെ നിര്‍ദ്ധാരണം തന്നെയാണു്‌ ഈ രീതിയെന്നു കാണാം.

ഇംഗ്ലീഷ്‌ വിക്കിപീഡിയയില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഈ രീതി പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടുണ്ടു്‌.

നിഷ്പത്തി

വര്‍ഗ്ഗീകരണം പൂര്‍ത്തിയാക്കി quadratic equations നിര്‍ദ്ധരിക്കുന്ന വിദ്യ ബാബിലോണിയക്കാര്‍ക്കു ക്രി. മു. നാലാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ അറിയാമായിരുന്നു എന്നു് വിക്കിപീഡിയ പറയുന്നു. ഈ രീതി തന്നെയാണു ഭാസ്കരാചാര്യരും ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതു്.

നിര്‍ദ്ധരിക്കേണ്ട സമവാക്യം

എന്നാണല്ലോ. ഇതിനെ എന്നു കരുതിയിട്ടു്, രണ്ടിനോടും കൂട്ടി ഇടത്തുവശത്തുള്ളതിനെ ഒരു പൂര്‍ണ്ണവര്‍ഗ്ഗമാക്കുന്നതാണു് ഈ രീതി. അതായതു്,

വര്‍ഗ്ഗമൂലമെടുത്താല്‍

അപ്പോള്‍

എന്നു കിട്ടും. ഇതാണു ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ ഗുണഘ്നമൂലോന… എന്ന ശ്ലോകത്തിന്റെ അര്‍ത്ഥം.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II – ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നു മറ്റൊരു പ്രശ്നം:

ബാലേ, മരാളകുലമൂലദലാനി സപ്ത
തീരേ വിലാസഭരമന്ഥരഗാണ്യപശ്യം
കുര്‍വഞ്ച കേളികലഹം കലഹംസയുഗ്മം
ശേഷം ജലേ, വദ മരാളകുലപ്രമാണം
(ബാലേ, മരാള-കുല-മൂല-ദലാനി സപ്ത തീരേ വിലാസ-ഭര-മന്ഥരഗാണി-അപശ്യം
കുര്‍വന്‍ ച കേളി-കലഹം കള-ഹംസ-യുഗ്മം ശേഷം ജലേ വദ മരാള-കുല-പ്രമാണം എന്നന്വയം)

കുട്ടീ, അരയന്നങ്ങളുടെ വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) പകുതിയുടെ ഏഴിരട്ടി തീരത്തുകൂടി കുണുങ്ങിക്കുണുങ്ങി നടന്നു. ബാക്കിയുള്ള രണ്ടെണ്ണം കളിയും ചിരിയും വഴക്കുമൊക്കെയായി വെള്ളത്തില്‍ത്തന്നെയും കഴിഞ്ഞു. (വാലന്റൈന്‍സ്‌ ഡേ ആയതുകൊണ്ടായിരിക്കണം) എന്നാല്‍ ആകെ എത്ര അരയന്നങ്ങളുണ്ടായിരുന്നു?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

6 Responses to “ലീലാവതിയിലെ വേറൊരു പ്രശ്നം: അരയന്നങ്ങള്‍”

1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 5:13 am

   കാളിദാസന്റേതായി ഇതുപോലൊരു ശ്ലോകമില്ലേ? “ബാലേ” എന്നു തുടങ്ങുന്നതാണെന്നാണെന്റെ ഓര്‍മ്മ.

2. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 8:50 am

   ഉത്തരം ആരെങ്കിലും വരുന്നതിനു മുന്‍പു പറഞ്ഞിട്ടോടാം

   അല്ലെങ്കില്‍ ‘ചാടാം’ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചോന്നും നോക്കാലോ

3. സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍ Says:

   February 15th, 2006 at 9:01 am

   ഇലയും പക്ഷിയുമായുമോ മറ്റോ ഒരു simultaneous സമവാക്യത്തിന്റെ ശ്ലോകം കൂടെ കേട്ടിട്ടുണ്ടല്ലോ ഉമേഷേ. എന്താണതു്‌? പക്ഷികളിരട്ടയായിരുന്നാല്‍ ഒരില ബാക്കി. ഒറ്റയായിരുന്നാലൊരു പക്ഷി ബാക്കി എന്നാണര്‍ഥം

4. ഭാരതീയഗണിതം Says:

   February 15th, 2006 at 3:09 pm

   “ചാടി“യതു ശരിയായി സിദ്ധാര്‍ത്ഥാ. അപ്പോ പരല്‍പ്പേരു പഠിച്ചു, ല്ലേ?

   മറ്റേ കണക്കു കേട്ടിട്ടുണ്ടു് (ഓരോ പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു പക്ഷി ബാക്കി, ഈരണ്ടു പക്ഷിയിരുന്നാല്‍ ഒരു മരം ബാക്കി – 4 പക്ഷി, 3 മരം എന്നുത്തരം.), ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല.

   കാളിദാസന്റെ ശ്ലോകം കേട്ടിട്ടില്ല. ഇതിനെ കാളിദാസന്റേതെന്നു് ആരോ പറഞ്ഞതായിരിക്കും.

   അതോ, ഈ സമസ്യാപൂരണമാണോ?

   കുസുമേ കുസുമോത്പത്തി
   ശ്രൂയതേ വാ ന ദൃശ്യതേ
   ബാലേ, തവ മുഖാംഭോജാ-
   ദക്ഷിരിന്ദീവരദ്വയം!

   അതോ, ഇതോ?

   കാ ത്വം ബാലേ? കാഞ്ചനമാലാ;
   കസ്യാഃ പുത്രീ? കനകലതായാഃ;
   കിം തേ ഹസ്തേ? താലീപത്രം;
   കാ വാ രേഖാ? ക ഖ ഗ ഘ;

   രണ്ടും കാളിദാസന്റെയാണെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. ഇതു രണ്ടുമേ കാളിദാസന്റെ “ബാലേ” എന്നുള്ള ശ്ലോകം ഓര്‍മ്മ വരുന്നുള്ളൂ.

5. viswam വിശ്വം Says:

   February 17th, 2006 at 11:21 pm

   എല്ലാ ദിവസവും ഇവിടെ വന്നു നോക്കുന്നുണ്ട്. പഴയപോലെ ഗംഭീരമായി തുടങ്ങിവെച്ച് ഗംഭീരമായി ഉഴപ്പാനാണോ ഭാവം? എങ്കില്‍ ഞങ്ങള്‍ വെറുതെ വിടില്ല!

   😉

6. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 18th, 2006 at 12:47 am

   ആരംഭശൂരത്വത്തിനു ഞാന്‍ കുപ്രസിദ്ധനാണു വിശ്വം. എങ്കിലും കഴിയുന്നതു ശ്രമിക്കാം. ഓഫീസിലെ തിരക്കുകള്‍, മകന്റെ പിറന്നാള്‍ തുടങ്ങിയവ മൂലം സമയക്കുറവുണ്ടു്‌. എങ്കിലും അടുത്ത പോസ്റ്റിട്ടിട്ടുണ്ടു്‌. ഇവിടെ നോക്കൂ.

   വിശ്വത്തിന്റെ കമന്റുകളില്‍ നിന്നു പ്രചോദനമുള്‍ക്കൊണ്ടു്‌ കലിദിനസംഖ്യയെപ്പറ്റി രണ്ടുമൂന്നു്‌ നെടുങ്കന്‍ പോസ്റ്റുകള്‍ ഉടനേ പ്രതീക്ഷിക്കാം. മൊത്തം എഴുതിയിട്ടേ പ്രസിദ്ധീകരിക്കൂ.

ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ (ഭാസ്കരന്‍ II – ക്രി. പി. 12-ാ‍ം ശതകം) ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം:

പാര്‍ത്ഥഃ കര്‍ണ്ണവധായ മാര്‍ഗ്ഗണഗണം ക്രുദ്ധോ രണേ സന്ദധേ
തസ്യാര്‍ദ്ധേന നിവാര്യ തച്ഛരഗണം മൂലൈശ്ചതുര്‍ഭിര്‍ഹയാന്‍
ശല്യം ഷഡ്ഭിരഥേഷുഭിസ്ത്രിഭിരപിച്ഛത്രം ധ്വജം കാര്‍മുകം
ചിച്ഛേദാസ്യ ശിരഃ ശരേണ, കതി തേ യാനര്‍ജ്ജുനഃ സന്ദധേ?

ഭാരതയുദ്ധത്തില്‍ അര്‍ജ്ജുനന്‍ ക്രുദ്ധനായി കര്‍ണ്ണനെ കൊല്ലാന്‍ കുറേ അമ്പുകള്‍ എടുത്തു. അതില്‍ പകുതി കൊണ്ടു കര്‍ണ്ണന്റെ അമ്പുകളെല്ലാം നശിപ്പിച്ചു. വര്‍ഗ്ഗമൂലത്തിന്റെ (square root) നാലിരട്ടി കൊണ്ടു്‌ കുതിരകളെ കൊന്നു. ആറു്‌ അമ്പു കൊണ്ടു ശല്യരെ (കര്‍ണ്ണന്റെ തേരാളി) ഒഴിവാക്കി. മൂന്നെണ്ണം കൊണ്ടു്‌ കുട, കൊടിമരം, വില്ലു്‌ എന്നിവ മുറിച്ചു. ബാക്കി വന്ന ഒരമ്പു കൊണ്ടു്‌ കര്‍ണ്ണന്റെ ശിരസ്സും ഛേദിച്ചു. എങ്കില്‍ ആദ്യം എത്ര അമ്പാണു്‌ എടുത്തതു്‌?

Quadratic equation നിര്‍ദ്ധരിക്കാനുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണിതു്‌. ഇതിന്റെ ആധുനികഗണിതം ഉപയോഗിച്ചുള്ള നിര്‍ദ്ധാരണവും, ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും താമസിയാതെ ഇവിടെ ചേര്‍ക്കാം. അതുവരെ നിങ്ങളൊന്നു ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ.

---

Comments imported from bhaaratheeyaganitham.wordpress.com:

---

7 Responses to “ലീലാവതിയില്‍ നിന്നൊരു പ്രശ്നം: അര്‍ജ്ജുനന്റെ അമ്പുകള്‍”

1. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 14th, 2006 at 8:41 pm

   100 എന്നാണു എന്റെ ഉത്തരം. അഥവാ ശരിയാണെങ്കില്‍ പൊട്ടഭാഗ്യത്തിനു 100 മാര്‍ക്കു കൊടുത്തോള്ളൂ.

2. Viswanathan Prabhakaran Says:

   February 14th, 2006 at 9:14 pm

   ഇതില്‍ എന്താ ഇത്ര കുടുക്ക് എന്നു മനസ്സിലായില്ല!

   let N = x^2 be the number of arrows.

   Then we have

   x^2 – 8x -20 = 0

   from which, a positive root is x=10.

   so N = 100
   ശരിയല്ലേ? അതോ ഇനി വല്ല കുഴപ്പവുമുണ്ടോ?

3. പെരിങ്ങോടന്‍ Says:

   February 14th, 2006 at 9:23 pm

   ആധുനിക ഗണിതത്തിനു ഇതൊരു കുടുക്കല്ലല്ലോ വിശ്വം. ഭാസ്കരാചര്യര്‍ക്കു എപ്രകാരം വിഷമമായിരുന്നു എന്നുള്ളതു ഉമേഷ് വിശദീകരിക്കുമ്പോള്‍ അറിയാം.

4. Viswanathan Prabhakaran Says:

   February 14th, 2006 at 9:26 pm

   എനിക്ക് ഓര്‍മ്മ വരുന്നില്ല പെട്ടെന്ന്. പക്ഷേ ഒരിക്കല്‍ ഞാന്‍ ചെയ്തിരുന്നൂന്നു മാത്രം ഓര്‍മ്മയുണ്ട്!

   വയസ്സായിത്തുടങ്ങി…!

   🙁

5. bhaaratheeyaganitham Says:

   February 14th, 2006 at 9:32 pm

   കുടുക്കൊന്നുമില്ല വിശ്വം. ആറാം ക്ലാസ്സിലെ കുട്ടി ചെയ്യും ഇതു്‌.

   രണ്ടു കാരണങ്ങള്‍ കൊണ്ടാണു്‌ ഇതിവിടെ ചേര്‍ത്തതു്‌

   1) മനോഹരമായി പ്രശ്നങ്ങള്‍ പദ്യരൂപത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ അവതരിപ്പിക്കുന്നതു കാണിക്കാന്‍.

   2) 12-ാ‍ം നൂറ്റാണ്ടിലും (അതിനു മുമ്പും) ഇതൊക്കെ ചെയ്യാനറിയുന്നവര്‍ ഭാരതത്തിലുണ്ടായിരുന്നു എന്നു കാണിക്കാന്‍. “ലീലാവതി” ഒരുപാടു കാലം ടെക്സ്റ്റുബുക്കായിരുന്നു.

   നിങ്ങളുടെ ഉത്തരം ശരി തന്നെ. ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ ഇതിനു്‌ ഒട്ടും പണിപ്പെട്ടിട്ടില്ല പെരിങ്ങോടരേ. നീറ്റായി ഒരു ഫോര്‍മുല തന്നിട്ടുണ്ടു മൂപ്പര്‍. അടുത്ത പോസ്റ്റും ഒരു quadratic equation ആണു്‌. അതുകൂടി കഴിഞ്ഞു്‌ ഭാസ്കരാചാര്യരുടെ രീതിയും മറ്റും ഈ രണ്ടു ചോദ്യങ്ങള്‍ക്കും വിശദീകരിക്കാം.

   ഭാസ്കരാചര്യരും അതിനു മുമ്പു ബ്രഹ്മഗുപ്തനും സോള്‍വു ചെയ്തതും, പാശ്ചാത്യര്‍ക്കു പിന്നെയും നാലഞ്ചു നൂറ്റാണ്ടു കൂടി വേണ്ടി വന്നതും, നമ്മളില്‍ മിക്കവര്‍ക്കും ഇപ്പോഴും ചെയ്യാന്‍ പറ്റാത്തതുമായ ചിലതു്‌ ഇനി വരുന്നുണ്ടു്‌. ജാഗ്രതൈ!