ഗണിതം (Mathematics)

പെണ്ണും സിംഹവും തുടരുന്നു…

നിയമപ്രകാരമുള്ള മുന്നറിയിപ്പു്: ഈ പോസ്റ്റു മുഴുവൻ കണക്കാണു്. (എന്റെ എല്ലാ പോസ്റ്റും കണക്കാണു്, അതു വേറെ കാര്യം.) ഈ പോസ്റ്റും അതിന്റെ കമന്റുകളും വായിച്ചെങ്കിലേ ഇതു മനസ്സിലാവൂ. അതു വായിക്കാൻ കരളുറപ്പില്ലാത്ത ദുർബ്ബലരും വിശാലരും ദയവായി ഈ പോസ്റ്റ് വായിച്ചോളൂ.

ബാബു കല്യാണത്തിനെക്കൊണ്ടു് ഒരു രക്ഷയുമില്ല. ഇതാ വേറൊരു സാധനവും കൊണ്ടു വന്നിരിക്കുന്നു…

അങ്ങേരു പറഞ്ഞതു ചുരുക്കി മലയാളത്തിലാക്കിയാൽ:

  1. മൂന്നു റ്റൂ-ബെഡ്‌റൂം ഫ്ലാറ്റുകൾ.
    1. ഒരു വീട്ടിലെ രണ്ടു ബെഡ്‌റൂമുകളിൽ ഒന്നിൽ പെണ്ണു്, മറ്റേതിലും പെണ്ണു്.
    2. രണ്ടാമത്തെ വീട്ടിലെ രണ്ടു ബെഡ്‌റൂമുകളിൽ ഒന്നിൽ സിംഹം, മറ്റേതിലും സിംഹം.
    3. മൂന്നാമത്തെ വീട്ടിലെ രണ്ടു ബെഡ്‌റൂമുകളിൽ ഒന്നിൽ പെണ്ണു്, മറ്റേതിൽ സിംഹം.
    4. ഏതിൽ എന്തെന്നു് ബാബുവിനു് യാതൊരു പിടിയുമില്ല.
  2. ആദ്യം ഫ്ലാറ്റ് തിരഞ്ഞെടുക്കണം.
  3. പിന്നെ ഫ്ലാറ്റിലെ ഒരു ബെഡ്‌റൂം തിരഞ്ഞെടുക്കണം.
    1. അതിൽ സിംഹമാണെങ്കിൽ അപ്പോൾത്തന്നെ കഥ കഴിഞ്ഞു.
    2. അതിൽ പെണ്ണാണെങ്കിൽ…
      1. പെണ്ണാണെന്നു് കണ്ടതിനു ശേഷം അവൾ കതകടയ്ക്കും.
      2. എന്നിട്ടു് അവൾ ഒരു നാണയം ടോസ് ചെയ്യും. അതിൽ അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ അങ്ങനെ തന്നെ നിൽക്കും. അക്കം വന്നാൽ അവൾ മറ്റേ മുറിയിൽ പോകും. എന്നിട്ടു് ആ മുറിയിലെ ആൾ (പെണ്ണോ സിംഹമോ) ആദ്യത്തെ മുറിയിൽ വരും.
      3. ബാബുവിനു് ഒന്നുകൂടി ബെഡ്‌റൂം തിരഞ്ഞെടുക്കാം. അതിൽ സിംഹമാണെങ്കിൽ ചത്തു. പെണ്ണാണെങ്കിൽ ബാബു കല്യാണം.
  4. ഇതാണു സെറ്റപ്പു് എന്നല്ലാതെ കൂടുതൽ വിവരമൊന്നും ഈ ചങ്ങാതിയ്ക്കു് അറിയില്ലെങ്കിൽ അവനു് ഏതെങ്കിലും ഒരു പെണ്ണിനെ കല്യാണം ചെയ്തു് സുഖമായി ഇഞ്ചിഞ്ചായി മരിക്കാൻ എന്താണു സംഭാവ്യത?

ദാ എന്റെ അനാലിസിസ്:

  1. രണ്ടു പെണ്ണുമുള്ള വീട്ടിൽ കയറാൻ സാദ്ധ്യത 1/3. അതിൽ കയറിയാൽ കല്യാണം ഉറപ്പു്. കല്യാണസാദ്ധ്യത 1/3 x 1 = 1/3. സിംഹസാദ്ധ്യത 1/3 x 0 = 0.
  2. രണ്ടു സിംഹമുള്ള വീട്ടിൽ കയറാൻ സാദ്ധ്യത 1/3. അതിൽ കയറിയാൽ മരണം ഉറപ്പു്. സിംഹസാദ്ധ്യത 1/3 x 1 = 1/3. കല്യാണസാദ്ധ്യത 1/3 x 0 = 0.
  3. പെണ്ണും സിംഹവുമുള്ള വീട്ടിൽ കയറാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/3. അതിൽ കയറിയാൽ…
    1. ആദ്യം സിംഹത്തെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/2. അപ്പോൾ സിംഹസാദ്ധ്യത 1/3 x 1/2 = 1/6. കല്യാണസാദ്ധ്യത = 0.
    2. ആദ്യം പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/2. (മൊത്തം സാദ്ധ്യത = 1/3 x 1/2 = 1/6) അങ്ങനെ വന്നാൽ രണ്ടാം തവണ…
      1. സിംഹത്തെ കിട്ടാൻ സാദ്ധ്യത 1/2. സിംഹസാദ്ധ്യത = 1/6 x 1/2 = 1/12.
      2. പെണ്ണിനെ കിട്ടാൻ സാദ്ധ്യത 1/2. കല്യാണസാദ്ധ്യത = 1/6 x 1/2 = 1/12.

അപ്പോൾ, മൊത്തം കല്യാണസാദ്ധ്യത = 1/3 + 0 + 0 + 1/12 = 5/12 = 41.66666… %. മൊത്തം സിംഹസാദ്ധ്യത = 0 + 1/3 + 1/6 + 1/12 = 7/12 = 58.3333…%.

പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്നങ്ങളുടെ അവസാനത്തെ സ്റ്റെപ്പാണു് അതെല്ലാം കൂടി കൂട്ടി നോക്കുന്നതു്. കൂട്ടിയാൽ ആകെ ഒന്നു കിട്ടണം. അതായതു് ടോട്ടൽ പ്രോബബിലിറ്റി 100%. ഇവിടെ 5/12 = 7/12 = 1.

പരീക്ഷകൾക്കു് ഇവിടെയാണു വടിയാകുന്നതു്. കണക്കെല്ലാം ചെയ്തിട്ടു് അവസാനം തുക ഒന്നേകാലോ ഒന്നരയോ ആവുന്നതു്…


ബാബു കല്യാണം അവിടെയും നിർത്തിയില്ല. വേറൊരു സാധനവും കൊണ്ടു വന്നു. രാജാവു് ഒന്നുകൂടി കോയിൻ ടോസ്സു ചെയ്തത്രേ. രണ്ടു തവണ പെണ്ണിനെത്തന്നെ കിട്ടിയാലും ഒന്നുകൂടി ടോസ്സ് ചെയ്യണമത്രേ!

അതിനെന്താ? എത്ര വേണമെങ്കിലും ടോസ് ചെയ്തോളൂ.

മുകളിലുള്ള കണക്കനുസരിച്ചു് പെണ്ണും സിംഹവുമുള്ള വീടു കിട്ടിയിട്ടു് അവിടെ രണ്ടു തവണ പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/12 ആണെന്നു കണ്ടു. അടുത്ത തവണ നാണയം ടോസ് ചെയ്യുമ്പോൾ പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത പിന്നെയും പകുതിയാകും. അതായതു് 1/24.

അപ്പോൾ മൂന്നു തവണ ടോസ് ചെയ്താലും അവസാനം പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത = 1/3 + 0 + 0 + 1/24 = 9/24 = 3/8 = 37.5%


ബാബുവിന്റെ ചോദ്യം വ്യക്തമായതു് കമന്റിലാണു്. ആദ്യത്തെ രണ്ടു ട്രയലിലും പെണ്ണിനെ കിട്ടിയതിനു ശേഷം, മൂന്നാമത്തെ ട്രയലിൽ പെണ്ണിനെ (മുമ്പു കിട്ടിയ പെണ്ണിനെ വേണമെന്നില്ല) കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത എന്താണു്?

ഇതിനെ Conditional probability എന്നു പറയും. A, B എന്നു രണ്ടു സംഭവങ്ങളുടെ സാദ്ധ്യത യഥാക്രമം P(A), P(B) ആണെന്നിരിക്കട്ടേ. A സംഭവിച്ചു എന്നു് ഉറപ്പായതിനു ശേഷം B സംഭവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യതയെ P(B/A) എന്നു വിളിച്ചാൽ

ഇവിടെ,

A = വീടു തിരഞ്ഞെടുത്തതിനു ശേഷം ആദ്യത്തെ രണ്ടു ട്രയലിലും പെണ്ണിനെ കിട്ടുന്ന സംഭവം. P(A) = 5/12.
B = മൂന്നു ട്രയലിലും പെണ്ണിനെ കിട്ടുന്ന സംഭവം. P(B) = 3/8.

അപ്പോൾ, P(B/A) = (3/8) / (5/12) = 9/10.

ഇതു് അല്പം അവിശ്വസനീയമായ കാര്യമാണു്. രണ്ടു തവണ പെണ്ണിനെ കിട്ടാൻ തന്നെ പാടാണു്. അതു കിട്ടിയാൽ കുറ്റവാളി രണ്ടു പെണ്ണുള്ള വീട്ടിലാവാനാണു കൂടുതൽ സാദ്ധ്യത എന്നും അതാണു് മൂന്നാമത്തേതും പെണ്ണാവാനുള്ള സാദ്ധ്യത ഇങ്ങനെ കൂടിയതെന്നും ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷൻ വെച്ചു പറയാം.


ഇത്രയൊക്കെ കഷ്ടപ്പെട്ടു ടൈപ്പു ചെയ്തപ്പോഴാണു് ഇതു വിശദീകരിക്കാൻ മറ്റൊരു സരളമായ വഴിയുണ്ടെന്നു കണ്ടതു്. (തല്ലല്ലേ, ഒന്നു വിരട്ടി വിട്ടാൽ മതി!)

ബാബുവിനു് മൂന്നു വീടുകളുണ്ടു്. ഓരോ വീട്ടിലും മൂന്നു തവണ രണ്ടിലൊന്നു തിരഞ്ഞെടുക്കണം. അതായതു്, ഓരോ വീട്ടിലും 2 x 2 x 2 = 8 സാദ്ധ്യതകൾ. അങ്ങനെ മൊത്തം 3 x 8 = 24 സാദ്ധ്യതകൾ. ഇതിൽ ഏതെങ്കിലും ഒന്നു മറ്റൊന്നിനെക്കാൾ മെച്ചമാണന്നു ബാബുവിനു് അറിയാത്തതിനാൽ ഇരുപത്തിനാലിൽ ഏതു സംഭവിക്കാനും ബാബുവിന്റെ സംഭാവ്യത തുല്യം.

ഇനി, രണ്ടു സിംഹത്തിന്റെ വീട്ടിൽ കയറുന്ന 8 സാദ്ധ്യതകളിൽ ബാബു കാഞ്ഞുപോകും. രണ്ടു പെണ്ണിന്റെ വീട്ടിൽ കയറുന്ന 8 സാദ്ധ്യതകളിൽ ബാബുവിനു കല്യാണവും സംഭവിക്കും.

സിംഹവും പെണ്ണുമുള്ള വീട്ടിലാണു് അല്പം കോമ്പ്ലിക്കേഷൻ. അതിലെ 8 സാദ്ധ്യതകൾ താഴെച്ചേർക്കുന്നു.

1. LLL
2. LLG
3. LGL
4. LGG
5. GLL
6. GLG
7. GGL
8. GGG

ഇവയിൽ മൂന്നു ട്രയലിലും പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത (8) മാത്രം. അതായതു് ഒരു സാദ്ധ്യത മാത്രം. എന്നു വെച്ചാൽ 24 സാദ്ധ്യതകളിൽ 8+1 = 9 എണ്ണം മാത്രമേ മൂന്നു ട്രയലിനു ശേഷം ബാബുവിനു കല്യാണം കൊടുക്കൂ. 9/24 = 3/8 എന്നതു നമുക്കു മുകളിൽ കിട്ടിയ ഉത്തരം തന്നെ.

ഇനി, ആദ്യത്തെ രണ്ടു ട്രയലിൽ പെണ്ണാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത: മുകളിലെ പട്ടികയിൽ (7), (8) എന്നിവ മാത്രം. അതായതു് 24-ൽ 8+2 = 10 സാദ്ധ്യതകൾ. അതിനാൽ ആദ്യത്തെ രണ്ടു ട്രയലിനു ശേഷം ബാബുവിനു കല്യാണത്തിനുള്ള സാദ്ധ്യത 10/24 = 5/12. ഇതും മുകളിൽ കണ്ടുപിടിച്ചതു തന്നെ.

10 സാദ്ധ്യതകളിൽ ആദ്യത്തെ രണ്ടെണ്ണം പെണ്ണാവുകയും, അവയിൽ ഒമ്പതെണ്ണത്തിൽ മൂന്നാമതും പെണ്ണാവുകയും ചെയ്യുന്നതുകൊണ്ടു്, ബാബുവിന്റെ അവസാനത്തെ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരം 9/10.


പ്രോബബിളിറ്റി പ്രശ്നങ്ങൾ സോൾവു ചെയ്യുമ്പോൾ എനിക്കു ശരിയുത്തരം കിട്ടുന്നതിന്റെ പ്രോബബിളിറ്റി സാധാരണയായി വളരെ കുറവാണു്. അതുകൊണ്ടു് ഞാൻ എപ്പോഴും ഒരു സിമുലേഷൻ നടത്തി നോക്കും. ഇവിടെയും അതു ചെയ്തു. ഈ സംഭവം പത്തുലക്ഷം തവണ ചെയ്യുന്ന ഒരു കമ്പ്യൂട്ടർ പ്രോഗ്രാം എഴുതി ഓരോന്നും സംഭവിക്കുന്നതു് എണ്ണി. ഫലം താഴെ. (അതു രണ്ടു തവണ ചെയ്തു് ഉത്തരം ഒന്നു തന്നെ കിട്ടുമോ എന്നു പരിശോധിച്ചതാണു് ഇടത്തും വലത്തും.)

മുകളിൽ കൊടുത്ത രീതികൾ a-priori probability ആണു തരുന്നതു്. കണക്കുകൂട്ടലിലൂടെയുള്ള സംഭാവ്യത. താഴെക്കൊടുക്കുന്നതു് a-posteriori probability ആണു്. ശരിക്കുള്ള പരീക്ഷണങ്ങളിലൂടെ. രണ്ടും ഒരേ ഉത്തരത്തിൽ എത്തണം, പരീക്ഷണം ആവശ്യത്തിനു കൂടുതൽ തവണ നടത്തിയാൽ.
$ monty.py
Total trials =  1000000

First House = 334205 = 33.4205 %
Second House = 332556 = 33.2556 %
Third House = 333239 = 33.3239 %

Lion in First house = 334205 = 33.4205 %
Lion in Third house = 166628 = 16.6628 %
Girl and Lion in Third house = 83563 = 8.3563 %
Girl, Girl and Lion in Third house = 41430 = 4.143 %

Lion in one trial = 500833 = 50.0833 %
Lion in two trials = 417768 = 41.7768 %
Lion in three trials = 375635 = 37.5635 %

Lion in one trial = 500833 = 50.0833 %
Lion in one or two trials = 584396 = 58.4396 %
Lion in one, two or three trials = 625826 = 62.5826 %

Girls in second house = 332556 = 33.2556 %
Girl in third house = 166611 = 16.6611 %
Girl and Girl in third house = 83048 = 8.3048 %
Girl, Girl and Girl in third house = 41618 = 4.1618 %

Girl in at least one trial = 499167 = 49.9167 %
Girls in at least two trials = 415604 = 41.5604 %
Girls in three trials = 374174 = 37.4174 %
$ monty.py
Total trials =  1000000

First House = 333400 = 33.34 %
Second House = 332692 = 33.2692 %
Third House = 333908 = 33.3908 %

Lion in First house = 333400 = 33.34 %
Lion in Third house = 167200 = 16.72 %
Girl and Lion in Third house = 83389 = 8.3389 %
Girl, Girl and Lion in Third house = 41446 = 4.1446 %

Lion in one trial = 500600 = 50.06 %
Lion in two trials = 416789 = 41.6789 %
Lion in three trials = 374846 = 37.4846 %

Lion in one trial = 500600 = 50.06 %
Lion in one or two trials = 583989 = 58.3989 %
Lion in one, two or three trials = 625435 = 62.5435 %

Girls in second house = 332692 = 33.2692 %
Girl in third house = 166708 = 16.6708 %
Girl and Girl in third house = 83319 = 8.3319 %
Girl, Girl and Girl in third house = 41873 = 4.1873 %

Girl in at least one trial = 499400 = 49.94 %
Girls in at least two trials = 416011 = 41.6011 %
Girls in three trials = 374565 = 37.4565 %

ഇതിലെ അവസാനത്തെ രണ്ടു വരികളാണു നോക്കേണ്ടതു്. (ഇടത്തു വശത്തെ ഫലമാണു് താഴെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്.) 1000000 തവണ ചെയ്തപ്പോൾ 415604 തവണ രണ്ടാമതും പെണ്ണിനെ കിട്ടി. 374174 തവണ മൂന്നാമതും പെണ്ണിനെ കിട്ടി.

അപ്പോൾ

  • രണ്ടു ട്രയലിലും പെണ്ണിനെ കിട്ടാൻ സാ‍ദ്ധ്യത = 41.5%. മുകളിലെ കണക്കനുസരിച്ചു് സാദ്ധ്യത = 5/12 = 41.67%.
  • മൂന്നു ട്രയലിലും പെണ്ണിനെ കിട്ടാൻ സാദ്ധ്യത = 37.4%. മുകളിലെ കണക്കനുസരിച്ചു് സാദ്ധ്യത = 3/8 = 37.5%.
  • രണ്ടു തവണ പെണ്ണിനെ കിട്ടിയതിനു ശേഷം മൂന്നാമതും പെണ്ണിനെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യത = 374174/415604 = 0.9003 = 90.03%. മുകളിലെ കണക്കനുസരിച്ചു് സാദ്ധ്യത = 9/10 = 90%.

എല്ലാം കഴിഞ്ഞപ്പോഴാണു്, ഉണ്ടിരുന്ന ജോഷിക്കു് ഒരു വിളി തോന്നിയതു്.

ആദ്യം കതകു തുറന്ന പെണ്ണിനോടു് ബാബുവിനു് ഒരു സോഫ്റ്റ് കോർണർ ഉണ്ടായത്രേ! അവളെത്തന്നെ അവസാനവും കിട്ടാൻ സാദ്ധ്യത എന്താണു് എന്നറിയണം.

ഇരുപത്തിനാലു സാദ്ധ്യതകൾ ഉണ്ടെന്നു നാം മുകളിൽ കണ്ടു. അതിൽ സിംഹങ്ങൾ മാത്രമുള്ള എട്ടു സാദ്ധ്യതകൾ വിടുക. സിംഹവും പെണ്ണുമുള്ള എട്ടെണ്ണത്തിൽ ഒന്നിൽ അവസാനം പെണ്ണിനെ കിട്ടുമെന്നു കണ്ടു. അതു് ആദ്യത്തെ പെണ്ണാകാനേ വഴിയുള്ളൂ. അപ്പോൾ ഒരു സാദ്ധ്യത അവിടെ.

പെണ്ണും പെണ്ണുമുള്ള വീടു് ആയാലോ? നമുക്കു് പെണ്ണുങ്ങളെ ഗൌരി എന്നും ലിസി എന്നും വിളിക്കാം. എന്നിട്ടു മുകളിലെ പട്ടിക ഒന്നു കടമെടുക്കാം.

1. LLL
2. LLG
3. LGL
4. LGG
5. GLL
6. GLG
7. GGL
8. GGG

ആദ്യവും അവസാനവും ഒരേ പെണ്ണു വരാനുള്ള സാദ്ധ്യതകൾ (1), (3), (6), (8). അതായതു നാലു സാദ്ധ്യതകൾ. മൊത്തം 0 + 1 + 4 = 5 സാദ്ധ്യതകൾ. അതായതു് ആദ്യം പെണ്ണിനെ കിട്ടുകയും അവളെത്തന്നെ അവസാനവും കിട്ടുകയും ചെയ്യാനുള്ള സംഭാവ്യത 5/24.

ഇനി, രണ്ടു ട്രയലിൽ ഒരേ പെണ്ണു തന്നെ കിട്ടാനുള്ള സാദ്ധ്യതയോ? സിംഹ-സിംഹ-വീട്ടിൽ 0, സിംഹ-പെണ്ണു് വീട്ടിൽ 2, പെണ്ണു്-പെണ്ണു് വീട്ടിൽ (1), (2), (7), (8) എന്നു 4. മൊത്തം 0 + 2 + 4 = 6. സംഭാവ്യത = 6/24 = 1/4.

ജോഷിക്കു സമാധാനമായോ?


തർക്കമില്ലാത്ത പ്രോബബിലിറ്റി പ്രശ്നങ്ങളില്ല. നമുക്കു തർക്കിക്കാം. തർക്കിച്ചു തർക്കിച്ചു പോകാം…

ഗണിതം (Mathematics)
ചുഴിഞ്ഞുനോക്കല്‍
പ്രതികരണം

Comments (20)

Permalink

പെണ്ണിന്റെ സാദ്ധ്യതയും സിംഹത്തിന്റെ വെള്ളെഴുത്തും

(അഥവാ ശ്രീഹരി vs മധുസൂദനൻ: ഒരു പെണ്ണുകേസിന്റെ സിംഹഭാഗം)

വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കർമ്മണിപ്രയോഗം എന്ന പോസ്റ്റിൽ ഇട്ട കമന്റിൽ ബാബുകല്യാണം (ഇവനെയൊന്നും കല്യാണം കഴിപ്പിച്ചു വിടാൻ ആരുമില്ലേ?) ചോദിച്ച ചോദ്യത്തിനു് ശ്രീഹരിയും (ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഇവിടെയും)മധുസൂദനൻ പേരടിയും (ഇവിടെയും ഇവിടെയും ഇവിടെയും) തമ്മിൽ നടന്ന തർക്കത്തിനു മേൽ എന്റെ അഭിപ്രായമാണു താഴെ:

ശ്രീഹരിയുടെയും മധുസൂദനന്റെയും വാദങ്ങൾ മുഴുവനും വായിച്ചില്ല. എങ്കിലും, ശ്രീഹരിയാണു ശരിയെന്നു തോന്നുന്നു.

ഞാൻ മനസ്സിലാക്കിയിടത്തോളം ബാബു കല്യാണത്തിന്റെ പ്രശ്നം ഇങ്ങനെയാണു്:

  1. രണ്ടു സിംഹവും രണ്ടു പെണ്ണും.
  2. രാജാവു് നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു. അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ ആദ്യത്തെ മുറിയിൽ സിംഹത്തെ കയറ്റുന്നു. അക്കം വന്നാൽ പെണ്ണിനെയും.
  3. രാജാവു വീണ്ടും നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു. അശോകസ്തംഭം വന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ മുറിയിൽ സിംഹത്തെ കയറ്റുന്നു. അക്കം വന്നാൽ പെണ്ണിനെയും.
  4. തടവുകാരൻ ഒരു മുറി തുറന്നു് അകത്തു കയറുന്നു. ഏതു മുറിയിൽ എന്താണെന്നു് അവനു് അറിയില്ല. കയറുന്ന സ്ഥലത്തു് സിംഹമാണെങ്കിൽ ഉടനേ സുഖമായി മരിക്കുന്നു. പെണ്ണാണെങ്കിൽ അവളെ കല്യാണം കഴിച്ചു് വളരെക്കാലം കൊണ്ടു് ഇഞ്ചിഞ്ചായി വേദനയനുഭവിച്ചു മരിക്കുന്നു.

അവനു് സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ‌പ്പെട്ടു മരിക്കാതെ പെണ്ണിനെക്കെട്ടി ജീവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യതയാണു കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്.

ഇനി, താഴെപ്പറയുന്ന കാര്യങ്ങൾ കൂടി ശരിയാണെന്നും നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.

  • നാണയത്തിന്റെ ഒരു വശത്തു് അശോകസ്തംഭവും മറ്റേ വശത്തു് അക്കവും ആകണം. അല്ലാതെ രണ്ടിലും സ്തംഭം വരരുതു്. ഒരിടത്തു് അശോകസ്തംഭവും അക്കവും കൂടിയും മറ്റേ വശത്തു കുടുംബാസൂത്രണത്തിന്റെ ചിഹ്നവും ഉള്ള നാണയം പാടില്ല.
  • അശോകസ്തംഭവും അക്കവും വീഴാനുള്ള സാദ്ധ്യത തുല്യമായിരിക്കണം. നാണയം unbiased ആയിരിക്കണം എന്നർത്ഥം.
  • കുറ്റവാളിക്കു യാതൊരു സൂചനയും ഇല്ല. അതിനാൽ അയാൾ ഒരു മുറി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്നതും നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നതു പോലെ തന്നെ. 50%-50% സാ‍ദ്ധ്യത.

ഈ പ്രശ്നത്തെ രണ്ടു തരത്തിൽ കാണാം.

  1. മേൽ‌പ്പറഞ്ഞ പ്രശ്നം നമുക്കു തന്നിട്ടു് ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറയുക.
  2. രാജാവു് നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്തു് രണ്ടു മുറിയും നിറച്ചതിനു ശേഷം ഉത്തരം കണ്ടുപിടിക്കാൻ പറയുക.

രണ്ടിലും ഉത്തരം രണ്ടാണു്.

രണ്ടാമത്തേതു് ആദ്യം എടുക്കാം. രാജാവ് നാണയമിട്ടപ്പോൾ രണ്ടു തവണയും അശോകസ്തംഭം വന്നെന്നിരിക്കട്ടേ. രണ്ടിലും സിംഹങ്ങൾ. ഇവിടെ പ്രതി സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ അകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത 100% ആണു്. നേരെ മറിച്ചു്, രണ്ടിലും അക്കം വരുകയും രണ്ടിലും പെണ്ണുങ്ങൾ ആവുകയും ചെയ്താൽ അതു 0% ആണു്. ഇനി ഒരെണ്ണം അശോകസ്തംഭവും മറ്റേതു് അക്കവും ആയി ഒന്നിൽ സിംഹവും മറ്റേതിൽ പെണ്ണുമായാൽ സിംഹമുള്ള വാതിൽ അയാൾ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ സാദ്ധ്യത 50% ആണു്.

രാജാവിന്റെ കോയിൻ ടോസ്സ് അനുസരിച്ചു് ഫലം മാറാം എന്നർത്ഥം.

ഇനി, ആദ്യത്തെ ചോദ്യം പരിശോധിക്കാം.

ഇതിൽ മൂന്നുതരം സംഭവങ്ങളുണ്ടു്.

ഒന്നാം സംഭവം: കുറ്റവാളി തിരഞ്ഞെടുക്കുന്ന വാതിൽ

സൂചനയൊന്നും ഇല്ലാത്തതിനാൽ ആദ്യത്തേയോ രണ്ടാമത്തെയോ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/2 വീതം.

രണ്ടാം സംഭവം: നാണയമിടുന്നതും സിംഹത്തെയോ പെണ്ണിനെയോ മുറിയിൽ ഇടുന്നതും.

ഒരു പോലെ സാദ്ധ്യതയുള്ള നാലു് സംഭവങ്ങളാണു് രാജാവു നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുമ്പോൾ ഉണ്ടാവുക.

  1. രണ്ടും അശോകസ്തംഭം. രണ്ടിലും സിംഹം.
  2. രണ്ടും അക്കം. രണ്ടിലും പെൺ‌കുട്ടികൾ.
  3. ആദ്യം അശോകസ്തംഭം, പിന്നെ അക്കം. ആദ്യത്തേതിൽ സിംഹം, രണ്ടാമത്തേതിൽ പെണ്ണു്.
  4. ആദ്യം അക്കം, പിന്നെ അശോകസ്തംഭം. ആദ്യത്തേതിൽ പെണ്ണു്, രണ്ടാമത്തേതിൽ സിംഹം.

ഇവ നാലിനും സാദ്ധ്യത തുല്യം. 1/4 വീതം.

മൂന്നാം സംഭവം (ക): സിംഹമുള്ള മുറിയിൽ അകപ്പെട്ടാൽ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ പെട്ടു മരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത

സിംഹത്തിനു വെള്ളെഴുത്തോ വയറ്റുനോവോ ഇല്ലെന്നു കരുതിയാൽ ഇതു് നൂറു ശതമാനം ആണു്. 1 എന്നർത്ഥം.

മൂന്നാം സംഭവം (ഖ): പെണ്ണുള്ള മുറിയിൽ അകപ്പെട്ടാൽ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ പെട്ടു മരിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത

ഇതു് പൂജ്യം ആണു്. കൂടുതൽ വേദനാജനകമായ മരണം അവനെ കാത്തിരിക്കുന്നു.

ഈ മൂന്നു സംഭവങ്ങളും തമ്മിൽ ബന്ധമില്ലാത്തതും ഒരേ സമയം സംഭവിക്കുന്നവയും ആകുന്നതു കൊണ്ടു് അവയുടെ സംഭാവ്യതകളെ തമ്മിൽ ഗുണിക്കുന്നു. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന സാദ്ധ്യതകളെ തമ്മിൽ കൂട്ടി മൊത്തം സാദ്ധ്യത കണ്ടു പിടിക്കുന്നു.

അപ്പോൾ സിംഹത്തിന്റെ വായിൽ അകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത

= (1/2 x 1/4 x 1 + 1/2 x 1/4 x 1) + (1/2 x 1/4 x 0 + 1/2 x 1/4 x 0) + (1/2 x 1/4 x 1 + 1/2 x 1/4 x 0) + (1/2 x 1/4 x 0 + 1/2 x 1/4 x 1)
= 1/4 + 0 + 1/8 + 1/8 = 1/2.

അതായതു്, കുറ്റവാളി സിംഹത്തിന്റെ വായിലകപ്പെടാനുള്ള സാദ്ധ്യത നേർപകുതി (50%) ആണു്.


സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രത്തിലെ പല പ്രശ്നങ്ങളുടെയും ഉത്തരങ്ങളും ഇതുപോലെ ശരിയായി കണക്കുകൂട്ടിയാലേ കിട്ടൂ. സാഹചര്യമനുസരിച്ചു് അതു മാറുകയും ചെയ്യും. മധുസൂദനൻ പേരടി പറയുന്നതു പോലെ ചായക്കടയിലെ ഇന്റ്യൂഷനുമായി പോയാൽ പലപ്പോഴും തെറ്റായ ഉത്തരമേ കിട്ടൂ.

ഈ തരത്തിലുള്ള മറ്റൊരു പ്രശസ്ത പ്രശ്നമുണ്ടു് – മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം. ഇതിൽ മൂന്നു വാതിലും ഒരു പെണ്ണും രണ്ടു സിഹവും ഉണ്ടു്. രാജാവു നാണയമൊന്നും ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നില്ല. പകരം ഒരു വാതിലിനു പിന്നിൽ പെണ്ണിനെയും മറ്റു രണ്ടു വാതിലുകളുടെയും പിറകിൽ സിംഹങ്ങളെയും നിർത്തിയിരിക്കുന്നു. എന്നിട്ടു് കുറ്റവാളിയോടു് ഒരു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ പറയും. അയാൾ ഏതു വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്താലും സിംഹമുള്ള വേറേ ഒരു മുറിയെങ്കിലും ഉണ്ടായിരിക്കുമല്ലോ. ആ മുറിയുടെ കിളിവാതിൽ തുറന്നിട്ടു് അതിനകത്തു സിംഹമാണെന്നു് കുറ്റവാളിയെ കാണിക്കും. എന്നിട്ടു് കുറ്റവാളിക്കു് തന്റെ തീരുമാനം പുനഃപരിശോധിക്കാൻ അവസരം കൊടുക്കും. ഒന്നുകിൽ അയാൾക്കു് ആദ്യത്തെ വാതിൽ തന്നെ തുറക്കാം. അല്ലെങ്കിൽ അയാൾക്കു് സിംഹത്തെ കണ്ടതല്ലാത്ത മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കാം. ഏതു തുറക്കുന്നതാണു് നല്ലതു്?

ഇതു വളരെയധികം തർക്കമുണ്ടാക്കിയിട്ടുള്ള ഒരു പ്രശ്നമാണു്. ഒരിക്കൽ ഈ ചോദ്യത്തിനു് മറിലിൻ സാവന്ത് പറഞ്ഞ ഉത്തരം തെറ്റാണെന്നു പറഞ്ഞു് പല ഗണിതശാസ്ത്രപ്രൊഫസർ മാർ വരെ ബഹളമുണ്ടാക്കിയായിരുന്നു. (മറിലിൻ പറഞ്ഞതു ശരിയായിരുന്നു.)

മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കുന്നതാണു നല്ലതു്. കാരണം, ഓരോ വാതിലിലും പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത തുല്യമാണു് – 1/3 വീതം. ആദ്യത്തെ വാതിൽ തിരഞ്ഞെടുത്തപ്പോൾ അതിൽ പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരുന്നു. മറ്റു രണ്ടെണ്ണത്തിനും 2/3-ഉം. മറ്റു രണ്ടെണ്ണത്തിലെ സിംഹമുള്ള ഒരു വാതിൽ ഒഴിവാക്കിയാൽ മൂന്നാമത്തെ വാതിലിൽ പെണ്ണുണ്ടാകാനുള്ള സാദ്ധ്യത അതിനാൽ 2/3 ആണു്. അതായതു് തീരുമാനം മാറ്റിയാൽ സാദ്ധ്യത ഇരട്ടിയാകും എന്നർത്ഥം.

തർക്കിക്കുന്നവർക്കു രണ്ടു വാദങ്ങളാണു്:

  1. ഓരോ വാതിലിന്റെയും സാദ്ധ്യത 1/3 ആണു്. ഒരു വാതിൽ സിംഹമാണന്നറിഞ്ഞാലും മറ്റു രണ്ടിലെയും സാദ്ധ്യതകൾ മാറുന്നില്ല. മാറിയാലും അവ 1/2 വീതമായിരിക്കും.

    ഇതു തെറ്റാണു്.

  2. സിംഹത്തെ കാണുന്നതിനു മുമ്പു് എല്ലാ വാതിലിന്റെയും സാദ്ധ്യത 1/3 ആയിരുന്നു. സിംഹത്തെ കണ്ടുകഴിഞ്ഞു് ആദ്യത്തെ വാതിലിന്റെ സംഭാവ്യത മാറുന്നില്ലെങ്കിലും മൂന്നാമത്തെ വാതിലിന്റെ സാദ്ധ്യത 1/3-ൽ നിന്നു് 1/2 ആയി ഉയർന്നു.

    ഇതിലും മൂന്നാമത്തെ വാതിൽ തുറക്കുന്നതു തന്നെയാണു നല്ലതെന്നു പറയുന്നു എങ്കിലും കാരണം തെറ്റാണു്.

കൂടുതൽ വിവരങ്ങൾക്കു് വിക്കി ലേഖനം തന്നെ വായിക്കൂ. അതിന്റെ വിശദമായ വിശകലനവും തിയറിയും അതു പോലെയുള്ള മറ്റു പ്രശ്നങ്ങളിലേക്കുമുള്ള ലിങ്കും ഒക്കെയായി ഒരു ദിവസത്തെ വായനയ്ക്കുണ്ടു്.


സൂക്ഷിച്ചു കൈകാര്യം ചെയ്യേണ്ട ഒരു ഗണിതശാഖയാണു് സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം (Theory of Probability). അതിന്റെ ബേസിക് അസമ്‌പ്ഷൻസ് വിട്ടു പോകുന്നതാണു് പലപ്പോഴും തെറ്റു പറ്റാൻ കാരണം. അതുപോലെ നമുക്കു് അറിവുള്ള കാര്യങ്ങൾ മാറുമ്പോൾ സംഭാവ്യതയും മാറും. മുകളിൽ പറഞ്ഞ മോണ്ടി ഹാൾ പ്രശ്നം ഒരുദാഹരണം.

ഇതു പോലെ മറ്റൊരു പ്രഹേളികയുള്ളതു് ഒരു കഥയായി താഴെച്ചേർക്കുന്നു.


ഒരു ഇന്റർവ്യൂവിനു കാലിഫോർണിയയിൽ എത്തിയതാണു ഞാൻ. എയർപോർട്ടിൽ നിന്നു് എന്നെ കൂട്ടിക്കൊണ്ടു പോകാമെന്നു് സിബു പറഞ്ഞിരുന്നു. സിബുവും ഞാനും അതു വരെ തമ്മിൽ കണ്ടിട്ടില്ല. ബ്ലോഗിലൂടെയുള്ള പരിചയമേ ഉള്ളൂ.

ഇന്റർവ്യൂവിനു കുത്തിയിരുന്നു പഠിച്ച കൂട്ടത്തിൽ ഏറ്റവും അവസാനം പഠിച്ചതു ഗണിതമായിരുന്നു. ഇവർ പസിലുകളൊക്കെ ചോദിക്കുമെന്നാണു കേട്ടിട്ടുള്ളതു്. വിമാനത്തിലിരുന്നു വായിച്ചതു് പ്രോബബിളിറ്റി തിയറിയാണു്. അതിനാൽ വെളിയിൽ ഇറങ്ങിയപ്പോൾ കാണുന്നിടത്തെല്ലാം പ്രോബബിളിറ്റി കാണാൻ തുടങ്ങി. തല നേരേ നിൽക്കുന്നില്ല.

എയർപോർട്ടിന്റെ വെളിയിൽ ഇറങ്ങി. സിബുവിന്റെ പൊടി പോലുമില്ല. ഇനി ഇങ്ങേർ പറ്റിക്കുമോ? ഏയ് ഇല്ല, ഒരു ബ്ലോഗർ മറ്റൊരു ബ്ലോഗറെ പറ്റിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത വളരെ കുറവാണു്. കൂടി വന്നാൽ കേസു കൊടുക്കും, അത്രയേ ഉള്ളൂ.

സിബുവിനെ വിളിച്ചു. സിബു വീട്ടിൽ നിന്നു് ഇറങ്ങുന്നതേ ഉള്ളൂ. “ഉമേഷേ, ഞാൻ പത്തു മിനിട്ടിൽ എത്തും. എന്റെ കൂടെ വരണം എന്നു പറഞ്ഞു് രണ്ടു ക്ടാങ്ങളും കൂടി ഭയങ്കര വഴക്കു്. അതാ ഇറങ്ങാൻ വൈകിയതു്. ഒരു വെള്ള നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്രയാണു കാർ.” നമ്പർ പ്ലേറ്റിന്റെ അവസാനത്തെ മൂന്നു് അക്കങ്ങളും പറഞ്ഞുതന്നു.

ഒരു കാറിന്റെ നമ്പരിന്റെ അവസാനത്തെ മൂന്നു നമ്പരും അതു തന്നെയാവാൻ സാദ്ധ്യത 10 x 10 x 10 = ആയിരത്തിൽ ഒന്നു മാത്രമാണു്. അതൊരു വെള്ളക്കാറും കൂടി ആവാനോ? ഞാൻ ആലോചിച്ചു. മൊത്തം കാറുകളിൽ അഞ്ചിലൊന്നു വെളുപ്പാണെന്നു കേട്ടിട്ടുണ്ടു്. അപ്പോൾ നമ്പരും നിറവും അതു തന്നെയാവാൻ സാദ്ധ്യത അയ്യായിരത്തിൽ ഒന്നു്. അതൊരു നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്രയും ആവാനോ? ആകെ കാറുകളിൽ എത്ര ശതമാനമാണു നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര? ആ, ആർക്കറിയാം! ഒരു ഇരുനൂറിൽ ഒന്നെന്നു ചുമ്മാ കൂട്ടിയാൽ തന്നെ ഞാൻ കാറു തെറ്റി കയറാനുള്ള സാദ്ധ്യത ഒരു മില്യനിൽ ഒന്നാകും. ഇനി അതിലുള്ള ആൾ ഒരു സീരിയൽ കില്ലർ ആകാനും എന്നെ കൊന്നു വഴിയരികിൽ തള്ളാനും സാദ്ധ്യത പിന്നെയും കുറയും. ആ നമ്പരിൽ അവസാനിക്കുന്ന വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര കണ്ടാൽ അതു സിബു തന്നെ ആയിരിക്കും. കയറുക തന്നെ.

കാറിന്റെ പ്രോബബിലിറ്റി ഒരു വഴിക്കാക്കിയപ്പോൾ സിബുവിന്റെ വീടിനെപ്പറ്റി ചിന്തിച്ചു. രണ്ടു കുട്ടികൾ ഉണ്ടെന്നു പറഞ്ഞു. ആണായിരിക്കുമോ പെണ്ണായിരിക്കുമോ? ആദ്യത്തേതു് ആണാവാനും പെണ്ണാവാനും സാദ്ധ്യത 1/2 വീതം. രണ്ടാമത്തേതിനും അതു തന്നെ. അങ്ങനെ നാലു രീതികൾ.

  1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
  2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
  3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.
  4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/4.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 25%. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 25%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 50%.

ഇത്രയും ആലോചിച്ച്പ്പോഴേയ്ക്കും ഒരു വെളുത്ത നിസ്സാൻ സെൻ‌ട്ര ഓടിക്കിതച്ചു വന്നു് എന്നെയും കടന്നു പോയി മുന്നിൽ പോയി നിന്നു. അവിടെയുള്ള ഒരു പോലീസുകാരനോടു് അലാസ്ക എയർലൈൻസിൽ വരുന്നവർ എവിടെയാണു് ഇറങ്ങിനിൽക്കുക എന്നു് ഒരുത്തൻ ത്രിശ്ശൂർ ആക്സന്റുള്ള ഇംഗ്ലീഷിൽ ചോദിക്കുന്നതു കേട്ടു. “സംശയമില്ല, ഇതു സിബു തന്നെ” എന്നുറപ്പിച്ചു് ഞാൻ ഓടിച്ചെന്നു. എന്നെക്കൊണ്ടു് ഒരു ശ്ലോകം ചൊല്ലിച്ചു് ഞാൻ ആണെന്നു് ഉറപ്പുവരുത്തിയതിനു ശേഷം സിബു എന്നെ കാറിൽ കയറാൻ സമ്മതിച്ചു.

കാർ വിട്ടപ്പോൾ പുറകിൽ നിന്നു് ഒരു കിളിനാദം, “ഹലോ…”. പുറകിലെ സീറ്റിൽ ഒരു അഞ്ചുവയസ്സുകാരി സുന്ദരിക്കുട്ടി ഇരിക്കുന്നു.

സാദ്ധ്യതകളാകെ തകിടം മറിഞ്ഞു. അപ്പോൾ സിബുവിന്റെ രണ്ടു കുട്ടികളും ആണാവാനുള്ള സാദ്ധ്യത പൂജ്യം.

ഒന്നുകൂടി നോക്കിയപ്പോൾ ഇത്രയേ സാദ്ധ്യതയുള്ളൂ.

  1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
  2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
  3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.
  4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/3.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 33.3333…%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 66.6666…%

“ഇളയ ക്ടാവു ഭയങ്കര വഴക്കായി പിണങ്ങിപ്പോയി. അതുകൊണ്ടു് ഇവളെ കൊണ്ടുപോന്നു,…” സിബു പറഞ്ഞു. അപ്പോൾ മൂത്തതു പെണ്ണാണു്. പ്രോബബിലിറ്റി പിന്നെയും തകിടം മറിഞ്ഞു.

  1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
  2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
  3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.
  4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1/2.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 50%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 50%.

സിബുവിന്റെ വീട്ടിൽ എത്തി. രണ്ടാമത്തെ മകൾ വാതിൽക്കൽ തന്നെ നിൽ‌പ്പുണ്ടായിരുന്നു. പിണക്കമൊക്കെ മാറി ചിരിച്ചുകൊണ്ടു്.

ഏറ്റവും പുതിയ പ്രൊബബിലിറ്റി.

  1. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതും ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
  2. ആദ്യത്തേതു് ആണു്. രണ്ടാമത്തേതു പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
  3. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതു് ആണു്. സാദ്ധ്യത: 0.
  4. ആദ്യത്തേതു് പെണ്ണു്. രണ്ടാമത്തേതും പെണ്ണു്. സാദ്ധ്യത: 1.

അതായതു്, രണ്ടും ആണാവാൻ സാദ്ധ്യത 0%. രണ്ടും പെണ്ണാവാൻ സാദ്ധ്യത 100%. ഒന്നു് ആണും മറ്റേതു പെണ്ണും ആവാൻ സാദ്ധ്യത 0%.

ഒരേ സംഭവത്തിനുള്ള സാദ്ധ്യത ഡാറ്റാ മാറുന്നതനുസരിച്ചു മാറുന്നതു നോക്കണേ!


വെള്ളെഴുത്തിന്റെ കർമ്മണിപ്രയോഗം എന്ന പോസ്റ്റിനെപ്പറ്റി ചില അഭിപ്രായങ്ങൾ:

  • വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:

    കള്ളം മാത്രം പറയുന്ന ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്ന് ഒരാള്‍, സത്യം മാത്രം പറയുന്ന ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്ന് ഒരാള്‍. ഇവര്‍ക്കു നടുവില്‍ നിന്നുകൊണ്ട്, കള്ളം പറയുന്നതാര് സത്യം പറയുന്നതാര് എന്നൊരു പിടിയുമില്ലാത്ത കാസ്പര്‍, കള്ളം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്ന് കണ്ടുപിടിക്കണം. ഒരേയൊരു ചോദ്യമേ പാടുള്ളൂ. മുന്നില്‍ കാണുന്ന ഒരാളോട്, കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം ഏതാണെന്നു ചോദിച്ചാല്‍ അയാള്‍ പറഞ്ഞേക്കാവുന്ന ഉത്തരത്തിന്റെ വിരുദ്ധമായ ഗ്രാമമായിരിക്കും കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമം. ഈ വിഷമപ്രശ്നത്തിന് അങ്ങനെയൊരു ഉത്തരം മാത്രമേ ഉള്ളൂ എന്നാണ് പ്രഫസറുടെ നിലപാട്. പ്രഫസര്‍ പറയുന്നത്, തുടര്‍ച്ചയായ രണ്ടു നിഷേധങ്ങള്‍ (നെഗറ്റീവുകള്‍)‍, ഒരാളിന്റെ ശരിയായ വ്യക്തിത്വത്തെ വെളിപ്പെടുത്താന്‍ സഹായിക്കുമെന്നാണ്.

    ഇതു തെറ്റാണു്. സത്യം പറയുന്ന ആളോടാണു് ഇതു ചോദിക്കുന്നതെങ്കിൽ ശരിയായ ഉത്തരം തന്നെയായിരിക്കും കിട്ടുന്നതു്.

    ഇതിനു് പല ഉത്തരങ്ങളുമുണ്ടു്. ഒരെണ്ണം ഇതാ: ഒരു ഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴി ചൂണ്ടിക്കാണിച്ചുകൊണ്ടു് ഒരാളോടു ചോദിക്കുക: “ഇതു സത്യം പറയുന്നവരുടെ ഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു് മറ്റേ ആളോടു ചോദിച്ചാൽ അയാൾ എന്തു പറയും?” കിട്ടുന്ന ഉത്തരത്തിനു നേരേ എതിരായിരിക്കും സത്യം. True and False എന്നതും False and True എന്നതും False തന്നെയായിരിക്കും എന്ന boolean algebra-യിലെ തത്ത്വമാണു് ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു്.

    നേരേ മറിച്ചു്, രണ്ടു നെഗേഷൻ True ആകുന്നതിനു് ഉദാഹരണം വേണമെങ്കിൽ “ഇതു സത്യഗ്രാമത്തിലേക്കുള്ള വഴിയാണോ എന്നു ചോദിച്ചാൽ സാധാരണ നീ എന്താണു പറയാറുള്ളതു്?” എന്നോ മറ്റോ ചോദിക്കണം. രണ്ടു ഗ്രാമത്തിൽ നിന്നുള്ള ഒരു പറ്റം ആളുകളെയോ ഏതു ഗ്രാമത്തിൽ നിന്നു് എന്നറിയാത്ത ഒരാളെ മാത്രമോ കണ്ടാൽ ഈ ചോദ്യം ചോദിക്കാം.

  • വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:

    ഈ കഥയ്ക്കുള്ള മറ്റൊരു വെര്‍ഷനില്‍ കള്ളം പറയുന്നവനെയും സത്യം മാത്രം പറയുന്നവനെയും കൂടാതെ കള്ളവും സത്യവും മാറിമാറി പറയുന്ന മറ്റൊരാളുകൂടി കടന്നു വരുന്നതു കാണാം. ജീവിതം എന്ന പ്രഹേളികയുടെ ഉത്തരം തന്നെ നേരെ കണ്ടെത്താന്‍ വയ്യാതെ അട്ടം നോക്കുന്നവന്റെ കുഴങ്ങുന്നവന്റെ ബാദ്ധ്യത വര്‍ദ്ധിപ്പിക്കാനായിട്ട് !

    വെള്ളെഴുത്തിനെ എന്റെ ഹ്രീഹ്ലാദവും ജഞ്ജലിപ്പും എന്ന പോസ്റ്റു വായിക്കാൻ ക്ഷണിക്കുന്നു. Boolean algebra-യിലെ xor എന്ന ക്രിയ കൊണ്ടു് അറിയേണ്ടാ‍ത്തതായ ഒരു ചരത്തെ ഒഴിവാക്കുന്ന ടെക്നിക്ക് ആണു് അതിൽ.

  • വെള്ളെഴുത്തു് എഴുതുന്നു:

    പക്ഷേ കാസ്പറിനു പറയാന്‍ മറ്റൊരുത്തരമുണ്ടായിരുന്നു. വളരെ ലളിതമായത്. വരുന്നവനോട് ‘നീ മരത്തവളയാണോ’ എന്നു ചോദിക്കുക. അവന്‍ ‘അതെ’ എന്നു പറയുകയാണെങ്കില്‍ (കള്ളം മാത്രം പറയുന്നവന് മറ്റെന്തു പറ്റും?) അവന്‍ കള്ളന്മാരുടെ ഗ്രാമത്തില്‍ നിന്നാണെന്ന് ഉറപ്പിക്കാമല്ലോ.

    ഉറപ്പിക്കാം. പക്ഷേ അയാൾ ഏതു ഗ്രാമത്തിലേതാണു് എന്നതല്ല നമ്മുടെ പ്രശ്നം. ഏതാണു സത്യഗ്രാമത്തിലേയ്ക്കുള്ള വഴി എന്നതാണു്. ഈ മരത്തവളച്ചോദ്യം വേണ്ടാത്ത ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തെയാണു തേടുന്നതു്.

  • “ഒരു കൂട്ടത്തില്‍ 98 ശതമാനവും ചിന്തിക്കുന്നത് ഒരേ തരത്തിലായിരിക്കും…” എന്നു തുടങ്ങുന്ന ഖണ്ഡികയ്ക്കു് ഒരു സ്പെഷ്യൽ സല്യൂട്ട്!

ഗണിതം (Mathematics)
ചുഴിഞ്ഞുനോക്കല്‍
പ്രതികരണം
പ്രശ്നങ്ങള്‍ (Problems)

Comments (71)

Permalink

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയും ഗണിതശാസ്ത്രവും

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി ഒരിക്കലെങ്കിലും കളിച്ചിട്ടില്ലാത്തവർ ചുരുക്കമായിരിക്കും. ഇതു കേരളത്തിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങി നിൽക്കുന്ന കളിയല്ല. ലോകത്തിൽ മിക്ക സ്ഥലങ്ങളിലും ഇതിന്റെ വകഭേദങ്ങൾ റാൻഡമായി ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ കുട്ടികൾ ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഇസ്രയേലിൽ റഷ്യൻ ജൂതക്കുട്ടികൾ ഈ കളി കളിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടു് ഡാലി ഫോട്ടോ സഹിതം ഇട്ട കുട്ടികളികൾ (കുട്ടികളികൾ അല്ല ഡാലീ, കുട്ടിക്കളികൾ. ദ്വിത്വസന്ധി!) ആണു് മലയാളം ബ്ലോഗിൽ ഈ കളിയെപ്പറ്റി വന്ന ആദ്യത്തെ വിശദമായ പോസ്റ്റ്. അതിനു കിട്ടിയ കമന്റുകളിൽ നിന്നു പ്രചോദിതയായ ഡാലി പിന്നീടു് ‘അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി’ കളികൾ എന്നും ഒരു പോസ്റ്റെഴുതി. പിന്നീടു മഷിത്തണ്ടിൽ വന്ന അത്തള പിത്തള തവളാച്ചിയും വിക്കിച്ചൊല്ലുകളിൽ ചേർക്കാനുള്ള അനൂപിന്റെ നിർദ്ദേശവും ഇതുപോലെയുള്ള വായ്ത്താരികൾ ധാരാളം നൽകി. എല്ലാവർക്കും നന്ദി.

ഡാലിയുടെ ആദ്യത്തെ പോസ്റ്റിനു് രണ്ടു മാസം മുമ്പു് എഴുതിയ പോസ്റ്റാണു് ഇതു്. ഡാലിയുടെ പോസ്റ്റുകളിലെയും അവയുടെ കമന്റുകളിലെയും വിവരങ്ങൾ ചേർത്തു് പോസ്റ്റ് അപ്‌ഡേറ്റ് ചെയ്യാം എന്നു കരുതി നീട്ടിവെച്ചു. ആ നീട്ടിവെയ്പ്പു് ഒന്നരക്കൊല്ലത്തിലധികം നീളും എന്നു കരുതിയില്ല.

ഇതിൽ ആദ്യം ചേർത്ത വായ്ത്താരികൾ കുറേപ്പേർക്കു് ഈമെയിലയച്ചു കിട്ടിയ മറുപടികളിൽ നിന്നാണു ശേഖരിച്ചതു്. ഇതിലെ വായ്ത്താരികള്‍ അയച്ചു തന്ന അനില്‍, കണ്ണൂസ്, കല്യാണി, തുളസി, ദില്‍ബാസുരന്‍, പച്ചാളം, ബിന്ദു, ബിരിയാണിക്കുട്ടി, മഞ്ജിത്ത്, രാജേഷ് വര്‍മ്മ, ശ്രീജിത്ത്, സന്തോഷ്, സിദ്ധാര്‍ത്ഥന്‍, സിബു എന്നിവര്‍ക്കു നന്ദി. (ഇവരൊക്കെ ഇതു മറന്നുപോയിട്ടുണ്ടാവും. 2007 ഫെബ്രുവരിയിലാണു സംഭവം!)


സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാൽ ഈ കളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന വായ്ത്താരികൾക്കെല്ലാം ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടെന്നു കാണാം.

കുറേ കുട്ടികൾ തങ്ങളുടെ രണ്ടു കൈകളും (എണ്ണുന്ന ആൾ മാത്രം ഒരു കൈ) തറയിൽ കമഴ്ത്തി വെച്ചാണു കളി തുടങ്ങുക. ഏതെങ്കിലും ഒരു കൈയിൽ നിന്നു് എണ്ണിത്തുടങ്ങും. അവസാനത്തെ വാക്കു് നിൽക്കുന്ന കൈ മലർത്തിവെയ്ക്കും. മലർന്നിരിക്കുന്ന കൈയിലാണു വാക്കെത്തുന്നതെങ്കിൽ ആ കൈ കളിയിൽ നിന്നു മാറ്റും. അടുത്ത എണ്ണം തുടങ്ങുന്നതു് ആ കൈയുടെ പിന്നിലുള്ള കൈയിലാണു്. കളിയിൽ നിന്നു മാറിയ കൈകളെ പിന്നീടു കളിയിൽ ചേർക്കില്ല. അങ്ങനെ അവസാനം ഒരു കൈ ബാക്കി വരും.

ഈ കളി കളിച്ചിട്ടുള്ളവരെല്ലാം ഒരു കാര്യം ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടായിരിക്കും. എല്ലാ കൈകളും മലർന്നതിനു ശേഷമേ സാധാരണയായി ഒരു കൈ കളിക്കു പുറത്തു പോകാറുള്ളൂ. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, എല്ലാ കൈകളും മലർക്കുന്നതു വരെ വായ്ത്താരി തീരുന്നതു് ഒരു കമഴ്ന്ന കൈയിൽ ആയിരിക്കും. കുട്ടികളുടെ(കൈകളുടെ) എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു മിക്കപ്പോഴും ശരിയായിരിക്കും.

ഈ പ്രത്യേകത മൂലം ഇത്തരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഏകദേശം റാൻഡമായി, എന്നാൽ എല്ലാവർക്കും തുല്യമായ അവസരം കൊടുത്തു്, ഒരാളെ തിരഞ്ഞെടുക്കാനും ഉപയോഗിക്കാം. ഉദാഹരണമായി, ഒരു കൂട്ടായ്മയിൽ അടുത്ത പാട്ടു പാടേണ്ടതു് ആരാണെന്നു തീരുമാനിക്കാൻ. എല്ലാവരും പാടിക്കഴിഞ്ഞേ ആദ്യം പാടിയ ആൾക്കു വീണ്ടും അവസരം ലഭിക്കൂ.

ഇതെങ്ങനെ സംഭവിക്കുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും ആലോചിച്ചിട്ടുണ്ടോ? ഇതിന്റെ ഉള്ളുകള്ളി മനസ്സിലാക്കാൻ അല്പം നമ്പർ തിയറിയുടെ സഹായം വേണ്ടി വരും.

ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു് വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണവും കുട്ടികളുടെ എണ്ണവും തമ്മിൽ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യം (Relatively prime/Coprime) ആകുമ്പോഴാണു്.

രണ്ടു സംഖ്യകൾക്കു് ഒന്നിനു മുകളിൽ പൊതുഘടകം ഇല്ലാതെ വരുമ്പോഴാണു് അവ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യങ്ങൾ ആകുന്നതു്. 8, 15 എന്നിവ ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യങ്ങൾ ആണു്. (8 = 2 x 2 x 2, 15 = 3 x 5.) എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളും (Prime numbers) പരസ്പരം ആപേക്ഷിക-അഭാജ്യങ്ങളാണു്.

ഉദാഹരണത്തിനു്, ഒരു വായ്ത്താരിയ്ക്കു് 9 വാക്കുകളുണ്ടെന്നിരിക്കട്ടേ. ഏഴു കുട്ടികൾ/കൈകൾ ഉള്ള ഒരു കളിയിൽ ആദ്യം രണ്ടാമത്തെ കൈ മലർക്കും. പിന്നെ 4, 6, 1, 3, 5, 7 എന്നീ കൈകളും. ഒമ്പതും ഏഴും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളായതു കൊണ്ടാണു് ഇതു്. അതേ സമയം, ആറു കുട്ടികളേയുള്ളെങ്കിൽ 3, 6 എന്നീ കൈകൾ മലർന്നതിനു ശേഷം ബാക്കി കൈകൾ മലർത്തുന്നതിനു മുമ്പു് വീണ്ടും മൂന്നിൽത്തന്നെ എത്തും. ഒമ്പതും ആറും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യങ്ങളല്ലാത്തതു കൊണ്ടാണു് (രണ്ടിനെയും 3 കൊണ്ടു ഹരിക്കാം.) ഇതു സംഭവിക്കുന്നതു്.

ഇനി, കുട്ടികളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു സംഭവിക്കാൻ എന്താണു വഴി? മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യകളോടും ആപേക്ഷികമായി അഭാജ്യമായ ഒരു സംഖ്യ വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണമായി ഉപയോഗിച്ചാൽ മതി. അതിനു് ഏറ്റവും നല്ല വഴി ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ (Prime number) തന്നെ ഉപയോഗിക്കുന്നതാണു്.

പറഞ്ഞു വന്നതു്, അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിക്കുപയോഗിക്കുന്ന എല്ലാ നല്ല വായ്ത്താരികൾക്കും ഉള്ള ഭാഗങ്ങളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യകൾ ആയിരിക്കും എന്നാണു്. അഭാജ്യസംഖ്യകൾ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,… എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു. വായ്ത്താരികളിലെ ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇവയിൽ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും.

ആവണമെന്നു നിർബന്ധമില്ല. മിക്കവാറും സംഖ്യകളോടു പ്രശ്നമില്ലാതിരുന്നാൽ മതി. ഉദാഹരണമായി 25 ഒരു അഭാജ്യമല്ലെങ്കിലും മൊത്തം സംഖ്യകളിൽ അഞ്ചിലൊന്നിനോടേ അതിനു പ്രശ്നമുള്ളൂ എന്നതുകൊണ്ടു് അത്ര ഖണ്ഡങ്ങളുള്ള വായ്ത്താരി ഉപയോഗിക്കാം.

അതുപോലെ, കളിയനുസരിച്ചു് ഇതു മാറാം. ഉദാഹരണമായി അക്കുത്തിക്കുത്തു കളി തുടങ്ങുമ്പോൾ കയ്യുകളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയാണു്. (എണ്ണുന്ന ആളിന്റെ ഒരു കൈയേ എണ്ണുന്നുള്ളൂ.) എല്ലാ കൈയും മലർന്നതിനു ശേഷം ഈ പ്രത്യേകതയുടെ ആവശ്യവുമില്ല. അതിനാൽ അതിന്റെ വായ്ത്താരി ഇരട്ടസംഖ്യയാവുന്നതിൽ പ്രശ്നമില്ല. സത്യത്തിൽ 2np (ഇവിടെ p ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ, n ഏതെങ്കിലും സംഖ്യ) എന്ന രീതിയിലുള്ള ഏതു സംഖ്യയും ഇവിടെ ഉപയോഗിക്കാം. 14, 28 തുടങ്ങിയവയ്ക്കു കുഴപ്പമില്ല എന്നർത്ഥം.)

വിശ്വസിക്കാൻ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? നമുക്കറിയാവുന്ന വായ്ത്താരികളൊക്കെ ഒന്നു പരിശോധിച്ചു നോക്കാം. നിർത്തുന്ന ഭാഗങ്ങൾ ഒരു വര (-) കൊണ്ടു കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ഖണ്ഡങ്ങളുടെ എണ്ണം ബ്രായ്ക്കറ്റിലും.

  1. അത്തിള്‍-ഇത്തിള്‍-പറങ്കി-പ്പാള-ചട്ടുമ-ചിട്ടുമ-ചള്‍ (7)
  2. അത്തിളി-മുത്തളി-പറങ്കീ-താളി-സെറ്റുമ്മ-സെറ്റുമ്മ-സാ (7)
    ഇതു മുകളില്‍ കൊടുത്തതു തന്നെയാണെന്നു തോന്നുന്നു.
  3. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താനവ-രുമ്പം-
    കല്ലേ-ക്കുത്ത് ക-രിങ്കു-ത്ത്-
    അക്കര-നിക്കണ-ചക്കി-പ്പെണ്ണിന്റെ-
    കയ്യോ-കാലോ-അടിച്ചൊ-ടിച്ച് -വാ. (17)
  4. അക്കു-ത്തിക്കു-ത്താന വ-രമ്പേല്‍-
    കല്ലേ-ക്കുത്തു ക-ടുംകു-ത്ത്‌
    ചീപ്പു-വെള്ളം-താറാ-വെള്ളം-
    താറാ-മ്മക്കടെ-കയ്യേ-ലൊരു-
    വാങ്ക്‌ (17)
  5. അത്തള-പിത്തള-തവളാ-ച്ചി-
    മുക്കിലി-രിക്കണ -ചൂലാ-പ്പ്‌-
    മറിയം-വന്ന് വി-ളക്കൂ-തി
    ഉണ്ടോ-മാണി-സാറാ-പീറാ-കോട്ട്‌. (17)
  6. അരിപ്പോ-തിരിപ്പോ-
    പന്ത്ര-ണ്ടാനേം-
    ചക്കിട്ട-പൊക്കിട്ട-
    പതിനാം-വള്ളികെ-ന്തൂമ്പു?-
    മുരിക്കിന്‍ -പു (11)
  7. മുരിക്കീലൊ-രിക്കി കെ-ടന്നോ-നെ-
    കൊങ്ങാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ-നെ-
    അത്തര-മുള്ളൊരു -മാട-പ്രാ-വിന്റെ-
    കയ്യൊ-കാലോ-ചെത്തി-കൂട്ട് മ-ടംകൂ-ട്ട് (19)
  8. പരിപ്പു -കുത്തി- പാച്ചോ-റാക്കി
    ഞാനു-മുണ്ട് -സീതേ-മുണ്ട് –
    സീ‍തേ-ടപ്പന്റെ- പേരെന്ത് (11)
  9. inki -pinki -ponki-
    uncle -has a -donkey-
    donkey – died -uncle – cried-
    inki -pinki -ponki (13)
  10. uncle – called the – doctor
    doctor -called the – nurse
    nusre – called the – ambu – lance
    A – B – C (13)
  11. Eena, – meena, – mina, – mo, –
    Catch a – tiger – by his – toe. –
    If – he – squeals, – let ‘im – go, –
    Eena, – meena, – mina, – mo. (17)

    ഈ പാട്ടിനു് അതിഭീകരമായ ഒരു ചരിത്രമുണ്ടു്.

    Eena, meena, mina, mo,
    Catch a nigger by his toe;
    If he squeals, let him go,
    Eena, meena, mina, moe

    എന്നായിരുന്നു ഇതിന്റെ ആദ്യത്തെ രൂപം.

  12. Ring – around the – ro – sey-
    A pocket – full of – po – sies –
    Ashes, – ashes –
    We all – fall – down (13)
  13. അഡുപ്പും – തിഡുപ്പും –
    പാദര-പ്പള്ളില്‍-
    ബാങ്ക്‌ – കൊടുക്കും –
    ഏനുപ്പു? (7)
  14. ഞാ-നൊ-രു-മ-നു-ഷ്യ-നെ- ക-ണ്ടു
    അ-യാ-ളു-ടെ-നി-റം-എ-ന്ത്?
    പ-ച്ച. (17)
  15. ഒന്ന്, – രണ്ട്, – മൂന്ന്, – നാല് –
    അഞ്ച്, – ആറു്, – ഏഴ്, – എട്ട് –
    എട്ടും – മുട്ടും – താമര – മൊട്ടും –
    വടക്കോ-ട്ടുള്ള – അച്ഛനു-മമ്മയും
    പൊ-ക്കോ-ട്ടെ. (19)
  16. അത്തിള്‍ – ഇത്തിള്‍ – ബെന്തി-പ്പൂ
    സ്വര്‍ഗ – രാജാ – പിച്ചി-പ്പൂ
    ബ്ലാം – ബ്ലീം – ബ്ലൂം (11)
  17. അരിപ്പോ – തിരിപ്പോ – തോരണി – മംഗലം –
    പരിപ്പൂ – പന്ത്ര – ണ്ടാനേം – കുതിരേം –
    കുളിച്ച് – ജപിച്ച് – വരുമ്പം –
    എന്തമ്പൂ? മുരിക്കുമ്പൂ! (13)
  18. മുരിക്കി – ചെരിക്കി – കെടന്നോ – ളേ
    അണ്ണാ-യെണ്ണ കു-ടിച്ചോ – ളേ
    അക്കര – നിക്കണ – മാട – പ്രാവിന്റെ –
    കയ്യോ – കാ‍ലോ – രണ്ടാ – ലൊന്ന് –
    കൊത്തി – ച്ചെത്തി –
    മടം കാട്ട് (19)
  19. അരിപ്പ – തരിപ്പ – താലി – മംഗലം –
    പരിപ്പു – കുത്തി – പഞ്ചാ -രെട്ട്
    ഞാനു – മെന്റെ – ചിങ്കിരി – പാപ്പന്റെ
    പേരെന്ത്??? (13)

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ഓരോരുത്തരായി പുറത്തായി അവസാനം ശേഷിക്കുന്ന ആൾ ജയിക്കുമല്ലോ. എവിടെ നിന്നാൽ ഈ അവസാനത്തെ ആൾ ആകാം എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി അറിയാമെങ്കിൽ എപ്പോഴും ജയിക്കാമല്ലോ. അതിനു് എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?

വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 2 ആയാലുള്ള (അതായതു്, ഒന്നിടവിട്ട ആളുകളെ ഒഴിവാക്കിയാൽ) സ്ഥിതിയെപ്പറ്റി ധാരാളം പഠനങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം 1, 2, 3, 4, …. എന്നിങ്ങനെ ആയാൽ അവസാനം അവശേഷിക്കുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ (ഇവിടെ ഒന്നു തൊട്ടാണു് എണ്ണുന്നതു്) 1, 1, 3, 1, 3, 5, 1, 3, 5, 7, 1, 3, 5, 7, 9, …. എന്നിങ്ങനെ ആയിരിക്കും.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാൻ മറ്റൊരു എളുപ്പവഴിയുണ്ടു്. കുട്ടികളുടെ എണ്ണത്തെ ദ്വയാങ്കരീതിയിൽ (binary system) എഴുതുക. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ബിറ്റുകളെ ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം ചാക്രികമായി നീക്കുക (cyclic bit shift). കിട്ടുന്ന സംഖ്യയായിരിക്കും ഒടുക്കം വരുന്ന കുട്ടിയുടെ നമ്പർ.

ഉദാഹരണമായി, നമ്മുടെ വായ്ത്താരി “അടി, ഇടി” എന്നാണെന്നിരിക്കട്ടേ. “ഇടി” എന്നു പറഞ്ഞു തൊടുന്ന ആൾ പുറത്താകും. ഈ കളി പതിനായിരം കുട്ടികൾ കളിച്ചാൽ ആരു് അവസാനം അവശേഷിക്കും?

10000 എന്ന സംഖ്യ ബൈനറിയിൽ എഴുതിയാൽ 10011100010000. ഇടത്തേയ്ക്കു് ഒരു സ്ഥാനം സൈക്ലിക് ബിറ്റ്-ഷിഫ്റ്റ് നടത്തിയാൽ ഏറ്റവും ഇടത്തേ 1 ഏറ്റവും വലത്തു പോകും. അതായതു് 00111000100001 അഥവാ 111000100001. ഇതു് 3617 എന്ന ദശാംശസംഖ്യയ്ക്കു തുല്യമായ ദ്വയാങ്കസംഖ്യയാണു്. അതായതു് ഈ കളിയിൽ 3617-)ം സ്ഥാനത്തു നിൽക്കുന്ന കുട്ടിയായിരിക്കും ജയിക്കുക.


വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം എത്രയായാലും ഇതു കണക്കുകൂട്ടാൻ ഇതുപോലെ സരളമായ ഒരു രീതി ഇതു വരെ ആരും കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം k എന്നും വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം v എന്നും ഇരിക്കട്ടേ. അപ്പോൾ ഒന്നു തൊട്ടെണ്ണിയാൽ എന്ന കുട്ടി ആദ്യം പുറത്താകും. എന്ന കുട്ടി രണ്ടാമതും. ഇങ്ങനെ അവശേഷിക്കുന്ന ആളെയാണു് കണ്ടുപിടിക്കേണ്ടതു്. നമുക്കു് അയാളുടെ നമ്പറിനെ എന്നു വിളിക്കാം.

ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം (formula) ഒന്നും ആരും ഇതുവരെ കണ്ടുപിടിച്ചിട്ടില്ല. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, constant time algorithms ഒന്നുമില്ല.

നമ്മൾ സാധാരണ ചെയ്യുന്നതുപോലെ ചെയ്തുനോക്കാം. എണ്ണിത്തന്നെ. എണ്ണി ഓരോരുത്തരെ ഒഴിവാക്കുന്നതിനു പകരം ഓരോ റൌണ്ടിലും ഒഴിവാക്കേണ്ടവരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കിയിട്ടു് (ഉദാഹരണമായി, v = 11 ആണെങ്കിൽ, 11, 22, 33, … എന്നീ നമ്പരുകാരെ ഒന്നിച്ചു് ഒഴിവാക്കുക.) അതിനു ശേഷം എല്ലാവർക്കും പുതിയ നമ്പരുകൾ കൊടുക്കുക. ഇതു് O(v.(log k)) സമയത്തിനുള്ളിൽ ചെയ്യാം. കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കൂടുതലാണെങ്കിൽ ഇതുതന്നെ ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴി.

കുട്ടികളുടെ എണ്ണം കുറവും വാക്കുകളുടെ എണ്ണം കൂടുതലുമാണെങ്കിൽ O(k) സങ്കീർണ്ണതയുള്ള ഒരു അൽഗരിതം ഉണ്ടു്. താഴെക്കൊടുക്കുന്ന ആവർത്തക-ഏകദം (recurrence relation) ഉപയോഗിച്ചു ക്രമമായി കണക്കുകൂട്ടുന്നതു്.

ഇവിടെ കുട്ടികളെ 0, 1, …, (k-1) എന്നു് എണ്ണണം.

ഉദാഹരണമായി, വായ്ത്താരിയിലെ വാക്കുകളുടെ എണ്ണം 11 ആണെന്നിരിക്കട്ടേ. അതായതു്, v = 11.

എന്നിങ്ങനെ. അതായതു് 6 കുട്ടികൾ ഉണ്ടെങ്കിൽ തുടങ്ങുന്ന കുട്ടി മുതൽ നാലാമതു് (3 എന്നാണു് മുകളിൽ ഉത്തരം. പക്ഷേ നമ്മൾ പൂജ്യത്തിൽ നിന്നാണു് എണ്ണൽ തുടങ്ങുന്നതു് എന്നു് ഓർക്കുക.) നിൽക്കുന്ന ആളായിരിക്കും ജയിക്കുക എന്നർത്ഥം. ഒരേ വായ്ത്താരി തന്നെയാണു നമ്മൾ എപ്പോഴും ഉപയോഗിക്കുന്നതെങ്കിൽ അതിന്റെ പട്ടിക നേരത്തേ ഉണ്ടാക്കി അതിനനുസരിച്ചു നിന്നു് എപ്പോഴും ജയിക്കാം.

ജോസഫസ് പ്രശ്നം (Josephus Problem) എന്നാണു് ഇതിനെ വിളിക്കുന്നതു്. ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ഒന്നാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഫ്ലേവിയസ് ജോസഫസ് എന്ന ജൂതചരിത്രകാരനുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഒരു കഥയിൽ നിന്നാണു് ഈ പേരുണ്ടായതു്. അന്നു റോമക്കാർ ജൂതന്മാരെ കൂട്ടമായി വേട്ടയാടുന്ന കാലമാണു്. ജോസഫസ് ഉൾപ്പെടെ 41 പേർ ഒരു ഗുഹയിൽ പെട്ടുപോയി. ചുറ്റും റോമൻ പട്ടാളവും. കീഴടങ്ങലിനേക്കാൾ ഭേദം ആത്മഹത്യയാണെന്നു തീരുമാനിച്ച ജൂതർ ഒരു വൃത്തത്തിൽ നിൽക്കാനും ജീവനോടെ നിൽക്കുന്ന ഓരോ മൂന്നാമത്തെ ആളെയും ബാക്കിയുള്ളവർ ചേർന്നു കൊല്ലാനും തീരുമാനിച്ചു. എങ്ങനെയെങ്കിലും രക്ഷപ്പെടണമെന്നുണ്ടായിരുന്ന ജോസഫസ് തന്റെ ഗണിതശാസ്ത്രപാടവം കൊണ്ടു് അവസാനം വരുന്ന ആൾ മുപ്പത്തൊന്നാമനായിരിക്കും എന്നു കണക്കുകൂട്ടി അവിടെ ആദ്യം തന്നെ ചെന്നു നിന്നു് മരണത്തിൽ നിന്നു രക്ഷപ്പെട്ടു എന്നാണു് ഐതിഹ്യം.

ജോസഫസിനു് ഒരു കൂട്ടുകാരനും ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നും ഒരു കഥയുണ്ടു്. അങ്ങനെയാണെങ്കിൽ അയാൾ പതിനാറാമതായിരിക്കണം നിന്നതു്. രണ്ടുപേർ അവശേഷിച്ചപ്പോൾ ജോസഫസ് അയാളെ പറഞ്ഞു മാനസാന്തരപ്പെടുത്തിയതാവാനും മതി.

കണ്ടോ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ മാഹാത്മ്യം! ചുമ്മാതാണോ ആടുതോമയുടെ അച്ഛൻ തിലകൻ പറഞ്ഞതു് ലോകം മുഴുവൻ മാത്തമാറ്റിക്സാണെന്നു്!

ജോസഫസ് പ്രശ്നത്തെപ്പറ്റി കൂടുതലറിയാൻ വിക്കിപീഡിയയോ വൂൾഫ്രം മാത്ത് വേൾഡോ വായിക്കുക.


19 വാക്കുകളുള്ള ഒരു വായ്ത്താരിയുപയോഗിച്ചൂ് പതിനായിരം കുട്ടികൾ അത്തള പിത്തള തവളാച്ചി കളിച്ചാൽ അവസാനം ആരു ജയിക്കും എന്നു മുൻ‌കൂട്ടി പറയാൻ കമ്പ്യൂട്ടർ ഉപയോഗിക്കാതെ ഇന്നും ബുദ്ധിമുട്ടാണെന്നു ചുരുക്കം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ കണ്ടുപിടിക്കാത്ത അനേകം കാര്യങ്ങൾ ഇനിയുമുണ്ടെന്നു മനസ്സിലായില്ലേ? നമ്മുടെ അത്തളപിത്തളക്കളി ആളു പുലിയാണെന്നും!

ഇതെങ്ങനെ ജോസഫസ് കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നാണു് എന്റെ സംശയം. അങ്ങേർ 41 കല്ലുകൾ വട്ടത്തിൽ വെച്ചു് ഓരോന്നും എടുത്തുകളഞ്ഞു് ഏതു് അവസാനം വരും എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചുകാണും. ഒരു പക്ഷേ, ഗണിതശാസ്ത്രം പരാജയപ്പെടുന്നിടത്തു് സിമുലേഷൻ ജയിക്കും എന്നതിന്റെ ആദ്യത്തെ ഉദാഹരണം ആവാം അതു്. കമ്പ്യൂട്ടറുകളുടെ പ്രചാരത്തോടെ ഇന്നു് പല പ്രശ്നങ്ങളും ഇങ്ങനെ ശുദ്ധഗണിതം ഉപയോഗിക്കാതെ സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സും സിമുലേഷനും ഉപയോഗിച്ചു് നിർദ്ധരിക്കുന്നുണ്ടു്.


ഒരു തവണ ഒരാളെ ‘റാൻഡം’ ആയി കണ്ടുപിടിക്കാനും കുട്ടികൾ ഇതുപയോഗിക്കാറുണ്ടു്. (അമേരിക്കയിൽ “ഈനാ, മീനാ…” വായ്ത്താരിയാണു് ഇങ്ങനെ ഉപയോഗിക്കുന്നതു കണ്ടിട്ടുള്ളതു്.) ഇത്തരം ആവശ്യങ്ങൾക്കു് വായ്ത്താരികളുടെ എണ്ണം അഭാജ്യസംഖ്യയാകണമെന്നു നിർബന്ധമില്ല.

ഇത്തരം സാദ്ധ്യതകൾ അനന്തമാണു്. വളി വിട്ടതാരാണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാൻ ഈ ടെക്നിക് ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു് എന്നാണു ദേവൻ പറയുന്നതു്. മനുഷ്യന്റെ ക്രിയേറ്റിവിറ്റി പോകുന്ന പോക്കേ!

കൃത്യമായി ഒരു നിശ്ചിതസംഖ്യയ്ക്കു ശേഷം സംഭവിക്കുന്ന ഇതിനെ റാൻഡം എന്നു വിളിക്കാനും പറ്റില്ല. എങ്കിലും റാൻഡം നമ്പർ (റാൻഡം നമ്പറാഭാസം എന്നു പറയണം –pseudo-random number) ഉണ്ടാക്കാനുള്ള ഒരു വഴി ഈ അക്കുത്തിക്കുത്തുകളി തന്നെയാണെന്നതാണു സത്യം.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയിൽ ആളുകൾ പുറത്താകുന്നില്ല എന്നു കരുതുക. v വാക്കുകളും k കുട്ടികളും (0 മുതൽ k-1 വരെ നമ്പരുകൾ) ഉള്ള കളിയിൽ ഓരോ തവണയും ഏതു കുട്ടിയാണെന്നു നോക്കാം.

എന്നിങ്ങനെ. ചുരുക്കത്തിൽ

ഇതിനെ അല്പം കൂടി ഭേദപ്പെടുത്തിയാൽ, അതായതു് വലത്തുവശത്തെ ആദ്യത്തെ പദത്തെ ഒരു സ്ഥിരസംഖ്യ കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാൽ, താഴെപ്പറയുന്ന രീതി കിട്ടും.

ഇതു തന്നെയാണു് മിക്കവാറും സോഫ്റ്റ്‌വെയറുകളിലും റാൻഡം നമ്പർ ഉണ്ടാക്കാൻ ഉപയോഗിക്കുന്ന ലീനിയർ കോൺഗ്ര്വെൻഷ്യൽ (Linear congruential) രീതി. a എന്ന സംഖ്യയ്ക്കു ചില പ്രത്യേകതകൾ ഉണ്ടെന്നു മാത്രം. സാധാരണയായി k, v എന്നിവ അഭാജ്യസംഖ്യകളായിരിക്കും.

അക്കുത്തിക്കുത്തു കളിക്കു് ഇത്രയധികം ഗണിതശാസ്ത്രപ്രാധാന്യമുണ്ടെന്നു് ആരെങ്കിലും കരുതിയോ?


ഇത്രയും പറഞ്ഞതിൽ‌നിന്നു് അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് നമ്പർ തിയറിയിലെ മുകളിൽ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ അറിവുണ്ടായിരുന്നു എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ? ആ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ പ്രസ്താവിച്ചു തെളിയിച്ചവരല്ല, അക്കുത്തിക്കുത്തു വായ്ത്താരി പോലെയുള്ളവ ഉണ്ടാക്കിയവരാണു യഥാർത്ഥത്തിൽ ആ സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ ഉപജ്ഞാതാക്കൾ എന്നു പറയാൻ സാധിക്കുമോ?

സിദ്ധാന്തങ്ങളുടെ പൈതൃകത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അവകാശവാദങ്ങൾ പലപ്പോഴും ഈ വിധത്തിലാണു് പോകുന്നതു്. അങ്ങനെയാണു് പിംഗളൻ ബൈനോമിയൽ തിയറം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും വേദങ്ങളിൽ കാൽക്കുലസ് ഉണ്ടാകുന്നതും വാല്മീകിയുടെ കാലത്തു വിമാനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതും മറ്റും.

അക്കുത്തിക്കുത്തുകളിയുടെ വായ്ത്താരി ഉണ്ടാക്കിയവർക്കു് തിരഞ്ഞെടുക്കപ്പെടുന്നവർ ആവർത്തിക്കാതെ കഴിയുന്നത്ര വിതരണം ചെയ്തു പോകണമെന്നുണ്ടായിരുന്നു. ചില എണ്ണങ്ങൾ ആവർത്തിക്കുന്നതും ചിലവ ആവർത്തിക്കാതിരിക്കുന്നതും അവർ ശ്രദ്ധിച്ചിട്ടുണ്ടാവാം. അങ്ങനെ പലതു ശ്രമിച്ചിട്ടാവാം ഇന്നു പ്രചാരത്തിലുള്ള വായ്ത്താരികൾ ഉണ്ടായതു്. അല്ലെങ്കിൽ, വായ്ത്താരികളിൽ നിന്നു് ഈ പ്രത്യേകത ഉള്ളവ മാത്രം പ്രചാരത്തിലായി എന്നുമാവാം. അവയ്ക്കും അഭാജ്യസംഖ്യകൾക്കും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം ആരും ശ്രദ്ധിച്ചു കാണില്ല. അതുകൊണ്ടാണു് ആരും ഇതുവരെ അതിനെപ്പറ്റി എഴുതി വെയ്ക്കാഞ്ഞതു്.

മറിച്ചു്, സിദ്ധാന്തങ്ങളുണ്ടാക്കിയവർ അതു് ഒരു ദിവസം കൊണ്ടു് ഉണ്ടാക്കിയതല്ല. (ആപ്പിൾ തലയിൽ വീണപ്പോൾ പെട്ടെന്നു ബോധോദയം ഉണ്ടായി ന്യൂട്ടൻ ഗുരുത്വാകർഷണനിയമം ഉണ്ടാക്കി എന്ന കള്ളക്കഥയാണല്ലോ നമുക്കു കൂടുതൽ പരിചയം!) അക്കുത്തിക്കുത്തു കളികൾ പോലെ നാട്ടിൽ പ്രചരിക്കുന്ന പല കളികളുടെയും പ്രസ്താവനകളുടെയും പസിലുകളുടെയും ഉള്ളുകള്ളികളിലേയ്ക്കു ചുഴിഞ്ഞാലോചിച്ചവർ അവരുടെ നിരീക്ഷണങ്ങൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും പിന്നീടു വന്നവർ അവയെപ്പറ്റി കൂടുതൽ പഠിച്ചു് സിദ്ധാന്തങ്ങളാക്കി തെളിയിക്കുകയും ചെയ്തതാവാം. നൂറ്റാണ്ടുകൾ നീണ്ടുനിന്ന ശാസ്ത്രവികാസത്തിന്റെ ക്രെഡിറ്റ് “അമ്പത്താറു്” കളിയിൽ അവസാനം വിളിച്ചുനിർത്തുന്നവൻ മാത്രം കുണുക്കിറക്കുന്നതു പോലെ അവസാനത്തെ കുരുക്കഴിച്ചവന്റെ പേരിൽ മാത്രം പതിയുന്നു എന്നു മാത്രം. കാൽക്കുലസ് കണ്ടുപിടിച്ച ന്യൂട്ടൻ/ലൈബ്നിറ്റ്സും ഫെർമയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം തെളിയിച്ച വെയിൽ‌സും ഇതിനു് ഉദാഹരണങ്ങൾ മാത്രം.


ഞാൻ മലയാളം ബ്ലോഗിംഗു തുടങ്ങിയിട്ടു് നാലു വർഷം തികയുന്നു. 2005 ജനുവരി 19-നെഴുതിയ ആദ്യ പോസ്റ്റ്. ഇതു് ഇരുനൂറ്റിമുപ്പത്തേഴാമത്തെ പോസ്റ്റ്. അതായതു്, ഏകദേശം ആറു ദിവസത്തിൽ ഒരു പോസ്റ്റു വീതം. അനോണി ആന്റണി, ബെർലി, നമതു് തുടങ്ങിയവരെ അപേക്ഷിച്ചു നോക്കുമ്പോൾ ഒന്നുമല്ലെങ്കിലും ഇത്രയും നാൾ വലിയ മുടക്കമില്ലാതെ എഴുതാൻ കഴിഞ്ഞതിൽ സന്തോഷം.

കുട്ടികള്‍ക്കുള്ളവ
ഗണിതം (Mathematics)
ചുഴിഞ്ഞുനോക്കല്‍

Comments (15)

Permalink

പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം

ചില കാര്യങ്ങളെപ്പറ്റി എല്ലാവര്‍ക്കും അറിയാം. പക്ഷേ മിക്കവര്‍ക്കും അവയെപ്പറ്റി കാര്യമായ ഗ്രാഹ്യമൊന്നും ഉണ്ടാവില്ല. അദ്വൈതം, ആപേക്ഷികതാസിദ്ധാന്തം, വൈരുദ്ധ്യാത്മകഭൌതികവാദം, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ്, ടൈം മെഷീന്‍, ഗൂഗിള്‍ പേജ് റാങ്കിംഗ്, ക്രിപ്റ്റോഗ്രഫി, മനുസ്മൃതി, ഭഗവദ്ഗീത, വേദാന്തം, വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ്, ചോംസ്കിയുടെ ഭാഷാശാസ്ത്രം, ജ്യോതിഷം, വാസ്തുവിദ്യ തുടങ്ങിയവ ഇങ്ങനെയുള്ള ചില സംഭവങ്ങളാണു്. കേട്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ചുരുങ്ങും. എന്നാല്‍ കേട്ടവരില്‍ ഭൂരിപക്ഷത്തിനും എന്താണു സംഭവം എന്നു വലിയ പിടിയൊന്നും ഉണ്ടാവില്ല. പക്ഷേ തിരിച്ചും മറിച്ചും അവയെപ്പറ്റി വാചകമടിക്കാന്‍ യാതൊരു മടിയുമില്ല താനും.

ഇങ്ങനെയുള്ള അറിവുകളില്‍ പ്രമുഖസ്ഥാനത്തു നില്‍ക്കുന്നു പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം. പൂജ്യം കണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരാണെന്നു് ഏതു കൊച്ചുകുട്ടിയ്ക്കുമറിയാം. എന്നാല്‍ എന്താണു് ഈ കണ്ടുപിടിത്തം കൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്, അല്ലെങ്കില്‍ മുമ്പില്ലാത്ത എന്താണു് ഭാരതീയര്‍ പൂജ്യത്തെ സംബന്ധിച്ചു കണ്ടുപിടിച്ചതു്, ഏകദേശം ഏതു കാലത്താണു് ഈ കണ്ടുപിടിത്തം ഉണ്ടായതു് തുടങ്ങിയവയെപ്പറ്റി ഭൂരിഭാഗം ആളുകള്‍ക്കും കാര്യമായ വിവരം ഇല്ല എന്നതാണു സത്യം.

പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തത്തോടു ബന്ധപ്പെട്ടു കിടക്കുന്ന മറ്റൊന്നാണു് സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം (place-value decimal system). 0 മുതല്‍ 9 വരെയുള്ള പത്തു് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു് ഏതു സംഖ്യയെയും എഴുതുന്ന വിദ്യ. ഇതു് ഭാരതത്തില്‍ പ്രയോഗത്തിലായപ്പോഴേയ്ക്കും ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം ആറാം നൂറ്റാണ്ടെങ്കിലും ആയിക്കാണും എന്നതാണു് ഇവിടെ പറയാന്‍ പോകുന്നതിലെ കാതലായ ഒരു കാര്യം. (ഇതു പൂര്‍ത്തിയാക്കിയതു് അറബികളാണു്. അതിനെപ്പറ്റി വഴിയേ.)


സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായവും ദശാംശസമ്പ്രദായവും തമ്മിൽ തെറ്റരുതു്. പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയ സംഖ്യാസമ്പ്രദായമാണു് ദശാംശസമ്പ്രദായം. ലോകത്തു പലയിടത്തും, ഭാരതത്തിലുൾപ്പെടെ, ഈ സമ്പ്രദായം ഉണ്ടായിരുന്നു. (ഏകം, ദശം, ശതം,… തുടങ്ങിയ പേരുകളും ഉണ്ടായിരുന്നു ഭാരതത്തിൽ.) മനുഷ്യന്റെ രണ്ടു കൈകളിലും കൂടിയുള്ള പത്തു വിരലുകൾ ഉപയോഗിച്ചു് എണ്ണാൻ തുടങ്ങിയതു കൊണ്ടാണു് ഇതു സംഭവിച്ചതു് എന്നാണു് ഒരു തിയറി.

പത്തു കൂടാതെ പന്ത്രണ്ടു്, പതിനാറു്, ഇരുപതു്, അറുപതു് എന്നിങ്ങനെ പല സംഖ്യകളും എണ്ണലിന്റെയും അളവിന്റെയും അടിസ്ഥാനമായുണ്ടു്. പക്ഷേ ഇവയിലൊക്കെ വലിയ സംഖ്യകളോ അളവുകളോ വരുമ്പോൾ പുതിയ അളവുകൾ/ചിഹ്നങ്ങൾ വേണ്ടി വരുന്നു.

ഒരു നിശ്ചിത എണ്ണം ചിഹ്നങ്ങളെക്കൊണ്ടു് ഏതു വലിയ സംഖ്യയെയും എഴുതാൻ പറ്റുന്ന സമ്പ്രദായമാണു സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം. സ്ഥാനമനുസരിച്ചു് ചിഹ്നങ്ങളുടെ വില വ്യത്യാസപ്പെടുന്ന രീതി. അതിനു് ഒരു സ്ഥാനത്തു ചിഹ്നമില്ലെന്നു കാണിക്കാൻ പൂജ്യം ഉണ്ടായേ തീരൂ.


ആദ്യമായി പറയട്ടേ, നാം ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന രീതി കൃത്രിമമാണു്. വളരെ നൂറ്റാണ്ടുകൊണ്ടു് മനുഷ്യന്‍ കണ്ടുപിടിച്ച ഒരു സുപ്രധാനമായ രീതിയാണു് അക്കങ്ങള്‍ക്കു സ്ഥാനമനുസരിച്ചു വിവിധവിലകള്‍ കൊടുത്തു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്ന ഈ രീതി. വലിയ സംഖ്യകളെക്കൊണ്ടുള്ള കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ അത്യന്താപേക്ഷിതമായപ്പോഴാണു് മനുഷ്യന്‍ ഈ രീതി ഉണ്ടാക്കിയതു്. സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ മാത്രം സ്വാഭാവികമായി (natural) ഇങ്ങനെയൊരു രീതി ഒരിക്കലും ഉണ്ടാവില്ല.

വിശ്വസിക്കാന്‍ കഴിയുന്നില്ല, അല്ലേ? വളരെ ചെറുപ്പത്തിലേ ഇതു നാം പഠിച്ചതുകൊണ്ടു് ഇതിന്റെ ബുദ്ധിമുട്ടു് ഓര്‍മ്മയുണ്ടാവില്ല. നാലഞ്ചു വയസ്സു പ്രായമുള്ള ഒരു കുട്ടിയെ ശ്രദ്ധിക്കൂ. അവനു് സംഖ്യകളെപ്പറ്റി നല്ല വിവരമുണ്ടായിരിക്കും. എണ്ണാന്‍ അറിയാം. ചെറിയ കൂട്ടലുകളും കുറയ്ക്കലുകളും അറിയാം. എങ്കിലും സംഖ്യകള്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങുമ്പോള്‍ അവന്‍ വല്ലാതെ തെറ്റിക്കുന്നതു കാണാം. ഇരുനൂറ്റിമൂന്നു് (Two hundred and three) എഴുതാന്‍ പറഞ്ഞാല്‍ അവന്‍ 2003 എന്നെഴുതും. അതാണു സ്വാഭാവികം‍. “ഈ ചെറുക്കനു് ഇത്രയും സിമ്പിള്‍ ആയ ഒരു കാര്യം എത്ര പറഞ്ഞാലും തലയില്‍ കയറില്ലല്ലോ” എന്നു മക്കളെ ശകാരിക്കുന്ന അച്ഛനമ്മമാരെ ഞാന്‍ ധാരാളം കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. മനുഷ്യന്‍ ഒരു സഹസ്രാബ്ദം കൊണ്ടു നേടിയ അറിവു് ഏതാനും മാസം കൊണ്ടു തലയില്‍ കയറ്റാനുള്ള ബുദ്ധിമുട്ടാണു് അതു്. സ്ഥാനീയരീതി കുട്ടികളെ മനസ്സിലാക്കാന്‍ നല്ല ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. “പൂജ്യത്തിനു വിലയില്ല. അപ്പോള്‍ നൂറും ലക്ഷവും ഒരുപോലെ അല്ലേ” എന്നും മറ്റും ചിലപ്പോള്‍ മുതിര്‍ന്നവര്‍ തന്നെ തര്‍ക്കിക്കുന്നതു് ഈ രീതിയെപ്പറ്റിയുള്ള വികലധാരണകള്‍ കൊണ്ടാണു്.

സംഖ്യകള്‍ എഴുതേണ്ട ആവശ്യം വന്നപ്പോള്‍ ഒരു എണ്ണത്തിനു പകരം ഒരു വരയോ വട്ടമോ ഇട്ടാണു് ആദ്യം കാര്യം നടത്തിയതു്. ഇങ്ങനെ ഒരുപാടു വരകള്‍ ആകുമ്പോള്‍ മനസ്സിലാക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടായതിനാല്‍ അഞ്ചോ പത്തോ കൂടുന്ന കൂട്ടത്തെ ഏതെങ്കിലും പ്രത്യേകരീതിയില്‍ കാണിച്ചു. (സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്കല്‍ എണ്ണലിനു് ഇപ്പോഴും ഈ രീതിയിലുള്ള റ്റാലി മാര്‍ക്കുകള്‍ ഉപയോഗിക്കാറുണ്ടു്.) കൂടുതല്‍ വലിയ സംഖ്യകള്‍ വന്നപ്പോള്‍ വലിയ സംഖ്യകളെ കാണിക്കാന്‍ പുതിയ രീതികള്‍ ഉണ്ടാക്കി. ലോകത്തു പണ്ടുണ്ടായിരുന്ന മിക്കവാറും എല്ലാ സംഖ്യാലേഖനരീതികളും ഈ രീതിയാണു് അവലംബിക്കുന്നതു്.

ഉദാഹരണമായി എല്ലാവര്‍ക്കും പരിചയമുള്ള റോമന്‍ രീതി എടുക്കാം. ഒന്നിനു് I, അഞ്ചിനു് V, പത്തിനു് X, അമ്പതിനു് L, നൂറിനു് C, അഞ്ഞൂറിനു് D, ആയിരത്തിനു് M എന്നിങ്ങനെ ചിഹ്നങ്ങള്‍ കൊടുത്തു. 1989 എന്നതു് MDCCCCLXXXVIIII എന്നെഴുതും. (കൂട്ടല്‍ കൂടാതെ കുറയ്ക്കലും ഉള്‍ക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടു് MCMLXXXIX എന്നെഴുതുന്ന സമ്പ്രദായം പിന്നീടുണ്ടായതാണു്.) ഈ രീതി അവര്‍ക്കാവശ്യമുണ്ടായിരുന്ന സംഖ്യകളൊക്കെ എഴുതാന്‍ മതിയായിരുന്നു. വലിയ സംഖ്യകള്‍ എഴുതേണ്ടി വരുമ്പോള്‍ (ഇരുപതിനായിരം എഴുതാന്‍ ഇരുപതു് M എഴുതേണ്ടി വരും. അല്ലെങ്കില്‍ പുതിയ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കേണ്ടി വരും.) ഇതു പിന്നെയും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. (ആയിരം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചതു കാണിക്കാന്‍ മുകളില്‍ വരയിടുന്ന സമ്പ്രദായം വളരെ കാലത്തിനു ശേഷം വന്നതാണു്.)

പ്രാചീനഭാരതത്തിലും ഇതേ രീതിയിലുള്ള ബ്രാഹ്മി അക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. റോമന്‍ സമ്പ്രദായത്തെ അപേക്ഷിച്ചു് വളരെ കൂടുതല്‍ ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു മാത്രം.

ഈ രീതി വളരെ പണ്ടു മാത്രം ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന പ്രാകൃതരീതിയാണെന്നു കരുതരുതു്. ഈ അടുത്ത കാലം വരെയും കേരളത്തിലെ കണക്കപ്പിള്ളമാര്‍ ഉപയോഗിച്ചിരുന്ന നന്നാടിസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റി ദേവരാഗമാണെന്നു തോന്നുന്നു എവിടെയോ എഴുതിയിരുന്നു. ഈ ചിഹ്നങ്ങള്‍ യൂണിക്കോഡ് സ്റ്റാന്‍ഡേര്‍ഡില്‍ ഇപ്പോള്‍ സ്ഥാനം പിടിച്ചിട്ടുണ്ടു് – 5.1-ല്‍.

ഈ രീതിയിലാണു് നാം എഴുതിയിരുന്നെങ്കില്‍ നാലു വയസ്സുകാരന്‍ പയ്യനു് യാതൊരു ബുദ്ധിമുട്ടും ഉണ്ടാവില്ലായിരുന്നു. ഇരുനൂറ്റിമൂന്നു് എഴുതാന്‍ ഇരുനൂറിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതുക, അതിനു ശേഷം മൂന്നിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതുക. സോ സിമ്പിള്‍!

ഈ രീതി പ്രശ്നമാകുന്നതു് കണക്കുകൂട്ടലുകളിലാണു്. രണ്ടു റോമന്‍ സംഖ്യകള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടാനോ ഗുണിക്കാനോ ശ്രമിച്ചുനോക്കൂ. എഴുത്തില്‍ത്തന്നെ ഇടത്തുവശത്തു കുറയ്ക്കേണ്ട ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഇടാത്ത പഴയ രീതിയാണെങ്കില്‍ കൂട്ടാന്‍ വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല. ഒരേ തരത്തിലുള്ള ചിഹ്നങ്ങള്‍ ഒന്നിച്ചു വെയ്ക്കുക. അവയുടെ എണ്ണം അഞ്ചാവുമ്പോള്‍ അവ മാറ്റി അവയുടെ തൊട്ടു മുകളിലുള്ള ചിഹ്നം ഒരെണ്ണം വെയ്ക്കുക. വലത്തുനിന്നു് ഇടത്തോട്ടോ, ഇടത്തു നിന്നു വലത്തോട്ടോ ഏതെങ്കിലും ക്രമത്തിലോ ഇതു ചെയ്യാം എന്നൊരു സൌകര്യമുണ്ടു്.

കുറയ്ക്കല്‍ അല്പം കൂടി ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. ഗുണനം പിന്നെയും ബുദ്ധിമുട്ടാണു്. ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചു് ആരെങ്കിലും ഹരണം ചെയ്തിട്ടുണ്ടോ എന്നു തന്നെ എനിക്കറിയില്ല.


ഇന്നത്തെ രീതിയിലുള്ള സംഖ്യാലേഖനസമ്പ്രദായത്തിന്റെ ഏറ്റവും പഴയ രൂപം ഉണ്ടായതു ബാബിലോണിയയിലാണു്. പത്തിനു പകരം 60-നെ ആധാരമാക്കി എടുത്തിരുന്ന അവര്‍ക്കു് ഒന്നു മുതല്‍ 60 വരെയുള്ള സംഖ്യകള്‍ക്കു ചിഹ്നമുണ്ടായിരുന്നു. അറുപത്തൊന്നു് എന്നെഴുതാന്‍ ഒന്നിന്റെ ചിഹ്നത്തിന്റെ വലത്തുവശത്തു് ഒന്നിന്റെ ചിഹ്നം എഴുതും. അതായതു് ഇടത്തേ ഒന്നു് അറുപതിനെയും വലത്തേ ഒന്നു് ഒന്നിനെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു.

3600 വരെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം. അതു കഴിഞ്ഞു് മൂന്നക്കങ്ങളുടെ വരവായി. ഇങ്ങനെ ഈ അറുപതു ചിഹ്നങ്ങളുപയോഗിച്ചു് എത്ര വലിയ സംഖ്യകളെയും എഴുതാം. അങ്ങനെ സ്ഥാനീയസംഖ്യാസമ്പ്രദായം (സ്ഥാനം അനുസരിച്ചു് ഒരേ ചിഹ്നത്തിനു പല വില വരുന്ന രീതി) ആദ്യമുണ്ടാക്കിയവരാണു ബാബിലോണിയക്കാര്‍.

ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ടു്. 61 എന്നു് എങ്ങനെ എഴുതും? രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. 3601 എന്നു് എങ്ങനെ എഴുതും? അതും രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. 3660 എന്നതോ? അതും രണ്ടു് ഒന്നുകള്‍. ഇവയെ തമ്മില്‍ വ്യവച്ഛേദിക്കാന്‍ പൂജ്യം പോലെ ഒന്നും അവര്‍ക്കുണ്ടായിരുന്നില്ല.

അതെങ്ങനെ, അത്ര മണ്ടന്മാരായിരുന്നോ ബാബിലോണിയക്കാര്‍? സത്യം അതല്ല. സംഖ്യകള്‍ അവര്‍ എഴുതിയല്ല സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതു്. കണക്കുകൂട്ടലിലെ ആദ്യത്തെ നാഴികക്കല്ലായ മണിച്ചട്ടം (Abacus) കണ്ടുപിടിച്ചവരാണു് അവര്‍. (മണിച്ചട്ടം കണ്ടുപിടിച്ച കാലത്തു് ബാബിലോണിയ ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. എങ്കിലും സുമേറിയൻ എന്നു വിളിക്കുന്ന ആ സംസ്കാരത്തിലാണു് മണിച്ചട്ടത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം.) കണക്കുകൂട്ടലിനായി അവര്‍ സംഖ്യകള്‍ സൂചിപ്പിച്ചിരുന്നതു് മണിച്ചട്ടത്തിലായിരുന്നു. മണിച്ചട്ടത്തില്‍ ഓരോ സ്ഥാനത്തിനും ഓരോ വരി മുത്തുകള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു. ഒരു വശത്തേയ്ക്കു നീക്കുന്ന മുത്തുകള്‍ ആ സ്ഥാനത്തെ അക്കത്തെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. ഇടയ്ക്കു് ഒരു വരിയില്‍ മുത്തുകള്‍ നീക്കിയിട്ടില്ലെങ്കില്‍ അതു കൂട്ടേണ്ടാ. ഈ രീതിയില്‍ 61, 3601, 3660 എന്നിവ വ്യത്യസ്തം തന്നെയാണു്. കണക്കുകൂട്ടലിനെ അതു ബാധിക്കുന്നില്ല.

ഇവിടെ മുത്തുകള്‍ നീക്കാത്ത ഒരു വരി ഇന്നത്തെ പൂജ്യത്തിന്റെ ധര്‍മ്മം നിര്‍വ്വഹിക്കുന്നു. പക്ഷേ, സംഖ്യകള്‍ എഴുതാന്‍ തുടങ്ങിയപ്പോള്‍ അവര്‍ ഇത്തരം വരികള്‍ സൂചിപ്പിക്കാന്‍ വഴി ഉണ്ടാക്കിയില്ല. തനിക്കു് അപ്പോള്‍ ആവശ്യമില്ലാത്ത കാര്യങ്ങള്‍ ചെയ്യാതിരിക്കുക എന്നതു മനുഷ്യന്റെ സ്വഭാവമാണല്ലോ!

ചിരിക്കണ്ട. Y2K ബഗ് എന്ന സാധനം കഴിഞ്ഞിട്ടു് അധികകാലം ആയിട്ടില്ലല്ലോ. നാലക്കമുള്ള വര്‍ഷത്തെ രണ്ടക്കം കൊണ്ട്‌ എഴുതിയതാണു് ഈ പ്രശ്നം ഉണ്ടാകാന്‍ കാരണം. ഈ പ്രശ്നം വരുമെന്നു് അറിയാമായിരുന്നിട്ടും ആളുകള്‍ താടിയും ചൊറിഞ്ഞിരുന്നു. “ഞാന്‍ ഈ സ്ഥലത്തു ജോലി ചെയ്യുന്നിടത്തോളം കാലം ഇതാവശ്യമില്ല. പിന്നെ ഞാന്‍ എന്തിനു മിനക്കെടണം” എന്ന മട്ടു്. അതുകൊണ്ടെന്താ, എത്ര പേര്‍ക്കാണു ജോലി കിട്ടിയതു്!

കുറേ കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ ഈ പ്രശ്നം മനസ്സിലാക്കി അവര്‍ ഇടയ്ക്കു് വിട്ടുപോയ ഒരു സ്ഥാനം ഉണ്ടെന്നു കാണിക്കാന്‍ ഒരു സ്പേസ് ഇട്ടു. 305 എന്നതിനു പകരം 3 5 എന്നു് എഴുതുന്നതു പോലെ. അങ്ങനെ അതിനെ 35-ൽ നിന്നു വേർതിരിച്ചറിയാം. പക്ഷേ, 35-നെയും 350-നെയും അപ്പോഴും തിരിച്ചറിയാൻ പറ്റില്ല. പിൽക്കാലത്തു് സ്പേസ് മാറ്റി ഒരു ചിഹ്നം ഇട്ടുതുടങ്ങി. ഇതാണു ചരിത്രത്തിലെ ആദ്യത്തെ പൂജ്യം. അപ്പോഴും സംഖ്യയുടെ അവസാനത്തിൽ അതു് ഇട്ടില്ല, ഇടയിലേ ഇട്ടുള്ളൂ. അതായതു് 60 അടിസ്ഥാനമായ സമ്പ്രദായത്തിൽ 61, 3601 എന്നിവയെ ഇപ്പോള്‍ തിരിച്ചറിയാം. എന്നാല്‍ 61, 3660 എന്നിവയെ തിരിച്ചറിയാന്‍ പറ്റില്ല.

ഇങ്ങനെയൊക്കെയാണെങ്കിലും, ബാബിലോണിയന്‍ രീതി കണക്കുകൂട്ടാന്‍ വളരെ എളുപ്പമായിരുന്നു. അലക്സാണ്ടര്‍ ബാബിലോണിയയെ കീഴടക്കിയതോടെ ബാബിലോണിയന്‍ സംഖ്യാലേഖനരീതിയും അവസാനിച്ചു. എങ്കിലും ഗ്രീസിലെ ഗണിതജ്ഞര്‍ രഹസ്യമായി ഈ രീതി ഉപയോഗിച്ചാണു കണക്കുകൂട്ടിയിരുന്നതു് എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. എന്നിട്ടു് അവര്‍ ഫലങ്ങള്‍ റോമന്‍ സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു് എഴുതി നാട്ടുകാര്‍ക്കു കൊടുത്തു. ജ്ഞാനം വരേണ്യവര്‍ഗ്ഗത്തില്‍ത്തന്നെ ഒതുങ്ങിനിന്നതിന്റെ ചരിത്രം ലോകത്തു് എല്ലായിടത്തുമുണ്ടു്.

അലക്സാണ്ടറുടെ ഇന്ത്യയിലേയ്ക്കുള്ള പടനീക്കമാണു് ബാബിലോണിയന്‍ സംഖ്യാലേഖനരീതി ഇന്ത്യയിലേയ്ക്കു് എത്താന്‍ സഹായിച്ചതു് എന്നൊരു തിയറിയുണ്ടു്. അതു് ഇന്ത്യയുടെ പൈതൃകത്തെ ഇടിച്ചുതാഴ്ത്തി യൂറോപ്പിലാണു് എല്ലാം ഉണ്ടായതു് എന്നു വാദിക്കുന്ന യൂറോപ്യന്‍സിന്റെ കുത്സിതശ്രമമാണെന്നു് ഭാരതീയപൈതൃകവാദികള്‍ വാദിക്കുന്നു. അതെന്തെങ്കിലുമാകട്ടേ. ഏതായാലും, ഭാരതത്തില്‍ ആറാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ പൂജ്യമുള്ള സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചു് ആരും എഴുതിയിട്ടില്ല. പൂജ്യം ആ അര്‍ത്ഥത്തില്‍ ഉപയോഗിച്ചിട്ടുമില്ല.

ബാബിലോണിയന്‍ രീതിയോടു സാദൃശ്യമുള്ള, എന്നാല്‍ ദശാംശസമ്പ്രദായത്തിലുള്ള, സംഖ്യകള്‍ ബാഖ്‌ഷലി രേഖയില്‍ (ഇതെഴുതിയ സമയത്തെപ്പറ്റി തര്‍ക്കമാണു്. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു മുതല്‍ ക്രിസ്തുവിനു ശേഷം മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ ഇതിന്റെ കാലം പറഞ്ഞു കേള്‍ക്കുന്നുണ്ടു്. കണ്ടെടുത്ത പ്രതിയുടെ കാലം ക്രി. പി. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടാണു്.) ഉണ്ടു്. അതിലും പൂജ്യമില്ല. എങ്കിലും പൂജ്യമില്ലാത്ത സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ആ കാലഘട്ടത്തില്‍ ഭാരതത്തില്‍ പ്രചരിച്ചു തുടങ്ങി എന്നു പറയാം.

ആര്യഭടന്‍ (5/6 നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് പൂജ്യവും സ്ഥാനീയസംഖ്യാസമ്പ്രദായവും കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നു് ഒരു വാദമുണ്ടു്. ഏതായാലും, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ആര്യഭടീയത്തില്‍ അതിനുള്ള തെളിവൊന്നുമില്ല. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദാ‍യവും പൂജ്യവും പ്രചാരത്തിലായിരുന്നെങ്കില്‍ അദ്ദേഹം കഠിനമായ ആര്യഭടീയസംഖ്യാക്രമം ഉപയോഗിക്കാതെ ഭൂതസംഖ്യ പോലെയോ പരല്‍പ്പേരു പോലെയോ ഉള്ള ഏതെങ്കിലും രീതി ഉപയോഗിച്ചേനേ.

മറ്റൊന്നു കൂടി ഇവിടെ ആലോചിക്കണം. ഇരുപത്തിനാലാം വയസ്സിലാണു് അദ്ദേഹം ആര്യഭടീയം എഴുതുന്നതു്. അതിനു ശേഷം 50 കൊല്ലം കൂടി അദ്ദേഹം ജീവിച്ചിരുന്നു. ഈ കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ അതിനിടയില്‍ അദ്ദേഹം നടത്തിയിരിക്കാം എന്നു കരുതുന്നതില്‍ അസാംഗത്യമൊന്നുമില്ല.

ഏതായാലും ആര്യഭടന്റെ കാലത്തിനടുത്താണു് നമ്മള്‍ പൂജ്യവും ഇന്നുപയോഗിക്കുന്ന സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായവും ഉണ്ടായതെന്നു കരുതാം.


അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രാകൃതഭാഷയിൽ എഴുതിയ ലോകവിഭാഗ എന്ന ജൈനകൃതിയിൽ പൂജ്യം ഉൾക്കൊള്ളിച്ചുകൊണ്ടുള്ള സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഉണ്ടു് എന്നു പറയപ്പെടുന്നു. ഈ പുസ്തകം കണ്ടുകിട്ടിയിട്ടില്ല. ഇതിന്റെ ഒരു സംസ്കൃതപരിഭാഷയാണു കിട്ടിയിട്ടുള്ളതു്. അതു പിൽക്കാലത്തു് എഴുതിയതുമാണു്. ഇതിൽ ചിഹ്നങ്ങളല്ല, വാക്കുകളായാണു് ഓരോ അക്കവും പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു്.

ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഒരു സിറിയൻ ബിഷപ്പ് ഒൻപതു ചിഹ്നങ്ങൾ കൊണ്ടു് ഏതു സംഖ്യയെയും ഭാരതീയർ എഴുതുന്നതിനെപ്പറ്റി എഴുതിയതാണു് സ്ഥാനീയരീതി ഉപയോഗിച്ചതിന്റെ ആദ്യത്തെ തെളിവു്. പക്ഷേ ഇതു് എങ്ങനെയായിരുന്നു എന്നോ, ഇതിൽ പൂജ്യം ഉണ്ടായിരുന്നോ എന്നോ വ്യക്തമല്ല.

ആദ്യമായി പൂജ്യം എഴുതിയതിന്റെ തെളിവു് 876-ലാണു്. ഗ്വാളിയോറിലെ ഒരു ക്ഷേത്രത്തോടനുബന്ധിച്ചുള്ള പൂന്തോട്ടത്തിന്റെ വലിപ്പവും (187 ഹസ്തം x 270 ഹസ്തം) ഒരു ദിവസം പൂജിക്കേണ്ട പുഷ്പങ്ങളുടെ എണ്ണവും (50) പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചു് എഴുതിയതു്. ആ കാലമായപ്പോഴേയ്ക്കും പൂജ്യം ഉപയോഗിച്ചുള്ള സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പ്രചാരത്തിലായി. അതിനാൽ അതിനും ഏകദേശം 200 കൊല്ലമെങ്കിലും മുമ്പായിരിക്കണം ഈ ആശയം പൂർണ്ണമായി കണ്ടുപിടിച്ചതെന്നാണു വിദഗ്ദ്ധർ അനുമാനിക്കുന്നതു്. അതായതു് ഏകദേശം ആറാമത്തെയോ ഏഴാമത്തെയോ നൂറ്റാണ്ടിൽ.

എന്തായാലും ക്രിസ്തുവിനു പിൻപു് അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാണു് പൂജ്യം ഉൾപ്പെടുന്ന സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം ഉണ്ടായതു് എന്ന കാര്യത്തിൽ കാര്യമായ സംശയമൊന്നും ഇല്ല.


സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായത്തിൽ ഒരു സ്ഥാനത്തിന്റെ അഭാവം കാണിക്കുന്ന ചിഹ്നം എന്നതു കൂടാതെ പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി കണക്കാക്കുന്നതും കൂടി ഉണ്ടെങ്കിലേ ഇന്നു നാം കാണുന്ന പൂജ്യത്തിന്റെ കണ്ടുപിടിത്തം പൂർണ്ണമാകുകയുള്ളൂ. ഇതും ഭാരതത്തിൽ തന്നെയാണു് സംഭവിച്ചതു്.

ആര്യഭടൻ പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ആകാശം എന്ന അർത്ഥമുള്ള “ഖം” എന്ന വാക്കാണു് അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ചതു്. എങ്കിലും പൂജ്യത്തെ ഒരു സംഖ്യയായി വ്യക്തമായി നിർവ്വചിക്കുകയും അതിന്റെ സ്വഭാവങ്ങളും അതിൽ ചെയ്യാവുന്ന ക്രിയകളും വിവരിക്കുകയും ചെയ്തതു് ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ (ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. പൂജ്യത്തെ പൂജ്യം കൊണ്ടു ഹരിച്ചാൽ പൂജ്യം കിട്ടും എന്ന ഒരു കാര്യം ഒഴിച്ചാൽ (ഇതു പിന്നീടു് പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ ഭാസ്കരാചാര്യർ തിരുത്തി) ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങൾ ആധുനികഗണിതശാസ്ത്രവുമായി ഒത്തുപോകുന്നു. പൂജ്യം മാത്രമല്ല, നെഗറ്റീവ് സംഖ്യകളെപ്പറ്റിയും ബ്രഹ്മഗുപ്തൻ വിശദമായി പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.


മുകളിൽ കൊടുത്ത രണ്ടു കാര്യങ്ങൾ ചേർത്തു വെച്ചാൽ ഇന്നത്തെ പൂജ്യത്തിന്റെ ജന്മം ഏതാണ്ടു് ക്രിസ്തുവിനു പിൻപു് ഏഴാം നൂറ്റാണ്ടു് ആണെന്നു കാണാം. എഴുതുന്നതിനു മുമ്പു് കുറേക്കാലം മുമ്പുതന്നെ ഈ ആശയം ഉടലെടുത്തു എന്നു വാദിച്ചാൽ തന്നെ, അഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടിനു മുമ്പല്ല എന്നു നിസ്സംശയം പറയാം.


സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പൂർത്തിയാക്കിയതു് അറബികളാണു്. ഭാരതീയർ പൂർണ്ണസംഖ്യകളല്ലാത്ത സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കാൻ ഭിന്നസംഖ്യകളാണു് ഉപയോഗിച്ചതു്. അതായതു് അംശം, ഛേദം എന്നു രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ അനുപാതമായി ഭിന്നങ്ങളെ എഴുതി. അറബികൾ ഒരു പടി കൂടി മുന്നോട്ടു പോയി ദശാംശബിന്ദുവിനു വലത്തോട്ടു് അക്കങ്ങളെഴുതി ഭിന്നങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇടത്തോട്ടു് 1, 10, 100,… തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളെ അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്നതു പോലെ, വലത്തോട്ടു് 1/10, 1/100, 1/1000,… തുടങ്ങിയവയുടെ ഗുണിതങ്ങളെയും അവിടത്തെ അക്കങ്ങൾ സൂചിപ്പിക്കുന്ന രീതി ഉണ്ടായതോടെ സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം പൂർത്തിയായി.


പൂജ്യത്തെപ്പറ്റി പറയുമ്പോൾ മറ്റൊരു കൂട്ടരെ പരാമർശിക്കാതെ പോകുന്നതു ശരിയല്ല. പരിഷ്കൃതലോകത്തിൽ നിന്നകന്നു് മദ്ധ്യ-അമേരിക്കയിൽ ഉണ്ടായി പുറം‌ലോകവുമായി ബന്ധമുണ്ടാകാതെ അവിടെത്തന്നെ ഒടുങ്ങിയ മായന്മാരെ.

മായന്മാർക്കു ഭ്രാന്തു കാ‍ലഗണനത്തിലായിരുന്നു. അഞ്ചാറു തരം കലണ്ടറുകളാണു് അവർ ഉണ്ടാക്കിയതു്. സൂര്യനെയും ചന്ദ്രനെയും മാത്രമല്ല, ശുക്രന്റെ സഞ്ചാരത്തെയും അടിസ്ഥാനമാക്കി അവർ കലണ്ടർ ഉണ്ടാക്കി.

സ്വാഭാവികമായും കലണ്ടറുകൾ ഉണ്ടാക്കിയ വകയിൽ അവരുടെ ഗണിതശാസ്ത്രവും വളരെ മികച്ചതായിരുന്നു. പൂജ്യം ഉൾപ്പെടെയുള്ള ഇരുപതു് അക്കങ്ങളുള്ള സംഖ്യാസമ്പ്രദായവും (എണ്ണാൻ കൈയിലെ മാത്രമല്ല, കാലിലെ വിരലുകളും ഉപയോഗിച്ചുകാണും!) അതെഴുതാൻ രണ്ടു രീതികളും, അതിലൊരു രീതിയിൽ അഞ്ചിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിൽ ഉള്ള എഴുത്തും അവരുടെ പ്രത്യേകതയാണു്.

മായന്മാരാണോ ഭാരതീയരാണോ പൂജ്യം ആദ്യം ഉപയോഗിച്ചതെന്നതു വ്യക്തമല്ല. പക്ഷേ, ലോകത്തിനു പൂജ്യം സംഭാവന ചെയ്തതു ഭാരതീയരാണെന്നതിൽ തർക്കമില്ല. ഭാരതീയരിൽ നിന്നു പൂജ്യം നേടിയതിനു വളരെക്കാലം ശേഷമാണു് മായന്മാരെപ്പറ്റി ലോകം അറിഞ്ഞതു്.


എന്താണു് ഈ ലേഖനത്തിന്റെ പ്രസക്തി?

ന്യായമായ ചോദ്യം. പൂജ്യം ആരു് എന്നു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നതിനു് ഇന്നു് എന്തു പ്രാധാന്യമുണ്ടു്?

പൂജ്യം ഭാരതത്തിലാണു കണ്ടുപിടിച്ചതു് എന്നു പറഞ്ഞു് അഭിമാനിക്കാനോ? ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തിൽ നിന്നു യൂറോപ്പിൽ നിന്നുള്ളതല്ലാത്തവയെല്ലാം തമസ്കരിച്ചു് റോമൻ സാമ്രാജ്യത്തിന്റെ തകർച്ചയ്ക്കു ശേഷം പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടു വരെ ലോകത്തിൽ ഒരു ശാസ്ത്രപുരോഗതിയും നടന്നിട്ടില്ല എന്ന അസംബന്ധം വിളിച്ചുകൂവുന്ന ചില പാശ്ചാത്യശാസ്ത്രചരിത്രകാരന്മാരെ എതിർക്കാനോ? ഭാരതത്തിലെ (അതുപോലെ യൂറോപ്പല്ലാത്ത മറ്റു രാജ്യങ്ങളിലെയും) പഴയ ശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ തപ്പിയെടുത്തു് വിശദീകരണങ്ങളോടെ പ്രസിദ്ധീകരിക്കേണ്ടതിന്റെ ആവശ്യം ആളുകളെ മനസ്സിലാക്കിക്കാനോ?

തീർച്ചയായും. മുകളിൽ പറഞ്ഞവയെല്ലാം ഈ ലേഖനം എഴുതാനുള്ള പ്രചോദനങ്ങളിൽ പെടും. അതോടൊപ്പം തന്നെ ഭാരതീയർ തന്നെ പടച്ചുണ്ടാക്കുന്ന ചില അസംബന്ധങ്ങളുടെ നിജസ്ഥിതി വെളിയിൽ കൊണ്ടുവരാനും ഇതു് ഉപകരിക്കും.

ചില ഉദാഹരണങ്ങൾ താഴെ.

  1. വേദിക് മാത്തമാറ്റിക്സ് എന്ന പേരിൽ പ്രചരിക്കുന്ന ഒരു തട്ടിപ്പുണ്ടു്. ശ്രീ ഭാരതികൃഷ്ണ തീർത്ഥജി എന്ന പുരി മഠത്തിലെ ഒരു ശങ്കരാചാര്യർ എഴുതിയ ഈ പുസ്തകത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കി ഉള്ളതു്. ഇല്ലാത്ത ഒരു വേദത്തിൽ നിന്നുള്ള വല്ലാത്ത കുറേ സൂത്രങ്ങൾ ഉദ്ധരിച്ചിട്ടു് അവയുടെ അർത്ഥം കാൽക്കുലസിലെ ഇന്റഗ്രേഷൻ ഫോർമുലയാണു്, പിൽക്കാലത്തു മാത്രം കണ്ടുപിടിച്ച ഒരുപാടു കാര്യങ്ങൾ അവയിലുണ്ടു് എന്നു വാദിക്കുന്ന വെള്ളം ചേർക്കാത്ത തട്ടിപ്പു്. (വേദകാലത്തു് ഭാരതത്തിൽ ശുൽബസൂത്രങ്ങൾ പോലെയുള്ള മഹത്തായ ഗണിതശാസ്ത്രഗ്രന്ഥങ്ങൾ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. അവയെപ്പറ്റിയല്ല ഞാൻ പറയുന്നതു്.) ഈ പുസ്തകത്തിൽ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന പലതും തെറ്റാണെന്നു മനസ്സിലാക്കാൻ വേദകാലത്തു സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഇല്ല എന്ന ഒരേയൊരു വസ്തുത മതി.
    1. 19, 29, 39,… തുടങ്ങിയ vulgar fractions(!)-ന്റെ ദശാംശരീതിയിലുള്ള expansion നൽകുന്ന സൂത്രമാണു് “ഏകാധികേന പൂർവ്വേന” എന്ന സൂത്രമെന്നു പറയുന്നു. വേദകാലത്തു് സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായമില്ല, പൂജ്യം എന്ന സംഖ്യയില്ല, ഭിന്നങ്ങളെ ദശാംശരീതിയിൽ എഴുതുന്ന രീതി തുടങ്ങിയിട്ടുമില്ല. പിന്നെയെന്തു സൂത്രം?
    2. “നിഖിലം നവതശ്ചരമം ദശമഃ” എന്ന സൂത്രം സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായത്തിൽ എഴുതുമ്പോൾ പൂജ്യങ്ങളിൽ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു സംഖ്യയിൽ നിന്നു് മറ്റൊരു സംഖ്യ കുറയ്ക്കുമ്പോൾ ഉള്ള സംഖ്യ കിട്ടാനുള്ള എളുപ്പ വഴി തരുന്നു. (മറ്റു സംഖ്യകൾക്കു് അതു് ഉപയോഗശൂന്യമാണു്). മനുഷ്യൻ വേദകാലത്തു് സംഖ്യകൾ എങ്ങനെയാണു് എഴുതിയിരുന്നതു് എന്നു് ഇതിനെ പൊക്കിക്കൊണ്ടു നടക്കുന്നവർക്കു വല്ല രൂപവുമുണ്ടോ?

    ഈ തട്ടിപ്പു് സമ്മതിക്കണമെങ്കിൽ വേദങ്ങൾ ഉണ്ടായതു് ക്ര്. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാണെന്നു പറയേണ്ടി വരും. ഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രത്തെപ്പറ്റി ഒരു ചുക്കും അറിയാത്ത ഒരു സന്ന്യാസി തനിക്കറിയാവുന്ന എളുപ്പവഴികൾ എഴുതിവെയ്ക്കുകയും അവയ്ക്കു് അനുയോജ്യമായ രീതിയിലുള്ള ചില സംസ്കൃതസൂത്രങ്ങൾ കണ്ടെത്തുകയോ ഉണ്ടാക്കുകയോ ചെയ്തതു് അദ്ദേഹത്തിന്റെ മരണത്തിനു ശേഷം ചിലർ ഭാരതീയപൈതൃകം എന്നു പറഞ്ഞാൽ മുന്നും പിന്നും നോക്കാതെ എടുത്തു ചാടുന്ന ഇന്ത്യക്കാരെ കബളിപ്പിക്കാൻ പുസ്തകമാക്കി മാർക്കറ്റ് ചെയ്യുകയും അങ്ങനെ വേദഗണിതം എന്ന വാക്കിന്റെ തന്നെ അർത്ഥം മാറിമറിഞ്ഞു പോവുകയും ആണുണ്ടായതു്.

    വേദഗണിതത്തട്ടിപ്പിനെപ്പറ്റി പറയണമെങ്കിൽ ഒരു വലിയ പോസ്റ്റു തന്നെ വേണ്ടിവരും. ഇനിയൊരിക്കലാവട്ടേ…

  2. ഭൂതസംഖ്യ, പരൽ‌പ്പേരു് എന്നീ അക്ഷരസംഖ്യാസമ്പ്രദായങ്ങൾ സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിച്ചുള്ളവയാണു്. അവ ഉണ്ടായതു് ആറാം നൂറ്റാണ്ടിനു ശേഷമാവാനേ വഴിയുള്ളൂ. അതിനു മുമ്പുണ്ടായെന്നു പറയുന്ന പല അവകാശവാദങ്ങളും തെറ്റാണു്. ഉദാഹരണമായി…
    1. മഹാഭാരതത്തിന്റെ ആദ്യരൂപം ഇന്നുള്ളതിനേക്കാൾ വളരെ ചെറുതായിരുന്നു. ആ ചെറിയ ഗ്രന്ഥത്തിനെ “ജയ” എന്നാണു വിളിക്കുന്നതു്. ഈ “ജയ” എന്ന വാക്കു് പരൽ‌പ്പേർ പ്രകാരം 18 എന്ന സംഖ്യയെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു എന്നും അങ്ങനെ മഹാഭാരതത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രധാനസംഖ്യയായ പതിനെട്ടിനെ (ഭാരതത്തിൽ പതിനെട്ടു പർവ്വങ്ങൾ, ഗീതയിൽ പതിനെട്ടദ്ധ്യായങ്ങൾ, കുരുക്ഷേത്രയുദ്ധത്തിൽ പതിനെട്ടു് അക്ഷൌഹിണികൾ) വ്യാസൻ പരൽ‌പ്പേരുപയോഗിച്ചു സൂചിപ്പിച്ചിരിക്കുന്നു എന്നും പലയിടത്തും കണ്ടിട്ടുണ്ടു്. ജയ എന്ന വാക്കു് പിൽക്കാലത്തുണ്ടായ പരൽ‌പ്പേരനുസരിച്ചു് 18-നെ സൂചിപ്പിക്കുന്നതു് തികച്ചും യാദൃച്ഛികം മാത്രം.
    2. ഉണ്ണുനീലിസന്ദേശത്തെപ്പറ്റിയുള്ള രസകരമായ ഒരു വാദം ഈ വിക്കി സംവാദത്തിൽ കാണാം. ഉണ്ണുനീലിസന്ദേശത്തിലെ ഒരു വാക്കു് അതെഴുതിയ ദിവസത്തെ കലിദിനസംഖ്യ പരൽ‌പ്പേർ ഉപയോഗിച്ചെഴുതിയെന്നാണു ‘രസികരഞ്ജിനി’ പത്രാധിപർ ഉൾപ്പെടെയുള്ള ചില ‘ചരിത്രകാരന്മാർ’ വാദിച്ചതു്. അങ്ങനെ കിട്ടിയ തീയതിയുടെ കാലത്തു് മലയാളഭാഷയുമില്ല, പൂജ്യവുമില്ല, സ്ഥാനീയദശാംശരീതിയുമില്ല, പരൽ‌പ്പേരുമില്ല.

മറ്റുദാഹരണങ്ങൾ വഴിയേ പറയാം. അവ പറയുമ്പോൾ ലിങ്ക് കൊടുക്കാൻ ഒരു റെഫറൻസ് ആകട്ടേ എന്നാലോചിച്ചുമാണു് ഇതെഴുതിയതു്.


അധികവായനയ്ക്കു്:

(Disclaimer: ഇവയിൽ പലതും പൂജ്യത്തെപ്പറ്റിയല്ല പറയുന്നതു്. പലതിലെയും പ്രതിപാദ്യത്തോടു് എനിക്കു പൂർണ്ണമായ യോജിപ്പുമില്ല.)

  1. B. Datta and A. N. Singh, History of Hindu Mathematics, Vol. I, Bharatiya Kala Prakashan, New Delhi 2004.
  2. George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock – Non-European roots of Mathematics, Princeton University Press 2000.
  3. Charles Seife, Zero: The Biography of a Dangerous Idea, Penguin, 2000.
  4. Kaplan, R., The Nothing that Is: A Natural History of Zero, Oxford University Press USA, 2000.
  5. Teresi, D., Lost Discoveries, The ancient roots of Modern Science – from the Babylonians to the Maya, Simon & Schuster 2002.
  6. Wikipedia articles:
    1. 0 (Number)
    2. Positional notation
    3. History of Hindu-Arabic numeral system
    4. Brahmi numeral
    5. Maya numerals
    6. Aryabhata
    7. Brahmagupta

ഇതിനെപ്പറ്റി മുമ്പു ഞാന്‍ നേരിട്ടും ഈമെയിലിലൂടെയും പലരോടും ചർച്ച ചെയ്തപ്പോൾ വളരെയധികം എതിര്‍പ്പുകളും എതിര്‍വാദങ്ങളും നേരിടേണ്ടി വന്നു. അവയില്‍ പലതും എന്താണു ഞാന്‍ ഉദ്ദേശിച്ചതെന്നു വ്യക്തമായി മനസ്സിലാക്കാത്തതു കൊണ്ടായിരുന്നു. ചില അലപ്രകൾ (അ.ല.പ്ര. = അടിക്കടി ലഭിക്കുന്ന പ്രശ്നങ്ങൾ = Frequently Asked Questions) താഴെ:

ചോദ്യം:

അസംബന്ധം! “ശൂന്യം” എന്ന വാക്കു് വേദങ്ങളില്‍ തൊട്ടു് ഉപയോഗിച്ചിട്ടുള്ളതാണു്. ഭാരതീയര്‍ക്കു പൂജ്യത്തെപ്പറ്റി വേദകാലം മുതല്‍ക്കേ അറിയാമായിരുന്നു. അതിനെ ക്രി. പി. ആറാം നൂറ്റാണ്ടിലേയ്ക്കു തള്ളുന്നതു് ശരിയല്ല.

ഉത്തരം:
“ശൂന്യം” അല്ലെങ്കില്‍ ഒന്നുമില്ലായ്മ എന്ന ആശയം ഭാരതത്തിലും മറ്റു പല രാജ്യങ്ങളിലും പണ്ടു തൊട്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നു. പില്‍ക്കാലത്തു് സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം വന്നപ്പോള്‍ ഒരു സംഖ്യ എഴുതുമ്പോള്‍ ഒരു പ്രത്യേകസ്ഥാനത്തു് ഒന്നുമില്ല എന്നു സൂചിപ്പിക്കാന്‍ ആ വാക്കു് ഉപയോഗിച്ചു. ഈ രണ്ടാമതു പറഞ്ഞ ടെക്നിക്കിനെപ്പറ്റിയാണു് നാം ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നതു്; ആദ്യം പറഞ്ഞ വാക്കിനെപ്പറ്റിയല്ല.

ചോദ്യം:

പൂജ്യത്തിന്റെ ചിഹ്നം അതിനു മുമ്പേ പലരും ഉപയോഗിച്ചിരുന്നു. ഉദാഹരണത്തിനു ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രകാരനായിരുന്ന പിംഗളന്‍ (ബി. സി. നാലാം നൂറ്റാണ്ടു്).

ഉത്തരം:
വട്ടത്തെ ഒരു ചിഹ്നമായി പലരും ഉപയോഗിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതു മുമ്പു പറഞ്ഞ പൂജ്യം എന്ന ആശയത്തിനു വേണ്ടി ഉപയോഗിച്ചെങ്കിലേ നാം ഇവിടെ ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്ന കാര്യത്തില്‍ എത്തൂ. ഛന്ദശ്ശാസ്ത്രത്തിലെ “ലഘു” എന്നതിനെ സൂചിപ്പിക്കാനാണു പിംഗളന്‍ വട്ടം ഉപയോഗിച്ചതു്.

ചോദ്യം:

പിംഗളന്‍ ഉപയോഗിച്ചതു് അങ്ങനെയല്ല. ആ വട്ടം (ലഘു) പൂജ്യം തന്നെയായിരുന്നു. ഗുരു ഒന്നും. അവയെ ഉപയോഗിച്ചുള്ള ദ്വ്യങ്കസമ്പ്രദായം (binary number system) കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനാണു്. ദശാംസസമ്പ്രദായം അല്ലെങ്കിലും രണ്ടു് അടിസ്ഥാനമായ സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം തന്നെയാണു് അതു്. ബൈനോമിയല്‍ തിയറവും കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനാണു്, ന്യൂട്ടനല്ല.

ഉത്തരം:
നമ്മുടെ ചര്‍ച്ചയ്ക്കു് ദശാംശസമ്പ്രദായം വേണമെന്നില്ല. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം മതി. അടിസ്ഥാനം രണ്ടോ പത്തോ പതിനാറോ ഇരുപതോ അറുപതോ ആയിക്കോട്ടേ. ഒരു നിശ്ചിത-എണ്ണം അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കാനുള്ള രീതിയാണു നമുക്കു വേണ്ടതു്.

പിംഗളന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചതു് വളരെ സുപ്രധാനമായ മറ്റൊരു കണ്ടുപിടിത്തമാണു്. രണ്ടു തരത്തിലാകാവുന്ന (ഇവിടെ ഗുരുവും ലഘുവും) ചരങ്ങളുടെ (variables) കൂട്ടങ്ങള്‍ എത്ര വിധത്തില്‍ വിന്യസിച്ചു വൃത്തങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം എന്നതു്. Permutations and combinations എന്നാണു് ഈ ഗണിതശാഖയുടെ പേരു്. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായത്തിനു മുമ്പേ ഈ ശാഖ പച്ച പിടിച്ചിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതിനെപ്പറ്റി സവിസ്തരം പ്രതിപാദിക്കുന്നുണ്ടു്.

ഈ ഗണിതശാഖ മറ്റു പല സുപ്രധാനശാഖകളുടെയും അടിസ്ഥാനമാണു്. സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം അതിലൊന്നാണു്. ഒരു നിശ്ചിത-എണ്ണം അക്കങ്ങളെ (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 10) പല വിധത്തില്‍ വിന്യസിച്ചു് ഏതു സംഖ്യയെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നതാണു് അതു്. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ഉടലെടുത്ത സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രം (Theory of probability) ആണു മറ്റൊന്നു്. രണ്ടു സംഭവങ്ങള്‍ സംഭവിക്കാനുള്ള വിവിധരീതികള്‍ എണ്ണി ഒന്നിനെ അപേക്ഷിച്ചു മറ്റേതു സംഭവിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്ന a-priori probability ഇതുപയോഗിച്ചേ ചെയ്യാന്‍ പറ്റൂ. പക്ഷേ, അതുകൊണ്ടു് സംഭാവ്യതാശാസ്ത്രവും സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായവും Permutations and combinations കണ്ടുപിടിച്ച കാലത്തു തന്നെ കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു എന്നു പറയാന്‍ പറ്റില്ല.

ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തിന്റെ കാര്യവും വ്യത്യസ്തമല്ല. ബൈനോമിയല്‍ വികസനത്തിലെ (binomial expansion) ഓരോ പദവും പിംഗളന്‍ തുടങ്ങിവെച്ച തിയറി കൊണ്ടാണു കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. പക്ഷേ അതു കൊണ്ടു് ബൈനോമിയല്‍ തിയറം പിംഗളന്‍ കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയുന്നതു് അബദ്ധമാണു്.

പാസ്കല്‍ ത്രികോണം എന്നറിയപ്പെടുന്ന വിദ്യ ബൈനോമിയല്‍ വികസനത്തിലെ ഓരോ പദത്തെയും നല്‍കുന്നു. പിംഗളന്റെ ഖണ്ഡമേരു എന്നു പറയുന്ന സമ്പ്രദായം പാസ്കല്‍ ത്രികോണം തന്നെയാണു് എന്നൊരു വാദം. ഖണ്ഡമേരു പാസ്കല്‍ ത്രികോണം തന്നെയാണെന്നതു ശരി തന്നെ. പക്ഷേ അതു കണ്ടുപിടിച്ചതു പിംഗളനല്ല. പിംഗളസൂത്രങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാതാവായ ഹലായുധന്‍ (ക്രി. പി. പന്ത്രണ്ടാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു്. എന്തായാലും പാസ്കലിനു മുമ്പു് ഭാരതീയര്‍ അതു കണ്ടുപിടിച്ചിരുന്നു. പക്ഷേ ഹലായുധനും ബൈനോമിയല്‍ തിയറത്തില്‍ എത്തിയില്ല. പെര്‍മ്യൂട്ടേഷനുകള്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ആണു് ഹലായുധന്‍ ഖണ്ഡമേരു ഉപയോഗിച്ചതു്. പാസ്കലാകട്ടേ അതു ബൈനോമിയല്‍ കോ-എഫിഷ്യന്റുകളെ കണ്ടുപിടിക്കാനും. ഇവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം കൊണ്ടു് രണ്ടും ഒരേ രീതി ആയെന്നു മാത്രം.
ചോദ്യം:

ദശാംശസമ്പ്രദായം ക്രിസ്തുവിനു ശേഷമാണു് ഉണ്ടായതെന്നോ? ഏകം, ദശം, ശതം, … തുടങ്ങിയ സംഖ്യകളെപ്പറ്റി കേട്ടിട്ടില്ലേ? വേദങ്ങള്‍, രാമായണം, മഹാഭാരതം, ബുദ്ധകഥകള്‍ തുടങ്ങിയവയിലെല്ലാം ഈ സംഖ്യകളെപ്പറ്റി പറയുന്നുണ്ടു്.

ഉത്തരം:
ശരിയാണു്. മാത്രമല്ല, ഗ്രീക്കുകാര്‍ക്കു് Myriad എന്ന പതിനായിരത്തിനു മുകളില്‍ സംഖ്യകളില്ലായിരുന്ന കാലത്തും പരാര്‍ദ്ധവും (1017) അതിനപ്പുറമുള്ളവയും ആയ സംഖ്യകള്‍ക്കു പേരുണ്ടാക്കിയവരാണു ഭാരതീയര്‍. പക്ഷേ, നാം ഇവിടെ പറയുന്നതു ദശാംശസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റിയല്ല, സ്ഥാനീയദശാംശസമ്പ്രദായത്തെപ്പറ്റിയാണു്. പത്തു് അക്കങ്ങള്‍ മാത്രം ഉപയോഗിച്ചു് സ്ഥാനം അനുസരിച്ചു് അക്കങ്ങള്‍ക്കു വിലയില്‍ വ്യത്യാസം വരുത്തുന്ന രീതിയെപ്പറ്റി.

സ്ഥാനീയസമ്പ്രദായം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു മുമ്പു തന്നെ ലോകത്തു പലയിടത്തും പത്തിനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയായിരുന്നു സംഖ്യകള്‍ ഉണ്ടാക്കിയിരുന്നതു്. (ബാബിലോണിയക്കാര്‍ അറുപതിനെയും മായന്മാര്‍ ഇരുപതിനെയും ആണു് അടിസ്ഥാനമാക്കിയതു്.) രണ്ടു കൈകളിലെയും കൂടി വിരലുകളുടെ എണ്ണം പത്തായതാണു് ഇതിനു കാരണമെന്നാണു് ഒരു തിയറി.

ഇതും അതും തമ്മില്‍ കൂട്ടിക്കുഴയ്ക്കരുതു്.

(കൂടുതൽ അലപ്രകൾ കമന്റുകൾ വരുന്ന വഴിയ്ക്കു് ഇടാം.)

ഗണിതം (Mathematics)
ഭാരതീയഗണിതം (Indian Mathematics)

Comments (18)

Permalink

സയന്‍സ് അങ്കിളിന്റെ കരിങ്കല്ലുകള്‍

തുലാസ്സയന്‍സ് അങ്കിളിന്റെ ദാസിന്റെ പച്ചക്കറിക്കട – ഒരു ചെറിയ ഗണിതപ്രശ്നം എന്ന പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം കമന്റായി കൊടുക്കാമെന്നു കരുതിയപ്പോള്‍ <sup></sup> എന്ന ടാഗു പോലും അവിടെ അനുവദിക്കുകയില്ലെന്നു കണ്ടു. അതിനാല്‍ അതു് ഇവിടെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ചോദ്യം:

പച്ചക്കറി വ്യാപാരിയായ ദാസിന്റെ കടയില്‍ നാല്പതു കിലോ തൂക്കമുള്ള ഒരു കട്ടിയുണ്ടായിരുന്നു. കരിങ്കല്ലില്‍ നിര്‍മ്മിച്ച ഈ കട്ടിയുപയോഗിച്ച് അദ്ദേഹം മരച്ചീനിയും മറ്റും മൊത്തമായി തൂക്കി വാങ്ങി ചില്ലറ കച്ചവടം നടത്തി ജീവിച്ചു പോരുന്നു. അങ്ങനെയിരിക്കെയാണ് ആ ദുരന്തമുണ്ടായത്. തൂക്കുന്നതിന്നിടയില്‍ നാല്പതു കിലോ കരിങ്കല്‍ക്കട്ടി നിലത്തു വീണ് നാലു കഷണമായി. ദാസ് സങ്കടത്തിലായി.

ദാസിന്റെ ഭാര്യ തൂക്ക കട്ടിയുടെ കഷണങ്ങള്‍ പരിശോധിച്ചു നോക്കിയപ്പോള്‍ അത്ഭുതം! ത്രാസിന്റെ ഇരുതട്ടുകളിലും കഷണങ്ങള്‍ മാറിയും തിരിഞ്ഞും പെറുക്കി വെച്ചാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ 40 വരെയുള്ള ഏതു തൂക്കവും (1കിലോ,2 കിലോ, 3കിലോ ……, 39 കിലോ, 40 കിലോ) ഒറ്റയടിക്ക് ഇപ്പോള്‍ തൂക്കിയെടുക്കാം. ദാസിനും ഭാര്യയ്ക്കും സന്തോഷത്തിന്നതിരില്ല.

പൊട്ടിയ നാലുകഷണങ്ങള്‍ക്കും എത്ര കിലോ വീതം ഭാരമുണ്ടെന്ന് കൂട്ടുകാര്‍ക്കറിയാമോ?

ഉത്തരം:

1, 3, 9, 27 എന്നതാണു് ഉത്തരം. കൂടാതെ 2, 3, 9, 27 എന്ന ഉത്തരവും ശരിയാവുമെന്നു തോന്നുന്നു.

ഞാന്‍ ചെയ്ത വഴി:

സൌകര്യത്തിനായി പച്ചക്കറി ഇടത്തേ തട്ടിലും കട്ടികള്‍ വലത്തേ തട്ടിലുമാണു് ഇടുന്നതെന്നു കരുതുക. തൂക്കം ശരിയാക്കാന്‍ കുറേ കട്ടികള്‍ ഇടത്തേ തട്ടിലും ഇട്ടേയ്ക്കാം.

1 എന്തായാലും വേണ്ടി വരും. അല്ലെങ്കില്‍ 1, 39 എന്നിവ തൂക്കാന്‍ പറ്റില്ല. 1 കഴിഞ്ഞാല്‍ 2 തൂക്കാനായി 3 വേണ്ടിവരും. 1, 3 ഇവ ഉണ്ടെങ്കില്‍ 4 വരെ തൂക്കാം. പിന്നെ 5 തൂക്കാന്‍ ഏറ്റവും നല്ലതു് ഈ 4 കട്ടികളും ഇടത്തേ തട്ടിലിട്ടിട്ടു് 9 വലത്തേ തട്ടിലിടുകയാണു്. 1, 3, 9 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു് 13 വരെ തൂക്കാം. പിന്നെ 14 തൂക്കാന്‍ 13 + 14 = 27-ന്റെ കട്ടി വേണം. 1 + 3 + 9 + 27 = 40 ആയതുകൊണ്ടു് ഇത്ര മതി.

മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ n കട്ടികള്‍ കൊണ്ടു്

വരെ തൂക്കാം. അതായതു് n = 4 ആകുമ്പോള്‍ 40 വരെ.


നാലു വ്യത്യസ്ത കട്ടികള്‍ ഉണ്ടെങ്കില്‍ എത്ര വ്യത്യസ്ത തൂക്കങ്ങള്‍ തൂക്കാം?

ഓരോ കട്ടിയും മൂന്നു വിധത്തില്‍ വെയ്ക്കാം – ഒന്നുകില്‍ വലത്തേ തട്ടില്‍, അല്ലെങ്കില്‍ ഇടത്തേ തട്ടില്‍. അതുമല്ലെങ്കില്‍ രണ്ടിടത്തും വെയ്ക്കാതെ.

ഓരോ കട്ടിയ്ക്കും ഇങ്ങനെ മൂന്നു നിലകളുള്ളതുകൊണ്ടു് മൊത്തം 3 x 3 x 3 x 3 = 81 തരത്തില്‍ അവയെ വിന്യസിക്കാം. ഈ 81 നിലകളെ അടുത്തടുത്തായി ആവര്‍ത്തിക്കാതെ വരത്തക്കവിധത്തില്‍ വിന്യസിക്കുകയാണു വേണ്ടതു്.

1, 3, 9, 27 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചു് -40, -39, … -2, -1, 0, 1, 2, …., 39, 40 എന്നീ 81 വിവിധ തൂക്കങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാം. അവയില്‍ നമുക്കു വേണ്ടതു് 1 മുതലുള്ളവയായതുകൊണ്ടാണു് (81 – 1) /2 = 40 തൂക്കങ്ങളായതു്.

സാമാന്യമായിപ്പറഞ്ഞാല്‍, n കട്ടികളെക്കൊണ്ടു് 3n കോംബിനേഷന്‍ ഉണ്ടാക്കാം. അവയിലെ പൂജ്യവും നെഗറ്റീവ് തൂക്കങ്ങളും ഒഴിവാക്കിയാല്‍ (3n – 1) / 2 എന്നു കിട്ടും. മുകളില്‍ കൊടുത്ത സൂത്രവാക്യം കിട്ടാന്‍ മറ്റൊരു വഴി ഇതാണു്.


സാധാരണ പലചരക്കുകടകളിലും മറ്റും കാണുന്ന തൂക്കങ്ങളില്‍ 20 വരെ തൂക്കാന്‍ 1, 2, 2, 5, 10 എന്നീ കട്ടികളാണുള്ളതു്. ഇവിടെ ഇടത്തുതട്ടില്‍ കട്ടികള്‍ വെയ്ക്കേണ്ട ആവശ്യമില്ല.

അഞ്ചു കട്ടികള്‍ ശരിക്കുപയോഗിച്ചാല്‍ 20 വരെയല്ല, 31 വരെ ഉപയോഗിക്കാം. 1, 2, 4, 8, 16 എന്നിവയാണു് ആ കട്ടികള്‍. അതായതു് 20, 21, 22, …, 2n-1 എന്നീ n കട്ടികള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ 0 മുതല്‍ 2n – 1 വരെയുള്ള 2n വരെയുള്ള തൂക്കങ്ങള്‍ തൂക്കാം.

ഒരു പ്രത്യേക തൂക്കം തൂക്കാന്‍ ഏതൊക്കെ കട്ടികള്‍ ഉപയോഗിക്കണം എന്നു കണ്ടുപിടിക്കാനും എളുപ്പമാണു്. അതിനെ ദ്വ്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ (ബൈനറി സിസ്റ്റം) ആക്കുക. എന്നിട്ടു വലത്തു വശത്തുള്ള ഓരോ അക്കവും നോക്കുക. അവ 1, 2, 4,… എന്നീ തൂക്കങ്ങളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അവയില്‍ 1 എന്നു വരുന്നതു മാത്രം എടുക്കുക.

ഉദാഹരണത്തിനു്, 19 തൂക്കാന്‍ 19-നെ ബൈനറി സിസ്റ്റത്തില്‍ എഴുതുക. 10011 എന്നു കിട്ടും. അപ്പോള്‍ 1, 2, 16 എന്നീ കട്ടികള്‍ എടുക്കുക. (4, 8 എന്നിവ വേണ്ട.) 1 + 2 + 16 = 19.


ഇടത്തേ തട്ടില്‍ക്കൂടി വെയ്ക്കാനാണെങ്കില്‍ സംഗതി കുറച്ചുകൂടി സങ്കീര്‍ണ്ണമാകും. ബൈനറിയ്ക്കു പകരം ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായം (ടേര്‍നറി സിസ്റ്റം) ഉപയോഗിക്കേണ്ടിവരും. (കാരണം മുമ്പു പറഞ്ഞതു തന്നെ. ഒരു കട്ടിയ്ക്കു മൂന്നുതരം സ്ഥിതിയുണ്ടു് ഇപ്പോള്‍.) എന്നിട്ടു് അതിനെ ദ്വ്യങ്ക-അക്കങ്ങള്‍ മാത്രമുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതുകയും വേണം.

വിശദവിവരങ്ങള്‍ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ വഴി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.


ഉദാഹരണമായി 10 എങ്ങനെ തൂക്കണം എന്നു നോക്കാം. ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ 10 എഴുതുന്നതു് 101 എന്നാണു് (1 x 9 + 0 x 3 + 1 x 1). ഇതില്‍ 1, 0 എന്നിവ മാത്രമേ ഉള്ളൂ, 2 ഇല്ല. ഇങ്ങനെ വന്നാല്‍ എളുപ്പമാണു്. വലത്തുവശത്തു മാത്രമേ കട്ടികള്‍ ആവശ്യമുള്ളൂ. വലത്തുവശത്തുനിന്നുള്ള ഓരോ സ്ഥാനത്തിനും 1, 3, 9, … എന്നിങ്ങനെ കൊടുത്തിട്ടു് 1 എന്നുള്ളവ മാത്രം എടുത്താല്‍ ഉത്തരമായി. അതായതു് 1, (3 വേണ്ട), 9 എന്നിവ വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക.


പ്രശ്നം വരുന്നതു് 32 പോലെയുള്ള തൂക്കങ്ങളിലാണു്. ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായത്തില്‍ 32 എഴുതുന്നതു് 1012 എന്നാണു്. (1 x 27 + 0 x 9 + 1 x 3 + 2 x 1). ഇതില്‍ 2-നെ നമുക്കു് ഒഴിവാക്കണം. 1012 എന്ന ത്ര്യങ്കസംഖ്യയെ 1, 0 എന്നിവ മാത്രമുള്ള രണ്ടു ത്ര്യങ്കസംഖ്യകളുടെ വ്യത്യാസമായി എഴുതണം. അതെങ്ങനെയെന്നു നോക്കാം.

വലത്തു വശത്തു നിന്നു തുടങ്ങാം. ഒറ്റയുടെ സ്ഥാനത്തു് 2 ആണു്. അതിനോടു് 1 കൂട്ടിയാല്‍ 2 + 1 = 10 (ത്ര്യങ്കം) ആകും. അതായതു് 1012 + 1 = 1020 (ത്ര്യങ്കം). അവസാനത്തെ അക്കം 0 ആയി. ഇനി മൂന്നിന്റെ സ്ഥാനത്തുള്ള 2-നെ ഒഴിവാക്കാന്‍ 10 കൂട്ടുക. 1020 + 10 = 1100 (ത്ര്യങ്കം). മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, 1012 + 11 = 1100. അതായതു്

1012 = 1100 – 11 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 32 = 36 – 4)

ഇത്രയും ആയാല്‍ ഉത്തരമായി. പോസിറ്റീവ് സംഖ്യ വലത്തേ തട്ടിലിടുന്ന കട്ടികളെയും നെഗറ്റീവ് സംഖ്യ ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുന്ന കട്ടികളെയും സൂചിപ്പിക്കുന്നു. അങ്ങനെ വലത്തേ തട്ടില്‍ (1, 3 വേണ്ട), 9, 27 എന്നിവയും, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 1, 3 എന്നിവയും ഇടണം എന്നു കിട്ടും.


ഇനി ഒരു വലിയ ഉദാഹരണം നോക്കാം. 617 എങ്ങനെ തൂക്കും? നമ്മുടെ കയ്യില്‍ 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, … എന്നിങ്ങനെ മൂന്നിന്റെ ഘാതങ്ങളായ കട്ടികള്‍ ഉണ്ടെന്നു കരുതുക.

617 ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ 211212 ആണു് (ഇവിടെ സംഖ്യകളെ ഒരു ബേസില്‍ നിന്നു മറ്റൊന്നിലേയ്ക്കു മാറ്റാം.). നമുക്കു വലത്തു വശത്തു നിന്നു തുടങ്ങി 2-കളെ 0 ആക്കാം. (പൂജ്യങ്ങളെയും ഒന്നുകളെയും വെറുതേ വിടുക.)

 211212 +
      1
------------
 211220 +
     10
-----------
 212000 +
   1000
------------
 220000 +
  10000
-----------
1000000

ഒറ്റ സ്റ്റെപ്പായി എഴുതിയാല്‍,

 211212 +
  11011
-----------
1000000

അതായതു്, 211212 = 1000000 – 11011 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 617 = 729 – 112)

വലത്തേ തട്ടില്‍ (1000000) : (1, 3, 9, 27, 81, 243 വേണ്ട), 729
ഇടത്തേ തട്ടില്‍ (11011) : 1, 3, (9 വേണ്ട), 27, 81.

അതായതു്, വലത്തേ തട്ടില്‍ 729, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 1, 3, 27, 81.

617 = 729 – 81 – 27 – 3 – 1 എന്നു കാണാം.


ഒരുദാഹരണം കൂടി. 574.

574 = 210021 (ത്ര്യങ്കം). കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ ഒരു സ്റ്റെപ്പില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

 210021 +
 100010
-----------
1010101

അതായതു് 210021 = 1010101 – 100010 (ദശാംശസമ്പ്രദായത്തില്‍ 574 = 820 – 246)

വലത്തേ തട്ടിലിടണ്ടതു്: 1, (3 വേണ്ട), 9, (27 വേണ്ട), 81, (243 വേണ്ട), 729
ഇടത്തേ തട്ടിലിടേണ്ടതു്: (1 വേണ്ട), 3, (9, 27, 81, വേണ്ട), 243

അതായതു്, വലത്തേ തട്ടില്‍ 1, 9, 81, 729, ഇടത്തേ തട്ടില്‍ 3, 243.

574 = 1 + 9 + 81 + 729 – 2 – 243 എന്നതു ശരിയാണെന്നു കാണാം.

ഇതു ചെയ്യാന്‍ അല്പം കൂടി എളുപ്പമുള്ള ഒരു വഴി സിബു നിര്‍ദ്ദേശിച്ചു:

തൂക്കേണ്ട സംഖ്യയെ (y) ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ എഴുതുക. പക്ഷേ, 0, 1, 2 എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുന്നതിനു പകരം -1, 0, 1 എന്നിവ ഉപയോഗിക്കുക.

0, 1, 2 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതിയെ -1, 0, 1 എന്നിവ ഉപയോഗിച്ചുള്ള രീതി എങ്ങനെയാക്കും?

അതു് ഇങ്ങനെ ചെയ്യാം.

  1. y-യെ സാധാരണ ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ എഴുതുക.
    ഉദാഹരണമായി, 574 = 210021 (ത്ര്യങ്കം)
  2. ത്ര്യങ്കരീതിയില്‍ എത്ര അക്കങ്ങളുണ്ടോ, അത്രയും ഒന്നുകളുള്ള സംഖ്യ അതിനോടു കൂട്ടുക.
    ഇവിടെ

    210021 +
    111111
    —————-
    1021202

    ഇതിനു് ഒരു എളുപ്പവഴിയുണ്ടു്. y-യെക്കാള്‍ ചെറുതും (3n – 1)/2 എന്ന രീതിയിലുള്ളതുമായ ഏറ്റവും വലിയ സംഖ്യ കണ്ടുപിടിക്കുക. 1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093,… എന്നിങ്ങനെ പോകുന്നു ഈ സംഖ്യകള്‍. അതു നേരേ കൂട്ടിയിട്ടു് തുകയുടെ ത്ര്യങ്കരീതി കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ മതി.

    ഇവിടെ 574 + 364 = 938. അതിന്റെ ത്ര്യങ്കരീതി 1021202.
  3. തുകയില്‍ നിന്നു് കൂട്ടിയ സംഖ്യ തന്നെ കുറയ്ക്കുക. ഇപ്പോള്‍ കടമെടുക്കലും മറ്റുമില്ലാതെ ഓരോ അക്കമായി കുറയ്ക്കുക. അപ്പോള്‍ ഉത്തരം -1, 0, 1 എന്നിവയില്‍ ഒന്നു കിട്ടും.
    ഇവിടെ

    1  0  2  1  2  0  2 -
       1  1  1  1  1  1
    -------------------------------
    1 -1  1  0  1 -1  1
    
  4. ഇതു് y-യുടെ ത്ര്യങ്കരീതി തന്നെയാണു്. ഇതില്‍ ഓരോ അക്കവും വലത്തു നിന്നു് ഇടത്തോട്ടു് 1, 3, 9, …. എന്നീ സംഖ്യകളെ സൂചിപ്പിക്കുന്നു.
    ഇവിടെ,

    574 = 1 – 3 + 9 + ( 0 x 27) + 81 – 243 + 729

    അപ്പോള്‍ 1, 9, 81, 729 എന്നിവ വലത്തേ തട്ടില്‍. 3, 243 എന്നിവ ഇടത്തേ തട്ടിലും.

വളരെ ബുദ്ധിമുട്ടു തന്നെ. സാധാരണ പച്ചക്കറിക്കടക്കാരന്‍ കുഴങ്ങിപ്പോവുകയേ ഉള്ളൂ. എങ്കിലും കണക്കറിയാമെങ്കില്‍ ചെയ്യാന്‍ കഴിയും എന്നു സാരം.


കണക്കറിയാത്തവര്‍ക്കും ജീവിക്കണ്ടേ സാര്‍? ഈ ത്ര്യങ്കസമ്പ്രദായം ഉപയോഗിക്കാതെ എന്തെങ്കിലും വഴിയുണ്ടോ?

മുകളില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന പട്ടിക സൂക്ഷിച്ചു പരിശോധിച്ചാ‍ല്‍ വലിയ കണക്കൊന്നും ഉപയോഗിക്കാതെ ഇതു ചെയ്യാന്‍ പറ്റും.

നമുക്കു് y എന്ന തൂക്കമാണു ഒരു തട്ടില്‍ ഇടേണ്ടതെന്നിരിക്കട്ടേ. 1, 3, 9, 27, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള തൂക്കങ്ങളില്‍ ഒന്നാണു y എങ്കില്‍ നമുക്കു് അവിടെ നിര്‍ത്താം.
അല്ലെങ്കില്‍ 1, 3, 9, 27, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള തൂക്കങ്ങളില്‍ y-യ്ക്കു തൊട്ടു താഴെയുള്ളതു് x എന്നും മുകളിലുള്ളതു് z എന്നും ഇരിക്കട്ടേ.
(ഉദാഹരണമായി y = 30 ആണെങ്കില്‍ x = 27, z = 81.)
y > (z/2) ആണെങ്കില്‍ തട്ടില്‍ z ഇടുക, എന്നിട്ടു് മറ്റേ തട്ടില്‍ (z – y) ഇടാനുള്ള വഴി കണ്ടുപിടിക്കുക.
അല്ലെങ്കില്‍ തട്ടില്‍ x ഇടുക. എന്നിട്ടു് ആ തട്ടില്‍ത്തന്നെ (y-x) ഇടാനുള്ള വഴി കണ്ടുപിടിക്കുക.

ഓരോ സ്റ്റെപ്പു കഴിയുമ്പോഴും y-യുടെ വില കുറഞ്ഞുവരും. അവസാനം അതു് 1, 3, 9, … ഇവയില്‍ ഒന്നാവും. അപ്പോള്‍ നിര്‍ത്താം.

മുകളില്‍ക്കൊടുത്തതില്‍ രണ്ടാമത്തെ ഉദാഹരണം ഒന്നു ചെയ്തു നോക്കാം.


574 തൂക്കണം.

  • അതായതു്, 574 വലത്തേ തട്ടില്‍.
    • 729-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതു കൊണ്ടു് 729 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 729 – 574 = 155 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
    • 155 ഇടത്തേ തട്ടില്‍.
      • 243-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 243 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 243 – 155 = 88 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
      • 88 വലത്തേ തട്ടില്‍.
        • 243-ന്റെ പകുതിയില്‍ കുറവായതുകൊണ്ടു്, 81 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 88 – 81 = 7 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
        • 7 വലത്തേ തട്ടില്‍.
          • 9-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 9 വലത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 9 – 7 = 2 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടണം.
          • 2 ഇടത്തേ തട്ടില്‍.
            • 3-ന്റെ പകുതിയില്‍ കൂടുതലായതുകൊണ്ടു്, 3 ഇടത്തേ തട്ടില്‍ ഇടുക. ബാക്കി 3 – 2 = 1 വലത്തേ തട്ടില്‍.
            • 1 വലത്തേ തട്ടില്‍.

അപ്പോള്‍,

  • വലത്തേ തട്ടില്‍: 729, 81, 9, 1
  • ഇടത്തേ തട്ടില്‍: 243, 3

ഇങ്ങനെയും ഇതു ചെയ്യാം എന്നു സാരം.

ഗണിതം (Mathematics)
ചുഴിഞ്ഞുനോക്കല്‍
പ്രതികരണം

Comments (10)

Permalink

ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെ കണക്കും എഴുത്തുകാരന്റെ സ്വാതന്ത്ര്യവും

(മുന്നറിയിപ്പു്: ശ്രീ എന്‍. എസ്. മാധവന്റെ “ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെ ലുത്തിനിയകള്‍” എന്ന നോവലിലെ ക്ലൈമാക്സുള്‍പ്പെടെയുള്ള ചില കഥാതന്തുക്കള്‍ ഈ പോസ്റ്റില്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ടു്. ആ പുസ്തകം ഇതു വരെ വായിച്ചിട്ടില്ലാത്ത, ഇനി വായിക്കാന്‍ ആഗ്രഹിക്കുന്ന, ക്ലൈമാക്സ് പൊളിഞ്ഞ പുസ്തകം വായിച്ചാല്‍ ഹൃദയസ്തംഭനം ഉണ്ടാകുന്ന, ആരെങ്കിലും ഇതു വായിക്കുന്നുണ്ടെങ്കില്‍ വായന ഇവിടെ നിര്‍ത്തുക.)

ബ്ലോഗുകളൊഴികെ മലയാളം എന്തെങ്കിലും വായിക്കുന്നതു വളരെ ചുരുക്കമാണു്. ആനുകാലികപ്രസിദ്ധീകരണങ്ങളൊന്നും വരുത്തുന്നില്ല. കയ്യിലുള്ള പുസ്തകങ്ങളാകട്ടേ, പല തവണ വായിച്ചിട്ടുള്ളവയുമാണു്. വല്ലപ്പോഴും ഏതെങ്കിലും സുഹൃത്തിന്റെ കയ്യില്‍ നിന്നു കടം വാങ്ങി വായിക്കുന്ന പുസ്തകങ്ങള്‍ മാത്രമേ ഉള്ളൂ. അതും നൂറു പേജു വായിക്കാന്‍ ഞാന്‍ നാലഞ്ചു മാസമെടുക്കും.

ഈയിടെ സിബുവിന്റെ കയ്യില്‍ നിന്നു് എന്‍. എസ്. മാധവന്റെ “ലന്തന്‍ ബത്തേരിയയിലെ ലുത്തിനിയകള്‍” കിട്ടി. വളരെയധികം കേട്ടിട്ടുള്ള പുസ്തകമാണു്. വളരെ ഇഷ്ടപ്പെടുകയും ചെയ്തു. ഇതു തിരിച്ചു കൊടുത്തിട്ടു് സാറാ ജോസഫിന്റെ “ആലാഹയുടെ പെണ്മക്കള്‍”, മുകുന്ദന്റെ “ദൈവത്തിന്റെ വികൃതികള്‍” എന്നിവയില്‍ ഏതാണു് ആദ്യം കടം വാങ്ങേണ്ടതു് എന്നു് ഇതു വരെ തീരുമാനിച്ചില്ല.

വ്യക്തിത്വമുള്ള കഥാപാത്രങ്ങള്‍, മനോഹരമായ ആഖ്യാനരീതി, പ്രത്യേകതകള്‍ നിറഞ്ഞ സംസാരഭാഷ, ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെയും ചുറ്റുമുള്ള ലോകത്തിലെയും സംഭവങ്ങള്‍ കഥാനായികയായ ജെസീക്കയുടെ ജീവിതമായി കൊരുത്തു കൊണ്ടു പോകുന്നതിന്റെ വൈദഗ്ദ്ധ്യം മുതലായവ കൊണ്ടു് ഈയടുത്ത കാലത്തു വായിച്ച നോവലുകളില്‍ ഏറ്റവും പ്രിയപ്പെട്ടതായി ലന്തന്‍ ബത്തേരിയയിലെ ലുത്തിനിയകള്‍.

ലന്തന്‍ ബത്തേരിയില്‍ എന്നെ ഏറ്റവും ആകര്‍ഷിച്ചതു് അതിലെ ചരിത്രാഖ്യാനത്തിന്റെ ചാരുതയാണു്. അമ്പതുകളുടെ മദ്ധ്യം മുതല്‍ അറുപതുകളുടെ മദ്ധ്യം വരെയുള്ള പതിറ്റാണ്ടിലെ കേരള-ഭാരത-ലോക ചരിത്രം (കമ്യൂണിസത്തിന്റെ മുന്നേറ്റം, ഇ. എം. എസ്. മന്ത്രിസഭ, വിമോചനസമരം, ചൈനായുദ്ധം, നെഹ്രുവിന്റെ മരണം, കെന്നഡിയുടെ വധം, ജീവിതനൌക, ചെമ്മീന്‍, ഭാര്യ, കണ്ടം ബെച്ച കോട്ടു് തുടങ്ങിയ പല മലയാളസിനിമകളും ഇറങ്ങിയതു് തുടങ്ങി വളരെയധികം സംഭവങ്ങള്‍) ലന്തന്‍ ബത്തേരിയിലെ മനുഷ്യരുടെ കണ്ണുകളില്‍ കൂടി വിവരിക്കുന്നതു് ഒരു വശം; വിദേശികളുടെ അധിനിവേശത്തെപ്പറ്റി പല കഥാപാത്രങ്ങളുടെയും വാക്കുകളിലൂടെ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതു മറ്റൊരു വശം. ലന്തന്‍ ബത്തേരിക്കാരുടെ സംസ്കാരത്തിന്റെ ഭാഗമായ ചവിട്ടുനാടകം നോവല്‍ മുഴുവന്‍ നിറഞ്ഞു നില്‍ക്കുമ്പോള്‍ അതിനിടയിലും, തടിയിലെ വാര്‍ഷികവലയങ്ങളെപ്പറ്റി മത്തേവുശാരി ജെസിക്കയ്ക്കു പറഞ്ഞു കൊടുക്കുമ്പോഴും ഇടയില്‍ പരാമര്‍ശിക്കുന്ന ഗാന്ധിവധം, സൈഗാള്‍ തുടങ്ങിയ ഹിന്ദി ഗായകരെപ്പറ്റിയുള്ള പരാമര്‍ശം തുടങ്ങി പറഞ്ഞുകേട്ടു മാത്രമുള്ള പല സംഭവങ്ങളും മനോഹരമായി കഥയില്‍ കടന്നു വരുന്നുണ്ടു്.


ലന്തന്‍ ബത്തേരിയയില്‍ പതിനാറു കൊല്ലക്കാലം ഫെര്‍മയുടെ (ഫെര്‍മാറ്റ് എന്നാണു പുസ്തകത്തില്‍. ശരിയായ ഉച്ചാരണം ഫെര്‍മ എന്നായതു കൊണ്ടു് ഞാന്‍ അതുപയോഗിക്കുന്നു.) അവസാനത്തെ തിയറം തെറ്റാണെന്നു തെളിയിക്കാന്‍ രാപകല്‍ പരിശ്രമിച്ച പുഷ്പാംഗദന്‍ എന്ന കണക്കുസാറിനെപ്പറ്റി പറയുന്നുണ്ടു്. ഫെര്‍മയുടെ അവസാനത്തെ തിയറം ലോകചരിത്രത്തിലെ ഒരു പ്രധാനസംഭവമാണു്. അതു ശരിയാണെന്നോ തെറ്റാണെന്നോ തെളിയിക്കാന്‍ ജീവിതം ഉഴിഞ്ഞുവെച്ച അനേകം ഗണിതജ്ഞര്‍ ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു് – പ്രസിദ്ധരും അപ്രസിദ്ധരും. അവരുടെ പ്രതിനിധിയായി നോവലില്‍ പ്രത്യക്ഷപ്പെടുന്ന പുഷ്പാംഗദന്‍ മിഴിവുള്ള കഥാപാത്രമാണു്. പക്ഷേ, ഫെര്‍മയുടെ അവസാനത്തെ തിയറത്തെപ്പറ്റി നോവലിസ്റ്റ് പറയുന്ന കാര്യങ്ങളൊക്കെ പരമാബദ്ധവും.

ഇതിനെപ്പറ്റി പെരിങ്ങോടന്‍ രണ്ടു കൊല്ലം മുമ്പു് ഫെര്‍മായുടെ അവസാനത്തെ തിയൊറം എന്നൊരു പോസ്റ്റ് എഴുതിയിരുന്നു. മാതൃഭൂമിയില്‍ വന്ന ഒരു ലേഖനത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണു് അദ്ദേഹം അതെഴുതിയതു്. മാതൃഭൂമിയിലെ ലേഖനം ഞാന്‍ വായിച്ചിട്ടില്ല. പെരിങ്ങോടന്റെ (അതു മാതൃഭൂമി ലേഖനത്തിലേതാവാം) നിരീക്ഷണത്തിലും ചില തെറ്റുകള്‍ കടന്നുകൂടിയിട്ടുണ്ടു് എന്നാണു് എനിക്കു തോന്നുന്നതു്.


കണക്കു താത്പര്യമില്ലാത്തവര്‍ ദയവായി വലത്തുവശത്തുള്ള ഭാഗം വിട്ടുകളഞ്ഞു താഴേയ്ക്കു വായിക്കുക. ചുരുക്കം ഇത്രമാത്രം: എന്‍. എസ്. മാധവന്‍ നോവലില്‍ ഫെര്‍മയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു പൊട്ടത്തെറ്റാണു്. അതില്‍ വിശദീകരിച്ചിരിക്കുന്നതു് ആ സിദ്ധാന്തമല്ല. അതു് ആരുടെയും സിദ്ധാന്തവുമല്ല-ഒരു സ്കൂള്‍കുട്ടിക്കും പത്തു മിനിട്ടു കൊണ്ടു തെളിയിക്കാവുന്ന ഒരു പൊട്ടനിയമം മാത്രമാണു്.
ഭാഷാദ്ധ്യാപകനായ രാഘവന്‍ മാഷിന്റെ വാക്കുകളിലൂടെയാണു് (പേജ് 117) ഫെര്‍മയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തത്തെപ്പറ്റി വായനക്കാരന്‍ അറിയുന്നതു്:

ഫെര്‍മാറ്റിന്റെ അവസാനത്തെ തിയൊറം എന്നു പറയും. രണ്ടു പ്രൈം നമ്പറുകളുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങള്‍ കൂട്ടിയാല്‍ മൂന്നാമതൊരു പ്രൈം നമ്പര്‍ കിട്ടില്ലാ എന്നു ഫെര്‍മാറ്റ്. ഇതു തെറ്റാണെന്നു തെളിയിക്കാനാ ഈക്കണ്ട പാടെല്ലാം.

പെരിങ്ങോടന്‍ ചൂണ്ടിക്കാട്ടുന്നതു പോലെ ഇതു തെറ്റാണു്. xn + yn = zn എന്ന സമവാക്യത്തിനു് x, y, z എന്നിവ പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളും n രണ്ടില്‍ കൂടിയ ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയുമായാല്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ഇല്ല എന്നതാണു് ഫെര്‍മയുടെ അന്ത്യസിദ്ധാന്തം. (ഉദാഹരണത്തിനു്, x3 + y3 = z3 എന്ന സമവാക്യത്തിനു് x, y, z എന്നിവ പൂജ്യമല്ലാത്ത പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യകളായാല്‍ നിര്‍ദ്ധാരണം ഇല്ല. x2 + y2 = z2-നു് ഉണ്ടു താനും. ഉദാഹരണമായി, 32 + 42 = 52.)

പക്ഷേ, പെരിങ്ങോടന്‍ പറയുന്നതു പോലെ, ഇതു ക്രിസ്തുമസ് തിയറവും അല്ല. ക്രിസ്തുമസ് തിയറം (വിശദവിവരങ്ങള്‍ക്കു് വിക്കിപീഡിയയില്‍ ഇവിടെ നോക്കുക.) എന്താണെന്നു ചുരുക്കി താഴെ ചേര്‍ക്കുന്നു.

രണ്ടിനേക്കാള്‍ വലിയ അഭാജ്യസംഖ്യകളെല്ലാം ഒറ്റ സംഖ്യകളാണല്ലോ. അതിനാല്‍ അവയെ 4 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം ഒന്നോ മൂന്നോ ആയിരിക്കും. ഇവയില്‍ ശിഷ്ടം ഒന്നു് ആയ അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ക്കു് (5, 13, 17,… തുടങ്ങിയവ) മറ്റേ വിഭാഗത്തില്‍ പെടുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ക്കു് (3, 7, 11,… തുടങ്ങിയവ) ഇല്ലാത്ത ഒരു പ്രത്യേകതയുണ്ടു്. അവയെ x2 + y2 എന്ന രീതിയില്‍ എഴുതാന്‍ പറ്റും എന്നതാണു് അതു്. മാത്രമല്ല, ഒരു രീതിയില്‍ മാത്രമേ അങ്ങനെ എഴുതാന്‍ പറ്റൂ. ഉദാഹരണമായി

എന്നിങ്ങനെ.

നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 3 ശിഷ്ടം വരുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകളെ (3, 7, 11,… തുടങ്ങിയവ) ഇങ്ങനെ എഴുതാന്‍ നോക്കൂ. പറ്റില്ലെന്നു കാണാം. അതേ സമയം, മറ്റേ വിഭാഗത്തില്‍ പെടുന്ന സംഖ്യകളെ, എത്ര വലുതായാലും, ഒരു രീതിയില്‍ മാത്രമേ ഇങ്ങനെ എഴുതാന്‍ കഴിയൂ എന്നും കാണാം. ഇതാണു് ഫെര്‍മയുടെ ക്രിസ്തുമസ് തിയറം.

വിക്കിപീഡിയയിലെ നിര്‍വ്വചനം താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

an odd prime p is expressible as with x and y integers, if and only if .

മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍,

A prime number p, other than 2, is expressible as with x and y integers, if and only if .

ഈ സിദ്ധാന്തം ഫെര്‍മ പറഞ്ഞുവെച്ചിട്ടേ ഉണ്ടായിരുന്നുള്ളൂ. തെളിയിച്ചതു് ഓയ്‌ലറും (Leonhard Euler) ഗാസ്സും (Carl Friedrich Gauss)ചേര്‍ന്നു് ആണു്.

ഇവര്‍ രണ്ടുപേരും കൂടി ഒന്നിച്ചിരുന്നു് എഴുതിയെന്നല്ല. 1783-ല്‍ ഓയ്‌ലര്‍ മരിക്കുമ്പോള്‍ ഗാസ്സിനു് ആറു വയസ്സേ ഉണ്ടായിരുന്നുള്ളൂ. പ്രധാന സിദ്ധാന്തം ഓയ്‌ലര്‍ തെളിയിച്ചു. അതു് ഒരു വിധത്തില്‍ മാത്രമേ പറ്റൂ എന്നു ഗാസ്സും.

മുകളില്‍ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തം എന്നെ വളരെയധികം ആകര്‍ഷിച്ച ഒന്നാണു്. 1990-കളില്‍ ജീവിതത്തില്‍ ഇഷ്ടം പോലെ സമയമുണ്ടായിരുന്ന കാലത്തു്, ലോകത്തു് ബ്ലോഗിംഗും എനിക്കു സ്വന്തമായി കമ്പ്യൂട്ടറും ഉണ്ടാകുന്നതിനു മുമ്പു്, നമ്പര്‍ തിയറിയുടെ ധാരാളം പുസ്തകങ്ങള്‍ ഞാന്‍ വായിച്ചിരുന്നു. അപ്പോഴാണു് ഈ സിദ്ധാന്തത്തിനു സദൃശമായി മറ്റു വല്ലതും ഉണ്ടോ എന്നു ചിന്തിച്ചതു്. അങ്ങനെയാണു് x2+xy+y2 എന്ന രീതിയില്‍ എഴുതാന്‍ പറ്റുന്ന അഭാജ്യസംഖ്യകളെയെല്ലാം ആറു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 1 കിട്ടുമെന്നും, മറിച്ചു് ആറു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ 1 ശിഷ്ടം കിട്ടുന്ന എല്ലാ അഭാജ്യസംഖ്യകളെയും x2+xy+y2 എന്ന രീതിയില്‍ എഴുതാന്‍ കഴിയും എന്നും, അങ്ങനെ ഒരു രീതിയില്‍ മാത്രമേ എഴുതാന്‍ കഴിയൂ എന്നും കണ്ടുപിടിച്ചതു്.

ഇതിനെ ഇങ്ങനെ എഴുതാം. മുകളില്‍ കൊടുത്ത സിദ്ധാന്തവുമായുള്ള സാദൃശ്യം ശ്രദ്ധിക്കുക.

A prime number p, other than 3, is expressible as with x and y integers, if and only if .

കണ്ടുപിടിച്ചതു് നിരീക്ഷണം വഴിയാണു്. പിന്നീടു് ഒരു കമ്പ്യൂട്ടര്‍ പ്രോഗ്രാം എഴുതി അതിനു താങ്ങാന്‍ കഴിയുന്ന സംഖ്യ വരെയുള്ള എല്ലാ സംഖ്യകള്‍ക്കും ഇതു ശരിയാണെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചു. ഇതു മാത്രമല്ല, x2+y2 എന്ന രീതിയില്‍ എഴുതാന്‍ പറ്റുന്ന സംഖ്യകള്‍ക്കുള്ള മറ്റു് എട്ടു പ്രത്യേകതകള്‍ക്കു സമാനമായ പ്രത്യേകതകള്‍ x2+xy+y2 എന്ന രീതിയില്‍ എഴുതാവുന്ന സംഖ്യകള്‍ക്കും ഉണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിച്ചു. (ഈ ഒന്‍പതു പ്രത്യേകതകള്‍ ഈ പേപ്പറില്‍ പത്താം പേജില്‍ ഉണ്ടു്.)

നിരീക്ഷണം പോരല്ലോ. സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ക്കു തെളിവുകളും ആവശ്യമാണു്. 1993-ല്‍ ആരംഭിച്ച ആ പണി പൂര്‍ത്തിയായതു് 2004-ല്‍ ആണു്. പതിനൊന്നു കൊല്ലക്കാലം ഇടയില്‍ കിട്ടുന്ന സമയത്തൊക്കെ ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ തെളിയിക്കാന്‍ ശ്രമിച്ചു. ഇതിനിടയില്‍ അമേരിക്കയില്‍ മൂന്നു തവണ പോയി വരികയും പിന്നീടു് അമേരിക്കയില്‍ സ്ഥിരതാമസമാക്കുകയും കല്യാണം കഴിക്കുകയും ഒരു മകന്‍ ഉണ്ടാവുകയും ഒക്കെ ചെയ്തു. എങ്കിലും ഇതിനിടെ വല്ലപ്പോഴും ഉണ്ടിരുന്ന നായര്‍ക്കു വിളി വരുന്നതു പോലെ ഈ സിദ്ധാന്തവുമായി കുത്തിയിരിക്കുകയും ചെയ്തിരുന്നു. ഞാന്‍ ഈ സിദ്ധാന്തവുമായി ഇരിക്കുന്നതു കണ്ടവരൊക്കെ, എന്റെ ഭാര്യ ഉള്‍പ്പെടെ, പുഷ്പാംഗദന്‍ മാഷ് ഫെര്‍മയുടെ അവസാനത്തെ സിദ്ധാന്തവുമായി മല്‍പ്പിടിത്തം നടത്തുന്നതു കണ്ടു നിന്ന ലന്തന്‍ ബത്തേരിക്കാരെപ്പോലെ, അന്തം വിടുകയും എന്റെ തലയ്ക്കു് ഇടയ്ക്കിടെ സ്ഥിരത നഷ്ടപ്പെടുന്നുണ്ടോ എന്നു് ആശങ്കിക്കുകയും ചെയ്തു.

2004 ജൂണ്‍ ആയപ്പോഴേയ്ക്കും മിക്കവാറും എല്ലാ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ക്കും തെളിവുകള്‍ കിട്ടി. ഇക്കാലത്തു് റെസ്റ്റോറന്റില്‍ ഭക്ഷണം കഴിക്കാന്‍ ഇരിക്കുമ്പോള്‍ നാപ്കിനില്‍ വരെ തെളിവുകള്‍ എഴുതിയിട്ടുണ്ടു്. ഫലം കിട്ടുമെന്നു് ഏതാണ്ടു് ഉറപ്പായിക്കഴിഞ്ഞപ്പോള്‍ പിന്നെ വീട്ടിലിരിക്കുന്ന സമയത്തും വഴിയിലൂടെ നടക്കുന്ന സമയത്തും ഇതു തന്നെയായിരുന്നു ചിന്ത. ഒന്നു രണ്ടു മാസമെടുത്തു അതൊന്നു വൃത്തിയായി എഴുതി ഒരു പ്രബന്ധത്തിന്റെ രൂപത്തിലാക്കാന്‍‌. അതു് കോര്‍ണല്‍ യൂണിവേഴ്സിറ്റിയുടെ arXiv എന്ന സ്ഥലത്തു പ്രസിദ്ധീകരിച്ചു. (ഇതു് പ്രബന്ധങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിനു മുമ്പു് താത്കാലികമായി സൂക്ഷിക്കാനുള്ള സ്ഥലമാണു്. ഇപ്പോള്‍ ഇതു് സ്ഥിരമായി സ്വതന്ത്രപ്രബന്ധങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനുള്ള സ്ഥലം ആയിട്ടുണ്ടു്. ധാരാളം ആളുകള്‍ ജേണലുകള്‍ക്കു് അയച്ചുകൊടുക്കാതെ arXiv-ല്‍ പ്രബന്ധങ്ങള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാറുണ്ടു്.)

ഇതാണു് ആ പേപ്പറിലേക്കുള്ള ലിങ്ക്. അതിന്റെ PDF രൂപം ഇവിടെ കാണാം. ഈ പേപ്പറില്‍ ഗുരുതരമായ ഒരു തെറ്റു് (എടുത്തെഴുതിയപ്പോള്‍ സംഭവിച്ചതു്) ഉണ്ടു്. ഗണിതജ്ഞര്‍ക്കാര്‍ക്കെങ്കിലും കണ്ടുപിടിക്കാമോ?

പക്ഷേ, ഈ അദ്ധ്വാനം ഒരു ആന്റിക്ലൈമാക്സിലാണു് എത്തിയതു്. ഈ പേപ്പര്‍ വായിച്ച പല ഗണിതജ്ഞരും അതിനെ വിമര്‍ശിച്ചു് എനിക്കു് എഴുതി. ഇങ്ങനെ ഒരു പേപ്പറിന്റെ ആവശ്യമെന്താണെന്നാണു പലരും ചോദിച്ചതു്. ഇരുനൂറു കൊല്ലം മുമ്പായിരുന്നെങ്കില്‍ ഇതിനു വിലയുണ്ടാവുമായിരുന്നു. ഇപ്പോള്‍ അറിയാവുന്ന തിയറി ഉപയോഗിച്ചു് ഈ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാനും തെളിയിക്കാനും വളരെ എളുപ്പമാണത്രേ! അതിലൊരാള്‍ Primes of the form x2 + ny2 എന്ന പുസ്തകം വായിക്കാന്‍ പറഞ്ഞു. ഒടുക്കത്തെ വില കൊടുത്തു് അതു വാങ്ങി വായിച്ചപ്പോഴാണു് നമ്പര്‍ തിയറി വളരെയധികം മുന്നോട്ടു പോയെന്നും സംഖ്യകളുമായി പ്രത്യക്ഷത്തില്‍ ബന്ധമൊന്നുമില്ലാത്ത പല സങ്കീര്‍ണ്ണഗണിതശാഖകളുപയോഗിച്ചു് നമ്പര്‍ തിയറിയിലെ പലതും തെളിയിക്കാന്‍ പറ്റുമെന്നും മനസ്സിലായതു്.

എന്തുകൊണ്ടാണെന്നറിയില്ല, പതിനൊന്നു കൊല്ലത്തെ അദ്ധ്വാനം (പുഷ്പാംഗദനെപ്പോലെ അവിരാമമായ അദ്ധ്വാനമായിരുന്നില്ല. വല്ലപ്പോഴും മാത്രം. എങ്കിലും ഇതിനു വേണ്ടി ഇക്കാലത്തിനിടയ്ക്കു് ഏതാനും മാസങ്ങള്‍ ചെലവഴിച്ചിട്ടുണ്ടാവും.) വെറുതെയായി എന്ന അറിവു് ഒരുതരം നിര്‍വികാരതയാണു് ഉണ്ടാക്കിയതു്. ഏതായാലും ഇതല്ലാതെ എനിക്കു് ഒരു ജീവിതമുണ്ടായിരുന്നതു കൊണ്ടും, ജെസീക്കയെപ്പോലെ ആരും പ്രശ്നമുണ്ടാക്കാന്‍ വരാഞ്ഞതു കൊണ്ടും പുഷ്പാംഗദനെപ്പോലെ എനിക്കു് ആത്മഹത്യ ചെയ്യേണ്ടി വന്നില്ല. ഭാഗ്യം!

മറ്റു കാര്യങ്ങള്‍ക്കിടയില്‍ താത്പര്യം കൊണ്ടു മാത്രം അമേച്വേഴ്സിനു ചെയ്യാന്‍ പറ്റുന്ന കാര്യമല്ല ഗവേഷണം എന്നു് അന്നു മനസ്സിലായി. ഈ പേപ്പര്‍ “Some elementary proofs of …” എന്നോ മറ്റോ ഒരു ശീര്‍ഷകവുമായി മാറ്റിയെഴുതാന്‍ വിചാരിച്ചിട്ടു് ഇതു വരെ നടന്നില്ല. അതെങ്ങനെയാ, അതിനു ശേഷം നാലഞ്ചു മാസങ്ങള്‍ക്കു ശേഷം ഞാന്‍ ബ്ലോഗിംഗ് എന്ന സാധനം തുടങ്ങി. പിന്നെ എവിടെ സമയം കിട്ടാന്‍?


ഇനി, രാഘവന്‍ മാഷ് പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തം എന്താണെന്നു നോക്കാം.

രണ്ടു് അഭാജ്യസംഖ്യകളുടെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ തുക ഒരു അഭാജ്യസംഖ്യ ആവില്ല എന്നാണല്ലോ ആ സിദ്ധാന്തം. രണ്ടിനെ ഒഴിവാക്കണം എന്നും അതിനു ശേഷം പറയുന്നുണ്ടു്. അതു കൊണ്ടു് അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ രണ്ടും ഒറ്റസംഖ്യകളായിരിക്കും. അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗങ്ങളും. അവയുടെ തുക ഒരു ഇരട്ടസംഖ്യയായിരിക്കും. അതൊരിക്കലും അഭാജ്യസംഖ്യയാവില്ല. (കാരണം, അതു് രണ്ടിന്റെ ഗുണിതമാണു്.) ഇതു തെളിയിക്കാന്‍ പതിനാറു കൊല്ലം പോയിട്ടു പതിനാറു നിമിഷം പോലും വേണ്ട.

ഇനി, രണ്ടിനെ കണക്കാക്കുകയാണെങ്കില്‍ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ സിദ്ധാന്തം തെറ്റാണെന്നു തെളിയിക്കാനും ഒരു ആറാം ക്ലാസ് വിദ്യാര്‍ത്ഥിയുടെ വിവരം മതി. അപവാദങ്ങള്‍ ആദ്യത്തിലുള്ള സംഖ്യകളില്‍ തന്നെയുണ്ടു്. 22+32 = 13, 22+52 = 29, 22+72 = 53 ഇവയൊക്കെ അഭാജ്യസംഖ്യകള്‍ തന്നെ.

ഒരു സ്കൂളിലെ കണക്കുമാഷ് ഇങ്ങനെയൊരു പൊട്ടസിദ്ധാന്തത്തിനു മുകളില്‍ പതിനാറു കൊല്ലം കുത്തിയിരിക്കുമോ? എനിക്കു തോന്നുന്നില്ല.


കണക്കു താത്പര്യമില്ലാത്തവര്‍ ദയവായി വലത്തുവശത്തുള്ള ഭാഗം വിട്ടുകളഞ്ഞു താഴേയ്ക്കു വായിക്കുക. ചുരുക്കം ഇത്രമാത്രം: അതുപോലെ തന്നെ, പുസ്തകത്തില്‍ ജ്യോതിഷത്തിലെ ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനത്തെപ്പറ്റിയും സംഗീതത്തിലെ സ്വരങ്ങളുടെ ആവൃത്തിയെപ്പറ്റിയും പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതും തെറ്റാണു്.

ഫെര്‍മയുടെ തിയറത്തില്‍ മാത്രമല്ല പുഷ്പാംഗദനു തെറ്റിയതു്. ആത്മഹത്യയ്ക്കു മുമ്പു് (പുസ്തകം വായിച്ചിട്ടില്ലാത്തവരേ, ആന്റിക്ലൈമാക്സ് പൊളിച്ചതിനു മാപ്പു്) പുഷ്പാംഗദന്‍ അമ്മയ്ക്കും പോലീസിനുമായി എഴുതി വെച്ച കത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

(പേജ് 244) എന്റെ അച്ഛന്‍ കെ. സൂര്യനാരായണക്കര്‍ത്താവിനെക്കുറിച്ചു് നിങ്ങളെല്ലാവരും കേട്ടുകാണും. കേരളം മുഴുവനും അറിയുന്ന ജ്യോത്സ്യനായിരുന്നു. സൌരയൂഥത്തെ കവിടിസഞ്ചിയില്‍ കൊണ്ടുനടന്ന മഹാപണ്ഡിതന്‍. ഒരു ദിവസം അച്ഛന്‍ ഒരേയൊരു മകനായ എന്നെയും അമ്മയെയും വിളിച്ചു പറഞ്ഞു: “ഇന്നു വൈകിട്ടു് ആറു മണിക്കു ഞാന്‍ മരിക്കും. അറുപത്തിരണ്ടു വയസ്സും, മൂന്നു മാസവും മൂന്നു ദിവസവും തീരുന്ന ആ സമയത്തു ശനിദശ അവസാനിക്കുന്നു. ശേഷം ചിന്ത്യം എന്നാണു ജാതകത്തില്‍ കാണുന്നതു്. മരണസന്ധിയാണു്.” അന്നു വൈകുന്നേരമായപ്പോള്‍ അച്ഛന്‍ എന്നോടു പറഞ്ഞു: “ക്ലോക്ക് ഇരുപത്തിരണ്ടര മിനിട്ടു പുറകോട്ടാക്കൂ.” എന്നാലേ ലോക്കല്‍ ടൈമാകുകയുള്ളൂ. ഗ്രഹങ്ങള്‍ ചരിക്കുന്നതു ലോക്കല്‍ ടൈമിലാണു്; അതതു സ്ഥലത്തെ അക്ഷാംശം നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്ന സമയം.

ഗ്രഹങ്ങള്‍ ലോക്കല്‍ ടൈം അനുസരിച്ചാണു ചരിക്കുന്നതു് എന്ന കണ്ടുപിടിത്തം വിചിത്രമായിരിക്കുന്നു. ഭൂമിയില്‍ എവിടെയാണെങ്കിലും ഗ്രഹങ്ങള്‍ സഞ്ചരിക്കുന്നതു് ഒരേ സമയത്തു തന്നെയാണു്. അതിനെ ഉപയോഗിക്കുന്ന ആളുടെ സ്റ്റാന്‍ഡാര്‍ഡ് ടൈമിലേയ്ക്കു മാത്രം മാറ്റിയാല്‍ മതി. അതു് ഏതു ജ്യോത്സ്യനും കണക്കുകൂട്ടുന്നതു് ഏതെങ്കിലും പഞ്ചാംഗം നോക്കിയാണു്. ആ പഞ്ചാംഗത്തില്‍ സ്റ്റാന്‍ഡേര്‍ഡ് ടൈം ആയിരിക്കും ഉള്ളതു്, അല്ലാതെ നോക്കുന്ന ആളുടെ ലോക്കല്‍ ടൈമല്ല. ഏതെങ്കിലും നിരീക്ഷണശാലയില്‍ കാണുന്നതനുസരിച്ചോ സൂര്യസിദ്ധാന്തം തുടങ്ങിയ പുസ്തകങ്ങളനുസരിച്ചു് ഫോര്‍മുലകളുപയോഗിച്ചോ ആണു് പഞ്ചാംഗത്തില്‍ ഗ്രഹങ്ങളുടെ സ്ഥാനം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്, അല്ലാതെ ജ്യോത്സ്യന്‍ വീട്ടിലിരുന്നു ഗണിക്കുന്നതല്ല. (എങ്ങനെയാണു് ഇപ്പോള്‍ പഞ്ചാംഗമുണ്ടാക്കുന്നവര്‍ ഗണിക്കുന്നതെന്നറിയാന്‍ ഈ പോസ്റ്റ് വായിക്കുക.) ലഗ്നം സ്ഥലമനുസരിച്ചു മാറും. (ആ സ്ഥലത്തു നേരേ കിഴക്കുള്ള രാശിയാണു ലഗ്നം.) പക്ഷേ, ഗ്രഹസ്ഥാനങ്ങളും നക്ഷത്രവും ഒന്നും ലോക്കല്‍ സ്ഥലമനുസരിച്ചു മാറുന്നില്ല.

“അതതു സ്ഥലത്തെ അക്ഷാംശം നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്ന സമയം” എന്നതും ശ്രദ്ധിക്കുക. അക്ഷാംശമല്ല, രേഖാംശമാണു് പ്രാദേശികസമയത്തെ നിര്‍ണ്ണയിക്കുന്നതു്. ലഗ്നം തുടങ്ങിയ കാര്യങ്ങള്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതില്‍ അക്ഷാംശത്തിനു സ്ഥാനമുണ്ടു്, സമയനിര്‍ണ്ണയത്തില്‍ ഇല്ല.


തീര്‍ന്നില്ല. പുഷ്പാംഗദന്‍ തുടര്‍ന്നെഴുതുന്നു:

എന്താണു സംഗീതം? അതു ഗണിതത്തിന്റെ വകഭേദമാണു്. ‘സ’ ഒന്നാണെങ്കില്‍ ‘രി’യുടെ ശ്രുതി 11/8 ആണു്, ‘ഗ’ 11/4 ആണു്. അങ്ങനെയാണെങ്കില്‍ പ്രൈം നമ്പരുകളുടെ സംഗീതം 11-ല്‍ തുടങ്ങട്ടെ. അടുത്ത പ്രൈം നമ്പര്‍ 13, അതു പതിനൊന്നിന്റെ 12/11 ആണു്, അടുത്തതു 17, പതിനൊന്നിന്റെ 16/11 ആണു്…

എനിക്കാകെ ചിന്താക്കുഴപ്പമായി. സംഗീതത്തില്‍ അടുത്ത ഓക്ടേവില്‍ എത്തുമ്പോള്‍ ആവൃത്തി ഇരട്ടിയാവുന്നു. 12 സ്വരസ്ഥാനമുള്ള ഭാരതീയസംഗീതത്തില്‍ അപ്പോള്‍ അടുത്തടുത്ത സ്വരസ്ഥാനങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം ഏകദേശം രണ്ടിന്റെ പന്ത്രണ്ടാമത്തെ മൂലം () ആണു്. ഡോ. എസ്. വെങ്കടസുബ്രഹ്മണ്യയ്യരുടെ “സംഗീതശാസ്ത്രപ്രവേശിക” അനുസരിച്ചു് ആ അനുപാതങ്ങള്‍ താഴെപ്പറയുന്നവയാണു്. (ഷഡ്ജത്തിന്റെ ആവൃത്തി 1 എന്നതിനനുസരിച്ചുള്ള അനുപാതങ്ങളാണു് രണ്ടാം നിരയില്‍. ഷഡ്ജത്തിന്റെ ആവൃത്തി 256 എന്നതിനനുസരിച്ചുള്ള ആവൃത്തികളാണു് മൂന്നാം നിരയില്‍.)

സ്വരം ആവൃത്തി
(സ = 1) (സ = 256)
സ: ഷഡ്ജം 1 256
രി1: കോമള (ശുദ്ധ) ഋഷഭം 16/15 273
രി2: തീവ്ര (ചതുഃശ്രുതി) ഋഷഭം 9/8 288
ഗ1: കോമള (സാധാരണ) ഗാന്ധാരം 6/5 307
ഗ2: തീവ്ര (അന്തര) ഗാന്ധാരം 5/4 320
മ1: കോമള (ശുദ്ധ) മദ്ധ്യമം 4/3 341
മ2: തീവ്ര (പ്രതി) മദ്ധ്യമം 64/45 364
പ: പഞ്ചമം 3/2 384
ധ1: കോമള (ശുദ്ധ) ധൈവതം 8/5 410
ധ2: തീവ്ര (ചതുഃശ്രുതി)ധൈവതം 27/16 432
നി1: കോമള (കൈശികി) നിഷാദം 9/5 461
നി2: ശുദ്ധ (കാകളി) നിഷാദം 15/8 480
അടുത്ത ഷഡ്ജം 2 512
  1. ഇവിടെ കൊടുത്തതനുസരിച്ചു് രി1 – 256/243, ഗ1 – 32/27, മ2 – 45/32, ധ1 – 128/81, ധ2 – 5/3, നി1 – 9/5 എന്നിങ്ങനെ ചെറിയ വ്യത്യാസങ്ങളുണ്ടു്.
  2. 22 സ്വരസ്ഥാനങ്ങളും പരിഗണിക്കാറുണ്ടു്. അവയുടെ ആവൃത്തികള്‍ ഈ പേജില്‍ കാണാം.

പുഷ്പാംഗദന്റെ കണക്കനുസരിച്ചു് സ-യുടെ ആവൃത്തി 256 ആണെങ്കില്‍ രി-യുടെ ആവൃത്തി 256 x 11/8 = 352, ഗ-യുടെ ആവൃത്തി 256 x 11/4 = 704 എന്നു കിട്ടും. ഈ മൂല്യങ്ങള്‍ ഏതായാലും പരമാബദ്ധം തന്നെ. സംഗീതത്തെപ്പറ്റി കൂടുതല്‍ അറിയാവുന്നവര്‍ ദയവായി പറഞ്ഞുതരൂ.

അതു പോകട്ടേ. കണക്കുമാഷിനു് സംഗീതം അറിയില്ല എന്നു വെയ്ക്കാം. പക്ഷേ 13 എന്ന സംഖ്യ 11-ന്റെ 12/11 ആണെന്നു പറയുമോ? ഈ 12/11, 16/11 എന്നിവയ്ക്കു് എന്തു താളമാണെന്നു് മനസ്സിലാകുന്നില്ല. അഥവാ എന്തെങ്കിലും ഉണ്ടെങ്കില്‍ത്തന്നെ അടുത്ത അഭാജ്യസംഖ്യയായ 19-ല്‍ (പുഷ്പാംഗദന്റെ കണക്കനുസരിച്ചു് അതു് 11-ന്റെ 18/11 ആയിരിക്കാം!) ഈ താളം തെറ്റുന്നുണ്ടല്ലോ.

പ്ലീസ്, ആരെങ്കിലും ഒന്നു സഹായിക്കൂ…


മുകളില്‍പ്പറഞ്ഞ തെറ്റുകള്‍ നോവലിസ്റ്റ് പറഞ്ഞതല്ല, മറിച്ചു് പുഷ്പാംഗദന്‍ പറഞ്ഞതാണു് എന്നൊരു വാദം ഉണ്ടാവാം. എങ്കിലും ഒരു സ്കൂളിലെ കണക്കുമാഷ് ഇങ്ങനെയുള്ള ഭീമാബദ്ധങ്ങള്‍ കണക്കില്‍ വരുത്തുമോ? ഒരു ആറാം ക്ലാസ്സു കാരനു ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ തെളിയിക്കാവുന്ന ഒരു സിദ്ധാന്തത്തില്‍ പതിനാറു കൊല്ലം ഒരു ചെലവാക്കുമോ? പോട്ടേ, 11-നെ 11 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു 12 കൊണ്ടു ഗുണിച്ചാല്‍ 13 കിട്ടും എന്നു പറയുമോ?

“ഇങ്ങനെയുള്ള അബദ്ധങ്ങള്‍ മാത്രം പറഞ്ഞും ജീവിച്ചും ജീവിതം മുഴുവന്‍ ഒരു അബദ്ധമായ സിദ്ധാന്തമായി പരിണമിച്ച ദാര്‍ശനികവ്യഥയുടെ പ്രതീകമാണു കഥയിലെ പുഷ്പാംഗദന്‍” എന്നോ മറ്റോ പറഞ്ഞു വേണമെങ്കില്‍ തടിയൂരാം. അങ്ങനെ മനഃപൂര്‍വ്വം വരുത്തിയ തെറ്റല്ലെങ്കില്‍, ഒന്നേ പറയാനുള്ളൂ. തന്റെ പുസ്തകത്തില്‍ ചരിത്രം, വള്ളപ്പണി, ചവിട്ടുനാടകം, ബിരിയാണിയുടെ പാചകക്രമം, ഹിന്ദുസ്ഥാനിസംഗീതം തുടങ്ങി പല വിഷയങ്ങളെപ്പറ്റി ശ്രീ മാധവന്‍ വിവരിക്കുന്നുണ്ടു്. ഇവയൊക്കെ അദ്ദേഹത്തിനു് അറിവുള്ള വിഷയങ്ങളാവണമെന്നില്ല. അതിനാല്‍ അവ വായിച്ചോ ആരോടെങ്കിലും ചോദിച്ചോ ആവാം അദ്ദേഹം മനസ്സിലാക്കിയതു്. അതു പോലെ ഗണിതവും കഥയില്‍ ഉള്‍ക്കൊള്ളിക്കണമെന്നു് അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിച്ചിരുന്നിരിക്കാം. പക്ഷേ, അതിനായി അദ്ദേഹം ആശ്രയിച്ച ആള്‍ തെറ്റിപ്പോയി എന്നേ പറയാനുള്ളൂ.


നോവലില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്ന പല സംഭവങ്ങളെപ്പറ്റിയും ശ്രീ എന്‍. എസ്. മാധവനു് ആധികാരികമായ വിവരം ഇല്ലെന്നു തോന്നുന്നു. പുസ്തകത്തിന്റെ ആദിയിലുള്ള നന്ദിപ്രകാശനത്തില്‍ പലരും ചൂണ്ടിക്കാട്ടിയ തെറ്റുകളെപ്പറ്റി പരാമര്‍ശിക്കുന്നുണ്ടു്. വിശാലമായ ഒരു കാന്‍‌വാസില്‍ കഥ പറയുമ്പോള്‍ പലപ്പോഴും അതിനാവശ്യമായ വിവരങ്ങള്‍ മറ്റു പലയിടത്തു നിന്നും നേടേണ്ടതായി വരും. അതു സ്വാഭാവികം.

നേരേ മറിച്ചു്, ചരിത്രവസ്തുതകളെയും ശാസ്ത്രസത്യങ്ങളെയും മാറ്റിയെഴുതുന്നതു് ക്രിയേറ്റീവ് റൈറ്റിംഗിന്റെ ഭാഗമാണെന്ന വാദം ഉണ്ടായേക്കാം. അതിശയോക്തി മുതലായ അലങ്കാരങ്ങള്‍ തൊട്ടു മാജിക്കല്‍ റിയലിസം വരെ പല സാഹിത്യസങ്കേതങ്ങളും ഇതിനെ അനുവദിക്കുന്നുമുണ്ടു്. പക്ഷേ ഈ വിധത്തില്‍ വസ്തുതകള്‍ മാറ്റിമറിക്കുമ്പോള്‍ അതു മാറ്റിമറിച്ചവയാണു് എന്ന ബോധം വായനക്കാരനുണ്ടാവാറുണ്ടു്. നളചരിതവും കുഞ്ചന്‍ നമ്പ്യാരുടെ കഥയും പൊളിച്ചെഴുതിയ വി. കെ. എന്‍. പലപ്പോഴും വസ്തുതാകഥനങ്ങളില്‍ കാണിക്കുന്ന കൃത്യത അദ്ഭുതകരമാണു്. സിഡ്നി ഷെല്‍ഡനെപ്പോലെയുള്ള ത്രില്ലര്‍ എഴുത്തുകാരാകട്ടേ, ഓരോ പുസ്തകത്തിനും പിന്നില്‍ വളരെയധികം ഗവേഷണങ്ങള്‍ നടത്തിയിട്ടാണു് അതു പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്നതു്.

ആനന്ദിന്റെ “നാലാമത്തെ ആണി”, കസാന്ദ് സാക്കീസിന്റെ “ക്രിസ്തുവിന്റെ അന്ത്യപ്രലോഭനം”, ഡാന്‍ ബ്രൌണിന്റെ “ഡാവിഞ്ചി കോഡ്” തുടങ്ങിയ പുസ്തകങ്ങള്‍ വായിച്ചു് ആരും ബൈബിളിലെ കഥ തെറ്റിദ്ധരിക്കില്ല. കാരണം അവയില്‍ ഫിക്‍ഷനാണു കൂടുതല്‍ എന്നു് വായനക്കാര്‍ക്കറിയാം. എന്നാല്‍ അതുപോലെയല്ല യാഥാര്‍ത്ഥ്യത്തിലേക്കു കൂടുതല്‍ അടുത്തു നില്‍ക്കുന്ന “ലന്തന്‍ ബത്തേരി” പോലെയുള്ള പുസ്തകങ്ങള്‍. ഈ യഥാര്‍ത്ഥാഭാസാഖ്യാനം വസ്തുതകളെ തെറ്റായി കാണാന്‍ വായനക്കാരെ പ്രേരിപ്പിച്ചേക്കാം. (നെഹ്രുവിന്റെ മുന്നില്‍ ചവിട്ടുനാടകം കാണിച്ച ഒരു സംഭവം മാത്രമേ ഇതില്‍ യാഥാര്‍ത്ഥ്യമല്ല എന്ന തോന്നല്‍ ഉണ്ടാക്കിയുള്ളൂ.)

ഉദാഹരണമായി, കൊളംബസിനും വാസ്കോ ഡി ഗാമയ്ക്കും മറ്റും യാത്ര ചെയ്യാന്‍ ഫണ്ടു കിട്ടിയതു് ഭൂമിയുടെ ചുറ്റളവിനെപ്പറ്റി അന്നുണ്ടായിരുന്ന അബദ്ധധാരണ കൊണ്ടാണു് എന്നു പുസ്തകത്തില്‍ പറയുന്നുണ്ടു്. ഈ വസ്തുത ശരിയാണോ തെറ്റാണോ എന്നു് എനിക്കറിയില്ല. പക്ഷേ, ഈ പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നു് അതൊരു പുതിയ അറിവായി ഞാന്‍ കൈക്കൊണ്ടു. പണ്ടു് ഓട്ടവയെ ഒഷാവ എന്നു വിളിച്ചതു പോലെ അതു് മറ്റു പലര്‍ക്കും കൈമാറി എന്നു വന്നേക്കാം. ലന്തക്കാരുടെയും മറ്റും അധിനിവേശത്തെപ്പറ്റിയും പല വാക്കുകളുടെയും ഉത്പത്തിയെപ്പറ്റിയും കേരളത്തിലെ രാഷ്ട്രീയചരിത്രത്തെപ്പറ്റിയും ഹിന്ദുസ്ഥാനി സംഗീതത്തെപ്പറ്റിയും പലതരം പാചകവിധികളെപ്പറ്റിയും ഇതു പോലെ ധാരാളം പരാമര്‍ശങ്ങള്‍ പുസ്തകത്തിലുണ്ടു്. ഇവയില്‍ എത്രത്തോളം ശരിയാണെന്നറിയാനുള്ള അവകാശം വായനക്കാരനില്ലേ?

ഇതിനോടു സമാനമായ ഒരു ആരോപണം എന്റെ അന്ത അഹന്തയ്ക്കു് ഇന്ത പോസ്റ്റ് എന്ന പോസ്റ്റിനെപ്പറ്റി ഉണ്ടായിട്ടുണ്ടു്. അതിലെ വസ്തുതകള്‍ ചരിത്രവുമായി യോജിച്ചു പോകുന്നില്ല എന്നു്. അതു ചരിത്രത്തോടു നീതി പുലര്‍ത്തുന്നില്ല എന്ന ഡിസ്ക്ലൈമറും “ആക്ഷേപഹാസ്യം” എന്ന ലേബലും അതിലെ ചരിത്രസംഭവങ്ങളെ യഥാര്‍ത്ഥമായി എടുക്കരുതു് എന്ന സന്ദേശം വായനക്കാര്‍ക്കും നല്‍കും എന്നു ഞാന്‍ കരുതുന്നു.

ചരിത്രം പറയുന്ന കഥകള്‍ക്കുള്ള ഒരു പ്രശ്നം ആ കഥകളില്‍ കൂടി വായനക്കാരന്‍ ചരിത്രത്തെ കാണും എന്നതാണു്. സി. വി. രാമന്‍ പിള്ളയുടെ ആഖ്യായികള്‍ തിരുവിതാംകൂര്‍ ചരിത്രത്തെ വളച്ചൊടിച്ചതു് ഇവിടെ ഓര്‍ക്കാം. എം. ടി. യുടെ തിരക്കഥകള്‍ക്കു ശേഷം പെരുന്തച്ചനും ഉണ്ണിയാര്‍ച്ചയുമൊക്കെ വേറേ രൂപം പൂണ്ടു് മലയാളികളുടെ മനസ്സില്‍ ഇടം പിടിച്ചതു മറ്റൊരുദാഹരണം. ഒരു കാട്ടുപെണ്ണിനെ വളച്ചു ഗര്‍ഭിണിയാക്കിയതിനു ശേഷം കയ്യൊഴിഞ്ഞ ദുഷ്ടനായ രാജാവിനെ ധീരോദാത്തനതിപ്രതാപഗുണവാനാക്കി വെള്ളയടിക്കാന്‍ ഒരു പാവം മുനിയെ വില്ലനാക്കിയ കാളിദാസന്റെ പ്രവൃത്തിയും ഈക്കാര്യത്തില്‍ വ്യത്യസ്തമല്ല.

എന്തായാലും, കോട്ടയത്തെ തന്റെ വീട്ടിലിരുന്നു സ്വന്തം ഭാവനയിലൂടെ കാര്‍പാത്യന്‍ മലയിടുക്കുകളിലെ ഭൂപ്രകൃതി വര്‍ണ്ണിച്ച കോട്ടയം പുഷ്പനാഥിന്റെയും, വടക്കന്‍ പാട്ടുകളിലെ നായികമാരെ ബ്രേസിയറും ബ്ലൌസും ധരിപ്പിച്ച കുഞ്ചാക്കോയുടെയും വഴിയേ എന്‍. എസ്. മാധവന്‍ പോകരുതു് എന്നു് ആഗ്രഹമുണ്ടു്-എഴുത്തുകാരനു് സത്യം വളച്ചൊടിക്കാന്‍ എത്ര സ്വാതന്ത്ര്യം കൊടുക്കണമെന്നു വാദിച്ചാലും.

ഗണിതം (Mathematics)
ചുഴിഞ്ഞുനോക്കല്‍
ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രം
ജ്യോത്സ്യം
വായിച്ച പുസ്തകങ്ങള്
സാഹിത്യം

Comments (26)

Permalink

ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍…

ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതിനു പിന്നിലെ കോലാഹലങ്ങളുടെ വിവരണം എന്റെ കഴിഞ്ഞ പോസ്റ്റില്‍ വായിച്ചല്ലോ. (വായിച്ചില്ലെങ്കില്‍ അതു വായിച്ചിട്ടു മാത്രം ഈ പോസ്റ്റു വായിക്കുക.) ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഗണിതക്രിയകളുടെ ഒരു വിവരണമാണു് ഈ പോസ്റ്റില്‍. ഉദാഹരണം കാണിക്കാന്‍ 2008-ലെ ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയും കൂടെ ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ടു്.

ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിച്ചു തുടങ്ങിയിട്ടു നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ പലതു കഴിഞ്ഞെങ്കിലും അതു കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഗണിതക്രിയകള്‍ക്കു് 200 കൊല്ലത്തില്‍ കൂടുതല്‍ പഴക്കമില്ല. അതിനു മുമ്പു് പല തരത്തിലുള്ള പട്ടികകളും മറ്റും ഉപയോഗിച്ചു് സഭാനേതാക്കള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കുന്ന തീയതികള്‍ സാമാന്യജനം ഉപയോഗിച്ചു പോന്നു. വിശദവിവരങ്ങള്‍ വിക്കിപീഡിയയില്‍ വായിക്കാം.

ആദ്യമായി ഈസ്റ്റര്‍ ഗണനത്തിനു് ഒരു ഗണിതരീതി ഉണ്ടാക്കിയതു് പ്രസിദ്ധഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായിരുന്ന ഗാസ് ആയിരുന്നു. ആ രീതിയില്‍ പല പ്രശ്നങ്ങളും ഉണ്ടായിരുന്നു. അതിനാല്‍ പിന്നെയും പട്ടികകള്‍ ഉപയോഗിക്കണമായിരുന്നു. വിശദവിവരങ്ങള്‍ ഇവിടെ.

ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് രീതി

കിഴക്കന്‍ ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് ക്രിസ്ത്യാനികള്‍ (ഗ്രീസിലും മറ്റും) ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിക്കുന്നതു വേറേ രീതിയിലാണെന്നു നേരത്തേ പറഞ്ഞല്ലോ. പ്രധാനമായും രണ്ടു വ്യത്യാസങ്ങളാണു് ഈ രീതിയ്ക്കുള്ളതു്.

  1. ജൂലിയന്‍ കലണ്ടര്‍ ഉപയോഗിച്ചാണു മാര്‍ച്ച് 21 കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ ഓരോ നാലു വര്‍ഷത്തിലും അധിവര്‍ഷം വരും. 400 കൊണ്ടു ഹരിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ ഉള്‍പ്പെടെ.
  2. യഹൂദരുടെ പെസഹാ‍യ്ക്കു ശേഷമേ ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിക്കൂ. അതായതു്, മാര്‍ച്ച് 21-നു ശേഷമുള്ള കറുത്ത വാവിനു ശേഷമുള്ള വെളുത്ത വാവിനു ശേഷം മാത്രം.

ഈ രീതിയില്‍ ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു വഴി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

  1. വര്‍ഷത്തെ 19 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ശിഷ്ടത്തെ G എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2008 = 105 x 19 + 13 ആയതിനാല്‍ G = 13.
  2. (19G + 15) കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ I എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 19 x 13 + 15 = 262. അതിനെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 22. I = 22.
  3. വര്‍ഷത്തിന്റെ കൂടെ അതിന്റെ നാലിലൊന്നും മുകളില്‍ക്കൊടുത്ത I-യും കൂട്ടുക. അതിനെ ഏഴു കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ J എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2008 + 502 + 22 = 2532. അതിനെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 5. J = 5.
  4. I-യില്‍ നിന്നു J കുറയ്ക്കുക. I-യുടെ വില 0 മുതല്‍ 29 വരെയും J-യുടെ വില 0 മുതല്‍ 6 വരെയും ആകാവുന്നതുകൊണ്ടു് ഇതു് -6 മുതല്‍ 29 വരെയുള്ള ഒരു മൂല്യമായിരിക്കും. ഇതിനെ L എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ L = 22 – 5 = 17.
  5. L നാലില്‍ കുറവാണെങ്കില്‍ ഈസ്റ്റര്‍ മാര്‍ച്ചിലായിരിക്കും. തീയതി (L+28) ആയിരിക്കും. L നാലോ അതില്‍ കൂടുതലോ ആണെങ്കില്‍ മാസം ഏപ്രിലും തീയതി (L-3)-ഉം ആയിരിക്കും. ഇവിടെ മാസം ഏപ്രില്‍. തീയതി 17 – 3 = 14.

ഇതാണു ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറിലെ ഇക്കൊല്ലത്തെ ഈസ്റ്റര്‍. പക്ഷേ ഇപ്പോള്‍ വ്യാപകമായി ഉപയോഗിച്ചു വരുന്നതു ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറാണു്. ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ എല്ലാ നാലാമത്തെ വര്‍ഷവും (നാലു കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന വര്‍ഷങ്ങള്‍) ഫെബ്രുവരിക്കു് 29 ദിവസമുള്ള അധിവര്‍ഷങ്ങള്‍ (leap years) ആണു്. ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ 100 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്നതും എന്നാല്‍ 400 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ കഴിയാത്തതുമായ 1900, 2100 തുടങ്ങിയ വര്‍ഷങ്ങള്‍ അധിവര്‍ഷങ്ങളല്ല. 400 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാവുന്ന 1600, 2000, 2400 തുടങ്ങിയവ അധിവര്‍ഷങ്ങളാണു താനും.

400 വര്‍ഷങ്ങളില്‍ മൂന്നു ദിവസം കുറയുന്നതു കൊണ്ടു് ഗ്രിഗോറിയന്‍ വര്‍ഷത്തിലെ ഒരു തീയതി ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറിനെക്കാള്‍ നേരത്തേ എത്തും. ഒരു പ്രത്യേകദിവസം ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിലെ തീയതി ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറിനേക്കാള്‍ ശേഷമുള്ള ഒന്നായിരിക്കും എന്നര്‍ത്ഥം. ജൂലിയന്‍ കലണ്ടര്‍ തീയതിയെ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടര്‍ തീയതിയാക്കാന്‍ ഫെബ്രുവരിയ്ക്കു ശേഷമുള്ള മാസങ്ങളില്‍ താഴെക്കൊടുക്കുന്നത്രയും ദിവസങ്ങള്‍ കൂട്ടിയാല്‍ മതി.

ഇതു മനസ്സിലാക്കാന്‍ വലിയ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല. ഓരോ നൂറ്റാണ്ടിലും ഓരോ ദിവസം കൂടുന്നു. എന്നാല്‍ നാലാമത്തെ നൂറ്റാണ്ടില്‍ കൂടുന്നില്ല. അതിനാല്‍ എല്ലാ നൂറ്റാണ്ടിനും ഒരു ദിവസം കൂട്ടി എല്ലാ നാനൂറ്റാണ്ടിനും ഒരു ദിവസം കുറയ്ക്കുന്നു. പിന്നീടു കുറയ്ക്കുന്ന 2 ദിവസം ഈ രണ്ടു കലണ്ടറുകള്‍ തമ്മിലുള്ള ഓഫ്‌സെറ്റ് വ്യത്യാസമാണു്.

ഇതനുസരിച്ചു് 2008-ലെ വ്യത്യാസം 20 – 5 – 2 = 13 ദിവസം. ഇതു കൂടി ഏപ്രില്‍ 14-നോടു കൂടെ കൂട്ടിയാല്‍ കിട്ടുന്ന ഏപ്രില്‍ 27 ആണു് ഇക്കൊല്ലം ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറനുസരിച്ചു് ഈസ്റ്റേണ്‍ ഓര്‍ത്തോഡോക്സുകാര്‍ ആഘോഷിക്കുന്ന ഈസ്റ്ററിന്റെ തീയതി.

ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് ഈസ്റ്റര്‍ – മറ്റൊരു വഴി

Oudin എന്ന ആള്‍ 1940-ല്‍ ഉണ്ടാക്കിയ വഴിയാണു മുകളില്‍ കൊടുത്തതു്. മറ്റൊരു വഴി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു. John Meeus-ന്റെ Astronomical Algorithms എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നു്.

  1. വര്‍ഷത്തെ 4 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ a എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2008-നെ നാലു കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 0. a = 0.
  2. വര്‍ഷത്തെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ b എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2008-നെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 6. b = 6.
  3. വര്‍ഷത്തെ 19 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ c എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2008-നെ 19 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 13. c = 13.
  4. (19c + 15)-നെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ d എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 19 x 13 + 15 = 262. 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 22.
  5. (2a + 4b – d + 34) കണ്ടുപിടിക്കുക. 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ e എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2 x 0 + 4 x 6 – 22 + 34 = 36. 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 1.
  6. f = d + e + 114. ഇവിടെ 22 + 1 + 114 = 137.
  7. f-നെ 31 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം മാസമായിരിക്കും. ശിഷ്ടത്തോടു് ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ ദിവസവും. ഇവിടെ 137-നെ 31 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഹരണഫലം 4, ശിഷ്ടം 13. അതിനാല്‍ ഈസ്റ്റര്‍ ഏപ്രില്‍ 14-നു്.

ഇതു് ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറിലെ തീയതിയാണു്. ഇതിനെ മുകളില്‍ പറഞ്ഞതു പോലെ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറാക്കാന്‍ 13 ദിവസം കൂടി കൂട്ടേണ്ടി വരും. അതായതു് ഏപ്രില്‍ 27.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ ഈസ്റ്റര്‍

യൂറോപ്പിലെ ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് ക്രിസ്ത്യാനികളേ മുകളില്‍ പറഞ്ഞ രീതിയില്‍ ഈസ്റ്റര്‍ ഇക്കൊല്ലം ഏപ്രില്‍ 27-നു് ആഘോഷിക്കുന്നുള്ളൂ. ബാക്കി മിക്കവരും (കത്തോലിക്കരും പ്രോട്ടസ്റ്റന്റും ഉള്‍പ്പെടെ) ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടര്‍ അനുസരിച്ചുള്ള ഈസ്റ്ററാണു് അനുസരിക്കുന്നതു്. അതു് ഇക്കൊല്ലം മാര്‍ച്ച് 23-നായിരുന്നു.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള ഒരു വഴി താഴെ. Calendrical calculations എന്ന പുസ്തകത്തില്‍ നിന്നു്.

  1. ആദ്യമായി വര്‍ഷത്തെ Y എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ, Y = 2008.
  2. വര്‍ഷത്തെ 19 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ശിഷ്ടം കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ G എന്നു വിളിക്കുക. ഇതു് പൂജ്യം മുതല്‍ 18 വരെയുള്ള സംഖ്യകളില്‍ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും. ഇവിടെ 2008 = 105 x 19 + 13 ആയതിനാല്‍ G = 13.
    19 കൊല്ലത്തിലൊരിക്കല്‍ വെളുത്തവാവിന്റെ തീയതി ആവര്‍ത്തിക്കും എന്ന ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറിലെ ഏകദേശക്കണക്കിനെപ്പറ്റി പറഞ്ഞല്ലോ. അപ്പോള്‍ വര്‍ഷങ്ങളെ 19 വിഭാഗങ്ങളായി തിരിക്കാം. ഒരു വര്‍ഷം ഇവയില്‍ ഏതു വിഭാഗമാകും എന്ന സംഖ്യയെ ഗോള്‍ഡന്‍ നമ്പര്‍ എന്നു വിളിച്ചിരുന്നു. അതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലായിരുന്നു പട്ടികകള്‍. (അതുപയോഗിച്ചുള്ള ഒരു പട്ടികയ്ക്കു ഉയിര്‍ത്തെഴുന്നേല്‍പ്പിലെ കുരിശുകള്‍ എന്ന പോ‍സ്റ്റ് കാണുക.) ആ “ഗോള്‍ഡന്‍ നമ്പര്‍” ആണു G.
  3. വര്‍ഷത്തെ 100 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തോടു് 1 കൂട്ടുക. ഇതിനെ C എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 2008 / 100 = 20 (ഹരണഫലം), 8 (ശിഷ്ടം). C = 20 + 1 = 21.
    ഇതു് നാം ഇന്നു വിളിക്കുന്ന രീതിയിലുള്ള “നൂറ്റാണ്ടു്” ആണു്. ഇരുപത്തൊന്നാം നൂറ്റാണ്ടു് എന്നര്‍ത്ഥം.
  4. (11G + 14) കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ D എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ D = 14 + 11 x 13 = 157.
    ഒരു കൊല്ലം ചന്ദ്രന്റെ പക്ഷം അതേ ജൂലിയന്‍ തീയതിയില്‍ 11 ദിവസം മുന്നോട്ടു പോകും. അതിനാലാണു് 11 കൊണ്ടു ഗുണിക്കുന്നതു്‌. പതിന്നാലു ദിവസം കഴിഞ്ഞുള്ള വെളുത്ത വാവു കിട്ടാന്‍ 14 കൂട്ടുന്നു.
  5. താഴെപ്പറയുന്ന മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.

    അതു് D-യില്‍ നിന്നു കുറയ്ക്കുക. ഇവിടെ

    D = 157 – 9 = 148.

    ജൂലിയന്‍ വര്‍ഷത്തെ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറാക്കുമ്പോഴുള്ള കറക്‍ഷന്‍ ആണു് ആദ്യത്തേതു്. നാലു നൂറ്റാണ്ടുകളില്‍ മൂന്നെണ്ണത്തിലും ഒരു ദിവസം കുറയുമല്ലോ.

    19 വര്‍ഷത്തില്‍ ചാന്ദ്രപക്ഷക്രമം ആവര്‍ത്തിക്ക്കുമെന്നുള്ളതു് ഏകദേശക്കണക്കാണെന്നു പറഞ്ഞല്ലോ. ഇതു ശരിയാക്കാന്‍ 2500 വര്‍ഷത്തില്‍ 8 ദിവസം കൂട്ടണം. അതാണു രണ്ടാമത്തെ കറക്‍ഷന്‍.

  6. D-യെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു ശിഷ്ടം കാണുക. അതിനെ S എന്നു വിളിക്കുക.

    ഇവിടെ 148-നെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 28. S = 28.

  7. മുകളില്‍ കിട്ടിയ S-നു് ഒരു ചെറിയ അഡ്ജസ്റ്റ്മെന്റ് വേണം. അതിന്റെ മൂല്യം 1 ആയിരിക്കുകയും G 10-ല്‍ കൂടുതലായിരിക്കുകയും ചെയ്താല്‍ S-നോടു് ഒന്നു കൂട്ടുക. S പൂജ്യമാണെങ്കിലും അതിനോടു് ഒന്നു കൂട്ടുക. ഇവിടെ ഇതു രണ്ടും അല്ലാത്തതിനാല്‍ S = 28 തന്നെ.
  8. ഏപ്രില്‍ 19-ല്‍ നിന്നു് S കുറയ്ക്കുക. കിട്ടുന്ന തീയതിയെ M എന്നു വിളിക്കുക.

    ഇവിടെ ഏപ്രില്‍ 19-ല്‍ നിന്നു് 28 പോയാല്‍ മാര്‍ച്ച് 22. M = മാര്‍ച്ച് 22.

  9. M കഴിഞ്ഞുള്ള ആദ്യത്തെ ഞായറാഴ്ച കണ്ടുപിടിക്കുക. അതാണു് ഈസ്റ്റര്‍. ഇവിടെ മാര്‍ച്ച് 23.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടര്‍ – Spencer-Butcher-Meuss രീതി

ഇതാണു് ഏറ്റവും പ്രചാരത്തിലുള്ള രീതി. മിക്കവാറും എല്ലായിടത്തും ഈ രീതിയാണു് ഉപയോഗിക്കുന്നതു്.

  1. ആദ്യമായി വര്‍ഷത്തെ Y എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ, Y = 2008.
  2. വര്‍ഷത്തെ 19 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ശിഷ്ടം കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ a എന്നു വിളിക്കുക. ഇതു് പൂജ്യം മുതല്‍ 18 വരെയുള്ള സംഖ്യകളില്‍ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും. ഇവിടെ 2008 = 105 x 19 + 13 ആയതിനാല്‍ a = 13.
  3. വര്‍ഷത്തെ 100 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തെ b എന്നും ശിഷ്ടത്തെ c എന്നും വിളിക്കുക. ഇവിടെ b = 20, c = 8.
  4. b-യെ 4 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തെ d എന്നും ശിഷ്ടത്തെ e എന്നും വിളിക്കുക. ഇവിടെ d = 5, e = 0.
  5. b-യോടു് 8 കൂട്ടി 25 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തെ f എന്നു വിളിക്കുക. ശിഷ്ടം കളയുക. ഇവിടെ 20 + 8 = 28, 28/25 = 1 (ഹരണഫലം), 3 (ശിഷ്ടം). f = 1.
  6. (b – f + 1) കണ്ടുപിടിച്ചു മൂന്നു കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തെ g എന്നു വിളിക്കുക. ശിഷ്ടം കളയുക. ഇവിടെ, 20 – 1 + 1 = 20. 20/6 = 3 (ഹരണഫലം). g = 3.
  7. (19a + b – d – g + 15) കണ്ടുപിടിക്കുക. 30 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം കളയുക. ശിഷ്ടത്തെ h എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 19 x 13 + 20 – 5 – 6 + 15 = 271. 271/30 = 9 (ഹരണഫലം), 1 (ശിഷ്ടം). h = 1.
  8. c-യെ 4 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തെ i എന്നും ശിഷ്ടത്തെ k എന്നും വിളിക്കുക. 8/4 = 2 (ഹരണഫലം), 0(ശിഷ്ടം). i = 2, k = 0.
  9. (32 + 2e + 2i – h – k) കണ്ടുപിടിച്ചു് 7 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം കളയുക. ശിഷ്ടത്തെ L എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ 32 + 2 x 0 + 2 x 2 – 1 – 0 = 35. 35/7 = 5 (ഹരണഫലം), 0 (ശിഷ്ടം). L = 0.
  10. (a + 11h + 22L) കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ 451 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലത്തെ m എന്നു വിളിക്കുക. ശിഷ്ടം കളയുക. ഇവിടെ 13 + 11 x 1 + 22 x 0 = 24. 24/451 = 0 (ഹരണഫലം), 24 (ശിഷ്ടം). m = 0.
  11. (h + L – 7m + 114) കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ 31 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ഹരണഫലം മാസത്തിന്റെ സംഖ്യയായിരിക്കും. ശിഷ്ടത്തോടു് ഒന്നു കൂട്ടിയാല്‍ ദിവസവും. ഇവിടെ 1 + 0 – 7 x 0 + 114 = 115. 31 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ഹരണഫലം 3, ശിഷ്ടം 22. അതിനാല്‍ ഈസ്റ്റര്‍ മാര്‍ച്ച് 23-നു്.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ ഈസ്റ്റര്‍ – Oudin 1940-ല്‍ കണ്ടുപിടിച്ച രീതി

  1. ആദ്യമായി വര്‍ഷത്തെ Y എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ, Y = 2008.
  2. വര്‍ഷത്തെ 19 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ശിഷ്ടം കണ്ടുപിടിക്കുക. അതിനെ G എന്നു വിളിക്കുക. ഇതു് പൂജ്യം മുതല്‍ 18 വരെയുള്ള സംഖ്യകളില്‍ ഒരെണ്ണമായിരിക്കും. ഇവിടെ 2008 = 105 x 19 + 13 ആയതിനാല്‍ G = 13.
  3. Y-യില്‍ എത്ര നൂറ്റാണ്ടുകളുണ്ടെന്നു കണ്ടുപിടിക്കുക. അതായതു് 100 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു് ഹരണഫലം മാത്രം എടുക്കുക. അതിനെ C എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ C = 20.
  4. താഴെപ്പറയുന്ന മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.

    അതിനെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ചു കിട്ടുന്ന ശിഷ്ടത്തെ H എന്നു വിളിക്കുക. ഇതു് 0 മുതല്‍ 29 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ ആയിരിക്കും.

    ഇവിടെ

    271-നെ 30 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 1. H = 1.

  5. താഴെപ്പറയുന്ന മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.

    ഇതു മുഴുവന്‍ കണക്കുകൂട്ടണമെന്നില്ല. H 28-ല്‍ കുറവാണെങ്കില്‍ ഇതു പൂജ്യമായിരിക്കും. 29 ആണെങ്കില്‍ ഒന്നും. 28-നു് ഇതു് പൂജ്യമോ ഒന്നോ ആയിരിക്കും. താഴെപ്പറയുന്നതു കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ 28-ന്റെ മൂല്യം കിട്ടും.

    (G പൂജ്യത്തിനും 18നും ഇടയ്ക്കുള്ള ഒരു സംഖ്യയായതു കൊണ്ടു് ഇതു് ഒന്നോ പൂജ്യമോ ആയിരിക്കും.)

    ഇങ്ങനെ കിട്ടുന്നതു് H-ല്‍ നിന്നു കുറച്ചതിനെ I എന്നു വിളിക്കുക.
    2008-ല്‍ H = 1 ആയതിനാല്‍ I = H – 0 = 1.

  6. താഴെപ്പറയുന്ന മൂല്യം കണ്ടുപിടിക്കുക.

    ഇതിനെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ച ശിഷ്ടത്തെ J എന്നു വിളിക്കുക. ഇവിടെ

    .

    അതിനെ 7 കൊണ്ടു ഹരിച്ചാല്‍ ശിഷ്ടം 6. J = 6.

  7. L = I – J. ഇവിടെ L = 1 – 6 = -5.
  8. L നാലോ അതില്‍ കൂടുതലോ ആണെങ്കില്‍ ഈസ്റ്റര്‍ ഏപ്രില്‍ മാസത്തിലെ (L-3) എന്ന തീയതിയായിരിക്കും; അല്ലെങ്കില്‍ മാര്‍ച്ച് മാസത്തിലെ (28+L) എന്ന തീയതി ആയിരിക്കും. ഇവിടെ -5 നാലില്‍ കുറവായതിനാല്‍ മാര്‍ച്ചുമാസം. തീയതി = 28 – 5 = 23.

അതായതു്, 2008-ല്‍ മാര്‍ച്ച് 23-നാണു് ഈസ്റ്റര്‍.

നാലാം സ്റ്റെപ്പില്‍ നിന്നു് H 0 മുതല്‍ 29 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണെന്നു കാണാം. അതു പോലെ, അഞ്ചാം സ്റ്റെപ്പില്‍ നിന്നു് I 0 മുതല്‍ 28 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണെന്നും, ആറാം സ്റ്റെപ്പില്‍ നിന്നു് J-യുടെ മൂല്യം 0 മുതല്‍ 6 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണെന്നും. അപ്പോള്‍ ഏഴാം സ്റ്റെപ്പിലെ L-ന്റെ വില -6 മുതല്‍ 28 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യയാണു്. ഇതില്‍ -6 ആയാല്‍ ഈസ്റ്റര്‍ മാര്‍ച്ച് 22-നായിരിക്കും. 28 ആയാല്‍ ഏപ്രില്‍ 25-ഉം. ഇവയാണു് ഈസ്റ്റര്‍ സംഭവിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ആദ്യവും അവസാനവും ആയ തീയതികള്‍.


മേല്‍പ്പറഞ്ഞ അല്‍ഗരിതങ്ങള്‍ ഒരു പൈത്തണ്‍ പ്രോഗ്രാമിന്റെ രൂപത്തില്‍ ഇവിടെ ഉണ്ടു്. അതുപയോഗിച്ചു് 2000 മുതല്‍ 2025 വരെയുള്ള വര്‍ഷങ്ങളിലെ ഈസ്റ്റര്‍ തീയതികള്‍ കണക്കുകൂട്ടിയതു താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു. ഈ പട്ടിക വിക്കിപീഡിയയിലും ഉണ്ടു്.

---------------------------------------
Year     Gregorian  Julian     Orthodox
---------------------------------------
2000     Apr 23     Apr 17     Apr 30
2001     Apr 15     Apr  2     Apr 15
2002     Mar 31     Apr 22     May  5
2003     Apr 20     Apr 14     Apr 27
2004     Apr 11     Mar 29     Apr 11
2005     Mar 27     Apr 18     May  1
2006     Apr 16     Apr 10     Apr 23
2007     Apr  8     Mar 26     Apr  8
2008     Mar 23     Apr 14     Apr 27
2009     Apr 12     Apr  6     Apr 19
2010     Apr  4     Mar 22     Apr  4
2011     Apr 24     Apr 11     Apr 24
2012     Apr  8     Apr  2     Apr 15
2013     Mar 31     Apr 22     May  5
2014     Apr 20     Apr  7     Apr 20
2015     Apr  5     Mar 30     Apr 12
2016     Mar 27     Apr 18     May  1
2017     Apr 16     Apr  3     Apr 16
2018     Apr  1     Mar 26     Apr  8
2019     Apr 21     Apr 15     Apr 28
2020     Apr 12     Apr  6     Apr 19
2021     Apr  4     Apr 19     May  2
2022     Apr 17     Apr 11     Apr 24
2023     Apr  9     Apr  3     Apr 16
2024     Mar 31     Apr 22     May  5
2025     Apr 20     Apr  7     Apr 20
---------------------------------------

കലണ്ടര്‍ (Calendar)
ഗണിതം (Mathematics)

Comments (5)

Permalink

ഉയിര്‍ത്തെഴുന്നേല്‍പ്പിലെ കുരിശുകള്‍

അല്പം വൈകിയാണെങ്കിലും എല്ലാവര്‍ക്കും ഈസ്റ്റര്‍ ആശംസകള്‍!

വൈകാതിരിക്കുന്നതെങ്ങനെ? ഈക്കൊല്ലം ഈസ്റ്റര്‍ എത്ര നേരത്തെയാണു വന്നതു്! മാര്‍ച്ച് 23-നു ഈസ്റ്റര്‍ വരുന്നതു കാണുന്നതു് ഇതാദ്യമായാണു്. ഇതു വായിക്കുന്ന മിക്കവാറും ആളുകളുടെയും സ്ഥിതി ഇതു തന്നെയായിരിക്കും. 1913-ല്‍ ആണു് ഏറ്റവും അവസാനം ഇതു സംഭവിച്ചതു്. (95 വയസ്സില്‍ കൂടുതല്‍ പ്രായമുള്ള ആരെങ്കിലും ഗുരുകുലം വായിക്കുന്നുണ്ടോ എന്തോ?) ഇനി ഉണ്ടാവുക 2160-ലും.

മാര്‍ച്ച് 23-നും മുമ്പു് ഈസ്റ്റര്‍ വരുമോ? വരാം. മാര്‍ച്ച് 22 ആണു് ഏറ്റവും നേരത്തേ വരാവുന്ന ഈസ്റ്റര്‍ തീയതി. പക്ഷേ, അതു നമ്മളാരും കാണില്ല. 1818-ലാണു് ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ ഇതു് അവസാനം വന്നതു്. ഇനി വരുന്നതു് 2285-ലും.

ഏറ്റവും താമസിച്ചു വരുന്ന ഈസ്റ്റര്‍ ഏപ്രില്‍ 25 ആണു്. 1943-ല്‍ ഒരെണ്ണം കഴിഞ്ഞു. ഇനി 2038-ലേ ഉള്ളൂ. നമ്മളില്‍ ചിലരൊക്കെ അതു കാണാന്‍ ഉണ്ടാവും. അത്രയും ക്ഷമിക്കാന്‍ തയ്യാറല്ലാത്തവര്‍ക്കു വേണ്ടി 2011-ല്‍ ഏപ്രില്‍ 24-നു് ഈസ്റ്റര്‍ വരുന്നുണ്ടു്. ഈ അടുത്ത കാലത്തു് ഈസ്റ്റര്‍ ഏറ്റവും വൈകി വന്നതു് 2000-ത്തിലാണു്-ഏപ്രില്‍ 23-നു്.

ഈസ്റ്റര്‍ വരാവുന്ന ഏറ്റവും ആദ്യവും അവസാനവുമായ തീയതികള്‍ മാര്‍ച്ച് 23, ഏപ്രില്‍ 25 എന്നിവയാണെന്നുള്ളതിന്റെ ഒരു വിശദീകരണം ഇവിടെ വായിക്കുക.

ലോകത്തിലെല്ലാ ക്രിസ്ത്യാനികളും ഇക്കൊല്ലം മാര്‍ച്ച് 23-നാണോ ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിക്കുന്നതു്?

അല്ല എന്നതാണു് ഉത്തരം. കത്തോലിക്കരും പ്രോട്ടസ്റ്റന്റ് വിഭാഗക്കാരും മാര്‍ച്ച് 23-നായിരുന്നു ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിച്ചതു്. എങ്കിലും ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് ക്രിസ്ത്യാനികള്‍ (യൂ‍റോപ്പിലാണു് ഇവരില്‍ അധികം ആളുകളും) ഏപ്രില്‍ 27-നാണു് ഇക്കൊല്ല്ലം ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിക്കുന്നതു്.

കേരളത്തിലെ ഓര്‍ത്തോഡോക്സ്, പാത്രിയാക്കീസ്/യാക്കോബാ, മാര്‍ത്തോമാ, കല്‍‌ദിയ, സി. എസ്. ഐ., പെന്തക്കോസ്ത്, ബ്രെദറന്‍, റോമന്‍-ലാറ്റിന്‍-മലങ്കര-മലബാര്‍-കത്തോലിക്കര്‍‍ മലബാര്‍ തുടങ്ങി ഹിന്ദുമതത്തിലെ ജാതികളെക്കാളും കേരളാ കോണ്‍ഗ്രസ്സിലെ ഗ്രൂപ്പുകളേക്കാളും കൂടുതല്‍ ക്രിസ്ത്യന്‍ വിഭാഗങ്ങളുള്ളതില്‍ ആരെങ്കിലും മാര്‍ച്ച് 23-നല്ലാതെ ഏപ്രില്‍ 27-നു് ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിക്കുന്നുണ്ടോ? കേരളത്തില്‍ ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് ക്രിസ്ത്യാനികള്‍ ആരുമില്ലേ?

ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കുവാനുള്ള വിവിധ രീതികളും അതിനു പുറകിലെ ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രയുക്തികളും ഇവിടെ എഴുതിയിരുന്നതു് കണക്കു കണ്ടാല്‍ ബോധക്കേടു വരുന്നവരുടെ സൌകര്യാര്‍ത്ഥം ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എന്ന പോസ്റ്റിലേക്കു മാറ്റിയിരിക്കുന്നു. എങ്കിലും അതിന്റെ നൂലാമാലകള്‍ താഴെ വിശദീകരിക്കുന്നു.


ഈസ്റ്റര്‍ എന്നാണു് ആഘോഷിക്കേണ്ടതിന്റെ ഉത്തരം കണ്ടെത്താന്‍ നാം ബൈബിളിനെത്തന്നെ ശരണം പ്രാപിക്കേണ്ടി വരും. യേശുവിനെ കുരിശിലേറ്റിയതിന്റെ തലേ ദിവസം നടന്ന അത്താഴം യഹൂദരുടെ പെസഹാ (passover) ദിവസമായിരുന്നു എന്നു സുവിശേഷങ്ങള്‍ പറയുന്നു.

  • മത്തായി 26:17:

    പുളിപ്പില്ലാത്ത അപ്പത്തിന്റെ ഒന്നാം നാളില്‍ ശിഷ്യന്മാര്‍ യേശുവിന്റെ അടുക്കല്‍ വന്നു: നീ പെസഹ കഴിപ്പാന്‍ ഞങ്ങള്‍ ഒരുക്കേണ്ടതു എവിടെ എന്നു ചോദിച്ചു.

  • മാര്‍ക്കോസ് 14:12:

    പെസഹകുഞ്ഞാടിനെ അറുക്കുന്നതായ പുളിപ്പില്ലാത്ത അപ്പത്തിന്റെ ഒന്നാം നാളില്‍ ശിഷ്യന്മാര്‍ അവനോടു: നീ പെസഹ കഴിപ്പാന്‍ ഞങ്ങള്‍ എവിടെ ഒരുക്കേണം എന്നു ചോദിച്ചു.

  • ലൂക്കോസ് 22:7-8:

    പെസഹകുഞ്ഞാടിനെ അറുക്കേണ്ടുന്ന പുളിപ്പില്ലാത്ത അപ്പത്തിന്റെ പെരുനാള്‍ ആയപ്പോള്‍ അവന്‍ പത്രൊസിനെയും യോഹന്നാനെയും അയച്ചു: നിങ്ങള്‍ പോയി നമുക്കു പെസഹ കഴിപ്പാന്‍ ഒരുക്കുവിന്‍ എന്നു പറഞ്ഞു.

എല്ലാക്കാര്യത്തിലും മറ്റു സുവിശേഷകരുമായി ഭിന്നാഭിപ്രായം പുലര്‍ത്തുന്ന യോഹന്നാന്റെ സുവിശേഷം അനുസരിച്ചു് ക്രിസ്തുവിനെ ക്രൂശിച്ച ദിവസമാണു പെസഹാ.

യോഹന്നാന്‍ 18:28:

പുലര്‍ച്ചെക്കു അവര്‍ യേശുവിനെ കയ്യഫാവിന്റെ അടുക്കല്‍ നിന്നു ആസ്ഥാനത്തിലേക്കു കൊണ്ടുപോയി; തങ്ങള്‍ അശുദ്ധമാകാതെ പെസഹ കഴിപ്പാന്‍ തക്കവണ്ണം ആസ്ഥാനത്തില്‍ കടന്നില്ല.

യോഹന്നാന്‍ 19:13-14:

ഈ വാക്കു കേട്ടിട്ടു പീലാത്തൊസ് യേശുവിനെ പുറത്തു കൊണ്ടുവന്നു, കല്ത്തളമെന്നും എബ്രായ ഭാഷയില്‍ ഗബ്ബഥാ എന്നും പേരുള്ള സ്ഥലത്തു ന്യായാസനത്തില്‍ ഇരുന്നു. അപ്പോള്‍ പെസഹയുടെ ഒരുക്കനാള്‍ ഏകദേശം ആറാം മണിനേരം ആയിരുന്നു. അവന്‍ യെഹൂദന്മാരോടു ഇതാ നിങ്ങളുടെ രാജാവു എന്നു പറഞ്ഞു.

എന്തായാലും പെസഹായ്ക്കു ശേഷമുള്ള ഞായറാഴ്ചയാണു് ഈസ്റ്റര്‍ എന്നു് ഉറപ്പിക്കാം. ഇതാണു് ക്രിസ്തീയസഭകള്‍ അംഗീകരിച്ച നിര്‍വ്വചനം.

നിര്‍വ്വചനം 1: പെസഹായ്ക്കു ശേഷമുള്ള ആദ്യത്തെ ഞായറാഴ്ചയാണു് ഈസ്റ്റര്‍.

ഇനി എന്നാണു പെസഹാ എന്നു നോക്കാം.

യഹൂദരുടെ ഹീബ്രൂ കലണ്ടറിലെ Nisan എന്ന മാസത്തിലെ 15-)ം ദിവസമാണു പെസഹാ. സൂര്യന്‍ ഭൂമദ്ധ്യരേഖയെ തെക്കു നിന്നു വടക്കോട്ടേയ്ക്കു മുറിച്ചു കടക്കുന്ന Vernal equinox-നോ (ഇതു് ഏകദേശം മാര്‍ച്ച് 21-നാണു സംഭവിക്കുന്നതു്) അതിനു ശേഷമോ ഉള്ള ആദ്യത്തെ കറുത്തവാവിനു ശേഷമുള്ള ദിവസമാണു് ഈ മാസം തുടങ്ങുന്നതു്.

ഈ Vernal equinox-നു ഭൂമിയില്‍ എല്ലായിടത്തും പകലിന്റെയും രാത്രിയുടെയും ദൈര്‍ഘ്യം തുല്യമായിരിക്കും. ഈ ദിവസത്തെത്തന്നെയാണു മലയാളികള്‍ വിഷു എന്നു വിളിച്ചതു്, നിര്‍വ്വചനമനുസരിച്ചു്. പക്ഷേ, സൂര്യഗതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കാതെ സ്ഥിരമെന്നു തെറ്റായി വിശ്വസിക്കപ്പെട്ട നക്ഷത്രങ്ങളെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ നടത്ത്തിയതു കൊണ്ടു് (ഈ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ മൂലം ഗ്രഹങ്ങളുടെ geocentric longitude-നു ഏകദേശം 23 ഡിഗ്രിയുടെ വ്യത്യാസം ഇപ്പോഴുണ്ടു്. ഇതിനെയാണു് അയനാംശം എന്നു പറയുന്നതു്.) മേടം 1 എന്നതു് ഏകദേശം ഏപ്രില്‍ 15-നായി. (സൂര്യഗതിയെ അടിസ്ഥാനമാക്കുന്ന പാശ്ചാത്യരുടെ മേടം – Aries – തുടങ്ങുന്നതു മാര്‍ച്ച് 21-നാണെന്നതു ശ്രദ്ധിക്കുക.) അതുകൊണ്ടു് നിര്‍വ്വചനമനുസരിച്ചു് മാര്‍ച്ച് 21-നു വരേണ്ട വിഷു ഏപ്രില്‍ 15-നായി. ഇപ്പോഴും വിഷുവിനു പകലിനും രാത്രിയ്ക്കും ഒരേ ദൈര്‍ഘ്യമാണെന്നു കരുതുന്നവരുണ്ടു്. സൂര്യന്റെ ഉദയാസ്തമയസമയങ്ങളില്‍ നിന്നു് അതൊന്നു കണക്കൂകൂട്ടി നോക്കിയിരുന്നെങ്കില്‍!

കൊന്നപ്പൂക്കള്‍ പൂക്കുന്നതും വിഷുപ്പക്ഷി അലയ്ക്കുന്നതുമൊക്കെ കാലം തെറ്റി നേരത്തേ ആണെന്നു ചിലരൊക്കെ പറയുന്നതു കേള്‍ക്കാറുണ്ടു്. ഇതാവുമോ കാരണം?

അപ്പോള്‍ ഈസ്റ്ററിന്റെ നിര്‍വ്വചനം ഇങ്ങനെ പറയാം.

നിര്‍വ്വചനം 2: മാര്‍ച്ച് 21-നു ശേഷമുള്ള ആദ്യത്തെ കറുത്ത വാവു കഴിഞ്ഞുള്ള പതിനഞ്ചാം ദിവസത്തിനു ശേഷമുള്ള ഞായറാഴ്ചയാണു് ഈസ്റ്റര്‍.

ഇതു തെറ്റാണെന്നു് ഇക്കൊല്ലത്തെ ഈസ്റ്റര്‍ നോക്കിയാല്‍ അറിയാം. മാര്‍ച്ച് 21-നു ശേഷമുള്ള കറുത്ത വാവു് ഏപ്രില്‍ 6-നു്. അതു കഴിഞ്ഞുള്ള 15–)ം ദിവസം ഏപ്രില്‍ 21. അതിനു ശേഷമുള്ള ഞായറാഴ്ച ഏപ്രില്‍ 27. അന്നല്ലല്ലോ ഈസ്റ്റര്‍, മാര്‍ച്ച് 23-നല്ലേ? എവിടെയോ പ്രശ്നമുണ്ടല്ലോ?

ആ പ്രശ്നം തന്നെയാണു് പാശ്ചാത്യരും ഗ്രീക്ക് ഓര്‍ത്തോഡോക്സുകാരും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം. ഗ്രീക്ക് ഓര്‍ത്തോഡോക്സുകാര്‍ യഹൂദരുടെ പെസഹാ കഴിഞ്ഞു മാത്രമേ ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിക്കുകയുള്ളൂ. ഇക്കൊല്ലം അതു് ഏപ്രില്‍ 27-നാണു്.

സത്യക്രിസ്ത്യാനിയും ഗ്രീക്ക് ഓര്‍ത്തോഡോക്സുകാരുടെ കമ്പനിയില്‍ ജോലി ചെയ്യുന്നവനുമായ തമനുവിനോടു ചോദിച്ചപ്പോള്‍ ഇക്കൊല്ലം രണ്ടു ദിവസം (മാര്‍ച്ച് 23-നും ഏപ്രില്‍ 27-നും) അവധി കിട്ടി എന്നതൊഴിച്ചാല്‍ തനിക്കു് ഒരു കുന്തവും അറിയില്ല എന്നു പറഞ്ഞു. ഇവനും ഇലന്തൂര്‍ക്കാരനാണല്ലോ ദൈവമേ!

പിന്നെ കത്തോലിക്കരും പ്രോട്ടസ്റ്റന്റുകാരും ബാക്കിയുള്ളവരും എങ്ങനെ വേറേ ഒരു ദിവസം ആഘോഷിക്കുന്നു?

ഇതിനു കാരണം മുകളിലുള്ള രണ്ടാം നിര്‍വ്വചനത്തില്‍ സൌകര്യത്തിനു വേണ്ടി വരുത്തിയ ഒരു വ്യത്യാസമാണു്.

കറുത്തവാവിനു ശേഷം 15 ദിവസം കഴിഞ്ഞാല്‍ വെളുത്ത വാവാണല്ലോ. അതുകൊണ്ടു് നിര്‍വ്വചനം ഇങ്ങനെ പരിഷ്കരിച്ചു.

നിര്‍വ്വചനം 3: മാര്‍ച്ച് 21-നോ അതിനു ശേഷമോ വരുന്ന ആദ്യത്തെ വെളുത്ത വാവിനു ശേഷം വരുന്ന ആദ്യത്തെ ഞായറാഴ്ചയാണു് ഈസ്റ്റര്‍.

ഇവിടെ ഒരു പ്രശ്നമുണ്ടു്. മാര്‍ച്ച് 21-നു ശേഷം കറുത്ത വാവിനു മുമ്പു വെളുത്ത വാവാണു വരുന്നതെങ്കില്‍ (ഇക്കൊല്ലം അങ്ങനെയായിരുന്നു) കത്തോലിക്കരുടെ ഈസ്റ്റര്‍ നേരത്തേ വരും. ഓര്‍ത്തോഡോക്സ് ഈസ്റ്റര്‍ അതിനു ശേഷം ഒരു മാസം കഴിഞ്ഞേ വരൂ.

അതു പോകട്ടേ. മൂന്നാം നിര്‍വ്വചനമാണു ശരി എന്നു തന്നെ ഇരിക്കട്ടേ. അപ്പോള്‍ അതനുസരിച്ചാണോ ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്?

ഏയ്, അല്ല. ഈ നിര്‍വ്വചനവും പാലിക്കാന്‍ എന്നാണു വെളുത്ത വാവുണ്ടാക്കുന്നതെന്നു കണ്ടുപിടിക്കണ്ടേ? അതിനു് ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രം ഉപയോഗിക്കണ്ടേ? ശാസ്ത്രം എന്നു കേട്ടാല്‍ അതു പറയുന്നവരെ കുന്തത്തില്‍ കുത്തി തീയില്‍ ചുടാനും വിചാരണ നടത്തി കള്ളസത്യം ചെയ്യിക്കാനുമായിരുന്നല്ലോ സഭയ്ക്കു് അന്നു താത്പര്യം!

ഇതിനു വ്യത്യാസം വാന്നിട്ടുണ്ടെന്നതു് ആശാവഹമാണു്. ഗലീലിയോയെയും ഡാര്‍‌വിനെയും കത്തോലിക്കാസഭ ഇപ്പോള്‍ അംഗീകരിക്കുന്നുണ്ടു്. ബൈബിളിലും മറ്റു മതഗ്രന്ഥങ്ങളിലും പറയുന്നതു നൂറു ശതമാനം ശരിയാണെന്നു ശഠിക്കുന്നവര്‍ കുറഞ്ഞു വരുന്നു എന്നതു നല്ല കാര്യം.

ഭൂമിയില്‍ നിന്നു നോക്കുമ്പോള്‍ സൂര്യനും ചന്ദ്രനും കൃത്യം എതിര്‍വശത്തു വരുന്ന (180 ഡിഗ്രി) സമയമാണല്ലോ വെളുത്ത വാവു്. ഇതു് ആവര്‍ത്തിക്കുന്നതു ശരാശരി 29.5307 ദിവസത്തിലൊരിക്കലാണു്. 19 വര്‍ഷത്തില്‍ ശരാശരി 19 x 365.25 = 6939.75 ദിവസം ഉണ്ടു്. ഈ കാലം നേരത്തേ പറഞ്ഞ വെളുത്ത വാവുകള്‍ക്കിടയിലെ കാലയളവിന്റെ ഏകദേശം 235 ഇരട്ടിയാണു്. 235 x 29.5307 = 6939.688. ഈ വസ്തുത (Metonic cycle) പണ്ടേ മനുഷ്യന്‍ ശ്രദ്ധിച്ചിരുന്നു. (എന്റെ പിറന്നാളും ജന്മദിനവും 19 വര്‍ഷത്തിന്റെ കണക്കും എന്ന പോസ്റ്റില്‍ ഇതിനെപ്പറ്റി പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്) ക്രിസ്ത്യന്‍ സഭാശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ ഇതു കൃത്യമായി ഒന്നാകുന്നു എന്നു തീരുമാനിച്ചു.

ബൈബിളില്‍ രാജാക്കന്മാരുടെ ഒന്നാം പുസ്തകത്തില്‍ (7:23) “അവന്‍ ഒരു കടല്‍ വാര്‍ത്തുണ്ടാക്കി; അതു വൃത്താകാരമായിരുന്നു; അതിന്നു വക്കോടു വക്കു പത്തു മുഴവും ഉയരം അഞ്ചു മുഴവും ചുറ്റും മുപ്പതുമുഴം നൂലളവും ഉണ്ടായിരുന്നു…” എന്നു പറഞ്ഞതുകൊണ്ടു് പൈ (π) യുടെ മൂല്യം 3 എന്നു കരുതിയാല്‍ മതി എന്നു വാദിക്കുന്നവരാണു കടുത്ത വിശ്വാസികള്‍. (അമേരിക്കയില്‍ ഇന്‍ഡ്യാന സ്റ്റേറ്റില്‍ ഒരിക്കല്‍ ഒരു ബില്ലു വരെ വന്നതാണു് ഇങ്ങനെ. രാഷ്ട്രീയക്കാരും കണക്കു തന്നെ!) അതിനെ അപേക്ഷിച്ചു നോക്കുമ്പോള്‍ ഇതു് വളരെ ചെറിയ ഒരു അപരാധം മാത്രം!

അപ്പോള്‍ സംഗതി വളരെ എളുപ്പം. വര്‍ഷത്തെ 19 കൊണ്ടു ഹരിക്കുക. ശിഷ്ടം കാണുക. ഒന്നു കൂട്ടുക. 1 മുതല്‍ 19 വരെയുള്ള ഒരു സംഖ്യ കിട്ടും. ഓരോ സംഖ്യയ്ക്കും ഒരു തീയതിയുണ്ടാവും, മാര്‍ച്ച് 21-നു ശേഷമുള്ള ആദ്യത്തെ വെളുത്ത വാവായി. സഭ അതിനു താഴെപ്പറയുന്ന ഒരു പട്ടികയുണ്ടാക്കി.

1  : ഏപ്രില്‍ 5
2  : മാര്‍ച്ച് 25
3  : ഏപ്രില്‍ 13
4  : ഏപ്രില്‍ 2
5  : മാര്‍ച്ച് 22
6  : ഏപ്രില്‍ 10
7  : മാര്‍ച്ച് 30
8  : ഏപ്രില്‍ 18
9  : ഏപ്രില്‍ 7
10  : മാര്‍ച്ച് 27
11  : ഏപ്രില്‍ 15
12  : ഏപ്രില്‍ 4
13  : മാര്‍ച്ച് 24
14  : ഏപ്രില്‍ 12
15  : ഏപ്രില്‍ 1
16  : മാര്‍ച്ച് 21
17  : ഏപ്രില്‍ 9
18  : മാര്‍ച്ച് 29
19 : ഏപ്രില്‍ 17
ഇതു് ഇപ്പോള്‍ തെറ്റാണെന്നു പറയേണ്ടതില്ലല്ലോ. ഉദാഹരണമായി 2008 = 105 x 19 + 13. ശിഷ്ടം 13 വന്നാല്‍ സംഖ്യ 14. വെളുത്ത വാവു് ഏപ്രില്‍ 12. ഇക്കൊല്ലം മാര്‍ച്ച് 21-നും ഏപ്രില്‍ 20-നുമായിരുന്നു വെളുത്ത വാവു്. നമ്മള്‍ ഇപ്പോള്‍ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടര്‍ ഉപയോഗിക്കുന്നതു കൊണ്ടാണു് ഇതു്. അതിനെപ്പറ്റി വിശദവിവരങ്ങള്‍ താഴെ.

പട്ടികയില്‍ നിന്നു വെളുത്തവാവുദിവസം കണ്ടുപിടിച്ചു് അതിനു ശേഷം വരുന്ന ഞായറാഴ്ചയായി ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിച്ചു. (വെളുത്ത വാവു് ഞായറാഴ്ചയാണെങ്കില്‍ അതിനടുത്ത ഞായറാഴ്ചയാണു് ഈസ്റ്റര്‍).

പില്‍ക്കാലത്തു വന്ന ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ ഈ പട്ടികയെ ഒരു ഗണിത/അല്‍ഗരിതരൂപത്തില്‍ ആക്കാന്‍ പറ്റുമോ എന്നു ശ്രമിച്ചു. അവര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച വഴി ഇങ്ങനെ: മാര്‍ച്ച് 22-നുള്ള ചന്ദ്രന്റെ “പ്രായം” കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഒരു സൂത്രവാക്യം ഉണ്ടാക്കി. അതായതു് കറുത്ത വാവു കഴിഞ്ഞു് എത്ര ദിവസം കഴിഞ്ഞാണു മാര്‍ച്ച് 22 വരുന്നതെന്നു്. അതില്‍ നിന്നു പിന്നീടുള്ള വെളുത്ത വാവും അതിനു ശേഷമുള്ള ഞായറാഴ്ചയും കണക്കു കൂട്ടി.


ഇങ്ങനെ ഈസ്റ്റര്‍ ആഘോഷിച്ചു വരുന്ന വേളയിലാണു് കലണ്ടര്‍ പരിഷ്കരണം ഉണ്ടായതു്. എല്ല്ലാ നാലുകൊല്ലത്തിലൊരിക്കല്‍ അധിവര്‍ഷം വരുന്നതും വര്‍ഷത്തിനു കൃത്യം 365.25 ദിവസം എന്നു കണക്കു കൂട്ടുന്നതുമായ ജൂലിയന്‍ കലണ്ടര്‍ കൃത്യമല്ലെന്നും, 400 കൊണ്ടു നിശ്ശേഷം ഹരിക്കാന്‍ പറ്റാത്ത 1900, 1800 തുടങ്ങിയ നൂറ്റാണ്ടുകളെ അധിവര്‍ഷമല്ലാതെ കണക്കാക്കുന്ന ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടര്‍ ഉപയോഗിക്കണം എന്നും ശാസ്ത്രജ്ഞര്‍ വാദിച്ചു. പല രാജ്യങ്ങളും ഇതിനെ ആദ്യമൊന്നും അംഗീകരിച്ചില്ല. കാരണം 19 വര്‍ഷത്തിലെ ആവര്‍ത്തനം ഈ പരിഷ്കാരത്തിനു ശേഷം വളരെ ബാ‍ലിശമായിപ്പോകും. അവസാനം ഈസ്റ്ററിനു ഫലപ്രദമായ ഒരു കണക്കുകൂട്ടല്‍ ഉണ്ടാക്കിയതിനു ശേഷം മാത്രമേ പലരും ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിനെ അംഗീകരിച്ചുള്ളൂ. പതിനാറാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ ആരംഭിച്ച ജൂലിയന്‍-ഗ്രിഗോറിയന്‍ മാറ്റം ലോകരാഷ്ട്രങ്ങള്‍ എല്ലാം അംഗീകരിച്ചതു് ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിലാണു്. ഈസ്റ്റര്‍ തന്നെയായിരുന്നു പ്രധാന പ്രശ്നം.

ഈസ്റ്ററിന്റെ കണക്കുകൂട്ടല്‍ പിന്നെയും സങ്കീര്‍ണ്ണമായി. ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിനു വേണ്ടി വരുന്ന കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ ഒരു വശത്തു്. ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രവ്യവസ്ഥകളൊക്കെ കാറ്റില്‍ പറത്തി 19 വര്‍ഷത്തിന്റെ ചാന്ദ്രചക്രത്തെ അടിസ്ഥാനമാക്കി കണക്കുകൂട്ടിയിരുന്ന ഈസ്റ്റര്‍ ഇനി അതേ പോലെ കണക്കാക്കണമെങ്കില്‍ ഒരുപാടു സങ്കീര്‍ണ്ണതകള്‍ വേണ്ടിവരും. അവസാനം അവയും ശരിയാക്കി. ചന്ദ്രന്റെ “പ്രായം” കണക്കാക്കാനുള്ള തീയതി മാര്‍ച്ച് 22-ല്‍ നിന്നു ജനുവരി 1 ആക്കി. മാര്‍ച്ച് 22-ലെ പ്രായത്തില്‍ നിന്നു് ജനുവരി 1-ലെ പ്രായം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ വഴി കണ്ടുപിടിച്ചു. അതില്‍ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിലെ അധിവര്‍ഷത്തിന്റെ കണക്കുകള്‍ ചേര്‍ത്തു. പിന്നെ മാര്‍ച്ച് 22-നു ശേഷമുള്ള ആദ്യത്തെ വെളുത്ത വാവു കണ്ടുപിടിച്ചു. അതിനടുത്ത ഞായറാഴ്ചയും. ഇതൊക്കെ ചേര്‍ത്തുവെച്ചാല്‍ സാധാരണമനുഷ്യനു് ഒരു എത്തും പിടിയും കിട്ടാത്ത കണക്കുകളായി.

ഇതിനെ ഗണിതസൂത്രവാക്യങ്ങളാക്കാന്‍ പല ഗണിതജ്ഞരും ശ്രമിച്ചു. പ്രസിദ്ധ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ ഗാസ് ആണു് ഒരാള്‍. ഗാസ് ഒരു അടിപൊളി അല്‍ഗരിതം ഉണ്ടാക്കി. പക്ഷേ ഒരു കുഴപ്പം. എല്ലാ വര്‍ഷത്തിനും അതു ശരിയാവില്ല. അതു കഴിഞ്ഞു് പിന്നീടു പട്ടികകള്‍ ഉപയോഗിച്ചു് ശരിയാക്കണം.

പത്തൊന്‍പതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ അവസാനത്തിലും ഇരുപതാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ ആദ്യത്തിലുമാണു് ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള കുറ്റമറ്റ ഗണിതരീതികള്‍ ഉണ്ടായതു്. അവയെപ്പറ്റിയുള്ള വിശദമായ വിവരണം ഈസ്റ്റര്‍ കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എന്ന പോസ്റ്റില്‍ വാ‍യിക്കാം.

2006 മാര്‍ച്ചില്‍ എഴുതിത്തുടങ്ങിയതാണു് ആ പോസ്റ്റ്. ആ ഈസ്റ്ററിനു പ്രസിദ്ധീകരിക്കാനായിരുന്നു പ്ലാന്‍. അതു നടന്നില്ല. അടുത്ത ഈസ്റ്ററായപ്പോഴേക്കും ജോലി മാറല്‍, വീടുവില്പന തുടങ്ങിയ തിരക്കുകളായി. ഇക്കൊല്ലമെങ്കിലും ഈസ്റ്ററിനു തൊട്ടുമുമ്പു പ്രസിദ്ധീകരിക്കണമെന്നു കരുതി. നടന്നില്ല. ഇനിയെങ്കിലും ഇതിട്ടില്ലെങ്കില്‍ ഇനി ഒരിക്കലും പറ്റിയില്ലെങ്കിലോ? അതാണു വൈകിയാണെങ്കിലും ഇപ്പോള്‍ പ്രസിദ്ധീകരിക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചതു്.

ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ ആകെ ഇതു മാത്രമേ സങ്കീര്‍ണ്ണമായുള്ളൂ. ഭാരതത്തിലെ കലണ്ടറുകളുടെ സങ്കീര്‍ണ്ണതകളുമായി താരതമ്യപ്പെടുത്തിയാല്‍ ഇതു് ഒന്നുമല്ല. നമ്മുടെ വിശേഷദിവസങ്ങളും മറ്റും കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ സൂര്യോദയാസ്തമയസമയം തുടങ്ങി ഒരുപാടു കാര്യങ്ങള്‍ നോക്കണം. ഇതു പോലെ ഒരു പ്രശ്നം 1957-ല്‍ ഇന്ത്യയില്‍ ശകവര്‍ഷം പരിഷ്കരിച്ചപ്പോഴും ഉണ്ടായി. ഇപ്പോള്‍ വിശേഷദിവസങ്ങളില്‍ പലതും പഴയ നിര്‍വ്വചനങ്ങളുമായി ഒത്തു പോകുന്നില്ല. അതിനെപ്പറ്റി എഴുതാന്‍ വേറെയൊരു വലിയ പോസ്റ്റു തന്നെ വേണം. അതെഴുതിയാല്‍ മധുരാജിന്റെ ഈ ചോദ്യത്തിനു് ഉത്തരവുമാകും.


ജൂലിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ 28 വര്‍ഷത്തില്‍ തീയതി-ആഴ്ച കലണ്ടര്‍ ആവര്‍ത്തിയ്ക്കും. 19 വര്‍ഷത്തിലൊരിക്കല്‍ ചാന്ദ്രചക്രവും. ഈസ്റ്റര്‍ രണ്ടിനെയും ആശ്രയിക്കുന്നതുകൊണ്ടു് 28 x 19 = 532 വര്‍ഷത്തില്‍ ഈസ്റ്റര്‍ തീയതികള്‍ ആവര്‍ത്തിക്കും. ഗ്രിഗോരിയന്‍ കലണ്ടരില്‍ സംഭവം ആകെ മാറി. തീയതി-ആ‍ഴ്ച കലണ്ടര്‍ 400 കൊല്ലത്തിലൊരിക്കലേ ആവര്‍ത്തിക്കൂ. ചാന്ദ്രചക്രം 14250 വര്‍ഷത്തിലും. അതിനാല്‍ 57,00,000 വര്‍ഷത്തില്‍ ഒരിക്കലേ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ ഈസ്റ്റര്‍ തീയതികള്‍ ആവര്‍ത്തിക്കൂ.

ഈ 57,00,000 വര്‍ഷത്തെ ചക്രത്തില്‍ ഏറ്റവും കൂടുതല്‍ തവണ വരുന്ന ഈസ്റ്റര്‍ തീയതി ഏപ്രില്‍ 19 ആണത്രേ – 3.87%. ഏറ്റവും കുറവു് മാര്‍ച്ച് 22-ഉം – 0.48%. വിശദവിവരങ്ങള്‍ ഇവിടെ.


ഗ്രഹചലനങ്ങളുടെ സിദ്ധാന്തങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കിയ ജോഹനാസ് കെപ്ലര്‍ ഒരിക്കല്‍ പറഞ്ഞു: “ഈസ്റ്റര്‍ ഒരു ആഘോഷം മാത്രമാണു്, ഗ്രഹമല്ല” (“After all, Easter is a feast, not a planet!”). വിശ്വാസത്തില്‍ അധിഷ്ഠിതമായ ആ ആഘോഷം ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രനിര്‍വ്വചനങ്ങള്‍ അനുസരിച്ചു തന്നെ വേണമെന്നു നിര്‍ബന്ധമില്ല. ഈസ്റ്ററും ക്രിസ്തുമസ്സുമൊക്കെ നല്‍കുന്ന സന്ദേശമാണു പ്രധാനം. ഹിന്ദുക്കളെപ്പോലെ ഗ്രഹങ്ങള്‍ ചില സ്ഥലങ്ങളില്‍ നീല്‍ക്കുന്ന ദിവസങ്ങള്‍ മറ്റുള്ളവയെക്കാള്‍ കൂടുതല്‍ വിശുദ്ധമാണു് എന്ന വിശ്വാസവും ക്രിസ്ത്യാനികള്‍ക്കു പൊതുവേ ഇല്ല.


രാജേഷ് വര്‍മ്മയുടെ ഒരു കഥയാണു് “ഉയിര്‍ത്തെഴുന്നേല്‍ക്കണ്ടായിരുന്നു…”.

കഥയുടെ ശീര്‍ഷകമല്ല, മൊത്തം കഥ തന്നെയാണു് അതു്. കഥ ഇവിടെ.

രാജേഷിന്റെ ക്രിസ്തു അങ്ങനെ പറഞ്ഞതു് ഒരു പക്ഷേ ഉയിര്‍ത്തെഴുന്നേല്‍പ്പിനെച്ചൊല്ലി നടക്കുന്ന കോലാഹലങ്ങള്‍ കണ്ടായിരിക്കും, അല്ലേ?

കലണ്ടര്‍ (Calendar)
ഗണിതം (Mathematics)

Comments (17)

Permalink

പിറന്നാളും ജന്മദിനവും 19 വര്‍ഷത്തിന്റെ കണക്കും

എന്റെ പിറന്നാളും കലണ്ടറും എന്ന പോസ്റ്റില്‍ സങ്കുചിതമനസ്കന്‍ ഇങ്ങനെ ഒരു കമന്റിട്ടു:

19, 38, 57 എന്നിങ്ങനെ 19ന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍ വരുന്ന പിറന്നാളിന്റെ അന്ന് ഡേറ്റ് ഓഫ് ബര്‍ത്തും നാളും ഒന്നായി വരും എന്ന കാര്യം അറിയാമോ?

പിന്നീടു ദേവനു മറുപടിയായി സങ്കുചിതന്‍ ഇതും പറഞ്ഞു:

അപ്പോള്‍ കഴിഞ്ഞ വര്‍ഷം -38 ആം ജന്മദിനം ജൂണ്‍ 16 നു തന്നെ ആയിരുന്നിരിക്കും.

19, 38, 57 തുടങ്ങിയ 19ന്റെ ഗുണിതങ്ങള്‍ വരുന്ന വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ജന്മദിനവും പിറന്നാളും ഒന്നിച്ചു വരുമെന്നു സങ്കുചിതന്‍ പറഞ്ഞതു് ഏറെക്കുറെ ശരിയാണെങ്കിലും, ദേവന്റെ മുപ്പത്തെട്ടാമത്തെ പിറന്നാള്‍ 2007 ജൂണ്‍ 16-നായിരുന്നില്ല. “കിറുകൃത്യം സങ്കൂ” എന്നു ദേവന്‍ പറഞ്ഞതു ശരിയായിരുന്നില്ല്ല. 2007 ജൂലെ 13-നായിരുന്നു. ദേവനെപ്പോലെ ചുരുക്കം ചിലര്‍ക്കു് പിറന്നാളും ജന്മദിനവും ഒരിക്കലും ഒന്നിച്ചു വരില്ല.

ദേവന്‍ തുടര്‍ന്നു ചോദിക്കുന്നു:

ജന്മദിനം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള എന്തെങ്കിലും സൂത്രം വച്ച് ചെയ്തതാണോ അതോ പരിചയമുള്ള ആരെങ്കിലും ഈ തീയതിയില്‍ ജനിച്ചവരാണോ?

ആ സൂത്രമാണു് ഇവിടെ പറയുന്നതു്.


ഇതില്‍ പറയുന്ന എല്ലാ കണക്കുകളും കേരളത്തിലെ കണക്കനുസരിച്ചുള്ള കാലനിര്‍ണ്ണയത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണു്. ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ആലുവയ്ക്കു വേണ്ടി ഞാനുണ്ടാക്കിയ കലണ്ടറില്‍ നിന്നും. മറ്റു സ്ഥലങ്ങളില്‍ അല്പം വ്യത്യാസങ്ങള്‍ വന്നേക്കാം.

അതു പോലെ, “ജന്മദിനം” എന്നതുകൊണ്ടു് ഇവിടെ വിവക്ഷിക്കുന്നതു് date of birth ആണു്. ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറില്‍ ജനിച്ച മാസവും തീയതിയും എല്ലാ വര്‍ഷവും വരുന്ന തീയതി. “പിറന്നാള്‍” എന്നതു മലയാളം കലണ്ടറനുസരിച്ചു്, ജനിച്ച മലയാളമാസത്തിലെ ജന്മനക്ഷത്രം വരുന്ന ദിവസവും. ജന്മനക്ഷത്രം ഒരു മാസത്തില്‍ രണ്ടു തവണ വന്നാല്‍, രണ്ടാമത്തെ ദിവസമാണു പിറന്നാള്‍.


ജനിച്ച ദിവസം മുതല്‍ 19 വയസ്സു പൂര്‍ത്തിയാക്കുന്നതു വരെ 19 വര്‍ഷങ്ങള്‍ ഉണ്ടല്ലോ. അവയില്‍ അധിവര്‍ഷങ്ങളിലെ ഫെബ്രുവരി 29 നാലോ അഞ്ചോ തവണ വരാം. (ജനിച്ചതു് ഒരു ഫെബ്രുവരി 29 കഴിഞ്ഞു് ഒരു വര്‍ഷത്തിനുള്ളിലാണെങ്കില്‍ 4, അല്ലെങ്കില്‍ 5. അതായതു്, 365/1461 = 24.98% ആളുകള്‍ക്കു 4, ബാ‍ക്കിയുള്ള 75.02% ആളുകള്‍ക്കു് 5.)

അതായതു്, മുകളില്‍ പറഞ്ഞ 24.98% ആളുകള്‍ ജനിച്ചതിനു ശേഷം 365 x 19 + 4 = 6939 ദിവസത്തിനു ശേഷമാണു് പത്തൊന്‍പതാം ജന്മദിനം ആഘോഷിക്കുന്നതു്. ബാക്കി 75.02% ആളുകള്‍ 6940 ദിവസത്തിനു ശേഷവും.

ഇനി, ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിയ്ക്കു ചുറ്റും ഒരു തവണ കറങ്ങാന്‍ ശരാശരി 27.3217 ദിവസം എടുക്കും. (പ്രപഞ്ചത്തിലെ ഏതെങ്കിലും സ്ഥിരദിശയെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണു് ഇതു്. സൂര്യനെ അടിസ്ഥാനമാക്കിയാണെങ്കില്‍ ഇതു് 29.5307 ദിവസമാണു്. കൂടുതല്‍ വിവരങ്ങള്‍ താഴെ.) ഈ സമയം കൊണ്ടാണു് അതേ നാള്‍ തന്നെ വീണ്ടും വരുന്നതു്.

19 വര്‍ഷത്തിലുള്ള ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണമായ 6940 ഏകദേശം 27.3217-ന്റെ ഗുണിതമാണു്. 254 x 27.3217 = 6939.7118. അതുകൊണ്ടാണു് ജന്മദിനവും പിറന്നാളും 19 വര്‍ഷത്തില്‍ ഒന്നിയ്ക്കുന്നതു്. എങ്കിലും 24.98% ആളുകള്‍ക്കു് മിക്കവാറും ഒരു ദിവസത്തെ വ്യത്യാസം ഉണ്ടാവും.

6940 – 6939.7118 = 0.2882 ദിവസമാണു് 19 വര്‍ഷം കൊണ്ടു് ഉണ്ടാകുന്നതു്. 38, 57, 76, 95 വര്‍ഷങ്ങളില്‍ ഇതു് യഥാക്രമം 0.5764, 0.8646, 1.1528, 1.441 ദിവസങ്ങളാണു്. അതായതു്, ഇവ തമ്മില്‍ ഒന്നിക്കാനുള്ള സാദ്ധ്യത കുറഞ്ഞുവരുന്നു എന്നര്‍ത്ഥം.


കലണ്ടര്‍ നിര്‍മ്മിച്ച മിക്കവാറും എല്ലാവരും തന്നെ ഈ 19 വര്‍ഷത്തിന്റെ പ്രത്യേകത കണ്ടിരുന്നു. പക്ഷേ മുകളില്‍ പറഞ്ഞതല്ല എന്നു മാത്രം. ഒരു സ്ഥിരദിശയെ അവലംബിച്ചുള്ള വ്യതിയാനം ശ്രദ്ധിക്കാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടാണു്.

പാശ്ചാത്യര്‍ ശ്രദ്ധിച്ചതു മറ്റൊരു യോജിപ്പാണു്. രണ്ടു കറുത്ത വാവുകള്‍ക്കിടയിലുള്ള സമയം 29.5307 ദിവസമാണു്.

ഭൂമി സൂര്യനു ചുറ്റും കറങ്ങുന്നതു കൊണ്ടാണു് ഇതു്. ചന്ദ്രന്‍ ഒരു തവണ ചുറ്റി വരുമ്പോഴേയ്ക്കും ഭൂമി കുറേ പോയിട്ടുണ്ടാവും. വര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം 365.242191 ആയതിനാല്‍ ഇതു കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ എളുപ്പമാണു്.

ഇതാണു് ഒരു തിഥിചക്രം. ഈ കാലയളവാണു ചാന്ദ്രമാസം. ഇതിന്റെ അടിസ്ഥാനത്തിലാണു് മാസം എന്ന (30 ദിവസം) ആശയം ഉണ്ടായതു്. ഇസ്ലാമിക് കലണ്ടര്‍ ഇപ്പോഴും 12 ചാന്ദ്രമാസങ്ങളടങ്ങിയ വര്‍ഷമാണു് ഉപയോഗിക്കുന്നതു്. പ്രാചീനഭാരതീയകലണ്ടറുകളിലെയും മാസങ്ങള്‍ ചാന്ദ്രമാസങ്ങളായിരുന്നു.

6940 ദിവസങ്ങള്‍ ഇതിന്റെയും ഒരു ഏകദേശഗുണിതമാണു്. 235 x 29.5307 = 6939.688. ഇതാണു ഭൂരിപക്ഷം കലണ്ടര്‍‌നിര്‍മ്മാതാക്കളും ശ്രദ്ധിച്ച Metonic cycle. ഇവ രണ്ടും ഒരുപോലെ വന്നതു തികച്ചും യാദൃച്ഛികം.

സത്യം പറഞ്ഞാല്‍ അതു യാദൃച്ഛികമല്ല. ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിക്കു ചുറ്റും ഏകദേശം 12 തവണ ചുറ്റുമ്പോള്‍ ഭൂമി സൂര്യനെ ഏകദേശം ഒരു തവണ ചുറ്റുന്നതുകൊണ്ടു് 12 x 29.5307 = 354.3684 എന്നതും 13 x 27.3217 = 355.1821 എന്നതും വളരെ അടുത്തു വരുന്നതു കൊണ്ടു് നക്ഷത്രചക്രവും തിഥിചക്രവും ഓരോ വര്‍ഷത്തിലും ഏതാണ്ടു് അടുത്തു വരുന്നുണ്ടു്. ഓണം എന്നും പൌര്‍ണ്ണമിയ്ക്കടുത്തു വരുന്നതു പലരും ശ്രദ്ധിച്ചിരിക്കും. അതുപോലെ പിറന്നാളുകളും ഒരു പ്രത്യേക തിഥിയ്കായിരിക്കും എല്ലാ വര്‍ഷവും. 19 വര്‍ഷങ്ങള്‍ കൊണ്ടു് 6939.7118 – 6939.688 = 0.0238 ദിവസത്തിന്റെ വ്യത്യാസമേ നക്ഷത്രചക്രവും തിഥിചക്രവും തമ്മില്‍ ഉണ്ടാകുന്നുള്ളൂ. അതുകൊണ്ടാണു രണ്ടും ശരിയായതു്.

ഇത്രയും പറഞ്ഞതു്, 19 വര്‍ഷത്തിന്റെ Metonic cycle പലയിടത്തും കാണാം. ഉദാഹരണമായി വിക്കിപീഡിയയില്‍. അതു കൊണ്ടാണു് 19 വര്‍ഷത്തിലൊരിക്കല്‍ നാളും ജന്മദിനവും ഒന്നിക്കുന്നതെന്നു ചിലര്‍ ധരിച്ചിട്ടുണ്ടു്. അതു തെറ്റാണു്.


ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിക്കു ചുറ്റും കറങ്ങുന്നതു ന്യൂ ഇയറിന്റെ തലേ രാത്രിയില്‍ മഴനൂലുകള്‍ നടക്കുന്നതുപോലെയാണു്. അത്ര ക്രമത്തിലൊന്നുമല്ല എന്നര്‍ത്ഥം. അത്ര കൃത്യമായി കണക്കുകൂട്ടേണ്ട ആവശ്യം നമുക്കില്ല. ശരാശരി 27.3217 ദിവസം കൊണ്ടാണു് ചന്ദ്രന്‍ ഭൂമിയ്ക്കു ചുറ്റും കറങ്ങുന്നതു്. അതു് ഒരു ക്രമത്തിലാണെന്നു കരുതിയാല്‍ (കല്യാണത്തിനു ശേഷം മഴനൂലുകള്‍ അങ്ങനെയാണെന്നാണു കേള്‍ക്കുന്നതു്) ഒരു നക്ഷത്രത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം 27.3217/27 = 1.01191 ദിവസമാണെന്നു കാണാം. മറ്റൊരു വിധത്തില്‍ പറഞ്ഞാല്‍, ഒരു ദിവസത്തില്‍ ശരാശരി 27/27.3217 = 0.988225476 നക്ഷത്രം മാറും. ഇതില്‍ നിന്നു് നമുക്കു് ഓരോ ജന്മദിനത്തിലെയും നക്ഷത്രം കണ്ടുപിടിക്കാമോ എന്നു നോക്കാം.

ആദ്യത്തെ പടി, ഓരോ ജന്മദിനവും എത്ര ദിവസത്തിനു ശേഷമാണു് എന്നറിയണം. ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം ഏകദേശം 365.25 ദിവസം ആണെങ്കിലും അങ്ങനെയല്ലല്ലോ വര്‍ഷത്തിന്റെ കിടപ്പു്. മൂന്നു തവണ 365 ദിവസവും നാലാമത്തെ വര്‍ഷം 366 ദിവസവുമാണു് ഒരു വര്‍ഷത്തിന്റെ ദൈര്‍ഘ്യം.

ഇതു പൂര്‍ണ്ണമായി ശരിയല്ല. എങ്കിലും 1901 മുതല്‍ 2099 വരെ ഇതു ശരിയാണു്. ഇതു വായിക്കുന്ന ആരും ഈ കാലയളവിനു വെളിയില്‍ ജന്മദിനം ആഘോഷിക്കാന്‍ സാദ്ധ്യതയില്ലാത്തതു കൊണ്ടു് നമുക്കു് ഇത്രയും ആലോചിച്ചാല്‍ മതി. ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടറിന്റെ വിശദവിവരങ്ങള്‍ക്കു് എന്റെ ഗ്രിഗോറിയന്‍ കലണ്ടര്‍ എന്ന പോസ്റ്റു വായിക്കുക.

ഇതു മൂലം ജന്മദിനത്തിനും വ്യത്യാസമുണ്ടാവും. 2006 ജൂണ്‍ 1-നു ജനിച്ച ഒരു കുഞ്ഞു് 365 ദിവസത്തിനു ശേഷം 2007 ജൂണ്‍ 1-നു് ഒന്നാം ജന്മദിനം ആഘോഷിക്കുമ്പോള്‍ (അതു് ഒന്നാമത്തേതോ രണ്ടാമത്തേതോ എന്ന പഴയ പ്രഹേളിക നമുക്കു തത്ക്കാലം മറക്കാം.) 2008-നു രണ്ടാം ജന്മദിനം ആഘോഷിക്കുന്നതു് പിന്നെ 366 ദിവസങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമാണു്. (2008-ല്‍ ഫെബ്രുവരിയ്ക്കു് 29 ദിവസങ്ങളുണ്ടു്). കൃത്യമായ അന്തരാളത്തിലല്ല നാം ജന്മദിനം ആഘോഷിക്കുന്നതു് എന്നര്‍ത്ഥം.

ഇതില്‍ നിന്നു് നാലുതരം വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു് (അധിവര്‍ഷം, അധിവര്‍ഷം+1, അധിവര്‍ഷം+2, അധിവര്‍ഷം+3) നാലു തരത്തിലാണു കണക്കുകൂട്ടേണ്ടതു് എന്നു കാണാം.

വര്‍ഷം 4k 4k+1 4k+2 4k+3
1 1 x 365 1 x 365 1x 365 1 x 365 + 1
2 2 x 365 2 x 365 2 x 365 + 1 2 x 365 + 1
3 3 x 365 3 x 365 + 1 3 x 365 + 1 3 x 365 + 1
4 4 x 365 + 1 4 x 365 + 1 4 x 365 + 1 4 x 365 + 1
5 5 x 365 + 1 5 x 365 + 1 5 x 365 + 1 5 x 365 + 2
6 6 x 365 + 1 6 x 365 + 1 6 x 365 + 2 6 x 365 + 2
7 7 x 365 + 1 7 x 365 + 2 7 x 365 + 2 7 x 365 + 2
8 8 x 365 + 2 8 x 365 + 2 8 x 365 + 2 8 x 365 + 2
9 9 x 365 + 2 9 x 365 + 2 9 x 365 + 2 9 x 365 + 3
10 10 x 365 + 2 10 x 365 + 2 10 x 365 + 3 10 x 365 + 3
n

-നേക്കാള്‍ ചെറിയ ഏറ്റവും വലിയ പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യയെയാണു് എന്നതു കൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്. ഉദാ:

ചുരുക്കം പറഞ്ഞാല്‍, ഒരു വര്‍ഷം (4k+j) എന്ന രൂപത്തിലാണെങ്കില്‍ (k ഒരു പൂര്‍ണ്ണസംഖ്യ, j=0, 1, 2 or 3), n വര്‍ഷങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമുള്ള ജന്മദിനം

ദിവസങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമാണെന്നു കാണാം.

നമുക്കിനി ഒരുദാഹരണം നോക്കാം. 1969 ജൂണ്‍ 16-നു ജനിച്ച ദേവന്‍ 2008 ജൂണ്‍ 16-നു മുപ്പത്തൊമ്പതാം ജന്മദിനം ആഘോഷിക്കുന്നതു് എത്ര ദിവസങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമാണു്?

1969 = 4 x 492 + 1 ആയതുകൊണ്ടു് മുകളില്‍ j = 1. അതുപോലെ n = 39. അപ്പോള്‍

ദിവസങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമാണു ബഡ്വൈസനെ പൊട്ടിക്കുന്നതു്.

ജന്മദിനം ജനുവരിയിലോ ഫെബ്രുവരിയിലോ ആണെങ്കില്‍ ഇതിനു് അല്പം വ്യത്യാസമുണ്ടു്. അവര്‍ക്കു് ഒരു വര്‍ഷം നേരത്തേ അധിവര്‍ഷം വരും. ഏറ്റവും എളുപ്പമുള്ള വഴി അവരെ തലേ വര്‍ഷത്തിന്റെ ഭാഗമായി കൂട്ടുന്നതാണു്.

ഉദാഹരണമായി, 1972 ജനുവരി 10-നു ജനിച്ച സന്തോഷ് 2008 ജനുവരി 10-നു മുപ്പത്താറാം ജന്മദിനത്തില്‍ പൂര്‍ത്തിയാക്കിയ ദിവസങ്ങള്‍ കാണാന്‍ വേണ്ടി ജനിച്ച വര്‍ഷം തത്ക്കാലത്തേയ്ക്കു് 1971 എന്നു കരുതുക. 1971 = 4 x 492 + 3 ആയതിനാല്‍ j = 3. ഉത്തരം

ദിവസങ്ങള്‍.

അപ്പോള്‍ ഒരു പ്രത്യേകജന്മദിനത്തിനു് എത്ര ദിവസങ്ങള്‍ കഴിഞ്ഞു എന്നു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ നമ്മള്‍ പഠിച്ചു. ഇനി, ഒരു ദിവസത്തില്‍ ശരാശരി 27/27.3217 = 0.988225476 നക്ഷത്രം മാറും എന്നും നമ്മള്‍ കണ്ടു. അപ്പോള്‍ അത്ര ദിവസം കൊണ്ടു് എത്ര നാളുകള്‍ കഴിഞ്ഞു എന്നു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല.

ഒരു ഉദാഹരണം ശ്രദ്ധിച്ചാല്‍ എളുപ്പമാകുമെന്നു തോന്നുന്നു. 1965 നവംബര്‍ 22-നു വൃശ്ചികമാസത്തിലെ വിശാഖം നക്ഷത്രത്തില്‍ ജനിച്ച എന്റെ 2008-ലെ നാല്‍പ്പത്തിമൂന്നാം പിറന്നാള്‍ എന്നാണെന്നു നോക്കാം.

2008 നവംബര്‍ 22 വരെ കടന്നു പോയ ദിവസങ്ങള്‍ ആദ്യം കണ്ടുപിടിക്കാം. 1965 = 4 x 491 + 1, j = 1.

ഇത്രയും ദിവസത്തിനിടയില്‍ കടന്നുപോയ നാളുകള്‍ = 15706 x 0.988225476 = 15521.069 = 15521

27 നാളു കഴിഞ്ഞാല്‍ അതേ നാള്‍ വരുന്നതുകൊണ്ടും 15521 = 574 x 27 + 23 ആയതിനാലും ഇതു് 23 ദിവസത്തിന്റെ വ്യത്യാസമാണു്.

അതായതു് 2008 നവംബര്‍ 22-നു 23 ദിവസം മുമ്പു് വിശാഖമാണു്. അതായതു് ഒക്ടോബര്‍ 30-നു്. അതിനു ശേഷം 27 ദിവസം കഴിഞ്ഞു് (അതായതു് നവംബര്‍ 22-നു 4 ദിവസം കഴിഞ്ഞു്) നവംബര്‍ 26-നും വിശാഖമാണു്.

ഒക്ടോബര്‍ 30, നവംബര്‍ 26 എന്നിവയില്‍ വൃശ്ചികമാസത്തില്‍ വരുന്ന നക്ഷത്രം രണ്ടാമത്തേതായതു കൊണ്ടു് പിറന്നാള്‍ നവംബര്‍ 26-നു്.

ഇത്രയും കണക്കുകൂട്ടലിനെ ഒരു ഗണിതവാക്യമായി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

ഇത്രയുമാണു് പിറന്നാളിനെ അപേക്ഷിച്ചു ജന്മദിനം മുന്നോട്ടു പോയ ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണം.

അപ്പോള്‍ ജന്മദിനത്തില്‍ നിന്നു d ദിവസം കുറച്ചാല്‍ പിറന്നാള്‍ കിട്ടുമോ? കിട്ടണമെന്നില്ല. ആ ദിവസം ജന്മമാസത്തില്‍ ആവണമെന്നില്ല. എങ്കിലും ഏകദേശം 27 ദിവസത്തില്‍ നക്ഷത്രചക്രം ആവര്‍ത്തിക്കുന്നതു കൊണ്ടു് (BD – d), (BD – d – 27), (BD – d + 27), (BD – d + 54) എന്നിവ ജന്മനക്ഷത്രമായിരിക്കും. അതിലൊന്നു് ഏതായാലും ജന്മമാസമായിരിക്കും. ആ ദിവസം തന്നെ പിറന്നാള്‍.

ചുവന്ന പെന്‍സിലും കൂര്‍പ്പിച്ചു് അങ്ങുമിങ്ങും പലായനം ചെയ്യുന്ന ദേവനെപ്പോലെയുള്ള ഓഡിറ്റര്‍മാര്‍ക്കു് ഫോര്‍മുല ശരിയാവില്ല, പട്ടിക തന്നെ വേണം. ഇതാ പട്ടിക. ഈ പട്ടികയില്‍ -31 മുതല്‍ +31 വരെയുള്ള എല്ലാ (രണ്ടെണ്ണമോ മൂന്നെണ്ണമോ) മൂല്യങ്ങളും കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്. ഇവയിലൊന്നു പിറന്നാളായിരിക്കും. പൂജ്യത്തിനോടു വളരെ അടുത്തുള്ളവയെ കട്ടിയുള്ള അക്ഷരത്തില്‍ കാണിച്ചിട്ടുണ്ടു്.

n j = 0 j = 1 j = 2 j = 3
1 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17 -11 , 16
2 -19 , 8 -19 , 8 -20 , 7 -20 , 7
3 -29 , -2 , 25 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24
4 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14
5 -22 , 5 -22 , 5 -22 , 5 -23 , 4 , 31
6 -5 , 22 -5 , 22 -6 , 21 -6 , 21
7 -15 , 12 -16 , 11 -16 , 11 -16 , 11
8 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28
9 -8 , 19 -8 , 19 -8 , 19 -9 , 18
10 -18 , 9 -18 , 9 -19 , 8 -19 , 8
11 -28 , -1 , 26 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25
12 -11 , 16 -11 , 16 -11 , 16 -11 , 16
13 -21 , 6 -21 , 6 -21 , 6 -22 , 5
14 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23 -5 , 22 -5 , 22
15 -13 , 14 -14 , 13 -14 , 13 -14 , 13
16 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30
17 -7 , 20 -7 , 20 -7 , 20 -8 , 19
18 -17 , 10 -17 , 10 -18 , 9 -18 , 9
19 -26 , 1 , 28 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27
20 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17
21 -20 , 7 -20 , 7 -20 , 7 -21 , 6
22 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24
23 -12 , 15 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14
24 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31
25 -5 , 22 -5 , 22 -5 , 22 -6 , 21
26 -15 , 12 -15 , 12 -16 , 11 -16 , 11
27 -25 , 2 , 29 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28
28 -9 , 18 -9 , 18 -9 , 18 -9 , 18
29 -18 , 9 -18 , 9 -18 , 9 -19 , 8
30 -28 , -1 , 26 -28 , -1 , 26 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25
31 -11 , 16 -12 , 15 -12 , 15 -12 , 15
32 -21 , 6 -21 , 6 -21 , 6 -21 , 6
33 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23 -5 , 22
34 -14 , 13 -14 , 13 -15 , 12 -15 , 12
35 -23 , 4 , 31 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30
36 -7 , 20 -7 , 20 -7 , 20 -7 , 20
37 -17 , 10 -17 , 10 -17 , 10 -18 , 9
38 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -28 , -1 , 26 -28 , -1 , 26
39 -9 , 18 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17
40 -20 , 7 -20 , 7 -20 , 7 -20 , 7
41 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -31 , -4 , 23
42 -12 , 15 -12 , 15 -13 , 14 -13 , 14
43 -22 , 5 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31
44 -6 , 21 -6 , 21 -6 , 21 -6 , 21
45 -15 , 12 -15 , 12 -15 , 12 -16 , 11
46 -25 , 2 , 29 -25 , 2 , 29 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28
47 -8 , 19 -9 , 18 -9 , 18 -9 , 18
48 -19 , 8 -19 , 8 -19 , 8 -19 , 8
49 -28 , -1 , 26 -28 , -1 , 26 -28 , -1 , 26 -29 , -2 , 25
50 -11 , 16 -11 , 16 -12 , 15 -12 , 15
     
n j = 0 j = 1 j = 2 j = 3
51 -21 , 6 -22 , 5 -22 , 5 -22 , 5
52 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23
53 -14 , 13 -14 , 13 -14 , 13 -15 , 12
54 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -25 , 2 , 29 -25 , 2 , 29
55 -6 , 21 -7 , 20 -7 , 20 -7 , 20
56 -17 , 10 -17 , 10 -17 , 10 -17 , 10
57 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -28 , -1 , 26
58 -10 , 17 -10 , 17 -11 , 16 -11 , 16
59 -19 , 8 -20 , 7 -20 , 7 -20 , 7
60 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24
61 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14 -14 , 13
62 -22 , 5 -22 , 5 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31
63 -5 , 22 -6 , 21 -6 , 21 -6 , 21
64 -16 , 11 -16 , 11 -16 , 11 -16 , 11
65 -25 , 2 , 29 -25 , 2 , 29 -25 , 2 , 29 -26 , 1 , 28
66 -8 , 19 -8 , 19 -9 , 18 -9 , 18
67 -18 , 9 -19 , 8 -19 , 8 -19 , 8
68 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25
69 -11 , 16 -11 , 16 -11 , 16 -12 , 15
70 -21 , 6 -21 , 6 -22 , 5 -22 , 5
71 -31 , -4 , 23 -5 , 22 -5 , 22 -5 , 22
72 -14 , 13 -14 , 13 -14 , 13 -14 , 13
73 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -25 , 2 , 29
74 -7 , 20 -7 , 20 -8 , 19 -8 , 19
75 -16 , 11 -17 , 10 -17 , 10 -17 , 10
76 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27
77 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17 -11 , 16
78 -20 , 7 -20 , 7 -21 , 6 -21 , 6
79 -29 , -2 , 25 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24
80 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14
81 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -24 , 3 , 30
82 -5 , 22 -5 , 22 -6 , 21 -6 , 21
83 -15 , 12 -16 , 11 -16 , 11 -16 , 11
84 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28 -26 , 1 , 28
85 -8 , 19 -8 , 19 -8 , 19 -9 , 18
86 -18 , 9 -18 , 9 -19 , 8 -19 , 8
87 -28 , -1 , 26 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25 -29 , -2 , 25
88 -12 , 15 -12 , 15 -12 , 15 -12 , 15
89 -21 , 6 -21 , 6 -21 , 6 -22 , 5
90 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23 -5 , 22 -5 , 22
91 -14 , 13 -15 , 12 -15 , 12 -15 , 12
92 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30 -24 , 3 , 30
93 -7 , 20 -7 , 20 -7 , 20 -8 , 19
94 -17 , 10 -17 , 10 -18 , 9 -18 , 9
95 -26 , 1 , 28 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27 -27 , 0 , 27
96 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17 -10 , 17
97 -20 , 7 -20 , 7 -20 , 7 -21 , 6
98 -30 , -3 , 24 -30 , -3 , 24 -31 , -4 , 23 -31 , -4 , 23
99 -12 , 15 -13 , 14 -13 , 14 -13 , 14
100 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31 -23 , 4 , 31

ഇതില്‍ വ്യത്യാസം പൂജ്യത്തിനോടു വളരെ അടുത്തു വരുന്നവ കട്ടിയുള്ള അക്ഷരത്തില്‍ കാണിച്ചിരിക്കുന്നു. ആ വര്‍ഷങ്ങളിലാണു് ജന്മദിനവും പിറന്നാളും ഒന്നിക്കാന്‍ സാദ്ധ്യതയുള്ളതു്. 19-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളില്‍ കട്ടിയക്ഷരമാണുള്ളതെന്നതു ശ്രദ്ധിക്കുക.


ഇനി, ചില സാമാന്യ ചോദ്യങ്ങള്‍:

  1. ഒരിക്കലും (പത്തൊന്‍പതാം പിറന്നാളിനു പോലും) ജന്മദിനവും പിറന്നാളും ഒന്നിച്ചു വരാത്ത ആരെങ്കിലുമുണ്ടോ?

    ഉണ്ടു്. ചില നക്ഷത്രങ്ങള്‍ ഒരു മാസത്തില്‍ രണ്ടെണ്ണം ഉണ്ടാവും. ഒന്നു് മാസത്തിന്റെ ആദിയിലും മറ്റൊന്നു് അവസാനത്തിലും. ഇവയില്‍ ആദ്യത്തെ നാളില്‍ ജനിച്ചവര്‍ക്കു് ഒരിക്കലും ജന്മദിനവും പിറന്നാളും ഒന്നിച്ചു വരില്ല. 19 തുടങ്ങിയ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ അവരുടെ ജന്മദിനത്തിനു തന്നെ നാള്‍ വരുന്നുണ്ടു്. എങ്കിലും, ഒരു മാസത്തില്‍ നാള്‍ രണ്ടു തവണ വരുന്നുണ്ടെങ്കില്‍ അവസാനത്തേതാണു പിറന്നാളായി എടുക്കുന്നതു്. അതുകൊണ്ടാണു് ഇതു്.

  2. 19, 38 തുടങ്ങിയ ജന്മദിനങ്ങളില്‍ പിറന്നാള്‍ വരാത്തവരുണ്ടോ?

    ഉണ്ടു്. നാളിന്റെയും ദിവസത്തിന്റെയും ഒരറ്റത്തു ജനിച്ചവര്‍. ഉദാഹരണമായി, അര്‍ദ്ധരാത്രി കഴിഞ്ഞു് അഞ്ചു നിമിഷത്തിനകം ഒരു നക്ഷത്രം തീരുകയാണെങ്കില്‍ അതിനിടയില്‍ ജനിക്കുന്ന കുട്ടിയുടെ പത്തൊന്‍പതാം പിറന്നാള്‍ വരുന്നതു് ജന്മദിനത്തിന്റെ തലേന്നായിരിക്കും.

    അതു പോലെ, സൂര്യോദയത്തിനു ശേഷം അല്പം കഴിഞ്ഞു് ഒരു നാള്‍ തുടങ്ങുകയാണെങ്കില്‍ അന്നത്തെ നക്ഷത്രം കലണ്ടറില്‍ തലേതായിരിക്കും. അങ്ങനെയും ഒരു ദിവസത്തിന്റെ വ്യത്യാസമുണ്ടാവാം.

    മുകളില്‍ പറഞ്ഞ രണ്ടു കാര്യവും കൂടി ഒന്നിച്ചു വന്നാല്‍ കലണ്ടറില്‍ കാണുന്നതില്‍ നിന്നു രണ്ടു ദിവസം വരെ വ്യത്യാസമുണ്ടാകാം. ഇതു് ഈ പോസ്റ്റില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന എല്ലാ കണക്കുകൂട്ടലുകള്‍ക്കും ബാധകമാണു്.

  3. 19, 38 തുടങ്ങിയവയല്ലാതെ വേറെ ഏതെങ്കിലും ജന്മദിനങ്ങളില്‍ പിറന്നാള്‍ ഉണ്ടാവാമോ?

    ഉണ്ടാവാം. പട്ടികയില്‍ 0 എന്നു വരുന്ന വര്‍ഷങ്ങളിലാണല്ലോ അവ ഒന്നാകുന്നതു്. നക്ഷത്രങ്ങളും ദിവസങ്ങളും ഒന്നിച്ചു തുടങ്ങുകയും കഴിയുകയും ചെയ്യാത്തതുകൊണ്ടു് -1, 1 എന്നിവ വരുന്ന വര്‍ഷങ്ങളിലും ഇതു സംഭവിച്ചേക്കാം. പട്ടിക നോക്കിയാല്‍ 8, 11, 27, 30, 46, 49, 65, 84, 87 എന്നീ വര്‍ഷങ്ങളില്‍ (ഞാന്‍ അവ കട്ടിയുള്ള അക്കങ്ങളില്‍ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്) ഒരു ദിവസത്തെ വ്യത്യാസമേ ഉള്ളൂ എന്നു കാണാം. നാളിന്റെയോ ദിവസത്തിന്റെയോ ഒരറ്റത്തു ജനിച്ചവര്‍ക്കു് വ്യത്യാസം പൂജ്യം ദിവസമായേക്കാം.


ആകെ ചിന്താക്കുഴപ്പമായെങ്കില്‍ ചില ഉദാഹരണങ്ങള്‍:

  1. എന്റെ പേരു് സന്തോഷ്. തുലാമാസത്തിലെ ഭരണി നാളില്‍ ജനിച്ച എന്റെ മകന്‍ അച്ചുവിന്റെ 2007-ലെ പിറന്നാള്‍ ഒക്ടോബര്‍ 27-നായിരുന്നു. 2008-ല്‍ അതു് എന്നാണു്?

    2007 = 501 x 4 + 3 ആയതിനാല്‍ j = 3.

    n = 1, j = 3 എന്നിവയ്ക്കു യോജിച്ച ദിനവ്യത്യാസം പട്ടികയോ ഫോര്‍മുലയോ ഉപയോഗിച്ചു കണ്ടുപിടിച്ചാല്‍ -10, 17 എന്നു കാണാം. അതായതു് ഒക്ടോബര്‍ 7 അല്ലെങ്കില്‍ നവംബര്‍ 13. തുലാമാസമായതിനാല്‍ പിറന്നാള്‍ നവംബര്‍ 13-നു്.

  2. ചോദ്യം: എന്റെ പേരു് ദേവന്‍. ഞാന്‍ ആയിരത്തി തൊള്ളായിരത്തി അറുപത്തൊമ്പത് ജൂണ്‍ പതിനാറിനു ജനിച്ചു. മിഥുനത്തിലെ തിരുവാതിര. എന്റെ മുപ്പത്തെട്ടാം പിറന്നാള്‍ ജന്മദിനത്തിനു തന്നെ ആയിരുന്നു എന്നു സങ്കുചിതന്‍ പറയുന്നു. ശരിയാണോ? എന്റെ മുപ്പത്തൊന്‌പതാം പിറന്നാളിനു ബഡ്‌വൈസര്‍ പൊട്ടിച്ചൊഴിച്ച പാലടപ്രഥമന്‍ കഴിച്ചാല്‍ കൊള്ളാമെന്നുണ്ടു്. (ആലുവായ്ക്കു വടക്കല്ലാത്തതിനാല്‍ മൊളകൂഷ്യം വേണ്ട.) ഈ കരിദിനം എന്നാണു്?

    ഉത്തരം: കുട്ടീ, നിര്‍ത്തി നിര്‍ത്തി ഓരോ ചോദ്യമായി ചോദിക്കൂ. 1969 = 4 x 492 + 1 ആയതിനാല്‍ j = 1.

    1. ഗണിതവാക്യമോ പട്ടികയോ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ j = 1, n = 38 എന്നതിനു നേരേ -27, 0, 27 എന്നു കാണാം. 2007 ജൂണ്‍ 16 തിരുവാതിര തന്നെ. എങ്കിലും അതിനു ശേഷം 27 ദിവസം കഴിഞ്ഞുള്ള ജൂലൈ 13-ഉം തിരുവാതിര തന്നെ. അതും മിഥുനമാസമായതു കൊണ്ടു് അതാണു പിറന്നാള്‍.

      മുകളില്‍ ഒന്നാമതു പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന സ്ഥിതിയാണു ദേവന്റേതു്. അദ്ദേഹത്തിനു് ഒരിക്കലും ജന്മദിനവും പിറന്നാളും ഒരേ ദിവസം വരുകില്ല. മലയാളമാസത്തിലെ ആദ്യത്തെ രണ്ടുമൂന്നു ദിവസങ്ങളില്‍ ജനിക്കുന്നവര്‍ക്കെല്ലാം ഇതാണു സ്ഥിതി.

    2. ഗണിതവാക്യമോ പട്ടികയോ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ j = 1, n = 39 എന്നതിനു നേരേ -10, 17 എന്നു കാണാം. 2008 ജൂണ്‍ 16-നു 10 ദിവസം മുമ്പുള്ള ജൂണ്‍ 6, 17 ദിവസം കഴിഞ്ഞുള്ള ജൂലൈ 3 എന്നിവ തിരുവാതിര തന്നെ. ജനനം മിഥുനത്തിലായതിനാല്‍ പിറന്നാള്‍ ജൂലൈ 3-നു്. അമേരിക്കയ്ക്കു വന്നാല്‍ പിറ്റേ ദിവസം വെടിക്കെട്ടും കാണാം.
  3. ചോദ്യം: എന്റെ പേരു പെരിങ്ങോടന്‍. 1981 മെയ് 11-നു മേടമാസത്തിലെ മകം നക്ഷത്രത്തില്‍ ജനനം. 2007-ലെ എന്റെ പിറന്നാളിനു ഞാന്‍ “ഖകമേ…” എന്നൊരു വിശിഷ്ടകൃതി രചിക്കുകയുണ്ടായി. (പ്രസിദ്ധീകരിച്ചതു് ഏതാനും ദിവസങ്ങള്‍ക്കു ശേഷമാണു്.) 2057-ലെ എന്റെ പിറന്നാളിനു് ഈ കൃതിയുടെ അന്‍പതാം വാര്‍ഷികം ആഘോഷിക്കാന്‍ എന്റെ ആരാധകര്‍ തീരുമാനിച്ചിരിക്കുന്നു. അതിനുള്ള ഒരുക്കം ഇപ്പോഴേ തുടങ്ങി. ഒരു പ്രശ്നമേയുള്ളൂ. അതു് ഏതു തീയതിയാണു് എന്നറിയിക്കണം. സഹായിക്കാമോ?

    ഉത്തരം: 2057-ല്‍ പെരിങ്ങോടനു് 76 വയസ്സു തികയും. 76 എന്നതു 19-ന്റെ ഗുണിതമായതു കൊണ്ടു മിക്കവാറും പിറന്നാള്‍ മെയ് 11-നു തന്നെ ആയിരിക്കും. എങ്കിലും ഒന്നു കണക്കുകൂട്ടി നോക്കാം.

    1981 = 4 x 495 + 1 ആയതു കൊണ്ടു് j = 1. n = 76, j = 1 എന്നിവയ്ക്കു പട്ടികയില്‍ നിന്നോ ഗണിതവാക്യത്തില്‍ നിന്നോ -27, 0, 27 എന്നു കാണാം.

    അതായതു്, 2057 മെയ് 11-നും 27 ദിവസം കഴിഞ്ഞു ജൂണ്‍ 7-നും മകം ആയിരിക്കും എന്നു്. അതില്‍ മേടമാസത്തില്‍ ഉള്ള മകം മെയ് 11 തന്നെ ആയതുകൊണ്ടു് അന്നാണു പെരിങ്ങോടന്റെ പെരിങ്ങോടന്റെ പിറന്നാളും “ഖകമേ…” സുവര്‍ണ്ണജൂബിലിയും.

    അതു പറയാന്‍ വരട്ടേ. കലണ്ടറില്‍ നോക്കിയാല്‍ 2057 മെയ് 11 മകമല്ല പൂയമാണെന്നു കാണാം. മെയ് 13-നാണു മകം.

    മുകളില്‍ കൊടുത്ത രണ്ടാമത്തെ സ്ഥിതിയാണു് ഇതു്. പെരിങ്ങോടന്‍ ജനിച്ച 1981 മെയ് 11-നു രാവിലെ 10:18 വരെ ആയില്യമായിരുന്നു. അതിനു ശേഷം പിറ്റേന്നു രാവിലെ 11:44 വരെയാണു മകം. പെരിങ്ങോടന്റെ ജനനത്തീയതിയില്‍ സൂര്യോദയത്തിനുള്ള നാള്‍ (ഇതു തന്നെയാണു സാധാരണ കലണ്ടറിലും കാണുക) ആയില്യമാണു്.

    ഇനി 2057-ല്‍ മെയ് 12-നു രാവിലെ 8:23-നു മകം തുടങ്ങും. സൂര്യോദയത്തിനു മകം തുടങ്ങാഞ്ഞതു കൊണ്ടു പിറ്റേന്നേ മകമായി കണക്കാക്കൂ എന്നു മാത്രം.

    ഈ രണ്ടു വ്യത്യാസങ്ങളും കൂടി ഒന്നിച്ചു ചേര്‍ന്നപ്പോള്‍ രണ്ടു ദിവസത്തെ വ്യത്യാസമുണ്ടായി എന്നു മാത്രം.

  4. ചോദ്യം: ഞാന്‍ ശനിയന്‍. ഇവന്‍ ശ്രീജിത്ത്. ഞങ്ങള്‍ രണ്ടുപേരും 1979-ലാണു ജനിച്ചതു്. ഞാന്‍ ജനുവരി 14-നു്. (രാവിലെ ജനിച്ചതു കൊണ്ടു് ധനുമാസത്തിലെ പൂയം.) ഇവന്‍ ജൂലൈ 15-നു് (ഉച്ചയ്ക്കു ശേഷം ജനിച്ചതു കൊണ്ടു് മിഥുനമാസത്തിലെ രേവതി.). ഞങ്ങള്‍ ഞങ്ങളുടെ ഷഷ്ടിപൂര്‍ത്തി വിപുലമായി 2039-ല്‍ ആഘോഷിക്കാന്‍ തീരുമാനിച്ചു. ഏതൊക്കെ തീയതിയിലാണു് അവ എന്നു പറയാമോ?

    ഉത്തരം: ശനിയന്‍ ജനുവരിയില്‍ ജനിച്ചതു കൊണ്ടു മുന്‍‌പുള്ള വര്‍ഷം നോക്കണം. 1978 = 4 x 494 + 2, j = 2. ശ്രീജിത്ത് ജൂണിലായതിനാല്‍ j = 3.

    n = 60, എന്നതിനു പട്ടിക ഉപയോഗിച്ചാല്‍ j എത്രയായാലും -30, -3, 24 എന്നു കാണാം. അതായതു് മൂന്നു ദിവസം മുമ്പും 24 ദിവസത്തിനു ശേഷവും. 2039-ല്‍ അതേ മാസത്തില്‍ വരാന്‍ രണ്ടു പേര്‍ക്കും ജന്മദിനത്തിന്റെ മൂന്നു ദിവസം മുമ്പായിരിക്കും ഷഷ്ടിപൂര്‍ത്തി. ശനിയനു ജനുവരി 11-നു്; ശ്രീജിത്തിനു ജൂലൈ 12-നു്.

    പിന്നെ, കാര്യമൊക്കെ കൊള്ളാം, ശ്രീജിത്തിന്റെ കൂടെ എന്തെങ്കിലും ചെയ്തിട്ടുണ്ടെങ്കില്‍ അതു കുളമായിട്ടേ ഉള്ളൂ എന്നു മറക്കേണ്ട!


ചുരുക്കത്തില്‍,

  1. സാധാരണയായി, 19-ന്റെ ഗുണിതങ്ങളായുള്ള ജന്മദിനങ്ങളില്‍ത്തന്നെ പിറന്നാളും വരും.
  2. 19-ന്റെ ഗുണിതമല്ലാത്ത ചില ജന്മദിനങ്ങളിലും ഇതു സംഭവിച്ചേക്കാം. എണ്ണത്തില്‍ കുറവാണെന്നു മാത്രം.
  3. 19-ന്റെ ഗുണിതത്തിലും ചിലര്‍ക്കു് ഉണ്ടാകണമെന്നില്ല. അതിന്റെ തലേന്നോ പിറ്റേന്നോ ആവാം.
  4. ചില ആളുകള്‍ക്കു് ഒരിക്കലും ഇവ രണ്ടും ഒരിക്കലും ഒന്നിച്ചു വരില്ല. ആ മാസത്തിലെ പിന്നീടുള്ള നാളിനാവും പിറന്നാള്‍.
  5. മിക്കവാറും എല്ലാ ആളുകള്‍ക്കും ഈ പോസ്റ്റില്‍ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന സൂത്രവാക്യമോ പട്ടികയോ ഉപയോഗിച്ചു് ഓരോ വര്‍ഷവും ജന്മദിനവും പിറന്നാളും തമ്മിലുള്ള വ്യത്യാസം എത്ര ദിവസമാണെന്നു കണ്ടുപിടിക്കാം. ഇതു തന്നെ നക്ഷത്രങ്ങളെ അടിസ്ഥാനപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ള വിശേഷദിവസങ്ങള്‍ക്കും ഉപയോഗിക്കാം.

ഈ പോസ്റ്റ് ഇന്നലെ (ജനുവരി 14) ജന്മദിനം ആഘോഷിച്ച ശനിയനു സമര്‍പ്പിക്കുന്നു. ഇന്നലെ പോസ്റ്റു ചെയ്യണമെന്നു കരുതിയതാണു്. പറ്റിയില്ല.


എല്ലാവരോടും ഒരു അഭ്യര്‍ത്ഥന:

നിങ്ങള്‍ക്കറിയാവുന്ന തീയതികളും നക്ഷത്രങ്ങളും ഉപയോഗിച്ചു് ഈ പോസ്റ്റില്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്ന കാര്യങ്ങള്‍ ശരിയാണോ എന്നു ദയവായി ടെസ്റ്റു ചെയ്യുക. രണ്ടു ദിവസത്തില്‍ കൂടുതല്‍ വ്യത്യാസമുണ്ടെങ്കില്‍ ദയവായി ഒരു കമന്റു വഴിയോ ഈമെയില്‍ വഴിയോ എന്നെ അറിയിക്കുക.

മുന്‍‌കൂറായി എല്ലാവര്‍ക്കും നന്ദി.

കലണ്ടര്‍ (Calendar)
ഗണിതം (Mathematics)

Comments (20)

Permalink

അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും…

കുറിഞ്ഞി ഓണ്‍‌ലൈന്‍ എന്ന വിജ്ഞാനപ്രദമായ ബ്ലോഗില്‍ (ഇതു് ഇതുവരെ കണ്ടിട്ടില്ലാത്തവര്‍ ശ്രദ്ധിക്കുക. നല്ല വൈജ്ഞാനികലേഖനങ്ങള്‍ക്കു ദാരിദ്ര്യമുള്ള-ഷിജു, സി. എസ്., കൂമന്‍സ്, ദേവന്‍ തുടങ്ങിയവരെ മറക്കുന്നില്ല-ബൂലോഗത്തില്‍ ഇതൊരു മുതല്‍ക്കൂട്ടാണു്) ഒരു പ്രാചീനഗ്രീസ് കണ്ടുപിടിത്തത്തെപ്പറ്റി പറയുന്ന പോസ്റ്റില്‍ ലോനപ്പന്‍ എന്ന ദേവദാസ് ഇങ്ങനെയൊരു കമന്റിട്ടു:

ഒരു രഹസ്യം പറയാം ആരോടും പറയരുത്.
കാല്‍കുലസ് [ഇന്റഗ്രേഷന്‍-ഡിഫരന്‍സിയേഷന്‍] എന്നശാഖയ്ക്ക് “മൈല്‍‌സ്റ്റോണ്‍” ഇട്ടത് ന്യൂട്ടന്‍ ആണെന്നാണ് വെയ്പ്പ്. എന്നാല്‍ 3000 വര്‍ഷം മുമ്പ് ചോമാതിരി എന്ന ഭാരതീയന്‍(സൌതിന്ത്യന്‍) “ഏക ദോകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം” എന്ന് മൊഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്
ച്ചാല്‍ “d/dx of x= 1/2 root(X)” എന്ന്
അതൊക്കെ നാല്‍ കളഞ്ഞ് കുളിച്ചു. വല്ലതും ബാക്കിയുണ്ടോന്ന് ജര്‍മ്മന്‍കാരോട് ചോദിക്കണം.

“[മുകളില്‍ എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടില്‍ ക്ഷമിക്കുക, ഓര്‍മ്മയില്‍ നിന്നെടുത്തതാണ്]” എന്നൊരു മുന്‍‌കൂര്‍ ജാമ്യം എടുത്തിട്ടുണ്ടെങ്കിലും പറയാതെ വയ്യ, “അഞ്ജനമെന്നതു ഞാനറിയും, അതു മഞ്ഞളു പോലെ വെളുത്തിരിക്കും” എന്നതിനു് ഇതിനെക്കാള്‍ നല്ല ഒരു ഉദാഹരണം കുറവായിരിക്കും.

ഇതിലെ തെറ്റുകള്‍:


  1. എന്നതു തെറ്റാണെന്നു കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ബാലപാഠങ്ങള്‍ അറിയുന്ന ആര്‍ക്കും അറിയാം.

    ആണു ശരി. ഒരു പക്ഷേ

    എന്നായിരിക്കും ഉദ്ദേശിച്ചതു്.
  2. 3000 വര്‍ഷമെന്നൊക്കെ പറയുമ്പോള്‍… അതൊരു വലിയ കാലയളവാണല്ലോ. ക്രിസ്തുവിനു മുമ്പു് പത്താം നൂറ്റാണ്ടു്. ശുല്‍ബസൂത്രങ്ങളും മറ്റും ഉണ്ടായിവരുന്നതേ ഉള്ളൂ. ഈ ചോമാതിരിമാരൊക്കെ അന്നുണ്ടോ എന്തോ? എന്തായാലും, കാല്‍ക്കുലസ് ഇല്ല എന്നതു തീര്‍ച്ച. അല്പം കുറച്ചു് 300 എന്നോ മറ്റോ ആക്കാമോ?

    ചോമാതിരി (സോമയാജി) എന്നതു് ഒരു ജാതിപ്പേരാണു് (സോമയാഗം ചെയ്ത നമ്പൂതിരി). ഒരാളുടെ പേരല്ല.

  3. ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ പ്രശസ്തരായ രണ്ടു ചോമാതിരി(സോമയാജി)മാരുണ്ടു്. നീലകണ്ഠസോമയാജിയും(ക്രി. പി. പതിനഞ്ചാം നൂറ്റാണ്ടു്) പുതുമന സോമയാജിയും (ക്രി. പി. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടു്). ധാരാളം കണ്ടുപിടിത്തങ്ങള്‍ ഇവരുടേതായുണ്ടു്. രണ്ടുപേരും ന്യൂട്ടനു മുമ്പുള്ളവര്‍ തന്നെ. പക്ഷേ, ലോനപ്പന്‍ പറയുന്ന അത്രയും മുമ്പല്ല.
  4. ഉദ്ധരിച്ച സംസ്കൃതശ്ലോകഭാഗം കാല്‍ക്കുലസ് അല്ല പറയുന്നതു്. “സങ്കലിതം” ആണു്. 1, 2, 3, … എന്നിങ്ങനെയുള്ള സംഖ്യകളുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും അവയുടെ തുകകളും ഒക്കെയാണു് സങ്കലിതം എന്നതുകൊണ്ടു് ഉദ്ദേശിക്കുന്നതു്.

ഇങ്ങനെ ഭാരതീയജ്ഞാനത്തെപ്പറ്റിയുള്ള അബദ്ധങ്ങള്‍ എഴുന്നള്ളിക്കുന്നവരാണു് നമ്മളെ പലപ്പോഴും മറ്റുള്ളവരുടെ മുന്നില്‍ അപഹാസ്യരാക്കുന്നതു്. ഒറ്റ നോട്ടത്തില്‍ പരമാബദ്ധങ്ങളായ ഇത്തരം കാര്യങ്ങള്‍ ചെയിന്‍ ഇ-മെയിലുകളായും വെബ്‌പേജുകളായും ബ്ലോഗ്‌പോസ്റ്റുകളായും കമന്റുകളായും ഇന്റര്‍നെറ്റില്‍ പരന്നു കിടക്കുന്നു. ഇവ മൂലം ഭാരതീയഗണിതത്തെപ്പറ്റി ആധികാരികമായി പറയുന്നതു പോലും കേള്‍ക്കാന്‍ ആരും തയ്യാറാകുന്നില്ല. നാം തന്നെ നമ്മുടെ ശവക്കുഴി തോണ്ടണോ?


ഈ ഉദ്ധരണി ഞാന്‍ മുമ്പു കണ്ടിട്ടില്ല. ഒരു പക്ഷേ ഇങ്ങനെയായിരിക്കാം:

ഏകാദ്യേകോത്തര സങ്കലിതം പദ വര്‍ഗ്ഗാര്‍‌ദ്ധം
ഏക-ആദി-ഏക-ഉത്തര-സങ്കലിതം പദ-വര്‍ഗ്ഗ-അര്‍ദ്ധം.

“ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു വീതം കൂട്ടിയ സംഖ്യകളെ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാല്‍ സംഖ്യകളുടെ എണ്ണത്തിന്റെ വര്‍ഗ്ഗത്തിന്റെ പകുതിയാകും” എന്നര്‍ത്ഥം. അതായതു്,

എന്നര്‍ത്ഥം. ഇതു പൂര്‍ണ്ണമായി ശരിയല്ല.

എന്നതാണു ശരിയായ സൂത്രവാക്യം. ഇതു് ഭാരതീയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു നേരത്തേ അറിയാമായിരുന്നു. ആര്യഭടന്‍ ഇതു പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്. ഇതിനെപ്പറ്റി ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ പറഞ്ഞിരിക്കുന്നതു താഴെ കൊടുത്തിട്ടുണ്ടു്.

n-ന്റെ മൂല്യം വളരെ വലുതാകുമ്പോള്‍ n(n+1)-നു പകരം n2 ഉപയോഗിക്കാം എന്നു നീലകണ്ഠസോമയാജി യുക്തിദീപികയില്‍ (ഇതു നീലകണ്ഠന്റേതാണെന്നും അല്ല അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഒരു ശിഷ്യന്റേതാണെന്നും വാദങ്ങളുണ്ടു്. നീലകണ്ഠന്റെ തന്നെ “തന്ത്രസംഗ്രഹം” എന്ന വിശിഷ്ടകൃതിയുടെ വ്യാഖ്യാനമാണു യുക്തിദീപിക.) പറഞ്ഞിട്ടുണ്ടു്.


സൈകവ്യാസാര്‍ദ്ധഗുണിതം വ്യാസാര്‍ദ്ധം യത് തതോ ദലം
ഏകാദ്യേകോത്തരമിതഭുജാസങ്കലിതം ഭവേത്

അണുത്വാര്‍ത്ഥം ഭുജാഭാഗേ ത്വണുഛേദാഹതേസതി
അത്ര രൂപം ത്വണുമിതം കല്പ്യം യസ്മാത്തതോऽണുയുക്

യദ്‌വ്യാസദലമന്യച്ച കേവലം യത് തയോര്‍ഹതിഃ
യാസ്യാത് തദ്ദലമുക്തസ്യ മാനം സങ്കലിതസ്യ തു

ഒരു ഗോളത്തിന്റെ വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള

എന്ന സൂത്രവാക്യത്തിന്റെ ഉപപത്തിയിലാണു് ഇതുള്ളതു്. ഗോളത്തെ അസംഖ്യം ചെറിയ വൃത്തങ്ങളാക്കി അവയുടെ ക്ഷേത്രഫലങ്ങള്‍ തമ്മില്‍ കൂട്ടിയാണു് വ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കുന്നതു്. അര്‍ത്ഥം അല്പം സരളമാക്കി താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു:

  1. വ്യാസാര്‍ദ്ധത്തോടു് ഒന്നു കൂട്ടി അതിനെ വ്യാസാര്‍ദ്ധം കൊണ്ടു ഗുണിച്ചിട്ടു പകുതി കണ്ടാല്‍ ഒന്നു മുതല്‍ ഒന്നു കൂട്ടി വരുന്ന ഭുജകളുടെ സങ്കലിതം ലഭിക്കും.

    അതായതു്,

  2. ഇതിലെ ഓരോ ഭുജയെയും വീണ്ടും പല ഭാഗമാക്കിയാല്‍ ഓരോ ഭുജയും വളരെ ചെറുതാകുകയും പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വളരെ വലുതാവുകയും ചെയ്യും. പദങ്ങളുടെ എണ്ണം വലുതാകുമ്പോള്‍ n എന്നതും (n+1) എന്നതും ഏകദേശം തുല്യമാണെന്നു പരിഗണിക്കാം.
  3. അങ്ങനെ നോക്കിയാല്‍

    എന്നു് ഇവിടെ നമുക്കു് അനുമാനിക്കാം.

അതിനു ശേഷം ഈ സൂത്രവാക്യം ഉപയോഗിച്ചു് ഗോളവ്യാപ്തത്തിലേക്കു പോകുന്നു.

സൂക്ഷിച്ചു നോക്കിയാല്‍, ഇതു് ആധുനികഗണിതത്തിലെ രീതി തന്നെയാണെന്നു മനസ്സിലാകും. സാമാന്യമായ മൂല്യം എഴുതുക, അതിനു് ഒരു പ്രത്യേകസാഹചര്യത്തിലെ approximation ഉപയോഗിക്കുക, സീമാസിദ്ധാന്തം ഉപയോഗിച്ചു് infinite series-നു നല്ല approximation ഉണ്ടാക്കുക തുടങ്ങി. ഇവയൊക്കെ കാല്‍ക്കുലസിന്റെ അടിസ്ഥാനതത്ത്വങ്ങള്‍ തന്നെ. എന്നാല്‍ കാല്‍ക്കുലസ് ന്യൂട്ടനു മുമ്പു കണ്ടുപിടിച്ചു എന്നു പറയാനും പറ്റില്ല. നൂറ്റാണ്ടുകള്‍ കൊണ്ടു ഗണിതജ്ഞര്‍ കണ്ടുപിടിച്ച സീമാസിദ്ധാന്തത്തെയും, ചെറിയ ഭാഗങ്ങളാക്കി വിഭജിച്ചു് ഓരോ ഭാഗത്തിന്റെയും വിലയുടെ approximate value കണ്ടുപിടിച്ചു് അവ കൂട്ടി തുക കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രീതിയെയും മറ്റും യോജിപ്പിച്ചു് അവകലനത്തിന്റെയും (differentiation) സമാകലനത്തിന്റെയും (integration) സമഗ്രവും സാമാന്യവുമായ നിയമങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കി എന്നതുകൊണ്ടാണു് കാല്‍ക്കുലസിന്റെ ഉപജ്ഞാതാക്കളായി ന്യൂട്ടനെയും ലൈബ്‌നിറ്റ്സിനെയും കരുതുന്നതു്. ഒരു സുപ്രഭാതത്തില്‍ ഇവര്‍ ഈ തിയറിയൊക്കെ ഉണ്ടാക്കി എന്നല്ല.

കാല്‍ക്കുലസ് ഇന്ത്യയിലുണ്ടായി എന്ന വാദത്തെ ഇതിന്റെ വെളിച്ചത്തില്‍ വേണം കാണാന്‍. ഗോളവ്യാപ്തം കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള കൃത്യമായ സൂത്രവാക്യം ആദ്യമായി കാണ്ടുപിടിച്ചതു ഭാരതീയരല്ല, ആര്‍ക്കിമിഡീസ് (ക്രി. മു. മൂന്നാം നൂറ്റാണ്ടു്) ആണു് എന്നും ഓര്‍ക്കുക.


“സങ്കലിതം” എന്നതു ഭാരതീയഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഒരു പ്രിയപ്പെട്ട ആശയമായിരുന്നു. സങ്കലിതവും സങ്കലിതത്തിന്റെ സങ്കലിതവും അതിന്റെ സങ്കലിതവുമൊക്കെ കണ്ടുപിടിച്ചു് അവര്‍ മുന്നോട്ടു പോയി. ഒരു ലീലാവതീവ്യാഖ്യാനത്തില്‍ ഇങ്ങനെ പറയുന്നു:

പദേ സൈകപദാഭ്യസ്തേ യദ്വൈകദ്വിവധോദ്ധ്യതേ
ഏകാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ഭവേത് സങ്കലിതം തതഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ത്രയാണാം തു സമാഹതിഃ
ഏകോത്തരാദിത്രിവധഭക്താ സങ്കലിതായുതിഃ

ഗച്ഛാദ്യേകോത്തരാങ്കാനാം ചതുര്‍‌ണാം തു സമാഹതേഃ
ഏകാദ്യേകോത്തരചതുര്‍ഘാതാപ്താ തദ്‌യുതേര്‍‌യുതിഃ

സമയക്കുറവു മൂലം പദാനുപദതര്‍ജ്ജമ എഴുതുന്നില്ല. അര്‍ത്ഥം ഗണിതരീതിയില്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു (നൊട്ടേഷന്‍ എന്റേതു്):

ഇത്യാദി.


ആദ്യത്തെ n എണ്ണല്‍ സംഖ്യകളുടെയും അവയുടെ വര്‍ഗ്ഗം, ഘനം തുടങ്ങിയവയുടെയും തുക കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യങ്ങള്‍ ആര്യഭടനു മുമ്പേ ഭാരതീയര്‍ക്കു് അറിയാമായിരുന്നു. ദോധകവൃത്തത്തില്‍ ഭാസ്കരാചാര്യര്‍ എഴുതിയ മനോഹരശ്ലോകങ്ങള്‍ താഴെച്ചേര്‍ക്കുന്നു.

സൈകപദഘ്നപദാര്‍ദ്ധമഥൈകാദ്യങ്കയുതിഃ കില സങ്കലിതാഖ്യാ

സ-ഏക-പദ-ഘ്ന-പദ-അര്‍ദ്ധം അഥ ഏക-ആദി-അങ്ക-യുതിഃ കില സങ്കലിത-ആഖ്യാ

സാ ദ്വിയുതേന പദേന വിനിഘ്നീ സാ ത്രിഹൃതാ ഖലു സങ്കലിതൈക്യം

ദ്വിഘ്നപദം കുയുതം ത്രിവിഭക്തം സങ്കലിതേന ഹതം കൃതിയോഗഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമമേകാദ്യങ്കഘനൈക്യമുദീരിതമാദ്യൈഃ

സങ്കലിതസ്യ കൃതേഃ സമം ഏക-ആദി-അങ്ക-ഘന-ഐക്യം ഉദീരിതം-ആദ്യൈഃ


ഇതിന്റെ സാമാന്യരൂപമായ

എന്നതിന്റെ മൂല്യം (എന്നതു് ഏതെങ്കിലും എണ്ണല്‍‌സംഖ്യ) കണ്ടുപിടിക്കാനുള്ള സൂത്രവാക്യം കണ്ടുപിടിക്കാന്‍ ഭാരതെയഗണിതജ്ഞര്‍ക്കു കഴിഞ്ഞില്ല. ആധുനികഗണിതത്തില്‍ത്തന്നെ ഇതൊരു കീറാമുട്ടിയായിരുന്നു. പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടില്‍ കണ്ടുപിടിക്കപ്പെട്ട ബെര്‍‌ണോളി സംഖ്യകള്‍ ഉപയോഗിച്ചാണു് ഇന്നും ഇതു ചെയ്യുന്നതു്. (ഇതും വേദങ്ങളില്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു എന്നു് ആരെങ്കിലും താമസിയാതെ പറഞ്ഞേക്കും!). അതനുസരിച്ചു്,

എന്നതാണു് അതിന്റെ മൂല്യം. ഇവിടെ Br എന്നതു ബെര്‍ണോളി സംഖ്യകളും nCr എന്നതു binomial coefficients-ഉം ആണു്.

ഇതും സരളമായ ഒറ്റ സൂത്രവാക്യമല്ല, മറ്റൊരു ശ്രേഢിയാണു്. പക്ഷേ രണ്ടാമത്തേതു കണക്കുകൂട്ടാന്‍ കൂടുതല്‍ എളുപ്പമാണു്, അത്രമാത്രം.

ഗണിതം (Mathematics)
ഭാരതീയഗണിതം (Indian Mathematics)

Comments (14)

Permalink